TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2011 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2011 (đợt 1)
Môn: Phương trình toán lý
Chuyên nghành: Vật lý (Kỹ thuật và Lý thuyết)
Thời gian làm bài: 180 phút
NỘI DUNG ĐỀ 2
Câu 1: Thực hiện các phép tính sau
1. Thiết lập phương trình truyền sóng điện từ trong môi trường chân không từ hệ phương
trình Maxwell
∇ ·
B = 0,
∇ ·
E = 0,
∇ ×
B =
0
µ
0
∂
E
∂t
,
∇ ×
E = −
∂
B
∂t
.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
∇ ×
∇V (r) = 0 , trong đó V (r) là thế vô hướng.
∇ ·
∇ ×
A = 0 , trong đó
A là thế vector.
Câu 2: Một chất điểm chuyển động trên mặt phẳng Oxy, vector định vị của nó được cho bởi
r = a cos(ωt)
i + a sin(ωt)
j, (a, ω là các hằng số).
Chứng minh rằng
1. Vector vận tốc v vuông góc với r.
2. Vector gia tốc a hướng về gốc tọa độ. Độ lớn của a?
3.
L = r × mv là một hằng vector. Tìm độ lớn của
L?
Câu 3: Chứng minh các đẳng thức sau
1. Chứng minh rằng nếu
B =
∇ ×
A (
B là vector cảm ứng từ và
A là thế vector), S là
một mặt kín bất kỳ thì
˛
S
B · dσ = 0.
2. Chứng minh rằng nếu u, v là hai hàm vô hướng, C là một đường cong kín bất kỳ, S là
diện tích giới hạn bởi C thì
˛
C
u
∇v · d
l =
ˆ
S
(
∇u) × (
∇v) · dσ.
1
Câu 4: Toán tử T (t + , t) mô tả sự thay đổi của hàm sóng từ thời điểm t đến thời điểm t +.
Với thực và đủ nhỏ sao cho ta có thể cho
2
= 0, khi đó T được biểu diễn
T (t + , t) = 1 −
i
H(t).
1. Nếu H là hermite, chứng minh T là unita.
2. Nếu T là unita, chứng minh H là hermite.
Câu 5: Tìm các trị riêng và các vector riêng (trực giao, chuẩn hóa) tương ứng của các ma
trận sau
A =
0 0 0
0 0 −i
0 i 0
, B =
0 0 i
0 0 0
−i 0 0
.
Câu 6: Thực hiện các phép tính sau
1. Ma trận C không là ma trận hermite. Chứng minh rằng ma trận C + C
†
và i(C − C
†
)
là các ma trận hermite. (Điều này có nghĩa là một ma trận không hermite có thể biểu
diễn dưới dạng tổng của hai ma trận hermite C =
1
2
(C + C
†
) +
1
2i
i(C − C
†
)).
2. Chứng minh rằng nếu một ma trận có các trị riêng là thực và các vector riêng là trực
giao và chuẩn hóa, tức là r
i
|r
j
= δ
ij
, thì ma trận đó là một ma trận hermite.
Câu 7: Thực hiện các phép tính dưới đây
1. Tách phần thực và phần ảo của các hàm số sau (z = x + iy)
a) ω(z) =
z − 1
z + 1
; b) ω(z) = z
3
.
2. Tìm hàm giải tích ω(z) = u(x, y) + iv(x, y) cho các trường hợp sau
a) Cho biết u(x, y) = x
3
− 3xy
2
; b) Cho biết v(x, y) = e
x
sin y.
Câu 8: Ứng dụng lý thuyết thặng dư để tính các tích phân sau
a)
ˆ
∞
−∞
cos x
x
2
+ a
2
dx ; b)
ˆ
∞
−∞
x sin x
x
2
+ a
2
dx ; c)
ˆ
∞
−∞
x
2
dx
x
4
+ 1
.
Giáo viên soạn đề
TS. Nguyễn Thanh Phong
2