BD HSG toán 9 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.46 MB, 29 trang )
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 13/10/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 18/10/11
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 1
11
1
Hệ thức lợng trong tam giác vuông
Buổi 1
Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
tỉ số lợng giác của góc nhọn
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Ôn tập các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
- Ôn tập định nghĩa và tính chất các tỉ số lợng giác của góc nhọn
- Học sinh vận dụng đợc các kiến thức đã học để giải bài tập
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng vận dụng các hệ thức, định nghĩa, tính chất
- Nâng cao khả năng t duy
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
Thớc, compa, máy tính
-
HS:
Thớc, compa, máy tính
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức
sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(10 phút)
- HS1:
Vẽ hình và viết các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác
vuông
-
HS2:
Phát biểu bằng lời các hệ thức trên
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(105 phút)
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuôngHệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
I. Lí thuyết:
Cho
ABC
vuông tại A, đờng cao AH với các kí hiệu qui ớc nh hình vẽ
1.
2
. '
b a b
=
2
. '
c a c
=
2.
2
'. '
h b c
=
3.
. .
a h b c
=
4.
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
II. Bài tập:
Bài 1:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
GT
5
6
AB
AC
=
AH = 30 cm
KL Tính HB , HC
Giải:
- Xét
ABH và
CAH
Có
0
90
AHB AHC= =
;
ABH CAH
=
(cùng phụ với góc
BAH
)
ABH
CAH (g.g)
AB AH
CA CH
=
5 30
6
CH
=
30.6
36
5
CH
= =
m
+) Mặt khác BH.CH = AH
2
( định lí 2)
BH =
25
36
30
CH
AH
22
==
( cm )
Vậy BH = 25 cm ; HC = 36 (cm )
Bài 2:
Cho
ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm.
Từ A kẻ đờng cao AH xuống cạnh BC
a) Tính BC, AH
b) Tính
C
c) Kẻ đờng phân giác AP của
BAC
( P
BC ). Từ P kẻ PE và PF lần lợt
vuông góc với AB và AC. Hỏi tứ giác AEPF là hình gì ?
Giải:
a) Xét
ABC
vuông tại A
Ta có:
2 2 2
BC =AB + AC
( đ/l Pytago)
2 2 2
BC = 6 + 8 = 36 + 64 = 100
BC = 10cm
+) Vì AH
BC (gt)
AB.AC = AH.BC
. 6.8
AH = 4,8
10
AB AC
BC
= =
b) Ta có:
6
sinC = 0,6
10
AB
BC
=
C
37
0
c) Xét tứ giác AEPF có:
BAC
=
AEP
=
0
90
AFP =
(1)
Mà
APE
vuông cân tại E
AE = EP (2)
Từ (1); (2)
Tứ giác AEPF là hình vuông
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính cạnh bên theo a và h với BC = a,
đờng cao AH = h.
Hớng dẫn: Tam giác ABC cân có AH là
đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> HB = HC =
a
2
- áp dụng định lí Py ta go đối với tam
giác vuông AHB, tính đợc
AB = AC =
2 2
4h a
2
+
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có
0
B 60
=
, đờng cao AH.
S
5
AB
AC 6
=
P
E
F
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Chứng minh
CH AC
3
AH AB
= =
Hớng dẫn:
Tam giác ABC có
0
B 60
=
=> Tam giác ABC vuông
tại A là nửa tam giác đều cạnh BC, đờng cao AC
Ta có: AC =
2AB 3
AC
AB 3 3 (1)
2 AB
= => =
Tơng tự: Tam giác AHC cũng là nửa tam giác đều
=>
CH
3
AH
=
(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
*) Lu ý: Độ dài đờng cao của tam giác đều cạnh
a là
a 3
2
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 25 cm, AB = 20 cm
a) Tính cạnh AC, đờng cao AH, các đoạn thẳng BH, CH
b) Kẻ từ H đờng thẳng song song với AB, đờng thẳng này cắt AC tại N
Tính HN, AN, NC = ?
c) Tia phân giác của góc AHB cắt cạnh AB tại M. Tính độ dài các đoạn
thẳng AM, BM, MN = ?
Hớng dẫn:
1.
AC = 15 cm (py
ta
-
go)
AH = 12 cm; CH = 9 cm; BH = 16 cm
2. HN = 7,2 cm; AN = 9,6 cm;
NC = 5, 4 cm
3. Theo tính chất đờng phân giác
trong tam giác ta có:
MB HB 4 MB 4
MA HA 3 MA MB 7
= = => =
+
=>
MB 11,43cm;MA 8,57cm
và
MN 12,9cm
(py ta go)
Bài 6: Cho tam giác ABC, biết AB = 11 cm, AC = 15 cm, BC = 20 cm. Kẻ
đờng cao AH.
a) Chứng minh hệ thức sau:
2 2 2 2
HC HB AC AB
=
b) Tính HC, HB, AH = ?
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
a)
Trong tam giác vuông ABH, ta có
2 2 2
AH AB HB
=
Trong tam giác vuông ACH, ta có
2 2 2
AH AC HC
=
2 2 2 2
2 2 2 2
AB HB AC HC
HC HB AC AB
=> =
=> =
b) áp dụng hệ thức ở câu a tính đợc HC HB = 5,2 mà HC + HB = 20
=> HC = 12,6 cm; HB = 7,4 cm. Tính đợc AH
8,14cm
Tỉ số lợng giác của góc nhọn
I - Lí thuyết:
a) Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn
cạnh đối
sin
cạnh huyền
=
cạnh kề
cos
cạnh huyền
=
cạnh đối
tan
cạnh kề
=
cạnh kề
cot
cạnh đối
=
Ghi nhớ: sin đi học , cos không h, tang đoàn kết, côtang kết đoàn.
b) Bảng tỉ số lợng giác của một số góc đặc biệt:
Tỉ số lợng giác
30
0
45
0
60
0
sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3
cot
3
1
3
3
c) Một số tính chất của các tỉ số lợng giác
+) Định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
Cho hai góc và phụ nhau. Khi đó:
sin = cos; cos = sin; tan = cot; cot = tan.
+) Cho
0 0
0 90
< <
. Ta có:
2 2
0 sin 1; 0 cos 1; sin cos 1
< < < < + =
sin cos
tan ; cot ; tan .cot 1
cos sin
= = =
d) So sánh các tỉ số lợng giác
0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tan tan ;cot cot
< < < => < > < >
II - Bài tập:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Bài
1
: Cho cos
= 0,8. Hãy tìm
sin , tan , cot
(làm tròn đến chữ số thập
phân thứ t)
Hớng dẫn: áp dụng các hệ thức sau để tính
2 2
sin cos
sin cos 1; tan ; cot
cos sin
+ = = =
Kết quả:
sin 0,6; tan 0,75; cot 1,3333
= =
Bài 2: Hãy tìm sin; cos (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t) nếu biết
a) tan =
1
3
b) cot =
3
4
Hớng dẫn:
a) tan =
1
3
=> là một góc nhọn của tam giác vuông có hai cạnh góc
vuông là 1 và 3, từ đó tính đợc cạnh huyền khoảng 3,1623
=> sin
0,3162
; cos
0,9487
b) Tơng tự: sin
0,8
=
; cos
0,6
=
Bài 3:
Cho hình vẽ:
Biết AB = 4;
0 0 0
ABC 80 ;ACB 30 ;BAC 70
= = =
Lập một phơng trình tính x = AC = ?
Hớng dẫn: áp dụng định nghĩa các tỉ số
lợng giác của góc nhọn đối với các tam giác
vuông ABH và ACH, rồi suy ra phơng trình
x.sin30
0
= 4sin80
0
Bài 4: Cho hình vẽ
Hãy tính sinL (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ t)
Hớng dẫn:
Giải tơng tự bài tập 6
Kết quả: sinL =
0
2,8.sin30
0,3333
4,2
Bài 5:
1. Chứng minh các hệ thức
2
2
1
tan 1
cos
+ =
;
2
2
1
cot 1
sin
+ =
2. áp dụng tính
sin ,cos ,tan ,cot
khi biết tan = 2
Hớng dẫn:
1. áp dụng các hệ thức sau để chứng minh
2 2
sin cos
sin cos 1; tan ; cot
cos sin
+ = = =
2. Kết quả:
sin 0,8944;cos 0,4472;cot 0,5
=
Bài 6:
1. So sánh các tỉ số lợng giác sau:
H
C
B
A
70
30
80
4
x
30
4,2
2,8
M
L
N
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
a)
0 0
sin20 và sin70
b)
0 0
cos80 và cos10
c)
0 0
sin36 và cos36
2. Sắp xếp các tỉ số lợng giác sau theo thứ tự giảm dần
0 0 0 0 0
sin24 ;cos42 ;cos72 ;sin29 ;cos13
Hớng dẫn: áp dụng định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau, đa
về cùng một tỉ số lợng giác sin hoặc cosin để so sánh
Kết quả:
0 0 0 0 0
cos13 cos42 sin29 sin21 cos72
> > > >
Bài 7: Tính giá trị biểu thức
a) A =
0 0 0
3sin60 2cos30 3tan60
+
b)
0 2 0 2 0
B 3 2sin30 2cos 60 3tan 45
= +
Hớng dẫn: A =
7
3
2
b) B =
1
2
III.
III.III.
III.
Củng c
Củng cCủng c
Củng cố
ố ố
ố -
-
Luyện tập
Luyện tậpLuyện tập
Luyện tập
(60 phút)
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 16 cm, AH là đờng cao và AH =
6 cm. Một điểm D thuộc BH sao cho BD = 3,5 cm. Chứng minh tam giác DAC
vuông.
Hớng dẫn:
Trớc hết tính DC = 16
3,5 = 12,5 cm
AH là đờng cao => AH cũng là đờng
trung tuyến => HC = 8 cm
áp dụng định lí Py ta go đối với
tam giác vuông HAC tính đợc AC = 10
DH = BH BD = 4,5 cm
áp dụng định lí Py ta go đối với tam giác vuông HAD tính đợc AD = 7,5
cm. Vận dụng định lí đảo của định lí Py ta go đối với tam giác ADC,
chứng minh nó vuông tại A
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 12 cm. Tính chiều dài hai
cạnh góc vuông, biết AB =
2
AC
3
Hớng dẫn: áp dụng định lí Py ta go để giải
Kết quả chiều dài hai cạnh góc vuông: AC = 9,98 cm; AB = 6,65 cm
Bài 3: Cho (O), đờng kính AB = 26,5 cm; vẽ dây cung AC = 22,5 cm. Gọi H
là hình chiếu của C trên AB, nối C với B.
Tính BC, AH, BH, CH và OH ?
Hớng dẫn:
- Trớc hết chứng minh tam giác ABC vuông tại C
- áp dụng các hệ thức về cạnh và đờng cao trong
tam giác vuông để tính, kết quả nh sau:
BC = 14 cm; AH = 19,1 cm; BH = 7,4 cm;
CH = 11,9 cm; OH = 5,9 cm.
O
H
C
B
A
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Bài 4: Hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và
0
A 60
=
1. Tính cạnh BC
2. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD . Tính MN = ?
Hớng dẫn:
1.
Kẻ
DE AB,CF AB
Chứng minh
DAE CBF
=
=> AE = BF =
AB CD
2
=
10 cm
Tam giác CBF là nửa tam giác đều
=> BC = 2BF = 20 cm
2. Trớc hết chứng minh MN = CF
Nối AN, BN và chứng minh
ADN BCN(c.g.c)
=
=> AN = BN
=> Tam giác ANB cân tại N, có MA = MB => MN
AB
=> MN = CF = BF.tan60
0
=
10 3 cm
Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 cot tan 1
1 cot tan 1
+ +
=
b)
4 4 2 2
sin cos 1 2sin cos
+ =
c)
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
+
=
+
Hớng dẫn:
a) Thay
1
cot
tan
=
b) Sử dụng hằng đẳng thức bình phơng của tổng
c)VT =
2 2 2 2 2
4
4
2 2 2 2 2 4
sin cos (1 cos ) sin (1 cos )
sin
tan VP
cos sin (1 sin ) cos (1 sin ) cos
= = = =
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau
a) P =
2 2
2
1 4sin cos
(cos sin )
+
b)
2 2
2sin cos 1
Q
cos sin
=
Kết quả: P =
( )
2
cos sin
b) Q =
tan 1
tan 1
+
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = a, BC =
a 3
, AC =
a 2
1. Chứng minh tam giác ABC vuông
2. Tính các tỉ số lợng giác của góc B và tính góc B
3. Suy ra các tỉ số lợng giác của góc C
Hớng dẫn:
1. Dùng định lí đảo của Py ta go để chứng minh
2.
sinB 0.8165; cosB 0,5774; tanB 1,4142; co
tB 0,7071
=>
0
B 54 44'
3. áp dụng định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
Bài 8:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Chứng minh giá trị các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào góc
a) A =
4 2 2 2
cos cos . sin sin
+ +
b) B =
2 2
(tan cot ) (cot tan )
+
Kết quả:
a) A = 1 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào góc
b) B = 4 => Giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào góc
Bài 9: Cho đa giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm,
0 0
B 60 và A = 90
=
1. Tính đờng chéo BD
2. Tính khoảng cách BH và DK từ hai điểm B và D đến AC
3. Tính HK
4. Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài. Tính BE, CE, DC
Kết quả:
1. BD = 10
2 cm
2. Tam giác ABC đều => BH = AB.sin60
0
=
5 3
cm; DK = 5 cm
3. HK =
5( 3 1)cm
4. Tam giác BEC vuông cân => BE = CE =
5 2 cm
; DC =
5( 6 2 )cm
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH chia BC thành hai
đoạn BH = 5cm, CH = 20cm. Chứng minh tan B = 4tan C.
Bài 11: Không dùng máy tính bỏ túi hay bảng lợng giác , hãy chứng minh:
a)
0
0
sin30
1
cos60
=
b)
0 0 0 0
tan32 .cot32 (tan47 cot43 ) 1
=
c)
sin
1
cos
cot cos
+ =
V.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại các bài tập đã chữa. Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Biết AB = 20; AC = 15 .
a) Tính cạnh huyền BC
b) Tính BH, HC, AH
Bài 2:
Cho
ABC
ABC vuông ở A có AB = 15cm, BC = 17cm.
Từ A kẻ đờng cao AH xuống cạnh BC
a) Tính AC, AH
b) Tính số đo
C
;
B
Bài 3: Hãy lập công thức tính
a) Đờng chéo của hình vuông cạnh a
b) Đờng cao của tam giác đều cạnh a
c) Diện tích của tam giác đều cạnh a
Kết quả: a)
a 2
b)
a 3
2
c)
2
a 3
4
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, vẽ đờng chéo AC. Tính các tỉ
số lợng giác của góc ACB
Bài 5: Cho biết
1
cos
3
=
. Tính giá trị biểu thức sau: P =
2 2
3sin 4cos
+
Kết quả: P =
28
9
D/Bổ sung
*******************************
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 16/10/11
Ngày
NgàyNgày
Ngày
dạy
dạy dạy
dạy
: 21/10/11
Chủ đề 1
Chủ đề 1Chủ đề 1
Chủ đề 1
Hệ thức lợng trong tam giác vuông
Buổi 2
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Ôn tập các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông; học sinh biết
vận dụng các hệ thức trong việc tính toán, chứng minh
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập, tính toán, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
Thớc, thớc đo độ, máy tính bỏ túi
-
HS:
Thớc, thớc đo độ, máy tính bỏ túi
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức-
-
sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(10 phút)
- HS1:
Phát biểu định lí các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác
vuông ?
-
HS2:
Vẽ tam giác vuông ABC rồi viết các
hệ thức về cạnh và góc trong
tam giác đó
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(105 phút)
1.
Lí thuyết:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Các hệ thứ
c về cạnh và góc trong tam giác
vuông
b = a.sinB; c = a.sinC
b = a.cosC; c = a.cosB
b = c.tanB; c = b.tanC
b = c.cotC; c = b.cotB
=> a =
b c b c
sinB sinC cosC cosB
= = =
2. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC, đờng cao AH (
H BC
),
0
B 42 ,AB 12cm,BC 22cm
= = =
. Tính cạnh và góc của tam giác ABC ?
Kết quả:
0
0
AH 8,03cm
BH 8,917cm
CH 13,082cm
tanC 0,6138 C 32
BAC 106
AC 15,153cm
=>
Bài 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc
nhọn tạo bởi hai đờng thẳng đó bằng thì diện tích của tam giác đó là
S =
1
absin
2
Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp tam giác ABC nhọn hoặc tù
Bài 3
: Tam giác ABC có :
AB = 16 cm, AC = 14 cm và
0
B 60
=
a) Tính BC
b) Tính diện tích tam giác ABC
Hớng dẫn: Kẻ AH vuông góc với BC
Kết quả:
a) BC = 10 cm
b) S
2
69,28cm
Bài 4
: Một hình bình hành có hai cạnh là
10 cm và 12 cm, góc tạo bởi hai cạnh đó
bằng 150
0
. Tính diện tích hình bình hành
đó ?
Hớng dẫn: Kẻ AH BC =>
0
BAH 60
=
22
42
H
C
B
A
12
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
AH = 5 cm và S = AH.AD = 60 cm
2
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng:
a b c
sinA sinB sinC
= =
Hớng dẫn:
Kẻ AH BC
sinB AC b
AH AH
sinB ,sinC
AB AC sinC AB c
b c
(1)
sinB sinC
= = => = =
=> =
Kẻ CK AB
CK CK sinB AC b
sinB ,sin A
BC AC sinA BC a
b a
(2)
sinB sinA
= = => = =
=> =
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB = a, AC = b, BC = a
Chứng minh rằng:
2 2 2
b a c 2accosB
= +
Hớng dẫn:
Kẻ AH BC
Ta có :
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
b AC AH CH (py - ta - go)
AH (BC BH)
AH BH 2BC.BH BC
AB BC 2BC.AB.cosB a c 2accosB
= = +
= +
= + +
= + = +
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A,
0
C ( 45 )
= <
, trung tuyến AM, đờng
cao AH. Biết BC = a, AC = b, AH = h
a) Tính
sin ,cos ,sin2
theo a, b, h
b) Chứng minh rằng:
sin2 2sin .cos
=
Hớng dẫn:
b
h
a)sin ,cos
b a
= =
AMB
là góc của tam giác cân AMC
=>
AMB
= 2
sin
AMB
= sin2 =
AH 2h
AM a
=
b)
b
h
sin2 2. . 2sin .cos
b a
= =
Bài 8: Cho tam giác ABC cân ở A, đờng cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở
đáy bằng . Chứng minh rằng:
2
ABC
h
S
4sin .cos
=
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
2
ABC
Kẻ BE AC BE h
h h
sin BC
BC sin
Kẻ AH BC
1 h
=>AH=HC.tan BC.tan
2 2cos
1 h
S AH.BC
2 4sin .cos
=> =
= => =
= =
= =
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm
a) Tính BC,
B,C
b) Đờng phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD, DC
c) Từ D kẻ
DE AB,DF AC.
Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện
tích của tứ giác AEDF ?
Hớng dẫn:
a) BC = 10 cm;
0 0
B 53 8';C 36 52'
b) áp dụng tính chất đờng phân giác
trong tam giác, đợc kết quả:
30 40
BD cm;DC cm
7 7
= =
c) Tứ giác AEDF là hình vuông
Vì DF // AB =>
CD
DF 24
CFD CAB DF cm
AB BC 7
=> = => =
Chu vi :
96
cm
7
; Diện tích:
2
576
cm
49
Bài 10: Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011
Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011
Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 -
-
2012
20122012
2012
Cho tam giác nhọn ABC có điểm D nằm trong tam giác sao cho
0
ADB 90 ACB
= + và
AC BC
AD BD
=
. Vẽ
DAE
vuông cân tại D sao cho E và D
nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB. Chứng minh:
a) ABC đồng dạng với EBD
b) AB.CD =
2 .AC.BD
Hớng dẫn
a) Dễ dàng chứng minh đợc
ACB EDB (1)
=
AC BC AC BC
(gt) mà AD = DE (gt) => (2)
AD BD DE BD
= =
Từ (1) và (2) suy ra
ABC đồng dạng với EBD
b) Vì
a) ABC đồng dạng với EBD
=>
BC
AB
(3)
BE BD
=
và
ABC EBD
=
Từ đó dễ dàng chứng minh đợc
DBC EBA (4)
=
Từ (3) và (4) =>
ABE đồng dạng với CBD(c-g-c)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
=>
AB AE
AB.CD BC.AE (5)
BC CD
= => =
ADE
vuông cân nên
AE 2 .AD
=
. Thay vào (5) ta đợc
AB.CD 2 .AD.BC mà AD.BC = AC.BD (câu a)
=
=> AB.CD =
2 .AC.BD
Bài 11: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 12 sin 22 sin 32 sin 58 sin 68 sin 78
+ + + + +
b)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 15 cos 25 cos 35 cos 55 cos 65 cos 75 3
+ + + + +
Hớng dẫn: Sử sụng tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau và
2 2
sin cos 1
+ =
, kết quả:
a)
3
b) 0
IV.
Củng cố
Củng cố Củng cố
Củng cố -
-
Luyện tập
Luyện tậpLuyện tập
Luyện tập
(60 phút)
Bài 1: Cho hình thang ABCD có
0
A D 90
= =
; AB = 30 cm; CD = 18 cm và BC
= 20 cm
a) Tính các góc ABC và BCD
b) Tính các góc DAC, ADB và các đờng chéo AC, BD
Hớng dẫn:
a)
Kẻ
CH AB BH 12cm
=> =
0 0
cosB 0,6 B 53 BCD 127
=> =>
b) CH = 16 cm
0 0
tgDAC 1,125 DAC 48 22' ADB 61 56'
AC 24,1cm;BD 34cm
= => =>
=
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 20 cm, cạnh bên AD =8 cm
và tạo với đáy lớn AB góc 65
0
a) Tính đờng cao DH, đáy nhỏ CD
b) Tính góc ABD và đờng cao BD
Hớng dẫn:
a)
Kẻ
DH AB,CK AB
DH 7,25cm;AH 3,38cm
CD HK 13,24cm
=>
=> =
b)
0
ABD 23 34'
BD 18,13cm
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10 cm, AC = 15 cm
1. Tính góc B
2. Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI
3. Vẽ
AH BI
tại H. Tính AH
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Hớng dẫn:
1.
0
B 56 19'
2. AI = 5,35 cm
3. AH = 4,72 cm
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm; BC = 7,5 cm
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
b) Tính
B,C,
đờng cao AH
c) Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần lợt là
P và Q. Chứng minh rằng: PQ = AM
Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất
Hớng dẫn:
a) Dùng định lí đảo của định lí Py -
ta - go để chứng minh
b)
0 0
B 36 52'; C 53 8'; AH 3,6cm
=
c) Tứ giác APMQ là hình chữ nhật
suy ra PQ = AM
PQ nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất
<=> AM vuông góc với BC
<=> M
H
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại các bài đã chữa. Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính:
a)
2 2
1
4cos 6sin , biết sin
5
=
b)
sin .cos , biết tan + cot 3
=
Kết quả: a) 3,6 b)
1
3
Bài 2: Chứng minh với mọi góc
, thì mỗi biểu thức sau không phụ thuộc
vào
a)
2
A (sin + cos ) - 2sin .cos - 1
=
b)
2
B (sin - cos ) 2sin .cos + 1
= +
c)
( )
2 2
B (sin + cos ) sin cos + 2
= +
Kết quả: a) A = 0 b) B = 2 c) C = 4
Bài 3: Cho
0 0
0 x 90
< <
. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x.cos x
+ =
b)
4 4 2
sin x cos x 1 2cos x
=
c)
1 cosx sinx
sinx 1 cosx
=
+
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
D/Bổ sung
*******************************
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 19/10/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 25/10/11
Chủ đề 1
Chủ đề 1Chủ đề 1
Chủ đề 1
hệ thức lợng trong tam giác vuông
Buổi 3
vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh hệ thức
tính số đo góc và độ dài đoạn thẳng
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Củng cố và khắc sâu các hệ thức lợng trong tam giác vuông
- Học sinh biết vẽ yếu tố phụ một cách hợp lí để chứng minh các hệ thức
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
- áp dụng thành thạo hệ thức lợng để tính độ dài đoạn thẳng, tính số
đo góc
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng vận dụng, trình bày
- Rèn khả năng t duy, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Có tinh thần tự giác, tích cực trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
Thớc, êke
- HS:
Thớc, êke
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ c
Tổ cTổ c
Tổ chức
hứchức
hức
-
-
sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(145 phút)
Chứng minh hệ thức
(80 phút)
1.Bài 1: Cho tứ giác ABCD có
0
ADC + DCB = 90
CMR:
2 2 2 2
AB + CD = AC + BD
-
GV để cho học sinh suy nghĩ tìm
kiếm cách giải
- Nếu học sinh không làm đợc thì
gợi ý: Các em có nhận xét gì về kết
luận của bài toán ? có liên quan tới
định lí Py-ta-go trong tam giác
vuông không ? Vậy liên quan đến
tam giác vuông nào ? dựa vào giả
thiết
0
ADC + DCB = 180
ta cần tạo
ra
OCD vuông tại O bằng cách
kéo dài các cạnh AD và BC cắt
nhau tại O.
o
c
b
a
d
Lời giải: Vì
0
ADC + DCB = 90
nên hai đờng thẳng AD và BC cắt nhau
Gọi O là giao điểm của AD và BC
Vì
0
ADC + DCB = 90
0
COD = 90
OAB, ODC, OAC, OBD
là các tam giác vuông tại O.
áp dụng định lí Pythagoras cho các
OAB, ODC, OAC, OBD
vuô
ng tại O
Ta có:
2 2 2
AB = OA + OB
2 2 2
CD = OC + OD
2 2 2 2 2 2
AB + CD = OA + OB + OC + OD (1)
2 2 2
AC = OA + OC
2 2 2
BD = OB + OD
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
2 2 2 2 2 2
AC + BD = OA + OC + OB + OD (2)
Từ (1), (2)
2 2 2 2
AB + CD = AC + BD
(tính chất bắc cầu) (đpcm)
2. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD và K là một điểm thuộc miền trong của
hình chữ nhật . Chứng minh rằng:
2 2 2 2
KA + KC = KB + KD
Phân tích: Bài toán có liên quan đến định lí
Pythagoras, các em kẻ đờng phụ
MN AB
và trình bày lời giải nh sau.
- Qua K kẻ
MN AB
( nh hình vẽ bên )
=> Tứ giác AMND và tứ giác BCNM là các
hình chữ nhật
AM = ND
MB = NC
và
AP = BQ
PD = QC
(
)
1
Xét
KAM
:
2 2 2
KA = AM + KM
KNC:
2 2 2
KC = NC + KN
2 2 2 2 2 2
KA + KC = AM + KM + NC + KN (2)
Xét
KBM
:
2 2 2
KB = BM + KM
KND:
2 2 2
KD = ND + KN
2 2 2 2 2 2
KB + KD = BM + KM + ND + KN (3)
Từ (1),(2),(3)
2 2 2 2
KA + KC = KB + KD
(đpcm)
- Cách khác: Vẽ
PQ AD
và trình bày tơng tự
3. Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC, DC
(hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó) tại E, F.
CMR:
2 2 2
1 1 1
+ =
AE AF AD
Phân tích: Học sinh nhận thấy đẳng thức cần đợc chứng minh có liên
quan tới hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông. Do vậy cần
xác định một tam giác vuông có hai cạnh bằng AE, AF và có đờng cao AD
từ nhận xét đó các em kẻ thêm đờng phụ AK vuông góc với AF, từ đó các
em trình bày nh sau.
Lời giải:
Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc
với AF cắt đơng thẳng chứa
cạnh CD tại K
- Xét
ADK
và
ABE
Có:
1
3
A = A
(cùng phụ với
2
A
)
AD = AB (cạnh hình
vuông)
0
ADK = ABE = 90
Suy ra
ADK
đồng dạng với
ABE
(g.c.g)
2 2
AK = AE AK = AE
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
- Xét
AKF
vuông tại A có
AD KF
2 2 2
1 1 1
AK AF AD
+ =
hay
2 2 2
1 1 1
+ =
AE AF AD
Nhận xét:
Qua ba bài tập này bớc đầu các em hình thành đợc phơng pháp vẽ
đờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông và các cách triển khai theo
phơng hớng đó. Tuy nhiên để hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm
đờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông . Giáo viên hớng dẫn HS
các bài tập sau.
4. Bài 4:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kì
đờng thẳng AM cắt cạnh CD kéo dài tại N
CMR:
2 2 2
1 1 1
4
AM AN AB
+ =
- Phân tích: Dựa vào ví dụ 3 các em cũng tạo ra tam giác vuông ANS tuy
nhiên cha tìm ra lời giải , gợi ý nh sau:
- Tam giác ABM đồng dạng với tam giác nào ? (
ADS
)
Cách giải:
Vì ABCD là hình chữ nhật
có
AB = 2BC AB = 2AD
1
AD = AB
2
Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc
với AN cắt CD tại S
- Xét
ADS
và
ABM
có:
1
3
A = A
(cùng phụ với
2
A
)
0
ADS = ABM = 90
Suy ra
ADS
ABM
(g.g)
1
2
AD AS
AB AM
= =
1
2
AS AM
=
- Xét
ANS
vuông tại A có
AD NS
Ta có:
2 2 2
1 1 1
AS AN AD
+ =
2 2
2
1 1 1
1 1
2 2
AN
AM AB
+ =
2 2 2
4 1 4
AM AN AB
+ =
2 2 2
1 1 1
4
AM AN AB
+ =
(đpcm)
- Qua bài tập 3 và 4 có thể cho học sinh thấy rằng cách giải hai ví dụ này là
một, đều phải kẻ thêm đờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp
dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông từ đó có cách kẻ
hợp lí.
5. Bài 5:
Cho hình bình hành ABCD, đờng chéo lớn AC. Gọi E , F là các hình chiếu
của C lên các cạnh AB và AD. CMR:
2
AB.AE + AF.BC = AC
Phân tích: Các em không tìm đợc mối liên hệ giữa các cạnh với đờng chéo
AC.
S
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
-
Từ B kẻ đờng thẳng BK vuông góc với AC
- Xét hai tam giác đồng dạng nào để
=> AC.AK = AB.AE (1)
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy ra AC.CK = BC.AF (2)
từ đó tìm đợc lời giải bài toán
Cách giải:
Từ B kẻ
BK AC
(hình vẽ bên)
- Xét
AEC
và
AKB
có
0
chung
AEC = AKB = 90
A
AEC
AKB
(g.g)
AE AC
AK AB
=
AB.AE = AC.AK (1)
- Xét
AFC
và
CKB
có:
CAF = BCK
(so le trong)
0
AFC = CKB = 90
Suy ra
AFC
CKB
(g.g)
AF AC
CK BC
=
BC.AF = AC.CK (2)
Từ (1) và (2)
AB.AE+ BC.AF = AC.AK+ AC.CK
AB.AE+ BC.AF = AC.(AK+ CK)
2
AB.AE+ BC.AF = AC.AC= AC
(đpcm)
6. Bài 6:
Cho tam giác ABC có M là trung
điểm của BC.
CMR:
2 2 2
2
2 4
AB AC BC
MA
+
=
Đây là công thức tính độ dài
đờng trung tuyến trong tam giác
khi biết độ dài các cạnh của tam
giác
Cách giải: Kẻ AH vuông góc với BC
- áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABH và AHC
2 2 2 2 2 2
AB + AC = AH + BH + AH + HC
2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = (AM - MH ) + BH + (AM - MH )
+ HC
2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = AM - MH + BH + AM - MH + H
C
2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - (BM - BH) + BH - ( HC -
CM) + HC
2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH - BH + BH - HC
+ 2HC.CM - CM + HC
2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.CM - CM
2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.BM - BM
(Vì MB = MC)
2 2 2 2
AB + AC = 2AM - 2BM + 2BM.(BH + HC)
2 2 2 2
AB + AC = 2AM - 2BM + 2BM.BC
Mà BC = 2BM
2 2 2 2
1 1
AB + AC = 2AM - 2( BC) +2( .BC).BC
2 2
m
h
c
b
a
S
S
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
2 2 2 2 2
1
AB + AC = 2AM - BC BC
2
+
2 2 2 2
1
AB + AC = 2AM + BC
2
2 2 2 2
1
2AM = AB + AC - BC
2
2 2 2
2
2 4
AB AC BC
MA
+
=
- Lu ý HS : Đối với bài tập này việc biến đổi rất phức tạp nên trong quá
trình làm cần phải linh hoạt, hợp lí
7. Bài 7:
Cho ABC cân tại A có các đờng cao AH, BK, CD.
a, CMR:
2 2 2
1 1 1
4
= +
BK AH BC
b, CMR:
2 2 2 2 2 2
3BK +2AK + CK = AB + BC + CA
c, Qua C kẻ đờng thẳng song song với BK cắt AB tại J.
CMR: AB
2
= AD.AJ
*) Hớng dẫn:
- Kẻ HE vuông góc với AC ta suy ra điều gì ?
Lời giải:
a, Kẻ HE vuông góc với AC
HE // BK
- Xét
BKC
có:
HE // BK
BH = HC
HE là đờng trung bình của
BKC
BK = 2HE
- Xét
AHC
Có
0
AHC = 90
, HE vuông góc với AC
2 2 2
1 1 1
= +
HE AH HC
=>
2 2 2
4 1 4
= +
BK AH BC
=>
2 2 2
1 1 1
4
= +
BK AH BC
b,Vì
ABC
cân tại A có CD, BK là các đờng cao (gt)
CD = BK
AD = AK
2 2
2 2
CD = BK
AD = AK
- áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABK, ACD, BCK.
Ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
AB = BK + AK
AC = AD + CD
BC = BK + KC
2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC + BC = BK + AK + AD + CD + BK + KC
2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC + BC = BK + AK +AK + BK + BK +KC
2 2 2 2 2 2
3BK +2AK + CK = AB + BC + CA
(đpcm)
c, Vì
BK // CJ
CJ AC
BK AC
- Xét
ADC
và
ACJ
có:
0
A chung
ADC = ACJ = 90
ADC
đồng dạng với
ACJ
(g.g)
2
AD AC
= AC = AD.AJ
AC AJ
hay
2
AB = AD.AJ
(đpcm)
*) cách khác : áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
vuông ACJ có CD vuông góc với AJ
tính Số đo góc và độ dài đoạn thẳng
(65 phút)
1. Bài 1: Bài 30 (SGK - 89)
Cho
ABC
có BC = 11cm,
ABC
= 30
0
,
ACB
= 38
0
Gọi N là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính độ dài:
a, Đoạn thẳng AN.
b, Cạnh AC.
Hớng dẫn:
Từ B kẻ
BK AC
Tính đợc BK
Tính đợc AB
AN
AC = ?
Lời giải:
Cách 1:
Từ B kẻ
BK AC
0 0 0
1
A = 38 + 30 = 68
(góc ngoài
ABC
)
- Xét
BCK
Có BK = BC.SinC =11.Sin30
0
=11.0,5 = 5,5(cm)
- Xét
BK
A
: Có KB =AB.SinA
1
0
1
BK 5,5 5,5
AB = = 5,932(cm)
SinA Sin68 0,927
- Xét
ABN: Có AN = AB.SinB
1
AN = 5,932.Sin38
0
5,932.0,615
3,65(cm)
b, Xét
ACN:
Có
0
AN 3,65 3,65
AC = = = 7,3(cm)
sinC sin30 0,5
Cách 2:
- Nêu cách khác, kẻ đờng thẳng từ C vuông góc với cạnh AB và trình bày
tơng tự.
- Nếu không kẻ đờng phụ thì ta có tính đợc các đoạn AN, AC không ?
Cách 3:
Đặt:
0
AN = x(x>0) BN = AN.cotg B BN = x.cotg38
0
NC =AN.Cotg C NC = x.Cotg30
Mà
BN + NC = 11
0 0
x.Cotg38 + x.Cotg30 =11
0 0
11
x =
Cotg30 + Cotg38
Từ đó tính đợc AN, AC
Cách 4: Đặt BN = x => CN = 11 - x (0 < x < 11)
Ta có : AN =
0 0
BN.tan38 x.tan38
=
; AN =
0 0
CN.tan 30 (11 x)tan30
=
=>
0 0
x.tan38 (11 x)tan30
=
, từ đó tìm đợc x và giải đợc bài toán
Cách 5: Đặt CN = x, giải tơng tự cách 4
Nhận xét:
- Qua bài tập 1 đa ra nhận xét, muốn tính độ dài cạch còn lại của một tam
giác khi biết số đo hai góc và một cạnh của nó ta kẻ thêm đờng phụ để làm
xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
tam giác vuông để tính.
2. Bài 2: Cho
ABC có AB =13cm, AC = 16cm,
BAC
= 60
0
.
Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ?
Hớng dẫn:
Dựa vào nhận xét trên ta kẻ thêm CH vuông góc với
AB ta tính đợc đoạn thẳng nào ?
Lời giải:
Từ C kẻ CH
AB
=> AH = AC. cos
HAC
= 16.Cos60
0
= 16.0,5 = 8(cm)
=> BH = AB - AH =13 - 8 = 5 (cm)
=> CH = 16.sin 60
0
= 16.0.866 = 13.86 (cm)
- áp dụng định lí Pythagoras cho
BCH
vuông tại H
ta có BC =
2 2
BH HC
+
=
( )
2
2
5 13,85
+
=14,73 (cm)
Ta có tg
HBC
= HC : HB = 13,86 : 5 = 2,772
=>
HBC
=
0
70 9'
hay
B
=
0
70 9'
=>
C
= 180
0
- (60
0
+
0
70 9'
) = 49
0
51'
- Vậy các góc là
A
= 60
0
,
B
=
0
70 9'
,
C
= 49
0
51'
, BC = 14,73 cm
3. Bài 3: (đề thi HSG huyện Gia Lộc năm học: 2005 - 2006)
Cho hình thang vu
ông MNPQ biết:
PN // MQ, MN = 12, NP = 11,
PQ = 13 ,
MNP
= 90
0
. (hình vẽ bên)
Khi đó NQ bằng:
A.16 B.18 C.20 D.22
Hớng dẫn:Muốn tính đợc x ta cần tính đợc cạnh MQ và áp dụng định lí
Pythagoras cho tam giác vuông MQN từ đó các em đã kẻ PH vuông góc với
MQ.
Cách giải:
- Từ P kẻ PH
MQ => Tứ giác MNPH là hình chữ nhật
=> MN = PH =12; MH = NP =11
- áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông PQH
=> PQ
2
= PH
2
+ HQ
2
=> HQ
2
= PQ
2
- PH
2
=> HQ
2
= 13
2
- 12
2
=> HQ
2
= 169
- 144
=> HQ
2
= 25 => HQ = 5
=> MQ = MH + HQ = 11 + 5 = 16
áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MNQ
=> NQ
2
= MN
2
+ MQ
2
=> NQ
2
= 12
2
+ 16
2
=> NQ
2
= 144
+ 265
=> NQ
2
= 400 => NQ = 20
IV.
Củng cố
Củng cố Củng cố
Củng cố -
-
Giải đề thi
Giải đề thiGiải đề thi
Giải đề thi
(34 phút)
Bài 1: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 -
-
2010
20102010
2010
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Cho tứ giác lồi ABCD. M là điểm bất kí trên AB. Qua M kẻ đờng
thẳng song song với AC cắt BC tại N; Qua M kẻ đờng thẳng song song với
BD cắt AD tại Q. Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt CD tại P
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Chứng minh MN.BD + MQ.AC = AC.BD
c) Tìm vị trí của M sao cho diện tích hình bình hành MNPQ lớn nhất
Hớng dẫn: Theo giả thiết
}
MN / / AC
MN / /PQ (*)
PQ / / AC
=>
- Theo định lí Ta_lét
MN//AC =>
BM BN
(1)
AM CN
=
QP//AC =>
DQ
DP
(2)
AQ CP
=
QM//BD =>
DQ
BM
(3)
AQ AM
=
- Từ (1), (2), (3) =>
BN DP
CN CP
=
q
p
n
m
d
c
b
a
- Theo định lí Ta_lét đảo áp dụng vào tam giác DCP
=> PN//BD mà QM//BD (gt) => PN//QM (**)
- Từ (*) và (**) =>
MNPQ
là HBH
b) Dùng định lí Talét ta có:
MQ
MN BM MA
;
AC BA BD AB
= =
do đó:
MQ
MN
1 (*)
AC BD
+ =
=> MN.BD + MQ.AC = AC.BD
c) Từ (*) ta có:
MN.MQ
1
1 2 MN.MQ AC.BD (không đổi)
AC.BD 4
=>
Dấu "=" xảy ra
MQ
MN 1
AC BD 2
= = hay MN, MQ là các đờng trung bình
các tam giác tơng ứng hay M là trung điểm của AB
Chứng minh đợc diện tích hình bình hành MNPQ bằng MN.MQ.sin
(
là
góc nhọn của hình bình hành)
Từ đó có đáp số diện tích MNPQ lớn nhất khi M là trung điểm của AB
Bài 2: Đề thi khảo sát chọn HS
Đề thi khảo sát chọn HSĐề thi khảo sát chọn HS
Đề thi khảo sát chọn HS
giỏi
giỏi giỏi
giỏi đợt II
đợt II đợt II
đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009
huyện Gia Lộc năm học 2009 huyện Gia Lộc năm học 2009
huyện Gia Lộc năm học 2009 -
-
2010
20102010
2010
Cho tam giác ABC và đờng cao AH; AD , AE là hai đờng phân giác
của các góc
BAH,CAH
; tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE trùng với
tâm đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC
Chứng minh
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
AH BC
, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đồng thời là tâm
đờng tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC
=> OD = OE = OA; OM = ON = OP
- Các tam giác vuông ODM, OEM, OAN, OAP bằng nhau
=>
DOM EOM AON AOP (1)
= = =
DOX OAD ODA 2OAD
= + = ; tơng tự
EOX 2OAE
=
=>
1
DOE 2DAE 2. A A 2DOM A (2)
2
= = = => =
Tứ giác APON có
0 0 0
P N 180 A PON 180 A 180 PON
+ = => + = => =
Mặt khác:
PON AON AOP 2DOM
= + =
Kết hợp (1) và (2) =>
0 0 0
2DOM 180 2DOM DOM 45 A 90
= => = => =
Vậy áp dụng hệ thức về cạnh và đờng cao suy ra
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
*) Cách khác : Chứng minh
PON A
=
Bài 3: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 -
-
2010
20102010
2010
Cho tam giác ABC, D là điểm trên cạnh BC (D không trùng với B, C).
Chứng minh AD.BC < BD.CA + CD.AB
Hớng dẫn:
Kẻ
DE / / AC;DF / /AB
áp dụng định lí Ta - lét, ta có:
DE BD DE
BD BC.
AC BC AC
CD
DF DF
CD BC.
CB AB AB
= => =
= => =
DE DF
BD.CA CD.AB BC. BC. .AB
AC AB
BC.DE BC.DF BC(DE AE) BC.AD
+ = +
= + = + >
Bài 4: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 20
năm học 20năm học 20
năm học 2010
1010
10
-
-
201
201201
2011
11
1
1. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đờng trung tuyến BM. Gọi D là hình
chiếu vuông góc của C trên BM, H là hình chiếu vuông góc của D trên AC
Chứng minh a) HC = 2.HD b) AH = 3.HD
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A khi và chỉ khi các
đờng phân giác BD, CE của góc CBA và góc ACB cắt nhau tại I
(
D AC;E AB
) thỏa mãn:
BI.CI
1
BD.CE 2
=
Hớng dẫn:
1. Chứng minh:
a) HC = 2.HD b) AH = 3.HD
a) Chứng minh:
ABM đồng dạng với HCD
(g.g)
b) Đặt DH = x > 0 => CH = 2x
á
p dụng hệ thức về cạnh và đờng cao
trong tam giác vuông DCM tính đợc :
MH = 0,5x
Ta có: CM = CH + MH = 2,5x
mà AM = CM nên AM = 2,5x
AH = AM + MH = 3x.
Vậy AH = 3DH
2. BD, CE là các đờng phân giác của
tam giác ABC cắt nhau
tại I nên AI là
phân giác của góc BAC
Theo tính chất đờng phân giác ta có:
BI AB BI AB
ID AD BI ID AB AD
BI AB
hay (1)
BD AB AD
= => =
+ +
=
+
lại có:
AD AB AD AB
CD BC AD CD AB BC
AB.AC
AD AB
hay AD (2)
AC AB BC AB BC
= => =
+ +
= => =
+ +
Từ (1) và (2) suy ra:
AB BC
BI AB
(3)
BD AB.AC AB BC AC
AB
AB BC
+
= =
+ +
+
+
Tơng tự ta chứng minh đợc:
CI AC BC
(4)
CE AC BC AB
+
=
+ +
Từ (3) và (4) ta có:
( )
2
2
2 2 2
( AB BC)(AC BC)
BI.CI CI
BI
.
BD.CE BD CE
AB BC AC
AB.AC AB.BC BC.AC BC
(5)
AB BC AC 2AB.BC 2AB.AC 2BC.AC
+ +
= =
+ +
+ + +
=
+ + + + +
*) Chứng minh nếu tam giác ABC vuông tại A thì
BI.CI
1
BD.CE 2
=
dựa vào định lí py-ta-go và (5) ta chứng minh đợc
BI.CI
1
BD.CE 2
=
