Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 46 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ HƯỜNG
DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM
ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ HƯỜNG
DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM
ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG
THÁI NGUYÊN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
i
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin
.
.
Thái Ngun, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Hường
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
ii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phương pháp nghiên cứu 2
4. Bố cục của luận văn 2
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Hàm đa điều hồ dưới 5
1.2. Tốn tử Monge-Ampère phức 7
Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI
VỚI KỲ DỊ YẾU 17
2.1. Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương 17
2.2. Dung lượng của tập mức con của hàm đa điều hòa dưới trong lớp
con của
()e W
22
2.3. Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge-
Ampere bị chặn 27
2.4. Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu 30
2.5. Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge
- Ampere bị chặn đều 34
KẾT LUẬN 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho
n
là một miền siêu lồi. Ký hiệu
0
()e W
là lớp các hàm đa điều
hồ dưới âm
j
trên
W
với giá trị biên
0
và độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên
W
. Ký hiệu
()WF
là lớp các hàm đa điều hồ dưới âm
j
trên
W
sao cho tồn tại
dãy giảm
()
j
j
các hàm đa điều hồ dưới trong
0
()e W
hội tụ đến
j
thỏa mãn
sup ( )
cn
j
j
dd j
W
. Ta biết rằng tốn tử Monge-Ampere là xác định tốt
trên lớp
()WF
và với hàm
()j F
kết hợp với độ đo Borel dương nó là độ
đo Monge-Ampere bị chặn trên
W
. Nếu
W
và
W
%
là các miền siêu lồi với
n
%
và
()j F
thì có thể chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa
dưới
()j F
%
%
sao cho
jj
%
trên
W
và
( ) ( )
c n c n
dd ddjj
WW
%
%
. Hàm như thế
được gọi là dưới thác triển của
j
tới
W
%
.
E.Bedford và D.Burns và sau đó là U.Cegrell, năm 1978, đã chứng minh
rằng một vài miền trơn bị chặn thỏa mãn điều kiện biên đã biết là một miền tồn
tại của một hàm đa điều hòa dưới.
El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên
song đĩa đơn vị trong
2
mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn khơng có dưới
thác triển lên tồn bộ khơng gian. Tác giả cũng chứng minh rằng, sau khi làm
yếu đi tính kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm
lồi tăng thích hợp, có thể đạt được dưới thác triển tồn cục.
Sau đó Alexander và Taylor vào năm 1984 đã tổng qt hóa kết quả này
với chứng minh đơn giản và hiệu quả hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
2
E.Bedford và B.A.Taylor, năm 1988, đã chứng minh rằng một miền bị
chặn trơn tuỳ ý trong
n
C
là miền tồn tại của hàm đa điều hòa dưới trơn.
Gần đây, các tác giả Cegrell và Zeriahi đã chứng minh rằng hàm đa điều
hòa dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn
ln có dưới thác triển đa điều hòa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn.
Ở đây chúng tơi muốn chứng minh một vài kết quả chỉ ra rằng hàm đa
điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn ln
có dưới thác triển đa điều hòa dưới tồn cục với cấp tăng lơga ở vơ cùng. Vì
thế chúng tơi chọn đề tài “Dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ
dị yếu”.
Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn học trong và ngồi
nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc
nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère.
+ Trình bày một số kết quả về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới
với kỳ dị yếu.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Trình bày lại các kết quả của U.cegrell, S.kolodziej và A.zeriahi
4. Bố cục của luận văn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
3
Nội dung luận văn gồm 44 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu.
Trong mục 2.1, nhắc lại định nghĩa cơ bản liên quan đến lớp Cegrell
()e W
các hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều địa
phương trên miền siêu lồi
n
W
. Từ đó cho đặc trưng theo ngơn ngữ dung
lượng của hàm trong lớp
()e W
.
Trong mục 2.2, trình bày các ước lượng về cỡ của tập mức con của các
hàm đa điều hòa dưới trong lớp con khác nhau của lớp
()e W
.
Trong mục 2.3 trình bày các kết quả về dưới thác triển của hàm đa điều
hồ dưới với độ đo bị chặn.
Trong mục 2.4, sử dụng kết quả trong phần 2.2 để tổng qt hóa định lý
dưới thác triển của Alexander - Taylor, từ đó suy ra rằng hàm đa điều hòa dưới
có năng lượng hữu hạn theo nghĩa của Cegrell sẽ có dưới thác triển tồn cục
với cấp tăng lơgarit kiểu logarit bé tùy ý.
Phần cuối cùng của chương này, trong mục 2.5, sử dụng kết quả gần đây
từ lý thuyết của phương trình Monge - Ampere trên đa tạp Kahler compact nhờ
tác giả Kolodziej, chứng minh hai kết quả về dưới thác triển tồn cục của hàm
đa điều hòa dưới có độ đo bị chặn đều trên miền siêu lồi nhờ hàm đa điều hòa
dưới với cấp tăng logarit trên
n
C
với độ đo Monge - Ampere tồn cục được
xác định tốt trong một vài trường hợp.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Bản luận văn được hồn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của . Nhân
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
4
dịp này tơi xin bày tỏ lòng biết ơn về sự hướng
dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong q trình học tập, nghiên cứu và
hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn,
các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Viện Tốn
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Ngun, Trường THPT cùng các đồng nghiệp đã
tạo điều kiện giúp đỡ tơi về mọi mặt trong q trình học tập và hồn thành bản
luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
5
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hồ dưới
1.1.1. Định nghĩa
Cho
W
là một tập con mở của
n
và
[ )
:,u
là một hàm nửa
liên tục trên và khơng trùng với
trên bất kỳ thành phần liên thơng nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hồ dưới nếu với mỗi
a
và
n
b
, hàm
()u a bll+a
là điều hồ dưới hoặc trùng
trên mỗi thành phần của tập
hợp
{ }
:abll
. Trong trường hợp này, ta viết
()u PSH
. ( ở
đây kí hiệu
()WPSH
là lớp hàm đa điều hồ dưới trong
W
).
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hồ dưới:
1.1.2. Mệnh đề
Nếu
, ( )uvPSH
và
uv=
hầu khắp nơi trong
W
, thì
uv
.
1.1.3. Định lý
Cho
W
là một tập con mở trong
n
. Khi đó
()i
Họ
()WPSH
là nón lồi, tức là nếu
,ab
là các số khơng âm và
, ( )uvPSH
, thì
()uv PSHab
.
()ii
Nếu
W
là liên thơng và
{ }
()
j
j
u
PSH
là dãy giảm, thì
lim ( )
j
j
uu
PSH
hoặc
u
.
()iii
Nếu
:u
, và nếu
{ }
()
j
j
u
PSH
hội tụ đều tới
u
trên
các tập con compact của
W
, thì
()u PSH
.
()iv
Giả sử
{ }
()
A
u
PSH
a
a
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a
=
là
bị chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên
*
u
là đa điều
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
6
hồ dưới trong
W
.
1.1.4. Hệ quả
Cho
W
là một tập mở trong
n
và
w
là một tập con mở thực sự khác
rỗng của
W
. Nếu
()u PSH
,
()v PSH w
, và
lim ( ) ( )
xy
v x u y
với mỗi
y w
, thì cơng thức
{ }
max ,
\
u v trong
u trong
w
w
w
=
W
xác định một hàm đa điều hồ dưới trong
W
.
1.1.5. Định lý
Cho
W
là một tập con mở của
n
.
()i
Cho
,uv
là các hàm đa điều hồ trong
W
và
0v >
. Nếu
:f
là lồi, thì
( / )v u vf
là đa điều hồ dưới trong
W
.
()ii
Cho
()u PSH
,
()v PSH
, và
0v >
trong
W
. Nếu
:f
là lồi và tăng dần, thì
( / )v u vf
là đa điều hồ dưới trong
W
.
()iii
Cho
, ( )uv PSH
,
0u
trong
W
, và
0v >
trong
W
. Nếu
[ ) [ )
: 0, 0,f
là lồi và
(0) 0f =
, thì
( / ) ( )v u v PSHf
.
1.1.6. Định lý
Cho
W
là một tập con mở của
n
và
{ }
: ( )F z v z
là một tập con đóng của
W
ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )
yz
yF
u z z F
uz
u y z F
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
7
là đa điều hồ dưới trong
W
. Nếu u là đa điều hồ và bị chặn trong
\ FW
, thì
u
là đa điều hồ trong
W
. Nếu
W
là liên thơng, thì
\ FW
cũng
liên thơng.
1.2. Tốn tử Monge-Ampère phức
Cho
u
là đa điều hồ dưới trên miền
n
. Nếu
( )
2
uC
thì
tốn tử:
( ) ( ) ( )
1,
: 4 !det
n
c c c n
jk
n
j k n
u
dd u dd u dd u n dV
zz
1444444442 444444443
,
với
dV
là yếu có thể tích trong
C
n
gọi là tốn tử Monge-Ampe. Tốn tử này
có thể xem như độ đo Radon trên
W
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
khơng gian các hàm liên tục với giá compact
0
()C W
trên
W
( )
( )
0
n
c
C dd ujj
W
W'
a
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hồ dưới bị
chặn địa phương trên
W
thì tồn tại dãy
1
n
n
uCPHS
sao cho
n
uu
và
n
c
n
dd u
hội tụ yếu tới độ đo Radon trên
W
tức là:
( )
( )
0
lim ,
n
c
n
n
dd u d Cj j m j
WW
.
Hơn nữa khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy
n
u
như trên, ta
ký hiệu:
()
cn
dd u m=
và gọi là tốn tử Monge-Ampe của
u
.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của tốn tử Monge-
Ampe, phần cuối của mục này là ngun lý so sánh được dùng trong chương 2.
1.2.1 Mệnh đề
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
8
Nếu
( )
y
,pp
C
là
( )
,pp
-dạng lớp
C
trên tập mở
n
và
T
là
( )
-dòng với
+ = - 1p q n
thì
( ) ( )
y y y y
n
c c c c
dd T dd T d d T d T
.
Chứng minh. Ta có:
( )
y y y y y y
c c c c c c
d d T d T d d T dd T dd T d dT
Nhưng
+ + =1p q n
nên
( ) ( )
( )
( )
y y y
y y y y
y y y
c
c
d d T i T T
i T T T T
i T T d dT
.
Do đó
( )
y y y y
c c c c
d d T d T dd T dd T
.
Từ mệnh đề trên và dùng cơng thức Stokes đối với dòng ta có: nếu
T
là
( )
-dòng trên tập mở
n
và
( )
( )
y
- - - -
0, 1, 1n q n q
C
là
( )
- - - -1, 1n q n q
-dạng lớp
C
với hệ số trong
D W()
thì
( )
y y y y
W W W
c c c c
dd T dd T d d T d T
yy
0
cc
d T d T
.
Vậy
y y y y
WW
,,
c c c c
dd T dd T dd T T dd
. (1.1)
Giả sử
T
là dòng dương có bậc
( )
trên tập mở
n
và
( )
()
loc
uLPSH
. Khi đó
,
2
q
JK J K
JK
i
T T dz dz
với
JK
T
là các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
9
độ đo phức trên
W
. Vậy từ
( )
()
loc
uLPSH
nên
u
là hàm khả tích đối
với các
JK
T
. Do đó
,
2
q
JK J K
JK
i
uT uT dz dz
là
( )
-dòng với hệ số
độ đo. Ta đưa ra định nghĩa sau:
( )
cc
dd u T dd uT
.
Từ (1.1) ta có
( )
y y y y
W
, , ,
c c c c
dd u T dd u T dd uT uT dd
y
W
c
uT dd
,
đúng cho mọi
( )
( )
y
- - - -
0, 1, 1n q n q
C
.
1.2.2. Mệnh đề
Giả sử
{ }
m
j
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
n
hội tụ yếu tới
độ đo Radon
m
. Khi đó
a) Nếu
G
là tập mở thì
( ) ( )
lim inf
j
j
GGmm
.
b) Nếu
K
là tập compact thì
( ) ( )
lim sup
j
j
KKmm
.
c) Nếu
E
compact tương đối trong
W
sao cho
( )
0m E
thì
( ) ( )
lim
j
j
EEmm
=
.
Chứng minh.
a) Ta có
( ) ( )
{ }
sup :mm=G K K G
. Giả sử
KG
là tập compact.
Lấy
( )
0
j CG
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim inf
jj
jj
KGm m j m j m
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
10
Từ đó
( ) ( )
lim inf
j
j
GGmm
.
b) Ta có
( ) ( )
{ }
0
: , ,V= VK inf V V K Vmm
. Giả sử
V
là một
lân cận mở của
K
và
( )
0
j CV
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim sup
jj
jj
VKm m j m j m
.
Từ đó
( ) ( )
lim sup
j
j
KKmm
.
c) Viết
E IntE E
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
int lim inf int lim inf
jj
jj
E E E Em m m m
.
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
lim sup lim sup
jj
jj
EEEm m m
.
Từ đó
( ) ( )
lim sup
j
j
EEmm
.
Vậy
( ) ( )
limmm
=
j
j
EE
.
W
1.2.3. Mệnh đề
Giả sử
n
là miền bị chặn và
( )
, ( )
loc
u v LPSH
sao cho
,0uv
trên
W
và
( )
lim 0
z
uz
=
. Giả sử
T
là
( )
1, 1 nn
-dòng dương,
đóng trên
W
. Khi đó:
cc
vdd u T udd v T
WW
.
Đặc biệt, nếu
( )
lim 0
=
z
vz
thì
WW
cc
vdd u T udd v T
.
Chứng minh. Chú ý rằng
c
dd u T
và
c
dd v T
là các độ đo Borel
dương trên
W
. Với
0e >
, đặt
{ }
,
e
e=-u max u
. Khi đó
0
e
<u
và là hàm đa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
11
điều hòa dưới trên
W
và
e
u
tăng tới 0 khi
e
giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn
điệu Lebesgue ta có:
( )
0
lim
e
e
WW
cc
udd v T u u dd v T
và
( ) ( )
1
0
lim
ee
e
c
WW
cc
j
u u dd v T u u dd v T
.
Do
( )
lim 0
e
=
z
uz
nên
{ }
0
e
uu
là tập compact tương đối trong
W
.
Lấy miền
'
WW
sao cho
{ }
0
e
uu
'
WW
. Khi đó với
j
đủ lớn,
( ) ( )
10e
c
j
u u C
và do giả thiết
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng dương, đóng
trên
W
nên
c
dd u T
là
( , )nn -
dòng dương, đóng với mọi
( ) ( )
loc
uL
PSH
, suy ra
( ) ( )
( )
1/ 1/
cc
jj
u u dd v T vdd u u T
ee
cc
WW
( )
( )
( )
( )
''
1/ 1/
\
cc
jj
vdd u u T vdd u u T
ee
cc
W W W
( )
( )
( )
''
1/ 1/
cc
jj
vdd u T vdd u T
e
cc
WW
( )
'
1/
c
j
vdd u Tc
W
.
Nhưng
( ) ( )
1/ 1/
cc
jj
dd u T dd u Tcc
hội tụ yếu tới
c
dd u T
. Khi
đó
( )
1/
c
j
vdd u Tc
hội tụ yếu tới
c
vdd u T
. Vậy
( )
( )
' ' '
1/
lim
c c c
j
j
vdd u T inf vdd u T u u dd v T
e
c
W W W
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
12
Từ đó cho
0e ]
ta được
'
W
W
cc
vdd u T vdd u T
.
Cho
WWZ
ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
1.2.4. Định lý
Giả sử
n
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L
PSH
sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
. Khi đó
{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
<<
. (1.2)
Chứng minh. Trước hết ta giải thích điều kiện
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
.
Điều này có nghĩa là với mọi
0e >
tồn tại
K W
sao cho
\zK
thì
( ) ( )u z v z e
. Hơn nữa khi thay
u
bởi
, >0u dd+
, thì
{ } { }
u v u vd
khi
0d
. Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên
uvd+<
thì cho
0d
suy ra (1.2) đúng trên
{ }
uv<
. Vì vậy có thể giả sử
lim inf ( ( ) ( )) 0
z
u z v z d
. Vậy
{ }
uv<W
.
)a
Giả sử
,uv
là các hàm liên tục. Khi đó
{ }
uv
W = <
là tập mở,
,uv
liên tục trên
'W
và
uv=
trên
. Với
0e >
, đặt
{ }
max ,u u v
e
e=+
.
Từ giả thiết
lim inf( ( ) ( ))
z
u z v z d
nên
( ) ( )u z v z de- > -
hay
( ) ( ) ( )u z v z v zed
với
z
gần biên
. Vậy
()u u z
e
e=+
gần biên
và
uv
e
trên
W
. Theo cơng thức Stokes
''
( ) ( )
c n c n
dd u dd u
e
WW
=
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
13
hay
{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd u dd u
e
<<
=
.
Do
uv
e
nên
( ) ( )
c n c n
dd u dd v
e
. Vậy
{ } { } { }
0
( ) lim inf ( ) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
e
e
< < <
.
)b
Giả sử
,uv
tùy ý và
w
là miền sao cho
{ }
/2uvdw
.
Tồn tại hai dãy
j
u
và
k
v
các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của
w
giảm tới
u
và
v
sao cho
jk
uv
trên
w
với mọi
,ik
. Có thể coi
1 , 0
jk
uv
. Lấy
0e >
và giả sử
G
là tập mở sao cho
( )
,
n
CG eW<
,
,uv
là các hàm liên tục trên
\ GW
. Theo Định lí Tietze tồn tại hàm
j
liên tục
trên
W
sao cho
v j=
trên
\FG=W
. Ta có
{ }
{ }
( ) lim ( )
j
c n c n
j
uv
uv
dd v dd v
<
<
=
.
Nhưng
{ } { }
jj
u v u Gj
và vì
{ }
j
u j<
là tập mở nên
{ } { } { }
( ) ( ) ( ) lim ( )
j j j
c n c n c n c n
k
k
G
u v u u v
dd v dd v dd v dd v
j
e
< < <
,
bởi
( )
,
n
CG eW<
và
()
cn
k
dd v
hội tụ yếu tới
()
cn
dd v
.
Từ
{ } { }
jj
u u v Gj
và
{ } { }
j j k
u v u v
suy ra
{ } { } { }
( ) ( ) ( ) ( )
j j j k
c n c n c n c n
k k k k
G
u u v u v
dd v dd v dd v dd v
j
e
< < <
.
Áp dụng
)a
vào các hàm liên tục
j
u
và
k
v
ta thu được
{ } { }
( ) ( )
j k j k
c n c n
kj
u v u v
dd v dd u
<<
=
.
Do đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
14
{ }
{ }{ }
( ) lim inf lim inf ( ) 2 lim sup ( ) 2
j j j
c n c n c n
jj
j k j
uv
u v u v
dd v dd u dd uee
<
.
Hơn nữa
{ } { }
( ) ( )
jj
c n c n
jj
u v u v F
dd u dd u e
và từ
{ }
u v F
là tập compact và
{ }
{ }
j
u v u v
nên
{ }
{ } { }
lim sup ( ) ( ) ( )
j
c n c n c n
j
j
u v F u v
u v F
dd u dd u dd u
.
Do
0e >
tùy ý nên ta đi đến
{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
.
Từ đó với mọi
0h >
ta có
{ } { } { }
( ) ( ( )) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
h h h
h
.
Nhưng
{ } { }
u v u vh
và
{ } { }
u v u vh
khi
0h
.
Do đó
{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
<<
.
W
1.2.5. Hệ quả
Giả sử
n
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L
PSH
sao cho
uv
và
lim ( ) lim ( ) 0
zz
u z v z
==
. Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
c n c n
dd v dd u
WW
.
Chứng minh. Từ ngun lí cực đại suy ra
0u <
trên
W
(nếu ngược lại
thì
0uv==
và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu
1l >
thì
uul <
trên
W
.
Vậy
uvl <
trên
W
. Từ đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
15
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
c n c n n c n
dd v dd u dd ull
W W W
.
Cho
1l
ta được điều cần chứng minh.
W
1.2.6. Hệ quả
(Ngun lý so sánh). Giả sử
n
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L
PSH
sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
. Giả sử
( ) ( )
c n c n
dd u dd v
trên
W
. Khi đó
uv
trên
W
.
Chứng minh. Đặt
2
()z z My =-
, với
M
được chọn đủ lớn sao cho
0y <
trên
W
. Giả sử
{ }
uv<
khác rỗng. Khi đó có
0e >
sao cho
{ }
uvey<+
khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí
1.2.4 ta có
{ } { }
( ) ( ( ))
c n c n
u v u v
dd u dd v
ey ey
ey
< + < +
{ } { }
( ) ( )
c n n c n
u v u v
dd v dd
ey ey
ey
< + < +
{ }
{ }
( )
( ) 4 !
c n n n
n
uv
dd v n u v
ey
e l ey
<+
{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
ey ey< + < +
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy
uv
trên
W
.
W
1.2.7. Hệ quả
Giả sử
n
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L
PSH
sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
-=
và
( ) ( )
c n c n
dd u dd v=
. Khi đó
uv=
.
1.2.8. Hệ quả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
16
Giả sử
n
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L
PSH
sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
và
{ }
( ) 0
cn
uv
dd u
<
=
. Khi đó
uv
trên
W
.
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.2.6. Giả sử
{ }
uv
.
Khi đó có
0e >
sao cho
{ }
uvey
và do đó có độ đo Lebesgue
dương. Chú ý rằng do
0y <
nên
{ } { }
u v u vey
. Khi đó như chứng
minh của Hệ quả 1.2.6 ta có:
{ } { }
0 ( ) ( )
c n c n
u v u v
dd u dd u
ey< < +
{ }
{ }
( )
( ) 4 ! 0
c n n n
n
uv
dd v n u v
ey
e l ey
<+
và ta gặp mâu thuẫn.
W
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
17
Chương 2
DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA
HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU
2.1. Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương
Trước tiên ta nhắc lại một vài định nghĩa trong [Ce 2], [Ce 3]. Giả sử
n
W
là miền siêu lồi,
()
-
WPSH
là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm
trên
W
. Ký hiệu
0
( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0, ( )
cn
z
L z dd
x
e j j j
W
PSH
{
0
W
( ) ( ) : , W , W ,
( ), , sup ( )
z
zz
cn
j j j
j
zz
dd
ej
j e j j
-
W
PSH
]
0
( ) ( ) : ( ) ;sup ( ) ( ) , 1
p c n
p j j j
j
dd pe j e j j j
W
PSH ]
(2.1)
Nếu dãy
()
j
j
sup ( )
cn
j
j
dd
W
, thì ta
nói rằng
()
p
j F
.
( )
0
( ) : { } ( ), & sup ( )
cn
j j j
j
ddj j e j j
W
F[ PSH ]
( )
{
( ) :
a
j FF
độ đo
()
cn
dd j
triệt tiêu trên mọi tập con đa cực
của
}
W
.
Theo Cegrell [Ce2] ta có
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
pp
ee F F F
, với
mọi
1p
. Điều đó cũng được chứng minh trong ([Ce 2], [Ce 3]) rằng tốn tử
Monge - Ampere được xác định tốt đối với hàm
()j F.
như là giới hạn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
18
yếu
*
của dãy các các độ đo
()
cn
j
dd j
, trong đó
()
j
j
là dãy giảm các hàm đa
điều hồ dưới thuộc lớp
0
()e W
hội tụ đến
j
và thoả mãn các điều kiện đòi hỏi
trong định nghĩa.
2.1.1. Bổ đề
Cho
()
p
je
, nếu
0p >
và
()j F
khi
0p =
. Khi đó
p -
năng lượng đa phức của
j
được xác định bởi cơng thức
( ) ( ) ( )
p c n
p
e ddj j j
W
=-
(2.2)
là hữu hạn và tồn tại dãy
()
j
j
các hàm đa điều hòa dưới trong
0
()e W
sao
cho
j
jj]
và
lim ( ) ( ) ( ) ( )
p c n p c n
jj
j
dd ddj j j j
WW
- = -
.
Dãy như thế được gọi là dãy
p -
chấp nhận được giảm đến .
Chứng minh. Nhận xét rằng đối với dãy
( )
j
tuỳ ý các hàm đa điều hồ
dưới trong
0
e
, giảm đến , với điều kiện (2.1), dãy
()
p
j
-
là dãy tăng các hàm
nửa liên tục dưới trên
W
hội tụ đến
()
p
-
và dãy các độ đo
( )
n
c
j
dd
hội tụ yếu
đến
()
cn
dd
trên
W
. Từ đó suy ra
( ) ( ) lim inf ( ) ( )
p c n p c n
j j j
dd dd
WW
,
()
p
e
. Với
0p =
, kết quả của bổ đề suy ra từ định
nghĩa. Bây giờ cố định
0p >
. Khi đó, vì đối với hàm
p
e
đã cho độ đo
()
cn
dd
triệt tiêu trên các tập đa cực, nên từ Định lý phân tích của Cegrell
[Ce2] suy ra rằng tồn tại
00
()ye
và
1
0
0 ( ;( ) )
cn
f L dd y
sao cho
0
( ) ( )
c n c n
dd f dd y=
. Theo Định lý Kolodziej (xem [Ko], [ce2]), với số ngun
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
19
1j
tùy ý tồn tại
0
()
j
e
sao cho
0
( ) min{ , }.( )
c n n
j
dd f j ddy=
. Bây giờ
theo Ngun lý so sánh , ta thấy dãy
()
j
giảm đến hàm đa điều hồ dưới
y
trên
W
sao cho
()
p
ye
và
( ) ( )
c n c n
dd ddy =
. Theo Ngun lý so sánh suy
ra
y=
trên
W
. Bây giờ theo Định lý hội tụ đơn điệu ta được
0
( ) ( ) lim ( ) min( , )( ) lim ( ) ( )
p
p c n c p c n
j j j
jj
dd f j dd ddy
W W W
- = - = -
.
Bổ đề được chứng minh .
Bây giờ chúng ta mơ tả đặc trưng định lượng của lớp
()e W
theo nghĩa
dung lượng đã được giới thiệu bởi Bedford (xem [Be]).
Cho
()j
-
PSH
và
K
là tập hợp Borel, ta định nghĩa
“
j -
dung lượng” dương như sau [Be]:
( ; ) : sup{ ( ) ; ( ) ( ), 0}
cn
K
C K dd Ly y y
PSH
sup{ ( );
K
uuj
-
PSH
%
hầu khắp nơi trên
K
}, (2.3)
trong đó
u
hầu khắp nơi trên
K
nghĩa là ngồi một tập hợp con đa
cực của
K
. Khi đó ta nhận được đặc trưng sau của các hàm thuộc lớp
()e W
.
2.1.2. Mệnh đề
Giả sử
()j
-
PSH
. Khi đó
()je
khi và chỉ khi với tập compact tùy
ý
K
ta có
()CK
j
. Hơn nữa, nếu
()je
thì với tập Borel
K
,
()
K
j F
%
,
K
jj=
%
hầu khắp nơi trên
K
và
0
( ) ( ) ( ; )
cn
K
C K dd C K
jj
j
W
%
. (2.4)
Chứng minh. Từ định nghĩa của
K
j
%
, suy ra
K
j
%
là đa điều hồ dưới trên
W
, cực đại trên
\ KW
và thoả mãn
0
K
jj
%
trên
W
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
20
Bây giờ giả sử
()e
([Ce2], [Ce3]) suy ra
sup{ , } ( )
KK
j j j e
%%
( ) ( )
c n c n
KK
K
dd ddjj
W
%%
.
Trước tiên ta chứng minh
( )
K
j F
%
. Thật vậy, lấy dãy giảm
0
()
jj
j
thuộc
0
()e W
hội tụ đến
j
trên lân cận của
K
%
sao cho
sup ( )
cn
jj
dd j
W
j N
định nghĩa hàm
j
j
%
bởi (2.3) với
j
được thay thế bởi
j
j
. Khi đó
()
j
j
%
là dãy giảm các hàm đa điều hồ dưới thuộc lớp
0
()e W
sao cho
jj
jj
%
trên
W
và trên
jj
jj=
%
hầu khắp nơi trên K. Do đó
()
j
j
%
hội tụ đến hàm
đa điều hồ dưới
y
sao cho
K
jy
%
trên
W
và
yj=
hầu khắp nơi trên K. Như
vậy
K
yj=
%
. Vì
jj
jj
%
trên
W
và các hàm này thuộc
0
(e W
), nên suy ra:
( ) ( )
c n c n
jj
dd d djj
WW
%
với
0j
tùy ý.
Như vậy dãy
0
()
jj
j
%
giảm đến
K
j
%
và
sup ( ) sup ( )
c n c n
j j j j
dd ddjj
WW
%
.
Từ đó suy ra
( )
K
j F
%
. Khi đó vì
j
jj
%
, nên suy ra
( ) ( ) ( )
c n c n
jj
K
dd dd C K
j
jj
W
%%
.
Theo Cegrell (xem [Ce3]) dãy các độ đo
()
c
j
dd j
%
hội tụ đến độ đo
()
cn
dd j
, do đó
( ) lim inf ( ) ( )
c n c n
K j j
dd dd C K
j
jj
WW
%%
.
Bất đẳng thức thứ hai trong (2.4) được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN
21
Bây giờ giả sử
0
()ye
được chọn sao cho
jy
trên
W
và đặt
{ }
sup ,
jj
y y j=
trên
W
jj
jy
jj
jy
%
hầu khắp nơi trên K.
Vì các hàm thuộc
( )
0
e W
có độ đo triệt tiêu trên các tập đa cực, nên theo bất
đẳng thức Demailly ([De]) suy ra
{ } { }
( ) ( sup , ) ( sup , )
c n c n c n
j j j j j
KK
dd dd ddy y j y j
W
%%
( ) ( )
c n c n
jj
K
dd ddjj
W
%%
(2.5)
trong đó bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ Ngun lý so sánh đối với các
hàm trong
0
()e W
. Do đó theo Định lý hội tụ (xem [Ce 2], [Ce 3]) ta có
0
( ; ) ( )
cn
K
C K dd
j
j
W
%
.
Điều này đã chứng minh bất đẳng thức thứ nhất trong (2.4) cũng như
điều kiện cần của định lý.
Bây giờ giả sử rằng điều kiện về dung lượng
C
j
được thoả mãn. Khi đó
xét dãy giảm các hàm đa điều hồ dưới
0
( ) ( )
j
je
hội tụ đến
j
. Lấy tập con
tùy ý
K W
và định nghĩa
( )
jj
K
jj=
%%
với
j
*
N
. Khi đó
0
()
j
je
%
và
sup ( ) sup ( ) ( ; )
c n c n
j j j j
K
dd dd C K
j
jj
W
%%
.
Từ phần đầu ta biết rằng
()
j
j
%
giảm đến
K
jj=
%
hầu khắp nơi trên K. Vì
thế ta chứng minh được
( )
je
. Hơn nữa, theo Định lý hội tụ chúng ta đạt
được bất đẳng thức thứ hai trong (2.4). Mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ xét
:q RR
là hàm đơn điệu giảm sao cho
