Bài giảng học phần Điện và Từ

BÀI GIẢNG HỌC
PHẦN ĐIỆN VÀ TỪ
1
MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. TĨNH ĐIỆN HỌC
Tiết 1. Sự nhiễm điện của các vật. Hai loại điện tích………………………
Tiết 2. Điện trường………………………………………………………….
Tiết 3. Điện thế. Hiệu điện thế
Tiết 4. Điện môi trong điện trường
Tiết 5. Vật dẫn trong điện trường
Tiết 6. Hệ vật dẫn tích điện cân bằng. Tụ điện
Tiết 7. Năng lượng điện trường
Tiết 8, 9. Bài tập chương 1
CHƯƠNG 2. DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI
Tiết 10. Cường độ dòng điện và mật độ dòng
Tiết 11. Nguồn điện, định luật Ôm tổng quát. Công và công suất điện
Tiết 12. Các định luật Kiêcsốp
Tiết 13. Bài tập chương 2
CHƯƠNG 3. DÒNG ĐIỆN TRONG CÁC MÔI TRƯỜNG
Tiết 14. Thuyết electron cổ điển về kim loại và ứng dụng
Tiết 15. Các hiện tượng nhiệt điện
Tiết 16. Dòng điện trong chất điện phân
Tiết 17. Dòng điện trong chân khồng
Tiết 18. Dòng điện trong chất khí
Tiết 19. Dòng điện trong chất bán dẫn. Chất siêu dẫn
Tiết 20. Bài tập chương 3
CHƯƠNG 4. TỪ TRƯỜNG TRONG CHÂN KHÔNG
Tiết 21. Tương tác từ của dòng điện
Tiết 22. Định lí Gauss đối với từ trường trong chân không
Tiết 23. Định lí Ampère về lưu số vécto cảm ứng từ
Tiết 24. Tác dụng của từ trường lên dòng điện

Tiết 25. Công của lực từ
Tiết 26, 27. Bài tập chương 4
CHƯƠNG 5. ĐIỆN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG
Tiết 28. Từ trường cử điện tích chuyển động. Lực Lorentz
Tiết 29. Chuyển động của hạt mang điện trong từ
Tiết 30. Bài tập chương 5
CHƯƠNG 6. TỪ TÍNH CỦA CÁC CHẤT.
2
TỪ TRƯỜNG TRONG VẬT CHẤT.
Tiết 31, 32. Sự từ hóa các chất. Giả thiết Ampère. Bản chất dòng điện
phân tử hiệu ứng nghịch từ
Tiết 33. Giải thích sự từ hóa của chất thuận từ và chất nghịch từ
Tiết 34. Vécto độ từ hóa. Từ trương tổng hợp trong vật chất
Tiết 35. Sắt từ. Đặc tính của sắt từ
Tiết 36, 37. Bài tập chương 6
CHƯƠNG 7. CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Tiết 38. Hiện tượng cảm ứng điện từ
Tiết 39. Hiện tượng tự cảm
Tiết 40. Hiện hượng hỗ cảm. Một số ứng dụng của hiện tượng
Tiết 41. Dòng điện Fucô. Năng lượng từ trường
Tiết 42. Bài tập chương 7
CHƯƠNG 8. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Tiết 43. Thuyết Maxwell về điện trường xoáy
Tiết 44. Dòng điện dịch phương trình Maxwell – Ampère
Tiết 45. Trương điện từ. Hệ phương trình Maxwell
TÀI LIỆU THAM KHẢO
3
Chương 1. TĨNH ĐIỆN HỌC
Tiết 1
1.1. MỞ ĐẦU.

A. Mục tiêu:
- Hiểu về tương tác giữ các loại điện tích, điện trường, công của lực điện
trường, điện thế, thế năng của hệ điện tích điểm, vật dẫn trong trạng thái cân
bằng tĩnh điện, sự phân cực của chất điện môi, tụ điện, năng lượng điện trường.
- Giải thích được sự nhiễm điện của các vật, sự phân cực của chất điện môi,
một số tính chất đặc biệt của điện môi rắn. Biết tính điện trường của một số
trường hợp đặc biệt. Phân tích được trường hợp lưỡng cực điện đặt trong điện
trường.
B. Nội dung:
1.1.1. Hai loại điện tích.
Vào một ngày mùa đông khô ráo khi bạn cởi một chiếc áo len hoặc dạ ra
và nhìn trong bóng tối bạn sẽ thấy có những chớp sáng và nghe thấy những
tiếng nổ lách tách. Tại sao vậy?
Các hiện tượng có nguồn gốc điện và từ đã được biết đến từ thời cổ đại. Từ
thế kỷ VI trước Công nguyên Talet đã quan sát và mô tả một số hiện tượng
nhiễm điện và từ: các mẫu hổ phách được cọ xát sẽ hút các vật nhỏ, nhẹ, đá nam
châm (Fe
3
O
4
) hút các vật sắt…Thuật ngữ “điện” (tiếng Anh là electricity) bắt
nguồn từ tiếng Hy lạp “electron” có nghĩa là hổ phách. Trong vòng 21 thế kỷ
những thí nghiệm này chỉ mang tính chất giải trí. Cho đến thế kỷ XVII thì các
hiện tượng điện mới được nghiên cứu một cách khoa học. Gray (Stephen Gray)
(1666 – 1736 ) đã phát hiện ra tính dẫn điện. Du Fay (Charles – Francois DE
CISTERNAY DU FAY) (1698 – 1739 ) đã phân biệt điện âm và điện dương.
Franklin (Benjamin FRANKLIN) (1706 – 1790 ) đã đưa ra lý thuyết về các tụ
điện và chế tạo các cột thu lôi.
Có hai cách nhiễm điện cho một vật. Đó là nhiễm điện do cọ xát và nhiễm
điện do hưởng ứng. Khi đó vật nhiễm điện có mang điện tích. Các thí nghiệm đã

chứng tỏ rằng vật nhiễm điện có thể hút hoặc đẩy nhau.
4
Người ta quy ước điện tích trên thanh thuỷ tinh khi bị cọ xát vào lụa là điện
tích dương và điện tích trên thanh ebonit là điện tích âm. Như vậy những vật
tích điện cùng dấu thì đẩy nhau và những vật tích điện trái dấu thì hút nhau.
1.1.2. Chất dẫn điện và chất cách điện:
Về phương diện điện các chất được chia thành hai loại: Chất dẫn điện và chất
cách điện.
Chất dẫn điện là chất trong đó điện tích có thể di chuyển dễ dàng như kim
loại, nước… Các vật làm từ các chất dẫn điện được gọi là vật dẫn. Vật dẫn cũng
được chia thành hai loại: vật dẫn loại 1 và vật dẫn loại 2. Vật dẫn loại 1 là vật
dẫn mà sự dịch chuyển điện tích bên trong nó không gây ra sự biến đổi về hoá
học cũng như sự dịch chuyển của vật chất bên trong nó, ví dụ như dây kim loại.
Ngược lại vật dẫn loại 2 thì sự dịch chuyển của điện tích sẽ gây ra phản ứng hoá
học và sự giải phóng ra một số thành phần vật chất tại nơi tiếp xúc ví dụ như
dung dịch điện phân: dung dịch muối, bazơ…
Chất cách điện hay điện môi là chất mà các điện tích không thể di chuyển
tự do trong đó, ví dụ như thuỷ tinh, nhựa, nước tinh khiết…
Tuy nhiên việc phân chia ra chất dẫn điện và chất cách điện chỉ mang tính
chất tương đối vì một vật sẽ ít nhiều dẫn điện, và vật được coi là cách điện khi
lượng điện tích di chuyển được trong vật nhỏ hơn nhiều so với lượng điện tích
5
1
F
r
2
F
r
Hình a
2

F
r
1
F
r
Hình b
Hình 1.1. Hai thanh thuỷ tinh cùng cọ xát vào lụa đưa lại gần nhau
thì đẩy nhau (hình a). Đưa thanh nhựa (ebonit)sau khi cọ xát vào dạ lại
gần thanh thuỷ tinh thì chúng hút nhau (hình b)
truyền cho vật. Các chất bán dẫn là trung gian giữa chất dẫn điện và chất cách
điện.
Chất siêu dẫn là các chất mà trong đó không có sự cản trở nào đối với sự
dịch chuyển của điện tích qua chúng.
1.1.3. Nhiễm điện do hưởng ứng
Khi đưa một vật nhiễm điện lại gần quả cầu kim loại của điện nghiệm thì
thấy rằng hai lá thép của điện nghiệm xoè ra. Điều này chứng tỏ rằng trên quả
cầu kim loại đó cũng xuất hiện các điện tích. Hiện tượng này được gọi là hiện
tượng nhiễm điện do hưởng ứng (hay điện tích cảm ứng). Để khảo sát chi tiết
hơn hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (hiện tượng điện hưởng) người ta dùng một
vật dẫn kim loại hình trụ gồm hai nửa A, B đặt trên một đế cách điện. Sau đó
đưa lại gần đầu A của vật một quả cầu C tích điện dương, nhờ điện nghiệm ta
xác định được hai nửa A, B đều tích điện. Dùng một thanh thuỷ tinh đã nhiễm
điện do cọ xát để thử thì thấy rằng đầu A tích điện âm và đầu B tích điện dương
cùng dấu với điện tích của quả cầu C. Và khi đưa quả cầu C tách xa vật dẫn thì
điện tích hưởng ứng cũng bị mất đi.
1.2. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC ĐIỆN TÍCH. ĐỊNH LUẬT
COULOMB. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐIỆN TÍCH. THUYẾT
ELECTRON
1.2.1. Định luật Coulomb trong chân không
Năm 1785 nhà vật lý người Pháp Coulomb trên cơ sở khái quát các số liệu

thí nghiệm đã thiết lập được quy luật tương tác giữa các hạt tích điện (điện tích).
Bằng thực nghiệm ông đã xác định được lực tương tác giữa hai điện tích điểm
cô lập, đứng yên tương đối với nhau. Trong đó điện tích điểm với ý nghĩa là vật
mang điện tích có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng.
Định luật Coulomb trong chân không được phát biểu như sau:Lực tương
tác giữa hai điện tích điểm, đứng yên tương đối với nhau, tỉ lệ với tích độ lớn
của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Lực
6
tương tác có phương nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, là lực đẩy nếu hai
điện tích cùng dấu, và là lực hút nếu hai điện tích trái dấu.
1 2
12 21
2
q q
F F F k
r
= = =
(1.1)
Và dưới dạng vec tơ:

1 2
12 12
3
12
q q
F k r
r
=
r
r

(1.2)
Trong đó k là hằng số tĩnh điện phụ thuộc vào cách chọn đơn vị của các đại
lượng, q
1
, q
2
là các giá trị đại số. Nếu hai điện tích cùng dấu thì
12
F
r
cùng chiều
với
12
r
r
và là lực đẩy, ngược lại nếu hai điện tích trái dấu thì
12
F
r
ngược chiều với
12
r
r
và là lực hút. Trong cả hai trường hợp thì lực tương tác đều là lực xuyên tâm.
Lực này gọi là lực Coulomb.
Trong hệ SI, biểu thức của định luật Coulomb có dạng:

1 2
2
0

1
4
q q
F
r
πε
=
(1.3)
Và dạng vec tơ:
1 2
12
12
2
0 12 12
1
4
q q
r
F
r r
πε
=
r
r
(1.4)
Trong đó
2
12
0
2

8,86.10
.
C
N m
ε
−
=
gọi là hằng số điện.
1.2.2. Định luật coulomb trong môi trường.
Thí nghiệm đã chứng tỏ rằng lực tương tác tĩnh điện giữa các điện tích đặt
trong môi trường vật chất (trong nước, trong dầu hoả chẳng hạn) nhỏ đi ε so với
lực tương tác điện giữa chúng khi đặt trong chân không. ε là một đại lượng
không có thứ nguyên, lớn hơn 1, đặc trưng cho tính chất điện của môi trường và
được gọi là hằng số điện môi (hay độ thẩm điện môi) của môi trường. Như vậy
biểu thức của định luật Coulomb trong môi trường có dạng:
1 2
2
0
1
4
q q
F
r
πεε
=
(1.5)
1 2 12
12
2
0 12 12

1
4
q q r
F
r r
πεε
=
r
r
(1.6)
7
Các công thức (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) có thể sử dụng để tính lực tương tác
giữa hai quả cầu tích điện đều (mật độ điện tích có giá trị như nhau tại mọi điểm
trên vật).
Ý nghĩa của định luật Coulomb:
Định luật Coulomb có ý nghĩa rất quan trọng. Thứ nhất, định luật Coulomb
cho thấy rằng lực tương tác điện lên một điện tích là đại lượng cộng tính có
nghĩa là nếu hệ có ba điện tích thì sự có mặt của điện tích thứ ba không làm thay
đổi lực tương tác giữa hai điện tích kia. Do vậy có thể dùng định luật Coulomb
để tìm lực tương tác của tất cả các điện tích khác lên điện tích đó.
1 2 3
1

n
n i
i
F F F F F F
=
= + + + + =
∑

r r r r r r
Ý nghĩa thứ hai là lực tương tác tĩnh điện tỉ lệ nghịch với bình phương
khoảng cách giữa chúng. Điều này gần như là một sự trùng hợp với định luật
vạn vật hấp dẫn của Newton đã tìm ra trước đó. Chính vì vậy một thời gian dài
sau khi Coulomb tìm ra định luật này người ta đã cố gắng chứng minh xem định
luật đó có đúng hay không và nếu như đúng thì nó sẽ nghiệm đúng ở khoảng
cách bằng bao nhiêu. Nếu xem rằng lực Coulomb tỉ lệ với
2
1
r
δ
+
thì năm 1873
Maxwell đã tìm ra bằng thực nghiệm rằng
5
10
δ
−
<
; Năm 1936 Plimpton và
Lawton đã tìm được
9
2.10
δ
−
<
và năm 1971 Williams, Faller và Hill đã tìm thấy
16
3.10
δ

−
<
. Ở kích thước bằng khoảng cách hạt nhân (
13
10 cm
−
;
) định luật
Coulomb vẫn nghiệm đúng, tuy nhiên ở kích thước nhỏ hơn 10
-14
cm thì khoa
học hiện đại chưa đủ bằng chứng để chứng minh lực Coulomb vẫn giữ nguyên
giá trị. Còn ở những khoảng cách lớn thì người ta cho rằng định luật Coulomb
vẫn đúng.
1.2.3. Định luật bảo toàn điện tích
Nếu cọ xát một thanh thuỷ tinh vào lụa sẽ làm xuất hiện điện tích dương
trên thanh, và đo đạc cho thấy một điện tích âm có cùng độ lớn xuất hiện trên
lụa. . Điều này chứng tỏ rằng trong mọi vật đều tồn tại điện tích âm và điện tích
8
dương. Ở điều kiện bình thường thì số điện tích âm bằng số điện tích dương nên
vật trung hoà về điện. Các quá trình nhiễm điện đều là quá trình tách các điện
tích âm và các điện tích dương và phân bố lại chúng. Những vật nào (hay phần
nào của vật) thừa điện tích dương thì vật (hoặc phần nào của vật) nhiễm điện
dương; Những vật nào (hay phần nào của vật)thừa điện tích âm thì vật (hoặc
phần nào của vật) nhiễm điện âm; Tổng các điện tích dương và âm toàn phần là
không đổi mà nó chỉ phân bố lại. Đó chính là nội dung của định luật bảo toàn
điện tích: Đối với một hệ cô lập thì tổng đại số điện tích của hệ là đại lượng
không đổi:
1
const

n
i
i
q
=
=
∑
. Định luật bảo toàn điện tích là một trong những định
luật chính xác nhất của vật lý và có tính chất tuyệt đối đúng.
1.2.4. Thuyết electron
Vào thời của Benjamin Franklin, điện tích được xem như một chất lưu liên
tục, một ý tưởng hữu ích cho nhiều mục đích.Tuy nhiên khoa học ngày nay đã
chứng minh rằng vật chất được cấu thành từ những nguyên tử và phân tử; vật
chất là gián đoạn. Cấu tạo của một nguyên tử gồm có hạt nhân mang điện tích
dương và mang hầu hết khối lượng của nguyên tử, các electron chuyển động
xung quanh hạt nhân. Điện tích của hạt nhân có độ lớn bằng giá trị tuyệt đối của
tổng các điện tích âm của các electron trong nguyên tử. Ở điều kiện bình thường
nguyên tử trung hoà về điện tức là tổng điện tích âm và điện tích dương trong
nguyên tử bằng không. Nếu nguyên tử mất đi một vài electron thì nó sẽ mang
điện dương và trở thành ion dương, nếu nguyên tử nhận thêm một vài electron
nó sẽ mang điện tích âm và trở thành ion âm. Thuyết giải thích các tính chất
điện khác nhau dựa trên việc nghiên cứu electron và chuyển động của chúng gọi
là thuyết electron.
Năm 1870 khi nghiên cứu tia âm cực trong ống phóng điện, Crookers nhà
vật lý người Anh đã đi đến kết luận: điện tích được cấu tạo từ các “hạt nguyên
tố”, hạt điện tích âm bé nhất gọi là electron. Năm 1909, Millikan, nhà vật lí Mỹ
cũng đã chứng minh được rằng điện tích có cấu tạo gián đoạn, và ông cũng đã
9
xác định được điện tích của mỗi electron là
19

(1,6 0,001)10 .e C
−
− = − ±
Điện tích của
electron được gọi là điện tích nguyên tố. Khối lượng tĩnh của electron là
m
e
=9,1.10
-31
kg.
Như vậy điện tích q của một vật mang điện bất kì cũng là một số nguyên
lần điện tích nguyên tố:
q ne=
. Điều này có nghĩa là điện tích của một vật là
một giá trị gián đoạn, rời rạc. Vì lí do này người ta nói rằng điện tích bị lượng tử
hoá.
Tiết 2
1.3. ĐIỆN TRƯỜNG
1.3.1. Khái niệm điện trường. Vectơ cường độ điện trường.
a. Khái niệm điện trường
Sự tương tác giữa các điện tích có bị ảnh hưởng bởi môi trường xung quanh
điện tích đó hay không? Để giải thích về sự tương tác giữa hai điện tích trong
quá trình phát triển của vật lý học có tồn tại hai thuyết đối lập nhau. Thuyết thứ
nhất là thuyết tương tác xa có nghĩa là nếu như có một điện tích q
1
thì khi ta đặt
điện tích q
2
cách điện tích q
1

một khoảng r thì lực tác dụng từ điện tích q
1
sẽ
được truyền ngay lập tức sang điện tích q
2
, nói cách khác thì vận tốc truyền
tương tác từ q
1
đến q
2
là vô hạn. Các thí nghiệm thực tế đã cho thấy sự không
phù hợp với thực nghiệm của thuyết tương tác xa. Thuyết thứ hai là Thuyết
tương tác gần, thuyết này cho rằng bao quanh điện tích q
1
có tồn tại một môi
10
trường vật chất đặc biệt và khi có điện tích q
2
khác đặt cách điện tích q
1
một
khoảng r thì có nghĩa là q
2
được đặt vào trong điện trường do q
1
gây ra, và lực
Coulomb chính là lực do điện trường gây ra đối với điện tích q
2
.Điện trường lan
truyền trong không gian với vận tốc rất lớn, bằng vận tốc ánh sáng Vật lý học

hiện đại đã chứng tỏ ràng trong không gian bao quanh điện tích tồn tại một dạng
vật chất được gọi là điện trường. Không giống như trường nhiệt độ và trường áp
suất là những trường vô hướng, điện trường là trường vec tơ nghĩa là nó gồm
một sự phân bố của các vec tơ tại mỗi điểm trong miền bao quanh vật tích điện.
Một tính chất đặc trưng của trường điện từ là nó tác dụng lực điện lên mọi điện
tích đặt trong nó. Trong phần này ta xét về trường của điện tích đứng yên
(trường tĩnh điện).
b. Vectơ cường độ điện trường.
Theo nguyên tắc, ta xác định điện trường bằng cách đặt một điện tích
dương q
0
được gọi là điện tích thử, ở một số điểm gần vật tích điện sau đó ta đo
lực tĩnh điện
F
r
tác dụng lên điện tích thử. Thực nghiệm chứng tỏ rằng
0
F
q
r
không
phụ thuộc vào điện tích thử q
0
mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điện tích thử trong
điện trường.
Do đó người ta có thể sử dụng vec tơ:
0
F
E
q

=
r
r
(1.7)
để đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực tại điểm đang
xét, vec tơ này được gọi là vec tơ cường độ điện trường.
Trong biểu thức (1.7) nếu ta đặt q
0
=1 thì
E F=
r r
. Có nghĩa là:Vectơ cường
độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vectơ có trị số bằng lực tác dụng
của điện trường lên một đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó. Trong hệ SI đơn
vị của cường độ điện trường là V/m.
c. Lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường
Theo định nghĩa của vectơ cường độ điện trường , nếu biết cường độ điện
trường
E
r
thì có thể xác định được lực điện
F
r
tác dụng lên điện tích q đặt tại
11
q>0
E
r
q<0
E

r
Hình 1.2. Vectơ cường độ điện
trường của điện tích điểm
một điểm trong điện trường đó, với
F qE=
r r
. Trong đó, nếu q > 0 thì lực tác dụng
cùng chiều với cường độ điện trường, và ngược lại nếu q < 0 thì lực tác dụng sẽ
ngược chiều với cường độ điện trường.
d. Vectơ cường độ điện trường của một điện tích điểm
Để tìm điện trường của một điện tích điểm (hoặc hạt tích điện) ta đặt một
điện tích thử dương q
0
ở một điểm cách điện tích điểm một khoảng r. Từ định
luật Coulomb ta có lực tác dụng lên điện tích q
0
là:
0
2
0
1
4
q q
r
F
r r
πεε
=
r
r

Trong đó
r
r
là bán kính vectơ hướng từ điện tích q tới điện tích q
0
,
ε
là hằng
số điện môi của môi trường quanh điện tích. Do vậy, cường độ điện trường do
điện tích điểm q gây ra quanh nó là:

2
0 0
1
4
F q r
E
q r r
πεε
= =
r
r
r
(1.8)
Như vậy vectơ cường độ điện trường do một điện tích điểm q gây ra cách
nó một khoảng r là một vectơ có gốc tại điểm đó và có độ lớn :

2
0
1

4
q
E
r
πεε
=
Vectơ cường độ điện trường có phương là đường thẳng nối điện tích với
điểm đang xét, và chiều hướng ra xa điện tích nếu q>0 và chiều hướng vào gần
điện tích nếu q < 0.
Kết quả trên cũng đúng cho cả vật hình cầu
mang điện, khi đó r là khoảng cách từ tâm của
vật đến điểm đang xét ở ngoài vật.
Khi nghiên cứu điện trường trong điện môi
người ta còn sử dụng đại lượng vectơ cảm ứng
điện
D
r
. Trong trường hợp điện môi đồng tính
người ta định nghĩa:
0
D E
εε
=
r r
. Do vậy vectơ
cảm ứng điện do điện tích điểm gây ra là:
12

2
4

q r
D
r r
π
=
r
r
(1.9)
Trong hệ SI đơn vị của cảm ứng điện là C/m
2
1.3.2. Vectơ cường độ điện trường do hệ điện tích điểm gây ra
a. Nguyên lí chồng chất điện trường
Trong trường hợp hệ có nhiều điện tích điểm q
1
, q
2
, …q
n
gây ra điện trường
thì lực điện tổng hợp do hệ điện tích tác dụng lên điện tích thử q
0
đặt trong điện
trường của hệ bằng:

1 2 3
1

n
n i
i

F F F F F F
=
= + + + + =
∑
r r r r r r
(1.10)
Và do đó, cường độ điện trường tại vị trí của điện tích thử sẽ là:

3
1 2
1 1
0 0 0 0 0 0

n n
n i
i
i i
F F F
F FF
E E
q q q q q q
= =
= = + + + + = =
∑ ∑
r r r
r rr
r r
(1.11)
Điện trường gây ra bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng các vectơ cường
độ điện trường thành phần gây ra bởi từng điện tích điểm.

b. Điện trường gây ra bởi vật mang điện
Để xác định điện trường do vật có hình dạng bất kì gây ra ta có thể sử dụng
nguyên lí chồng chất điện trường. Ta chia vật mang điện thành các phần nhỏ
mang điện tích dq sao cho mỗi phần đó được coi là một điện tích điểm, và do đó
vật mang điện sẽ được coi như một hệ điện tích.Gọi
r
r
là bán kính vectơ hướng
từ điện tích dq đến vị trí M cách nó một khoảng r. Theo (1.11) ta có thể tính
được cường độ điện trường do vật gây ra tại M là:

πεε
= =
∫ ∫
r
r r

 



dq r
E
r r
(1.12)
Ở đây ta đã thay dấu tổng bằng dấu tích phân vì là tổng các đại lượng vô
cùng bé.
Trường hợp vật mang điện là sợi dây tích điện đều L (có tiết diện ngang rất
nhỏ so với chiều dài của dây), thì điện tích một phần tử chiều dài dl của dây là
 dq dl

λ λ
=
. Và vectơ cường độ điện trường của dây
gây ra tại điểm M cách dây một khoảng r:
13


 



dl r
E
r r
λ
πεε
= =
∫ ∫
r
r r
(1.13)
Nếu vật mang điện là một diện tích S thì điện tích của một phần tử của mặt
đó là:


 
  !




dq dS
dS r
E
r r
σ σ
σ
πεε
=
= =
∫ ∫
r
r r
(1.14)
Nếu vật mang điện là một khối có thể tích V thì một phần tử thể tích dV
của vật sẽ có điện tích

 
 "#$ !%



dq dV
dV r
E
r r
σ σ
σ
πεε
=
= =

∫ ∫
r
r r
(1.15)
c. Thí dụ xác định cường độ điện trường
Xác định vectơ cường độ điện trường gây ra bởi vòng tròn bán kính R, tích
điện đều với điện tích q (q > 0) tại điểm M nằm trên trục của đường tròn cách
tâm một khoảng d
Đoạn cung này được coi là một điện tích điểm gây ra vectơ cường độ điện
trường

dE
r
tại M (hình 1.3). Điện tích điểm
dq dl
λ
′
=
gây ra tại M một vectơ
cường độ điện trường
&
dE
r
và
 &
dE dE=
. Do vậy các thành phần vuông góc với
trục của đường tròn của

dE

r
và
&
dE
r
khử lẫn nhau, còn các thành phần song song
thì cộng vào với nhau, và do vậy vectơ cường độ điện trường
E
r
gây ra bởi toàn
bộ vòng tròn có phương là trục OM, có chiều hướng ra xa tâm O và có độ lớn:
λ λ
α
πεε πεε
λ π
πεε πεε π πεε
= = =
= = =
∫ ∫ ∫
∫
& &
 
' ' '
( ( (
  
'
 
 )
 
 

&
  & 
dl dl d
E
r r r
d d q qd
dl R
r r R r
& & &
*+ ,%R d
= +
& & (- &

  
qd
E
R d
πεε
=
+
(1.16)
Với một điểm M ở xa vòng tròn d >> R thì:
&


qd
E
d
πεε
=

(1.17)
14
E
r
E
r
Hình 1.4. Đường sức điện trường
Khi đó vòng tròn coi như điện tích điểm.
1.3.3. Đường sức. Điện thông
a. Đường sức
Michael Faraday, người đã đưa ra khái niệm điện trường ở thế kỷ XIX cho
rằng không gian quanh một vật tích điện được lấp đầy bởi các đường sức. Cho
đến nay người ta không coi đường sức như một thực thể nữa nhưng đường sức
là một khái niệm rất hay để mô tả điện trường.
Định nghĩa: Đường sức điện
trường là đường vẽ trong điện trường
mà tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm
trùng với phương của vectơ cường độ
điện trường tại điểm đó. Chiều của
đường sức là chiều của vectơ cường độ điện trường.
Từ định nghĩa ta thấy đường sức xác định vectơ cường độ điện trường tại
mỗi điểm do đó cũng xác định lực điện trường tác dụng lên điện tích đặt tại đó.
Vì cường độ điện trường E ở mỗi điểm chỉ có
một giá trị xác định và có hướng xác định nên các
đường sức điện không cắt nhau. Các đường sức điện
không khép kín, nó chỉ xuất phát hoặc kết thúc ở các
điện tích hay ở vô cực: các đường sức đi ra từ điện
tích dương và đi vào điện tích âm.
Qua bất kì điểm nào có điện trường (
E ≠

r
) cũng
vẽ được đường sức, vì vậy số đường sức vẽ trong điện trường là tuỳ ý. Từ đó
người ta đưa ra quy ước vẽ độ mau thưa của các đường sức có liên hệ với cường
độ điện trường trong vùng đang xét. Giả sử xét một diện tích

S∆
vuông góc với
đường sức của điện trường (hình 1.5) và đủ nhỏ sao cho có thể coi trong vùng
diện tích đó điện trường là đều. Quy ước vẽ qua diện tích đó số đường sức
N
∆

15

S
∆
Hình 1.5.
sao cho qua một đơn vị diện tích của

S∆
có số đường sức bằng giá trị của cường
độ điện trường trong phạm vi

S∆
:

N
E
S

∆
=
∆
(1.18)
Như vậy nơi nào có cường độ điện
trường lớn thì có đường sức mau, nơi nào có
cường độ điện trường nhỏ thì có đường sức
thưa. Và đường sức của điện trường đều là
các đường thẳng song song cách đều nhau.
Đường sức của điện tích điểm đặt cô lập là
những đường thẳng hướng theo bán kính của nó (hình 1.6).
b. Điện thông
Trong điện trường
E
r
ta xét một diện tích đủ nhỏ
S∆
để có thể coi nó là
phẳng và điện trường trong phạm vi đó được coi là đều. Vẽ vectơ pháp tuyến
đơn vị
n
r
sao cho
.S S n∆ = ∆
r
r
.
Định nghĩa: Điện thông (hay thông lượng điện trường )
E
∆Φ

qua diện tích
S∆
là đại lượng vô hướng có giá trị bằng:
)
E n
E S E S E
α
∆Φ = ∆ = = ∆
r r
(1.19).
Trong đó α là góc hợp bởi véc tơ
E
r
và
n
r
; E
n
là hình chiếu của
E
r
lên phương
của
n
r
. Nếu quy ước vẽ các đường sức theo liên hệ với cường độ điện trường qua
diện tích đó thì ta có: điện thông
E
∆Φ
qua mặt

S
∆
có độ lớn bằng số đường sức
điện đi qua diện tích đó.
Để tính điện thông qua một diện tích S ta phải chia diện tích đó thành các
diện tích nguyên tố
dS
với điện thông qua diện tích đó là
E n
d EdS E dSΦ = =
r
, và
do đó điện thông qua toàn bộ diện tích S là:

E E n
S S S
d EdS E dS∆Φ = Φ = =
∫ ∫ ∫
r
(1.20)
Đối với mặt kín S ta luôn chọn chiều dương của
n
r
là chiều hướng ra ngoài
nên những nơi mà
E
r
hướng ra ngoài mặt kín thì điện thông dương, và ngược lại.
Trong hệ SI đơn vị của điện thông là V.m
1.3.4. Định lí Ostrogradski – Gauss và ứng dụng

16
Hình 1.6. Đường sức điện của điện tích điểm
Định lí Ostrogradski – Gauss gọi tắt là định lí O – G hay định lí Gauss biểu
thị mối liên hệ giữa điện thông và điện tích.
a. Phát biểu:
Điện thông qua một mặt kín trong chân không bằng tổng đại số các điện
tích có mặt bên trong mặt đó chia cho ε
0
:


i
i
S
EdS q
ε
=
∑
∫
r r
Ñ
(1.21)
Trong môi trường điện môi có hằng số điện môi ε thì:


i
i
S
EdS q
ε ε

=
∑
∫
r r
Ñ
(1.22)
Hay:


i
i
S
DdS q
εε
=
∑
∫
r r
Ñ
(1.23)
Các bước khi áp dụng định lý Gauss:
- Bước 1: Xác định yếu tố đối xứng của hệ điện tích từ đó xác định được
một số đặc điểm của điện trường
- Bước 2: Chọn một mặt kín S, thường gọi là mặt Gauss chứa điểm mà
tại đó cần xác định
E
r
. Mặt Gauss được chọn phải chứa yếu tố đối xứng của hệ
điện tích.
- Bước 3: Tính điện thông qua mặt Gauss sau đó sử dụng công thức

của định lý Ostrogradski – Gauss để tính được cường độ điện trường tại điểm đó
hoặc tính điện tích của hệ.
b. Áp dụng định lý Ostrogradski – Gauss
Xét một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ điện mặt σ > 0.
Do mặt phẳng này rộng vô hạn nên nó chia không gian thành hai nửa đối xứng
với nhau và bất kì đường thẳng nào vuông góc với mặt đó cũng là một trục đối
xứng của hệ điện tích. Do vậy các vectơ cường độ điện trường ở ngoài mặt
phẳng đều song song với nhau và vuông góc với mặt phẳng, hướng ra xa nếu
mặt phẳng đó tích điện dương và có độ lớn bằng nhau. Như vậy ở mỗi nửa
không gian hai bên mặt phẳng tích điện điện trường là đều.
17
Để tính cường độ điện trường E tại một điểm A cách mặt tích điện một
khoảng h ta coi mặt Gauss là mặt hình trụ có đường sinh vuông góc với mặt
phẳng hai đáy song song cách mặt phẳng khoảng h và có diện tích S (hình 1.7).
Chọn chiều dương của pháp tuyến của mặt phẳng hướng ra ngoài mặt Gauss. Vì
pháp tuyến của mặt xung quanh vuông góc với đường sức nên điện thông qua
mặt bên bằng không. Điện thông toàn phần qua mặt Gauss bằng điện thông qua
hai đáy và có giá trị
E
2ESΦ =
điện tích bên trong
mặt Gauss là điện tích nằm trên mặt phẳng giới hạn
bởi điện tích q nằm trên phần diện tích S của mặt
phẳng với
q S
σ
=
, Do vậy theo định lý O – G ta có :
E
0 0

2
2
S
ES E
σ σ
εε εε
Φ = = ⇒ =
(1.24)
Kết quả cho thấy: điện trường gây ra bởi mặt
phẳng vô hạn tích điện đều là một điện trường đều
trùng với kết quả thu được nhờ nguyên lí chồng chất
điện trường.
Áp dụng tương tự cho trường hợp hai mặt phẳng song song vô hạn mang
điện đều mật độ điện bằng nhau nhưng trái dấu, ta thấy trong khoảng giữa hai
mặt phẳng điện trường là đều và có độ lớn :

0
E
σ
εε
=
(1.25)
Và ở ngoài hai mặt phẳng thì E = 0
1.3.5. Lưỡng cực điện đặt trong điện trường
Lưỡng cực điện là một hệ điện tích gồm hai điện
tích +q và –q, đặt cố định với nhau và cách nhau một
khoảng l nhỏ. Lưỡng cực điện được đặc trưng bởi momen điện
p ql
=
r

r
(l )
r
/01234#1356#)36#103
Ta xét tác dụng của điện trường lên lưỡng cực điện.
a. Trường hợp điện trường đều:
18
E
r
n
r
n
r
A
E
r
Hình 1.7. Điện trường của mặt phẳng
vô hạn tích điện đều
Hình 1.8. Lưỡng cực điện
-q
l
r
+q
Trường hợp điện trường đều tác dụng lên lưỡng cực điện thì lực tác dụng
tác dụng lên hai điện tích của lưỡng cực điện có
độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng với nhau.
(F = qE), tạo nên momen ngẫu lực:
sin sinM qEl pE
α α
= =

(1.26)
Trong đó α là góc hợp bởi
El
r
r

(hình 1.9).
vec tơ momen ngẫu lực
M
r
có phương trùng với trục quay của momen lưỡng cực
điện, nghĩa là vuông góc với
p E
r
r

. Dạng vectơ ta có:
,M p E
 
=
 
r r
r
(1.27)
Ngẫu lực này có tác dụng làm cho lưỡng cực điện quay trong điện trường
sao cho hai vec tơ
p E
r
r


song song với nhau. Vị trí cân bằng của lưỡng cực điện
là vị trí ở đó momen lưỡng cực bằng không, ứng với
0;
α α π
= =
. Trong đó
0
α
=
là vị trí cân bằng bền, còn vị trí
α π
=
ứng với vị trí cân bằng không bền vì
chỉ cần cho lưỡng cực điện quay lệch khỏi vị trí đó một chút là sẽ xuất hiện mô
men ngẫu lực làm nó lệch khỏi vị trí này.
b. Trường hợp điện trường không đều
Xét trường hợp đơn giản, giả sử lưỡng cực điện được đặt nằm dọc theo một
đường sức điện trường (
0
α
=
) . Khi đó lực tác dụng lên các điện tích không
bằng nhau và tổng hợp lực tác dụng lên chúng khác không. Ta chọn trục toạ độ x
hướng theo chiều của vectơ
l
r
. Do điện trường không đều nên điện trường tại
điểm đặt điện tích – q là E còn điện trường tại điểm đặt điện tích + q là
E
E E l

x
∂
′
= +
∂
. Do vậy lực tác dụng lên điện tích – q là F = qE; và lực tác dụng lên
điện tích +q là
( )
E
F q E l
x
∂
′
= +
∂
.
Lực tổng hợp tác dụng lên lưỡng cực điện là:
1 2 1 2
E E
F F F F F ql p
x x
∂ ∂
= − = − = =
∂ ∂
r r
(1.28)
Và hướng về phía có điện trường mạnh hơn. Nếu trong điện trường đều thì:
19
F
r

F
r
+q
- q
α
Hình 1.9. Lưỡng cực điện trong điện trường

0
E
x
∂
=
∂
=> F = 0
Như vậy nếu lưỡng cực điện được đặt vào một điện trường không đều thì
nó sẽ chịu tác dụng của một ngẫu lực làm cho nó quay trong điện trường cho
đến khi momen lưỡng cực có phương trùng với vectơ điện trường, lực có tác
dụng kéo lưỡng cực về phía có điện trường mạnh
c. Thế năng của lưỡng cực điện
Sự định hướng của lưỡng cực điện đặt trong điện trường có liên quan đến
thế năng của nó. Khi lưỡng cực điện ở trong định hướng cân bằng
p
r
cùng
hướng với
E
r
, thế năng của lưỡng cực điện khi đó đạt giá trị cực tiểu, và ở các
định hướng khác của lưỡng cực thế năng đạt giá trị lớn hơn. Do chỉ có hiệu thế
năng mới có ý nghĩa vật lý nên ta có thể quy ước: thế năng lưỡng cực điện bằng

không khi góc
0
2
π
α
=
. Ta tính công của điện trường làm lưỡng cực quay từ vị trí
0
α
đến vị trí
α
, từ đó ta tìm được thế năng của lưỡng cực điện khi góc
α
bất kì:
2 2
W= sin
W= cos
E
E E
A Md p E d
p E p E
α α
π π
α α α
α
− = − = −
− = −
∫ ∫
r
r

Như vậy thế năng của lưỡng cực là nhỏ nhất khi
0
α
=
, nghĩa là khi
p
r
cùng
hướng với
E
r
, và nó có giá trị lớn nhất khi
0
180
α
=
khi
p
r
ngược hướng với
E
r
.
20
Tiết 3
1.4. ĐIỆN THẾ. HIỆU ĐIỆN THẾ
1.4.1. Công của lực tĩnh điện. Tính chất của trường tĩnh điện. Thế năng của
điện tích trong điện trường.
a. Công của lực tĩnh điện
Một điện tích q được đặt trong điện trường

E
r
sẽ chịu tác dụng của lực điện
trường
F qE=
r r
. Nếu điện tích q dịch chuyển từ điểm A đến điểm B trên đường
cong L thì điện trường đã thực hiện một công:
» » »
AB AB AB
A Fdl qEdl q Edl= = =
∫ ∫ ∫
r r r
r r r
(1.29)
Trong đó dl là nguyên tố trên đường cong L, tích phân được lấy từ điểm A
đến điểm B.
»
AB
Edl
∫
r
r
được gọi là lưu số của vec tơ
E
r
dọc đường cong L từ điểm A đến
điểm B. Nó có trị số bằng công của lực điện trường khi di chuyển một đơn vị
điện tích q dọc theo đường cong L từ điểm A đến điểm B.
Điện trường

E
r
do điện tích Q đặt tại O gây ra và điện tích q dịch chuyển trong
điện trường đó từ A đến B. Công nguyên tố bằng:
3
0
2 2
0 0 0
4
1
cos ( )
4 4 4
q r
dA Fdl qEdl q dl
r
qQ qQ qQ
dl dr d
r r r
πεε
α
πεε πεε πεε
 
= = =
 ÷
 
= = = −
r
r r r
r r
Trong đó α là góc giữa vec tơ

E
r
và
dl
r
và
dr = dlcosα là hình chiếu của vectơ
dl
r
lên
phương bán kính
r
r
(r là khoảng cách từ Q đến
điểm M). Như vậy ta có công của lực điện
trường dịch chuyển điện tích q từ A đến B là:
AB
0 0
1 1 1
4 4
B
A
r
A B
L r
qQ qQ
A dA d
r r r
πεε πεε
 

 
= = − = −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
(1.30)
Hay ta có
21
A
O
r
A
B
r
B
M
r
r+d
r
dl
r
H
α
F
r
M’
Hình 1.10. Công của lực tĩnh điện
AB

0 0
4 4
A B
Q Q
A q
r r
πεε πεε
 
= −
 ÷
 
(1.31)
Trường hợp điện trường
E
r
gây ra bởi hệ điện tích điểm Q
1
, Q
2
, Q
3
,…Q
n.
Thì lực điện trường tổng hợp tác dụng lên điện tích q là:
1 2 3
1

n
n i
i

F F F F F q E qE
=
= + + + + = =
∑
r r r r r r r
Trong đó E
i
là cường độ điện trường do điện tích Q
i
gây ra tại điểm có đặt điện
tích q:
0
4
i i
i
i
Q r
E
r
πεε
=
r
r
. Với r
i
là bán kính vec tơ từ điểm đặt Q
i
tới điểm đặt q.
Tương tự ta tìm được công của lực điện trường khi dịch chuyển điện tích q
trên đường cong L từ A đến B là:

» » »
1
n
i
i
AB AB AB
A Fdl qEdl q Edl A
=
= = = =
∑
∫ ∫ ∫
r r r
r r r
Trong đó A
i
là công của lực điện trường gây bởi điện tích Q
i
:
0 0
4 4
i i
i
iA iB
Q Q
A q
r r
πεε πεε
 
= −
 ÷

 
với r
iA
, r
iB
là khoảng cách từ điểm A và B đến điện
tích Q
i
của hệ. Nếu đường cong dịch chuyển L là đường cong kín thì điểm đầu
và điểm cuối trùng nhau và khi đó công của điện trường tĩnh là:
0
L
A qEdl= =
∫
r
r
Ñ
b. Tính chất thế của trường tĩnh điện.
Từ các công thức (1.30) và (1.31) ta thấy rằng công của lực điện trường
tĩnh khi dịch chuyển điện tích q theo một đường cong bất kì chỉ phụ thuộc vào vị
trí điểm đầu và điểm cuối của đường đi mà không phụ thuộc vào hình dạng
đường đi. Tính chất này chứng tỏ rằng điện trường tĩnh là điện trường thế, giống
như trường hấp dẫn.
c. Thế năng của một điện tích trong điện trường:
Ta đã biết công của lực tác dụng lên vật trong trường lực thế bằng độ giảm
thế năng của vật đó trong trường lực. Như vậy nếu điện tích q đặt trong điện
trường tĩnh (là một trường lực thế) thì công của lực điện trường thực hiện khi
22
dịch chuyển điện tích từ điểm A đến điểm B trong điện trường bằng độ giảm thế
năng của điện tích đó:

»
A B
AB
W WA = −
Trong đó W
A
, W
B
là thế năng của điện tích q tại A và B:
A
0
W
4
A
qQ
C
r
πεε
= +
và
B
0
W
4
B
qQ
C
r
πεε
= +

Từ đó ta có biểu thức tính thế năng của một điện tích điểm q đặt trong điện
trường của điện tích Q và cách điện tích này khoảng r:
0
W
4
qQ
C
r
πεε
= +
(1.32)
Còn gọi là thế năng tương tác của hệ điện tích q và Q. Người ta thường quy
ước chọn thế năng của điện tích q bằng không
khi nó ở cách xa Q vô cùng, và do đó C = 0;
khi đó :
0
W
4
qQ
r
πεε
=
Tương tự có thể tính được thế năng của
điện tích q trong điện trường do hệ điện tích
điểm Q
1
, Q
2
…Q
n

gây ra :
1
0
W
4
n
i
i
i
qQ
r
πεε
=
=
∑
Trong đó r
i
lần lượt là khoảng cách từ
điện tích q đến Q
i
.
1.4.2. Điện thế. Hiệu điện thế.
a. Điện thế
Như ta đã thấy thế năng của một điện tích điểm trong một điện trường phụ
thuộc vào độ lớn của điện tích và điện trường. Tuy nhiên thế năng trên một đơn
vị điện tích có một giá trị duy nhất ở một điểm bất kì trong điện trường. Như vậy
thế năng trên một đơn vị điện tích có thể được kí hiệu bằng U/q, không phụ
thuộc vào độ lớn của điện tích mà nó đặc trưng cho điện trường mà ta đang
23
qQ>

0
qQ<
0
W
o
r
Hình 1.11. Thế năng tương tác của hai điện tích
nghiên cứu. Thế năng trên một đơn vị điện tích ở một điểm trong điện trường
được gọi là điện thế V ở điểm đó:
0 0
W
4
Q
V
q r
πεε
= =
.
Tương tự điện thế gây ra bởi điện tích điểm ta có điện thế của hệ điện tích
Q
1
, Q
2
… Trong điện trường bằng:
1 1
0
4
n n
i
i i

Q
V Vi
r
πεε
= =
= =
∑ ∑
Với r
i
là khoảng cách từ điểm đang xét tới điện tích Q
i
Điện thế tại một điểm A bất kì trong điện trường được tính theo công thức
A
V Edl
∞
=
∫
r
r
. Nghĩa là điện thế tại một điểm có giá trị bằng công làm dịch chuyển
một đơn vị điện tích từ A ra xa vô cùng. Và do vậy ta có:
B
A B
A
V V Edl− =
∫
r
r
.
Do quy ước thế năng ở vô cực bằng không nên điện thế ở vô cực cũng bằng

không. Như vậy điện thế cũng được xác định sai khác nhau một hằng số cộng.
Hằng số đó không phụ thuộc vào mốc điện thế mà ta chọn vì trong thực tế tính
toán chúng ta chỉ thường gặp hiệu điện thế. Người ta cũng thường quy ước điện
thế của trái đất bằng không nên nghiên cứu vật dẫn cân bằng tĩnh điện thì điện
thế tại mọi điểm trên cùng vật dẫn sẽ bằng không. Khi đó vật dẫn được coi như
vật cân bằng tĩnh điện.
b. Hiệu điện thế:
Từ các công thức trên ta cũng thấy rằng thương số
»
AB
q
A
cũng không phụ
thuộc vào độ lớn điện tích q mà chỉ phụ thuộc vào các điện tích gây ra điện
trường và vị trí các điểm A và B trong điện trường. Vì vậy
»
AB
q
A
được gọi là hiệu
điện thế giữa hai điểm A và B trong điện trường kí hiệu U
AB
.
»
AB
q
AB A B
A
U V V= − =
(1.33)

Nếu lấy q = 1 đơn vị điện tích thì :
»
AB
AB A B
U V V A= − =
24
Vậy hiệu điện thế giữa hai điểm A và B trong điện trường là một đại lượng
có trị số bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển của một đơn vị điện
tích điểm từ A tới điểm B.
1.4.3. Mặt đẳng thế
Quỹ tích những điểm trong không gian có cùng một điện thế được gọi là
mặt đẳng thế. Một họ các mặt đẳng thế, mỗi mặt tương ứng với giá trị khác nhau
của thế được dùng để mô tả điện trường trong một miền nào đó.
Phương trình của các mặt đẳng thế là V(x,y.z) = C =Const. Ứng với một giá
trị của C ta có một mặt đẳng thế. Đối với điện trường do một điện tích điểm gây
ra ta có phương trình của mặt đẳng thế là r = const, từ đó ta có mặt đẳng thế là
các mặt cầu có tâm nằm tại điện tích đó.
Mặt đẳng thế có các tính chất sau:
- Công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích trên một mặt đẳng thế
là bằng không
- Tại mỗi điểm vectơ cường độ điện trường vuông góc với một mặt đẳng thế đi
qua điểm đó.
1.4.4. Liên hệ giữa vectơ cường độ điện trường và điện thế.
- Hệ thức vi phân giữa vec tơ cường độ điện
trường và điện thế
Xét hai mặt đẳng thế (1) và (2) trong điện
trường
E
r
ứng với các giá trị điện thế V và V +

dV, trong đó dV > 0. Tại điểm M của mặt phẳng
(1) vẽ vectơ pháp tuyến
n
r
hướng về phía điện
thế tăng, nó cắt mặt (2) ở điểm M’ với MM’ =
dn.
Do
E
r
vuông góc với mặt đẳng thế nên
E
r

nằm dọc theo pháp tuyến của mặt đẳng thế. Công mà lực điện trường di chuyển
một điện tích dương q từ điểm M đến điểm N là:
; dA qEdl dl MN= =
uuuur
r r
r

25
Hình 1.12