hình học giải tích oxy

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 1-

GIÁO ÁN: HÌNH PHẲNG – HƯỚNG DẪN
1.
Phân tích: Tìm được điểm A; B
Có phân giác góc A => Lấy đối xứng điểm B.
Giải:
Tọa độ A (Giao AC va phân giác)
Tọa độ B (Giao AB và BC)
 Viết PT BB’ (B’ đối xứng với B qua phân giác
A)
(Qua B và
'd
u
BB
n 
 
)
 Tọa độ trung điểm I giao BB’ với d
 Tọa độ B’
 PT AC (Dựa vào A,B’)
Tọa độ C(Giao AC và BC)

2.
Phân tích: Có điểm B; đường cao AH => PT BC
=> Tọa độ C (Giao BC và phân giác C)
- Có phân giác C => Lấy đối xứng B
Giải:
- Viết PT BC (qua B và

BC AH
nu
 
)
=> Tìm được điểm C (Giao phân giác với BC)
Tự tìm điểm B’ đối xứng với B qua phân giác
 PT AC (dựa vào C và B’)
Tìm được A (Giao B’C với AH)

3.
Phân tích:
- Có phân giác góc A => Tự điểm đối xứng M
- Có M’ và đường cao B => PT AC
Giải:
- Tự tỉm điểm M’ (dựa vào M và phân giác A)
=> Viết PT AC (qua M’ và đựa vào đường cao B)
=> Tọa độ A (giao AC và phân giác A)
=> PT AB (dựa vào A, M)
=> Tọa độ B(giao của AB và đường cao B)
C thuộc AC => tọa độ C (theo tham số)
Dựa vào CM =
2
=> Tìm được 2 tọa độ C
Lưu ý: Xét B,C nằm khác phía so với phân giác
góc A không nhé. (Nếu nằm khác phía thì C thỏa
mãn)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 2-

4.
Phân tích: Phân giác A tự tìm H’
Có H’ và đường cao => PT AC
Giải:
Tự tìm H’ đối xứng H qua phân giác A
 PT AC (Dựa vào H’ và đường cao góc B)
 Tọa độ A (Giao phân giác, AC)
 PT đường cao góc C (Qua H và dựa vào véc tớ
AH)
Tọa độ C(Giao AC, đường cao góc C)


5.
Phân tích:
- Có phân giác góc A => Phải tìm điểm A để lấy
đối xứng M.
Thấy luôn PT AH (Dựa va H và D)
 Tọa độ A (Giao AH và phân giác)
Giải:
 Tự viết PT AH (Qua H và
AH
n HD
 
)
A thuộc AH => Tọa độ (A tham số)
Ta có AM = MH (Vì M trung điểm, AHB vuông
tại H) => Tọa độ A
(Có thể làm
.0AH BH 

 
cũng được; B lấy từ điểm
A,M)
 PT phân giác AD
 Tự tìm M’ đối xứng M qua phân giác
 PT AC (Dựa vào A,M’)
 Tự viết PT BC (Dựa vào H,D)
 Tọa độ C (Giao AC,BC)

6.
Phân tích: Có phân giác góc A => Tìm điểm đối
xứng M

Giải:
Tự tìm điểm M’ (Đối xứng với M qua phân giác
góc A)
 Viết PT AC (Qua M’ và dựa vào BH)
 Tọa độ A (Giao AC và phân giác)
 PT AB (Dựa vào A,M)
Tọa độ B (Giao AB và đường cao)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 3-

7.
Phân tích:
- Có phân giác góc B => Tự tìm điểm đối xứng với
M.
- Có M’ đường cao => PT BC

Giải:
- Tự tìm M’
=> Viết PT BC (Qua M’ và dựa vào đường cao A)
=> Tọa độ B (Giao BC và phân giác B)
=> Viết PT AB (dựa vào M, B)
=> Tọa độ A (giao AB và đường cao A)
C thuộc BC => Tọa độ C (theo tham số)
Dựa vào AB = 2BC => Tọa độ C

8.
Phân tích: Có phân giác góc A tự tìm đối xứng M
Có M’ và đường cao => PT AB
Giải:
Tự tìm M’
 Viết PT AB (Qua M’ và dựa CH)
 Tọa độ A (Giao AD và AB)
 PT AC (Dựa vào A,M)
 Tọa độ C (Giao AM, CH)

Để ý AM = AM’ và AB = 2AM => M’ là trung
điểm AB
Tọa độ B (Dựa vào M’ và A)

9.
Phân tích: Phân giác BD => Lấy đối xứng H; M
Giải:
2 cách (Cách 1: dùng điểm H, cách 2 dùng điểm
M)
Cách 1: (Lấy đối xứng H cho đẹp)
 Tư tìm H’

 PT AB (Dựa vào H’ và M)
 Tọa độ B (giao AB và phân giác BD)
 Tọa độ A (dựa vào M trung tuyến)

Cách 2: Tìm M’ đối xứng qua BD
 PT BC => tọa độ B => A


LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 4-

10.
Phân tích: Phân giác B => Tự tìm đối xứng A
Thấy tọa độ A và M,B theo tham số
Giải:
=> Tìm được tọa độ A,B
- Tìm điểm B
M thuộc CM => M(7-8m;m)
B thuộc BD => B(b;2-b)
M là trung điểm A,B =>
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y







 Tọa độ M,B
Tự tìm A’ theo tính chất
 Viết PT BC (Dựa vào B,A’)
Tọa độ C (Giao CM, BC)

11.
Phân tích: Tìm được A (Giao AD và AM).
Phân giác AD => Tự tìm đối xứng C
Giải:
- Tự tìm ra điểm A (Giao AD và AM)
- Tự tìm C’(đối xứng qua phân giác) => Viết PT
AB

 Tìm M,B (phương pháp)
- B thuộc AB => B (tham số)
- M thuộc AM => M (tham số)
M là trung điểm B,C => Giải hệ => B,M


12.
Phân tích: Dạng phân giác, trung tuyến.
Để ý điểm N bất kì trên BC => Dạng cùng
phương.
 Tự tìm M’ đối xứng M qua phân giác
 Tự tìm điểm A (Giao 2 đường thẳng)
 PT AB, PT AC
 B thuộc AB => B(b;1)

 C thuộc AC => C (1;c)
 Trung điểm M ; M thuộc trung tuyến
 PT: 2b + c = 0 (1)
 Ta có
BN,NC
 
cùng phương

b 2 4
(b 2)(c 5) 4
1 c 5

    

(2)
 Rút (1) thế vào (2) kết hợp điều kiện (B) sẽ ra
 b,c => tọa độ B,C

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 5-

13.
Phân tích: Phân giác CD => Tự tìm A’
Có tọa độ A, C,M theo tham số => Tìm được tọa
độ B.
Giải:
- Tìm C,M (phương pháp)
- C thuộc CD => C (tham số)
- M thuộc BM => M(tham số)

- M là trung điểm A,C => Giải hệ => C,M
Tự tìm A’ (đối xứng với A qua phân giác CD)
 PT BC (Dựa vào A’,C)
 Tọa độ B (Giao BM và BC)

14.
Phân tích: Phân giác BN => Tìm A’
Có tọa độ A đường cao CH => PT AB => Tọa độ
B
Giải:
Tính S => Tìm AB và d(C;AB)
- Viết PT AB (qua A và dựa vào CH)
=> Tọa độ B (giao AB và BN) => Độ dài AB

- Tự tìm A’ (đối xứng qua phân giác)
=> Viết PT BC (dựa vào B và A’)
=> Tọa độ C (Giao BC và CH) => d(C;AB) => S

15.
Phân tích: Tự tìm A’ => PT BC => Tọa độ C
Giải:
Tự tìm A’ (Đối xứng với A qua phân giác C)
 Viết PT BC (Dựa vào B, A’)
 Tọa độ C (Giao BA’ và phân giác)

PT đường tròn có dạng:
x
2
+ y
2

+ 2ax + 2by + c = 0
Thay 3 tọa độ A,B,C giải hệ 3 ẩn => a,b,c
 PT đường tròn

16.
Phân tích: Tìm được luôn tọa độ A,B (giao)
Phân giác A => lấy đối xứng B’ => PT AC => Tọa
độ C
Giải:
Tự tìm tọa độ A (Giao AB và phân giác)
Tự tìm tọa bộ B (Giao BC và AB)

Tự tìm B’ (Đỗi xứng với B qua phân giác)
 Viết PT AC (Dựa vào A và B’)
Tọa độ C (Giao AC và BC)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 6-

17.
Phân tích: Phân giác BM => O thuộc BC => Tự
tìm O’
Để ý tại sao lại đối xứng ? Tại sao góc A vuông
'. 0BO CK 
 

Giải:

Tự tìm O’ đối xứng với O qua phân giác B

B thuộc BM => B(5-2b;b) => C(2b-5;-b)

'. 0BO CK 
 
(theo ẩn b)
 Giải tìm ra được b => Tọa độ B,C
 Tọa độ A (Giao của BO’ và CK)
(Lưu ý: loại 1 trường hợp b đi vì tính ra A trùng
với tọa độ B)

18.
Phân tích: Tự tìm M’
PT AB: Dạng góc dùng công thức cos => Tọa độ
A
 Tọa độ B => độ dài AB
Có diện tích ABC => d(C;AB) => Tọa độ C.
Giải:
 PT AB: a(x-x
M
) + b(y-y
M
) = 0
Với
AB
n

= (a;b)
22
7
3

os
7
5
2
ab
ab
c
ba
ab




  





Xét 2 TH :
TH1: chọn b = 1 => a = 7 => PT AB
TH2: chọn a = 1 => b = 7 => PT AB
=>Tọa độ A (Giao AB, phân giác) => Tọa độ B
=> Độ dài AB
Tự tìm M’ (Đối xứng với M qua phân giác)
 PT AC (Dựa vào A;M’) ; C thuộc AC => C
tham số
1
( ; ).
2

ABC
S d C AB AB C 

Lưu ý: Xét B,C nằm khác phía so với phân giác A
(để loại nghiệm)

(Tự làm với 2 trường hợp)

19.
Phân tích:Tự tìm được A (Giao d với AD)
Phân giác A => Tự tìm C’
Giải:
Tọa độ A (Giao d với phân giác AD)
 PT AC (Dựa vào A và C)
Tự tìm C’ (đối xứng với C qua phân giác)
 PT AB (Dựa vào A,C’)
 Viết PT BC (Qua C và // d)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 7-


(Bài chỉ yêu cầu viết PT không tìm điểm).
Nếu tìm B (có thể làm giao của AB và BC)
20.
Phân tích:
 Tự tìm A’;A’’
 PT BC (Dựa vào A’ và A’’)

21.
Phân tích:
Giải:
Tự tìm M’ đối xứng qua phân giác A
 PT AB (Qua M’ và vuông góc với đường cao
C)
 Tọa độ A (Giao AB và phân giác A)
 Tọa độ B (Vì M’ là trung điểm AB)
 Viết PT AC (Qua A và M)
 Tọa độ C (Giao đường cao C và AC)
 PT BC (Dựa vào B,C)

22.
Phân tích: Dạng quen thuộc (đường trung tuyến,
phân giác)
Giải: C thuộc d => C(c;c-1)
 M trung điểm AC (Dựa vào A,C)
 M thuộc trung tuyến B => Thay tọa độ M
(tham số c)
 Tọa độ C

Tự tìm A’ đối xứng với A qua phân giác C
 PT BC (Dựa vào C;A’)
 Tọa độ B (Giao trung tuyến và BC)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 8-

23.

Phân tích: Điểm M không phải ví trị đặc biệt,
Tam giác ABC cân tại A => AI là phân giác,
đường cao
 Tự tìm M’ (đối xứng với M qua AI)
 PT AC (Qua M’ và // d) => Tọa độ A ….
Giải:
- Tự tìm M’ => PT AC
 Tọa độ A (Giao AC và AI)
 PT AB (Dựa vào A,M)
 Tọa độ B (Giao AB và d)
 PT BC (Qua B và vuông góc AI)
 Tọa độ C (Giao BC và AC)

24.
Phân tích: Dạng làm tỉ lần rùi nhé!

 PT AB (Qua A vuông goc với CH)
 Tọa độ B
 Tự tìm A’ đối xứng A qua BN
 PT BC (Dưa vào B;A’)
 Tọa độ C (Giao BC và CH)

Diện tích: S
ABC
= d(A;BC).AB/2
(thích dùng cạnh nào cũng được hén)

25.
Phân tích:
Giải:

Tự tìm H’ đối xứng với H qua BD
 PT AB (Qua H’ vuông góc CE)
 Tọa độ B (Giao AB và BD)
 PT BC (Dựa vào B,H)

(Nếu tìm 3 điểm)
 Tọa độ C (Giao BC và CE)
 PT AH (Qua H vuông góc BC)
 Tọa độ A (Giao AB và AH)

26.
Phân tích:
Có A, đường cao BH => PT AC => Tọa độ C.
- Tọa độ A, B,M tham số => Tọa độ B,M
Giải:
Tính diện tích => Tìm AC và d(B;AC)
- Viết PT AC (Qua A và dựa BH)
=> Tọa độ C (Giao CM và AC) => Độ dài AC

Tìm B,M theo phương pháp
B thuộc BH => B (tham số)
M thuộc CM => M (tham số)
M là trung điểm A,B => Giải hệ => B


LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 9-

 d(B;AC) => Diện tích

(Có thể tìm H là giao AC và BH rùi tính độ dài BH
cũng được)
27.
Phân tích: Thấy B và AH => PT BC => Tọa độ C
Có tọa độ B, M,A tham số => Tọa độ A
Giải:
Tự tìm M, A (phương pháp)
M thuộc CM => M (tham số)
A thuộc AH => A (tham số)
M là trung điểm A,B => Giải hệ => Tọa độ A,M

Viết PT BC (Qua B và vuông góc AH)
 Tọa độ C (Giao BC va CM)

28.
Phân tích: MN//AB => CH vuông góc MN =>
PT CH
 Tọa độ C tham số => Tọa độ A tham số (trung
điểm M)
 Dùng véc tớ
.0AH CH 
 

=> Tọa độ A,C
Giải:
Tính chất đường trung bình => MN//AB
Đường cao CH vuông góc MN
Viết PT CH (Qua H và
CH
n MN

 
)
C thuộc CH => Tọa độ C (theo ẩn c)
 Tọa độ A (theo ẩn c – dựa vào trung điểm M)
Ta có AH vuông góc với CN

.0AH CH 
 
(Thay tọa độ) => ẩn c

 Tọa độ A,C => Tọa độ B (trung điểm N)
Lưu ý: Dựa vào hoành độ điểm C nhỏ hơn 4 để
loại nghiệm



29.
Phân tích: Thấy M; BH => PT AC => Tọa độ A
=> Tọa độ C (Trung điểm) => PT BC
Giải:
Viết PT AC (Qua M và Dựa vào BH)
 Tọa độ A( Giao d’ và AC)
 Tọa độ C (Dựa vào A, trung điểm M)
 PT BC (Qua C và // d)
Tọa độ B(Giao BH và BC)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 10-

30.
Phân tích: Tự viết PT AB và AC => Tọa độ B,C
Giải:
Viết PT AB (Qua A và vuông góc CE)
 Tọa độ B(Giao AB và BF)
Viết PT AC (Qua A và vuông góc BF)
 Tọa độ C( Giao CE và AC)

Diện tích = AC.d(B;AC)/2 (Có nhiều cách)

31.
Phân tích: Dễ quá rùi => PT AB (Qua A và
vuông góc BC)
 Tọa độ B (Giao AB và BC)
 C thuộc BC => C(2c+2;c)
 AB = BC (vuông cân) => Tọa độ C

32.
Phân tích: Có B có AH => PT BC
 Tọa độ C => Độ dài BC
 Diên tích = d(A;BC).BC/2 => d(A;BC)
 Tọa độ A (A thuộc AH tham số)
Giải:
Viết PT BC (Qua B và uAH)
 Tọa độ C (Giao BC và d)
A thuộc AH => A(a;a+3)
1
. ( ; ) ( ; )
2
ABC

S BC d A BC d A BC

 

Tọa độ A

33.
Phân tích: Tìm được A (Giao) =>Tọa độ B
Thấy điểm B và đường cao AH => PT BC.
Giải:
Tìm giao điểm A (Giữa 2 đường thẳng)
 Tọa độ B (M là trung điểm AB)
 PT BC (Qua B và vuông AH)
 Tọa độ N (Giao giữa BC với trung tuyến)
Tọa độ C => PT AC

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 11-

34.
Phân tích: Tự tìm C (Giao 2 đường)
Có A; CH => PT AB => Tọa độ M (giao) => B
Giải:
- Tọa độ C (Giao d1,d2)
- Viết PT AB (Qua A và vuông góc d1)
 Tọa độ trung điểm M (Giao AB, CM)
 Tọa độ B (Dựa vào A,M)

PT đường tròn có dạng:

x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0
Thay 3 tọa độ A,B,C giải hệ 3 ẩn => a,b,c
PT đường tròn

35.
Phân tích:
Tọa độ C (Giao CH;CK)
 PT AB (Qua A vuông góc CH)
 Tọa độ K (Giao AB và CK)
 Tọa độ B (K trung điểm AB)

Lập PT đường tròn đi qua 3 điểm

36.
Phân tích:
- Tự tìm điểm B (Giao)
- Thây đường cao B; điểm A => PT AC
- Tọa độ trung điểm M (Giao AC và trung
tuyến)
 Tọa độ C
 PT BC (Dựa vào B,C)

37.
Phân tích: tam giác cân; d là đường trung bình
- Tìm H đối xứng với A qua d
=> PT BC (AH vuông góc BC vì tam giác cân) =>

Tọa độ C
Để ý điểm E bất kì => Dùng véc tơ
.0CE AB 
 

Giải: - Gọi H là điểm đối xứng của A qua d
- H thuộc BC (Vì tính chất đường trung bình
AI=IH)
- Viết PT AH (Qua I và ud)
- Tìm giao điểm I => Điểm H (I trung điểm)
- Viết PT BC (Qua H và // d)
- C thuộc BC => Tọa độ C (ẩn c)
- Tọa độ B (ẩn c – dựa vào trung điểm H)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 12-

- Ta có CE vuông góc AB =>
.0CE AB 
 

- Tọa độ B,C
38.
Phân tích: M,N là đường trung bình // BC và AH
vuông góc MN
 PT AH => Tọa độ A (tham số)
 Bám vào M,N => Tọa độ B,C (tham số a)
 Dựa vao H là trực tâm là xong

Giải:
MN là đường trung bình => AH vuông góc MN
 PT AH (Qua H và dựa vào véc tớ MN)
 Tọa độ A (tham số)
 Tọa độ B,C (Dựa vào M,N)

BH.AC 0
 
(Tọa độ A,B,C)
 (Không dùng
AH.BC 0
 
vì sẽ không ra vì
chúng ta dựa vào đường thẳng AH)

39.
Phân tích: (Câu này khó).
Giải:
- Tự tìm B (Giao của BC và chiều cao B)
- Viết PT d: đi qua M và // với BC
=> Tìm N (Giao d với chiều cao BH)
Gọi I là trung điểm NM, F là trung điểm BC
 IF là đường trung trực cạnh BC (có đi qua A vì
tam giác ân)
 Viết PT IF (qua I và dựa vào BC)
 Tìm tọa độ F (Giao của IF với BC)
 Tọa độ C (F là trung điểm BC)
 PT AC (Dựa vào C và chiều cao B)
Tọa độ A (Giao AC và IF)

40.
Phân tích: Để ý BM vuông góc BC
(
.0BM uBC 
 

Giải:
Tọa độ B(Giao d1,d2) =>
(2;2)BM 


Nhận thấy BM vuông góc BC (Vì
.0BM uBC 
 
)
Từ M kẻ MN // BC cắt d2 tại N
 Viết PT MN (Qua M và
MN BC
nn
 
)
 Tọa độ N(Giao MN, d1)
BCNM là hình chữ nhật vì ABC cân
 NC vuông góc BC
 Viết PT NC (Qua N và
nMN uBC
 
)
 Tọa độ C (Giao NC và BC)
 PT AB (Qua B và

nAB MC
 
)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 13-

PT AC (Qua C và
nAC BN
 
)
41.
Phân tích: ABC vuông tại C=>Hình chiếu của A
trên d là C
 Viết PT AC (Qua A vuông góc với d)
Giải:
Tự tìm điểm C (Giao AC và d)
 Độ dài AC => Độ dài BC
 B thuộc d => B(2b-3;b)
 Dựa vào BC => Tọa độ B

42.
Phân tích: Dễ hén
PT AH (Qua H vuông góc BC)
Tọa độ M ; A,B theo tham số
 Tọa độ A,B (Giải hệ)
 C thuộc BC => C(3c+2;c)

CH.AB 0

 
=> Tọa độ C

43.
Phân tích: Khi đọc
22
11
AB AC


 Thể nào tam giác ABC cũng vuông
(Nhận thấy d1 vuông góc d2 – dựa vào
vecto)
Giải: Tự tìm điểm A (Giao d1,d2)
Ta có tam giác ABC vuông tại A (vì d1 vuông góc
d2)
Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
2 2 2 2
1 1 1 1
AB AC AH AM
  

22
11
AB AC

đạt giá trị nhỏ nhất  AH = AM hay
H trùng với M => M là hình chiếu của A trên BC
 PTH BC (Qua H vuông góc AH)

Nếu đề yêu cầu tìm B,C
 Tọa độ B,C (Giao BC với d1,d2)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 14-

44.
Phân tích: Thấy A ; CK => PT AB
Thấy trung trực => Trung điểm BC thuộc trung
trực
và
.0
Mx
BCu 


=> Tọa độ B,C
Giải:

- Viết PT AB (Qua A, dựa vào CK)
( ;2 )
4
( ;2 ) ( ; )
22
B AB B b b
b c b c
C CK C c c M
  
  

   

M thuộc trung trực => Thay M vào phương trình
 Ta có 1 phương trình ẩn b,c

Mặt khác
.0
Mx
BCu 

=> PT (2)
Giải hệ 2 PT => b,c => Tọa độ B,C

45.
Phân tích:

Thấy trung trực, trung tuyến => Quy về I và
.0

Mx
CM u

Giải:

2 ( ;3 9)
1 ( ;1 )
C d C c c
M d M m m
  



  


 
2 ;11 2 3B m c m c   
(Dựa vào M,C)
 Tọa độ I (trung điểm AB)

3 3 7 2 3
;
22
m c m c
I
   



(Dựa vào B,A)
2,I d m c 
PT(1)
Ta có
.0

Mx
CM u

PT (2)
Giải hệ ra => Tọa độ C,M => Tọa độ B(Đối xứng
qua M)

46.
Phân tích: Dạng trung tuyến, trung trực => Gọi
điểm sử dụng trung điểm thuộc đường thẳng
Giải:
2 ( ;3 9)
1 ( ;1 )
C d C c c
M d M m m
  


  


 
2 ;11 2 3B m c m c   
(Dựa vào M,C)
 Tọa độ I (trung điểm AB)

3 3 7 2 3
;
22
m c m c
I
   



(Dựa vào B,A)

2,I d m c 
PT(1)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 15-

Ta có
.0
Mx
BCu 


PT (2)
Giải hệ ra => Tọa độ C,M => Tọa độ B
(Đối xứng qua A,B)
47.
Phân tích: Tương tự câu trên
 
2 ( ;2 3)
1 ( ;6 )
2 ;9 2 2 ';
' 2 ,
C d C c c
M d M m m
B m c m c C
C d m c
  



  

    
 

Tọa độ C,M => Tọa độ C (Đối xứng qua M)

48.
Phân tích: 3 diện tích bằng nhau. Cùng chiều cao
=> Đáy bằng nhau => BC chia thành 3 phần bằng
nhau
 Tìm được M,N => PT d;d’
Giải:
3 tam giác ABM,AMN,ANC có cùng chiều
cao.Diện tích bằng nhau => BM = MN = NC =
BC/3 (Với M là giao d’ với BC, N là giao d với
BC)

BC
BM
3



=> Tọa độ M => PT d’ (Dựa vào
A;M)
 Tượng tự
2BC
BN
3




=> Tọa độ N
=> PT d (A;N)

49.
Phân tích:Tự tìm A (Giao 2 đường thẳng)
Có điểm M; B,C tham số => Tọa độ B,C
Giải:
Tự tìm A (Giao)
Tìm B,C theo phương pháp
B thuộc AB => B (Tham số)
C thuộc AC => C (Tham số)
M là trung điểm B,C => Giải hệ => B,C

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 16-

50.
Phân tích: Có điểm A (Giao 2 d)
Có A,G; B,C tham số => giải hệ tìm được B,C
Giải:
Tự tìm điểm A(Giao d1,d2)
B thuộc d1 => B (tham số)
C thuộc d2 => C(tham số)
Dựa vào điểm G giải hệ => B,C

51.

Tương tự:
Tọa độ A (Giao AB,AC)
B thuộc AB => B(b;-14-4b)
C thuộc AC => C(c;
22
5
c
)
G là trọng tâm => Giải hệ (Dựa vào A,B,C)
Tọa độ B,C

52.
Tương tự:
B thuộc d1 => B(b;5-b)
C thuộc d2 => C(7-2c;c)
Giựa vào A và trọng tâm giải hệ => Tọa độ B,C
Lập PT đường tòn đi qua 3 điểm A,B,C
PT đường tròn

53.
Tương tự:
B thuộc d1 => B(b;5-b)
C thuộc d2=> C(7-2c;c)
Dựa vào trọng tâm G và điểm A => Tìm tọa độ
B,C

 Viếtp PT BG (Dựa B,G)
 Tính R=d(C;BG)
PT đường tròn qua C và R = d(C;BG)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 17-

54.
Phân tích: A thuộc d1; B thuộc d2 => Theo tham
số; M là trung điểm => Giải hệ ra A,B

Giải: Giả sử như hinh vẽ
 C là giao 2 đường
 A,B giải hệ

Lưu ý: Đáp án ở trên là A,B,C như hình (Em vẽ
hình khác thì chỉ thay đổi A,B,C chứ không thay
đổi giá trị như trên nhé)

55.
Phân tích: Có tọa độ C, G;I tham số => Tìm được
G,I
A,B là giao AB và đường tròn tâm I bán kính
IA = AB/2
Giải:
G thuộc d => G(a;2-a);
Gọi I là trung điểm AB => I thuộc AB => C(3-
2c;c)
Giải hệ:
2
3
 

 
CG CI I

Ưng dụng đường tròn:
A,B thuộc AB và IA = IB =
5
2
là nghiệm của hệ
2
22
2 3 0
5
( ) ( )
2
II
xy
x x y y
  




   






Thế PT 1 vào 2 => Tọa độ A,B

56.
Phân tích: Thấy phân giác A => Tự tìm B’
Có B;G tự tìm M (M trung điểm AC)
 PT AC => Tọa độ A (Giao) => Tọa độ C (M)
 Tọa độ B (A,B,G)
Giải:
Tự tìm điểm B’ (đỗi xứng với B qua giao tuyến)
Gọi M là trung điểm AC

2BG GM
 
=> Tọa độ M
 PT AC (Dựa vào M, B’)
 Tọa độ A (Giao AC và phân giác)
 Tọa độ C (Dựa vào A,B,G)



LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 18-

57.
Tương tự bài trên:
Tự tìm điểm B’ (đỗi xứng với B qua giao tuyến)
Gọi M là trung điểm AC

2BG GM
 

=> Tọa độ M
 PT AC (Dựa vào M, B’)
 Tọa độ A
 Tọa độ C (Dựa vào A,B,G)


58.
Phân tích: Tìm được tọa độ B => Tọa độ M
PT AH (AH vuông góc BC – vì tam giác cân)
 Tọa độ H (Giao AH;BC) => Tọa độ C (H trung
điểm) => Tọa độ A (M trung điểm)
Giải:
Tìm tọa độ B (Giao BC và BH)
 PT AH (Đi qua G và vuông góc BC – vì tam
giác cân)
 Tọa độ H (trung điểm BC) => Tọa độ C
 Tọa độ M (Dựa vào B,G) (M là trung điểm
AC)
 Tọa độ A

59.
Phân tích: Có tọa độ A; trung trực => PT AB
 Tọa độ N => Tọa độ B
 Có A;G =>Tọa độ M (Trung điểm BC) => PT
BC.
Giải:
Viết PT AB (Qua A, Dựa vào trung trực)
 Tọa độ N (Giao của AB và d) (N là trung điểm
AB)
 Tọa độ B (Dựa vào A và trung điểm N)

 Tự tìm điểm M (Dựa vào A,G)
 Tọa độ C (Dựa vào B trung điểm M)
PT đường tròn ngoại tiếp (đi qua 3 điểm A,B,C)

60.
Phân tích: Có A;G => Tọa độ M (trung điểm BC)
Có M; AH => PT BC
- có H trực tâm điểm A; B,C tham số dựa
.0CH AB 
 

=> Tọa độ B;C
Giải:

Tự tìm M (Dựa vào A,G)
 Viết PT BC (qua M và vuông góc AH)
C thuộc BC => Tọa độ C (theo ẩn c)
 Tọa độ B (theo ẩn c) (Dựa vào M)
LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 19-

H là trực tập nên:
.0CH AB 
 

 Tọa độ B,C

61.
Phân tích: Tìm được A

Có A; G ; B,C theo tham số => Tọa độ B;C (Giải
hệ)
Tìm tọa độ H (Có thể viết giao 2 đường cao). Ở
đây anh dùng véc tơ.
Giải:Tự tìm điểm A (Giao AB,AC)
Điểm B thuộc AB => B (Tham số)
Điểm C thuộc AC => C (Tham số)
 Dựa vào A,G => Tọa độ B,C (Giải hệ)

Gọi H(x;y) =>
.0
.0
AH BC AH BC
CH AB
CH AB











 
 

Giải hệ => điểm H

 Phương trình đường tròn đi qua điểm H,B,C

62.
Phân tích: (Thường khi có 1 điểm; 1 đường
thẳng)
=> Ứng dụng khoảng cách)
Giải:
G thuộc d => G(a;2-a)
2(2 ) 3
6
( ; ) ; ( ; )
55
( ; ) 1
( ; ) 3 ( ; )
( ; ) 3
aa
d C BC d G BC
d G BC
d C BC d G BC G
d C BC
  

   

 Tọa độ M (Dựa vào C;G)
 A thuộc AB => A(3-2a;a)
 ÂM = AB/2 => Tọa độ A => Tọa độ B
(Lưu ý: A,B nó sẽ đối xứng qua M nên có 2 đáp
án)

63.
Tương tự bài trên:
Kẻ
;;CH AB IG AB CI AB F   

Tính độ dài AB => Tính CH (Dựa vào diện tích)
 IG = CH/3 (Talet)
I thuộc d => I(a;3a-8)
Viết PT AB => d(I;AB) = IG
Tìm tọa độ I => Tọa độ C (Dựa vào A,B,I)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 20-

64.
Tương tự bài trên:
Kẻ
;;CH AB IG AB CI AB F   

Tính độ dài AB => Tính CH (Dựa vào diện tích)
 IG = CH/3 (Talet)
I thuộc d => I(a;3a-8)
Viết PT AB => d(I;AB) = IG
Tìm tọa độ I => Tọa độ C (Dựa vào A,B,I)

65.
Phân tích: Để ý tam giác cân tại C
=> Gọi H là trung điểm AB
=> CH đi qua G và vuông góc AB

=> Viếtp PT CH (Dựa vào G và AB)
=> Tọa độ H (Giao CH và AB)
=> Tọa độ C (Dựa vào
2
3
CG CH
 
) => d(C;AB)
1
( ; ).
2
ABC
S d C AB AB AB 
=> AH= AB/2
A thuộc AB => A(a;2-a) => Tọa độ A (Dựa vào
độ dài AH)
 Tọa độ B (Dựa vào A, trung điểm H)
Viết PT đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

66.
Phân tích:
Tự tìm điểm H (Giao d1 và d2)
26
( ; ) ; ( ; ) 3 ( ; )
55
d G BC AH d A BC d G BC   

A thuộc AH => A(a;2a+1)
 Tọa độ A( Dựa vào AH)
 Tọa độ M (M là trung điểm BC)


1
.
2
ABC
S BC AH BC 

 BM = BC/2
 B thuộc BC => B (Tham số)
 Tọa độ B (Dựa vào BM)
 Tọa độ C (Trung điểm M)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 21-

67.
Phân tích: G là trọngt âm => Sử dụng tính chất
A thuộc d => A(a;2a+1)
 Tọa độ M (Dựa vào A;G) theo a
 M thuộc BC => Tọa độ M => Tọa độ A

ABC
1
S d( A;BC).BC BC
2
 

 Tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn tâm
M bán kính BC/2

68.
Phân tích: Có M,G => Tìm A
- Tam giác ABC cân tại A => PT BC
- Tam giác ABC vuông tại A => AM = BM=AC
- Tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn tâm M
bán kính AM.

69.
Phân tích: Để ý N trung điểm AM;
d(A;BC)=d(D;BC)
 I là trung điểm AD (I là giao AD và MI)
 G là trọng tâm tam giác AMD (Giao của 2
đường trung tuyến)
Giải:
AI = ID (Vì d(A;BC)=d(D;BC) => I là trung điểm
AD
- Gọi G là giao DN với MI
 G là trọng tâm (Giao 2 đường trung tuyến)
 Tìm G
15
;
33




(Dựa vào tính chất)
 => PT BC (Dựa vào G và C)
 Tọa độ B

 Tọa độ M (Dựa vào B,C)
 Tọa độ A (Dựa vào N và M)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 22-

70.
Phân tích: Tìm trọng tâm G (Giao 2 đường trung
tuyến)
 Tọa độ M (Dựa vào B;G) – Tính chất trọng
tâm
ABC ABM ABM
S 2S S 1  

(Vì d(A;BM)=d(C;BM) - talet nên S
AMB
=S
BMC
)
-
ABM
1
S d(A;BM).BM
2

(A thuộc trung AG =>
A tham số; BM tính được) => Tọa độ A
- => Tọa độ C (Dựa vào M)
Giải: Tự tìm tọa độ G (Giao 2 trung tuyến)

Gọi M là trung điểm AC => Tọa độ M
(
BG 2GM
 
)
 Độ dài BM
(Hoặc có thế tính độ dài BG => độ dài GM =
½ BG)
- A thuộc AG => Tọa độ A(a;2-a)
ABC ABM ABM
S 2S S 1  

(Vì d(A;BM)=d(C;BM) - talet nên S
AMB
=S
BMC
)
ABM
6a 4
1 1 5
S d(A;BM).BM . 1
22
50 2

  

Tự giải tiếp => 2 TH

71.
Phân tích: S

ABC
= d(C;AB).AB/2
Có AB rùi; PT AB viết được ; C tham số
Giải:
- Tính độ dài AB
Áp dụng:
1
. ( ; ) ( ; )
2
ABC
S AB d C AB d C AB

 

- Viết PT AB (Dựa vào A;B)
C thuộc d => C(3c-4;c)
Tọa độ C (Dựa vào d(C;AB)

72.
Tương tự bài trên!
- Tính độ dài AB
Áp dụng:
1
. ( ; ) ( ; )
2
ABC
S AB d C AB d C AB

 

- Viết PT AB (Dựa vào A;B)
C thuộc d => C(3c-4;c)
Tọa độ C (Dựa vào d(C;AB)

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 23-

73.
Phân tích:
I thuộc d => I(a;a)
 Tọa độ C (Dựa vào A, trung điểm I)
Tính độ dài AB và viết PT AB
Áp dụng:
1
. ( ; )
2
ABC
S AB d C AB



Tọa độ C

Hoặc S
IAB
= d(I;AB).AB => Tọa độ I (S
IAB
= S
ABC

/2)

74.
Phân tích: d đường trung bình => Tìm được A’
(đối xứng với A qua A’)
 PT BC (Qua A’ và // d) => Tọa độ I
 S
ABC
= AA’.BC/2 => BC
 Tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn tâm
I bán kính BC/2
Giải:
Tự tìm A’ là điểm đối xứng với A qua d1
 Viết PT BC (Qua A’ và nd1 là pháp tuyến)
 Tọa độ I (Giao BC với d2)
1
'.
2

 
ABC
S AA BC BC

 Tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn tâm
I bán kính BC/2
(Lưu ý: Dựa vào điều kiện tọa độ C có hoành độ
lớn hơn 1 để loại nghiệm)

75.

Phân tích: Dễ
1
. ( ; )
2

 
ABC
S AB d C d AB

Tọa độ: A,B là giao của AB và đường tròn tâm I
bán kính AB/2


LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 24-

76.
Phân tích: Viết PT AI (Vì tam giác cân nên AI
vuông góc BC) => Tọa độ I
Giải:
- Viết PT AI (Qua A và uBC)
=> Tìm tọa độ I (giao AI,BC)
1

2
ABC
S AI BC AI BI



=> BI
 Tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn tâm
I bán kính IB.

77.
Dạng: Điểm M bất kỳ và C,M,B thẳng hàng
=>
;CM MB
 
cùng phương
(Nhớ cho anh cái này)
Viết PT CI (Do tam giác cân và I là trung điểm)
(Qua I và vuông góc AB)

B thuộc AB => B (tham số)
C thuộc CI => C( tham số)
C,M,B thẳng hàng =>
;CM MB
 
cùng phương
2 . 2 5 16 0(1)




    
MC
BM
M C B M
C B B C

xx
xx
y y y y
x y y x

1

2
4 2 8 2


    
ABC
B C C B
S CI AB CI AI
y x x y

Bỏ trị tuyển đối xét 2 trường hợp.
Kết hợp với 1 giải hệ (Sử dụng phương pháp thế)
(Gợi ý: Nhận 2 vào (2) rùi cộng, trừ vế để triệt tiêu
x
C
.y
B
sau đó rút rùi thế)
Lưu ý: Dựa vào điều kiện tung độ B:
3y 
để loại
nghiệm

78.
Phân tích: M thuộc d => M tham số
S
MAB
= S
MCD
11
d(M;AB).AB d(M;CD).CD
22


Tự viết PT AB, PTCD (Dựa vào các điểm)
 Áp dụng công thức khoảng cách


79.
Phân tích: Dạng bài góc => Sử dụng công thức
cos
Có khoảng cách từ I => Sử dụng khoảng cách!

LUYỆN THI THỦ KHOA - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390

- 25-


Giải:
Gọi
n (a;b)

véc tớ pháp tuyến.

Đường thẳng tọa với d một góc 45
0
(
d
n (2; 1)


d
0
d
n.n
cos 45
n .n

 
 

a 3b
b 3a






Xét 2 TH: Chọn b = 1 = > a = 3
=> PT : 3x + y + m = 0
Dùng công thức khoảng cách d(I’d) tìm ra m

80.
Phân tích: Thấy d1 vuông góc d2 (véc tớ pháp
tuyến n
1
.n
2
= 0).
Có 2IA = IB => AB =
5IA
(Pitago)
Giải:
Giả sử:
22
d
n (a;b);(a b #0)

là véc tớ pháp tuyến cùa d


d d1
d d1
n .n
IA 1
cosIAB
AB
5
n . n
  
 
 

 3b
2
+ 4ab = 0  b = 0 hoặc 4a = -3b
 Chọn …
 PT d (đi qua O. …)


81.
Phân tích: Dạng góc tạo bởi 2 đường thẳng
Gọi
22
AB
n (a;b);(a b #0)

là véc tớ pháp tuyến
AB
Tự sử dụng công thức góc (cos…)

a0
b0





(Xét 2 TH).
Cách 1:
TH1: xét a = 0; chọn b = 1
PT CM (Qua I vuông góc AB) - tính chất tam giác

đều nội tiếp
 Tọa độ M (Giao CM với AB)
 PT AB (Qua M có véc tớ pháp tuyến)
TH2: xét b = 0; chọn a = 1
….
Cách 2: (Dùng khoảng cách)
TH1: xét a = 0; chọn b = 1 => PT AB: y + m = 0
d(I;AB) =
1
R
2
(Sử dụng công thức khoảng cách)
=> Giá trị m => PT AB
Tương tự TH2