Hệ điều khiển tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Thanh Thủy
HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
1
Mục lục
Danh mục ký hiệu 3
Mở đầu 6
Chương1. Một số kiến thức bổ trợ 8
1.1 Một số kiến thức của tôpô và giải tích hàm . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Khái niệm sigma-đại số ( σ− đại số) . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue . . . . . . . . . . 14
1.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình vi phân . . . . 17
1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . 19
Chương2. Một số tính chất định tính của hệ tuyến tính có điều
khiển 22
2.1 Tập đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Khái niệm tập đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2 Tính chất của tập đạt được . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương3. Bài toán điều khiển tối ưu và nguyên lý cực đại Pon-
triagin 29
3.1 Dạng tổng quát của bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 30
3.1.1 Tổng quan về bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 30
3.2 Nguyên lý cực đại Pontriagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
Chương4. Điều khiển tối ưu hệ tuyến tính 38
4.1 Phương pháp quy hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Nguyên lý cực đại là điều kiện cần và đủ của tối ưu cho bài
toán tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54
3
Danh mục ký hiệu
R trường các số thực
C trường các số phức
∅ tập rỗng
x ∈ M phần tử x thuộc tập M
y /∈ M phần tử y không thuộc tập M
∀ x với mọi x
∃ x tồn tại x
M ⊆ N M là một tập con của N
|x| giá trị tuyệt đối của x
||x|| chuẩn của x
x, y tích vô hướng của các vectơ x, y
f
x

0
, y giá trị của toán tử f
x
0
tại y
f
x
(x
0
, y
0
) đạo hàm của hàm f theo biến thứ nhất tại điểm (x
0
, y
0
)
˙x(t) đạo hàm của x(.) tại t
dx
dt
đạo hàm của x(.) tại t
max
x∈K
f(x) maximum của tập số thực {f(x) | x ∈ K}
min
x∈K
f(x) minimum của tập số thực {f(x) | x ∈ K}
M(m, n) tập các ma trận cấp m × n
A = (a
ij
) ma trận A với các thành phần a

ij
A
∗
ma trận chuyển vị của ma trận A
A
−1
ma trận nghịch đảo của ma trận A
0 phần tử không của các không gian vectơ
4
LỜI CẢM ƠN
Mặc dù một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn
của tôi, nhưng tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn của
mình để được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy
cô giáo, những người đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy PGS. TS. Tạ Duy Phượng đã hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập
nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Thủy
5
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội
đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm.
Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn là trung thực, mọi
sự giúp đỡ trong việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và những
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
6

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học
ứng dụng quan trọng, mới được phát triển khoảng 50 năm trở lại đây.
Nội dung chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và
các phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải số
các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ,
kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa
tham số điều khiển và cần đến những công cụ toán học để giải.
Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết
điều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến
lược điều khiển, sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này
sang một trạng thái khác. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ
đến các bài toán khác như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán
ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được.
Lý thuyết định tính của hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều
khiển trong không gian R
n
đã được nghiên cứu và hoàn thiện vào những
năm 50-70 của thế kỉ trước và cho tới nay vẫn được quan tâm nghiên
cứu và có thêm nhiều kết quả mới. Với mong muốn tìm hiểu một số
vấn đề của lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển, tôi
chọn Hệ điều khiển tuyến tính làm đề tài luận văn cao học.
7
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày tổng quan về các tính chất định tính của hệ điều
khiển tuyến tính, chủ yếu dựa trên các tài liệu [1]-[5].
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu và trình bày trong một luận văn cao học các kiến
thức cơ bản nhất của hệ điều khiển tuyến tính.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính.
Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu viết về Hệ
điều khiển tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức của Giải tích, Giải tích hàm và Phương trình vi
phân để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp
và trình bày các tài liệu có liên quan đến các vấn đề mà luận văn đề cập
tới.
8
Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ
1.1 Một số kiến thức của tôpô và giải tích hàm
1.1.1 Tôpô
Định nghĩa 1.1
Không gian tôpô là một cặp (X, τ), trong đó X là một tập hợp, τ là một
họ các tập con của X thỏa mãn:
1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ
2) U
1
, U
2
∈ τ suy ra U
1
∩ U
2
∈ τ;
3) U
t
∈ τ (∀t ∈ T ) suy ra


t∈T
U
t
∈ τ.
Mỗi phần tử của τ được gọi là tập mở của X; họ τ được gọi là một tôpô
trên X. Tập U ⊂ X được gọi là một lân cận của điểm x ∈ X, nếu tồn tại
tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.2
Giả sử K là một trường số thực hoặc số phức. Tập hợp X = ∅ cùng với
hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa mãn các tiên đề sau:
1) (X; +) là một nhóm Abel.
2) X cùng với phép nhân vô hướng thỏa mãn:
a, α(x + y) = αx + αy với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ K.
b, (α + β)x = αx + βy với mọi x ∈ X và với mọi α, β ∈ K.
9
c, α(β)x = (αβ)x = αβx với mọi x ∈ X và với mọi α, β ∈ K.
d, 1x = x với mọi x ∈ X
thì X gọi là không gian tuyến tính trên trường K.
Kết hợp hai khái niệm không gian tôpô và không gian tuyến tính ta đi đến
khái niệm không gian tôpô tuyến tính như sau.
Định nghĩa 1.3
1.1.2 Tôpô yếu
Tôpô σ(X, Γ)
Phiếm hàm tuyến tính f : X → R là phiếm hàm thỏa mãn
f(αx
1
+ βx
2
) = αf(x

1
) + βf(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X.
Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính tạo nên không gian tôpô (X
∗
, T
∗
) đối
ngẫu với (X, T ) . Giả sử Tập X được gọi là một không gian tôpô tuyến tính
trên trường số thực R hoặc trường số phức C, nếu
1) X là một không gian tuyến tính;
2) X là một không gian tôpô ( với tôpô τ);
3) Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R hoặc C là
liên tục. X là một không gian định chuẩn, X
#
là không gian đối ngẫu đại
số của X và tập Γ ⊂ X
#
. Với x ∈ X, ta xét họ V
x
tất cả các tập con của X
có dạng:
V (x; f
1
, f

2
, , f
n
; ε) = { y ∈ X : |f
i
(x) − f
i
(y)| < ε, i = 1, , n} ,
trong đó n là một số tự nhiên tùy ý, f
i
∈ Γ(i = 1, , n), ε là số dương tùy ý.
Đặt V = {V
x
: x ∈ X} . Họ V thỏa mãn các tính chất của hệ đầy đủ các lân
cận của X, và do đó trên X tồn tại duy nhất một tôpô nhận V
x
làm cơ sở
lân cận của điểm x ∈ X. Tôpô này được gọi là tôpô trên X xác định bởi họ
Γ ⊂ X
#
, kí hiệu là σ(X, Γ).
Tôpô σ(X, Γ) là tôpô yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến
10
tính f ∈ Γ trở thành liên tục.
Tôpô yếu
Giả sử X là không gian định chuẩn. Ta xét trường hợp Γ = X
∗
. Khi đó
x = sup
f∈X,f1

|f(x)| .Tôpô σ(X, X
∗
) được gọi là tôpô yếu trên không gian
X.
1.1.3 Hội tụ yếu
Định nghĩa 1.4
Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K. Kí hiệu
X
∗
= L(X, K) là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Dãy
{x
n
} được gọi là hội tụ yếu đến x trong X nếu mọi x
∗
∈ X
∗
hội tụ đến
x
∗
(x) ∈ K.
Kí hiệu: x
n
w
−→ x.
Chú ý
Sự hội tụ theo chuẩn trong không gian tuyến tính định chuẩn được gọi là
hội tụ mạnh.
Mệnh đề 1.1
Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó, dãy {x
n

} ⊂ X hội tụ yếu
đến x ∈ X ⇔ f(x
n
) → f(x) (∀f ∈ X
∗
).
Nếu dãy {x
n
} ⊂ X hội tụ yếu đến x ∈ X, thì ta kí hiệu
x = w − lim
n→∞
x
n
.
Khi đó, x được gọi là giới hạn yếu của của dãy {x
n
} .
1.1.4 Tập compact
Định nghĩa không gian metric
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d : X × X :→ R thỏa:
11
1. d(x, y)  0, ∀x, y ∈ X;
2. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
3. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính đối xứng);
4. d (x, z)  d (x, y) + d (y, z) ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X và cặp (X, d) được
gọi là một không gian mêtric.
Không gian metric (X, d) thường được viết là X với d được hiểu ngầm khi
không bị nhầm lẫn.
Tập compact

Cho các không gian mêtric (X, d).
1. Một họ {G
i
: i ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập
A ⊂ X nếu A ⊂

i∈I
G
i
.
Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn.
Nếu mọi G
i
là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.
2. Tập A ⊂ X được gọi là một tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta
luôn có thể lấy được một phủ hữu hạn.
Tập compact yếu
Giả sử X là không gian định chuẩn, M ⊂ X. Tập M được gọi là compắc
yếu theo dãy, nếu mọi dãy {x
n
} ⊂ M đều chứa một dãy con hội tụ đến một
phần tử x
0
∈ M.
12
1.2 Lý thuyết độ đo
1.2.1 Khái niệm sigma-đại số ( σ− đại số)
Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Khi đó, một họ F các tập con
của X được gọi là sigma− đại số các tập con của X nếu F thỏa mãn ba
điều kiện sau:

1. X ∈ F.
2. Nếu A ∈ F thì X\A ∈ F.
3. Nếu A
1
, A
2
, , A
n
∈ F thì
n

k=1
A
k
∈ F .
Nếu S là tập con bất kì của X, thì ta luôn luôn có thể tìm thấy một σ−đại
số có chứa S, là tập hợp lực lượng của X (Tập hợp gồm tất cả các tập con
của X ). Bằng cách lấy giao tất cả các σ−đại số có chứa S, ta cũng được
một σ−đại số. Đây là σ−đại số nhỏ nhất chứa S và được gọi lF σ−đại số
sinh ra bởi S.)
1.2.2 Độ đo
Trong toán học, một độ đo là một hàm số cho tương ứng một "chiều dài",
một "thể tích" hoặc một "xác suất" với một phần nào đó của một tập hợp
cho sẵn. Nó là một khái niệm quan trọng trong giải tích và trong lý thuyết
xác suất. Một cách hình thức, độ đo µ là một hàm số cho tương ứng mỗi
phần tử S của một tập σ - đại số X với một giá trị µ(S) là một số thực
không âm hoặc vô hạn. Các tính chất sau đây phải được thỏa mãn:
• Tập hợp rỗng có độ đo bằng không: µ(∅) = 0.
• Độ đo là σ - cộng tính: nếu E
1

, E
2
, là các tập hợp chứa trong σ - đại
số X, đếm được và không giao nhau từng đôi một, và nếu E là hợp của
chúng, thì độ đo µ(E) bằng tổng

∞
k=1
µ(E
k
).
13
• Nghĩa là µ(

∞
k=1
E
k
) =

∞
k=1
µ(E
k
).
Nếu µ là một độ đo trên σ - đại số X, thì mọi phần tử của σ-đại số X được
gọi là µ-đo được (µ-mesurable), hay đơn giản hơn là đo được. Một bộ gồm
tập hợp Ω, một σ -đại số X trên Ω và một độ đo (µ trên X được gọi là một
không gian đo được, ký hiệu là (Ω, X, µ).) Các tính chất sau đây có được từ
các tiên đề trên:

• Nếu E
1
, E
2
, là các tập đo được và E
1
là tập con của E
2
,
thì µ(E
1
)  µ(E
2
).
• Nếu E
1
, E
2
, E
3
, là các tập đo được và E
n
chứa trong E
n+1
với mọi n,
vậy thì hợp E của các tập E
n
là đo được và µ(E) = lim µ(E
n
).

• Nếu E
1
, E
2
, E
3
, là các tập đo được và E
n+1
chứa trong E
n
với mọi n,
vậy thì giao E của các tập E
n
là đo được; hơn nữa, nếu tồn tại một tập
E
n
có độ đo hữu hạn, thì µ(E) = lim µ(E
n
).
Một tập S được gọi là hầu như rỗng hay có thể bỏ được nếu µ(S) = 0. Độ
đo µ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập hầu như rỗng là đo được
(một tập con như vậy thì bản thân nó cũng là một tập hầu như rỗng).
Sau đây là một vài ví dụ tiêu biểu về độ đo:
• Độ đo đếm được định nghĩa bởi µ(S) = số phần tử của S.
• Độ đo Lebesgue là độ đo đủ duy nhất bất biến qua phép dịch chuyển
trên σ -đại số chứa các các đoạn trên R sao cho µ([a,b]) = b-a với a<b.
• Độ đo không được định nghĩa bởi µ(S) = 0 với mọi S.
• Các khái niệm metric như độ dài, diện tích, thể tích đều là độ đo.
Dựa trên cơ sở lí thuyết độ đo Lebesgue ta có một số định nghĩa sau:
14

Định nghĩa 1.5
Tập con N ⊆ R
n
được gọi là tập có độ đo 0, nếu N có thể phủ bởi hợp
đếm được của những hình hộp có tổng thể tích không vượt quá một số dương
ε cho trước bất kì.
Ví dụ : Những tập hữu hạn hoặc những tập đếm được có độ đo bằng 0.
Định nghĩa 1.6
Hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên tập A ⊆ R
n
được gọi là bằng nhau
(hoặc trùng nhau) hầu khắp nơi nếu như tập giá trị khác nhau của chúng là
tập có độ đo 0. Tức là:
x ∈ A ⊆ R
n
, x =







x
1
x
2
.
.
.

x
n







, f
1
(x) : A → R, f
2
(x) : A → R,
f
1
(x) = f
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), f
2
(x) = f
1
(x
1

, x
2
, . . . , x
n
), x ∈ A,
B = {x ∈ A : f
1
(x) = f
2
(x)} .
Nếu mesB = 0 thì ta nói f
1
(x) = f
2
(x) hầu khắp nơi.
Định nghĩa 1.7
Hàm h(t) được xác đinh trên một khoảng số thực J được gọi là đo được
nếu ∀α , β tập {t/t ∈ J , α < h(t) < β} đo được trong R
1
.
1.2.3 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue
Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000
năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề
mặt và thể tích khối của hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp
tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số,
15
hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Phép toán vi phân và tích phân (giải tích toán học), đã được Leibniz (1646–1716)
và Newton (1642–1727) xây dựng hoàn chỉnh. Có thể coi tích phân là phép
toán ngược của vi phân. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán

học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán
học, vật lý và thiên văn học.
Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong
đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho khái niệm tích phân. Tích phân Riemann
dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue.
Tích phân theo Lebesgue được định nghĩa như sau:
Cho không gian độ đo và A ∈ F, f : A → R là hàm đo được.
(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =
n

i=1
a
i
1
A
i
với A
i
∈ F ,
A
i
∩ A
j
= ∅ , (i = j) và
n

i=1
A
i
= A thì ta định nghĩa tích phân của f trên

A theo độ đo µ là:

A
fdµ: =
n

i=1
a
i
µ(A
i
).
(b) Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản,
không âm f
n
sao cho:
f
n
(x)  f
n+1
(x) , lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) với mọi x ∈ A.
Khi đó ta định nghĩa

A
fdµ = lim


A
fdµ.
Chú ý rằng, tích phân hàm đo được không âm luôn tồn tại, là số không âm
và có thể bằng +∞.
(c) Nếu f là hàm đo được thì f
+
(x) = max {f(x), 0} , f
−
(x) = max {−f(x), 0}
là các hàm đo được, không âm và ta có f(x) = f
+
(x) − f
−
(x). Nếu ít nhất
một trong các tích phân

A
f
+
dµ ,

A
f
−
dµ là số hữu hạn thì ta định nghĩa:

A
fdµ =

A

f
+
dµ −

A
f
−
dµ.
16
Ta nói f khả tích trên A nếu

A
fdµ tồn tại và hữu hạn.
Nhận xét
1. Nếu h(t) là đo được trên J thì tồn tại tập đóng C trên đó h(t) liên tục.
Giả sử h(t) đo được, ta định nghĩa

J
h(t)dt là giới hạn của tổng xấp xỉ,
nếu J hữu hạn thì ta nói h(.) là khả tích (theo Lebesgue).
2. Nếu
˜
h(t) = h(t) trên tập có độ đo bằng 0 thì

J
h(t)dt =

J
˜
h(t)dt.

3. Nếu h(t) là liên tục từng khúc và J là một tập compact thì tích phân
Lebesgue và tích phân Riemann trùng nhau.
Giả sử h(t) là hàm khả tích trên J. Xét H =
t

t
0
h(s)ds, t
0
 t  t
1
. Khi ấy
H(t) là hàm liên tục tuyệt đối.
Tính chất
1. H(t) là hàm liên tục tuyệt đối.
2. H(t) có đạo hàm hầu khắp nơi và
dH(t)
dt
= h(t).
Ví dụ
Hàm y = |t| là hàm không có đạo hàm tại t = 0 nhưng nó lại liên tục
tuyệt đối vì ∀ε > 0, ∃δ = ε > 0 , |t
1
− t
2
| < δ ⇒ |f(t
1
) − f(t
2
)| < ε.

Khái niệm hội tụ
Xét dãy {u
n
(t)} , u
n
(t) là khả tích trên J, được gọi là hội tụ yếu tới hàm
u
∗
(t) nếu với mọi hàm đo được bị chặn g(t) ta có:
lim

J
g(t)u
n
(t)dt =

J
g(t)u
∗
(t)dt.
17
Nhận xét
Tập tất cả các hàm vectơ u(t) đo được trên một khoảng hữu hạn J nhận
giá trị trong một tập compact lồi Ω ⊆ R
m
là tập compact yếu, nghĩa là
nếu dãy {u
n
k
(t)} đo được và hội tụ yếu đến u

∗
(t) thì u
∗
(t) đo được và
u
∗
(t) ∈ Ω ∀t ∈ J hầu khắp nơi.
Ví dụ
Xét u : J → R,
L
p
:= u(.) :

J
|u(t)|
p
dt tồn tại và hữu hạn là không gian Banach với
chuẩn u
p
 = (

|u(t)|
p
)
1
p
.
Quả cầu đóng trong L
p
là tập B(0, r) =


u(.) , u
p
 r

là tập compact
yếu.
1.3 Hệ phương trình vi phân
1.3.1 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình vi phân
Xét hệ phương trình vi phân
˙x
i
= f
i
(t, x
1
, · · · , x
n
), i = 1, · · · n
với f(t, x) là xác định trong tập mở J × O ⊂ R
1+n
.
Định lý Caratheodory
(a) Với mỗi t ∈ J cố định, hàm f
i
(t, x) là thuộc lớp C
1
với mỗi x ∈ O;
(b) Với mỗi x ∈ O cố định, hàm f
i

(t, x) là đo được với t ∈ J;
(c) Với mọi tập compact J
c
⊂ J và K ⊂ O, tồn tại một hàm m(t) khả tích
trên J sao cho |f(t, x)|  m(t) và



∂f
∂x
(t, x)



 m(t)∀(t, x) ∈ J × K.
Khi ấy với mỗi điểm ban đầu (t
0
, x
0
) ∈ J × O tồn tại duy nhất hàm vectơ
x = ø(t, t
0
, x
0
) với ø(t
0
, t
0
, x
0

) = x
0
xác định trên τ
−
(t
0
, x
0
) < t < τ
+
(t
0
, x
0
),
liên tục tuyệt đối trên một tập mở D ⊂ R
1+n
và thỏa mãn
18
dø(t,t
0
,x
0
)
dt
= f(t, ø(t, t
0
, x
0
))

hầu khắp nơi trên τ
−
(t
0
, x
0
) < t < τ
+
(t
0
, x
0
).
Hàm liên tục tuyệt đối ø(t, t
0
, x
0
) được gọi là nghiệm suy rộng của phương
trình vi phân đã cho.
Với mỗi (t, t
0
), hàm ø(t, t
0
, x
0
) thuộc lớp C
1
tại x
0
và vecto

∂ø(t,t
0
,x
0
)
∂x
j
0
, với mỗi
j = 1, 2, . . . n, là liên tục tuyệt đối theo t và thỏa mãn hệ phương trình vi
phân tuyến tính
d
dt

∂ϕ
i
∂x
j
0

=
n

k=1
∂f
i
∂x
k
(t, ø(t, t
0

, x
0
))

∂ϕ
k
∂x
j
0

.
Nhận xét
1. Xét hệ ˙x = f(t, x, λ), λ =




λ
1
.
.
.
λ
m




∈ R
m

- là vectơ tham số
Nếu hàm f(t, x, λ) xác định trên một tập mở J × O × Λ ⊂ R
1+n+m
,
và với mỗi λ
0
∈ Λ các điều kiện (a), (b),(c) của định lý được thỏa mãn.
Khi ấy tồn tại nghiệm x = ø(t, t
0
, x
0
, λ
0
) thỏa mãn điều kiện ban đầu
(t
0
, x
0
) cho giá trị tham số λ. Hơn nữa, nếu điều kiện (a) và (c) được
thay bằng điều kiện mạnh hơn
(a’) Với mỗi t ∈ J, hàm f(t, x, λ) thuộc lớp C
k
, (k = 1, 2, 3, . . .) với
(x, λ) ∈ O × Λ và
(c’) Với các tập compact J
c
⊂ J, K ⊂ O, L ⊂ Λ tồn tại hàm khả tích
m(t) trên J
c
sao cho

|Df(t, x, λ)|  m(t)∀(t, x, λ) ∈ J
c
× K × L
với mọi đạo hàm riêng D có bậc  k theo (x, λ). Khi đó hàm ø(t, t
0
, x
0
, λ)
là một hàm liên tục trong tập mở O

⊂ R
1+1+n+m
và thuộc lớp C
k
theo
(x, λ).
19
2. Nếu f(t, x, λ) mà liên tục trong J × O × Λ ⊂ R
1+n+m
và nó thỏa mãn
điều kiện (a’) và (c’) thì điều kiện (b) tự động được thỏa mãn. Khi ấy
ta có nghiệm ø(t, t
0
, x
0
, λ) thuộc lớp C
1
trong lân cận O

⊂ R

1+n+m
và
thỏa mãn phương trình vi phân tại mọi điểm trong khoảng τ
−
(t
0
, x
0
) <
t < τ
+
(t
0
, x
0
).
3. Trong nhiều bài toán ta có τ
+
= +∞. Nếu J = (t
0
, +∞) và nếu thêm
một điều kiện nữa là nghiệm đi qua (t
0
, x
0
) nằm trong một tập compact
K ⊂ O ⊂ R
n
với t  t
0

, khi đó nghiệm kéo dài được tới vô cùng, tức là
τ
+
(t
0
, x
0
) = +∞.
1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không dừng
˙x = A(t)x (1.1)
với
A(t) =




a
11
(t) · · · a
1n
(t)
· · · · · · · · ·
a
n1
(t) · · · a
nn
(t)





, x =




x
1
.
.
.
x
n




.
Nghĩa là hệ (1.1) có dạng:









˙x

1
= a
11
(t)x
1
+ · · · + a
1n
(t)x
n
,
· · ·
˙x
n
= a
n1
(t)x
1
+ · · · + a
nn
(t)x
n
.
(1.2)
Theo Định lí Caratheodory, nếu A(t) xác định trên toàn trục số và khả
tích địa phương (khả tích trên mọi khoảng (a, b) hữu hạn, thì, do tính chất
tuyến tính, hệ (1.2) có n nghiệm x
(i)
(t) kéo dài tới vô cùng, thỏa mãn điều
kiện ban đầu x
(i)

(t
0
) = x
(i)
0
, i = 1, . . . , n, trong đó
20
x
(i)
0
=
















0
.
.

.
0
1
0
.
.
.
0
















(1 ở vị trí thứ i.)
Ma trận
Φ(t) =





x
(1)
1
(t)
.
.
.
x
(1)
n
(t)
· · ·
x
(n)
1
(t)
.
.
.
x
(n)
n
(t)




, Φ(t
0

) = I
được gọi là là ma trận cơ bản của hệ (1.1).
Ma trận Φ(t) khả nghịch vì có các cột độc lập tuyến tính.
Xét hệ phương trình ma trận
d
dt
X(t) = A(t).X(t) (1.3)
hay




˙x
11
(t) . . . ˙x
1n
(t)
. . . . . . . . .
˙x
n1
(t) . . . ˙x
nn
(t)




=





a
11
(t) . . . a
1n
(t)
. . . . . . . . .
a
n1
(t) . . . a
n1
(t)




.




x
11
(t) . . . x
1n
(t)
. . . . . . . . .
x
n1

(t) . . . x
nn
(t)




Ma trận Φ(t) là nghiệm của (1.3) thỏa mãn Φ(t
0
) = I.
Nghiệm x(t) của (1.2) có dạng
x(t) = Φ(t)C với C =




c
1
.
.
.
c
n




bất kì.
Nếu x(t
0

) = x
0
thì x(t) = Φ(t
0
)c = c ⇒ x(t) = Φ(t)x
0
.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
21
˙x = A(t)x + f(t).
Nghiệm của hệ này được biểu diễn dưới dạng
x(t) = Φ(t)x
0
+
t

t
0
Φ(t)Φ
−1
(s)f(s)ds.
Trong lý thuyết điều khiển hệ tuyến tính, ta thường xét hệ
˙x(t) = A(t)x + B(t)u,
trong đó u(t) được gọi là hàm điều khiển. Công thức biểu diễn nghiệm của
hệ này là
x(t) = Φ(t)x
0
+
t


t
0
Φ(t)Φ
−1
(s)B(s)u(s)ds.
22
Chương 2
Một số tính chất định tính của hệ
tuyến tính có điều khiển
2.1 Tập đạt được
2.1.1 Khái niệm tập đạt được
Xét hệ phương trình vi phân thường có điều khiển dạng
dx
dt
= f(t, x, u), t  0 (2.1)
hoặc
˙x(t) = f(t, x, u), t  0.
Vectơ x ∈ R
n
được gọi là biến trạng thái;
R
n
được gọi là không gian trạng thái;
u ∈ R
n
được gọi là biến điều khiển;
Hàm u : [0, ∞) → R
m
là đo được (hoặc liên tục từng khúc theo t ), thỏa
mãn

u(t) ∈ U ⊂ R
m
, t  0
được gọi là điều khiển chấp nhận được.
Tập U được gọi là tập hạn chế trên biến điều khiển;
Hàm f : [0, ∞)× R
n
× U → R
n
là một véctơ hàm n chiều, liên tục theo cả
ba biến t, x, u. Như vậy, với mỗi điều khiển chấp nhận được u(t) đã chọn
23
trên [0, T] , hàm f(t, x(t), u(t)) là một hàm khả tích địa phương theo t, hệ
(2.1) trở thành phương trình vi phân thường
dx
dt
= f(t, x(t), u(t)) =
˜
f(t, x(t)).
Theo định lí Caratheodory, tồn tại duy nhất nghiệm x(t, x
0
, u(t)) (phụ thuộc
vào u(t) ),
x(t) = x
0
+
t

0
f(s, x(s), u(s))ds

thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x
0
,với x
0
∈ R
n
là một véc tơ cho trước.
Nghiệm x(t, x
0
, u(t)), được gọi là quỹ đạo của hệ (2.1) xuất phát từ x
0
sinh
ra bởi điều khiển u(t).
Với mỗi T > 0, tập
R(T ) := R(T, x
0
, U) := x(T ) : ∃u(t) ∈ U∀t ∈ T, x(T) = x(T, x
0
, u(.))
là tập tất cả các điểm cuối x(T ) của quỹ đạo x(t, x
0
, u(t)), khi chọn tất cả
các điều khiển chấp nhận được u(t), được gọi là tập đạt được của hệ (2.1)
tại thời điểm T xuất phát từ điểm x
0
.
2.1.2 Tính chất của tập đạt được
1. Tính lồi của tập đạt được. Trường hợp là tập lồi và hệ là tuyến
tính theo biến điều khiển
Xét hệ tuyến tính theo cả hai biến trạng thái và biến điều khiển

dx
dt
= A(t)x(t) + B(t)u(t), t  0 (2.2)
với u(t) là các điều khiển chấp nhận được, U là tập lồi trong không gian
hữu hạn chiều R
m
.
Định lí 2.1
Nếu U là tập lồi thì với mọi T > 0, R(T ) cũng là một tập lồi trong
không gian hữu hạn chiều R
m
.
24
Chứng minh
Giả sử x
1
(T ) ∈ R(T ) và x
2
(T ) ∈ R(T ) . Khi ấy tồn tại hai điều
khiển chấp nhận được u
1
(t) và u
2
(t) sao cho hai nghiệm tương ứng
x
1
(t, x
0
, u
1

(t)) và x
2
(t, x
0
, u
1
(t)) có các điểm cuối là x
1
(T ) và x
2
(T ) .
Với mỗi λ ∈ [0, 1] ta xây dựng điều khiển:
u
λ
(t) := λu
1
(t) + (1 − λ)u
2
(t), t ∈ [0, T ] .
Do u
1
(t), u
2
(t) đo được nên u
λ
(t) cũng là hàm đo được. Do u
1
(t) ∈ U,
u
2

(t) ∈ U và U là tập lồi nên u
λ
(t) ∈ U với mọi t ∈ [0, T], tức là u
λ
(t)
cũng là điều khiển chấp nhận được.
Nghiệm của hệ (2.2) tương ứng với điều khiển u
2
(t) có dạng
x
λ
(t) = Φ(t)x
0
+
t

0
Φ(t)Φ
−1
(τ)B(τ)u
λ
(τ)d(τ).
Suy ra
x
λ
(T ) = Φ(T )x
0
+
T


0
Φ(t)Φ
−1
(τ)B(τ) [λu
1
(τ) + (1 − λ)u
2
(τ)] dτ
= λ


Φ(T )x
0
+
T

0
Φ(t)Φ
−1
(τ)B(τ)u
1
(τ)dτ


+(1 − λ)


Φ(T )x
0
+

T

0
Φ(t)Φ
−1
(τ)B(τ)u
2
(τ)dτ


= λx
1
(T ) + (1 − λ)x
2
(T ).
Do u
λ
(t) là điều khiển chấp nhận được nên x
λ
(T ) ∈ R(T ), hay
λx
1
(T ) + (1 − λ)x
2
(T ) = x
λ
(T ) ∈ R(T )
Vậy tập R(T ) là tập lồi.