Sử dụng một số yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn toán lớp 10 ở trường trung học phổ thông

Sử dụng một số yếu tố lịch sử
toán học trong dạy học môn
Toán lớp 10 ở trường Trung
học phổ thông
1

MỞ ĐẦU
1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI
Trên thế giới: Khái quát các sự kiện lịch sử toán học được trình bày trong
nghiên cứu của một số tác giả như: Kolmogorov (Nga), Blek man I. I, Mưskix
A. D (Đức),… Trong các công trình này, lịch sử toán học thực sự được khẳng
định là khoa học về các quy luật khách quan đối với sự phát triển toán học.
Tại Việt Nam: Các nghiên cứu về lịch sử toán học được thực hiện bởi một số
nhóm tác giả như: Nguyễn Phú Lộc; Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang, Nguyễn
Duy Tiến,… Các công trình nghiên cứu này chủ yếu tập trung vào việc tóm lược
các sự kiện lịch sử chính của các giai đoạn phát triển Toán học (trên thế giới và
Việt Nam) và được trình bày chủ yếu dưới dạng giáo trình, tài liệu tham khảo.
Hướng nghiên cứu về tăng cường các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học đang
nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học và các cán bộ giảng dạy môn Toán.
Tuy nhiên, các nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý luận chung về lịch sử hình
thành kiến thức toán học, về vai trò của các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học
môn Toán. Nghiên cứu việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học cụ thể vào các nội
dung cụ thể của môn Toán ở từng cấp học chưa được chú trọng.
Tại trường Đại học Hùng Vương: Về lĩnh vực nghiên cứu có đề tài khóa
luận tốt nghiệp của Phạm Thị Tuyết Mai: “Tăng cường một số yếu tố lịch sử toán
học và trò chơi toán học trong dạy học toán Trung học cơ sở nhằm tích cực hoạt
động học tập của học sinh”. Đề tài đi sâu phân tích, trình bày các yếu tố lịch sử
toán học góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh Trung học cơ sở
phù hợp chương trình Số học và Đại số cấp Trung học cơ sở. Nghiên cứu về việc
sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn Toán Trung học phổ thông

(THPT) nói chung, môn Toán lớp 10 nói riêng chưa có đề tài nào được thực hiện.
2. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục Việt Nam (2005) quy định rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Điều 28, mục 2, chương II).
2

Đối với việc dạy học môn Toán ở trường phổ thông, một trong những nhiệm
vụ cần làm để thực hiện quy định trên của Luật Giáo dục là hình thành, phát triển
văn hóa toán học cho học sinh. Đây cũng chính là một trong các mục tiêu của giáo
dục toán học ở trường phổ thông [1]. Tuy nhiên, đã là văn hóa toán học thì không thể
không có những hiểu biết về các yếu tố lịch sử hình thành và phát triển của Khoa học
toán học. Hơn nữa, lý luận dạy học hiện đại cũng đã khẳng định vai trò của sự hiểu
biết lịch sử, nguồn gốc toán học trong việc tạo nền tảng cơ sở vững chắc để người
học toán làm toán, vận dụng toán và khơi gợi hứng thú trong học tập môn Toán.
Theo chương trình đổi mới giáo dục phổ thông, sách giáo khoa toán THPT
hiện hành được viết theo tinh thần của Luật Giáo dục. Theo đó, các yếu tố về lịch
sử toán học đã được chú trọng đưa vào phong phú hơn chương trình cũ. Tuy nhiên,
do nhiều nguyên nhân, các yếu tố lịch sử toán học không được và cũng không thể
trình bày một cách đầy đủ, tường tận cho tất cả các nội dung môn Toán. Song, đối
với người giáo viên dạy toán, để có thể thực hiện tốt mục tiêu dạy học môn Toán,
cần thiết phải có những hiểu biết về các yếu tố lịch sử toán học một cách phong
phú hơn so với những vấn đề đã có trong khuôn khổ nội dung chương trình dạy học
mình đảm nhiệm. Hơn nữa, cần hiểu rõ vai trò, ý nghĩa của các yếu tố lịch sử ấy
đối với việc dạy học và biết cách sử dụng chúng vào quá trình dạy học.
Là người giáo viên dạy môn Toán ở trường phổ thông trong tương lai, chúng
tôi ý thức rõ việc tích lũy kiến thức về lịch sử bộ môn cho bản thân là một trong
những yêu cầu không thể thiếu. Hơn nữa, tập dượt trải nghiệm việc kết hợp kiến thức

lý luận dạy học bộ môn với kiến thức lịch sử toán học nhằm khai thác tối đa giá trị
của các kiến thức này trong dạy học đối với giáo sinh là một việc làm cần thiết, có ý
nghĩa cả về lý luận và thực tiễn. Việc làm này cần được tiến hành đối với tất cả các
nội dung môn Toán ở các lớp phổ thông và nên chú trọng hơn cho các lớp đầu cấp.
Vì những lý do trên, chúng tôi lựa chọn: “Sử dụng một số yếu tố lịch
sử toán học trong dạy học môn Toán lớp 10 ở trường Trung học phổ thông”
làm đề tài nghiên cứu.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu, lựa chọn một số yếu tố lịch sử toán học phù hợp với chương
trình, nội dung môn Toán lớp 10 ở trường THPT; hướng dẫn sử dụng các yếu tố
lịch sử toán học vào dạy học nhằm khơi gợi hứng thú học tập cho học sinh.
3

4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
• Tìm hiểu Khoa học lịch sử toán học; làm rõ vai trò của các yếu tố lịch sử
toán học trong dạy học môn Toán, làm rõ quan niệm về yếu tố lịch sử toán
học có thể sử dụng trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông .
• Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa toán lớp 10 (nâng cao). Tìm hiểu một
số yếu tố lịch sử toán học được trình bày trong chương trình môn Toán lớp 10.
• Sưu tầm, lựa chọn các yếu tố lịch sử toán học (không có trong sách giáo
khoa) phù hợp với nội dung chương trình môn Toán lớp 10 ở trường THPT;
hướng dẫn sử dụng các yếu tố lịch sử toán học đó trong dạy học.
• Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu khẳng định tính khả thi, hiệu quả của
việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn Toán.
5. KHÁCH THỂ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.
• Đối tượng nghiên cứu: Các yếu tố lịch sử toán học.
• Phạm vi nghiên cứu: Chương trình môn Toán lớp 10 cải cách hiện hành.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Nghiên cứu lý luận

Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu,
các đề tài nghiên cứu, các văn kiện của Đảng, Nhà nước liên quan tới đề tài:
- Tìm hiểu về Khoa học lịch sử toán học, vai trò của các yếu tố lịch sử toán
học trong dạy và học môn Toán.
- Nghiên cứu mục tiêu, nội dung chương trình môn Toán lớp 10 theo chương
trình hiện hành.
- Tìm hiểu mức độ trình bày các yếu tố lịch sử toán học trong sách giáo khoa
môn Toán lớp 10 (Nâng cao).
- Nghiên cứu, lựa chọn một số yếu tố lịch sử toán học phù hợp với chương
trình, nội dung môn Toán lớp 10 (nâng cao) THPT; hướng dẫn sử dụng các yếu tố
lịch sử toán học vào dạy học.
6.2. Điều tra, quan sát
Khảo sát định tính về tính sinh động, hấp dẫn của giờ dạy Toán có sử dụng
các yếu tố lịch sử toán học.
4

Khảo sát sự hứng thú học tập môn Toán của học sinh lớp 10 qua việc sử
dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn Toán ở một số trường THPT
trên địa bàn tỉnh Phú Thọ.
6.3. Tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên dạy giỏi ở trường THPT về việc sử
dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học.
6.4. Phương pháp chuyên gia
Xin ý kiến của các giảng viên dạy học môn Toán ở trường Đại học Hùng
Vương, các giáo viên dạy môn Toán ở trường phổ thông để điều chỉnh, hoàn thiện đề
tài.
6.5. Thử nghiệm sư phạm
Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu khẳng định tính khả thi, hiệu quả của
việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn Toán lớp 10.
7. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

• Về lý luận:
- Làm rõ vai trò của việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn
Toán ở trường phổ thông;
- Làm rõ quan niệm về các yếu tố lịch sử toán học có thể sử dụng trong dạy học
môn Toán ở trường phổ thông.
• Về thực tiễn:
- Sưu tầm, chọn lọc được một hệ thống yếu tố lịch sử toán học phù hợp với
chương trình môn Toán lớp 10 ở trường THPT; đưa ra chỉ dẫn sử dụng các yếu tố
lịch sử toán học đã sưu tầm trong dạy học làm giờ học thêm sinh động, kích thích
hứng thú học tập của học sinh
- Đề tài là tài liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên Toán và giáo viên Toán
THPT quan tâm đến vấn đề gây hứng thú học tập của học sinh trong dạy học Toán.
8. CẤU TRÚC, BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
Ngoài lời cảm ơn, mục lục, phần mở đầu, kết luận, phụ lục và danh mục tài
liệu tham khảo, đề tài gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Sử dụng một số yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn Toán
lớp 10 ở trường THPT
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
5

CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. VỀ KHOA HỌC LỊCH SỬ TOÁN HỌC
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và
các phép biến đổi. Nói một cách khác, toán học là môn học về "hình và số". Theo
quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định
nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (logic) và ký hiệu toán học.
Các quan điểm khác về toán học được miêu tả trong Triết học. Do khả năng ứng
dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ

trụ". Các chuyên gia trong lĩnh vực toán học được gọi là nhà toán học [3].
Lịch sử toán học là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển
Toán học, ngành khoa học này giải quyết các nhiệm vụ:
Xác định rõ các phương pháp, các khái niệm, các tư tưởng toán học đã được
phát minh như thế nào; các lý thuyết toán học khác nhau đã hình thành như thế nào
trong lịch sử; tính chất và các đặc điểm của sự phát triển toán học ở các dân tộc
khác nhau trong từng giai đoạn lịch sử; sự cống hiến của các nhà toán học.
Nghiên cứu phát hiện các mối liên hệ giữa toán học với nhu cầu và hoạt
động thực tiễn của con người; với sự phát triển của các khoa học khác; với sự ảnh
hưởng của cơ cấu kinh tế xã hội đến nội dung và tính chất sự phát triển toán học
trong từng giai đoạn.
Nghiên cứu phát hiện nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic toán học hiện
đại, tính biện chứng của sự phát triển của nó, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các bộ
phận toán học; dự đoán được triển vọng phát triển của toán học.
Lĩnh vực của ngành học về lịch sử toán học phần lớn là sự nghiên cứu nguồn
gốc của những khám phá mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu
các phương pháp và kí hiệu toán học chuẩn trong quá khứ. Trước thời kì hiện đại và
sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn thế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát
triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các văn bản toán
học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại khoảng 1900 trước công nguyên (TCN), Ai Cập cổ
đại khoảng 1800 TCN, Vương quốc giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN và Ấn
Độ cổ đại khoảng 800 TCN. Tất cả các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagoras;
đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học cổ đại và hình học.
6

Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với toán học nhìn chung được coi là một
trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp
và chất liệu chủ đề của toán học. Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học
cổ đại và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là
sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào thời kì phục hưng tại Ý vào thế kỉ XVI,

các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới đã được
thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại.
Như vậy, lịch sử toán học có nội dung nghiên cứu hết sức phong phú và là môn
học được dạy chính khoá trong các trường Đại học sư phạm. Đây cũng là một ngành
khoa học nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học ở Việt nam và trên thế giới.
Nghiên cứu sơ bộ các giai đoạn phát triển của toán học chúng ta sẽ thấy mỗi
phương pháp, khái niệm, tư tưởng toán học đều mang những yếu tố lịch sử về
nguồn gốc phát sinh, phát triển, nhu cầu phát sinh, người phát minh, những hiểu
biết về ngọn nguồn lịch sử về cấu trúc logic của toán học giúp người dạy toán và
học toán nắm được phần nào mối quan hệ giữa các bộ phận của toán học, nhìn
nhận rõ hơn quá trình phát triển, những bước đang đi, con đường sẽ tới của toán
học. Hơn nữa, nghiên cứu các giai đoạn phát triển của toán học chúng ta còn nắm
được mối liên hệ của toán học với những nhu cầu và hoạt động thực tiễn của con
người, mối liên hệ của toán học với sự phát triển của các ngành khoa học khác, sự
đấu tranh gay gắt giữa cái cũ và cái mới trong nội dung toán học, tính chất của sự
phát triển toán học, vai trò của nhân dân, của tập thể và cá nhân các nhà bác học
1.2. VAI TRÒ CỦA VIỆC SỬ DỤNG YẾU TỐ LỊCH SỬ TOÁN HỌC
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
1.2.1. Quan niệm về các yếu tố lịch sử toán học được sử dụng trong dạy học
Vì là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển Toán học nên
lịch sử toán học có tính khái quát và nội dung kiến thức hết sức phong phú. Bởi lẽ
đó, không phải mọi yếu tố lịch sử toán học đều có thể sử dụng vào quá trình dạy
học. Mục đích của việc sử dụng yếu tố lịch sử toán học trong dạy học là giúp
người học hiểu thêm về nguồn gốc của những khám phá các kiến thức toán học,
hiểu thêm về cuộc đời của những nhà toán học vĩ đại cùng những cống hiến của
họ đối với việc phát triển tri thức môn học. Từ tấm gương lao động, sáng tạo và
sự thành công của các nhà toán học, giáo viên có thể từng bước dẫn dắt, rèn luyện
cho người học thói quen suy nghĩ các vấn đề một cách bạo dạn, sáng tạo, tạo tiền
7

đề cho người học tiếp cận tri thức theo lối kiến tạo. Theo Tâm lý học, đây chính là
tiền đề của sự cố gắng trí tuệ, nỗ lực bản thân (tính tích cực bên trong) của người
học [12]. Như vậy, các câu chuyện lịch sử tạo cho học sinh hứng thú với bài học,
làm cho giờ học thêm sinh động. Do đó các yếu tố lịch sử toán học được sử dụng
vào quá trình dạy học môn Toán cần được chọn lọc một cách kỹ lưỡng, phù hợp
với nội dung dạy học, có tác dụng kích thích học sinh tham gia vào quá trình kiến
tạo kiến thức, hỗ trợ quá trình dạy học dưới vai trò là chất xúc tác.
Trong tài liệu này, chúng tôi quan niệm rằng yếu tố lịch sử toán học có thể sử
dụng trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông bao gồm các sự kiện toán học, các
truyền thuyết và những câu chuyện về cuộc đời, những cống hiến của các nhà toán
học xung quanh các vấn đề toán học có trong chương trình môn Toán ở trường phổ
thông.
1.2.2. Vai trò của yếu tố lịch sử toán học đối với giáo viên
Việc hiểu rõ các sự kiện lịch sử cơ bản của bộ môn mình giảng dạy, hiểu rõ
các quy luật phát triển của khoa học liên quan đến bộ môn là rất cần thiết. Một
trong những đòi hỏi của năng lực người giáo viên là những hiểu biết về lịch sử phát
triển của vấn đề, về những ứng dụng của kiến thức chuyên ngành mình phụ trách
vào việc giải quyết các bài toán được đặt ra trước xã hội loài người, về ý nghĩa của
thực tiễn đời sống đối với sự phát triển kiến thức môn học [12].
Nói riêng, đối với giáo viên dạy môn Toán, những hiểu biết về lịch sử môn
học mình đảm nhiệm bao gồm các vấn đề như: con người đã lao động như thế nào
để sáng tạo ra các khái niệm toán học? Các hình ảnh cụ thể trực quan là cần thiết
như thế nào trong các bước đầu tiên khi giới thiệu kiến thức? Các lý thuyết toán
học trừu tượng và các chứng minh chặt chẽ đã được xây dựng và tích luỹ như thế
nào? Ai là người đặt nền móng cho nó, những khó khăn đặc biệt mà loài người đã
phải vượt qua trong quá trình phát triển toán học
Lịch sử toán học có thể giúp cho giáo viên dạy toán biến toán học thành một
môn học hấp dẫn, lôi cuốn đối với học sinh, làm cho các giờ học thực sự trở thành
nguồn vui, sự mong đợi đối với học sinh, là nguồn tiếp sức, giúp ích cho học sinh
trong cuộc sống, trong công tác sau này.

Để giúp học sinh hiểu rõ lịch sử toán, người giáo viên có thể tích hợp vào các
bài giảng của mình lời giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét lịch sử của vấn đề, làm
cho giờ học thêm sinh động. Các buổi nói chuyện về lịch sử toán học - lịch sử các phát
8

minh toán học, tiểu sử các nhà toán học lớn sẽ có tác dụng trong việc khêu gợi khả
năng sáng tạo của học sinh, động viên họ, giúp họ củng cố lòng tin ở bản thân mình.
Tóm lại, đối với người dạy Toán, các yếu tố lịch sử là công cụ hỗ trợ hiệu
lực cho việc dạy học trên mọi phương diện từ xây dựng nội dung đến việc thiết
kế các biện pháp chuyển hóa sư phạm, lựa chọn hình thức, phương pháp dạy học.
Vì vậy, việc tìm hiểu các kiến thức về lịch sử toán nói chung và lịch sử của vấn đề
có liên quan đến chương trình toán THPT nói riêng là một trong những nhiệm vụ
tự học, tự bồi dưỡng của mỗi giáo viên toán.
1.2.3. Vai trò của các yếu tố lịch sử toán học đối với học sinh
Nhìn chung, quá trình nhận thức của học sinh THPT là sự tiếp thu các kiến
thức của khoa học đã được chọn lọc thành tri thức của chương trình đảm bảo phù
hợp với tâm sinh lý và mục tiêu giáo dục THPT, các yếu tố lịch sử có liên quan
không phải là mục tiêu chính để giảng dạy trong chương trình phổ thông. Tuy
nhiên, lý luận giáo dục hiện đại đã khẳng định vai trò của các yếu tố liên quan đến
tri thức cũng có tác động mạnh mẽ đến nhận thức của người học. Do đó, việc sử
dụng các yếu tố lịch sử vào trong dạy học môn Toán THPT là cần thiết.
Sử dụng một số yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn Toán lớp 10 giúp
học sinh hiểu thêm về nguồn gốc của những khám phá các kiến thức toán học, hiểu
thêm về cuộc đời của những nhà toán học vĩ đại cùng những cống hiến của họ đối
với việc phát triển tri thức môn học. Qua đó dẫn dắt, rèn luyện cho người học thói
quen suy nghĩ các vấn đề một cách bạo dạn, sáng tạo, tạo tiền đề cho người học tiếp
cận tri thức theo lối kiến tạo.
Việc đưa các câu chuyện toán học có nội dung gắn liền với các kiến thức
toán trong giờ học tạo không khí phấn khởi, hứng thú và kích thích tư duy của học
sinh bởi các câu chuyện vui mang đầy tính tư duy và sáng tạo. Bằng những câu

chuyện toán học kết hợp với kiến thức kèm theo học sinh tự mình sẽ hiểu được con
đường dẫn tới một định nghĩa, định lý toán học, đồng thời tăng thêm hứng thú đối
với kiến thức toán học vừa được truyền thụ. Ngoài ra, các câu chuyện toán học còn
giúp cho tập thể lớp học có được bầu không khí vui vẻ, thân ái, rèn cho học sinh
những tư duy toán học sáng tạo. Đây là điều kiện cơ bản nâng cao chất lượng học
tập môn Toán của học sinh.
Ví dụ: Khi học sinh học đại số lớp 10, chương 6 – Góc lượng giác và công
thức lượng giác, ở bài đầu tiên, học sinh được làm quen với khái niệm mới về số đo
9

góc và cung lượng giác là radian, công thức đổi số đo từ độ sang radian và ngược
lại. Khi dẫn dắt học sinh đến công thức này, giáo viên phải sử dụng đến công thức
tính chu vi đường tròn C = 2лR. Từ công thức này, học sinh có thể đổi số đo của
một góc từ độ sang radian, từ radian sang độ nhưng các em cũng không biết được
nguồn gốc của số π xuất phát từ đâu. Khi học về lượng giác, ngoài những chỉ dẫn
trong sách giáo khoa, nếu được bổ sung thêm các kiến thức về lịch sử của vấn đề
học sinh sẽ thấy rõ rằng lượng giác xuất phát từ nhu cầu của thực tế và những kiến
thức đó được sử dụng để tính toán trong các ngành thiên văn, vật lý, kỹ thuật,…qua
đó nảy sinh động cơ học tập cho học sinh.
Nhờ những kiến thức về lịch sử toán học, học sinh thấy rằng toán học phát
sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của con người. Những tấm gương của các nhà
toán học đã lao động quên mình để tìm kiếm tri thức, những khó khăn trong đời
sống không lay chuyển được lòng say mê nghiên cứu, sáng tạo dù trong bất cứ
hoàn cảnh nào… sẽ có tác dụng tốt trong việc hình thành hoài bão, ước mơ và rèn
luyện đạo đức công dân cho học sinh.
Từ những phân tích trên cho thấy sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong
dạy học môn Toán kích thích ở họ sự hứng thú, tích cực, chủ động tìm tòi thông
tin một cách có định hướng, có hệ thống, trình bày kiến thức theo quan niệm
kiến tạo tri thức từ góc nhìn sự phát sinh, phát triển, mang lại cho học sinh niềm
say mê, hứng thú, sáng tạo trong học tập.

1.3. NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC YẾU TỐ LỊCH SỬ TOÁN
HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN LỚP 10 HIỆN HÀNH
1.3.1. Chương trình môn Toán lớp 10 (theo [1])
1.3.1.1. Mục tiêu
- Về kiến thức: Hiểu và nắm được: Các khái niệm và các phép toán về
mệnh đề và tập hợp; sự biến thiên và đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc hai; phương
trình, các công thức và phương pháp giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn,
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; tính chất liên quan đến bất đẳng thức, bất
phương trình; khái niệm tần số, tần suất, bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp;
công thức tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số
liệu; số đo của góc và cung lượng giác, các giá trị lượng giác của góc lượng giác;
mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt; hiểu đầy
10

đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học; các khái niệm, phép toán véc
tơ, tích vô hướng của hai véc tơ; phương trình đường thẳng, ba đường cônic.
- Về kỹ năng: Rèn luyện các kỹ năng: diễn đạt các nội dung toán học rõ
ràng và chính xác; kỹ năng vẽ và đọc đồ thị của hàm số, nhận biết các tính chất
của hàm số thông qua đồ thị của nó; thành thạo trong việc giải các phương trình
và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai; áp dụng các tính chất của bất đẳng thức
và bất phương trình để giải thành thạo các bài toán về chứng minh bất đẳng
thức, giải các bất phương trình và các bài toán liên quan; trình bày một mẫu số
liệu dưới dạng bảng, biết vẽ các loại biểu đồ, tính các số đặc trưng của mẫu số
liệu; biến đổi lượng giác; ứng dụng giải tam giác; tính toán các yếu tố góc,
khoảng cách trong mặt phẳng.
- Về thái độ: Rèn luyện tư duy logic, ngôn ngữ chính xác; phát triển khả
năng suy đoán; rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản (phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hoá, khái quát hoá); hình thành những phẩm chất trí tuệ: Tính linh hoạt,
độc lập, sáng tạo,…hình thành, phát triển tác phong làm việc khoa học, thói
quen tự kiểm tra; giáo dục cho học sinh tinh thần, thái độ học tập nghiêm túc,

chủ động.
1.3.1.2. Cấu trúc nội dung chương trình
Tổng số: 140 tiết
Đại số (90 tiết)
Nội dung Số tiết
Chương I. Mệnh đề, tập hợp.
Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai.
Chương III. Phương trình. Hệ phương trình.
Chương IV. Bất đẳng thức, bất phương trình.
Chương V. Thống kê.
Chương VI. Góc lượng giác và công thức lượng giác.
Ôn tập cuối năm.
14
11
16
26
8
12
3
Hình học (50 tiết)
Nội dung Số tiết
Chương I. Véc tơ
Chương II. Các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn
Chương III. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
15
10
23
11

Ôn tập cuối năm. 2

1.3.2. Các yếu tố lịch sử toán học được trình bày trong sách giáo khoa
Bên cạnh việc trình bày nội dung tri thức chương trình của môn học đáp ứng
mục tiêu giáo dục toán học trong nhà trường THPT giai đoạn hiện nay, sách giáo
khoa Toán lớp 10 cũng đã giới thiệu một số yếu tố lịch sử toán học. Cụ thể:
1.3.2.1. Trong chương trình Đại số
* Đôi nét về Giooc-Giơ Bun người sáng lập ra logic toán [10, T12]
* Tiểu sử nhà toán học Can-To [10,T23]
* Loài người đã sử dụng hệ đếm cơ số nào? [10, T30]
* Lịch sử của việc tính gần đúng số π [10, T31]
* Vài nét lịch sử về phương trình đại số [10, T86]
* Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki [10, T111]
* Vài nét về lịch sử Quy hoạch tuyến tính [10, T136]
* Lượng giác và nhà toán học Ơ-Le [10,T217]
1.3.2.2. Trong chương trình Hình học
* Uy-li-am Ha-min-tơn [11, T8]
* Các từ Sin, Côsin, Tang, Côtang [11,T43]
* Héc-man Grat-xơ-man [11, T46]
* Định lý côsin (Định lý An Ka-si) [11, T57]
* Nhà thiên văn học người Đức Kê-ple (Kepler) [11, T102]
* Về ba đường Cônic [11, T124]
* Nhận xét chung: Mặc dù sách giáo khoa đã chú trọng đưa vào một số yếu tố lịch
sử toán học, tuy nhiên chưa được phong phú về mặt nội dung. Các yếu tố lịch sử
toán học trong toàn bộ chương trình toán lớp 10 ở trường THPT được trình bày sơ
lược, chủ yếu mang tính giới thiệu về một số nhà toán học trên thế giới và sơ lược
các công trình của họ. Những câu chuyện toán học, bài toán dẫn tới sự ra đời một
vấn đề toán học cụ thể, một ngành toán học mới chưa được giới thiệu ở chương
trình lớp 10. Hạn chế này ít nhiều có thể dẫn tới sự nhận thức một cách máy móc
về cách giải, về công thức có sẵn ở học sinh khi học toán.
1.4. THỰC TRẠNG VIỆC SỬ DỤNG YẾU TỐ LỊCH SỬ TOÁN HỌC
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở LỚP 10 HIỆN NAY

Toán học là một môn khoa học cơ bản, nhiệm vụ của người giáo viên là
truyền thụ kiến thức cho học sinh, học sinh tiếp nhận kiến thức, biến kiến thức của
12

nhân loại thành kiến thức của mình. Rất ít khi học sinh thắc mắc rằng kiến thức này
xuất phát từ đâu, khi nào. Còn người giáo viên cũng ít khi quan tâm đến lịch sử của
vấn đề, nếu có cũng chỉ tìm hiểu qua những chỉ dẫn trong sách giáo khoa. Do
khuôn khổ sách giáo khoa có hạn nên những chỉ dẫn về các yếu tố lịch sử trong
sách giáo khoa không có nhiều và cũng chưa thực sự đầy đủ cả về chất lẫn về
lượng, hầu như là chỉ nêu lên chứ chưa nói rõ được từ điểm xuất phát cho đến sự
phát triển của vấn đề.
Để khảo sát về thực trạng sử dụng các yếu tố lịch sử toán trong dạy học toán
nói chung, dạy học môn Toán lớp 10 nói riêng, chúng tôi đã tiến hành thăm dò ý
kiến của 20 giáo viên dạy Toán và 200 học sinh lớp 10 ở một số trường THPT trên
địa bàn tỉnh Phú Thọ. Việc khảo sát tập trung vào các vấn đề sau:
* Đối với học sinh:
- Tìm hiểu các em về vốn hiểu biết các yếu tố lịch sử toán liên quan đến kiến
thức môn Toán.
- Tìm hiểu về mức độ thường xuyên được tiếp cận các yếu tố lịch sử toán
học trong quá trình học tập. (Thông tin điều tra trong phụ lục số 1)
* Đối với giáo viên:
- Tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò của các yếu tố lịch sử toán học
đối với hiệu quả tiếp thu kiến thức của học sinh trong dạy học môn Toán.
- Khảo sát sơ bộ về vốn kiến thức lịch sử toán của giáo viên.
- Khảo sát những khó khăn của giáo viên khi sử dụng các yếu tố lịch sử toán
học vào quá trình dạy học môn Toán (Thông tin điều tra trong phụ lục 2).
Nhận xét chung qua phần khảo sát :
* Đối với học sinh: Từ kết quả thăm dò, chúng tôi nhận thấy:
- Với câu hỏi về sự hiểu biết lịch sử toán học trong chương trình, thì tỷ lệ
trả lời sai chiếm 75%, trong số 25% trả lời đúng thì có không quá 1/5 số học

sinh đúng cả 3 câu hỏi.
- Với câu hỏi về sự hứng thú khi được thầy cô kể các câu chuyện lịch sử toán
thì hầu hết (95%) trả lời là rất thích.
- Với câu hỏi thầy cô có thường xuyên chỉ dẫn, giới thiệu về lịch sử vấn đề
đang học hay không, thì phần lớn (90%=180/200) trả lời là không thường xuyên.
13

Như vậy, hầu hết học sinh không được tạo điều kiện để tiếp cận các yếu tố
lịch sử toán học (trong chương trình đang học). Những hiểu biết về các yếu tố lịch
sử toán học liên quan còn nông cạn, sơ sài.
Thực trạng này có thể do nguyên nhân sau: Giáo viên không quan tâm đến
việc giới thiệu các yếu tố lịch sử liên quan cho học sinh; không giới thiệu cho học
sinh những địa chỉ cụ thể để giúp học sinh tự tìm hiểu kiến thức về lịch sử toán liên
quan; học sinh thụ động theo yêu cầu của giáo viên, nên không quan tâm đến vấn
đề này; việc học toán của học sinh hoàn toàn tách rời không có mối quan hệ với
việc nhìn nhận nguồn gốc hay giá trị thực tiễn của kiến thức.
* Đối với giáo viên: Từ kết quả thăm dò, chúng tôi nhận thấy:
- Với câu hỏi về vai trò của các yếu tố lịch sử trong dạy học toán thì tỷ lệ
giáo viên cho là quan trọng chiếm 78% (vì yếu tố lịch sử sẽ kích thích hứng thú học
tập của học sinh, giờ học sẽ sôi động hơn), tỷ lệ giáo viên cho là không quan trọng
chiếm 22% (vì không liên quan gì đến kiến thức thi cử của học sinh).
- Với câu hỏi về mức độ có thường xuyên sử dụng các yếu tố lịch sử vào dạy
học môn Toán? Thì tỷ lệ thường xuyên là 11,6%, tỷ lệ không thường xuyên là 88,4% .
- Với câu hỏi về khó khăn khi sử dụng yếu tố lịch sử vào dạy học thì đa
số giáo viên được hỏi đề trả lời do không đủ thời gian cho một tiết học và thiếu
tài liệu định hướng cụ thể cho việc lựa chọn, sử dụng các yếu tố lịch sử toán
học vào quá trình dạy học.
- Với câu hỏi khảo sát về vốn kiến thức lịch sử toán học thì tỷ lệ tham gia trả
lời câu hỏi là khoảng 50%, trong số đó có khoảng 20% là đúng hết các câu hỏi.
Như vậy, phần lớn giáo viên được khảo sát đều nhận thức đúng đắn vai trò

của các yếu tố lịch sử toán trong việc kích thích hứng thú học tập của học sinh, hỗ
trợ cho bài giảng thêm sinh động, hỗ trợ sự tiếp thu, sự nhớ kiến thức của học sinh.
Tuy nhiên, số giáo viên thực tế thường xuyên sử dụng các yếu tố lịch sử dưới vai
trò kích thích việc học tập của học sinh lại không nhiều.
Thực trạng này có thể bởi những nguyên nhân sau:
- Do thời lượng dành cho dạy học môn học trong khung chương trình có hạn
nên việc giới thiệu thêm các yếu tố lịch sử liên quan của bài học khó thực hiện.
- Do cách đánh giá kiến thức môn Toán ở trường phổ thông chủ yếu là đánh
giá kiến thức thuần tuý, không quan tâm tới việc đánh giá những hiểu biết của học
14

sinh về nguồn gốc, vai trò của các kiến thức được học, do đó cách dạy và học môn
Toán chủ yếu đáp ứng cách đánh giá kiến thức thuần tuý.
- Do các tài liệu để định hướng việc chọn lọc, sưu tầm các yếu tố lịch sử
toán học phù hợp cho việc dạy học còn hạn chế nên khó tạo được sự phong phú,
hấp dẫn trong các nội dung yếu tố lịch sử toán học chứ chưa nói tới việc lựa
chọn cách thức sử dụng chúng trong dạy học.
* Kết luận chung: Việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học vào quá trình dạy
học môn Toán lớp 10 ở trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ như một chất xúc
tác cho hiệu quả dạy học không được chú trọng một cách đúng mức. Nguyên nhân
chủ yếu dẫn tới thực trạng trên là do giáo viên toán ở trường THPT chưa ý thức
nghiêm túc việc này, nguyên nhân sâu xa hơn nữa có thể do họ còn thiếu các tài
liệu định hướng về việc lựa chọn, sử dụng các yếu tố lịch sử toán học vào quá trình
dạy học môn Toán với từng vấn đề cụ thể.
1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Lịch sử toán học là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển
toán học. Lý luận dạy học môn Toán đã khẳng định vai trò quan trọng của các yếu
tố lịch sử toán học đối với việc dạy và học môn Toán, đối với người học toán, các
yếu tố lịch sử toán học kích thích ở họ sự hứng thú, tích cực, chủ động tìm tòi
thông tin một cách có định hướng, có hệ thống, trình bày kiến thức theo quan niệm

kiến tạo tri thức từ góc nhìn sự phát sinh, phát triển. Đối với người dạy toán, các
yếu tố lịch sử là công cụ hỗ trợ hiệu lực cho việc dạy học trên mọi phương diện.
Hiện nay, việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học môn
Toán ở các trường phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ ít được chú trọng. Điều
này một mặt gây nên hạn chế trong việc trang bị cơ sở vận dụng toán học cho
học sinh, mặt khác làm cho việc kích thích hứng thú học tập của học sinh cũng
thiếu những định hướng để thực hiện. Một trong những nguyên nhân dẫn đến
tình trạng trên là giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT hiện nay còn gặp một
số khó khăn khi sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học. Trong đó,
khó khăn chủ yếu là họ thiếu các tài liệu định hướng cụ thể việc sưu tầm, sử dụng
các yếu tố lịch sử toán học theo các chủ đề cụ thể của môn Toán trong quá trình
dạy học.
15

Lý luận và thực tiễn đã trình bày là những căn cứ quan trọng để chúng tôi
khẳng định rằng việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học vào trong dạy học môn
Toán THPT là hết sức cần thiết, là cơ sở cho việc thực hiện chương 2 của đề tài.
CHƯƠNG II
SỬ DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN LỚP 10 Ở THPT
2.1. MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MÔN
TOÁN LỚP 10 Ở THPT
2.1.1. Một số yếu tố lịch sử dưới dạng các câu chuyện vui về các phát minh
và các ứng dụng của Toán học
2.1.1.1. Câu chuyện về mệnh đề
Câu chuyện 1: - Ở vương quốc nọ có một nhà thông thái, một lần do can
ngăn nhà vua, nên nhà vua muốn giết nhà thông thái này. Nhà vua ra lệch đem
ông ra pháp trường, trước khi chết nhà vua cho nhà thông thái đó nói đúng một
câu, nếu nói đúng thì chặt đầu, nói sai thì treo cổ. Nhà thông thái suy nghĩ một
lúc rồi nói một câu mà khi nghe xong nhà vua không thể chặt đầu cũng không

thể treo cổ. Hỏi nhà thông thái đã nói câu gì?
( Đáp án : Nhà thông thái nói: “Tôi bị treo cổ”. Đó là một câu nói đúng,
vậy thì phải chặt đầu nhà thông thái, nhưng nếu chặt đầu thì câu nói ấy là sai vì
vậy phải treo cổ, nhưng nếu treo cổ thì câu nói đó thành câu nói đúng tức là phải
chặt đầu. Rõ ràng, chặt đầu không được mà treo cổ cũng không được, nên nhà
vua đành phải thả nhà thông thái này ra).
Câu chuyện 2 : - Ngày xưa, trong một ngôi đền cổ có 3 vị thần giống hệt
nhau. Thần Thật thà luôn luôn nói thật, thần Dối trá luôn luôn nói dối và thần
Khôn ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Các vị thần vẫn trả lời câu hỏi của khách
đến lễ đền nhưng không ai xác định được chính xác các vị thần. Một hôm có
một nhà hiền triết từ xa đến thăm đền. Để xác định được các vị thần, ông hỏi
thần ngồi bên trái:
- Ai ngồi cạnh ngài ?
16

- Đó là thần Thật thà.
Ông hỏi thần ngồi giữa :
- Ngài là ai ?
- Ta là thần Khôn ngoan.
Sau cùng ông hỏi thần bên phải :
- Ai ngồi cạnh ngài ?
- Đó là thần Dối trá.
Nhà hiền triết thốt lên :
- Tôi đã xác định được các vị thần.
Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào ?
( Đáp Án) : Vị thần bên trái nói cạnh ngài là thần Thật thà: Nếu đó là câu
nói đúng thì người trả lời phải là thần Khôn ngoan, và ngồi cạnh (tức ngồi giữa)
phải là thần Thật thà. Nhưng ngồi giữa lại trả lời là thần Khôn ngoan, suy ra
mâu thuẫn. Vì vậy, đó là câu trả lời sai nên vị thần bên trái không phải thần Thật
thà. Người ngồi giữa bảo: Ta là thần khôn ngoan thì cũng không phải thần Thật

thà suy ra người còn lại ngồi bên phải là thần Thật thà. Thần Thật thà nói : ngồi
cạnh ngài là thần Dối trá, vậy người ngồi giữa là thần Dối trá suy ra người ngồi
trái là thần Khôn ngoan.
2.1.1.2. Yếu tố lịch sử về logic mệnh đề
Logic mệnh đề là khoa học đã có từ thế kỉ thứ III TCN, được hình thành để
nghiên cứu tổng kết và hệ thống hoá các phương pháp suy nghĩ của con người.
Người có công đầu tiên trong việc xây dựng logic học là nhà toán học Aistotle
(384-322 TCN, người Hy Lạp), ông đã tổng kết các lí thuyết logic riêng biệt
thành một hệ thống gọi là “logic hình thức”. Sau đó logic học tiếp tục phát triển
cho đến thế kỉ XVII, nhà toán học người Đức Lepnit đã đề xuất tư tưởng nhằm
hoàn thiện và đổi mới “logic hình thức”. Nhưng mãi đến cuối thế kỉ XIX, đầu thế
kỉ XX, do công lao của George Boole (2/11/1815-8/12/1864, người Anh), Frege
và nhiều nhà toán học khác, tư tưởng và ý đồ của Lepnit mới được thực hiện. Từ
đó logic hình thức đã đạt tới trình độ chặt chẽ và có tính hình thức cao do sử dụng
ngôn ngữ của các kí hiệu và các phương pháp toán học và mang tên gọi mới
“logic toán”, “logic mệnh đề ”. Người sáng lập ra “logic mệnh đề” là Boole.
Một trong những nhiệm vụ chủ yếu của “logic mệnh đề ” là đặt cơ sở ban
đầu cho việc nghiên cứu bản chất của các phép suy luận toán học và xác lập các
17

tiêu chuẩn về sự đúng đắn của các suy luận đó. Đó là cở sở của mọi hoạt động tư
duy, mọi nghiên cứu trong tất cả các ngành khoa học khác nhau.
2.1.1.3. Pitago và số vô tỷ
Khi nghiên cứu đường chéo hình vuông cạnh là một đơn vị. Pythagoras phát
hiện đường chéo này không thể biểu thị bằng số tự nhiên hay hữu tỉ mà phải biểu
thị bằng một số khác: số vô tỷ. Con người đã làm quen với các số tự nhiên, phân số
và số hữu tỉ rất sớm, việc khám phá ra số vô tỉ đã gây kinh hoàng cho hàng ngũ các
môn sinh của Pythagoras. Với phát minh này đã giúp sự phát triển của toán học có
một bước tiến lớn, bước tiến đó khó có thể đánh giá hết ý nghĩa của nó. Số vô tỉ là
khái niệm mới, là một số trừu tượng hóa phức tạp trong toán học.

2.1.1.4. Yếu tố lịch sử về khái niệm hàm số
Ta có thể bổ sung yếu tố lịch sử phát triển của khái niệm tương quan
hàm số như sau:
Khái niệm hàm số có một tầm quan trọng lớn lao và là một trong những
khái niệm chủ đạo của nền Toán học hiện đại. Nó xuất hiện từ thế kỷ XVII và
chính Đề-các đã có nhiều cống hiến đáng kể trong việc nghiên cứu vấn đề này.
Khái niệm ban đầu về hàm số là một khái niệm hình học, căn cứ vào việc
khảo sát một đoạn thẳng thay đổi theo một quy luật xác định. Tuy nhiên, với sự
phát triển về sau của toán học, khái niệm về hàm số đã thay đổi. Lép-nít đã lần
đầu tiên dùng danh từ “hàm số” vào cuối thế kỷ XVII.
- Năm 1718 Béc-nu-li đã cố gắng phát biểu định nghĩa hàm số ở dạng giải
tích của nó: “Hàm số là một đại lượng gồm một số biến số và hằng số nào đó”.
- Năm 1748, Ơ-le trong tác phẩm “Nhập môn giải tích của các vô cùng
bé” đã bổ sung thêm: “Hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức
giải tích thành lập từ đại lượng biến thiên theo một phương pháp nào đó”.
- Đến thế kỷ XIX, dựa vào tác phẩm của Lô-ba-sep-ski người ta định
nghĩa như sau: “Đại lượng y là một hàm số của biến số độc lập x nếu ứng với
mọi giá trị của x (thuộc tập hợp các giá trị có thể có được) đều có một giá trị
xác định của y”. Rõ ràng là trong định nghĩa này, không nói gì đến sự tương
ứng của giá trị các đại lượng được thành lập bằng cách nào. Nó không loại trừ
khả năng là ứng với mọi giá trị x có cùng một giá trị y.
- Nhà toán học Khin-sin, trong cuốn : “Giáo trình giản yếu về giải tích” đã
viết: “Đại lượng y gọi là hàm số của đại lượng x xác định trong tập M, nếu với
18

mỗi giá trị của đại lượng x thuộc tập hợp M thì tương ứng một giá trị xác định
và duy nhất của đại lượng y”.
Từ khi lý thuyết tập hợp ra đời đã trở thành một lý thuyết rất quan trọng
trong toán học, nhiều nhà toán học đã vận dụng khái niệm này để định nghĩa
hàm số : “Nếu với mỗi phần tử x của tập hợp M thì tương ứng một phần tử y

nào đó của tập hợp N thì ta bảo rằng hàm số đã được xác định trên tập hợp M
và viết y = f(x). Các phần tử riêng biệt x gọi là giá trị của đối số, còn các phần
tử y gọi là giá trị của hàm số”. Định nghĩa bằng tập hợp này tổng quát hơn các
định nghĩa đã nêu trên.
2.1.1.5. Câu chuyện về phương trình
Câu chuyện về Đi-Ô-Phăng: “Ông đã sống thơ ngây trong một phần sáu
cuộc đời. Một phần mười hai cuộc đời nữa, cằm ông đã lún phún râu. Thêm một
phần bảy cuộc đời, ông mang nhẫn cưới trên tay và 5 năm sau, được một đứa
con trai xinh xắn. Than ôi, dù rất được thương yêu, người con này đã chết khi
anh ta vừa bằng nửa tuổi thọ của cha. Quá đau khổ, người cha bất hạnh chỉ sống
thêm bốn năm sau cái chết của con”. Bạn hãy nói xem: ông ta thọ bao nhiêu tuổi
và cuộc đời ông ra sao?.
Đố vui: Trứng gà của Ơ-Le.
Hai cô gái mang trứng gà ra chợ bán, tuy số trứng của mỗi cô không bằng
nhau, nhưng bán hết thì số tiền thu được của hai cô lại như nhau, vì mỗi cô bán
một giá. Một cô nói: “Em mà có số trứng như của chị thì em bán được 15 đồng
tiền vàng”. Cô kia lớn tuổi hơn trả lời: “Chị mà có số trứng như của em thì chị
chỉ bán được 20/3 đồng thôi !”. Biết rằng hai cố có tất cả 100 trứng gà.
Hỏi mỗi cô mang đi bán bao nhiêu trứng?
2.1.1.6. Ứng dụng của hàm số trong cuộc sống
Năm 1800, nhà toán học người Đức Friedrich Gauss (30/4/1777
-23/2/1855) đã đưa ra hàm số phần nguyên: y=[x], do đó hàm số này còn có tên
gọi khác là hàm số Gauss.
Sử dụng hàm số Gauss chúng ta có thể tính ngày y năm thứ x là thứ mấy
trong tuần (y là số ngày kể từ tết dương lịch năm ấy đến ngày cần tính, bao gồm
cả ngày đó). Các nhà lịch pháp đã tìm ra công thức :

19
1 1 1
1

4 100 400
x x x
s x y
− − −
     
= − + − + +
     
     

Sau đó lấy s chia cho 7. Lấy số dư cộng với 1 thì được thứ của ngày đó trong tuần.
Ví dụ: ngày mà hoàng đế Junstantin tuyên bố dùng “chế độ thứ” là ngày
7/3/321, hôm đó là thứ mấy ?
Ta có : x - 1 = 321-1 = 320
y = 31+28+7 = 66
Suy ra : s = 463 chia cho 7 dư 1. Do vậy, đó là thứ hai.
2.1.1.7. Cách tính số π
Con số π ban đầu được tính bằng cách so sánh chu vi của một vòng tròn
với đa giác nội tiếp trong vòng tròn đó, bằng 3 lần đường kính vòng tròn. Họ
tính phỏng chừng: π = 3 + 1/8 (tức là 3,125)
Ban đầu vẽ lục giác đều nội tiếp đường tròn khi đó chu vi lục giác là 6R
(R là bán kính đường tròn), đường kính đường tròn là 2R => Tỉ số π sẽ phải lớn
hơn tỉ số 6R/2R = 3.
Sau đó, để đạt độ chính xác hơn, người ta vẽ bát giác, thập nhị giác…. Số cạnh
càng nhiều thì độ chính xác càng cao.
Ác-si-mét tính được số π = 3,142 với độ chính xác là 1/1000. Ác-si-mét
vẽ hai đa giác đều một nội tiếp đường tròn, một ngoại tiếp đường tròn đó, như
vậy số π sẽ nằm giữa tỉ số của hai đa giác đó với đường kính của đường tròn.
Với công thức là : 3+ 10/71 < π < 3+1/7
Người ta dùng công thức này 2000 năm; phải đến thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX,
nhà toán học Fabrice Bellard đã tính được con số lẻ thứ một nghìn tỉ cho con số π.

2.1.1.8. Yếu tố lịch sử về thống kê
Câu chuyện 1: Người ta thường cho rằng, khả năng sinh con trai hay con
gái là như nhau, do đó tỉ lệ ra đời bé trai và bé gái ra đời là 1:1, song thực tế
không phải như vậy. Năm 1812, nhà toán học Laplace, người Pháp, đã đăng
thống kê thú vị dựa vào số liệu của ba thành phố London, Peterbua, Berlin, và
toàn nước Pháp để được tỉ số bé trai và bé gái ra đời hầu như đều thống nhất là
22:21. Đặc biệt kì lạ là khi ông thống kê tỉ số trẻ sơ sinh ở Paris suốt 40 năm
(1745-1784) thì lại được một tỉ lệ khác 24:25.
Ông rất tin tưởng ở quy luật tự nhiên nên cảm thấy đằng sau các con số
này nhất định có nguyên nhân sâu xa. Lập tức ông đi sâu điều tra, nghiên cứu và
20

cuối cùng thì phát hiện ra rằng, người Paris lúc đó có tư tưởng trọng nữ khinh
nam nên đã loại bỏ các trẻ sơ sinh trai và dẫn đến sự sai lệch này.
Câu chuyện 2

: Câu chuyện về các giai đoạn hình thành và phát triển
lý thuyết thống kê:
Có thể nêu ra năm giai đoạn hình thành và phát triển của khoa học
thống kê như sau:
Giai đoạn 1: Từ thời chiếm hữu nô lệ, các chủ nô đã tiến hành ghi
chép, thống kê tài sản của họ (số nô lệ, súc vật, công cụ lao động, ). Thống
kê ở giai đoạn này còn rất đơn giản.
Giai đoạn 2: Dưới chế độ phong kiến, thống kê đã phát triển ở hầu hết các
nước châu Âu, châu Á, Việc thống kê tài sản, ruộng đất, nhân khẩu, chủ yếu
phục vụ cho giai cấp thống trị. Thống kê phát triển hơn ở giai đoạn 1 nhưng chưa
được đúc kết thành lý luận.
Giai đoạn 3: Cuối thế kỷ XVII chủ nghĩa tư bản ra đời, kinh tế hàng hoá
phát triển. Để phục vụ cho các mục đích kinh tế, chính trị, quân sự, nhà nước tư
bản và các chủ tư bản cần rất nhiều thông tin về nhiều lĩnh vực khác nhau. Sự

cần thiết phải tìm hiểu các hiện tượng, các quá trình kinh tế, xã hội từ các nguồn
thông tin đòi hỏi phải có sự nghiên cứu lý luận và phương pháp xử lý số liệu. Vì
vậy, ở giai đoạn này, khoa học thống kê đã được phát triển nhanh chóng. Một số
tài liệu về khoa học thống kê đã được xuất bản, lý luận thống kê bắt đầu được đưa
vào dạy trong các trường học.
Giai đoạn 4: Từ thế kỷ XVIII, sự ra đời của lý thuyết xác suất hiện đại đã
mở ra ngành toán học ứng dụng, đó là thống kê toán học (điều tra chọn mẫu, ước
lượng tham số, kiểm định giả thiết, ).
Giai đoạn 5: Đầu thế kỷ XX, sự thâm nhập lẫn nhau giữa Lý thuyết xác
suất và Giải tích hàm đã đưa lại cho thống kê toán học nhiều ứng dụng to lớn.
Thống kê toán học trở thành ngành khoa học có lý luận chặt chẽ và có ứng dụng
sâu rộng.
2.1.1.9. Sự ra đời của Quy hoạch tuyến tính (QHTT)
Sự ra đời của QHTT nói riêng và quy hoạch toán học nói chung có thể coi
là vào năm 1939. Người có công lao đặt những viên đá tảng đầu tiên xây dựng
bộ môn này là nhà toán học Nga L.V. Kantorovich. Những mô hình QHTT đầu
21

tiên được hình thành liên quan tới việc giải các bài toán kế hoạch hóa nền kinh
tế xã hội chủ nghĩa ở Liên xô.
Ở Việt Nam, việc nghiên cứu và ứng dụng quy hoạch toán học chỉ mới
được bắt đầu từ năm 1960. Tuy nhiên chúng ta cũng tự hào rằng các nhà toán
học nước ta cũng có đóng góp những thành tựu nhất định. Giáo sư Hoàng Tụy là
người đầu tiên trên thế giới đã nêu ra phương pháp giải quy hoạch lõm. Những
công trình của ông và các cộng sự đã gây được tiếng vang khá rộng rãi trong
giới những người nghiên cứu quy hoạch toán học và thực sự đã góp phần đáng
kể trong việc tìm các thuật toán giải các bài toán cực trị không lồi.
2.1.1.10. Sự hình thành nên Hình học giải tích
Năm 1619, có một sĩ quan quân đội trẻ tuổi đầy tài năng đang băn khoăn
là làm thế nào để tìm ra được sự kết hợp giữa hình học và đại số. Lúc đó quân

đội đóng quân rải rác ở nhiều thị trấn ven sông. Trời trong xanh, thảo nguyên
xanh rờn, những mảnh sao băng cắt ngang bầu trời đêm, đàn tuấn mã băng băng
trên đồng cỏ. Tất cả những cảnh tượng đó đã làm cho sĩ quan liên tưởng, suy
nghĩ làm thế nào để mô tả được đường vận động của con tuấn mã và đường sao
băng. Đêm 10 tháng 11 năm đó, chàng sĩ quan trẻ tuổi nằm trên giường nhưng
trằn trọc không sao ngủ được. Bỗng nhiên có một con nhện sa qua tầm mắt ông.
Con nhện rơi từ từ tạo thành một đường cong. Trong chốc lát ông nghĩ: con
nhện và điểm, hình và số, nhanh và chậm, động và tĩnh, Có khi ông mơ hồ như
thấy mình như đã sờ được điều bí mật giữa chúng, nhưng lại thấy lan man,
không mô tả được. Mỏi mệt, ông lại thiếp đi.
Sau đó một hôm, chàng sĩ quan trẻ đã xâu chuỗi tất cả những sự việc đã
phát hiện lại. Ông đã tìm được một phương pháp có thể chuyển hình học sang
ngôn ngữ đại số. Từ đó có thể đưa mọi vấn đề của hình học quy vào đại số để
giải. Đó chính là phương pháp hình học giải tích. Chàng thanh niên đó chính là
Rene Descartes (31/3/1596 - 11/1/1650), người Pháp.
2.1.1.11. Yếu tố lịch sử về Hình học Ơclit
Hình học là một phương pháp vô cùng tiện ích cho những người nông dân
Ai Cập đo đạc đất đai hằng năm sau những cơn lũ. Cứ mỗi năm, các điểm mốc
đánh dấu phần đất đai của mỗi người lại bị nước lũ sông Nin xóa nhòa, cho nên,
người ta phải dùng hình học để xác định lại mốc. Còn với người Hy Lạp, họ
không để tâm đến việc áp dụng hình học vào đời sống thực tế mà coi nó như một
22

phương pháp luyện tập trí thông minh và khả năng suy diễn. Dù thế nào, hình học
cũng đã được xem là rất hữu ích từ thời xa xưa. Euclid đã góp phần tăng cường
vai trò và vị thế của môn hình học trong đời sống khoa học thời bấy giờ bằng việc
tổ chức, sắp xếp, gắn kết lại tất cả các định lý, tiên đề… của hình học và biến nó
thành một môn khoa học có quy củ. Ông đã tốn không ít thời gian cho việc sưu
tầm, đơn giản hóa và sắp xếp thành chuỗi các tác phẩm, các định lý riêng lẻ của
các bậc tiền bối (Thales, Pythagoras). Những công thức lẻ loi, những định lý rời

rạc đã gắn kết với nhau, định lý trước là cơ sở của định lý sau trong một hệ thống
vô cùng thống nhất. Cùng với việc hệ thống một cách có logic các định lý đã có,
Euclid còn cố gắng tìm tòi những cách chứng minh mới mẻ và hoàn hảo hơn. Các
tác phẩm của Thales, Pythagoras cũng đã từng được bổ sung bởi Euclid.
2.1.1.12. Nguồn gốc khái niệm sin, côsin, tang, côtang
Nguồn gốc khái niệm sin: Do việc lập bảng độ dài dây cung của đường
tròn có bán kính là 1 đơn vị.

Qua nhiều giai đoạn lịch sử từ “jiva” (dây cung)
đổi dần thành sinus.
Nguồn gốc khái niệm tang, côtang nảy sinh từ việc khảo sát bảng bóng
của các vật thẳng đứng trên mặt nằm ngang, để tìm giờ trong ngày.

Thế kỉ XVI
xuất hiện kí hiệu sin, tang (tômát Phin), đầu thế kỉ XVII xuất hiện kí hiệu côsin,
côtang (ét mơn gơn tơ)
.
2.1.1.13. Yếu tố lịch sử về đường Côníc
+ Từ xa xưa người Hi Lạp đã rất chú ý tới các đường côníc. Đó là giao
tuyến của mặt nón tròn xoay với một mặt phẳng không đi qua đỉnh của hình nón.
Đó cũng là lí do gọi chung chúng là đường côníc (côn: hình nón).
+ Ngay từ trước công nguyên người ta đã biết khá đầy đủ về ba đường
côníc qua bộ sách 8 quyển của Apôlôniut (262-190 TCN). Nhưng phải đến thế
kỉ thứ XVII người ta mới thấy những ứng dụng quan trọng của chúng trong khoa
học kĩ thuật:
đường truyền của ánh sáng, đèn pha xe máy, máy viễn vọng vô
tuyến, đặc biệt là trong thiên văn.
2.1.2. Một số yếu tố lịch sử gắn với cuộc đời và sự nghiệp của các nhà toán
học trong chương trình môn Toán lớp 10
2.1.2.1. Goerges Boole_Người sáng lập ra logic Toán (1815 - 1864)

23

Goerges Boole là một nhà toán học Anh, sinh ngày 2 tháng 11 ngăm 1815
ở Lanhcôn. Boole là con một người bán tạp hoá thuộc tầng lớp bị xã hội khinh
rẻ. Vì thế Boole chỉ được học trong trường học của con nhà nghèo, loại trường
học bị kiềm hãm trong tình trạng nghèo nàn, lạc hậu.
Mới 12 tuổi Boole đã dịch được những bài trường ca tiếng La tinh ra tiếng
Anh. Ông còn học giỏi các thứ tiếng Pháp, Đức và Ý nữa. Năm 16 tuổi, Boole đã
phải tìm việc làm để kiếm tiền đỡ đần cha mẹ. Ông dạy học từ đó và vừa dạy học
vừa ra sức tự học. Do hoàn cảnh xã hội, Boole phải sống nhiều năm lúng túng,
quẩn quanh, không lối thoát và mặc dù đã tốn nhiều sức lực, ông vẫn không
thoát khỏi cảnh nghèo khó, bần cùng.
Những hiểu biết đầu tiên của Boole về toán do chính cha ông truyền dạy
cho, vì cần cho công việc buôn bán của gia đình. Từ năm 20 tuổi, Boole mở
trường tư dạy toán, và những bài vỡ lòng về toán của cha ông đã thu được kết
quả: Toán học đã thức tỉnh Boole và ông bắt đầu để tâm vào toán học. Đầu
tiên Boole nghiên cứu các phép toán đại số, quy luật của từng phép toán và mối
liên hệ giữa chúng. Công trình theo hướng này của Boole rất lý thú, hấp dẫn.
Nhưng ông đã bị lôi cuốn vào một công trình khác to lớn hơn. Đó là sự phát
minh ra một hệ thống tinh giản, thực dụng về logic hình thức (hay logic toán).
Năm 1848 Boole cho xuất bản tập "Giải tích toán học của Logic ". Đây là
cống hiến đầu tiên của Boole về Logic và từ đó ông bắt đầu nổi tiếng do sự
mạnh dạn và minh mẫn trong quan điểm của ông. Quyển sách nhỏ ấy làm cho
De Moogan(1806 - 1871) nhà toán học nổi tiếng bấy giờ, tác giả của quy tắc 3
đoạn (Tam đoạn luận) và nhiều công trình có giá trị về logic khâm phục. De
Morgan cho rằng "Giải tích toán học của logic" là một công trình của một nhà
toán học bậc thầy. Lúc này nhiều bạn bè khuyên Boole nên học lớp toán cơ đốc
giáo của trường Đại học Kembritgiơ, nhưng ông không nghe. Ông vẫn cặm cụi
dạy học để kiếm sống, phụng dưỡng cha mẹ, và vẫn tiếp tục học tập, nguyên cứu
say sưa trong hoàn cảnh khó khăn thiếu thốn.

Nhờ nổi tiếng bởi những công trình nghiên cứu độc đáo và sự hiểu biết
uyên bác, năm 1489, Boole được chỉ định làm giáo sư toán tại Queen College.
Cuộc đời Boole chuyển sang giai đoạn mới dễ chịu hơn nhiều so với thời kì dạy
học tư. Từ thời gian này Boole bắt đầu cho xuất bản nhiều công trình và dành
nhiều công sức cho tác phẩm chủ yếu của mình "Các định luật của tư duy" (là
24

nguồn gốc của "Đại số Bool " bây giờ) xuất bản năm 1854. Một năm sau khi
xuất bản tác phẩm lớn của mình, Boole kết hôn với Mari Everet, cháu gái giáo
sư tiếng Hy Lạp ở trường Đại học. Về sau vợ ông trở thành học trò trung thành
của ông. Sau khi Boole mất chính bà đã vận dụng một số quan điểm của chồng
vào những tác phẩm về giáo dục của mình. Con gái Boole là nữ văn sĩ Eten
Lilian Boole. Tác giả của cuốn tiểu thuyết "Ruồi trâu" rất quen thuộc đối với chúng ta.
Boole mất ngày 8/12/1864 thọ 49 tuổi. Cuộc đời và sự nghiệp
của Boole là một tấm gương sáng về tinh thần khắc phục khó khăn, lao động cần
cù, kiên nhẫn học tập và say mê nghiên cứu, sáng tạo.
2.1.2.2. Cantor _Ông tổ của lý thuyết tập hợp
Năm 1872, nhà toán học Georg Cantor (3/3/1845 - 6/1/1918, người Đức)
đã sáng lập một lí thuyết có tên “lí thuyết tập hợp”. Sau khi ra đời, “lí thuyết tập
hợp” đã là cơ sở cho một cuộc cách mạng trong viết sách và giảng dạy toán. Lí
thuyết này ngày nay đã trở thành văn phong cho toán học hiện đại. Nhà toán học
lỗi lạc thế kỉ XX, Hinbe năm 1925 đã viết : “Tôi nghĩ đó là đỉnh cao của hoạt
động trí tuệ con người ”.
Tuy nhiên, khi mới ra đời lí thuyết của ông lạ lùng biết bao, thật hoàn
toàn xa lạ với quan niệm truyền thống. Những phát hiện của ông ngày nay trở
thành bình thường nhưng lúc đó thì không ai tin vào điều “vô lí” đó cả. Do vậy
lí thuyết của Cantor đã gặp phải sự chống đối quyết liệt của các thế lực bảo
thủ, thậm chí có người còn gọi ông là “thằng điên”. Ngay cả người thầy mà
ông hằng kính trọng, nhà toán học nổi tiếng đương thời L.Kronecker (1823-
1891) cũng tuyên bố không thừa nhận và nguyền rủa, chế nhạo Cantor không

phải là học trò của mình. Sự ghìm nén về cùng cực tinh thần, sự mệt mỏi quá
sức của các cuộc luận chiến kịch liệt đã vượt quá sức chịu đựng của Cantor.
Năm 1884, tinh thần của ông bị suy sụp nhanh chóng nên ông đã sinh bệnh.
Ngày 6/1/1918, nhà toán học tài ba nhưng bất hạnh Cantor đã trút hơi thở cuối
cùng tại một bệnh viện thần kinh bang Sacxon.
2.1.2.3. Phrăng-xoa Vi-ét_Người khai sinh môn đại số
Tên tuổi của ông gắn liền với một định lí về nghiệm số của phương trình mà
học sinh lớp 9 đều biết: Định lí Vi-ét, nhưng công lao của ông to lớn hơn nhiều.
25