Hệ phương trình navier stokes (Đề tài nghiên cứu khoa học)

Mục lục
Mở đầu 3
1 Đại cương về hệ phương trình Navier - Stokes 6
1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . 8
1.2.2 Không gian L
2
(Ω), H
1
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Không gian H, V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Toán tử Stokes A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Toán tử B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm 16
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Nghiệm nhẹ của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Sơ lược về lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa 27
2.5.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm
giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier -
Stokes 30
1
Hệ phương trình Navier - Stokes
3.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng . . . . . . . . . . 30
3.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của tập hút toàn cục . . . . . . 34

4 Hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn 37
4.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . 39
4.3 Hệ phương trình Navier - Stokes - Voigt với trễ vô hạn . . . . 49
4.3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2 Tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi
mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,
dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu
nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công
nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản
quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,
nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được
xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng và động lượng. Hệ phương
trình Navier-Stokes có dạng:



∂u
∂x
− v. u + (u.)u + p = f(x, t)
.u = 0
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, v = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến ngày nay đã có

rất nhiều bài báo và sách tham khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes,
tuy nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này
còn khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn
cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách
thức lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lí. Tuy nhiên, vì nhu cầu của
Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes
nói riêng và các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng
trở nên thời sự và cần thiết. Như đã được đề cập đến trong các cuốn chuyên
khảo và các bài báo tổng quan gần đây, những vấn đề đặt ra khi nghiên cứu
các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là:
• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây
có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính quy ở đây có thể
là tính chính quy theo biến thời gian ( tính giải tích, tính Gevrey ) hoặc
tính chính quy theo biến không gian ( tính chính quy Hillbert, tính
chính quy Holder, mô tả tập điểm kì dị ).
3
Hệ phương trình Navier - Stokes
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi
thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngọai lực f "lớn", chúng ta
nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,
bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu
tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f "nhỏ" và không phụ thuộc thời
gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,
tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của
hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán
xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt được mục đích mong muốn.
• Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một
vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần

cả những mô tả định tính và mô tả định lượng của nghiệm, nói riêng là
việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìm
được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại). Việc xấp
xỉ hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm là vấn đề hết sức quan
trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Về mặt toán học, chúng
ta phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận
được là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình. Vấn
đề này đối với hệ phương trình Navier-Stokes, xin xem thêm các sách
tham khảo và các bài báo gần đây.
• Bài toán điều khiển được và bài toán tối ưu: Tìm điều khiển thích hợp
(trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ
từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiển
thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm
hàm cho trước. Về hướng nghiên cứu thời sự này xin xem các cuốn
chuyên khảo
2. Mục tiêu
- Trình bày về việc thiết lập hệ phương trình Navier - Stokes từ các quá trình
vật lí, cách xây dựng các không gian pha và các toán tử đặc trưng khi nghiên
cứu hệ phương trình Navier - Stokes.
- Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier -
Stokes.
- Chỉ ra dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian t → +∞.
- Áp dụng các kiến thức về hệ phương trình Navier - Stoke và cách xử lí số
hạng chứa trễ trong phương trình vi phân chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn .
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu:
Hệ phương trình Navier - Stokes.
* Phạm vi nghiên cứu: Tính đặt đúng của bài toán, dáng điệu tiệm cận
4

Hệ phương trình Navier - Stokes
nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes; tính đặt đúng của hệ phương
trình Navier - Stokes với trễ vô hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích hàm phi
tuyến như phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ để compact, các bổ đề xử lí
số hạng phi tuyến để nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của
hệ phương trình Navier-Stokes.
Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết
hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, phương pháp xử lí số hạng chứa trễ trong
phương trình vi phân để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và hệ mở
rộng trong trường hợp có thêm trễ vô hạn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Ý nghĩa khoa học: Nội dung của đề tài là tổng hợp các kiến thức cơ
bản về hệ phương trình Navier - Stokes. Đề tài cũng giới thiệu một số hướng
nghiên cứu thời sự đang được các nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu hệ
phương trình Navier - Stokes.
- Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài là một tài liệu tham khảo tiếng Việt tốt cho
các giảng viên và sinh viên ngành toán, vật lí muốn nghiên cứu sâu về hệ
phương trình Navier - Stokes.
5
Chương 1
Đại cương về hệ phương trình Navier
- Stokes
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức sơ lược nhất liên quan
đến hệ phương trình Navier - Stokes như cách thiết lập hệ, các không gian
hàm và các toán tử đặc trưng cho hệ ( xem [1], [13])
1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes
Khi mô tả chuyển động của chất lưu, người ta thường dùng biểu diễn La-
grange để biểu diễn quỹ đạo X = X(x, t), x ∈ R

n
, t > 0 và biểu diễn Euler
để biểu diễn vận tốc u = u(x, t).
Nếu hàm ρ = ρ(x, t) biểu diễn mật độ khối lượng và O là phần tử chất
lưu thì ta có:

O
∂ρ
∂t
dx = −

∂O
ρu.nds. (1.1)
Áp dụng công thức Stokes, với mọi O ta có:

O

∂ρ
∂t
+ div(ρu)

dx = 0.
Do đó:
∂ρ
∂t
+ div(ρu) = 0 (1.2)
Phương trình (1.2) là phương trình bảo toàn khối lượng.
6
Hệ phương trình Navier - Stokes
Hơn nữa, ta cũng có ρu là động lượng. Nếu f là lực tác động thì áp dụng

định luật bảo toàn động lượng ta có:

O
∂
∂t
(ρu)dx = −

O
ρu(u.n)ds +

O
ρfdx +

O
F.nds. (1.3)
trong đó : F = −σ, σ là tenxơ ứng suất, σ = p.1 với p là hàm áp suất, 1 là
ma trận đơn vị, τ là tenxơ ứng suất lớn nhất.
Áp dụng công thức Stokes và kết hợp (1.3) ta được:
∂
∂t
(ρu) + div(u ⊗ u) − divτ + p = ρf. (1.4)
Gia tốc của chất lưu tại thời điểm (x, t) là:
d
dτ

U

X(τ), τ

t=τ

=

∂u
∂t
+ (u.)u

(x, t)
trong đó:
(u.)u =
N

i=1
u
i
∂u
∂x
i
.
Từ đó ta có:
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u.)u −divτ + p = ρf. (1.5)
Trong trường hợp tổng quát thì τ phụ thuộc vào ρ, T, Du.
Nếu τ là hàm tuyến tính đối với Du thì
τ = λ.divu.1 + 2µd
với : d =
1
2
[(Du + (Du)

T
], λ = λ(ρ, T ), µ = µ(ρ, T ).
Trong thực tế, thường gặp τ không phụ thuộc vào ρ và T, tức là λ = const,
µ = const.
Trường hợp λ = µ = 0 thì τ = 0, do đó chất lưu không có nhớt.
Trường hợp µ > 0, λ + µ > 0 thì chất lưu có nhớt.
Nếu chất lỏng không nén được thì divu = 0.
Nếu chất lỏng là thuần nhất thì ρ = ρ = const. Khi đó:
σ = 2µd − p.1
d =
1
2
(Du + (Du)
T
) → divd =
N

i,j=1
1
2
∂
j
(∂
i
u
j
+ ∂
j
u
i

).
7
Hệ phương trình Navier - Stokes
Do divu = 0 nên divd =
N

i=1
1
2
 u
i
.
Nếu µ = const > 0 thì ta có hệ:



∂
∂t
(ρu
i
) + div(ρuu
i
) − µ.  u
i
+ ∂
i
p = ρf
i
, 1 ≤ i ≤ N
divu = 0.

Đây chính là hệ Navier-Stokes trong trường hợp chất lưu không nén được và
không thuần nhất.
Nếu chất lưu thuần nhất thì ta được hệ Navier-Stokes không nén được và
thuần nhất như sau:



∂u
i
∂t
− u
i
+ (u.)u
i
+ p
i
= f , 1 ≤ i ≤ N
divu = 0.
Trong vật lí chỉ xét trường hợp N = 2 hoặc N = 3.
1.2 Các không gian hàm
1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
a) Không gian các hàm liên tục
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 < k < +∞. Tập hợp
tất cả các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trong miền Ω kí hiệu là C
k
(Ω).
Không gian C(Ω) là tập hợp các hàm liên tục trên Ω.
Không gian C

∞
(Ω) là tập hợp các hàm u khả vi vô hạn lần trên Ω .
C
∞
(Ω) =
∞

k=0
C
k
(Ω)
Không gian C
k
0
(Ω), (0 ≤ k ≤ ∞) là tập hợp các hàm trong C
k
(Ω) và có
giá compact trong Ω.
b) Không gian các hàm khả tích Lebesgue
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 ≤ p < +∞. Khi đó
L
p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng cấp p theo
Lebesgue trong Ω, tức là

Ω
|u|
p

dx < +∞.
8
Hệ phương trình Navier - Stokes
Không gian L
p
(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn
||u(x)||
p
= ||u(x)||
L
p
(Ω)
=


Ω
|u|
p
dx

1/p
.
Hơn nữa, L
p
(Ω) là một không gian đầy đủ nên L
p
(Ω) là không gian
Banach.
Đặc biệt, với p = 2, không gian L
2

(Ω) là không gian Hilbert với tích vô
hướng
(f, g) =

Ω
f(x)g(x)dx.
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
. Khi đó L
∞
(Ω) là không gian
bao gồm tất cả các hàm u(x)đo được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi
trên Ω.
Ta kí hiệu ess sup
x∈Ω
|u(x)| là cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho
|u(x)| ≤ k hầu khắp trên Ω. Khi đó L
∞
(Ω) cũng là không gian Banach với
chuẩn
||u(x)||
∞
= ||u(x)||
L
∞
(Ω)
= ess sup
x∈Ω
|u(x)|.
Cho Ω là một miền trong R

n
và cho 1 ≤ p < +∞. Khi đó
L
p
loc
(Ω) = {u : Ω → R | u ∈ L
p
(U) với mọi U ⊂⊂ Ω}
c) Không gian Sobolev
Giả sử Ω là một miền trong R
n
. W
k,p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp k và tất
cả các đạo hàm đó thuộc không gian L
p
(Ω). Không gian W
k,p
(Ω) được gọi
là không gian Sobolev với chuẩn sau:
||u||
W
k,p
(Ω
=

k

α=0

||D
α
u||
p
L
p

1
p
.
Không gian Sobolev là một không gian Banach tách được.
Trong trường hợp p = 2, không gian Sobolev W
k,2
(Ω) thường được kí
hiệu là H
k
(Ω).
H
k
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn
((u, v))
H
k
=
k

α=0
(D
α
u, D

α
v).
9
Hệ phương trình Navier - Stokes
Không gian H
k
0
(Ω) là bổ sung đủ của không gian C
∞
c
(Ω) trong không
gian H
k
(Ω). Đặc biệt, H
1
0
(Ω) là tập hợp các hàm trong không gian H
1
(Ω)
và bằng 0 trên biên ∂Ω.
Không gian H
1
0
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng xác định
bởi:
((u, v))
H
1
0
=


α=1
(D
α
u, D
α
v),
và chuẩn tương ứng là:
||u, v||
2
H
1
0
=

α=1
|D
α
u|
2
.
d) Không gian đối ngẫu
Không gian đối ngẫu của không gian L
p
(Ω) là không gian L
q
(Ω), với
1
p
+

1
q
= 1.
Không gian đối ngẫu của không gian H
s
0
(Ω) kí hiệu là không gian H
−s
(Ω).
Bổ đề 1.2.1. Nếu u ∈ H
k
(Ω), với k ∈ Z thì D
α
u ∈ H
k−|α|
(Ω).
1.2.2 Không gian L
2
(Ω), H
1
0
(Ω)
Đặt L
2
(Ω) = L
2
(Ω)
d
, d = 2 hoặc d = 3.
Do L

2
(Ω) là không gian Hilbert nên L
2
(Ω) cũng là một không gian Hilbert
với tích vô hướng:
(u, v) =

Ω
u.vdx =

Ω
d

i=1
u
i
v
i
,
với:
u = (u
1
, u
2
, . . . , u
d
) ∈ L
2
(Ω),
v = (v

1
, v
2
, . . . , v
d
) ∈ L
2
(Ω).
Chuẩn trong L
2
(Ω): Cho u ∈ L
2
(Ω) thì
|u| := u
L
2
(Ω)
=


Ω
d

i=1
u
2
i
dx

1

2
.
Đặt H
1
0
(Ω) = H
1
0
(Ω)
d
là tập hợp các hàm u thỏa mãn u và đạo hàm yếu
của u thuộc L
2
(Ω) và u = 0 trên biên ∂Ω.
10
Hệ phương trình Navier - Stokes
Tương tự, H
1
0
cũng là một không gian Hillbert với tích vô hướng:
((u, v)) =
d

i=1

Ω
u
i
.  v
i

dx
Chuẩn trong H
1
0
(Ω): Cho u ∈ H
1
0
(Ω) thì
u := u
H
1
0
(Ω)
=

Ω
|  u|
2
dx.
1.2.3 Không gian H, V
Kí hiệu:
V = {u ∈ (C
∞
0
(Ω))
d
: .u = 0}.
Để nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes, ta xây dựng các không gian
hàm sau:
V = V

(H
1
0
(Ω)
d
là bao đóng của V trong H
1
0
(Ω))
d
(hay V = {u ∈ H
1
0
(Ω))
d
:
.u = 0}).
H = V
(L
2
(Ω)
d
là bao đóng của V trong L
2
(Ω))
d
.
Khi đó, H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt
là:
(u, v) = (u, v)

H
=

Ω
u.vdx =

Ω
d

i=1
u
i
v
i
dx,
((u, v)) = (u, v)
V
=

Ω
d

i=1
u
i
 v
i
dx =

Ω

d

i=1
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx.
Xét hệ phương trình



∂u
∂t
− v u + (u.)u + p = f, x ∈ Ω, t > 0,
divu = 0, x ∈ Ω, t > 0.
trong đó Ω là miền bị chặn trong R
d
, (d = 2, d = 3), biên Lipschitz.
Điều kiện biên: u = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0
Điều kiện ban đầu: u|
t=0
= u
0
, x ∈ Ω.
u =



u
1
.
.
.
u
d


= vectơ vận tốc .
11
Hệ phương trình Navier - Stokes
p : Ω × [0, T ) −→ R là hàm áp suất.
(u.)u =
d

i=1
u
i
∂u
∂u
i
.
p =







∂p
∂x
i
.
.
.
∂p
∂x
d






divu =
∂u
1
∂x
1
+ ··· +
∂u
d
∂x
d
.
Gọi H
⊥

là phần bù trực giao của H trong L
2
(Ω). Khi đó
H
⊥
=

u ∈ L
2
(Ω) : ∃p ∈ H
1
(Ω), u = p

, p ∈ H
1
(Ω).
và L
2
(Ω)
d
= H ⊕H
⊥
Nếu F ∈ H
⊥
thì phương trình :p = F có nghiệm.
1.3 Các toán tử
1.3.1 Toán tử Stokes A
Gọi H

, L


là không gian đối ngẫu của H và L. Khi đó: V ⊂ H ≡ H

⊂ V

.
Kí hiệu:
< ·, · > là cặp đối ngẫu giữa V và V

 · 
∗
là chuẩn trong V

 ·  là chuẩn trong V
| · | là chuẩn trong H.
Ta định nghĩa toán tử:
A : V −→ V

u → Au
với < Au, v >= ((u, v)), ∀u, v ∈ V .
Kí hiệu D(A) là miền xác định của toán tử A thì:
D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H}
Đặc biệt, nếu Ω là miền đủ trơn thì
D(A) = H
2
(Ω)
d
∩ V
12
Hệ phương trình Navier - Stokes

Khi đó A là một toán tử tuyến tính, không bị chặn, tự liên hợp, xác định
dương và có nghịch đảo A
−1
: H → D(A) compact.
Vì phép nhúng H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) là compact nên A có các giá trị riêng
0 ≤ λ
1
≤ λ
2
≤ ··· ≤ λ
k
−→ +∞ và các vectơ riêng lập thành một cơ sở
trực chuẩn của H.
1.3.2 Toán tử B
Đặt b(u, v, w) =
d

i,j=1

Ω
u
i
.D
i
v

j
.w
j
dx.
Do H
1
→ L
2d
d−2
nên nếu v ∈ H
1
⇒ D
i
v
j
∈ L
2
⇒ ω ∈ L
2
b(u, v, w) là dạng 3 - tuyến tính liên tục trên V ×V ×V . Do phép nhúng
H
1
(Ω) → L
4
(Ω) nên ta có:
|b(u, v, w)| =







Ω
2

i,j=1
u
i
.D
i
v
j
.w
j
dx





≤
2

i,j=1


Ω
|u
i
|

4
dx

1
4


Ω
|D
i
v
j
|
2
dx

1
2


Ω
|w
j
|
4
dx

1
4
≤ C||u||

L
4
||v||
H
1
0
||w||
L
4
≤ C||u||
H
1
0
||v||
H
1
0
||w||
H
1
0
Hơn nữa,
b(u, v, w) = −b(u, w, v); ∀u, v, w ∈ V .
⇒ b(u, v, v) = 0; ∀u, v ∈ V .
(u.)u.v = b(u, u, v).
Để thiết lập đánh giá với b(u, v, w), ta cần các bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2)
Với bất kì tập mở Ω ⊂ R
2
, ta có:

||v||
L
4
(Ω)
≤ 2
1
4
||v||
1
2
L
2
(Ω)
||  v||
1
2
L
2
(Ω)
,
với mọi v ∈ H
1
0
(Ω).
Bổ đề 1.3.2. (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 3)
13
Hệ phương trình Navier - Stokes
Với bất kì tập mở Ω ⊂ R
3
, ta có:

||v||
L
3
(Ω)
≤ C||v||
1
2
L
2
(Ω)
||  v||
1
2
L
2
(Ω)
,
||v||
L
4
(Ω)
≤ C||v||
1
4
L
2
(Ω)
||  v||
3
4

L
2
(Ω)
,
với mọi v ∈ H
1
0
(Ω).
Xét toán tử B : V × V −→ V

xác định bởi :
< B(u, v), w >= b(u, v, w), ∀w ∈ V
Đặt Bu : V −→ V

xác định bởi: Bu = B(u, u).
Bổ đề 1.3.3.
1. Nếu d = 2 hoặc d = 3 thì
|b(u, v, w) ≤ u
L
∞
.v.w, ∀u ∈ L
∞
, v ∈ V, w ∈ H.
2. Nếu u, v, w ∈ V thì
|b(u, v, w)| ≤ k.








|u|
1
2
.u
1
2
.v.|w|
1
2
.w
1
2
, nếu d=2
|u|
1
4
.u
3
4
.v.|w|
1
4
.w
3
4
, nếu d=3
3. Nếu u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H thì:
|b(u, v, w)| ≤ k.








|u|
1
2
.u
1
2
.v
1
2
.|Av|
1
2
.|w, nếu d=2
u.v
1
2
.|Av|
1
2
.|w|, nếu d=3
Chú ý : Do |u| ≤ C.u nên đánh giá trong trường hợp d = 2 mạnh hơn
trong trường hợp d = 3.
Chứng minh:

Sử dụng bất đẳng thức Holder:
Nếu u ∈ L
p
, v ∈ L
d
, w ∈ L
r
và

1
p
+
1
q
+
1
r
= 1

thì:
uvw
L
1
≤ u
L
p
.v
L
q
.w

L
r
.
14
Hệ phương trình Navier - Stokes
1. Chọn (p, q, r) = (∞, 2, 2).
2. Chọn (p, q, r) = (4, 2, 4) và sử dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya:
u
L
4
≤ C.







u
1
2
L
2
.  u
1
2
L
2
nếu d = 2.
u

1
4
L
2
.  u
3
4
L
2
nếu d = 3.
3. Nếu d = 2 thì chọn (p, q, r) = (4, 4, 2) và cũng sử dụng bất đẳng thức
Ladyzhenskaya trong trường hợp hai chiều.
Nếu d = 3 thì chọn (p, q, r) = (6, 3, 2) và sử dụng bất đẳng thức :
u
L
3
≤ C.u
1
2
.|u|
1
2
kết hợp với phép nhúng : H
1
(Ω) → L
6
(Ω) và
đánh giá; u
D(A)
∼ u

H
2
15
Chương 2
Sự tồn tại, tính duy nhất và tính
chính qui của nghiệm
Chương 2 của đề tài trình bày về tính đặt đúng của hệ phương trình Navier
- Stokes. Khi nghiên cứu về một phương trình đạo hàm riêng nào đó thì
vấn đề đặt ra đầu tiên là tính đặt đúng của bài toán: sự tồn tại và duy nhất
nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu. Trong chương
này, chúng tôi nghiên cứu cả nghiệm yếu, nghiệm mạnh và nghiệm nhẹ (mild
solution) của bài toán.
2.1 Phát biểu bài toán
⊕ Bài toán 1:
Cho u
0
∈ H, f ∈ L
2
(0, T, V

). Tìm hàm u ∈ L
2
(0, T, V ) thỏa mãn :



d
dt
(u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) =< f, v >, với mọi v ∈ V , với hầu khắp t ∈ (0, T )
u(0) = u

0
.
(2.1)
Để viết lại bài toán 1 dưới dạng toán tử, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1. [1]
Giả sử u ∈ L
2
(0, T ; V ) khi đó hàm Bu xác định bởi:
< Bu(t), v >= b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V sẽ thuộc không gian L
1
(0, T ; V

).
Chứng minh:
16
Hệ phương trình Navier - Stokes
Ta có: | < Bu(t), v > | = |b(u(t), u(t), v)| ≤ C.u(t)
2
.v, ∀v ∈ V .
( do b(u, v, w) là dạng 3-tuyến tính liên tục).
⇒ Bu(t)
V

≤ C.u(t)
2
V
⇒
T

0

Bu(t)
V

dt ≤
T

0
C.u(t)
2
V
< +∞ (do u ∈ L
2
(0, T, V ))
⇒ Bu(t) ∈ L
1
(0, T, V ).
Chú ý : Nếu u ∈ L
2
(0, T, V ) thì Au ∈ L
2
(0, T, V ).

L
2
(0, T, V

) = (L
2
(0, T, V ))



Thật vậy: ∀ϕ ∈ L
2
(0, T, V ), áp dụng bất đẳng thức Holder , ta có:
| < Au, ϕ > | =


T

0

Ω
u.  ϕdxdt


= ϕ
L
2
(0,T,V )
.u
L
2
(0,T,V )
⇒
T

0
Au
2
V


dt ≤ u
L
2
(0,T,V )
⇒ Au ∈ L
2
(0, T ; V

).
Từ đó ta có bài toán sau đây:
⊕ Bài toán 2:
Cho u
0
∈ H và f ∈ L
2
(0, T ; V

). Tìm hàm u thỏa mãn:
u ∈ L
2
(0, T ; V )
u

∈ L
1
(0, T ; V

)
u


+ νAu + Bu = f trong V

với hầu khắp t ∈ (0, T )
u(0) = u
0
.
Để thỏa mãn điều kiện u(0) = u
0
ta cần bổ sung điều kiện:
- Nếu d = 2 ⇒ u ∈ C([0, T ], H) là hàm liên tục theo t ∈ [0, T ] nhận giá
trị trong H,
- Nếu d = 3 ⇒ u ∈ C
ω
([0, T ], H) là hàm liên tục yếu theo t ∈ [0, T ] nhận
giá trị trong H.
2.2 Sự tồn tại nghiệm
Định lí 2.2.1. [1]
Cho u
0
∈ H và f ∈ L
2
(0, T, V

). Khi đó tồn tại một nghiệm u của bài
toán (2.1) thỏa mãn :
u ∈ L
2
(0, T, V ) ∩ L
∞

(0, T, H)
17
Hệ phương trình Navier - Stokes
Hơn nữa, nếu d = 2 thì u là duy nhất và u ∈ C([0, T ], H), u

∈ L
2
(0, T, V

).
Và nếu d = 3 thì u ∈ C
W
([0, T ], H); u

∈ L
4
3
(0, T, V

).

u ∈ C
W
([0, T ], H) tức là t ∈ [0, T ] −→< u(t), v > liên tục ∀v ∈ H

.
Chứng minh
:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin ( phương pháp compact).
Bước 1 : Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ {u

m
}.
Giả sử {w
k
} là cơ sở của H và V gồm các vectơ riêng của toán tử A.
Xét phép chiếu
P
n
:V −→ span{w
1
, ··· , w
n
}
u =
∞

k=1
c
k
.w
k
→ P
n
(u) =
n

k=1
c
k
.w

k
⇒ P
n
là tuyến tính, liên tục và |P
n
(u)| ≤ |u|.
Tìm nghiệm xấp xỉ u
m
(t) dưới dạng :
u
m
(t) =
m

k=1
γ
m
k
(t).w
k
thỏa mãn:



du
m
dt
+ νAu
m
+ B(u

m
, u
m
) = P
m
f (∗)
u
m
(0) = P
m
u
0
.
⇔



d
dt
(u
m
(t), w
k
) + ν((u
m
(t), w
k
)) + b(u
m
(t), u

m
(t), w
k
) =< f (t), w
k
>, ∀k = 1, ··· , m
(u
m
(0), w(k)) = (u
0
, w
k
), ∀k = 1, ··· , m.
Ta đi tìm nghiệm xấp xỉ u
m
(t) dưới dạng u
m
(t) =
m

k=1
γ
m
k
(t)w
k
.
Theo định lí Peano thì tồn tại nghiệm u
m
(t) trên [0, T

m
).
Ta cần chỉ ra T
m
= T .
Bước 2 : Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
Nhân cả 2 vế của (*) với u
m
, ta được
1
2
d
dt
|u
m
|
2
+ ν.u
m

2
=< f, u
m
>
( do < P
m
f, u
m
>=< f, P

m
u
m
>=< f, u
m
>)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: < f, u
m
>≤
1
2ν
f
2
V

+
ν
2
.u
m

2
⇒
d
dt
|u
n
|
2
+ ν.u

m

2
≤
1
ν
f
2
V

Lấy tích phân từ 0 → t với 0 ≤ t ≤ T , ta có:
18
Hệ phương trình Navier - Stokes
|u
m
(t)|
2
+ν
t

0
u
m
(s)|
2
ds ≤ |u
m
(0)|
2
+

1
ν
t

0
f(s)
2
V

ds ≤ |u
0
|
2
+
1
ν
T

0
f(s)
2
V

ds.
Suy ra:

{u
m
}bị chặn trong L
∞

(0, T ; H)
{u
m
}bị chặn trong L
2
(0, T ; V )
Do đó: {Au
m
} bị chặn trong L
2
(0, T ; V

).
Đánh giá Bu
m
+) Nếu d = 2; ta có Bu
m
 ≤ C.u
m
|u
m
| ( lấy w = u theo bổ đề)
⇒
T

0
Bu
m
(t)
2

V

dt ≤ C.
T

0
|u
m
(t)|
2
.u
m
(t)
2
dt
≤ C.u
m

L
∞
(0,T ;H)
.
T

0
u
m

2
dt < ∞.

⇒ {Bu
m
} bị chặn trong L
2
(0, T, V

)
+) Nếu d = 3 ta có : Bu
m

V

≤ C.|u
m
(t)|
1
2
.u
m
(t)
3
2
⇒
T

0
Bu
m
(t)
4

3
V

dt ≤ C.
T

0
|u
m
(t)|
2
3
.u
m
(t)
2
dt
≤ C.u
m

L
∞
(0,T ;H)
.
T

0
u
m
(t)

2
dt. (do u
m
∈ L
∞
(0, T ; H) )
⇒ {Bu
m
} bị chặn trong L
4
3
(0, T ; V

).
Ta có:
du
m
dt
= −ν.Au
m
+ Bu
m
+ P
m
f
+) Nếu d = 2 ⇒ {
du
m
(t)
dt

} bị chặn trong L
2
(0, T ; V

).
+) Nếu d = 3 ⇒ {
du
m
(t)
dt
} bị chặn trong L
4
3
(0, T ; V

).
Bước 3 : Chuyển qua giới hạn:
Do u
m
bị chặn trong L
2
(0, T ; V ) nên u
m
 u trong L
2
(0, T ; V )
và Au
m
bị chặn trong L
2

(0, T ; V

) nên :
• Au
m
 Au trong L
2
(0, T ; V

) .
•
du
m
dt

du
dt
trong L
p
(0, T ; V

)
với p = 2 nếu d = 2, và p =
4
3
nếu d = 3.
Phần phi tuyến : Ta có Bu
m
 χ trong L
p

(0, T ; V

).
Do số hạng phi tuyến không liên tục đối với hội tụ yếu nên ta cần chứng
19
Hệ phương trình Navier - Stokes
minh: χ = Bu.
Để chứng minh χ = Bu, ta áp dụng bổ đề sau:
Bổ đề compact (Aubin - Lions).
Giả sử X
0
→→ X → X
1
là 3 không gian Banach.
Kí hiệu : E = {u|u ∈ L
p
0
(0, T ; X
0
), u

∈ L
q
0
(0, T ; X
1
)}, 1 < p
0
, q
0

< +∞.
Khi đó: E →→ L
p
0
(0, T ; X)
Ta cũng có thể hiểu như sau: từ một dãy bị chặn trong E trích ra được một
dãy con hội tụ mạnh trongL
p
0
(0, T ; X).
Chọn X
0
= V →→ X = H → X
1
= V

, (Ω bị chặn)
Khi đó u
m
→ u trong L
p
(0, T ; H).
Ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. [2]
Giả sử u
m
 u trong L
2
(0, T ; V ) và u
m

→ u trong L
2
(0, T ; H)
Khi đó:
T

0
b(u
m
(t), u
m
(t), w(t))dt −→
T

0
b(u(t), u(t), w(t))dt, ∀w ∈ C
1
(Q
T
).
Chứng minh:
Ta có b(u
m
, u
m
, w) = −b(u
m
, w, u
m
) = −

d

i,j=1

Ω
(u
m
)
i
∂w
j
∂x
i
(u
m
)
j
dx .
Do đó:
T

0
b(u
m
, u
m
, w) −
T

0

b(u, u, w) =
=
d

i,j=1
T

0

Ω


(u
m
)
i
− u
i

∂w
j
∂x
i
(u
m
)
j
+ (u
m
)

i
∂w
j
∂x
i

(u
m
)
j
− u
j


dxdt.
Do đó, ta chỉ cần xét số hạng dạng: I
m
=
T

0

Ω
(v
m
− v)w.v
m
dxdt
trong đó v
m

→ v trong L
2
(0, T ; H), w ∈ L
2
(0, T ; H), v
m
bị chặn trong L
∞
(0, T ; H).
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
|I
m
| ≤ v
m
−v
L
2
(0,T ;H)
.||wv
m
||
L
2
(0,T ;H)
≤ v
m
−v
L
2
(0,T ;H)

.v
m

L
∞
(0,T ;H)
.w
L
2
(0,T ;H)
nên I
m
→ 0 hay Bu
m
→ Bu trong L
2
(0, T ; V

).
Bổ đề được chứng minh.
Vậy, tồn tại hàm u ∈ L
2
(0, T ; V ) ∩ L
∞
(0, T ; H) thỏa mãn:
du
dt
+ νAu + Bu = ftrongL
2
(0, T ; V


),
hay
du
dt
(t) + νAu(t) + Bu(t) = f(t)trong V’ với hầu khắp t ∈ [0, T ].
20
Hệ phương trình Navier - Stokes
Để chứng minh u là nghiệm, ta cần chứng minh u(0) = u
0
.
Thật vậy, chọn hàm thử ϕ ∈ C
1
([0, T ]; V ) với ϕ(T ) = 0. Lấy tích vô hướng
của phương trình trên với ϕ, sau đó lấy tích phân từng phần, ta được:
T

0

Ω
∂u
∂t
ϕ = −
T

0

Ω
u
∂ϕ

∂t
+

Ω
u(T )ϕ(T )−

Ω
u(0).ϕ(0) = −
T

0

Ω
u
∂ϕ
∂t
−

Ω
u(0).ϕ(0).
suy ra
−
T

0

Ω
u.
∂ϕ
∂t

+ v
T

0
((u, ϕ)) +
T

0
b(u, u, ϕ) =
T

0
< f(t), ϕ(t) > +(u(0), ϕ(0)).
Làm tương tự với u
m
ta cũng có:
−
T

0

Ω
u
m
.
∂ϕ
∂t
+v
T


0
((u
m
, ϕ))+
T

0
b(u
m
, u
m
, ϕ) =
T

0
< f(t), ϕ(t) > +(u
m
(0), ϕ(0)).
Cho m → ∞, ta được :
−
T

0

Ω
u.
∂ϕ
∂t
+ v
T


0
((u, ϕ)) +
T

0
b(u, u, ϕ) =
T

0
< f(t), ϕ(t) > +(u
0
, ϕ
0
).
Suy ra :

u(0), ϕ(0)

=

u
0
, ϕ(0)

∀ϕ ∈ C
1
([0, T ]; V ), ϕ(T ) = 0.
⇒ u(0) = u
0

.
Nếu u ∈ L
2
(0, T ; V ) ⇒ u

∈ L
2
(0, T, V

) ⇒ u ∈ C([0, T ]; H).
Nếu u ∈ L
∞
(0, T ; V ) ⇒ u

∈ L
4
3
(0, T, V

) ⇒ u ∈ C
W
([0, T ]; H).
2.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu
Định lí 2.3.1. [13]
Nếu d = 2 thì nghiệm yếu của bài toán (2.1) là duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử u
1
, u
2

là 2 nghiệm của bài toán.
Đặt u = u
1
− u
2
⇒
∂u
∂t
+ vAu + Bu
1
− Bu
2
= 0.
Nhân vô hướng cả hai vế của phương trình với u, ta có:
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
, u
1
, u) − b(u
2
, u
2

, u) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
, u
1
, −u
2
) − b(u
2
, u
2
, u
1
) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2

+ v.u
2
+ b(u
1
− u
2
, u
2
, u
1
− u
2
) = 0.
⇒
d
dt
|u|
2
+ 2v.u
2
= −2b(u, u
2
, u).
21
Hệ phương trình Navier - Stokes
Áp dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya cho trường hợp d = 2, ta có:
| − 2b(u, u
2
, u)| ≤ 2
3

2
.|u|.u.u
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
| − 2b(u, u
2
, u)| ≤ 2
3
2
.|u|.u.u
2
 ≤ 2.v.u
2
+
1
v
|u|
2
.u
2

2
Suy ra
d
dt
u ≤
1
v
.|u|.u

2

2
.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:
|u(t)|
2
≤ |u
0
|

=0
.

t

0
1
v
.u
2

2
ds

  
<+∞
Do đó |u(t)| = 0 hay u = 0.
Định lí được chứng minh.
Định lí 2.3.2. Nếu d = 3 thì có nhiều nhất một nghiệm u của bài toán (2.1)

thỏa mãn :
u ∈ L
2
(0, T ; V ) ∩ L
∞
(0, T ; H).
u ∈ L
8
(0, T ; L
4
(Ω)).
Khi đó: u ∈ C([0, T ]; H).
Chứng minh:
Giả sử u
1
, u
2
là 2 nghiệm của bài toán.
Đặt u = u
1
− u
2
⇒
∂u
∂t
+ vAu + Bu
1
− Bu
2
= 0.

Nhân vô hướng cả hai vế của phương trình với u, ta có:
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
, u
1
, u) − b(u
2
, u
2
, u) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
, u

1
, −u
2
) − b(u
2
, u
2
, u
1
) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
− u
2
, u
2
, u
1
− u
2
) = 0.

⇒
d
dt
|u|
2
+ 2v.u
2
= −2b(u, u
2
, u).
Áp dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya cho trường hợp d = 3, ta có:
|b(u, u, v)| ≤ C.|u|
1
4
.u
7
4
.v
L
4
22
Hệ phương trình Navier - Stokes
⇒
d
dt
|u|
2
+ 2vu
2
≤ 2C.|u|

1
4
.u
7
4
.u
2

L
4
.
Áp dụng bất đẳng thức Young, ta được:
d
dt
|u|
2
+ 2vu
2
≤ 2v.u
2
+ C
1
.|u|
2
.u
2

8
L
4

Suy ra
d
dt
|u|
2
≤ C
1
.|u|
2
.u
2

8
L
4
.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:
|u(t)|
2
≤ |u
0
|
2

=0
.

t

0

C
1
.u
2

8
L
4
ds

  
<+∞
Do đó |u(t)| = 0 hay u = 0.
Định lí được chứng minh.
Chú ý :
Lions đã chứng minh được trong trường hợp d = 3, nghiệm yếu là duy nhất
nếu u ∈ L
s
(0, T ; L
r
(Ω)) nếu
2
s
+
3
r
≤ 1 hoặc nếu
2
s
+

3
r
= 1 với Ω bị chặn.
2.4 Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes
Định nghĩa 2.4.1. Cho u
0
∈ V và f ∈ L
2
(0, T ; H).
Nghiệm mạnh u của hệ Navier-Stokes là hàm u thỏa mãn:















u ∈ L
2
(0, T ; D(A)) ∩ L
∞
(0, T ; V )

du
dt
+ νAu + Bu = f trong H với hầu khắp t.
u(0) = u
0
.
Ta chú ý rằng: nếu Ω trơn thì D(A) = H
2
(Ω)
d
).
* So sánh nghiệm mạnh và nghiệm yếu:
- Về điều kiện ban đầu và các dữ kiện:
+) Nghiệm yếu: u
0
∈ H ⊃ V , f ∈ L
2
(0, T ; V

) ⊃ L
2
(0, T ; H),
+) Nghiệm mạnh: u
0
∈ V , f ∈ L
2
(0, T ; H),
- Về không gian nghiệm:
23
Hệ phương trình Navier - Stokes

+) Nghiệm yếu: u ∈ L
2
(0, T ; V ) ∩ L
∞
(0, T ; H),
+) Nghiệm mạnh: u ∈ L
2
(0, T ; D(A)) ∩ L
∞
(0, T ; V ).
- Về phương trình:
+) Nghiệm yếu:
du
dt
+ νAu + Bu = f trong V

với hầu khắp t,
+) Nghiệm mạnh:
du
dt
+ νAu + Bu = f trong H với hầu khắp t.
Định lí 2.4.1. Nếu d = 2, u
0
∈ V, f ∈ L
2
loc
(0, ∞; H) thì hệ Navier-Stokes
du
dt
+ νAu + B(u, u) = f

có duy nhất một nghiệm mạnh u thỏa mãn
u ∈ L
∞
(0, T ; V ) ∩ L
2
(0, T ; D(A))
Hơn nữa, nghiệm u phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u
0
.
Để chứng minh định lí, ta chú ý đến đẳng thức năng lượng sau:
|u(t)|
2
+ 2ν
t

0
u(s)
2
ds = |u(0)|
2
+ 2
t

0
< f(s), u(s) > ds.
Chứng minh định lí:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin
Giả sử {w
k
} là cơ sở của V gồm các vectơ riêng của toán tử A.

Xét phép chiếu
P
n
:V −→ span{w
1
, ··· , w
n
}
u =
∞

k=1
c
k
.w
k
→ P
n
(u) =
n

k=1
c
k
.w
k
⇒ P
n
là tuyến tính, liên tục và |P
n

(u)| ≤ |u|.
Tìm nghiệm xấp xỉ u
m
(t) dưới dạng :
u
m
(t) =
m

k=1
γ
m
k
(t).w
k
thỏa mãn:



du
m
dt
+ νAu
m
+ B(u
m
, u
m
) = P
m

f (∗)
u
m
(0) = P
m
u
0
.
24
Hệ phương trình Navier - Stokes
Nhân cả 2 vế của (*) với Au
m
, ta được
1
2
d
dt
||u
m
||
2
+ ν.Au
m

2
+ (P
m
B(u
m
, u

m
), Au
m
) =< f, Au
m
>
( do < P
m
f, u
m
>=< f, P
m
u
m
>=< f, u
m
>)
Lại có
(P
m
B(u
m
, u
m
), Au
m
) = (B(u
m
, u
m

), Au
m
) = b(u
m
, u
m
, Au
m
)
b(u
m
, u
m
, Au
m
) = 0 ∀u
m
∈ D(A)
nên
1
2
d
dt
||u
m
||
2
+ ν.Au
m


2
≤ |f||Au
m
|.
Áp dụng bất đẳng thức Young, ta có:
|f||Au
m
| ≤
|f|
2
2ν
+
ν
2
|Au|
Suy ra
d
dt
||u
m
||
2
+ ν.Au
m

2
≤
|f|
2
ν

.
Lấy tích phân từ 0 → t với 0 ≤ t ≤ T , ta có:
||u
m
(t)||
2
+ ν
t

0
Au
m
(s)
2
ds ≤ |u
m
(0)|
2
+
1
ν
t

0
f(s)
2
ds,
hay
||u
m

(t)||
2
+ ν
t

0
Au
m
(s)
2
ds ≤ |u
m
(0)|
2
+
1
ν
f
2
L
2
(0,t;H)
.
Do ||u
m
(0)|| ≤ ||u
0
|| nên:
sup
t∈[0,T ]

||u
m
(t)||
2
≤ K = ||u
0
||
2
+
1
ν
f
2
L
2
(0,T ;H)
và
T

0
Au
m
(s)
2
ds ≤
K
ν
.
Suy ra:


{u
m
} bị chặn đều trong L
∞
(0, T ; V )
{u
m
} bị chặn đều trong L
2
(0, T ; D(A))
Do đó u
m
có dãy con, ta vẫn kí hiệu là u
m
thỏa mãn:

u
m

∗
u trong L
∞
(0, T ; V )
u
m
 u trong L
2
(0, T ; D(A))
25