Tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge Ampere

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––––



ĐẶNG HIỀN THƢƠNG




TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM
TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2012


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phương pháp nghiên cứu 3
4. Bố cục của luận văn 3
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Hàm đa điều hoà dưới 5
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức…………………………………… …9
1.4. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere 18
Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT
CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE 34
2.1. Giới thiệu 35
2.2. Sự tồn tại của nghiệm tổng quát 37
2.3. Đánh giá đối với đạo hàm cấp hai 39
2.4. Tính
1,1
C -
chính qui của nghiệm tổng quát 43

KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với hàm lồi tùy ý
u
xét độ đo Borel không âm
()Mu
sao cho

2
( ) detM u D udl=

Đối với hàm trơn và ngay cả hàm
2,n
loc
W
. Bài toán Dirichlet đối với
M
là giải
được trong trường hợp khá tổng quát: Cho
W
là miền lồi tùy ý trong
n

và

( )
Cj   
sao cho nó là lồi trên một cung tùy ý trong

(Ta gọi hàm
j

như thế là chấp nhận được). Khi đó với độ đo Borel không âm tùy ý
m
mà
( )
m   
bài toán Dirichlet

( ) ( )
( ) trong

u CVX C
Mu
u
m
j



   





=W




=



(*)
Có nghiệm duy nhất. ( Điều này đã được J. Rauch và B.A. Taylor chứng minh
năm 1977 đối với miền
W
lồi chặt, ở đó hàm liên tục
j
là chấp nhận được).
Chúng ta sẽ xét độ đo
m
với
y
liên tục không âm, trù mật trong
W
. Ở đây
u

sẽ luôn ký hiệu là nghiệm của (*) (với
dm y l=
),
v
là nghiệm của bài toán

thuần nhất tương ứng:

( ) ( )
( ) 0 trong

v CVX C
Mv
v j



   




=W




=




Các kết quả chính qui của nghiệm của (*) đã được một số tác giả nghiên cứu,
cụ thể như sau: Cheng, Yau (năm 1977, 1982), Trudinger, Urbas (năm 1983),

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
Krylov (năm 1984), Caffarelli, Nirenberg và Spruck (năm 1984), Guan,
Trudinger and Wang năm 1999
Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài ”Tính chính qui của
nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampere”. Cụ thể, chúng tôi sẽ
nghiên cứu tính C
1,1
-chính qui của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-
Ampere
2
det , 0Du yy
, trên miền lồi bị chặn
W
trong
n

với
u j=

trên

. Trong trường hợp riêng, sẽ chứng minh rằng
1,1
()uC
nếu

)i

0j =

và
( )
1/ 1
1,1
()
n
Cy
-

hoặc

)ii

W
là C
1,1
lồi mạnh,
( )
1/ 1
1,1 1,1
( ), ( )
n
CCjy
-
   
và
0y >
trên
U 
, ở đó U là lân cận của


.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc
nghiên cứu tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-
Ampère.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và
bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere.
- Trình bày một số kết quả của Z.Blocki năm 2003 về tính chính quy
của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

3
3. Phng phỏp nghiờn cu
- S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng
phỏp ca lý thuyt th v phc.
- S dng phng phỏp v kt qu ca Zbigniew Blocki.
4. B cc ca lun vn
Ni dung lun vn gm 50 trang, trong ú cú phn m u, hai chng
ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho.
Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh
cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t
Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere.

Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu
nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh
Monge-Ampốre.
Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c.
Bn lun vn c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi
Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng, nhõn dp ny tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự h-ớng dẫn hiệu quả
cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa
Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn,
Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu
kin thun li cho tụi trong quỏ trỡnh hc tp v nghiờn cu khoa hc.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Trường THPT Dương Tự Minh Thái Nguyên cùng các đồng
nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Tác giả

Đặng Hiền Thương


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
[ )
:,u    
là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với

trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a 
và
n

b  
, hàm
()u a bll+a
là điều hoà dưới hoặc trùng

trên mỗi thành
phần của tập hợp
{ }
:abll   
. Trong trường hợp này, ta viết
()u PSH
. (ở đây
()WPSH
là lớp các hàm đa điều hoà dưới trong
W
).
Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng.
Nhắc lại, nếu
2
( ), ,
n
u a b    C 
thì
0
4 ( ) , ( ( )u a b b u a b
l
l
l
=
= D +L

.
Ta có định lý sau:
1.1.2. Định lý. Nếu
n
 

là mở và
()u PSH
 thì với mỗi
1
( , , )
n
n
b b b
,
2
,1
0
n
jk
k
jk
j
u
bb
zz
=





trong
W
, theo nghĩa của đạo hàm
suy rộng, tức là
( ) ( ) , ( ) 0u z z b b d zjl
W
  

L
, với hàm không âm
0
()Cj



tùy ý. Ngược lại, nếu
1
()
loc
vL
sao cho với mọi
z 
, mọi
1
( , , )
n
n
b b b
,

2
,1
0
n
k
j
k
jk
j
v
bb
zz
=




trong
W
(1.1)
theo nghĩa suy rộng, thì hàm
0
lim( )uv
e
e
c

=*
được xác định tốt, đa điều hoà
dưới trong

W
, và bằng
v
hầu khắp nơi trong
W
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Chứng minh. Cho
()u PSH
và
uu
ee
c=*
với
0e >
. Lấy một hàm
không âm
0
()Cj


và một véc tơ
1
( , , )
n
n
b b b

. Định lý hội tụ trội
Lebesgue kết hợp với tích phân từng phần suy ra
()uz
W


( ) ,z b bjL

()dzl =

0
lim
e
()uz
e
W


( ) ,z b bjL

()dzl


0
lim
e
=
W



( ) ,u z b b
e
L
()zj
()dzl
 0.
Phần đầu tiên của định lý được chứng minh.
Giả sử
1
()
loc
vL
và (1.1) được thoả mãn. Đặt
vv
ee
c=*
với
0e >
.
Khi đó
0v
trong
W
, theo nghĩa suy rộng. Do [11], Định lý 2.5.8, tồn tại
duy nhất hàm điều hoà dưới
u
trên
W
trùng với
v

hầu khắp nơi và
0
limuv
e
e
=
. Định lý Fubini và (1.1) suy ra
W

( ) ,v z b b
e
L
()zj
()dzl
 0,
với mọi
n
b  
,
0
()C
e
j


,
0j 
. Bởi vậy
( ) , 0v z b b
e

L
, với mọi
z
e

,
n
b  
, và do đó
()v PSH
ee
. Khi
12
vv
ee
<
nếu
12
ee<
, thì hàm
giới hạn
u
là đa điều hoà dưới.
1.1.3. Định lý. Cho
W
là một tập con mở trong
n

. Khi đó
()i

Họ
()WPSH
là nón lồi, tức là nếu
,ab
là các số không âm và
, ( )uvPSH
, thì
()uv  PSHab
.
()ii
Nếu
W
là liên thông và
{ }
()
j
j
u

PSH

là dãy giảm, thì
lim ( )
j
j
uu

  PSH
hoặc
u   

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
()iii
Nếu
:u  
, và nếu
{ }
()
j
j
u

PSH

hội tụ đều tới
u
trên các
tập con compact của
W
, thì
()u PSH
.
()iv
Giả sử
{ }
()
A

u

PSH
a
a
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a 
=
là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên
*
u
là đa điều
hoà dưới trong
W
.
1.1.4. Hệ quả. Cho
W
là một tập mở trong
n

và
w
là một tập con mở thực
sự khác rỗng của
W

. Nếu
()u PSH
,
()v  PSH w
, và
lim ( ) ( )
xy
v x u y



với mỗi
y w   
, thì công thức
{ }
max ,
\
u v tr ong
u tr ong
w
w
w




=


W





xác định một hàm đa điều hoà dưới trong
W
.
1.1.5. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

.
()i
Cho
,uv
là các hàm đa điều hoà trong
W
và
0v >
. Nếu
:f 
là
lồi, thì
( / )v u vf
là đa điều hoà dưới trong
W
.
()ii
Cho

()u PSH
,
()v PSH
, và
0v >
trong
W
. Nếu
:f 
là
lồi và tăng dần, thì
( / )v u vf
là đa điều hoà dưới trong
W
.
()iii
Cho
, ( )uv  PSH
,
0u 
trong
W
, và
0v >
trong
W
. Nếu
[ ) [ )
: 0, 0,f   
là lồi và

(0) 0f =
, thì
( / ) ( )v u v PSHf
.
1.1.6. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

và

{ }
: ( )F z v z     


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
là một tập con đóng của
W
 ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()

lim sup ( ) ( )
yz
yF
u z z F
uz
u y z F








=








là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu
u
là đa điều hoà và bị chặn trong
\ FW
,

thì
u
là đa điều hoà trong
W
. Nếu
W
là liên thông, thì
\ FW
cũng liên thông.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
:u  
là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng
u
là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của
W
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và

vu
trên
G
, đều có
vu
trong G.
Ký hiệu
()WM PSH
là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên
W
.
Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề. Cho
n
 
là mở và
:u  
là hàm đa điều hoà dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
()i
Với mỗi tập con mở compact tương đối
G
của
W
và mỗi
()v PSH
,
nếu
lim sup( ( ) ( )) 0
z

u z v z
x

, với mọi
Gx 
, thì
uv
trong
G
;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao
cho
uv e  
trong
\ KW
, thì
uv
trong
W
;
()iii
Nếu
()v PSH

, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
uv
trên
G
thì
uv
trong G;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
()iv
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x

với mỗi
Gx 
, thì
uv
trong G;
()v

u
là hàm cực đại.
Chứng minh.
( ) ( )i ii
: Cho
v
là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất:
với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao cho
uv e  
trong
\ KW
. Giả sử rằng
( ) ( ) 0u a v a h- = <
tại một điểm
a 
. Bao đóng của
tập hợp

{ }
: ( ) ( )
2
E z u z v z
h
    

là tập con compact của
W
. Bởi vậy có thể tìm được tập mở
G
chứa
E
và
compact tương đối trong
G
. Theo
()i
ta có
2
uv
h

trong
G
, điều đó mâu
thuẫn với
.aE
Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm
{ }
max ( ), ( ) ( )
()
( ) ( \ )
u z v z z G
z
u z z G
w






=







là đa điều hoà dưới trong
W
theo các giả thiết
()iii
,
()iv
,
()v
và
()i
.
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho
u
là đa điều hoà dưới trên miền
n
 

. Nếu
( )
2
uC
thì toán tử:
( ) ( ) ( )
1,
: 4 !det
n
c c c n
jk
n
j k n
u
dd u dd u dd u n dV
zz




   




1444444442 444444443
,
với
dV
là yếu có thể tích trong

C
n
gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử
này có thể xem như độ đo Radon trên
W
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian các hàm liên tục với giá compact
0
()C W
trên
W


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
( )
( )
0
n
c
C dd ujj
W
W'

a
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hoà dưới bị

chặn địa phương trên
W
thì tồn tại dãy
{ } ( )
1
n
n
uC

>
  PSHh
sao cho
n
uu]
và
( )
n
c
n
dd u







hội tụ yếu tới độ đo Radon

trên

W
tức là:
( )
( )
0
lim ,
n
c
n
n
dd u d Cj j m j
WW
   

.
Hơn nữa

không phụ thuộc vào việc chọn dãy
 
n
u
như trên, ta ký hiệu:

()
cn
dd u m=

và gọi là toán tử Monge-Ampère của
u
.

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của toán tử
Monge-Ampère, phần cuối của mục này là nguyên lý so sánh được dùng
trong chương 2.
1.3.1. Mệnh đề. Nếu
( )
y


,pp
C
là
( , )pp-
dạng lớp

C
trên tập mở
n
 

và
T
là
( , )qq -
dòng với
+ = - 1p q n
thì

( ) ( )
c n c c c
dd T dd T d d T d Ty y y y      

.
1.3.2. Mệnh đề. Giả sử
{ }
m
j
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
 
n

hội tụ yếu tới độ đo Radon
m
. Khi đó
a) Nếu
G
là tập mở thì
( ) lim inf ( )
j
j
GGmm


.
b) Nếu
K
là tập compact thì
( ) lim sup ( )
j
j
KKmm



.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
c) Nếu
E
compact tương đối trong
W
sao cho
( ) 0Em
thì

( ) lim ( )
j
j
EEmm

=
.
Chứng minh.
a) Ta có
{ }
( ) sup ( ) :G K K Gmm= 
. Giả sử
KG
là tập compact. Lấy
0
()CGj 

,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó

( ) ( ) lim ( ) lim inf ( )
jj
jj
KGm m j m j m
   
  
.
Từ đó
( ) lim inf ( )
j
j
GGmm


.
b) Ta có
{ }
0
( ) inf ( ) : , ,V= VK V V K Vmm   
. Giả sử
V
là một lân

cận mở của
K
và
0
()CVj 
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó

( ) ( ) lim ( ) lim sup ( )
jj
jj
VKm mj m j m
   
  
.
Từ đó
( ) lim sup ( )
j
j
KKmm


.
c) Viết
E IntE E  

. Khi đó

( ) (int ) lim inf (int ) lim inf ( )
jj
jj
E E E Em m m m
   
  
.
Mặt khác

( ) lim sup ( ) lim sup ( )
jj
jj
EEEm m m
   

.
Từ đó
( ) lim sup ( )
j
j
EEmm


.
Vậy
( ) lim ( )
j
j

EEmm

=
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
1.3.3. Mệnh đề. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
( )
, ( )

   
loc
u v LPSH

sao cho
,0uv
trên
W
và
( )
lim 0
z
uz
  
=

. Giả sử
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng
dương, đóng trên
W
. Khi đó

cc
vdd u T udd v T
WW
  

.
Đặc biệt, nếu
( )
lim 0
  
=
z
vz
thì
WW
  

cc
vdd u T udd v T
.

Chứng minh. Chú ý rằng
c
dd u T
và

c
dd v T
là các độ đo Borel dương
trên
W
. Với
0e >
, đặt
{ }
,
e
e=-u max u
. Khi đó
0
e
<u
và là hàm đa điều
hòa dưới trên
W
và
e
u
tăng tới 0 khi
e
giảm về 0. Theo định lí hội tụ đơn

điệu Lebesgue ta có

( )
0
lim
e
e
WW
   

cc
udd v T u u dd v T

và

( ) ( )
1
0
lim
ee
e
c

WW
     

cc
j
u u dd v T u u dd v T
.

Do
( )
lim 0
e
  
=
z
uz
nên
{ }
0
e
uu
là tập compact tương đối trong
W
. Lấy
miền

WW
sao cho
{ }
0
e
uu

WW
. Khi đó với
j
đủ lớn,
( ) ( )

10e
c

   
j
u u C
và do giả thiết
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng dương,
đóng trên
W
nên
c
dd u T
là
( , )nn -
dòng dương, đóng với mọi
( ) ( )
loc
uL

   PSH
, suy ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13

( ) ( )
( )
1/ 1/
cc
jj
u u dd v T vdd u u T
ee
cc
WW
      



( )
( )
( )
( )
1/ 1/
\
cc
jj
vdd u u T vdd u u T
ee
cc

W W W
       


( )
( )
( )
1/ 1/
cc
jj
vdd u T vdd u T
e
cc

WW
     



( )
1/
c
j
vdd u Tc

W
  

.
Nhưng
( ) ( )
1/ 1/
cc

jj
dd u T dd u Tcc   
hội tụ yếu tới

c
dd u T
. Khi đó
( )
1/
c
j
vdd u Tc
hội tụ yếu tới

c
vdd u T
. Vậy

( )
( )
1/
lim
c c c
j
j
vdd u T inf vdd u T u u dd v T
e
c

  

W W W
      
  
.
Từ đó cho
0e ]
ta được

cc
vdd u T vdd u T

WW
  

.
Cho

WWZ
ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
1.3.4. Định lý. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z

u z v z
 

. Khi đó

{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
<<


. (1.2)
Chứng minh. Trước tiên điều kiện
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

có nghĩa là với i
0e">
tồn tại
K W
sao cho
\zK  
thì
( ) ( )u z v z e  
. Hơn nữa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
khi thay
u
bởi
, > 0u dd+
, thì
{ } { }
u v u vd   
khi
0d 
. Nếu bất
đẳng thức (1.2) đúng trên
uvd+<
thì cho
0d 
suy ra (1.2) đúng trên
{ }
uv<
. Vì vậy có thể giả sử
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z d
 
  
. Vậy
{ }
uv<W
.

)a
Giả sử
,uv
là các hàm liên tục. Khi đó
{ }
uv

W = <
là tập mở,
,uv
liên
tục trên

W
và
uv=
trên


. Với
0e >
, đặt
{ }
max ,u u v
e
e=+
.
Từ giả thiết
lim inf( ( ) ( ))
z

u z v z d
 

nên
( ) ( )u z v z de- > -
hay
( ) ( ) ( )u z v z v zed   
với
z
gần biên

. Vậy
()u u z
e
e=+
gần biên

và
uv
e

trên

W
. Theo công thức Stokes

( ) ( )
c n c n
dd u dd u
e


WW
=

,
hay

{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd u dd u
e
<<
=

.
Do
uv
e

nên
( ) ( )
c n c n
dd u d d v
e

. Vậy

{ } { } { }

0
( ) lim inf ( ) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
e
e
< < <

  
.
)b
Giả sử
,uv
tùy ý và
w
là miền sao cho
{ }
/2uvdw  
. Tồn tại
hai dãy
j
u
và
k
v
các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của
w
giảm tới
u

và
v
sao cho
jk
uv
trên
w
với mọi
,ik
. Có thể coi
1 , 0
jk
uv  
. Lấy
0e >
và giả sử
G 
là tập mở sao cho
( )
,
n
CG eW<
,
,uv
là các hàm liên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15

tục trên
\ GW
. Theo Định lí Tietze tồn tại hàm
j
liên tục trên
W
sao cho
v j=
trên
\FG=W
. Ta có

{ }
{ }
( ) lim ( )
j
c n c n
j
uv
uv
dd v dd v

<
<
=

.
Nhưng
{ } { }
jj

u v u Gj   
và vì
{ }
j
u j<
là tập mở nên

{ } { } { }
( ) ( ) ( ) lim inf ( )
j j j
c n c n c n c n
k
k
G
u v u u v
dd v dd v dd v dd v
j
e

< < <
   
   
,
bởi
( )
,
n
CG eW<
và
()

cn
k
dd v
hội tụ yếu tới
()
cn
dd v
.
Từ
{ } { }
jj
u u v Gj   
và
{ } { }
j j k
u v u v  
suy ra

{ } { } { }
( ) ( ) ( ) ( )
j j j k
c n c n c n c n
k k k k
G
u u v u v
dd v dd v dd v dd v
j
e
< < <
   

   
.
Áp dụng
)a
vào các hàm liên tục
j
u
và
k
v
ta thu được

{ } { }
( ) ( )
j k j k
c n c n
kj
u v u v
dd v dd u
<<
=

.
Do đó
{ }
{ }{ }
( ) lim inf lim inf ( ) 2 lim sup ( ) 2
j j j
c n c n c n
jj

j k j
uv
u v u v
dd v dd u dd uee
     
<

   
  

Hơn nữa

{ } { }
( ) ( )
jj
c n c n
jj
u v u v F
dd u dd u e
  



và từ
{ }
u v F
là tập compact và
{ }
{ }
j

u v u v  
nên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16

{ }
{ } { }
lim sup ( ) ( ) ( )
j
c n c n c n
j
j
u v F u v
u v F
dd u dd u dd u

  


  
.
Do
0e >
tùy ý nên ta đi đến

{ } { }
( ) ( )
c n c n

u v u v
dd v dd u



.
Từ đó với mọi
0h >
ta có

{ } { } { }
( ) ( ( )) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
h h h
h
     
  
  
.
Nhưng
{ } { }
u v u vh   
và
{ } { }
u v u vh   
khi
0h ]
. Do đó

{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
<<


.
1.3.5. Hệ quả. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
uv
và
lim ( ) lim ( ) 0
zz
u z v z
    
==
. Khi đó

( ) ( )
( ) ( )

c n c n
dd v dd u
WW


.
1.3.6. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH
sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

. Giả sử
( ) ( )
c n c n
dd u dd v
trên
W
. Khi đó
vu
trên
W
.

Chứng minh. Đặt
2
()z z My =-
, với
M
được chọn đủ lớn sao cho
0y <


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
trên
W
. Giả sử
{ }
uv<
khác rỗng. Khi đó có
0e >
sao cho
{ }
uvey<+

khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.3.4 ta có

{ } { }
( ) ( ( ))
c n c n
u v u v
dd u dd v

ey ey
ey
< + < +




{ } { }
( ) ( )
c n n c n
u v u v
dd v dd
ey ey
ey
< + < +




{ }
{ }
( )
( ) 4 !
c n n n
n
uv
dd v n u v
ey
e l ey
<+

   



{ } { }
( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v dd u
ey ey< + < +



và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy
uv
trên
W
.
1.3.7. Hệ quả. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z

 
-=
và
( ) ( )
c n c n
dd u dd v=
. Khi đó
uv=
.
1.3.8. Hệ quả. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

và
{ }
( ) 0
cn
uv
dd u
<

=

.
Khi đó
uv
trên
W
.
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.3.6. Giả sử
{ }
uv  
. Khi đó
có
0e >
sao cho
{ }
uvey   
và do đó có độ đo Lebesgue dương.
Chú ý rằng do
0y <
nên
{ } { }
u v u vey   
. Khi đó như chứng minh
của Hệ quả 1.3.6 ta có

{ } { }
0 ( ) ( )
c n c n
u v u v

dd u dd u
ey< < +




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18

{ }
{ }
( )
( ) 4 ! 0
c n n n
n
uv
dd v n u v
ey
e l ey
<+
    


và ta gặp mâu thuẫn.
1.3.9. Hệ quả. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
( ) ( )uL


   PSH

thỏa mãn phương trình Monge-Ampère
( ) 0
cn
dd u =
. Khi đó
u
là hàm đa
điều hòa dưới cực đại trong
W
.
Chứng minh. Giả sử
()v PSH
và
G W
sao cho
uv
trên
G
. Đặt

{ }
max ( ), ( ) ,
()
( ), \ .
u z v z z G
wz
u z z G





=






Khi đó
( ) ( )
loc
wL

   PSH
. Hơn nữa
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z w z
 
-=
và
{ }
( ) 0
cn
uw
dd u
<

=

. Vậy theo Hệ quả 1.3.8 ta có
uw
trên
W
. Vậy
uv

trên
G
. Do đó
u
cực đại.
1.4. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere
Trước tiên chúng ta xét lớp các hàm đa điều hòa dưới cực đại liên tục
(được giới thiệu trong mục 1.2) liên quan đến bài toán Dichlet tổng quát:
Cho
W
là một miền bị chặn trong
n

và
()fC 
. Bài toán Dirichlet
được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên
:u  
sao cho
()u
W

M PSH
và
uf


.
Ta ký hiệu
( , )UfW
là họ của tất cả các hàm
()u PSH
sao cho
uf
*

trên

, trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

*( ) lim sup ( )
z
u z u
w
w
w



=
, với mọi
z 
.
Đặt
{ }
,
( ) sup ( ) : ( , ) ,
f
z u z u U f zy
W
    
. Hàm
,
()
f
zy
W
được gọi
là hàm Perron - Bremermann đối với
W
và
f
.
Ta sẽ chứng minh rằng
,
()
f
zy
W

là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát
khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.4.1. Định lý. Cho
()f C B
, trong đó
( , )B B a r=
là một hình cầu mở
trong
n

. Khi đó hàm
y
xác định bởi
,
( ) ( )
()
( ) ( )
Bf
z z B
z
f z z B
y
y






=







là một nghiệm của bài toán Dirichlet đối với tập
B
và hàm
f
. Hơn nữa,
y

là liên tục.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
0a =
. Giả
sử
h
là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với
B
và
f
. Vì hàm đa
điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra
,Bf
hy 
trong

B
theo nguyên
lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới. Do
h
liên tục trong
B
, nên ta có
,
()
Bf
hy
*

trong
B
. Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
,
( ) ( , )
Bf
U B fy
*

và như
vậy
,
()
Bf
yy
*


trong
B


()By  PSH
. Để hoàn thành chứng minh kết
luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh
,
()
Bf
fy
*

trên
B
.
Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: với
0
zB
bất kỳ, thì

0
,0
lim inf ( ) ( )
Bf
zz
zB
z f zy




.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Thật vậy, lấy
0
zB
và
0e >
. Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có
thể tìm được một hàm liên tục
:vB 
sao cho
( , )
B
v U B f
và
00
( ) ( )v z f z e=-
. Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa
2
00
( ) Re , ( )v z c z z r f z e

= - + -


,

trong đó
0c >
là hằng số, được chọn để
vf
trên
B
. (Chú ý rằng biểu
thức trong dấu móc vuông là âm trên
{ }
0
\Bz
).
Từ đó với mỗi
0
zB
, ta có

0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy


=
, (1.3)
tức là
y
liên tục tại mỗi điểm biên.

Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thực vậy, nếu
G
là một tập con mở
compact tương đối của
B
,
[ )
:,vG   
là nửa liên tục trên,
()
G
v PSH
và
v y
trên
G
, thì hàm
{ }
max ,
\
v z G
V
z B G
y
y






=







thuộc
( , )U B f


V y
. Đặc biệt,
v y
trong
G
. (điều phải chứng minh)
Để chứng minh rằng
y
là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới.
Thật vậy, lấy
0e >
. Khi
B
là compact,
B
fy =

là liên tục đều. Điều đó
kết hợp với (1.3) suy ra tồn tại
(0, )
2
r
d =
sao cho nếu
zB
,
Bw 
, và
3z wd-<
, thì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21

( ) ( )
2
z
e
y y w-<
. (1.4)
Với bất kỳ
(0, )yBd
, đặt
{ }
max ( ), ( ) ( ( )
()

( ) ( \ ( )
y
z z y z B y B
Hz
z z B y B
y y e
y


     


=


  



.
Ta sẽ chứng minh rằng
( , )
y
B
H U B f
. Thật vậy vì
(0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd       

nên
( (0, ))

y
H B r dPSH
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt
khác,
y
H y=
trong
\ (0, 2 )B B r d-
. Thực vậy, theo định nghĩa
()
y
Hz
ta có

( ) ( ), \ ( )
y
H z z z B y By   
.
Nếu
( ( ))\ (0, 2 )z B y B B r d    
, thì ta chọn
0
zB
sao cho
0
2zz d-<
. Ta có
0
3z y z d+ - <
và do đó theo (1.4)

0
( ) ( )
2
zz-<
e
yy
và
0
( ) ( )
2
z y z
e
yy+ - <
.
Như vậy
( ) ( )z z yy y e  


( ) ( )
y
H z zy=


()
y
HB PSH
và
y
Hf=
trên

B



( , )
y
H U B f


.
y
H y
Từ đó nếu
,zBw 
và
z wd-<
, thì
( ) ( ) ( ) ( )
z
z H z z z
w
y y w e y w e
-
      
.
Vậy
y
là nửa liên tục dưới. (điều phải chứng minh).
Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả trên cho Bài toán Dirichlet tổng quát đối
với toán tử Monge-Ampere:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Cho
W
là miền bị chặn trong

n
và
C()f  
. Bài toán Dirichlet tổng
quát đối với toán tử Monge-Ampere phức được đặt ra như sau: tìm một hàm
nửa liên tục trên
:u 
sao cho
u
liên tục tại mỗi điểm của

và các
điều kiện sau được thỏa mãn:

PSH( ) ( )
(dd ) 0
loc
cn
uL
uf
u





   



=




=



Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có nghiệm duy
nhất khi
W
là hình cầu Ơcơlit
( , )B B a r=
. Theo Hệ quả 1.3.9 nghiệm như
vậy phải là hàm cực đại do đó nó phải trùng với hàm Perron-Bremermann
,Bf
Y
. Vì thế bài toán đưa về chứng minh
,
(dd ) 0
cn
Bf

Y=
trong
B
.
Ta nhắc lại một vài ký hiệu sẽ dùng trong các định lý dưới đây:
Cho
( , )B a R
là hình cầu mở trong
m

. Đặt

( , )
1
( , , ) ( ) ( )
m
B a R
m
A u a R u x d x
bR
l=

,
u
là hàm độ đo trên
( , )B a R
.
Cho
1
()

loc
uL
. Với
0e >
ta định nghĩa

2
2(2 2)
( )( ) ( ( ; , ) ( )), ( )
m
T u x A u x u x x
ee
e
e
+
   
.
Theo công thức Taylor cấp 2 dễ kiểm tra rằng nếu
2
()u C
thì
0
limT u u
e
e
=D
trong
W
. Nếu
1

()
loc
uL
thì
Tu
e
hội tụ đến
uD
theo nghĩa
suy rộng.
Giả sử
W
là tập con mở trong
n

và
1
()
loc
uL
,
m
a
+
 
là đa chỉ số.
Ta nói rằng hàm khả tích địa phương
h
trên
W

là đạo hàm yếu hay suy rộng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
bậc
a
của
u
nếu
D u h
a
=
, hay
,D u h d
a
j j l
W
=

với mỗi
0
()j

C
.
Tương tự, ta nói rằng
1
()
loc

hL
là phép biến đổi Laplace yếu hay suy rộng
của
u
nếu
hu=D
theo nghĩa suy rộng.
Giả sử
1 p  
và
k
là số nguyên không âm,
W
là tập con mở trong
n

. Không gian Sobolev
,
()
kp
W W
là không gian các hàm
()
p
fL
mà đạo
hàm riêng yếu
Df
a
của nó tồn tại và thuộc vào

()
p
L W
với mọi
a
sao cho
ka 
.
,
()
kp
W W
là không gian Banach với chuẩn

()
p
L
k
f D f
a
a
W

=

.
Nếu
:f X Y
là ánh xạ giữa các không gian metric thì ta định nghĩa

( ( ), ( ))
( ) sup
( , )
d f x f y
Lip f
d x y
=
,
trong đó sup được lấy theo tất cả
,x y X
sao cho
xy
. Nếu
()Lip f 

thì
f
được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong
X
. Nếu với mỗi
xX

tồn tại lân cận
V
sao cho
()
V
Lip f 
, thì
f

được gọi là thỏa mãn điều kiện
Lipschitz địa phương trong
X
. Ta định nghĩa
,1
()
k
C W
là không gian tất cả các
hàm
()
k
fC
sao cho nếu
ka 
thì
Df
a
thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương trong
W
.
1.4.2. Định lý. Giả sử
:u 
là hàm điều hòa dưới sao cho
2
( ), , 1, , ,
loc
ij
u

L i j m
xx


  

ở đó
W
mở và bị chặn trong

m
. Giả sử
0h >
và
{}
j
e
là dãy các số dương hội tụ đến
0
. Khi đó tồn tại tập compact
K 
và số tự nhiên
0
j
sao cho: