tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier-stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ THỊ THÙY DƯƠNG
TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN, 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ THỊ THÙY DƯƠNG
TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TSKH NGUYỄN MINH TRÍ
Thái Ngun - Năm 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cam đoan
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ
cơng trình nào khác.
Thái Ngun, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Vũ Thị Thùy Dương
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Một số ký hiệu
• C(U) = {u : U → R | u liên tục}.
• C(
¯
U) = {u ∈ C(U) | u liên tục đều}.

• C
k
(U) = {u : U → R | u là liên tục khả vi k lần}.
• C
k
(
¯
U) = {u ∈ C
k
(U) | D
α
u là liên tục đều với mọi |α| ≤ k}.
Do đó: nếu u ∈ C
k
(
¯
U) thì D
α
u thác triển liên tục tới
¯
U với mọi đa chỉ
số α, |α| ≤ k.
• L
2
([a, b], R
m
): tập các hàm khả tích bậc hai trên [a, b] và lấy giá trị
trong R
m
.

• C
∞
(U) =
∞

k=0
C
k
(U) = {u : U → R | u là khả vi vơ hạn lần}, và
C
∞
(
¯
U) =
∞

k=0
C
k
(
¯
U).
• C
c
(U), C
k
c
(U), ,, ký hiệu các hàm trong C(U), C
k
(U), , với giá

compact.
• L
p
(U) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, u
L
p
(U)
< ∞}.
Trong đó
u
L
p
(U)
=


U
|u|
p
dx

1
p
(1 ≤ p < ∞).
• L
∞
(U) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, u
L
∞
(U)

< ∞}.
Trong đó
u
L
∞
(U)
= ess sup
U
|u|.
• L
p
loc
(U) = {u : U → R | u ∈ L
p
(V ), với mọi V ⊂⊂ U}.
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Lời cam đoan i
Một số ký hiệu ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Khơng gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Đạo hàm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Khơng gian H
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Khơng gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 6

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn L
p
. . . . . . . 8
1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood . . . . . . . . . . 9
2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes 10
2.1 Phương trình Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Tốn tử Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . 13
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier
- Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier
- Stokes 17
3.1 Nghiệm yếu chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thơng qua tiêu chuẩn
năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tài liệu tham khảo 30
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mở đầu

Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm
1822, cho đến nay đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu viết về phương
trình này tuy nhiên những hiểu biết của ta về phương trình này còn q
khiêm tốn. Muốn hiểu được hiện tượng sóng dập sau đi con tàu chạy
trên mặt nước hay hiện tượng hỗn loạn của khơng khí sau đi máy bay
khi bay trên bầu trời, chúng ta đều phải tìm cách giải hệ phương trình
Navier-Stokes. Do nhu cầu của Khoa học và Cơng nghệ mà việc nghiên
cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết.
Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả sự chuyển động của chất lỏng
trong R
n
(n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng khơng nén
được lấp đầy R
n
. Ta tìm một hàm vector vận tốc u(t, x) = (u
i
(t, x)), i =
1, 2, , n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ R
n
và thời gian
t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes như sau:
∂u
i
∂t
+
n

j=1
u
j

∂u
i
∂x
j
= νu
i
−
∂p
∂x
i
+ f
i
(t, x)
(x ∈ R
n
, t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u
1
, u
2
, , u
n
),
div u =
n

i=1
∂u
i
∂x
i

= 0 (x ∈ R, t > 0).
Với điều kiện ban đầu
u(0, x) = u
0
(x).
Ở đây, hàm vector u
0
(x) là hàm khả vi vơ hạn với div u
0
= 0, f
i
(t, x)
là những hàm đã biết biểu thị các lực tác động bên ngồi, ν là một hệ số
dương.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Cụ thể như sau:
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes.
Trong chương này trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử
Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
yếu của hệ phương trình Navier - Stokes.
Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-
Stokes.
Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếu
của hệ phương trình Navier - Stokes. Một nghiệm yếu u của hệ phương
trình Navier - Stokes gọi là chính quy nếu động năng hoặc năng lượng
phân tán là liên tục Holder trái, như một hàm của t với số mũ Holder
1
2

và nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3].
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
PGS. TSKH Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều
kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này. Tơi xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn – Trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Ngun cùng các thầy, cơ giáo đã giảng dạy
khố học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phương
trình vi phân đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tơi trong suốt thời gian
học tập và làm luận văn này.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày sơ bộ về khơng gian Holder, khơng gian
Sobolev và một số bất đẳng thức cơ bản.
1.1 Khơng gian Holder
Cho U ⊂ R
n
là một tập mở và 0 < γ ≤ 1.
Định nghĩa 1.1.1. (i) Hàm số u : U → R được gọi là liên tục Holder
bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x −y|
γ
, x, y ∈ U.
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
(ii) Nếu u : U → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa:
u
C(
¯
U)
= sup

x∈U
|u(x)|.
(iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : U → R là
[u]
C
0,γ
(
¯
U)
= sup
x,y∈U
x=y
|u(x) − u(y)|
|x − y|
γ
và chuẩn Holder bậc γ là
u
C
0,γ
(
¯
U)
= u
C(
¯
U)
+ [u]
C
0,γ
(

¯
U)
.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian Holder C
k,γ
(
¯
U) gồm tất cả các hàm số
u ∈ C
k
(
¯
U), mà chuẩn
u
C
k,γ
(
¯
U)
=

|α|≤k
D
α
u
C(
¯
U)
+


|α|=k
[D
α
u]
C
0,γ
(
¯
U)
là hữu hạn. Như vậy, khơng gian C
k,γ
(
¯
U) gồm tất cả các hàm số u sao cho
các đạo hàm riêng cấp k của nó là bị chặn và liên tục Holder bậc γ.
Định lý 1.1.1. Khơng gian Holder C
k,γ
(
¯
U) là khơng gian Banach với
chuẩn  · 
C
k,γ
(
¯
U)
.
1.2 Khơng gian Sobolev
1.2.1 Đạo hàm yếu

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u, v ∈ L
1
loc
(U) và α là một đa chỉ số. Ta nói
rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu

U
uD
α
φdx = (−1)
|α|

U
vφdx
đúng với mọi hàm thử φ ∈ C
∞
c
(U). Ký hiệu D
α
u = v.
Bổ đề 1.2.1. (Tính duy nhất của đạo hàm yếu). Một đạo hàm yếu cấp α
của u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập
có độ đo khơng).
1.2.2 Khơng gian Sobolev
Định nghĩa 1.2.2. Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là số ngun khơng
âm. Khơng gian Sobolev W
k
p
(U) là tập tất cả các hàm khả tổng địa phương
u : U → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ k, đạo hàm yếu D

α
u tồn
tại và thuộc L
p
(U).
Chú ý: Nếu p = 2 ta có H
k
(U) = W
k
2
(U) (k = 0, 1, 2, ) là khơng
gian Hilbert. Chú ý rằng H
0
(U) = L
2
(U).
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.2.3. Nếu u ∈ W
k
p
(U), ta định nghĩa chuẩn của nó là
u
W
k
p
(U)
=












|α|≤k

U
|D
α
u|
p
dx

1/p
(1 ≤ p < ∞)

|α|≤k
ess sup
U
|D
α
u| (p = ∞).
Định nghĩa 1.2.4. Bao đóng của C
∞
c
(U) trong H

k
(U) được ký hiệu là
◦
H
k
(U).
Như vậy, ta coi
◦
H
k
(U) như là tập các hàm u ∈ H
k
(U) sao cho
D
α
u = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1.
Ta ký hiệu |u| = u
L
2
(Ω)
. Chuẩn Dirichlet
∇u
L
2
(Ω)
=


Ω
n


i=1
|D
i
u|
2
dx

1/2
được ký hiệu là u.
1.2.3 Khơng gian H
−1
Định nghĩa 1.2.5. Khơng gian đối ngẫu của
◦
H
1
(U) được kí hiệu là
H
−1
(U), tức là f ∈ H
−1
(U) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn
trên
◦
H
1
(U).
Định nghĩa 1.2.6. Nếu f ∈ H
−1
(U) thì

f
H
−1
(U)
= sup{f, u|u ∈
◦
H
1
(U), u
◦
H
1
(U)
≤ 1}.
Ta viết <, > để kí hiệu giá trị của f ∈ H
−1
(U) trên u ∈
◦
H
1
(U).
Định lý 1.2.1. (Cấu trúc của H
−1
)
(i) Giả thiết f ∈ H
−1
(U). Khi đó tồn tại các hàm f
0
, f
1

, , f
n
trong
L
2
(U) sao cho
f, v =

U
(f
0
v +
n

i=1
f
i
v
x
i
)dx (v ∈
◦
H
1
(U)).
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(ii) Hơn nữa,
f
H
−1

(U)
= inf{


U
n

i=0
|f
i
|
2
dx

1/2



f thỏa mãn (i), f
0
, , f
n
∈ L
2
(U)}.
1.2.4 Khơng gian phụ thuộc thời gian
Cho X là khơng gian Banach thực với chuẩn ·.
Định nghĩa 1.2.7. Khơng gian
L
p

(0, T ; X)
gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với
u
L
p
(0,T ;X)
=


T
0
u(t)
p
dt

1/p
< ∞ với 1 ≤ p < ∞, và
u
L
∞
(0,T ;X)
= ess sup
0≤t≤T
u(t) < ∞.
Định nghĩa 1.2.8. Khơng gian
L
p
(0, T ; L
q
)

gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → L
q
với
u
L
p
(0,T ;L
q
)
=


T
0
u(t, x)
p
L
q
dt

1/p
=


T
0


Ω
|u(t, x)|

q
dx

p/q
dt

1/p
< ∞
với 1 ≤ p < ∞, và
u
L
∞
(0,T ;L
q
)
= ess sup
0≤t≤T
u(t)
L
q
(Ω)
< ∞.
Định nghĩa 1.2.9. Khơng gian
C([0, T ]; X)
gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X với
u
C([0,T ];X)
= max
0≤t≤T
u(t) < ∞.

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 1.2.2. Cho u ∈ W
1
p
(0, T ; X) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
(i) u ∈ C([0, T ]; X), và
(ii) u(t) = u(s) +

t
s
u

(τ)dτ với mỗi 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
(iii) Hơn nữa, max
0≤t≤T
u(t) ≤ Cu
W
1
p
(0,T ;X)
, hằng số C chỉ phụ thuộc vào
T.
Định lý 1.2.3. Giả sử u ∈ L
2
(0, T ;
◦
H
1
(U)), với u


∈ L
2
(0, T ; H
−1
(U)).
(i) Khi đó
u ∈ C([0, T ]; L
2
(U)).
(ii) Ánh xạ
t → u(t)
2
L
2
(U)
là liên tục tuyệt đối, với
d
dt
u(t)
2
L
2
(U)
= 2 < u

(t), u(t) > 0 ≤ t ≤ T h.k.n.
(iii) Hơn nữa,
max
0≤t≤T
u(t)

L
2
(U)
≤ C(u
L
2
(0,T ;
◦
H
1
(U))
+ u


L
2
(0,T ;H
−1
(U))
),
hằng số C chỉ phụ thuộc vào T.
Định lý 1.2.4. Giả thiết U là mở, bị chặn, ∂U trơn. Cho n là số ngun
khơng âm. Giả sử
u ∈ L
2
(0, T ; H
m+2
(U)), u

∈ L

2
(0, T ; H
m
(U)).
(i) Khi đó
u ∈ C([0, T ]; H
m+1
(U)).
(ii) Hơn nữa,
max
0≤t≤T
u(t)
H
m+1
(U)
≤ C(u
L
2
(0,T ;H
m+2
(U))
+ u


L
2
(0,T ;H
m
(U))
),

hằng số C chỉ phụ thuộc vào T, U và m.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản
1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
(a, b > 0, ε > 0).
1.3.2 Bất đẳng thức Holder
Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu u ∈ L
p
(U), v ∈ L
q
(U),
ta có :

U
|uv|dx ≤ u
L
p
(U)

v
L
q
(U)
.
1.3.3 Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn L
p
Giả thiết 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ và
1
r
=
θ
s
+
1 − θ
t
. Giả sử u ∈
L
s
(U) ∩ L
t
(U). Khi đó u ∈ L
r
(U) và
u
L
r
(U)
≤ u
θ

L
s
(U)
u
1−θ
L
t
(U)
.
1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall
Cho η(.) là một hàm liên tục tuyệt đối, khơng âm trên [0, T ] và thỏa
mãn hầu khắp nơi theo t bất đẳng thức vi phân
η

(t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t)
trong đó φ(t), ψ(t) là các hàm khả tích, khơng âm trên [0, T ]. Khi đó
η(t) ≤ e

t
0
φ(s)ds

η(0) +

t
0
ψ(s)ds

với mọi 0 ≤ t ≤ T.
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev
Giả sử 1 ≤ p < n,
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc
vào p và n sao cho:
u
L
p
∗
≤ Cu
L
p
(R
n
)
.
1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood
Định nghĩa 1.3.1. Nếu f ∈ L
1
loc
(R
n

) thì
1. lim
r→0
1
m (B(x, r))

B(x,r)
f(y)dy = f(x) xảy ra h.k.n theo x ∈ R
n
. Ở
đây B(x, r) là hình cầu tâm x bán kính r > 0 và m (B(x, r)) là độ đo
Lebesgue của nó.
2. Mf(x) = sup
r>0
1
m (B(x, r))

B(x,r)
f(y)dy.
Tốn tử M được gọi là tốn tử cực đại Hardy - Littlewood.
Định lý 1.3.1. Cho f là một hàm đo được xác định trên R
n
i. Nếu f ∈ L(R
n
) thì với mọi α > 0
m ({x : Mf(x) > α}) ≤
A
α

R

n
|f|dx
ở đây A là hằng số phụ thuộc vào số chiều n của khơng gian.
ii. Nếu f ∈ L
p
(R
n
); 1 ≤ p ≤ ∞ thì hàm Mf hữu hạn h.k.n.
iii. Nếu f ∈ L
p
(R
n
); 1 < p ≤ ∞ thì Mf ∈ L
p
(R
n
) và
Mf
p
≤ A
p
f
p
ở đây A
p
là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và số chiều n.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2
Nghiệm yếu của hệ phương trình
Navier-Stokes

Trong chương này trình bày về phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ
phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của hệ
phương trình Navier - Stokes.
2.1 Phương trình Stokes
Ta ký hiệu V = {ϕ ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
| divϕ = 0}.
H là bao đóng của V trong L
2
(Ω)
n
.
V là bao đóng của V trong H
1
0
(Ω)
n
.
Ta có V ⊂ H
1
0
(Ω)
n
⊂ L
2
(Ω)
n

→ V ⊂ V ⊂ H.
2.1.1 Định nghĩa
Cho Ω là tập mở, bị chặn trong R
n
, f ∈ L
2
(Ω)
n
. Phương trình Stokes
cho vector vận tốc u = (u
1
, u
2
, u
n
) và đại lượng áp suất p là
−ν∆u +  p = f trong Ω. (2.1)
div u = 0 trong Ω. (2.2)
u = 0 trên ∂Ω. (2.3)
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Trong đó ν là một hằng số dương.
Nếu u, p là các hàm trơn thì tích phân từng phần ta được
ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V. (2.4)
Trong đó ((u, v)) là tích vơ hướng
((u, v)) =
n

i=1
D
i

uD
i
v.
Chúng ta nói rằng u là nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3)
nếu u ∈ V và ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V.
2.1.2 Tính chất
Định lý 2.1.1. Cho Ω là tập mở, bị chặn. Khi đó với mỗi f ∈ L
2
(Ω)
n
và
ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3).
Định lý 2.1.2. Cho Ω là tập mở, bị chặn của lớp C
2
. Khi đó với mỗi
f ∈ L
2
(Ω)
n
và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ H
2
(Ω) ∩V, p ∈ H
1
(Ω)
của phương trình Stokes (2.1)-(2.3). Hơn nữa,
u
H
2
(Ω)
+ p

H
1
(Ω)/R
≤ cf
L
2
(Ω)
.
2.2 Tốn tử Stokes
2.2.1 Định nghĩa
Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong R
n
, ∂Ω thuộc lớp C
2
, f ∈ L
2
(Ω)
n
.
Gọi P : L
2
(Ω)
n
→ H là phép chiếu Helmholtz-Leray.
Định nghĩa 2.2.1. Tốn tử Stokes được định nghĩa là
A : D(A) ⊂ H → H, A = −P
∆
, D(A) = H
2
(Ω) ∩ V.

2.2.2 Tính chất
Mệnh đề 2.2.1. Tốn tử Stokes là đối xứng, tức là
(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chứng minh. Trước hết giả sử u, v ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
và div u = div v = 0. Do
P u = u, P v = v nên (Au, v) = (u, Av) và ta có
−

Ω
(∆u
i
)v
i
dx =

Ω
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx.

Bây giờ, nếu u, v ∈ D(A) tùy ý, ta có thể xấp xỉ chúng trong H
1
(Ω)
n
bởi
một hàm trong V . Nếu u ∈ D(A) và v ∈ V thì hiển nhiên
−

Ω
(∆u
i
)v
i
dx =

Ω
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx
đúng. Đặc biệt,
(Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ D(A).
Vì ((u, v)) là đối xứng nên mệnh đề được chứng minh. Chú ý rằng (Au, v) =
((u, v)) đúng với mọi u ∈ D(A), v ∈ V.
Định lý 2.2.1. Tốn tử Stokes là tự liên hợp.

Định lý 2.2.2. Nghịch đảo của tốn tử Stokes, A
−1
, là tốn tử compact
trong H.
Chứng minh. Cho f ∈ H, A
−1
f = u trong đó u là nghiệm duy nhất thuộc
H
2
(Ω) ∩V = D(A) của phương trình Stokes. Ta đã biết A
−1
: H → V là
bị chặn. Ta có K = A
−1
là đơn ánh, compact và tự liên hợp vì
< A
−1
f, g >=< A
−1
f, AA
−1
g >=< AA
−1
f, A
−1
g >=< f, A
−1
g > .
Do đó tồn tại một dãy các số dương µ
j

> 0, µ
j+1
≤ µ
j
và một cơ sở trực
giao của H là (w
j
) thỏa mãn Kw
j
= µ
j
w
j
. Đặt λ
j
= µ
−1
j
ta có
Aw
j
= λ
j
w
j
(2.5)
0 < λ
1
≤ ≤ λ
j

≤ λ
j+1
≤ (2.6)
lim
j→∞
λ
j
= ∞ (2.7)
(w
j
)
j=1,2,
là một cơ sở trực giao của H.
Mệnh đề 2.2.2. Nếu Ω là bị chặn thuộc lớp C
l+2
, l ≥ 0 thì w
j
∈
H
l+2
(Ω)
n
.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 2.2.2. Cho α > 0 là một số thực. Chúng ta định nghĩa tốn
tử A
α
bởi
A
α

(u) =
∞

j=1
λ
α
j
u
j
w
j
, u =
∞

j=1
u
j
w
j
, u ∈ D(A
α
).
D(A
α
) = {u ∈ H | u =
∞

j=1
u
j

w
j
,
∞

j=1
λ
2α
j
|u
j
|
2
< ∞, u
j
∈ R}.
2.3 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes
2.3.1 Định nghĩa
Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R
n
và một khoảng [0, T ), 0 < T ≤ ∞ xét
hệ phương trình Navier - Stokes sau đây:
∂u
i
∂t
+
n

j=1
u

j
∂u
i
∂x
j
= νu
i
−
∂p
∂x
i
+ f
i
(t, x) (2.8)
div u =
n

i=1
∂u
i
∂x
i
= 0 (2.9)
u(0, x) = u
0
(x) (x ∈ Ω) (2.10)
(x ∈ Ω ⊂ R
n
, 0 < t < T, i = 1, , n), u = (u
1

, , u
n
).
Trong đó f = f(t, x) là hàm cho trước, u
i
= u
i
(t, x) và p = p(t, x) là các
hàm chưa biết, ν là hằng số dương, biết rằng
div u = 0 trong Ω. (2.11)
Trước tiên ta xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài tốn (2.8) - (2.10).
Giả sử u
0
∈ L
2
(Ω; R
n
); f ∈ L
2
(0, T ; H
−1
(Ω; R
n
)) . (2.12)
trong đó L
2
(Ω; R
n
) =


u : Ω → R
n
; u
L
2
(Ω)
< ∞

.
Trong trường hợp bài tốn biên Dirichlet ta còn giả thiết thêm
u
0
· γ = 0 trên ∂Ω (2.13)
ở đây γ là vector pháp tuyến ngồi của biên ∂Ω. Điều kiện (2.13) có nghĩa
là u
0
thỏa mãn (2.11) và u
0
∈ L
2
(Ω; R
n
),

u
0
· γ ∈ H
−1
(∂Ω)


.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 2.3.1. Hàm số u được gọi là nghiệm yếu của hệ (2.8) - (2.10)
nếu với mọi φ ∈ C
∞
([0, T ] × Ω; R
n
) , divφ = 0, supp φ ⊂⊂ [0, T ) ×Ω

t
0

Ω
dtdx


νDu · Dφ −

i,j
u
i
u
j
∂
j
φ
j
− u
∂φ
∂t



=

t
0
f, φ
H
−1
×
◦
H
1
dt +

Ω
u
0
· φdx (2.14)
div u = 0 trong D

((0, T ) × (Ω))
Trong trường hợp Ω = R
n
ta thay
◦
H
1
bởi H
1

. Từ Định nghĩa 2.3.1 suy
ra rằng u thỏa mãn (2.8) theo nghĩa các phân bố Schwartz.
2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier
- Stokes
Phần nội dung và tóm tắt chứng minh các Định lý 2.3.1 - 2.3.4 có thể
tham khảo trong [2].
Định lý 2.3.1. (n = 2, Ω = R
n
). Bài tốn (2.8) - (2.10) có duy nhất một
nghiệm yếu u với những tính chất sau:
u ∈ L
2
(0, T ; H
1
) ∩ C

[0, T ]; L
2

,
∂u
∂t
∈ L
2
(0, T ; H
−1
)
Hơn nữa tồn tại duy nhất một trường áp lực p ∈ L
2
((0, T ) × B

R
), B
R
là
hình cầu bán kính R với mọi R ∈ (0, ∞) có tính chất
p ∈ L
2
(0, T ; H
1
),

B
R
p dx = 0 h.k.n theo t ∈ (0, T )
sao cho (2.8) - (2.10) thỏa mãn theo nghĩa phân bố và
1
2

R
2
|u|
2
dx + ν

t
0

R
2
|u|

2
dxds
≤
1
2

R
2
|u
0
|
2
dx +

t
0
f(s), u(s)
H
−1
×H
1
ds
(2.15)
với mọi t ∈ [0, T ].
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 2.3.2. (n ≥ 3, Ω = R
n
). Bài tốn (2.8) - (2.10) có nghiệm yếu
u và trường áp lực p sao cho hệ (2.8) - (2.10) được thỏa mãn theo nghĩa
phân bố và có những tính chất sau:

u ∈ L
2
(0, T ; H
1
) ∩ C

[0, T ]; L
2
w

∩ C ([0, T ]; L
s
(B
r
))
với mọi s ∈ [1, 2), R ∈ (0, ∞),
∂u
∂t
∈ L
2

0, T ; H
−1

+

L
s
(0, T ; W
−1

ns
ns−2
) ∩ L
q
(0, T ; L
r
)

với s ∈ [1, ∞), q ∈ [1, 2), r =
nq
nq + q − 2
,
p ∈ L
2
((0, T ) × B
R
) + L
s
(0, T ; L
ns
ns−2
) với s ∈ [1, ∞), R ∈ (0, ∞),
p ∈ L
2
(0, T ; H
−1
) + L
q
(0, T ; L
r

) với q ∈ [1, 2), r =
nq
nq + q − 2
;
và u thỏa mãn các bất đẳng thức sau:
1
2

R
n
|u
0
|
2
dx + ν

t
0

R
n
|u|
2
dxds
≤
1
2

R
n

|u
0
|
2
dx +

t
0
f(s), u(s)
H
−1
×H
1
ds với mọi t ≥ 0,
(2.16)
∂
∂t

1
2

R
n
|u|
2
dx

+ ν

R

n
|u|
2
dx ≤ f, u
H
−1
×H
1
(2.17)
trong D

(0, T ).
Hơn nữa, nếu n = 3 thì tồn tại nghiệm của bài tốn (2.8) - (2.10) thỏa
mãn thêm bất đẳng thức sau:
∂
∂t
(
1
2
|u|
2
) + div(u{
1
2
|u|
2
+ p}) − ν
|u|
2
2

+ ν|u|
2
≤ uf (2.18)
trong D

.
Để phát biểu các định lý tiếp theo ta cần các ký hiệu sau:
V
0
p
= {u ∈ L
p
|div u = 0 trong Ω, u.γ = 0 trên ∂Ω};
V
1
p
= {u ∈
◦
W
1
p
|div u = 0 trong Ω}.
Ở đây, u ∈ C([0, T ]; L
2
w
(R
n
)), có nghĩa là u liên tục theo t với giá trị trong
L
2

(R
n
) được trang bị tơpơ yếu. Ta có
˜
D = {φ ∈ C
∞
c
|divφ = 0, trong Ω}
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />trù mật trong V
0
p
theo chuẩn của L
p
và trù mật trong V
1
p
theo chuẩn của
W
1
p
. Ngồi ra ta còn dùng ký hiệu V
−1
q
để chỉ khơng gian đối ngẫu của
V
1
p
,
1

p
+
1
q
= 1, 1 < p < ∞.
Định lý 2.3.3. (n = 2, điều kiện biên Dirichlet). Tồn tại duy nhất
một nghiệm yếu u của bài tốn (2.8) - (2.10) sao cho
u ∈ L
2
(0, T ;
◦
H
1
) ∩ C([0, T ]; L
2
);
∂u
∂t
∈ L
2
(0, T ; V
−1
2
)
và thỏa mãn đẳng thức (2.15).
Định lý 2.3.4. (n ≥ 3, điều kiện biên Dirichlet). Tồn tại một nghiệm
yếu u của bài tốn (2.8) - (2.10) thỏa mãn các bất đẳng thức (2.16 - 2.17)
sao cho
u ∈ L
2

(0, T ;
◦
H
1
),
u ∈ C([0, T ]; L
2
w
) ∩ C([0, T ]; L
s
) với mọi 1 ≤ s < 2,
∂u
∂t
∈ L
2

0, T ; V
−1
2

+

L
s
(0, T ; V
−1
ns
ns−2
) ∩ L
q

(0, T ; L
r
)

với 1 ≤ s < ∞, 1 ≤ q < 2 và r =
nq
nq + q − 2
.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 3
Tính chính quy của nghiệm yếu của
hệ phương trình Navier - Stokes
Trong chương này trình bày kết quả về tính chính quy của nghiệm yếu
của hệ phương trình Navier - Stokes thơng qua các bất đẳng thức năng
lượng.
3.1 Nghiệm yếu chính quy
Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R
3
với biên ∂Ω thuộc lớp C
1,1
và cho một
khoảng thời gian [0, T ), 0 < T ≤ ∞. Lấy u
0
∈ L
2
σ
(Ω) là một số giá trị
ban đầu, f là ngoại lực. Trong hình trụ thời gian - khơng gian [0, T ) × Ω
ta xét nghiệm yếu u của hệ Navier - Stokes
∂u

i
∂t
− νu
i
+
3

j=1
u
j
∂u
i
∂x
j
+
∂p
∂x
i
= f
i
(t, x) (3.1)
(x ∈ R
3
; i = 1, 2, 3; u = (u
1
; u
2
; u
3
)).

div u =
3

i=1
∂u
i
∂x
i
= 0; u |
∂Ω
= 0; u |
t=0
= u
0
với độ nhớt ν > 0.
Định nghĩa 3.1.1. Giả sử u
0
∈ L
2
σ
(Ω) và f = divF ; F ∈ L
2
(0, T ; L
2
(Ω)).
Khi đó trường vector u ∈ L
∞
(0, T ; L
2
σ

(Ω)) ∩L
2
(0, T ; W
1,2
0
(Ω)) được gọi là
nghiệm yếu của hệ phương trình (3.1) nếu hệ thức
−u, ω
t

Ω,T
+ νu, ω
Ω,T
− uu, ω
Ω,T
= u
0
, ω(0)
Ω
− F, ω
Ω,T
được thỏa mãn với mọi hàm thử ω ∈ C
∞
0
([0, T ); C
∞
0,σ
(Ω)).
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Như ta đã biết, tồn tại một nghiệm yếu u thỏa mãn bất đẳng thức năng

lượng mạnh
1
2
u(t)
2
2
+ ν

t
t

u
2
2
dτ ≤
1
2
u(t

)
2
2
−

t
t

F, u
Ω
dτ (3.2)

với hầu hết t

∈ [0, t) kể cả t

= 0 và mọi t ∈ [t

, T ). Hơn nữa, ta có thể
giả sử trong Định nghĩa 3.1.1 rằng u : [0, T ) → L
2
σ
(Ω) là liên tục yếu với
u(0) = u
0
. Cuối cùng, tồn tại một hàm suy rộng p được gọi là áp lực liên
kết sao cho
u
t
− νu + u.u + p = f
theo hướng của hàm suy rộng.
Định nghĩa 3.1.2. Một nghiệm yếu u của (3.1) được gọi là chính quy
trong khoảng (a, b) ⊆ (0, T ) nếu điều kiện Serrin
u ∈ L
s
loc
(a, b; L
q
(Ω)) với 2 < s < ∞, 3 < q < ∞,
2
s
+

3
q
= 1 (3.3)
được thỏa mãn.
Một thời điểm t ∈ (0, T ) được gọi là điểm chính quy của u nếu u là
chính quy trong khoảng (a, b) ⊆ (0, T ) với a < t < b.
Điều kiện (3.3) nghĩa là u
L
s
(a

,b

;L
q
(Ω))
< ∞ trong mỗi khoảng (a

, b

)
với a < a

< b

< b.
Rõ ràng, với một miền bị chặn, đồng nhất thức
2
s
+

3
q
= 1 có thể thay bởi
bất đẳng thức
2
s
+
3
q
≤ 1. Nếu ∂Ω thuộc lớp C
∞
và f ∈ C
∞
0

(a, b) ×
¯
Ω

thì (3.3) suy ra
u ∈ C
∞

(a, b) ×
¯
Ω

, p ∈ C
∞


(a, b) ×
¯
Ω

. (3.4)
Trường hợp s = 2, q = ∞ và s = ∞, q = 3 đều rất khó để giải quyết. Nếu
u ∈ L
∞

a, b; L
3
(Ω)

thì u ∈ C
∞

(a, b) ×
¯
Ω

.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thơng qua
tiêu chuẩn năng lượng
Kết quả dưới đây thể hiện tiêu chuẩn chính quy của nghiệm yếu dựa trên
động năng
1
2
u(t)
2

2
, t ∈ (0, T ) hoặc năng lượng phân tán

t
0
u(τ)
2
2
dτ,
theo [5,6].
Định lý 3.2.1. Giả sử Ω ⊂ R
3
là một miền bị chặn với biên ∂Ω thuộc lớp
C
2,1
. Xét một nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier - Stokes (3.1) với
u
0
∈ L
2
σ
(Ω), ν = 1 và ngoại lực f triệt tiêu thỏa mãn bất đẳng thức năng
lượng mạnh (3.2).
Giả sử rằng tại thời điểm t ∈ (0, T ) động năng liên tục Holder trái với
số mũ α ∈ (
1
2
, 1) nghĩa là
lim
δ→0

+



1
2
u(t − δ)
2
2
−
1
2
u(t)
2
2



δ
α
< ∞ (3.5)
Khi đó u là chính quy tại t. Ta cũng có kết luận tương tự khi năng lượng
phân tán thỏa mãn điều kiện Holder trái tại t ∈ (0, T )
lim
δ→0
+
1
δ
α


t
t−δ
u
2
2
dτ < ∞. (3.6)
Chú ý rằng Định lý 3.2.1 có thể tổng qt hóa trong trường hợp ngoại
lực f khơng triệt tiêu, α =
1
2
, 0 < ν = 1. Trong trường hợp này ta cần
một điều kiện nhỏ trên nửa chuẩn Holder trái địa phương. Thật vậy, nếu
(0, t), t ∈ (0, T ) là khoảng chính quy lớn nhất của nghiệm yếu u thì
u(τ)
2
≥ c(t − τ)
−
1
4
, 0 < τ < t
với một vài c = c(Ω) > 0 . Do đó (3.6) với α =
1
2
khơng đủ để suy ra tính
chính quy trong trường hợp tổng qt nếu tồn tại khoảng chính quy lớn
nhất như trên. Hơn nữa,
2c
2
≤
1

δ
1
2

t
t−δ
u(τ)
2
2
dτ ≤
1
2δ
1
2



u(t)
2
2
− u(t − δ)
2
2



19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />