ĐỀ CƯƠNG ôn tập môn TOÁN học kỳ 1 lớp 11

§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
PHẦN ĐẠI SỐ
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số
a. y =
3 sin 2x
2cos3x
+
b.
sin x 2
y
cos x 1
+
=
+
c. y = cot (2x – π/4) d. y = tan (π/3 + 5x)
e. y =
3 tan x
cos x sin x
+
−
f.
sin x cos x
y
cos x 1 1 sin x
= +
− +
Bài 2 Xác định tính chẵn – lẻ của các hàm số
a. y = 1/x b. y = 2x – 2sin x c. y = 4sin² x – 3cos 2x
d. y =
3 1 cos 2x+
e. y = 1 – 2|sin 2x| f. y = x sin x – x³

g. y = 2 + sin 2x h. y = x + cos 3x i. y = x² – |x| cos x
Bài 3 Giải các phương trình sau
a. sin 3x = –1/2 b. cos 2x =
2
2
−
c. tan (2x – 3π/4) =
3
d. sin 2x – sin 2x cos x = 0 e. sin 3x = cos 2x f. tan 4x cot 2x = 1
g. 2cos (x – π/6) + 1 = 0 h. tan (x – π/3) + tan 3x = 0 i. cos x – 2sin² (x/2) = 0
j. cos
4
x – sin
4
x =
2
2
k. sin³ x cos x – cos³ x sin x =
2
8
Bài 4 Giải các phương trình sau
a. 4cos² x – 2(
3
+ 1)cos x +
3
= 0 b. 2cos² x + 5sin x – 4 = 0
c. 2cos 2x – 8cos x + 5 = 0 d. 2cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x
e.
2
3

cos x
= 3 + 2tan² x f. 5tan x – 2cot x – 3 = 0
g. 6sin² 3x + cos 12x = 4 h. cos 2x – 3cos x = 4cos² (x/2)
i. sin 2x(cot x – tan x) = 2cos 4x
Bài 5 Cho phương trình: cos 2x + 3sin x – 2a = 0 (1), với a là tham số thực.
a. Giải phương trình (1) khi a = 1
b. Với giá trị nào của a thì phương trình (1) có nghiệm
Bài 6 Giải các phương trình sau
a.
3 cosx sin x 2− =
b. cos x –
3
sin x = –1 c. 2cos² x –
3
sin 2x = 0
d. cos 7x – sin 5x =
3
(cos 5x – sin 7x) e. 4sin
4
x + 4cos
4
(x + π/4) = 1
f. 2sin 2x + 2sin² x = 1 g. tan x – 3cot x = 4(sin x +
3
cos x)
Bài 7 Giải các phương trình sau
a. sin² x + 3sin x cos x = 4cos² x b. 4sin² x + 3sin 2x – 2cos² x = 4
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
c. 2sin² x – 5sin x cos x – cos² x + 2 = 0 d. 4sin² x +
3

sin x cos x – 5 = 0
e. sin³ x + 2sin² x cos x = 3cos³ x f. 4sin³ x + 3sin² x cos x – cos³ x = sin x
Bài 8 Giải các phương trình sau
a. 4cos
4
x – cos 2x – cos 4x = 0 b. cos x (2cos x – 5tan x) – 5 = 0
c. 2sin x cos 2x – 1 + 2cos 2x – sinx = 0 d. 2sin x – 2sin 2x – 2cos x = 1
e. tan x =
cos x
1 sin x+
f. 2(sin
4
x + cos
4
x) = –cos² 2x
g. 4sin x sin 2x sin 3x = sin 4x h. cos 3x + 2cos 2x + cos x = sin 3x + 2sin 2x +
sin x
i. 6(sin x – cos x) + sin x cos x + 6 = 0 j. 2cos² x – 3sin 2x + sin² x = 1
k. tan x – sin 2x – cos 2x (tan x + 6) = 0
Bài 9 Có 5 tem khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn ra 3 tem và 3 bì thư, mỗi bì thư dán 1
tem. Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 10 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số chẵn có năm chữ số đôi một
khác nhau lấy từ các chữ số trên?
Bài 11 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số
và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số đều khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu
lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. ĐS: 36 số
Bài 12 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm 5
chữ số đôi một khác nhau, không bắt đầu bởi 123. ĐS: 3348
Bài 13 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau mà một trong ba chữ số đầu tiên phải là 1. ĐS: 2280

Bài 14 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó phải
có mặt chữ số 0 và chữ số 1. ĐS: 21840
Bài 15 Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa
điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực ở đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công? ĐS: 1260
Bài 16 Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi
dự đại hội Đoàn sao cho trong đó có ít nhất một cán bộ lớp? ĐS: 324
Bài 17 Một nhóm gồm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung
bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành hai tổ A và B, mỗi tổ có 8 học sinh sao
cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá? ĐS: 7560
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Bài 18 Cần lập một mật khẩu có 6 kí tự gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau (các
chữ cái được lấy từ 26 chữ cái và các chữ số được chọn trong 10 chữ số. Hỏi có bao nhiêu mật
khẩu có 2 chữ cái khác nhau, 4 chữ số khác nhau, có đúng 2 chữ số lẻ? ĐS: 260000
Bài 19 Có 20 đội bóng tham gia thi đấu, cứ hai đội thì đá với nhau 2 trận (lượt đi và lượt về).
Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Bài 20 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ
số.
Bài 21 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 5?
Bài 22 Giải các phương trình sau:
a. P
2
x² – P
3
x = 8 b.
2 2
x 2x
2A 50 A+ =
c.
3 2

n n
A 5A+
= 2(n + 15)
d.
2 2
n n n n
2P 6A P A 12+ − =
e.
2 2
n 2n
3A A−
+ 42 = 0 f.
10 9 8
x x x
A A 9A+ =
g.
1 2 3
x x x
7
C C C x
2
+ + =
h.
3 2 2
x 1 x 1 x 2
2
C C A
3
− − −
− =

i.
1 2 1
x x 1 x 4
1 1 7
C C 6C
+ +
− =
Bài 23 Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 24 Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn 3 người sao cho có ít nhất một nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách?
Bài 25 Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập
một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau
a. Nếu phải có ít nhất là hai học sinh nữ
b. Nếu phải chọn tùy ý.
Bài 26 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
a. A =
6
2
1
(2x )
x
−
b. B =
12
x 3
( )
3 x
+
c. C =
7

3
4
1
( x )
x
+
d. D =
12
3
1
(2 x )
2x x
+
e.
2 n
4
1
(x )
x
+
biết
0 1 2
n n n
C 2C A 109− + =
Bài 27 Tính tổng:
a. S
1
=
0 1 2 2 k k n n
n n n n n

C 2C 2 C 2 C 2 C+ + + + + +
b. S
2
=
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
C C C C+ + + +
c. S
3
=
0 2 2 2n 2n
2n 2n 2n
C 2 C 2 C+ + +
Bài 28 Chứng minh:
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
a.
0 2 2n 1 3 2n 1
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C C C C C C
−
+ + + = + + +
b. Số tập hợp con của tập hợp có n phần tử (n là số nguyên dương) là 2
n
.
c.
17 0 16 1 17 17 17
17 17 17
3 C 4.3 C 4 C 7+ + + =
Bài 29 Tìm hệ số của số hạng
a. chứa x

7
trong khai triển của (x +
3
2
x
)
27
.
b. chứa x
10
trong khai triển của
3 5
2
2
(3x )
x
−
c. chứa x
6
trong khai triển của biểu thức (x² + 2/x)
n
với x ≠ 0, n nguyên dương, tổng tất cả các
hệ số trong khai triển này bằng 19683.
d. chứa x³ trong khai triển của (x – 2/x²)
n
biết
n n 1 n 2
n n n
C C C 79
− −

+ + =
e. chứa x
8
trong khai triển của
5 n
3
1
( x )
x
+
, biết rằng
n 1 n
n 4 n 3
C C
+
+ +
−
= 7(n + 3)
f. chứa x
4
biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2 n
2
(x )
3
−
với số mũ
của biến giảm dần là 97.
g. chứa x
12

trong khai triển của (x² + 1)
n
, biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.
h. chứa x
31
trong khai triển của
n
2
1
(x )
x
+
, biết rằng
n n 1 2
n n n
1
C C A 821
2
−
+ + =
Bài 30 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp (với mọi số nguyên dương n)
a. 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n² b. 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3
c.
n
2 n n
1 1 1 2 1

2
2 2 2
−

+ + + =
d. 2
n
> n
Bài 31 Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Bài 32 Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn
2 5 3
4 6
u u u 10
u u 26
+ − =


+ =

. Tìm số hạng đầu và công sai của
cấp số cộng đó.
Bài 33 Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng
với công sai là 25.
Bài 34 Cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = –3. Tính a
10
.
Bài 35 Tính u
1

, d trong các cấp số cộng (u
n
) biết
a. u
3
+ u
5
= 14 và tổng của 13 số hạng đầu là S
13
= 129
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
b. u
5
= 19; u
9
= 35.
c. u
3
+ u
10
= –31 và 2u
4
– u
9
= 7
d.
1 5
4
u 2u 0
s 14

+ =


=

e.
5 3
1 6
u u 20
u u 17
+ =


+ =

Bài 36 Tìm các số hạng của cấp số nhân biết
a. Cấp số nhân có 6 số hạng; u
1
= 243 và u
6
= 1
b. Cấp số nhân có 6 số hạng, công bội q = 1/4, tổng các số hạng là S
6
= 2730.
c. cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 37 Tìm u
1
và q của cấp số nhân biết
a.
4 2

5 3
u u 72
u u 144
− =


− =

b. u
3
= 12, u
5
= 48. c.
1 2 3
4 5 6
u u u 13
u u u 351
+ + =


+ + =

Bài 38 Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ
ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Bài 39 Cho cấp số nhân (u
n
) thỏa mãn
1 5
2 6
u u 51

u u 102
+ =


+ =

a. Tìm số hạng đầu u
1
và công bội q của cấp số nhân đó.
b. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên.
Bài 40 Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “tổng số chấm trên hai mặt
của hai con súc sắc bằng 4”
a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A.
b. Tính xác suất của biến cố A.
Bài 41 Gieo một con súc sắc hai lần. Tính xác suất để:
a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên
b. Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần
Bài 42 Trong hộp có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu.
Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra có
a. màu đen b. màu giống nhau
Bài 43 Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy
ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để lấy được
a. 3 viên màu đỏ b. ít nhất một viên màu đỏ c. có đủ ba màu
Bài 44 Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để
a. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con chia hết cho 5
b. Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 3
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Bài 45 Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu.
a. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy ra

có đúng 8 sản phẩm tốt.
Bài 46 Gieo 4 con súc sắc cân đối, tính xác suất để không quá hai con xuất hiện mặt 6 chấm.
Bài 47 Trong một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 8 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên
5 viên bi. Tính xác suất để
a. Cả 5 viên bi lấy ra đều có màu vàng.
b. có ít nhất một viên màu trắng.
Bài 48 Trên một kệ sách có 12 cuốn sách khác nhau gồm có 4 quyển tiểu thuyết, 6 quyển
truyện tranh và 2 quyển cổ tích. Lấy 3 quyển từ kệ sách.
a. Tính xác suất để lấy được 3 quyển đôi một khác loại.
b. Tính xác suất để lấy được 3 quyển có 2 đúng hai quyển cùng loại.
Bài 49 Gieo đồng thời 3 con súc sắc. Bạn thắng nếu có xuất hiện ít nhất hai con ra 6 chấm.
Tính xác suất để trong 5 ván chơi bạn thắng ít nhất 1 ván.
Bài 50 Một đồng xu không cân đối có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 4/9. Tính xác suất để
khi gieo 4 lần độc lập thì có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa.
Bài 51 Chọn ngẫu nhiên 3 đứa bé từ 6 bé trai và 4 bé gái. Gọi X là số bé gái được chọn. Lập
bảng phân bố xác suất của biến X.
Bài 52 Gieo một con súc sắc cân đối 4 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. Lập bảng
phân bổ xác suất của X.
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
PHẦN HÌNH HỌC
Bài 53 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x – 3y + 5 = 0 và điểm M(–1; 2).
a. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo
v
r
= (1; 3)
b. Tìm ảnh của điểm M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự
tâm O tỷ số 2 và phép đối xứng trục Ox.
Bài 54 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ: x – y = 0 và đường tròn (C): x² + y² + 2x –
4y – 4 = 0. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Δ.
Bài 55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh

của (C) qua phép dời hình được thực hiện liên tiếp bởi phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
= (3; –1)
và phép đối xứng qua trục Ox.
Bài 56 Viết phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 qua phép đối xứng tâm
I(1; –2).
Bài 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm SB, SD; I trung điểm OC.
a. Xác định thiết diện của (MNI) và hình chóp
b. Thiết diện chia cạnh SA theo tỉ số nào?
Bài 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SC, CD. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (ABCD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (α).
c. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).
Bài 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SC, BC; P là một điểm bất kỳ trên cạnh SA, P không trùng với S và A.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MNP)
b. Tìm giao tuyến của (MNP) với (SDC). Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi
mặt phẳng (NMP).
Bài 60 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi I là trung điểm CD,
M là điểm tùy ý trên SI.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABM).
Bài 61 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm SA, SB.
Điểm P thay đổi trên cạnh BC.
a. Chứng minh rằng CD//(MNP)
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
b. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Chứng minh rằng thiết diện là hình

thang.
Bài 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là một điểm thay đổi trên cạnh
AB. Mặt phẳng (α) qua M và song song với SA và AD.
a. Dựng thiết diện của (α) với hình chóp. Chứng minh thiết diện là hình thang
b. Chứng minh rằng giao tuyến của (α) với (SCD) thì song song với SD.
Bài 63 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và AD // BC. Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của AB, CD; H, K lần lượt là trung điểm của SE và SF; G là trọng tâm của tam
giác ABD. Trên đoạn SG lấy điểm I sao cho SI = 3IG.
a. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (HIK). Thiết diện là hình gì?
b. Biết rằng SA = BC = a và SD = AD = 2a. Tính theo a chu vi của thiết diện vừa tìm được.
Bài 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v
r
= (2; –3), A(–2; 1), B(4; 3) và đường thẳng d: 2x
+ y + 1 = 0 và đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 1)² = 4.
a. Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của điểm A, B qua phép tịnh tiến vector
v
r
.
b. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến vector
v
r
.
c. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) đường kính AB qua phép tịnh
tiến vectơ
OB
uuur
Bài 65 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 1)² = 4. Tìm phương trình
đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2.
Bài 66 Cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² – 2x + 6y – 4 = 0. Tìm ảnh của đường

trong (C)
a. Qua phép vị tự tâm O, tỉ số 1/2
b. Phép quay tâm O, góc quay 90°
Bài 67 Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(–3; 2), B(1; –2), C(2; 5), D(–1; –3). Gọi A
1
là
ảnh của A qua phép tịnh tiến vectơ
BC
uuur
. Gọi A
2
là ảnh của A
1
qua phép quay tâm D, góc –
90°. Tìm tọa độ của A
2
.
Bài 68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –2) và đường thẳng d: 2x + y – 2 = 0.
Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O, góc quay 90°.
Bài 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của SA và SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M, N và B.
a. Tìm các giao tuyến (P) với (SAB) và (P) với (SBC)
b. Tìm I, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng SO, SD với mặt phẳng (P)
c. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và (SDC)
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
d. Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA, DC với (P). Chứng minh rằng E, B,
F thẳng hàng
Bài 70 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của SB và SC.
a. Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)

b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 71 Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là điểm thuộc miền
trong của tam giác SCD.
a. Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM)
Bài 72 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, điểm M thay đổi trên cạnh SD.
a. Dựng giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b. Xác định giao điểm N của SC và mặt phẳng (ABM); ABMN là hình gì? Có thể là hình
bình hành không?
c. Gọi I là giao điểm của AN và BM. Chứng minh khi M chạy trên cạnh SD thì I chạy trên
đường thẳng cố định.
Bài 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh IA = 2IM
b. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và ABMF
là hình thang.
c. Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng
(SBD).
Bài 74 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm
của SC; N là trung điểm của OB.
a. Tìm giao điểm I của SD với mặt phẳng (AMN)
b. Tính tỉ số SI/ID.
Bài 75 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AD. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SC và SD.
a. Chứng minh rằng MN//AB.
b. Tìm giao điểm K của (BCN) với SA. BK cắt CN tại I, chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác
SIDC là hình gì?
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Bài 76 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi Cx là đường thẳng qua C và song

song với SB.
a. Tìm giao điểm I của Cx và (SAD). Chứng minh rằng DI // SA.
b. Tìm thiết diện của hình chóp với (BDI).
Bài 77 Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ΔABC, ΔABD. Chứng minh
rằng IJ // (ACD).
Bài 78 Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm ΔACD, M là điểm trên cạnh BD sao cho DM =
2MB. Chứng minh rằng GM // (ABC).
Bài 79 Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng. Gọi M, N
lần lượt là 2 điểm trên AC, BF sao cho AC = 3AM, BF = 3BN. Chứng minh rằng MN //
(CDEF).
Bài 80 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi G
1
, G
2
lần lượt là trọng tâm của
ΔADB, ΔSAB. Chứng minh rằng G
1
G
2
// (SBD).
Bài 81 Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K lần lượt là trung điểm AB, BC, DA. Gọi G, G’ lần lượt
là trọng tâm của tam giác ACD, BCD.
a. Xác định giao tuyến (AKD) và (BJC); (JAD) và (ICD)
b. Tìm giao điểm của AG’ với (IJK)
c. Chứng minh rằng: AC // (IJK); GG’ // (ABC)
d. Gọi E là trung điểm CD; H = AG’ ∩ BG. Chứng minh rằng H là trung điểm của IE.
Bài 82 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên các
đường chéo BD, AE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = AN. Mặt phẳng (α) chứa MN
và song song với AB cắt BC, BE tại P, Q.
a. Tứ giác MNPQ là hình gì?

b. Chứng minh rằng PQ // DF và MN // (CDEF).
Bài 83 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA, SB.
a. Chứng minh (OMN) // (SCD).
b. Gọi G là trọng tâm của ΔBCD, I là điểm trên cạnh SB sao cho SB = 3SI. Chứng minh rằng
GI // (SCD).
Bài 84 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SD, BC.
a. Chứng minh (OMN) // (SAB)
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SN, AB. Chứng minh rằng IJ // (SAD)
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
c. Giả sử ΔSCD, ΔABD cân tại D. Gọi DE, DF lần lượt là phân giác trong của ΔBCD và
ΔSAD. Chứng minh rằng EF // (SCD).
Bài 85 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SB; M,
N là hai điểm lần lượt trên cạnh AD, SC sao cho AM/MD = CN/NS.
a. Chứng minh rằng MN // (ACE)
b. Gọi (α) là mặt phẳng qua MN và song song với (ACE). Xác định thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (α).
Bài 86 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD.
a. Xác định giao điểm K = BI ∩ (SAC)
b. Trên IC lấy điểm H sao cho HC = 2HI. Chứng minh KH // (SAD)
c. Gọi N là điểm trên SI sao cho SN = 2NI. Chứng minh (KHN) // (SBC)
Bài 87 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là trung điểm
của AB và SC
a. Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (SAB) ∩ (SCD)
b. Chứng minh rằng MN // (SAD)
c. Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD
d. Gọi P là trung điểm của SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Bài 88 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là trung điểm
của SA và SC.

a. Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD); (BMN) ∩ (ABCD); (BMN) ∩ (SBD)
b. Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK =
1
3
SD
c. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI // (SBC) và (IJN) //
(SAD)
Bài 89 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm
của SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
a. Tìm I = GM ∩ (ABCD). Chứng minh rằng IC = 2ID.
b. Tìm J = AD ∩ (OMG). Tính JA / JD.
c. Tìm K = SA ∩ (OMG). Tính KA / KS.
Bài 90 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang (AB // CD). Mặt phẳng (α) chứa AB
và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại C’, D’.
a. Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC).
b. Gọi I là giao điểm của AD’ và BC’. Tìm tập hợp các điểm I.
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Bài 91 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K, I, J lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.
a. Chứng minh HKIJ là hình bình hành.
b. Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABCD) và (HKM).
Bài 92 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Lấy M trên cạnh AD. Gọi (α) là
mặt phẳng qua M và song song với SA và CD. Mặt phẳng (α) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N,
P, Q.
a. Tứ giác MNPQ là hình gì.
b. Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố định
khi M di động trên AD.
Bài 93 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O.
a. Gọi (α) là mặt phẳng qua DC cắt SA và SB tại M, N. Chứng minh DCMN là hình thang.

b. Gọi I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh S, I, O thẳng hàng.
Bài 94 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC. M là
một điểm di động trên cạnh SA. Gọi (α) là mặt phẳng di động luôn qua C’M và song song với
BC.
a. Chứng minh (α) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b. Xác định thiết diện mà (α) cắt hình chóp S.ABCD. Tìm vị trí M để thiết diện là hình bình
hành.
c. Tìm tập hợp các giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện khi M di chuyển trên cạnh SA.
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KỲ I
MÔN TOÁN – LỚP 11
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Giải phương trình
a.
3
tan 3x = 1 b.
3
sin 2x + cos 2x = –2
c. 2cos² x + sin x – 1 = 0 d. sin 2x + cos² x = 3cos x
Câu 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x² + 2/x)
9
.
Câu 3. Có 8 bài toán hình học và 12 bài toán đại số. Có thể hình thành được bao nhiêu đề
toán khác nhau? Nếu mỗi đề gồm 5 bài toán trong đó có ít nhất 2 bài hình học và 2 bài đại số
Câu 4. Từ một hộp có 2 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng
thời 5 quả cầu. Tính xác suất sao cho 5 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu đỏ.
Câu 5. Tìm x biết:
2 1
x x 1
A C 81
−

− =
.
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt
thuộc cạnh SB, SC sao cho
SM SN 2
SB SC 3
= =
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD)
b. Tìm giao điểm P của SD và mặt phẳng (AMN).
c. Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SAD)
d. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (AMN)
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số: y = tan (2x – 30°)
Câu 2: Giải phương trình: cos 2x – 3sin x + 1 = 0
Câu 3: Từ các chữ số 0; 1; 3; 4; 6; 8; 9 lập một số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Tính xác suất để số được lập là số chẵn.
Câu 4: Tìm hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển của (1 – 3x²)
8
.
Câu 5: Cho A(2; 4); B(–1; 5). Tìm ảnh của đường tròn tâm A, bán kính AB qua phép vị tự
tâm O(0; 0) tỉ số 3.
Câu 6: Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc cạnh AB (M không trùng với A; B). Mặt phẳng (P)
qua M song song với BC và AD căt CD tại N.
a. Chứng minh MN // AD
b. Tìm giao tuyến của (P) và mặt phẳng (ABC)
c. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi (P).
ĐỀ SỐ 3
Câu 1: Giải các phương trình sau
a. cos (2x + π/4) = cos x b. sin 2x = cos x

c. cos 2x = 2sin² x d. cos 2x – cos² x – 2cos x + 1 = 0
Câu 2: Tìm hệ số của số hạng thứ 17 trong khai triển của (x² – 2)
31
với số mũ của x giảm dần.
Câu 3: Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a. Có bao nhiêu số lẻ, gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các số trên.
b. Tính xác suất lấy ra 2 chữ số mà tích của chúng là số chẵn.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của SB, SD, OC.
a. Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC), tìm giao điểm của SA và (MNP).
b. Chứng minh rằng BD // (MPN).
c. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
ĐỀ SỐ 4
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a. sin 2x – sin x = 0 b. cos 2x + 2cos² x = 0 c. cos 2x –
3
sin 2x = –2
Câu 2. Một hộp có ba viên bi màu trắng đánh số 1, 2, 3 và hai viên bi màu xanh đánh số 4 và
5, lấy ngẫu nhiên hai viên bi.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu.
Câu 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x² +
4
1
x
)
n
, biết
0 1 2

n n n
C 2C A 109− + =
Câu 4: Có 5 quả cầu đỏ khác nhau và 4 quả cầu xanh khác nhau. Sắp xếp 9 quả cầu đó vào
một hàng 9 chỗ cho trước. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho các quả cầu có màu xanh, đỏ
xen kẽ liên tục.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm ΔABC. Gọi K là trung điểm AB, I là điểm
thuộc SC sao cho IC = 2SI. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên SA, SB sao cho MN không
song song với AB.
a. Tìm giao tuyến (IAB) và (CMN), (CMN) và (ABC).
b. Chứng minh rằng: IG // (SAB)
c. Xác định giao điểm của SG và (CMN)
d. Tìm thiết diện của mặt phẳng (MNG) và hình chóp.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số
a. y =
3 sin 2x
1 cos2x
+
−
b. y =
2cot x
cos x 1+
Câu 2. Giải các phương trình sau:
a. 2sin x –
3
= 0 b. 2cos 2x – 3cos x – 5 = 0
c. 2cos² x – 3sin x + 3 = 0 d. cos² x + sin 2x + 5sin² x = 2
Câu 3. Từ một hộp đựng 4 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính
xác suất sao cho:
a. Cả ba quả cầu lấy ra đều là màu trắng.

b. Ít nhất lấy được 1 quả cầu đen.
Câu 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
trong khai triển của (x + 2/x³)
27
.
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SC, CD. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC. Gọi E là một
điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (ABCD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (α)
c. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α)
d. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBE), suy ra giao điểm của BE và mặt phẳng
(SAC).
ĐỀ SỐ 6
Câu 1. (1,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số y = sin x – tan (x + π/4)
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình
a.
3
cos 3x – sin 6x = 0
b.
3
sin 2x + cos 2x = 2
Câu 3. (1,0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x + 2/x²)
9
.
Câu 4. (1,0 điểm) Từ một hộp có 2 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu
nhiên đồng thời 5 quả cầu. Tính xác suất sao cho 5 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu đỏ.
Câu 5. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(–2; 5) và đường thẳng d: 2x – 3y – 4 =

0. Tìm ảnh của điểm M và đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
= (–2; 3).
Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn AD.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b. Gọi M là trung điểm của BC, mặt phẳng (P) qua M và song song với hai đường thẳng SA
và CD. Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp đã cho.
Câu 7. (1,0 điểm) Cho cấp số cộng (u
n
) có
1 5
2 6
u u 14
u u 18
+ =


+ =

. Tính tổng 10 số hạng đầu.
Câu 8. (1,0 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số
khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
ĐỀ SỐ 7
Câu 1. (1,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số
a. y = tan(x – π/6) b. y =
1
sin x cos x−
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình
a. sin² x (1 + cos x) = 1 – cos x b. 2cos 2x – 3cos x – 5 = 0

Câu 3. (1,0 điểm) Tìm hệ số của x
25
trong khai triển Niutơn của (x² – 3/x)
20
.
§Ò c¬ng m«n to¸n Líp 11
Câu 4. (1,0 điểm) Từ một hộp chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên 4 quả
cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu lấy ra có cùng màu.
Câu 5. (1,0 điểm) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 16 qua phép
tịnh tiến vector
v
r
= (1; –2).
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
AC, AD.
a. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của tứ diện.
b. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP) là hình gì?
Câu 7. (1,0 điểm) Cho cấp số cộng (u
n
) với công sai d, có u
3
= –14, u
50
= 80. Tìm u
1
và d. Từ
đó tìm số hạng tổng quát của (u
n
).
Câu 8. (1,0 điểm) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số trên có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
ĐỀ SỐ 8
Câu 1. (1,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số
a. y = cot (2x – π/3) b. y =
1
1 sin x
tan x 1
+ −
−
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các thương trình lượng giác:
a. 2cos² x + 7cos x + 3 = 0 b. (1 + cos x)(1 + sin x) – 2 = 0
Câu 3. (1,0 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển của (2x – 3)
12
.
Câu 4. (1,0 điểm) Một hộp có 7 bút bi xanh, 8 bút bi đỏ và 5 bút bi đen, lấy ngẫu nhiên từ hộp
trên 3 bút bi. Tính xác suất để trong các bút bi lấy ra có đủ 3 màu?
Câu 5. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(3; 0) và đường thẳng d: 3x
– 2y + 1 = 0. Tìm ảnh d’ của d qua phép tịnh tiến vector
AB
uuur
Câu 6. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm SA, SB.
a. Chứng minh: MN // CD.
b. Tìm giao điểm P của SC với (AND).
c. Gọi I là giao điểm AN và DP. Chứng minh: SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì.
Câu 7. (1,0 điểm) Cho cấp số cộng có u
2
+ u
5
= 19 và 2u

4
– u
6
= 5. Tìm số hạng đầu tiên, công
sai của cấp số cộng trên.