Giáo trình Toán ứng dụng

SỞ LAO ĐỘNG THƯƠNG BINH VÀ XÃ HỘI
TRƯỜNG TRUNG CẤP NGHỀ KHU VỰC GÒ CÔNG
GIÁO TRÌNH
Tên môn học: Toán ứng dụng
NGHỀ: QUẢN TRỊ MẠNG - MÁY TÍNH
TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP NGHỀ
Ban hành kèm theo Quyết định số . . . ngày . . . tháng . . . năm . . . của . . .
Gò Công, năm 2014
4
th
−L
A
T
E
X−2014
03
GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG
Copyright
c
○ 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
ii
SỞ LAO ĐỘNG THƯƠNG BINH VÀ XÃ HỘI
TRƯỜNG TRUNG CẤP NGHỀ KHU VỰC GÒ CÔNG
GIÁO TRÌNH
Tên môn học: Toán ứng dụng
NGHỀ: QUẢN TRỊ MẠNG - MÁY TÍNH
TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP NGHỀ
Ban hành kèm theo Quyết định số . . . ngày . . . tháng . . . năm . . . của . . .
Thị xã Gò Công, năm 2014
iv
LỜI GIỚI THIỆU

Toán ứng dụng trong tin học được đề cập đến trong giáo trình này chủ yếu là
các phần thuộc bộ phận của Toán rời rạc. Toán học rời rạc ngày nay đã trở thành
quen thuộc trong những năm gần đây bởi những ứng dụng to lớn của nó trong
các ngành tin học. Toán học rời rạc là một ngành toán học giải quyết các đối
tượng hay cấu trúc rời rạc. Đối tượng rời rạc là những đối tượng mà chúng có
thể được phân biệt, phân tách ra khỏi nhau để có thể đếm được. Số tự nhiên, số
hữu tỉ (được coi như là tỉ số của 2 số tự nhiên), môtô, nhà, người, . . . là những đối
tượng rời rạc. Mặt khác số thực bao gồm số vô tỉ là không rời rạc (chúng ta biết
rằng giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực khác chúng). Thuật ngữ
“Toán học rời rạc ” cũng để phân biệt với “Toán học liên tục”. Trong khi các đối
tượng rời rạc thường được coi như có sự liên quan mật thiết tới số tự nhiên thì các
đối tượng liên tục là số thực.
Trong giáo trình này, chúng ta sẽ nghiên cứu những đối tượng rời rạc như quan
hệ trong toán học, tập hợp, bài toán đếm, ma trận, các phương pháp tính . . . tất
cả chúng đều rời rạc. Chúng ta sẽ học các khái niệm, tính chất và quan hệ giữa
chúng với nhau và với các đối tượng khác.
Giáo trình gồm 4 chương
Chương 1 : Quan hệ và suy luận toán học trình bày các kiến thức cơ bản về
tập hợp, các quan hệ giữa các tập hợp; quan hệ 2 ngôi trong toán học và
phương pháp chứng minh bằng quy nạp làm cơ sở kiến thức cho các chương
sau. Đồng thời chương 1 cũng trình bày sơ lượt về thuật toán, đệ quy chuẩn
bị cho việc học các môn học khác chuyên sâu hơn.
Chương 2 : Tính toán và xác suất giới thiệu các khái niệm cơ bản về Giải tích
tổ hợp, các khái niệm có liên quan tới bài toán liệt kê ở chương 3; nguyên lý
v
Dicrichlet cũng được trình bày ở dạng đơn giản để giải một số bài toán tồn
tại.
Chương 3 : Ma trận trình bày các kiến thức về ma trận, các thuật toán về ma
trận, số hóa ma trận áp dụng trong khoa học máy tính và trong phương pháp
tính ở chương 4. Chương 3 cũng giới thiệu sơ lược về bài toán liệt kê, bài

toán tối ưu và các thuật toán quay lui, thuật toán nhánh cận.
Chương 4 : Phương pháp tính tìm hiểu về các phương pháp tìm nghiệm gần
đúng của phương trình, hệ phương trình; phương pháp nội suy, phương pháp
bình phương cực tiểu . . . .
Trong đó phần nội dung trọng tâm sẽ rơi vào các chương 2, 3, 4.
Một số qui ước dùng trong giáo trình
1. Các Định nghĩa, Định Lý, Ví dụ, Bài tập đều được đánh số, và là
số duy nhất trong toàn giáo trình.
2. Các kí hiệu
: kết thúc phần Chứng minh của Định lý, hoặc kết thúc Ví
dụ.
: kết thúc phần Định lý.
Do giáo trình biên soạn trong thời gian gấp rút nên không thể tránh khỏi sai sót,
rất mong sự đóng góp của các bạn về
Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 19 tháng 09 năm 2014
— Nguyễn Hồng Điệp.
vi
MỤC LỤC
LỜI GIỚI THIỆU v
MỤC LỤC vii
CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN ỨNG DỤNG xi
1 QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC 1
1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Khái niệm về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Khái niệm về quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Các tính chất có thể có của quan hệ 2 ngôi trong 1 tập hợp 6
2.3 Quan hệ tương đương và phân hoạch . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Định nghĩa bằng đệ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Các thuật toán bằng đệ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Tính đúng đắn của chương trình . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 TÍNH TOÁN VÀ XÁC SUẤT 19
1 Tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Nguyên lý cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Nguyên lý nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vii
MỤC LỤC
1.3 Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Nhắc lại lý thuyết tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 Sự kiện ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Các định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 MA TRẬN 47
1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2 Số học ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3 Thuật toán nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4 Chuyển vị và lũy thừa các ma trận . . . . . . . . . . . . . 51

1.5 Các ma trận 0 - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Bài toán liệt kê và thuật toán quay lui . . . . . . . . . . . 64
2.4 Bài toán tối ưu và thuật toán nhánh cận . . . . . . . . . . 67
2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 71
1 Số xấp xỉ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.1 Số xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.2 Sai số tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3 Sai số tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.4 Số quy tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.6 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2 Giải gần đúng các phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Phương pháp chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
viii
MỤC LỤC
2.3 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5 Phương pháp tuyến tính (Newton) . . . . . . . . . . . . . 90
2.6 Phương pháp phối hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.8 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 99
3.2 Phương pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu . . . . . . . . . . . 106
4.1 Đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Tính giá trị của đa thức bằng sơ đồ Horner . . . . . . . . 107
4.3 Đa thức nôi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Đa thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Phương pháp bình phương cực tiểu . . . . . . . . . . . . . 113
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
CHỈ MỤC 117
TÀI LIỆU THAM KHẢO 119
DANH SÁCH ĐỊNH NGHĨA - ĐỊNH LÝ 121
DANH SÁCH BẢNG 123
DANH SÁCH HÌNH VẼ 125
ix
x
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG
A. Mã số môn học : MH19
B. Thời gian của môn : 60 giờ (Lý thuyết 45 giờ; Bài tập : 12giờ, Kiểm tra : 3
giờ).
C. Vị trí và tính chất của môn
∙ Vị trí : Môn học được bố trí sau khi học sinh học xong các môn học
chung, trước các môn học, mô đun đào tạo chuyên môn nghề.
∙ Tính chất : Là môn học lý thuyết cơ sở tự chọn.
D. Mục tiêu :
∙ Vận dụng các kiến thức đã học học sinh xây dựng các thuật toán tính : tổ
hợp, hoán vị, giải hệ phương trình, phương trình, tính tích phân .

∙ Sử dụng các kiến thức đó học học sinh xây dựng thuật toán quay lại, các
bài toán tối ưu, bài toán tồn tại
∙ Là nền tảng để học sinh học môn cấu trúc dữ liệu và giải thuật, cài đặt
các thuật toán trong tin học.
∙ Bố trí làm việc khoa học đảm bảo an toàn cho người và phương tiện học
tập.
E. Nội dung tổng quát và phân phối thời gian
Số TT
Tên chương, mục
Thời gian
Lý thuyết Bài tập Kiểm tra Tổng số
1 Quan hệ và suy luận toán học 3 1 4
1.1 Quan hệ hai ngôi
1.2 Suy luận toán học
xi
MỤC LỤC
2 Tính roán và xác suất 15 4 1 20
1.1 Tính toán
1.2 Xác suất
3 Ma trận 9 2 1 12
1.1 Ma trận
1.2 Thuật toán và độ phức tạp
của thuật toán
4 Phương pháp tính 18 5 1 24
1.1 Số xấp xỉ và sai số
1.2 Giải gần đúng các phương
trình
1.3 Giải hệ phương trình đại số
tuyến tính
1.4 Nội suy và phương pháp

bình phương bé nhất
Cộng 45 12 3 60
F. Chương trình chi tiết
Chương 1 : Quan hệ và suy luận toán học
Mục tiêu :
∙ Tr ình bày các phép toán trong quan hệ hai ngôi.
∙ Tr ình bày thứ tự các phép toán trong biểu thức.
∙ Biến đổi chính xác các quan hệ tương đương trong các bài toán theo dạng
quan hệ.
∙ Trả lời chính xác các bảng trắc nghiệm về quan hệ hai ngôi và suy luận
toán học.
∙ Kiểm tra tính đúng của một chương trình cụ thể.
∙ Áp dụng được giải thuật quy nạp và đệ qui.
∙ Thực hiện các thao tác an toàn với máy tính.
1 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thời gian : 02 giờ
1.1 Khái niệm về quan hệ hai ngôi
1.2 Các tính chất có thể có của quan hệ trong 1 tập hợp
1.3 Quan hệ tương đương và phân hoạch
1.4 Quan hệ thứ tự
xii
MỤC LỤC
2 Suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thời gian : 02 giờ
2. 1 Quy nạp toán học
2. 2 Định nghĩa bằng đệ quy
2. 3 Các thuật toán đệ quy
2. 4 Tính đúng đắn của chương trình
Chương 2 : Tính toán và xác suất
Mục tiêu
∙ Liệt kê các nguyên lý trong việc tính toán các xác xuất.
∙ Mô tả chính xác các xác xuất

∙ Trả lời chính xác các bảng test trên giấy về nguyên lý cộng, nguyên lý
nhân, nguyên lý bù trừ, nguyên lý Dirichlet, sự kiện ngẫu nhiên.
∙ Xác định các xác suất trong bài toán cụ thể (dưới dạng các ví dụ và các
bài tập).
∙ Thực hiện các thao tác an toàn với máy tính.
1 Tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thời gian : 10 giờ
1.1 Nguyên lý cộng
1.2 Nguyên lý nhân
1.3 Nguyên lý bù trừ
1.4 Nhắc lại lý thuyết tổ hợp
1.5 Nguyên lý Dirichlet
2 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thời gian : 10 giờ
2.1 Sự kiện ngẫu nhiên
2.2 Các định nghĩa xác xuất
2.3 Xác suất có điều kiện
Chương 3 : Ma trận
Mục tiêu
∙ Thực hiện các phép toán đối với một ma trận (ma trận 2 chiều).
∙ Tính toán chính xác độ phức tạp của một thuật toán đơn giản.
∙ Trả lời chính xác các bảng test về ma trận và độ phức tạp của thuật toán.
∙ Sử dụng đúng các thuật toán áp dụng cho ma trận.
∙ Thực hiện các thao tác an toàn với máy tính.
xiii
MỤC LỤC
1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thời gian : 4 giờ
1.1 Mở đầu
1.2 Số học ma trận
1.3 Thuật toán nhân ma trận
1.4 Chuyển vị và luỹ thừa các ma trận
1.5 Ma trận 0 −1

2 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . .Thời gian : 8 tiết
2.1 Thuật toán
2.2 Độ phức tạp của thuật toán
2.3 Bài toán liệt kê và thuật toán quay lại
2.4 Bài toán tối ưu và thuật toán nhánh cận
Chương 4 : Phương pháp tính
Mục tiêu
∙ Thực hiện đúng các bài toán về xấp xỉ và sai số, các phương trình, hệ
phương trình, nội suy và bình phương cực tiểu.
∙ Mô tả được các cách tính : bài toán về xấp xỉ và sai số, các phương trình,
hệ phương trình, nội suy và bình phương cực tiểu.
∙ Trả lời chính xác các bảng test trên giấy về các nội dung của phương pháp
tính.
∙ Thực hiện các thao tác an toàn với máy tính.
1 Số xấp xỉ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Thời gian : 3 giờ
1.1 Số xấp xỉ
1.2 Sai số tuyệt đối
1.3 Sai số tương đối
1.4 Số quy tròn
2 Giải gần đúng các phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Thời gian : 10 tiết
2.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
2.2 Phương pháp chia đôi
2.3 Phương pháp lặp
2.4 Phương pháp dây cung
2.5 Phương pháp tuyến tính (NewTon)
2.6 Phương pháp phối hợp
xiv
MỤC LỤC
3 Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính. . . . . . . . . . . . Thời gian : 5 giờ
3.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

3.2 Phương pháp Gauss
4 Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu . . . . . . . . . .Thời gian : 6 giờ
4.1 Đa thức nội suy
4.2 Tính giá trị của đa thức bằng sơ đồ Horner
4.3 Đa thức nôi suy Lagrange
4.4 Đa thức nội suy Newton
4.5 Phương pháp bình phương cực tiểu
xv
CHƯƠNG 1
QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC
1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3 Suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Tập hợp
1.1 Khái niệm về tập hợp
Tập hợp (hay còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học không được
định nghĩa. Để chỉ a là một phần tử của tập A, ta viết a ∈A (đọc là a thuộc A). Để
chỉ b là không phải một phần tử của tập A, ta viết b /∈A (đọc là b không thuộc A).
Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp, người ta viết các phần tử của nó trong
hai dấu móc { }, ví dụ A = {1,2,3,4,5,6}
Một tập hợp cũng có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của
nó.
Ví dụ 1.1.1 Cho tập hợp A viết dạng tính chất đặc trưng A = {n ∈ N,n ≤ 5},
dạng liệt kê của A là A = {0,1, 2,3, 4,5}.
Ngoài ra A còn có thể viết được dưới dạng khác A = {n −1;n ∈ N
*
,n ≤ 6}. Ta
thấy một tập hợp có thể được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau.
Ví dụ 1.1.2 Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng
các phần tử của nó

1
Chương 1. QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC
a) Tập D là 16 số nguyên dương đầu tiên.
b) Tập T là tập hợp các số nguyên chẵn.
Giải
a) D = {n ∈ Z,1 ≤ n ≤16}
b) T = {2k,k ∈Z}
Người ta thường minh họa các tập hợp bằng các hình phẳng giới hạn bằng những
đường khép kín như hình ô van, hình tròn, . . . gọi là biểu đồ Ven.
Hình 1.1: Biểu đồ Ven
Định nghĩa 1.1.3 Tập hợp rỗng , kí hiệu là /0, là tập không chứa phần tử nào.
Ví dụ 1.1.4 Tập A = {x ∈ R,x
2
+ x +1 = 0}, ta thấy phương trình x
2
+ x +1 = 0
không có nghiệm, do đó tập A không chứa phần tử nào, ta nói tập A là tập rỗng.
Định nghĩa 1.1.5 Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B
thì ta nói A là một tập con của tập B, và viết là A ⊂ B (đọc là A chứa trong B).
Nếu A không phải là tập con của B ta viết A ̸⊂ B.
Ví dụ 1.1.6 Cho các tập hợp A = {1, 2,3, 4,5, 6}, B = {1,3, 4}, C = {1,2,7}. Ta
thấy :
∙ A ⊂B
∙ C ̸⊂B.
Ta có các tính chất sau :
1. A ⊂A với mọi tập hợp A.
2. Nếu A ⊂ B và B ⊂C thì A ⊂C
3. /0 ⊂ A với mọi tập A.
Định nghĩa 1.1.7 Khi A ⊂B và B ⊂A thì ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết
là A = B.

2
1. Tập hợp
1.2 Các phép toán trên tập hợp
1.2.1 Giao của 2 tập hợp
Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩B, là tập hợp các phần tử vừa thuộc A
vừa thuộc B.
A ∩B = {x,x ∈ A và x ∈ B}
Hình 1.2: Giao hai tập hợp
Phần giao của A và B là tập hợp được xác định bằng phần gạch chéo trong Hình
1.2.
3
Chương 1. QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC
1.2.2 Hợp của 2 tập hợp
Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪B, là tập hợp các phần tử thuộc A hoặc
thuộc B.
A ∪B = {x,x ∈ A hoặc x ∈ B}
Hình 1.3: Hợp của 2 tập hợp
Phần hợp của A và B là tập hợp được xác định bằng phần gạch chéo trong Hình
1.3.
1.2.3 Hiệu của 2 tập hợp
Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∖B, là tập hợp các phần tử thuộc A mà
không thuộc B.
A ∪B = {x,x ∈ A và x /∈ B}
Khi B ⊂ A thì A ∖B được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu C
A
B.
Hình 1.4: Hiệu 2 tập hợp
4
2. Quan hệ hai ngôi
Phần hiệu của A và B là tập hợp được xác định bằng phần gạch chéo trong Hình

1.4.
Ví dụ 1.1.8 Cho các tập hợp sau A = {1,2,3,5,6}, B = {1, 7,2, a}, D = {1,2, 3}
khi đó
∙ A ∪B = {1,2,3,5,6,7,a}
∙ A ∩B = {1,2}
∙ A ∖B = {3,5,6}, B ∩A = {7,a}
∙ Do D ⊂ A nên A∖C = C
A
D = {5, 6} và C ∖A = /0.
1.2.4 Tích 2 tập hợp
Định nghĩa 1.1.9 Tích của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ×B, là tập hợp mà các
phần tử của nó là cặp số phân định thứ tự có dạng (x,y) với x ∈ A, y ∈ B.
Ví dụ 1.1.10 Cho các tập A = {a, b}, B = {1,2} khi đó :
∙ A ×B = {(a,1),(a,2),(b, 1), (b,2)}.
∙ B ×A = {(1,a),(1,b),(2, a), (2,b)}.
Nhìn chung tính chất giao hoán không còn đúng trong tích 2 tập hợp. Khi A ×A
ta kí hiệu là A
2
.
2 Quan hệ hai ngôi
2.1 Khái niệm về quan hệ hai ngôi
2.1.1 Quan hệ hai ngôi
Định nghĩa 1.2.1 Giả sử cho tập X khác rỗng và một tính chất S được thỏa mãn
với một số cặp phần tử a,b nào đó của X. Khi đó ta nói a có quan hệ S với b và
viết aSb, còn S gọi là một quan hệ hai ngôi trong X.
Ví dụ 1.2.2
1. Trong tập số thực R, quan hệ a = b hoặc quan hệ a > b là quan hệ 2 ngôi.
2. Trong tập hợp mọi đường thẳng trên mặt phẳng, quan hệ vuông góc, quan
hệ song song giữa 2 đường thẳng là các quan hệ 2 ngôi.
3. Trên tập N

*
các số nguyên đương, quan hệ ”a là ước số của b” cũng là quan
hệ 2 ngôi.
5
Chương 1. QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC
2.2 Các tính chất có thể có của quan hệ 2 ngôi trong 1 tập hợp
Quan hệ S trong tập X (tức S ⊂ X
2
) có thể có các tính chất sau :
1. Tính phản xạ : aSa,∀a ∈ S tức là (a,a) ∈ S,∀a ∈X.
2. Tính đối xứng : aSb ⇒ bSa tức là nếu (a,b) ∈ S ⇒ (b,a) ∈ S.
3. Tính phản đối xứng : (aSb và bS a) ⇒ a = b.
4. Tính bắc cầu : aSb và bSc ⇒ aSc.
2.3 Quan hệ tương đương và phân hoạch
Định nghĩa 1.2.3 (Quan hệ tương đương) Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ
phận của X ×X. Thế thì S gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu và chỉ
nếu các điều kiện sau được thỏa :
1. Phản xạ : ∀a ∈ X; aSa
2. Đối xứng : ∀a,b ∈ S; nếu aSb thì bSa
3. Bắc cầu : ∀a,b,c ∈S; nếu aSb và bSc thì aSc.
Nếu S là một quan hệ tương đương thì người ta kí hiệu S bằng ∼và đọc a ∼b
là “a tương đương b”.
Ví dụ 1.2.4 Dấu bằng “= ”thường dùng trong số số học các số thực là một ví dụ
về quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.2.5 (Phân hoạch) Gọi S là tập có n phần tử. Mỗi phân hoạch của
tập S được định nghĩa là tập k tập con S
1
,S
2
, ,S

k
khác rỗng của S đôi một rời
nhau và hợp của chúng là S tức là:
∙ S =
k
∪
i=1
S
i
∙ S
i
̸= /0, S
i
∩S
j
= /0, ∀i, j = 1,2, k và i ̸= j.
Ví dụ 1.2.6 Tập S{a,b,c} có tất cả 5 phân hoạch là :
1. {{a},{b},{c}}
2. {{a},{b,c}}
3. {{b},{a,c}}
4. {{c},{a,b}}
5. {{a,b,c}.
6
2. Quan hệ hai ngôi
2.3.1 Biểu diễn tập hợp trên máy tính
Có nhiều cách để biểu diễn tập hợp trên máy tính. nếu lưu trữ các phần tử của các
tập hợp theo cách không sấp thứ tự thì ít phải chuẩn bị. Tuy nhiên việc tính giao,
hợp hoặc hiệu của 2 tập hợp thì mất thời gian, vì mỗi phép tính đó đòi hỏi một
lượng tìm kiếm rất lớn đối với các phần tử. Dưới đây sẽ giới thiệu một phương
pháp lưu trữ các phần tử bằng cách dùng sự sắp tùy ý các phần tử của tập toàn

thể. Phương pháp biểu diễn tập hợp này sẽ làm cho việc tính những tổ hợp trở
nên dễ dàng hơn.
Giả sử tập toàn thể U được dùng là hữu hạn (và có kích thước hợp lí để số phần
tử củaU không lớn hơn dung lượng bộ nhớ của máy tính mà ta đang dùng). Trước
hết, hãy chỉ rõ sự sắp tùy ý các phẩn tử củaU, ví dụ a
1
,a
2
, a
n
sau đó biểu diễn
tập con A của U bằng một xâu bit có chiều dài n, trong đó bit thứ i ở xâu này là 1
nếu a
i
∈ A và là 0 nếu a
i
/∈ A. Ví dụ sau sẽ minh họa kỹ thuật này.
Ví dụ 1.2.7 Cho U = {0,1,2,3,4,5, 6,7, 8,9, 10} và sự sắp các phần tử trong U
theo thứ tự tăng dần, tức là a
i
= 1. Xác định xâu bit biểu diễn tập con sau
1. Các số nguyên lẻ trong U
2. Các số nguyên chẵn trong U
3. Các số nguyên không quá 5 trong U.
Giải
1. Xâu bit biểu diễn tập hợp các số nguyên lẻ trong U, cụ thể là tập
{1,3,5,7,9}, có bit 1 ở vị trí thứ nhất, thứ ba, thứ 5, thứ 7 và thứ 9, và bit 0
ở các vị trí còn lại. Đó là 10101 01010.
2. Tương tự ta biểu diễn tập con tất cả các số nguyên chẵn trong U, cụ thể là
tập {2, 4,6, 8,10} bằng xâu 01010 10101.

3. Tập con các số nguyên không vượt quá 5 trong U cụ thể là tập {1,2,3,4,5}
được biểu diễn bởi xâu 11111 00000.
Bằng cách dùng các xâu bit để biểu diễn các tập hợp, ta dễ dàng tìm được phần
bù các tập hợp, cũng như giao, hợp và hiệu của chúng. Để tìm xâu bit cho phần
bù một tập hợp ta chỉ việc thay 0 thành 1 và 1 thành 0, vì x ∈ A ⇔ x /∈ A. Chú ý
rằng phép toán này tương ứng với việc lấy phủ định của mỗi bit khi ta gắn một
bit với một giá trị chân lý : 1 ứng với đúng và 0 ứng với sai.
7
Chương 1. QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC
Ví dụ 1.2.8 Lấy lại kết quả Ví dụ 1.2.7 ta được xâu bit dối với tập hợp {1,3,5,7,9}
là 10101 01010. Để xác định phần bù của tập hợp này ta thay số 0 thành 1 và
thay 1 thành 0. Khi đó ta được xâu 01010 10101, xâu này tương úng với tập
{2,4,6,8,10}.
Để nhận được các xâu bit cho bài toán hợp và giao của 2 tập hợp, ta sẽ thực hiên
các phép toán Boole
1
trên các xâu bit. Phép toán Boole với xâu bit như sau
∙ Phép hợp: kết quả là 0 khi và chỉ khi 2 bit cùng vị trí là 0, các trường hợp
còn lại kết quả là 1.
∙ Phép giao: kết quả là 1 khi và chỉ khi 2 bit cùng vị trí là 1, các trường hợp
còn lại kết quả là 0.
Ví dụ 1.2.9 Lấy lại kết quả Ví dụ 1.2.7 ta tìm hợp, giao của xâu 11111 00000 và
10101 01010 (các xâu này ứng với các tập {1,2,3,4,5} và {1,3,5,7,9}).
Xâu bit đối với hợp của hai tập này là :
1111100000 ∨1010101010 = 1111101010
và xâu này ứng với tập {1,2, 3,4, 5,7, 9}
Xâu bit đối với giao của hai tập này là :
1111100000 ∧1010101010 = 1010100000
và xâu này ứng với tập {1,3, 5}
2.4 Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1.2.10 Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X ×X. Thế thì
S được gọi là một quan hệ thứ tự trong X (hay người ta còn gọi S là một quan hệ
thứ tự giữa các phần tử của X ) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa :
1. Phản xạ : ∀a ∈ X; aSa
2. Phản đối xứng : ∀a,b ∈ S; nếu aSb và bSa thì a = b
3. Bắc cầu : ∀a,b,c ∈S; nếu aSb và bSc thì aSc.
Người ta gọi một tập X là sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự.
Ví dụ 1.2.11 Quan hệ ≤ trong tập các số tự nhiên N là một quan hệ thứ tự. Với
a,b tùy ý ta luôn có a ≤ hoặc b ≤ ta gọi một quan hệ thứ tự như vậy gọi là toàn
phần.
1
George Boole (1815-1864) là nhà toán học người Anh, Ethel Boole - con gái ông là nhà văn nổi tiếng, được
biết đến với tác phẩm Ruồi trâu.
8
3. Suy luận toán học
3 Suy luận toán học
3.1 Quy nạp toán học
3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan tới số tự nhiên n ∈ N
*
là đúng với mọi
n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau :
Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả
thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Một cách đơn giản ta có thể hình dung như sau : mệnh đề đã đúng khi n = 1 nên
theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n = 1 + 1 = 2. Vì nó đúng với n = 2
nên lại theo kết quả bước 2, nó đúng với n = 2 +1 = 3, Bằng cách ấy ta có thể
khẳng định mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N
*

.
Ví dụ 1.3.1 Chứng minh rằng với n ∈N
*
thì 1+3+5+···(2n +1) = n
2
. (1)
Giải
Bước 1. Khi n = 1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1
2
. Vậy hệ
thức (1) đúng.
Bước 2. Đặt vế trái bằng S
n
.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là
S
k
= 1 + 3 + 5 + ···+ (2k −1) = k
3
(giả thiết quy nạp ).
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là
S
k+1
= 1 + 3 + 5 + ···+ (2k −1) + [(2(k + 1) −1)] = (k + 1)
2
.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
S
k+1
= S

k
+ [(2(k + 1) −1)] = (k + 1)
2
.
9
Chương 1. QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n ∈N
*
.
3.2 Định nghĩa bằng đệ quy
Đôi khi chúng ta rất khó định nghĩa một đối tượng một cách tường minh, nhưng
có thể dễ dàng định nghĩa đối tượng này qua chính nó. Kỹ thuật này gọi là đệ
quy
2
.
3.2.1 Khái niệm đệ quy
Đệ quy có nhiều cách hiểu nhưng ta có thể hiểu theo hai cách cơ bản sau :
1. Phương pháp dùng trong các chương trình máy tính trong đó có một hàm tự
gọi chính nó.
2. Một khái niệm X được định nghĩa theo đệ quy nếu trong định nghĩa X có sử
dụng chính khái niệm X.
Ví dụ 1.3.2
1. Đặt 2 chiếc gương cạnh nhau ta thấy trong chiếc gương này có hình ảnh của
chiếc gương kia và hình ảnh đó được lặp đi lặp lại.
2. Định nghĩa sau là định nghĩa đệ quy của tổ tiên :
∙ Bố mẹ của một người là tổ tiên của người ấy (trường hợp cơ bản)
∙ Bố mẹ của tổ tiên một người bất kỳ là tổ tiên của người ấy (bước đệ
quy)
Các định nghĩa kiểu như vậy cũng thường thấy trong toán học (chính là quy nạp
toán học)

3.2.2 Các hàm được định nghĩa bằng đệ quy
Để định nghĩa một hàm số xác định trên tập các số nguyên không âm,
chúng ta có thể cho :
1. Giá trị của hàm số tại n = 0.
2. Các công thức tính giá trị của hàm tại số nguyên n bằng các giá
trị hàm tại các số nguyên nhỏ hơn.
2
Tiếng Anh gọi là Recursion
10