nghiên cứu didactic việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7 trong môi trường tích hợp cabri ii plus

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hằng Nga

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC
DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Ở LỚP 7 TRONG MƠI TRƯỜNG
TÍCH HỢP CABRI II PLUS

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hằng Nga

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC
DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Ở LỚP 7 TRONG MƠI TRƯỜNG
TÍCH HỢP CABRI II PLUS

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:
 TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi về mặt
nghiên cứu khoa học cũng như mang lại niềm tin trong q trình thực hiện
luận văn này.
 PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS.
Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý thầy cô
trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy
những tri thức đồng thời truyền niềm hứng thú và niềm say mê đối với chun
ngành Didactic Tốn cho chúng tơi trong suốt quá trình học tập tại trường.
 PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot đã có những chỉ dẫn và định
hướng cho luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về
Didactic Tốn
Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Thủ Thiêm, Quận 2, Tp. Hồ
Chí Minh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời
gian học cao học tại trường ĐHSP, đặc biệt là giai đoạn thực hiện luận văn.
 Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 19 đã ln chia sẻ và giúp đỡ
cũng như động viên tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất gửi đến gia đình thân yêu của
tôi đã luôn động viên, hỗ trợ về mọi mặt để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Nguyễn Thị Hằng Nga


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................... 3
MỤC LỤC.......................................................................................................................... 4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..................................................... 5
1.
Ghi nhận ban đầu: ................................................................................................ 6
2.
Câu hỏi xuất phát: ................................................................................................ 7
3.
Phạm vi lý thuyết tham chiếu: ............................................................................. 7
3.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức .................................................. 8
3.2. Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức: .................................................. 8
3.3. Tổ chức toán học ................................................................................................. 8
3.4. Đồ án didactic ...................................................................................................... 9
3.5. Hợp đồng Didactic ............................................................................................... 9
4.
Câu hỏi nghiên cứu: ........................................................................................... 10
5.
Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu: .......................................... 10
6.
Tổ chức luận văn: .............................................................................................. 11
Chương 1:
PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH Ở CẤP ĐỘ TRI
THỨC BÁC HỌC ............................................................................................................ 12
1.1. Khái niệm dẫn nhập trong luận văn: .................................................................. 12
1.2. Tìm hiểu bước đầu về khái niệm suy luận trong tốn học: ................................ 12
1.3. Tìm hiểu về việc dạy học Định lý và Chứng minh: ........................................... 19
Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH
HỌC” ............................................................................................................................... 24
2.1. Tóm tắt một số kết quả của các luận văn khóa trước: ....................................... 24
2.2. Phân tích chương trình và phân tích quan hệ thể chế với đối tượng “dạy học định lý” liên

quan đến việc dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7: .................................................. 32
Chương 3:
THỰC NGHIỆM .................................................................................. 91
3.1. Mục đích thực nghiệm: ...................................................................................... 91
3.2. Đối tượng và thời gian thực nghiệm: ................................................................. 91
3.3. Chuẩn bị kiến thức cho thực nghiệm: ................................................................ 91
3.4. Nội dung thực nghiệm: ...................................................................................... 91
3.5. Phân tích tiên nghiệm: ....................................................................................... 92
3.5.1. Biến didactic: ................................................................................................. 92
3.5.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát: ........................................................... 93
3.6. Phân tích hậu nghiệm: ....................................................................................... 97
Kết luận: ....................................................................................................................... 99
PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 102


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK ............................................ Sách giáo khoa
SBT ............................................. Sách bài tập
SGV ............................................ Sách giáo viên
GV ............................................... Giáo viên
HS ............................................... Học sinh
CT ............................................... Chương trình
THCS .......................................... Trung học cơ sở
CL ............................................... Chiến lược


MỞ ĐẦU
1.

Ghi nhận ban đầu:

• Ở bậc tiểu học và lớp 6, học sinh chỉ tiếp cận với hình học mang tính trực quan
(gọi tắt là hình học trực quan):


Tập dùng các dụng cụ như thước kẻ, êke, thước đo độ, compa,…



Làm việc trên “hình vẽ”: dựa trên hình vẽ và các thao tác đo đạc, tính tốn,….

để phát hiện và kiểm chứng lại các tính chất của một hình cũng như nhận dạng
một hình hình học dạng tổng thể.
• Ở lớp 7, hình học mang tính suy diễn (gọi tắt là hình học suy diễn) bắt đầu được
đưa vào:


Phải thông qua suy luận và chứng minh mới đưa ra các nhận xét về tính chất

của hình


Tiếp cận “hình”: hình chỉ mang tính đại diện cho một lớp các hình, đồng thời

là phương tiện trực giác giúp tạo hướng đi trong q trình chứng minh hình học
Vậy đã có sự thay đổi cơ bản khi chuyển từ hình học bậc tiểu học và lớp 6 sang
hình học lớp 7. Liệu học sinh có nhận thấy nhu cầu và vai trị của hình học suy diễn
khơng?
• Nhận thức được khó khăn của học sinh, sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 7
(2001) đã xây dựng các hoạt động thể hiện sự quan tâm đến bước chuyển tiếp trên.
Cụ thể có khá nhiều hoạt động được sách giáo khoa đưa vào theo tiến trình: Đo đạc,

quan sát → Dự đốn → Chứng minh. Tuy nhiên pha dự đoán với vai trò kết nối
còn các hạn chế sau:


Thực hiện trên một hình



Sau khi thực nghiệm, dự đốn dễ dàng được đưa ra và được khẳng định.

Do đó, khơng tạo sự nghi ngờ ở học sinh, tức là không tạo được nhu cầu “hợp thức
hóa bằng suy luận”
• Thể chế mong đợi như vậy, nhưng trên thực tế, liệu giáo viên đang giảng dạy Tốn
lớp 7 có quan tâm đến vấn đề chuyển tiếp trên hay khơng? Có quan tâm đến việc
phải xây dựng một tình huống nối khớp như thế nào hay khơng?
• Trong thời đại cơng nghệ thơng tin bùng nổ và ngày càng phát triển, các phần mềm
hỗ trợ cho việc dạy và học Toán ngày càng phong phú, thân thiện và hiệu quả,
trong đó phải kể đến phần mềm hình học động Cabri II Plus với rất nhiều tiện ích:




Cabri II Plus tạo ra các hình vẽ, các hình một cách chính xác



Sự tương tác được với hình cho phép học sinh đưa ra các dự đốn và tìm

hướng chứng minh, cũng như mở rộng bài tốn gốc.
Với tính ưu việt về sự tương tác, phần mềm Cabri II Plus được dùng ra sao để hạn

chế phần nào các khó khăn của học sinh khi bắt đầu làm quen hình học suy diễn?

2.

Câu hỏi xuất phát:
Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời các câu hỏi

sau:
Q’1: Sự chuyển tiếp từ hình học trực quan đến hình học suy diễn được trình bày như thế
nào trong chương trình Tốn hình học lớp 7 hiện hành (SGK, SBT, SGV (2001))? Cách
trình bày này tác động như thế nào đến học sinh khi bắt đầu làm quen với hình học suy
diễn?
Q’2: Những hoạt động nối khớp “thực nghiệm và lý thuyết” trong Hình học lớp 7 (2001) có
tạo được hiệu quả thực sự trong việc chuyển tiếp khơng?
Q’3: Tính tương tác của phần mềm Cabri II Plus có lợi ích gì? Đặc tính đó có tác động như
thế nào trong việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7?
Q’4: So với mơi trường truyền thống, việc dẫn dắt học sinh vào bài toán suy luận sẽ có
những thay đổi như thế nào khi có sự kết hợp với mơi trường Cabri II Plus?
Q’5: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học”, đảm bảo được sự nối khớp
giữa hình học trực quan và hình học suy diễn địi hỏi những u cầu nào? Với sự hỗ trợ của
Cabri II Plus, có thể xây dựng được tình huống nào như vậy khơng?
3.

Phạm vi lý thuyết tham chiếu:
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán, cụ thể:
• Lý thuyết nhân chủng học
• Đồ án didactic
• Hợp đồng didactic

Chúng tôi chọn Lý thuyết nhân chủng học làm cơ sở để tiến hành nghiên cứu mối quan hệ

thể chế, mối quan hệ cá nhân với đối tượng được chọn. Đồng thời tìm hiểu các tổ chức tốn
học nào có thể được khai thác thêm bằng phần mềm Cabri II Plus.


Chúng tôi quan tâm đến:
Đối tượng: liên quan đến sự chuyển tiếp “hình học trực quan – hình học suy diễn”
Thể chế: dạy học Tốn hình học lớp 7 hiện hành
Đồ án didactic cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic, nhằm mục đích trả lời
câu hỏi Q’5 và giúp học sinh tiếp cận đối tượng mới trong mơi trường có sự hỗ trợ của
Cabri II Plus.
Chúng tơi trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa
chọn phạm vi lý thuyết của mình.
3.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức
Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân
của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác
động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào,
thao tác O ra sao.
Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tơi là “dẫn nhập chứng minh hình học”
3.2. Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức:
Một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà ln phải ở trong ít nhất trong một
thể chế. Vì vậy, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào
đó mà có sự tồn tại của X.
Kí hiệu R(I,O) để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.
Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của
R(I,O). Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là: Thể chế dạy học theo chương trình hiện
hành (áp dụng trong năm học 2011-2012).
Để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O) ta phải nghiên cứu các tổ chức toán học gắn
liền với O. Hơn nữa, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O cịn cho phép ta
hình dung một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O, tức là quan hệ
các nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I.

Vậy thế nào là “tổ chức toán học”?
3.3. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây
dựng mơ hình cho phép mơ tả và nghiên cứu thực tế đó. Chevallard (1998) đã đưa ra khái
niệm praxeologie. Mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T ,τ ,θ , Θ] , trong đó T là


một kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T , θ là cơng nghệ giải thích cho kỹ
thuật τ , Θ là lý thuyết giải thích cho θ , Θ cịn gọi là cơng nghệ của công nghệ θ .
3.4. Đồ án didactic
Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy
học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức cơng việc didactic tựa như cơng
việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc
trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học.
Đồ án didactic cho phép thực hiện:
-

Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên nghiên cứu didactic trước đó

-

Một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên
cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy.

3.5. Hợp đồng Didactic
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mơ hình hóa các
quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó.
Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và
hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng
dạy.

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học
sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách
rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo A.Bessot và C.Comiti (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp động
didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
-

Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những
thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng.

-

Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:
o Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học
o Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức
o Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong các sách
giáo khoa.

Đặc biệt, ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức
bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, bởi vì việc


sử dụng đó khơng chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức,
bởi vì việc sử dụng đó khơng chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa
của tri thức mà cịn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định
được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy.
Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết để chuẩn bị cho tương
lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực
tế của nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi.
4.

Câu hỏi nghiên cứu:

Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tơi trình bày lại các câu hỏi xuất phát
thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau:
Q1: Quan hệ thể chế với đối tượng liên quan đến sự chuyển tiếp từ hình học trực quan đến
hình học suy diễn có đặc điểm gì? Các tổ chức Tốn học nào được trình bày trong chương
trình lớp 7 hiện hành?
Q2: Hình trong hình học suy diễn có những thay đổi nào? Chức năng của Cabri II Plus đối
với việc dạy học dẫn nhập chứng minh hình học là gì? Những kiểu nhiệm vụ nào sẽ được
khai thác thêm trong mơi trường Cabri II Plus, khi đó sẽ thêm những kỹ thuật và cơng nghệ
mới nào?
Q3: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học” cần đạt những u cầu gì?
Có thể xây dựng được tình huống như vậy trong mơi trường tích hợp Cabri hay khơng?

5.

Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu:
• Phân tích chương trình, phân tích SGK, SBT, SGV Tốn lớp 7 (2001): phân tích
quan hệ thể chế, tìm các tổ chức Tốn học liên quan đến hình học trực quan–hình
học suy diễn và sự chuyển tiếp. Từ đó hình thành các giả thuyết và hợp đồng (nếu
có).
• Tìm hiểu Cabri II Plus: cách thao tác thực hiện, đặc điểm nổi bật của Cabri, tìm và
phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể khai thác khi dùng kết hợp Cabri. Từ đó thiết kế
một tình huống dẫn nhập chứng minh hình học.
• Thực nghiệm:


Thực nghiệm 1: kiểm chứng giả thuyết và các hợp đồng được đưa ra




Thực nghiệm 2: dùng chức năng tương tác của Cabri để điều chỉnh mối quan

hệ cá nhân của học sinh và một tính chất

6.

Tổ chức luận văn:
Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương:
Phần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu, các câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết
tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và
cấu trúc của luận văn.
Chương 1 nhằm tìm hiểu các khái niệm, các con đường suy luận, chứng minh; đồng
thời tìm hiểu về hình hình vẽ và hình hình học. Từ đó, để nhận thấy chương trình dạy
học lớp 7 tiếp cận chứng minh như thế nào.
Chương 2 nhằm trả lời cho Q1, Q2. Qua đó, chúng tơi xây dựng các quy tắc hợp
đồng và giả thuyết nghiên cứu
Chương 3 nhằm trả lời cho Q3


Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH Ở CẤP
ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC
1.1. Khái niệm dẫn nhập trong luận văn:
1.1.1. Dẫn nhập chứng minh hình học là gì?
Theo chúng tơi, đó là hoạt động có vai trị hình thành cho học sinh các kỹ

năng: tự khám phá, tự dự đốn, tự tìm hướng chứng minh và tự đánh giá kết quả.
1.1.2. Nếu kết hợp Cabri thì vai trị dẫn nhập thể hiện như thế nào?
• Củng cố niềm tin cho học sinh ở những tính chất được SGK thừa nhận (đo
đạc  dự đốn  khơng chứng minh, có những tính chất được đưa vào
khơng trải qua một pha nào)
 Có thể dùng Cabri xây dựng tình huống dạy học đủ các pha (tạo cơ hội rèn
luyện các kỹ năng trên).
• Tạo tình huống mà pha dự đoán gây nghi ngờ (tức là cho nhiều kết quả) để
hs thấy được vai trị của suy luận (hai hình vẽ trên giấy của cùng một học
sinh cho hai kết quả khác nhau, hoặc hình vẽ của hai học sinh cho hai kết
quả khác nhau  dùng Cabri để cho hs thao tác nhiều lần vẫn cho một kết
quả  tạo nghi ngờ về hình vẽ của hs: đo đạc là chưa chính xác nên phải tìm
cách lập luận và tạo hướng để chứng minh: một kết quả lặp đi lặp lại khi
hình vẽ được thay đổi, đó chính là kết quả cần chứng minh).
• Tạo ra các gợi ý trong chứng minh (hình phẳng đảm bảo đầy đủ tính chất nếu
hình vẽ chính xác, quan sát hình cảm nhận được một kết quả nào đó cần cho
kết quả sau cùng, cứ như vậy theo một tiến trình quy nạp sẽ tìm được cách
chứng minh, ở lớp 7 các bước lập luận thường ngắn).
1.2. Tìm hiểu bước đầu về khái niệm suy luận trong toán học:
Dựa theo nghiên cứu của tác giả trong [22], chúng tơi tóm tắt được các kết quả sau:
1.2.1. Suy luận:
1.2.1.1. Định nghĩa:
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có
Sơ đồ:
Mệnh đề cũ
(Tiền đề)

Suy luận

Mệnh đề mới

(Kết luận)


Ví dụ:
Tiền đề:
Nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
Trong mỗi tam giác đều, mỗi góc bằng 600
ABC là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
Kết luận:
ABC có A= B= 
C= 600
1.2.1.2. Quy tắc suy luận:
a) Suy luận không hợp logic:
Suy luận không hợp logic là suy luận theo một quy tắc nào đó nhưng ta có
thể chỉ ra được trường hợp các tiền đề đều đúng mà kết luận lại sai
Ví dụ:
Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau
Tiền đề 2: Hai góc đã cho là bằng nhau
Kết luận: Hai góc đó đối đỉnh
Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh”
Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau”
Khi đó, suy luận theo cấu trúc:

Suy luận này theo quy tắc

Tiền đề 1: P ⇒ Q
Tiền đề 2:

Q

Kết luận:

P

P ⇒ Q, Q
P

Xét P sai, Q đúng thì P ⇒ Q đúng, ta có hai tiền đề P ⇒ Q và Q đúng nhưng
kết luận P sai. Do đó đây là suy luận khơng hợp logic
b) Suy luận hợp logic:
Suy luận hợp logic là suy luận theo một quy tắc nào đó, nếu các tiền đề đều
đúng thì kết luận cũng phải đúng. Khi đó kết luận được gọi là kết luận logic của
các tiền đề
Ví dụ:
Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau
Tiền đề 2: Hai góc đã cho là đối đỉnh
Kết luận: Hai góc đó bằng nhau


Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh”
Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau”
Khi đó, suy luận theo cấu trúc:

Suy luận này theo quy tắc

Tiền đề 1: P ⇒ Q
Tiền đề 2:

P

Kết luận:

Q

P ⇒ Q, P
Q

Ta có P ⇒ Q đúng mà P đúng nên Q đúng. Vậy kết luận đúng. Do đó đây là
suy luận hợp logic.
Khi đó, ta nói Q là kết luận logic của tiền đề P ⇒ Q và P
1.2.1.3. Suy luận diễn dịch (suy diễn):
a) Định nghĩa:
Suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổng quát, xác định rằng
nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng
Suy luận diễn dịch là suy luận hợp logic
Ví dụ:
Tiền đề:
Mọi tam giác cân đều có hai góc ở đáy bằng nhau

F ( x)

Dạng ∀x ,

với x là tam giác cân

MNP là tam giác cân tại M
Kết luận:
MNP có 
N = P

dạng F ( ∆MNP )

Suy luận này là suy luận diễn dịch với quy tắc tổng quát là:
Tiền đề: ∀x, F ( x )
Kết luận: F ( a ) với a là một giá trị xác định của x
b) Quan hệ đúng sai giữa tiền đề và kết luận logic:
Ví dụ:
Xét quy tắc:

P ⇒ Q, P
Q

Khi đó ta có mệnh đề: ( P ⇒ Q ) ∧ P ⇒ Q luôn đúng


Thật vậy,
Nếu P ⇒ Q đúng và P đúng thì

( P ⇒ Q ) ∧ P đúng

nên Q đúng
Nếu P ⇒ Q sai hoặc P sai thì

nên ( P ⇒ Q ) ∧ P ⇒ Q đúng

( P ⇒ Q ) ∧ P sai nên ( P ⇒ Q ) ∧ P

⇒ Q đúng

Giả sử C là kết luận logic của các mệnh đề A và B, tức là mệnh đề

A ∧ B ⇒ C ln đúng. Ta có:

+ C sai thì A sai hoặc B sai
+ A sai hoặc B sai thì khơng xác định được chân trị của C
c) Một số quy tắc suy luận quan trọng:
•

Quy tắc kết luận:

P ⇒ Q, P
Q
Đây là quy tắc suy luận rất phổ biến. Thường người ta lược bớt một số tiền
đề trong suy luận.
Ví dụ:
P ⇒ Q : nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai góc ở đáy bằng

nhau
P : tam giác ABC là tam giác cân tại A

Q: tam giác ABC có B = 
C
•

Quy tắc kết luận ngược:

P ⇒ Q, Q
P
Ví dụ:
P ⇒ Q : nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba góc đều bằng 600

Q : tam giác ABC có góc A ≠ 600

P : tam giác ABC khơng là tam giác đều
•

Quy tắc bắc cầu:

P ⇒ Q, Q ⇒ R
P⇒R

P ⇒ Q : nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều


Q ⇒ R : nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó cân và có 1 góc 600
P ⇒ R : nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó cân và có 1 góc 600

•

Phép quy nạp hồn tồn:

Sơ đồ:
Cho M là tập hợp gồm hữu hạn các phần tử a 1 , a 2 ,… , a n
Tiền đề:
a 1 có tính chất P

P(a 1 )

a 2 có tính chất P

P(a 2 )

….

….

a n có tính chất P

P(a n )

Kết luận: Tất cả phần tử của M đều có tính chất P

∀a ∈ M , P ( a )

Đặc trưng:
Đây là quy tắc suy luận hợp logic. Quy tắc này dùng để rút ra kết luận
dựa trên tất cả các trường hợp (hữu hạn)
•

Phép quy nạp tốn học:

Xét hàm mệnh đề P(n) với n là số tự nhiên khác 0.
Để rút ra kết luận P(n) đúng với mọi n thì khơng thể dùng phép quy nạp
hoàn toàn ở trên (do tập số tự nhiên là tập vô hạn phần tử). Trong trường hợp này,
phép quy nạp toán học thường được dùng đến.
Sơ đồ:
Tiền đề 1: P(n) đúng với n=1
Tiền đề 2: Nếu P(n) đúng với n=k thì P(n) đúng với n=k+1
Kết luận: P(n) đúng với mọi n
Đặc trưng:
Đây là quy tắc suy luận hợp logic.

d) Các quy tắc suy luận có các tiền đề dạng S_P:
Tiền đề

Ký hiệu về tập hợp

Mọi S đều là P

S⊂P

Một số S là P

S∩P ≠∅

Mọi S đều không là P

S∩P =
∅

Một số S không là P

S∪P ≠ P


1.2.1.4. Suy luận nghe có lý:
a) Định nghĩa:
Suy luận nghe có lý là suy luận khơng theo một quy tắc tổng quát nào. Các
tiền đề dù đúng thì kết luận được rút ra cũng không chắc đúng. Kết luận của suy
luận nghe có lý chỉ mang tính dự đốn, giả thiết.
b) Phép quy nạp khơng hồn tồn:
Sơ đồ:

Cho A là tập hợp gồm hữu hạn các phần tử a 1 , a 2 , …., a n , là tập con thực
sự của tập B
Tiền đề:
a 1 có tính chất P

P(a 1 )

a 2 có tính chất P

P(a 2 )

….

….

a n có tính chất P

P(a n )

Kết luận: Tất cả phần tử của B đều có tính chất P

∀a ∈ B, P ( a )

Đặc trưng:
Các tiền đề xác định trên tập A, trong khi lại rút ra kết luận cho các phần
tử của tập B.
Do đó:
• Kết luận có thể đúng, có thể sai. Khi tập B vơ hạn thì tính đúng của kết
luận càng cao nếu tập A gồm càng nhiều phần tử.
• Có thể rút ra nhiều kết luận khác nhau phụ thuộc vào việc xem A là tập

con của tập B nào.
c) Phép tương tự:
Tương tự nghĩa là giống nhau.
Hai đối tượng gọi là tương tự nếu có nhiều tính chất giống nhau (đường trịn
và mặt cầu); có vai trị giống nhau (đường thẳng và mặt phẳng); ….
Sơ đồ:
Tiền đề 1: a có tính chất P
Tiền đề 2: b tương tự a
Kết luận: b có tính chất P hoặc b có tính chất tương tự tính chất P
Đặc trưng:


Tùy theo phương diện tương tự mà người ta quan tâm, sẽ có nhiều kết
luận khác nhau được rút ra. Các kết luận của phép tương tự chỉ mang tính
phỏng đốn.
Với phân tích trên, chúng tơi đặt ra câu hỏi: Những kiểu suy luận nào được chương trình
lựa chọn giảng dạy cho học sinh lớp 7?
1.2.2. Chứng minh:
1.2.2.1. Chứng minh:
• Giả sử C là kết luận logic của tiền đề A, B; tức là nếu A và B đúng thì C cũng
phải đúng. Khi đó ta nói C đã được chứng minh.
• Chứng minh mệnh đề C phải nêu rõ:
+ C là kết luận logic của các tiển đề
+ Các tiền đề trên phải đúng
Thông thường để chứng minh mệnh đề C ta xuất phát từ 1 mệnh đề đã được
thừa nhận hoặc chứng minh tính đúng đắn (định nghĩa, tiên đề, định lý đã biết, ….),
dùng một dãy các suy luận để chứng minh các mệnh đề trung gian, sau đó mới chứng
minh mệnh đề C.
Khi đó, phép chứng minh một mệnh đề là một dãy các mệnh đề (định nghĩa,
tiên đề, định lý đã biết, giả thiết, kết luận logic của một số mệnh đề đứng trước mệnh

đề đó….)
• Sơ đồ chứng minh C:
A ∧ B ⇒ C 1 ⇒ …. ⇒ C

(A và B là các mệnh đề đúng hoặc giả thiết)

A ∧ B đúng nên C đúng

Ví dụ:
Điểm M nằm trên tia phân giác của góc xOy thì cách đều hai cạnh của góc đó
Tiền đề:
a) Tia phân giác của một góc chia góc thành hai góc có sđ bằng nhau.
b) OM là tia phân giác góc AOB
c) 
AOM = 
BOM
d) Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này bằng với cạnh huyền và
góc nhọn của tam giác vng kia thì hai tam giác đó bằng nhau
e) Hai tam giác AOM và BOM vuông, cạnh huyền OM chung


f) Nên ∆ AOM = ∆ BOM
g) Hai tam giác bằng nhau có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau
h) MA = MB (kết luận)

a ) ∧ b) ⇒ c )

c ) ∧ d ) ∧ e) ⇒ f )
f ) ∧ g ) ⇒ h)
1.2.2.2. Bác bỏ:

• Bác bỏ mệnh đề là xác đỉnh rằng mệnh đề đó sai
• Bác bỏ mệnh đề P bằng cách: xuất phát từ việc lấy mệnh đề P và các mệnh đề
đã được thừa nhận hoặc chứng minh đúng làm tiền đề, theo các quy trắc suy
luận, rút ra kết luận logic Q; Q sai thì P sai
• Sơ đồ bác bỏ P:

P ∧ R ⇒ Q1 ⇒ .... ⇒ Q
(P là mệnh đề cần bác bỏ, R là mệnh đề đúng hoặc giả thiết)
Q sai nên P ∧ R sai, mà R đúng. Do đó, P sai.
Đặc biệt nếu mệnh đề cần bác bỏ có dạng ∀x, F ( x ) thì ta chỉ cần đưa ra một giá trị
a của x sao cho P(a) sai (đưa ra phản ví dụ)
1.2.2.3. Chứng minh phản chứng:
• Chứng minh mệnh đề Q bằng phản chứng là tìm cách bác bỏ Q
Đặc biệt, nếu xuất phát từ Q rút ra kết luận logic sai mà kết luận sai này là phủ định của giả
thiết (sai là do trái với giả thiết) thì trong trường hợp này phép chứng minh bằng phản
chứng gọi là phép chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.
Một câu hỏi nữa nảy sinh trong nghiên cứu là: Chứng minh là yêu cầu quan trọng và cần
thiết của hình học suy diễn. Vậy những hình thức chứng minh nào (hoặc những hình thức
nhen nhóm của chứng minh nào) xuất hiện trong chương trình lớp 7? Việc bác bỏ một mệnh
đề sai hay nói cách khác là tìm cách phủ định một mệnh đề có được thể chế quan tâm hay
khơng?
1.3. Tìm hiểu về việc dạy học Định lý và Chứng minh:
Tìm hiểu [23], chúng tơi cũng có được một số ghi nhận sau:
1.3.1. Mục đích của việc dạy học định lý:


• Nhận thức được tầm quan trọng và sự cần thiết của suy luận, chứng minh trong Tốn
học
• Hình thành và phát triển kỹ năng chứng minh
• Xây dựng kỹ năng tìm hiểu mối liên hệ giữa các định lý và vận dụng vào việc chứng

minh
Nhìn chung việc dạy học định lý ở trường trung học phải đảm bảo các yêu cầu trên, tuy
nhiên mức độ yêu cầu có sự thay đổi phù hợp với trình độ phát triển của học sinh theo từng
lứa tuổi. Trong giai đoạn đầu THCS, khi mà khái niệm định lý và chứng minh định lý bắt
đầu được đưa vào thì mục đích 1 được chương trình đặc biệt quan tâm, với mong muốn tách
rời học sinh khỏi quan điểm chỉ dựa vào thực nghiệm để kết luận. Sau giai đoạn chuyển tiếp
giữa hình học trực quan và hình học suy diễn thì mục đích 2 và 3 được đặt ra với mức độ
cao hơn cùng các bài tốn phức tạp hơn.
1.3.2. Tiến trình dạy học định lý:
1.3.2.1. Tiến trình Thực nghiệm – Suy luận:
•

Tiến trình này dựa trên quan điểm rằng hoạt động thực nghiệm và hoạt động suy
luận ln có mối quan hệ biện chứng với nhau.

•

Tiến trình này gồm các bước:
B1: Nghiên cứu thực nghiệm
B2: Phỏng đoán
B3: Khẳng định hoặc bác bỏ phỏng đoán (chứng minh)
B4: Phát biểu thành định lý nếu phỏng đoán là đúng
B5: Củng cố và vận dụng định lý

Tiến trình này thể hiện một quá trình hình thành và phát triển của một định lý, trong đó
bước 3 đóng vai trị là cầu nối từ hoạt động thực nghiệm ở bước 1, 2 sang hoạt động suy
luận ở bước 4, 5. Do đó, với rất nhiều ưu điểm, tiến trình cịn tạo được ở học sinh rất nhiều
kỹ năng cần thiết cho việc nghiên cứu khoa học.
Yếu tố dẫn nhập được khai thác rất hiệu quả nếu việc dạy học định lý được thực hiện
theo tiến trình này, học sinh tiến hành quan sát, thực nghiệm; tự khám phá và đưa ra các dự

đốn; tự mị mẫm tính đúng sai của dự đốn; tự tìm tịi phương hướng chứng minh; thể chế
hóa, khái quát hóa định lý.


Giai đoạn chuyển tiếp rất quan tâm đến việc tạo động cơ chứng minh, tức là việc trả lời
câu hỏi: tại sao phải chứng minh, tại sao phải từ bỏ việc khẳng định tính chất của hình thơng
qua quan sát thực nghiệm. Một hướng tạo động cơ được nghĩ đến là dùng hình vẽ tạo ra các
hạn chế của việc quan sát, tuy nhiên hướng này khó và hiệu quả khơng cao. Một hướng
khác có hiệu quả hơn và khả thi hơn là thực hiện dạy học theo tiến trình Thực nghiệm – Suy
luận, khai thác tính độc lập, tìm tịi, sáng tạo của học sinh.
1.3.2.2. Tiến trình Bài tốn – Định lý:
B1: Giải bài toán
B2: Phát biểu định lý (thể chế hóa)
B3: Củng cố và vận dụng định lý
Khơng có khâu dự đốn trong tiến trình này, điều này khơng tạo tính lưỡng lự ở học
sinh, nhu cầu chứng minh chưa rõ ràng. Tuy nhiên, tiến trình này vẫn có thể đáp ứng được
một phần của yêu cầu về dẫn nhập khi học sinh thể chế hóa bài tốn thành định lý.
1.3.2.3. Tiến trình Suy diễn:
B1: Phát biểu định lý
B2: Chứng minh
B3: Củng cố và vận dụng định lý
Định lý được đưa ra là một kết quả đã được khẳng định, cơng việc của học sinh là tìm
cách chứng minh kết quả đó. Định lý và việc chứng minh định lý mang tính áp đặt, khơng
tạo nhu cầu chứng minh, khơng mang tính dẫn nhập. Tuy nhiên tiến trình này được dùng
khá nhiều nhằm rèn luyện kỹ năng chứng minh.
Câu hỏi mà chúng tôi quan tâm: Khi mới cho học sinh lớp 7 làm quen với hình học suy diễn
thì tiến trình dạy học định lý nào được sử dụng trong SGK lớp 7 hiện hành? Tiến trình đó
bao gồm các hoạt động nào? Việc xây dựng tiến trình đó có tác động tích cực đến việc tiếp
thu kiến thức của học sinh khơng?
1.3.3. Dạy học chứng minh:

• Ở cấp độ khoa học Toán học:
Chứng minh là một phép suy luận để thiết lập sự đúng hay sai của một khẳng định
(phán đốn, mệnh đề, định lý)
• Ở cấp độ giảng dạy ở trung học:
Chứng minh là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra kết luận


Do cách định nghĩa khái niệm định lý ở hai cấp độ này có chút khác nhau nên khái niệm
chứng minh định lý cũng có sự khác nhau đó. Tuy nhiên khái niệm chứng minh dù ở cấp độ
nào cũng mang những đặc trưng cơ bản sau:
•

Chứng minh là dãy các mệnh đề nối với nhau theo vai trò của từng mệnh đề

•

Mỗi mệnh đề được tạo ra bằng việc thay thế mệnh đề cũ bằng mệnh đề mới với
“quy tắc thay thế là một mệnh đề chuẩn”

Các điều kiện vào

(giả thiết, các mệnh đề
đúng đã biết)

Quy tắc thay thế
(định nghĩa, tiên
đề, định lý)

Mệnh đề mới 1

Quy tắc thay thế
(định nghĩa, tiên
đề, định lý)

Mệnh đề cần
chứng minh

….
Các điều kiện vào
(giả thiết, các mệnh đề
đúng đã biết, các mệnh
đề mới của bước trước)

Bên cạnh quy tắc thay thế là các quy tắc suy diễn logic, tham gia với vai trò là một thành
phần của chứng minh.
1.3.4. Phân loại chứng minh:
1.3.4.1. Chứng minh trực tiếp:
Xuất phát từ các điều kiện vào suy ra mệnh đề cần chứng minh thông qua các quy tắc
thay thế và quy tắc suy diễn
1.3.4.2. Chứng minh gián tiếp:
•

Chứng minh phản chứng

•

Chứng minh loại dần

•

Chứng minh quy nạp

1.3.5. Phương pháp tìm tịi chứng minh:
Chứng minh là hoạt động phức tạp. Khó khăn của học sinh thường là khơng biết bắt đầu
từ đâu, không biết phải dùng những điều kiện vào nào để bắt đầu, do đó việc tìm mệnh đề
xuất phát cho chứng minh giữ vai trò quan trọng.


Có hai phương pháp cơ bản, đặc thù của hoạt động tìm tịi chứng minh:
•

Phương pháp phân tích đi lên:
Cần chứng minh T, ta cần chứng minh T1
Muốn có T1, ta cần chứng minh T2
….
Muốn có Tn-1, ta cần chứng minh Tn
Từ đó trình bày lại bài chứng minh: Tn ⇒ Tn-1 .... ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T

•

Phương pháp phân tích đi xuống:
Xuất phát từ điều cần chứng minh T ⇒ T1 ⇒ T2 ⇒ .... ⇒ Tn-1 ⇒ Tn
Nếu Tn sai thì kết luận T sai (dùng để bác bỏ dự đốn)
Nếu Tn đúng thì chưa kết luận được, ta tiến hành kiểm tra tính đúng sai của dãy
Tn ⇒ Tn-1 .... ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T (dùng để tìm mệnh đề xuất phát)

Bên cạnh đó cịn có một số kỹ thuật khác cho phép tìm hướng bắt đầu cho hoạt động
chứng minh:
•

Nhận biết
Tập nhìn một đối tượng dưới nhiều dáng vẻ khác nhau. Bắt đầu bằng việc huy động
các kiến thức (nhận biết các yếu tố quen thuộc, mối liên hệ giữa các yếu tố có trong
đề tốn), sau đó tổ chức kiến thức lại (sắp xếp các kiến thức lại theo hướng có lợi
cho chứng minh)

•

Quy lạ về quen
Quy yêu cầu chứng minh về các u cầu tương tự

•

Thực hiện các phép thử, dự đốn, tìm lời giải trên một vài trường hợp cụ thể


Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP CHỨNG
MINH HÌNH HỌC”

2.1. Tóm tắt một số kết quả của các luận văn khóa trước:
2.1.1. Hình học ở bậc tiểu học – Hình học ghi nhận:
• Hình học ở tiểu học là hình học ghi nhận, khơng được xây dựng chặt chẽ và hệ
thống. Các tính chất, các quy tắc được đưa vào hầu hết là dựa trên quan sát, đo đạc,
tính tốn trên một hình vẽ cụ thể, cắt ghép một hình tổng quát vể một hình quen thuộc,
rồi sau đó khái qt thành tính chất chung của hình. Theo Nicolas Balacheff, các tính
chất trên được kiểm chứng theo “Thí nghiệm quyết đốn” và “Thí dụ đại diện và thực
nghiệm thầm trong óc” [16, trang 18]
• Tình huống suy luận bắt đầu xuất hiện ở lớp 5 bằng việc xây dựng quy tắc tính diện
tích xung quanh và thể tích của hình lập phương. Quy tắc này được rút ra qua một
bước suy luận đơn giản khi xem hình lập phương là một hình hộp chữ nhật đặc biệt

(trước đó học sinh đã biết quy tắc tính tương ứng của hình hộp chữ nhật)
2.1.2. Hình học ở bậc THCS – Hình học suy diễn:
2.1.2.1. Hình học suy diễn chỉ thực sự xuất hiện ở bậc THCS:
• Theo [16], tính chất được tiếp cận theo 3 giai đoạn:
 Giai đoạn 1: Tính chất gắn liền với quan sát thực nghiệm
+

Tất cả các tính chất ở lớp 6 đều được tiếp cận theo cách này [16, trang
47].

+

Hình học 6 được trình bày theo kiểu tiếp cận quy nạp, từ quan sát, thử
nghiệm, đo, vẽ, nêu nhận xét rồi đi dần đến kiến thức mới [7, trang 130]

+

Đây cũng là cách tiếp cận tính chất hình học ở bậc tiểu học. Sự tiếp cận
này mang tính kế thừa.

+

Các kết quả được phát biểu dưới thuật ngữ “Nhận xét”

 Giai đoạn 2: Tính chất gắn liền với suy luận
+

Cách tiếp cận này xuất hiện bắt đầu từ lớp 7 trở về sau. Theo đó, tính chất
phải gắn với suy luận, các kết quả thực nghiệm, quan sát chỉ mang tính
phỏng đốn. Để khẳng định tính chất, học sinh phải suy luận [16, trang

48]. Suy luận để có khẳng định đúng và tổng quát…. Suy luận nhằm mục
đích chứng minh [11, trang 84]
+

Thuật ngữ “Tính chất” xuất hiện

 Giai đoạn 3: Tính chất gắn liền với chứng minh
+

Từ bài “Định lý” trở về sau, tất cả các tính chất đều được chứng minh dù
bằng các hình thức khác nhau (SGK phơ bày chứng minh, SGK gợi ý cho
học sinh chứng minh, học sinh tự chứng minh, “chúng ta thừa nhận tính
chất sau”, “người ta đã chứng minh được”, …. ) [16, trang 49]

+

Sử dụng thuật ngữ “Định lý” và “Hệ quả”

Theo Nicolas Balacheff, ở giai đoạn 2 và 3, kiểu “Tính tốn trên các thơng báo”
được dùng để kiểm chứng các tính chất
Như vậy, bậc THCS là giai đoạn HHSD bắt đầu xuất hiện chính thức và được
xây dựng một cách chặt chẽ, hệ thống.
• Tài liệu [16] cịn nêu ra hai quy trình hợp thức một tính chất hình học ở lớp 7:
 Quy trình suy diễn (Phát biểu định lý – Chứng minh)
 Quy trình thực nghiệm–lý thuyết (Quan sát thực nghiệm – Dự đốn – Phát
biểu tính chất – Chứng minh)
2.1.2.2. Quan hệ thể chế với đối tượng “Suy luận và chứng minh”:
• Quan điểm tiên đề, cơ sở cho việc xây dựng Hình học đã bị loại bỏ. Mục tiêu

chủ yếu của dạy học Tốn Hình học ở trường THCS vẫn là rèn luyện khả
năng suy luận và chứng minh, tuy nhiên vị trí của suy luận và chứng minh bị
thu hẹp ở lớp 6, 7 và mở rộng dần ra từ lớp 7 đến lớp 9.
• Quan điểm thực nghiệm-suy luận bắt đầu được đưa vào chính thức, đặc biệt là
việc xuất hiện pha dự đốn đóng vai trò quan trọng trong việc nối khớp giữa
thực hành và lý thuyết. Việc vận dụng quan điểm thực nghiệm còn chưa triệt
để.
• Chương trình có quan tâm xây dựng các hoạt động tiếp cận Suy luận và
chứng minh:
 Hoạt động thực nghiệm:
∗ Gồm các pha đo đạc, gấp hình, quan sát và dự đoán.