Phương trình bậc 2 định lý VIET

Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
1



A. Kiến thức cần nhớ
I.Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
2
0
ax bx c
+ + =
.
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
a 0

.
II.Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + =


2
b 4ac
=
1. Nếu
0

>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
;
2 2
b b
x x
a a
+
= =
.
2. Nếu
0
=
phơng trình có nghiệm kép :

1 2
2
b
x x
a

= =

3. Nếu
0
<
phơng trình vô nghiệm.
III.Công thức nghiệm thu gọn :

Phơng trình bậc hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + =

và
b 2b'
=


2
' b' ac
=
.
1. Nếu
' 0
>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
' ' ' '
;
b b
x x
a a
+
= =
.
2. Nếu

' 0
=
phơng trình có nghiệm kép :

1 2
'
b
x x
a

= = .

3. Nếu
' 0
<
phơng trình vô nghiệm.
IV.Hệ thức Vi-et và ứng dụng
:
1. Nếu
1 2
;
x x
là hai nghiệm của phơng trình
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + =
thì :
Chuyờn ủ 3:

Phng trỡnh bc hai ủnh lý viet

Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
2


1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=


.
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :

2
- 0

x Sx P
+ =
. (Điều kiện để có u và v là
2
S 4P 0

)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + =
có hai nghiệm :

1 2
1;
c
x x
a
= =
.
4. Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + =
có hai nghiệm :

1 2
1;

c
x x
a
= =
.

V.Cách giải một số dạng toán về phơng trình bậc hai :
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
2
0
ax bx c
+ + =
(trong đó
a, b, c phụ thuộc tham số m) thỏa mãn.
1. Có hai nghiệm phân biệt





>

0
0a
hoặc



>

0
0
'
a
.
2. Có một nghiệm hay nghiệm kép





=
0
0
b
a
hoặc



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
.
3. Vô nghiệm




<

0
0a
hoặc



<

0
0
'
a
.
4. Có Hai nghim cựng du

>=

0
0
a
c
P
hoặc





>=

0
0
'
a
c
P
.
5. Có hai nghiệm trái dấu P < 0 hoặc a.c < 0.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
3

6. Có hai nghiệm dơng









>=
>=

0
0
0
a
b
S
a
c
P hoặc

>=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P .
7. Có hai nghiệm âm









<=
>=

0
0
0

a
b
S
a
c
P hoặc









<=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P .
8. Có hai nghiệm đối nhau
0

0
S



=

.
9. Có hai nghiệm nghịch đảo nhau
0
1
P



=

.
10. Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
. 0
0
a c
S
<


<

.
11. Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn

. 0
0
a c
S
<


>

.
B. Bài tập :
Dạng 1 : Giải phơng trình
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
1.
2
2 8 0
x
=
. 2.
2
3 5 0
x x
=
. 3.
2
2 3 5 0
x x
+ + =
.
4.

2 6
3
5 2
x
x x
+
+ =

. 5.
2
2 5 0
x x
+ =
. 6.
2
6 0
x x
=
.
7.
2
2 3 0
x
+ =
. 8.
2
4 1 0
x
=
. 9.

2
2 5 2 0
x x
+ + =
.
10.
2
6 5 0
x x
+ + =
. 11.
2
2 5 3 0
x x
+ + =
. 12.
2
25 20 4 0
x x
+ =
.

13.
2
3 2 3 2 0
x x
=
. 14.
(
)

2
3 3 2 2 0
x x
+ =
. 15.
(
)
2
2 3 2 3 0
x x
+ + =
.
Dạng 2
: Không giải phơng trình hãy tính tổng, tích hai nghiệm, tính nghiệm còn lại
khi biết trớc một nghiệm.
Chuyên ñề phương trình bậc hai Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
4

Bµi 1. Cho ph−¬ng tr×nh
2
x - 8x + 15 = 0
, kh«ng gi¶I ph−¬ng tr×nh h·y tÝnh .
1.
1 2

x x
+
. 2.

1 2
.
x x
. 3.
2 2
1 2

x x
+
.
4.
( )
2
1 2

x x
+ .
5.
1 2
1 1
x x
+
.
6.
1 2
2 1
x x
x x
+
.

7.
2 2
1 2
1 1
x x
+ .
8.
3 3
1 2

x x
+

9.
4 4
1 2

x x
+
.
10.
1 2
1 2
3 3
x x
x x
− −
+ .
11.

1 2
1 1
2 2
x x
+
− −
.
12.
1 2
x x
−
.
13.
1 2
1 2
1- 1-
2 2
x x
x x
+ .
14.
1 2
1 2
1 1
x x
x x
+ + +
.
15.

1 2
2 1
5 5
x x
x x
+ +
+ .
16.
2 2
1 2
-
x x
. 17.
1 2 2 1
x x x x
+ .
18.
8 8
1 2

x x
+
.

Bµi 2. Cho ph−¬ng tr×nh
2
4 3 8 0
x x
+ + =
,

cã hai nghiÖm
1 2
,
x x
,
kh«ng gi¶I ph−¬ng tr×nh h·y tÝnh :

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
A
x x x x
+ + +
=
+
.

Bµi 3.
1. Cho ph−¬ng tr×nh
2
-2 5 0
x mx
+ =
.
Cã mét nghiÖm b»ng 2, h·y t×m m vµ tÝnh nghiÖm cßn
l¹i.

2. Cho ph−¬ng tr×nh
2
5 0
x x q
+ + =
,
Cã mét nghiÖm b»ng 5, t×m q vµ tÝnh nghiÖm cßn l¹i.
D¹ng 3 : T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña chóng.
Bµi 1. T×m hai sè a, b biÕt
1. Tæng cña chóng b»ng 27 vµ tÝch cña chóng b»ng 180.
2. Tæng cña chóng b»ng 6 vµ tÝch cña chóng b»ng -315.
3. Tæng cña chóng b»ng 4 vµ tÝch cña chóng b»ng 50.
Bµi 2. T×m hai sè u, v biÕt
1.
32
u v
+ =
vµ
. 231
u v
=
.
2.
8
u v
+ = −
vµ
. 105
u v
= −

.
3.
5
u v
− =
vµ
. 24
u v
=
.
4.
2 2
85
u v
+ =
vµ
. 18
u v
=
.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
5

5.
10
u v
=
và

. 24
u v
=
.
6.
2 2
25
u v
+ =
và
. 12
u v
=
.
Dạng 4 : Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Bài 1. Lập phơng trình bậc hai khi biết
1.
1
8
x
=
và
2
3
x
=
. 2.
1
5
x

=
và
2
7
x
=
.
3.
1
1 2
x = +
và
2
1 2
x =
. 4.
1
1
2 3
x =
+
và
2
1
2 3
x =

.
Bài 2. Giả sử
1 2

,
x x
là hai nghiệm cửa phơng trình
2
2 7 3 0
x x
=
. Không giải phơng trình, hãy
lập phơng trình bậc hai có các nghiệm sau :
1.
1
3
x
và
2
3
x
. 2.
1
2
x

và
2
2
x
.
3.
2
1

1
x
và
2
2
1
x
.
4.
1
2
1
x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
.

5.
1
2
1
x
x

+
và
2
1
1
x
x
+
.
6.
2
1
1
x
+
và
1
1
2
x
+
.

Bài 3. Gọi p, q là hai nghiệm của phơng trình
2
3 7 4 0
x x
+ + =
.
Không giảI phơng trình, hãy lập

phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là
1
p
q


và
1
q
p

.
Bài 4. Chứng minh rằng nếu
1 2
, a
a
là hai nghiệm của phơng trình
2
1 0
x px
+ + =

và
1 2
,
b b

là hai
nghiệm của phơng trình
2

1 0
x qx
+ + =
thì :


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
a b a b a b a b q p
+ + =
.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phơng trình
2
1 0
x ax
+ + =

với một nghiệm nào
đó của phơng trình
2

1 0
x bx
+ + =

thì :

2 2 2 2
4 1 1
2
a b a b
=
.
Bài 6. Cho phơng trình
2
0
x px q
+ + =

chứng minh rằng nếu
2
2 9 0
p q
=
,
thì phơng trình có hai
nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Dạng
5: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phơng trình bậc hai.
Bài 1. Cho phơng trình
2

2 1 0
x x m
+ =
,
tìm m để phơng trình
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
6

1. Có hai nghiệm phân biệt.
2. Có nghiệm kép.
3. Vô nghiệm.
4. Có hai nghiệm trái dấu .
5. Có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
2 2
1 2
5
x x
+ =
.
Bài 2. Cho phơng trình
2
3 2 1 0
x x m
+ =

, tìm m để phơng trình
1. Có nghiệm.
2. Có hai nghiệm trái dấu.
3. Có hai nghiệm dơng.
Bài 3. Cho phơng trình
(
)
2
1 2 4 0
m x mx m
+ =
. Có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Tìm hệ thức liên hệ
giữa
1
x
và
2
x
không phụ thuộc giá trị m.
Bài 4. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình
(
)

2
1 2 4 0
m x mx m
+ =
.
Chứng minh rằng biểu thức
(
)
1 2 1 2
3 2 8
A x x x x
= + +
không phụ thuộc giá trị m.
Bài 5. Cho phơng trình
(
)
(
)
2
2 2 2 0
x m x m
+ + + =
. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x

thỏa :
1 2
2

x x
= . Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của phơng trình.
Bài 6. Cho phơng trình
2
8 0
x x m
+ =
. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa một
trong các hệ thức sau :
1.
2 2
1 2
50
x x
+ =
. 2.
1 2
7
x x
= .
3.
1 2
2 3 26
x x
+ =
. 4.

1 2
2
x x
=
.


Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1
. Cho phơng trình
(
)
2
2 1 0
x m x m
+ =
. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình, tìm m
để :
2 2
1 2 1 2
6
A x x x x
= + có giá trị nhỏ nhất.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang

7

Bài 2. Cho phơng trình
2
1 0
x mx m
+ =
, Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
.
Bài 3. Cho phơng trình
2
2( 1) 3 0
x m x m

=
. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình, tìm
giá trị m để
2 2
1 2
10
x x
+
.
Bài 4. Cho phơng trình
2 2
2( 4) 8 0
x m x m
+ =
. Xác định m để phơng trình có hia nghiệm

1 2
,
x x
thỏa mãn :
1.
1 2 1 2
3
A x x x x
= + , đạt giá trị lớn nhất.
2.

2 2
1 2 1 2
B x x x x
= + , đạt giá trị nhỏ nhất.
Dạng 7: Các bài toán tổng hợp.
Bài 1. Cho phơng trình:
(
)
2 2
2 3 3 0
x m x m
+ + + =
.
1. Giải phơng trình với m = -1 và m = 3.
2. Tìm m để phơng trình có một nghiệm
4
x
=
.

3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
4. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
1 2

x x
=
.
Bài 2. Cho phơng trình :

(

)
2
1 4 4 1 0
m x mx m
+ + + =

1. Giải phơng trình với m = -2.
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm.
4. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện
1 2
2
x x
= .
Bài 3. Cho phơng trình:

2
2 3 0
x mx m
+ =
.
1. Giải phơng trình với m = - 5
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép.
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
8

4. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m.

5. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho phơng trình:
(
)
2 2
2 1 3 0
x m x m m
+ =
.
1. Giải phơng trình với m = - 2.
2. Tìm m để phơng trình có một nghiệm
2
x
=
. Tìm nghiệm còn lại.
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
4. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
và
2
x
thỏa mãn:
2 2
1 2
8
x x
+ =
.
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2
1 2

A x x
= +
.
Bài 5. Cho phơng trình:
(
)
2
2 1 4 3 0
x a x a
=
.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
3. Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức
2 2
1 2

A x x
= + .
Bài 6. Cho phơng trình:
(
)
2
2 6 13 0
x m x m
+ =
.

1. Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2 1 2
.
A x x x x
= .
Bài 7. Cho phơng trình:
(
)
2
1 2 1 0
m x mx m
+ + + =
.
1. Giải phơng trình với m = 4.
2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn:
2 2
1 2 2 1
A x x x x
= + .
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 8. Cho phơng trình:
(
)

(
)
2
2 1 4 0
mx m x m
+ + =
. (m là tham số).
1. Xác định m để các nghiệm
1 2
;
x x
của phơng trình thoả mãn
1 2
4 3
x x
+ =
.
2. Tìm một hệ thức giữa
1 2
;
x x
mà không phụ thuộc vào m.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
9

Bài 9. Cho phơng trình
(
)

(
)
2
2 1 4 0
mx m x m
+ + =
.
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá
trị tuyệt đối lớn hơn?
3. Xác định m để các nghiệm
1 2
;
x x
của phơng trình thoả mãn:
1 2
4 3
x x
+ =
.
4. Tìm một hệ thức giữa
1 2
;
x x
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 10. Gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của phơng trình:

(
)
2 2
2 2 1 4 3 0
x m x m m
+ + + + + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 2 1 2
2 2
A x x x x
=
.
Bài 11. Cho phơng trình
(
)
2
2 2 1 0
x m x m
+ + + =
(1)
1. Giải phơng trình (1) khi m = - 3/2.
2. Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
3. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của pt (1), tìm giá trị của m để:
(
)

(
)
2
1 2 2 1
1 2 1 2
x x x x m
+ =
.
Bài 12. Cho phơng trình x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0
1. Chứng tỏ phơng trình luôn có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Đặt
(
)
2 2
1 2 1 2
2 5
A x x x x
= + .

a. Chứng minh

2
8 18 9
A m m

= +
.
b. Tìm m sao cho
27.
A
=

3. Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
10

Bài 13. Cho phơng trình
2
3 0
x mx n
+ + =
. (m, n là tham số)
1. Cho n = 0, chứng tỏ phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
2. Tìm m và n để 2 nghiệm
1 2
,
x x
của phơng trình thỏa mãn hệ:
1 2
2 2
1 2
1
7

x x
x x
=


=

.
Bài 14. Cho phơng trình
(
)
2
2 1 4 4 0
m x mx
+ =
.
1. Giải phơng trình với m = 1.
2. Giải phơng trình với m bất kì.
3. Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm bằng m.
Bài 15. Cho phơng trình
(
)
(
)
2
3 2 1 3 1 0
m x m x m
+ + =

1. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.

2. Cho m = 5, không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức:

2 2
1 2

A x x
= + và
3 3
1 2

B x x
= + .
3. Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình có các nghiệm đều là số nguyên.
Bài 16. Cho phơng trình
(
)
(
)
2
2 1 1 0.
x m x m
+ + =

1. Giải phơng trình khi m = 3.
2. Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
11

Bài 17. Cho phơng trình
(
)
(
)
2
2 3 2 1 0.
x m x m
=

1. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
2. Chứng minh rằng phơng trình không thể có nghiệm bằng - 1
3. Biểu thị
1
x
theo
2
x
.
Bài 18. Tìm
m
để phơng trình
(
)
(
)
2
4 2 2 1 0
m x m x m

+ =
có
1. Hai nghiệm cùng dấu.
2. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3. Đúng một nghiệm dơng.
4. Có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 19. Cho phơng trình : 0222
22
=+ mmxx .
1. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
2. Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng
trình.
Bài 20. Cho phơng trình
(
)
010212
2
=+++ mxmx (với m là tham số)
1. Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình.
2. Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
21
;xx
; hãy tìm một hệ thức liên
hệ giữa
21
;xx
mà không phụ thuộc vào m.
3. Tìm giá trị của m để
2 2
1 2 1 2

10
A x x x x
= + +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 21. Cho phơng trình
(
)
0121
2
=++ mmxxm với m là tham số
1. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1


m
.
Chuyờn ủ phng trỡnh bc hai Biờn son : Lờ K Hi

Trang
12

2. Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai
nghiêm của phơng trình.
3. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
4. Tìm m để phơng trình có nghiệm
21
;xx
thoả mãn hệ thức:
0
2

5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x
.
Bài 21. Giả sử phơng trình 0.
2
=++ cbxxa có 2 nghiệm phân biệt
21
;xx
.Đặt
nn
n
xxS
21
+=
(n nguyên dơng)
1. CMR 0.
12
=++
++ nnn
cSbSSa .
2. áp dụng Tính giá trị của : A=
55

2
51
2
51









+








+
.
Bài 22. Cho phơng trình :
(
)
0332
22
=+ mmxmx .

1. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
,xx
thoả mãn
61
21
<<< xx





============== HT ===============