Quan hệ vuông góc thầy Lê Bá Trần Phương

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 01. Hình học không gian
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng:
( )SO ABCD⊥
b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho lặng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
0
60BAD∠ =
,
3
AA'
2
a
=
. M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:
' ( ).AC BDMN⊥
Bài 5: Tứ diện S.ABC có
( )
.SA mp ABC⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK⊥
.

b. Chứng minh
( )
HK SBC⊥
và
( ) ( )
.SBC BHK⊥
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a.
( )SA ABCD⊥
. Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥
5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;BC SB CD SD AH SC AK SC⊥ ⊥ ⊥ ⊥
13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥
17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
QUAN HỆ VUÔNG GÓC (PHẦN 03)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 03) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

a
a
a
a
O
A
B
D
C
S
O
A
B
D
C
S
H
K
I
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 01. Hình học không gian
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Giải:
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung điểm của AC và BD

0
1
2
90

ABC ASC SO BO BD
BSD SB SD
+ ∆ = ∆ ⇒ = =
⇒ ∠ = ⇔ ⊥
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:
a. Ta có:
( ) (1)
AH SB
AH SBC AH SC
AH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( ) (2)
AK SD
AK SDC AK SC
AK DC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Từ (1) và (2) ta suy ra
( )SC AHK⊥
b. Ta có:
SAB SAD SH SK
∆ = ∆ ⇒ =
/ /
SH SK
HK BD
SB SD
⇒ = ⇒
( Định lý Ta lét đảo)
( )
BD AC
BD SAC
BD SA
⊥

⇒ ⊥

⊥

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
QUAN HỆ VUÔNG GÓC (PHẦN 03)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 03) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
N
K
I
O
D
A
C
B
S
M
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 01. Hình học không gian
/ /
( )
( )
HK BD
HK SAC HK AI
BD SAC

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng:
( )SO ABCD⊥
b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
a. Ta có:

( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥

⇒ ⊥

⊥

b.
( )
( )
IK BD do AC BD
IK SBD IK SD
IK SO
⊥ ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

c. + Gọi M là giao điểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao điểm của DB với mặt phẳng (P).
/ /( ), ( )
/ /
( ) ( )
/ /
( )
SO P SO SBD

SO MN
SBD P MN
SO BD
MN BD
MN SO
BD IK
BD P
BD MN
⊂

+ ⇒

∩ =

⊥

+ ⇒ ⊥


⊥

+ ⇒ ⊥

⊥

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
0
60BAD∠ =
,
3

AA'
2
a
=
. M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:
' ( ).AC BDMN⊥
Giải:
+ Gọi
S BN DM= ∩ ⇒
M là trung điểm SD, N là trung điểm SB
A’ là trung điểm SA.
+ Gọi O = AC
∩
BD
+
∆
BAD đều
3
2 3 , '
2
a
AO AC AO a SA CC AO⇒ = ⇒ = = = =
+ Hai
∆
vuông SOA và ACC’ bằng nhau
AS 'O CAC
⇒ ∠ = ∠
.
Mà
0 0

AS 90 ' 90 'O SOA CAC SOA AC SO∠ +∠ = ⇒ ∠ + ∠ = ⇒ ⊥
+
'
' ( )
'
AC BD
AC BDMN
AC SO
⊥

⇒ ⊥

⊥

Bài 5: Tứ diện S.ABC có
( )
.SA mp ABC⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
c. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK⊥
d. Chứng minh
( )
HK SBC⊥
và
( ) ( )
.SBC BHK⊥
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 01. Hình học không gian

Giải:
a. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC∆ ⇒ ⊥
, theo giả thiết
( )
SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥
.
Nên
( )
BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥
Do K là trực tâm
SBC BK SC∆ ⇒ ⊥
.
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )
SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥
(đpcm)
b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
( )
SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥
Mà
( )
SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥
.
Do đó:
( ) ( ) ( )
HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Giải:

Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung điểm của B’C.
M là trung điểm AA’ nên tam giác
'B'MAC MA∆ = ∆
=>MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M
' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a.
( )SA ABCD⊥
. Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥
5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;BC SB CD SD AH SC AK SC⊥ ⊥ ⊥ ⊥
13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥
17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
A
A’
B
B’
C
C’
M
I
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 01. Hình học không gian
1. BC
⊥

AB (giả thiết ABCD là hình vuông)
BC
⊥
SA (do giả thiết SA
⊥
(ABCD))
⇒
BC
⊥
(SAB).
2. CD
⊥
AD (giả thiết ABCD là hình vuông),
CD
⊥
SA (do giả thiết SA
⊥
(ABCD))

⇒
CD
⊥
(SAD).
3. AH
⊥
SB (giả thiết),
AH
⊥
BC (do theo câu 1 ta đã có BC
⊥

(SAB)
mà AH
⊂
(SBC) )
⇒
AH
⊥
(SBC)
4. AK
⊥
SD (giả thiết)
AK
⊥
CD (do theo câu 2 ta đã có CD
⊥
(SAD)
mà AK
⊂
(SAD) )
⇒
AK
⊥
(SCD)
5. AH
⊥
(SBC) (do theo câu 3)
⇒
AH
⊥
SC

AK
⊥
(SCD) (do theo câu 4)
⇒
AK
⊥
SC
Vậy SC
⊥
(AHK)
6. OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC
⊥
(SAB) (do theo câu 1) nên
OM
⊥
(SAB)
7. ON là đường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD
⊥
(SAD) (do theo câu 2)
nên ON
⊥
(SAD).
8. OP là đường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC
⊥
CD (giả thiết) nên BC
⊥
OP
(*).
OQ là đường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA
⊥

(ABCD) nên OQ
⊥
(ABCD),
⇒
BC
⊥
OQ (**).
Vậy từ (*) và (**) ta có BC
⊥
(OPQ)
9. Theo câu 1: BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
SB.
10. Theo câu 2: CD
⊥
(SAD)
⇒
CD
⊥
SD.
11. Theo câu 3: AH
⊥
(SBC)
⇒
AH
⊥

SC.
12. Theo câu 4: AK
⊥
(SCD)
⇒
AK
⊥
SC.
13. Theo câu 1: BC
⊥
(SAB) mà BC
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(SAB).
14. Theo câu 2: CD
⊥
(SAD) mà CD
⊂
(SCD)
⇒
(SCD)
⊥
(SAD).
15. Theo câu 3: AH
⊥
(SBC) mà AH
⊂

(AHK)
⇒
(AHK)
⊥
(SBC).
16. Theo câu 4: AK
⊥
(SCD) mà AK
⊂
(AHK)
⇒
(AHK)
⊥
(SCD).
17. Theo câu 5: SC
⊥
(AHK) mà SC
⊂
(SAC)
⇒
(SAC)
⊥
(AHK).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 01. Hình học không gian
18. Theo câu 6: OM
⊥
(SAB) mà OM
⊂

(OMQ)
⇒
(OMQ)
⊥
(SAB).
19. Theo câu 7: ON
⊥
(SAD) mà ON
⊂
(ONQ)
⇒
(ONQ)
⊥
(SAD).
20. Theo câu 8: BC
⊥
(OPQ) mà BC
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(OPQ).
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -