skkn giải bài toán cân hai đĩa không có quả cân ở tiểu học

1

sở giáo dục -đào tạo hng yên
Phòng giáo dục -đào tạo văn giang
*****




Kinh nghiệm

Giải bài toán cân 2 đĩa không có quả cân
ở tiểu học








Ngời viết :
Lê Phú Thịnh
Chức vụ
: Giáo viên
Trờng


: Tiểu học
: Tiểu học : Tiểu học

: Tiểu học Thắng Lợi
Thắng LợiThắng Lợi
Thắng Lợi


Huyện :
Văn Giang
Văn Giang Văn Giang
Văn Giang

tỉnh Hng Yên
tỉnh Hng Yêntỉnh Hng Yên
tỉnh Hng Yên















Năm học 2009-2010

2

Phần một

đặt vấn đê


Khác với môn tiếng việt chúng ta không có chủ trơngchia
nhỏ môn toán thành năm phân môn nhỏ mà chỉ coi môn toán ở tiểu
học gồm năm tuyến kiến thức chính. Các tuyến kiến thức này không
đợc trình bày từng chơng, phần riêng biệt mà chúng đợc sắp xếp
xen kẽ với nhau tạo nên một sự hữu cơ và hỗ trợ đắc lực lẫn nhau trên
lền tảng kiến thức số học bao gồm :







Trong môn toán ở tiểu học, dạy học đo đại lơng cho học sinh với
các đại lợng thông dụng nh đo độ dài, khối lợng, dung tích,diện
tích,thể tích Các đại lợng này chỉ đợc học ở mức sơ đẳng về
kiến thức và kĩ năng. Trong dạy học phép đo đại lợng, phép đo khối
lợng đợc dành ít thời gian hơn so với phép đo đại lợng khác trong
chơng trình toán tiểu học.Song phép đo khối lợng cũng đợc sử
dụng rộng ri trong đời sống.Nên khi dạy giáo viên cần cho học sinh
nắm đợc biểu tợng về khối lợng và biết đo, đong, chia khối lợng
bằng các suy luận đúng đắn, chặt chẽ trên cơ sở vận dụng những

kiến thức cơ bản và qua các kinh nghiệm sống của mình.
Trong thực tế giảng dạy và đi dự giờ, bồi dỡng học sinh giỏi
môn toán nhiều năm ở tiểu học. Tôi nhận thấy nhìn chung giáo viên
và học sinh khi gặp dạng
bài toán với chiếc cân hai đĩa
không có quả cân
thì gặp rất nhiều lúng túng trong cách tìm tòi
lời giải( cách cân) sao cho sáng tạo ngắn gọn và hiệu quả nhất. Nhìn
chung cả giáo viên và học sinh đều làm theo phơng pháp thử

Số học

Yếu tố
đại số

Giải
toán
Đo đại
lợng
Yếu tố
hình
học

3
chọn,cân thử , chia thử, mầy mò để tìm đợc đáp án thoả mn các
điều kiện của bài toán, học sinh thờng thụ động ghi chép lời giải
chứ không tìm ra đợc một chân lý, một phơng pháp tổng quát để
áp dụng giải cho các bài toán cùng dạng. Chính vì vậy khi đi thi găp
các dạng toán
tìm sản phẩm sai với chiếc cân hai đĩa

không có quả cân
có điều kiện khác bài đ học là học sinh rất
lúng túng mất thời gian.
Xuất phát từ thực tế trên, ngay từ khi nhận thức đợc vấn đề
này, tôi đ đi sâu vào nghiên cứu, tập hợp thành chuyên đề dạy thực
nghiệm ở lớp 3A năm học 2006-2007,lớp 4A năm học 2007-2008, lớp
5A năm học 2008-2009 của trờng tiểu học ThắngLợi.
Nay tôi đa vào nghiên cứu đề tài, mục đích hệ thống, mở rộng:
Phơng pháp giải bài toán với chiếc cân hai đĩa
không có quả cân ở tiểu hoc.






Phần hai

Giải quyết vấn đề
I/
những vấn đề cần giải quyết
Trong các môn học không có môn nào lại giúp rèn luyện năng
lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn toán. Nhng
trong bản thân môn toán lại không có phân môn nào giúp phát triển
trí thông minh, t duy lô gíc, óc sáng tạo và kinh nghiệm sống áp
dụng vào thực tiễn hàng ngày nh phép đo khối lợng. Bài toán chia
đại lợng nói chung và chia khối lợng ở tiểu học nói riêng gây
nhiều hứng thú trong giải toán vì một lẽ nó đợc kết hợp cả t duy lô
gíc số học với kinh nghiệm sống và một lẽ vì nó có nhiều cách giải.
Phơng pháp dẫn dắt học sinh đi từ ít đến nhiều để khơi dậy dợc ở

học sinh những ớc vọng. Giúp các em hình thành cách giải đúng và
rút ra bài toán tổng quát. Các em sẽ hăng say học tập, sẽ lao vào suy
nghĩ một cách tự lực và thật bất ngờ, thú vị khi các em biết lấy ra
một số sản phẩm sai quy cách có thể nặng hơn hay nhẹ hơn từ một
số sản phẩm ban đầu bằng một chiéc cân hai đĩa không có quả cân.

4
Dựa vào bài toán tổng quát giáo viên có thể tự ra đề cho học
sinh một cách chính xác. Do các đặc điểm đ nêu ở trên nên việc
giảng dạy phép đo đại lợng cho học sinh tiểu học, đặc biệt là học
sinh giỏi luôn rất đợc coi trọng.
Những phơng pháp hớng dẫn học sinh giải sau đây tuy
không mới mẻ với học sinh song những phơng pháp này đ dẫn dăt
học sinh biết đi từ ít đến nhiều, từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu
tợng để phát triển t duy lô gíc. Đặc biệt tôi đi sâu vào các phơng
pháp mà sách giáo khoa tiểu học cha hệ thống đợc, đó là:
1) Phơng pháp luỹ thừa cơ số 2và cơ số 3
2) Phơng pháp tách nhóm các phần tử
3) Phơng pháp sáng tác đề toán với chiếc cân hai đĩa không có
quả cân

5
ii) nội dung và phơng pháp tiến hành
1)
Phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3
Phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3Phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3
Phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3





A Dạng toán : Tìm sản phẩm sai biết trớc nặng hoặc nhẹ hơn
so với sản phẩm tiêu chuẩn
Bài toán 1
Có 3 sản phẩm bềngoài giống nhau trong đó có 2sản phẩm có
khối lợng bằng nhau và 1 sản phẩm nhẹ hơn hai sản phẩm kia.Với
một chiếc cân hai đĩa,làm thế nào cân 1lần là tìm đợc sản phẩm nhẹ
hơn ?

Giải
Với bài toán này học sinh dễ dàng tìm đợc lời giải với cách cân
nh sau:

Đặt lên mỗi đĩa cân 1 sản phẩm còn 1sản phẩm không ở trên cân.
Trờng hợp 1
Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn không ở trên cân.
Trờng hợp 2
Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn là sản phẩm ở đĩa cân
nhẹ hơn.
Sau khi học sinh giải đợc bài toán này tôi tập cho các em nhận xét
và lập mối liên hệ giữa các giữ kiện đ cho với điều kiện cần tìm .Học
sinh dễ dàng nhận thấy :
- Các dữ kiện bài toán cho: 3sản phẩm bề ngoài giống nhau ,trong
đó có hai loại khối lợng ,sản phẩm sai là sản phẩmnhẹ hơn (hoặc
nặng hơn)
- Điều kiện cần tìm; tìm đợc một sản phẩm s ai
- Bài toán đòi hỏi học sinh suy nghĩ một cách cẩn thận và cần
ghi lại lên giấy trớc khi giải thích bằng suy luận lô gíc .
Điều cần thiết phải giải thích cho học sinh khi nào thì cân thăng bằng
(trọng lợng ở hai đĩa cân bằng nhau thì cân thăng bằng,trọng lợng ở
hai đĩa cân khác nhau thì cân không thăng bằng) tức có 1 sản phẩm sai
nằm trên cân .
Học sinhviết lời giải ra sau khi học sinh phát biểu bằng lời cho cả
lớp ,có thể một số học sinh vẫn cha làm đơc.Nhận thức đợc sự sai
khác về trọng lợng giữa hai đĩa cân là điều tốt nhng cha thể gọi

6
đơc là giải xong bài toán .C ần động viên khuyến khích học sinh hẵy
cố gắng giải thích tất cả các khả năng có thể xảy ra .

Tìm mối liên hệ giữa số sản phẩm ban đầu của bài toán và số lần
cân.Học sinh phân tích lời giải và nhận thấy :
- 3=1+1 và 1
- Hay 3=3
ì
1 =3
1

Số sản phẩm của bài toán là luỹ thừa của 3. trong cái luỹ thừa này, số
mũ chính là số lần cân , các lần cân số sản phẩm đợc chia đều làm 3
phần bằng nhau ,đặt 2 phần lên 2 đĩa cân. Phần còn lại không ở trên
cân . Nh chúng ta đ biết nội dung bài tập này thật đơn giản nhng
khi dạy cho học sinh, bạn đừng vội cho là học sinh thấy dễ mà bỏ qua
phân tích kĩ lời giải của bài toán. Sau khi phân tích ta nhin thấy đợc
điều thú vị của bài toán. Nó là lền tảng là cơ sở vững chắcđể học sinh
rút ra kinh nghiệm giải qua các bài toán, từ đơn giản đến phức tạp, từ
đó để học sinh phát hiện ra
:đặc điểm của phơng pháp này
.

Sau khi tôi cho học sinh luyện tập một số bài dạng đơn giẩn ở sách
giáo khoa. Tôi cho các em làm với yêu cầu nâng cao hơn. Cụ thể nh
bài sau:
Bài toán 2 :
Có 9 viên bi bề ngoài giống hệt nhau trong đó có 8 viên bi
khối lợng bằng nhau và một viên bi nặng hơn các viên bi kia. Với một
chiếc cân 2 đĩa không có quả cân. Làm thế nào chỉ với hai lần cân là
tìm đợc viên bi nặng hơn.
Giải
Bớc 1: Phân tích đề bài.

Bớc đầu cho học sinh làm quen với bài toán có nội dung phức tạp
hơn, số sản phẩm nhiều hơn nhng sản phẩm sai chỉ có một sản
phẩm.ở góc độ giải toán, bài toán này đòi hỏi học sinh tự xem xét tỉ mỉ
đề bài và có sự trừu tợng linh hoạt. Tôi hớng các em tới sự nghi ngờ
rằng: một quá trình đặt lên cân rồi lại bỏ xuống, chọn nhóm đối tợng
nghi ngờ có sản phẩm sai, để dựa vào trọng tài ( sự thăng bằng của
cân) để chọn đợc sản phẩm sai từ nhiều sản phẩm khác cùng dạng. ở
đây vấn đề lớn hơn là giúp các em cố gắng đa ra 1 lợc đồ mô tả tình
huống xảy ra bằng hình vẽ. Chính lợc đồ này làm cho các em nhận

7
thức đợc điều gì sẽ xảy ra khi cân thăng bằng hoặc không thăng bằng.
Nếu có thể giáo viên mang đến lớp một cái cân 2 đĩa không có quả cân
và chuẩn bị 9 viên bi trong đó có 1 viên bi nặng hơn để học sinh thấy
đợc một cách giải thực tế.
Bớc 2: Phân tích cách giải.
Đề bài cho ta biết viên bi giả năng hơn hay nhẹ hơn viên bi thật?
+ Học sinh dựa vào đề bài dễ dàng trả lời dợc câu hỏi trên. Giáo
viên khuyến khích học sinh hy cố gắng giải thích tất cả các khả năng
có thể xảy ra.
+ Học sinh nhận thấy số viên bi ở bài toán đợc phân tích với các
khả năng sau:

9=3
2
33 =ì

9=3+3và 3
9=2+2và 5
Trong các cách phân tích thành các nhóm để đặt lên cân thì trờng

hợp 9 = 3
ì
3 ( chia ba nhóm mỗi nhóm 3 viên bi )
Là cách hợp lý nhất để đáp ứng với chỉ 2 lần cân . Hy
lập 1 sơ đồ hoặc hình vẽ để mô tả các bớc giải của bài toán trên







Lời giải
+ Đặt lên mỗi đĩa cân 3viên bi còn 3 viên bi không ở trên cân .
a, Trờng hợp 1: Nếu cân thăng bằng thì viên bi nặng ở trong số
3 viên bi không nằm trên cân. Để tìm viên bi nặng hơn ta cân tiếp
một lần nữa nh bài toán 1. Đặt mỗi đĩa một viên bi còn một viên bi
không ở trên cân.
- Nếu cân thăng bằng thì viên bi nằm ngoài là viên cần tìm.

9 viên

bi

3
viên
3
viên

3

viên


8
- Nếu cân không thăng bằng thì viên bi nặng hơn là viên bi ở đĩa cân
nặng hơn.
b,Trờng hợp 2 . Nếu cân không thăng bằng thì viên bi nặng hơn ở
trong đĩa cân năng hơn.
Để tìm viên bi nặng hơn trong 3 viên bi ta lại cân một lần nữa nh
bài toán 1.
Trờng hợp : Nếu cân thăng bằng thì viên bi nằm ngoài là viên bi cần
tìm.
Trờng hợp : Nếu cân không thăng bằng thì viên bi nặng hơn là viên
bi ở đĩa cân nặng hơn.
Nh vậy sau 2 lần cân ta tìm đợc viên bi nặng hơn.
3, Nhận xét .

Nh vậy qua cách giải 2 bài toán trên . Tôi hớng dẫn các em nhận
xét để rút ra phơng pháp giải dạng toán cân hai đĩa khi biết sản phẩm
sai nhẹ hơn hoặc nặng hơn so với sản phẩm tiêu chuẩn. Học sinh dễ
dàng nhận thấy ngay khi so sánh số sản phẩm ban đầu ở bài toán 1
nhân với 3 thì bằng số sản phẩm của bài toán 2.
Hy quan sát bảng sau:
Các điều kiện bài toán Bài toán 1 Bài toán 2
Số sản phẩm 3 9
Số sản phẩm nhẹ hơn 1 1
Số sản phẩm có khối lợng
bằng nhau .
2 8

Số lần cân 1 2
Cụ thể ;
Số sản phẩm ở bài toán 1 là 3 =3
ì
1 =3
1

Số sản phẩm ở bài toán 2 là 9 = 3
ì
3 = 3
2

Đến đây giáo viên hớng dẫn các em rút ra nhận xét

9
* Số sản phẩm ở cả 2 bài toán đều là luỹ thừa của 3 .Trong cái luỹ
thừa này số mũ chính là số lần cân ,các lần cân đều chia số sản phẩm
ra làm 3 phần bằng nhau . đặt 2 phần lên 2 đĩa cân ,còn 1phần không ở
trên đĩa cân . (đối với hoc sinh tiểu hoc ta dịch ngôn ngữ luỹ thừa ra
ngôn ngữ toán tiểu học : a
n
= a
ì
a
ì
a . n là số
thừa số của tích ) n

*Sau lần cân đầu tiên các trờng hợp sau xảy ra đều là nội dung của
bài toán trớc .

* Các sản phẩm để cân đều đợc chia làm 3 nhóm có số sản phẩm
bằng nhau .Trong đó có 1nhóm chứa sản phẩm sai qui cách .
* Đến đây tôi cho các em nhận xét xem cách giải 2 bài toán có gì
đặc biệt giống nhau ? Ta nhận ra ngay rằng với số sản phẩm ban đầu
chia hết cho 3 và số sản phẩm đó là luỹ thừa của 3 thì dùng phơng
pháp luỹ thừa của 3 (tức chia làm 3 nhóm có số sản phẩm bằng nhau )
rồi thc hiện cân để tìm sản phẩm sai . Từ đó giúp các em rút ra cách
giải tổng quát .
+ Bớc1 ; Đặt mỗi đĩa cân 3 sản phẩm còn 3 sản phẩm không ở
trên cân .
Trờng hợp 1 . Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai tiêu chuẩn ở
trong số 3 sản phẩm không ở trên cân .
Trờng hợp 2 ; Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm tiêu chuẩn ở
bên đĩa cân nặng hoặc nhẹ (phụ thuộc đề bài ).
+ Bớc 2: Tìm sản phẩm sai tiêu chuẩn ta cân tiếp ( n 1) lần nữa
nh bài toán 1 để tìm ra sản phẩm sai tiêu chuẩn .
Bạn đọc nhận thấy rằng cách giải trên áp dụng đơc với tất cả các
bài toán cân 2 đĩa không có quả cân ,biết trớc sản phẩm sai là nặng
hoặc nhẹ và số sản phẩm ban đầu là luỹ thừa của 3.
Bạn đọc thẩm định lại qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1:
Có 27 sản phẩm bề ngoài giống nhau, trong đó có 26 sản phẩm có khối
lợng bằng nhau và một sản phẩm nhẹ hơn 26 sản phẩm kia. Với chiếc
cân 2 đĩa không có quả cân làm thế nào chỉ cân 3 lần là tìm đợc sản
phẩm nhẹ hơn ?

10
1 Phân tích đề bài ;
Học sinh dễ dàng nhận thấy các đặc điểm để phân tích bài toán để đa
về dạng luỹ thừa cơ số 3 .

Ta thấy số sản phẩm chia hêt cho 3 hay 27 = 3
ì
3
ì
3= 3
3

Ta nhận thấy 27 sản phẩm đợc chia làm 3 nhóm với 3 lần cân . Vận
dụng cách giải bài toán dạng này học sinh sẽ tìm đợc sản phẩm sai
nhẹ hơn.
2: Giải
chia 27 sản phẩm làm 3 nhóm mỗi nhóm 9 sản phẩm. Dặt lên mỗi đĩa
cân 9 sản phẩm còn 9 sản phẩm không ở trên cân.
Trờng hợp 1: Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn ở trong 9 sản
phẩm không ở trên cân .
Để tìm sản phẩm nhẹ ta cân tiếp 2 lần nữa nh bài toán 2.
Trờng hơp 2 ; Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn ở đĩa
cân nhẹ .
Để tìm sản phẩm nhẹ ta cân tiếp 2 lần nữa nh bài toán 2.
Nh vậy sau 3 lần cân ta tìm đợc sẩn phẩm sai nhẹ hơn .
Ví dụ 2:
Một chủ cửa hàng bánh kẹo khi nhập 71 hộp bánh Hải Châu giống
nhau trong đó có 1 hộp kém chất lợng nặng hơn các hộp kia. Với một
chiếc cân 2 đĩa không có quả cân làm thế nào để chỉ 4 lần cân là tìm
đợc sản phẩm nhẹ hơn?
*Học sinh nhận thấy 71:3=27 tức chia 71 hộp bánh làm 3 nhóm mỗi
nhóm 27 hộp.
Giải:
Cân lần 1:
Đặt lên mỗi đĩa cân 27 hộp còn 27 hộp không ở trên cân.

- Trờng hợp1: Nếu cân thăng bằng thì hộp bánh kém chất lơng
nằm ở trong số 27 hộp không nằm trên cân.
Để tìm hộp kém chất lợng ta cần cân 3 lần nữa nh ví dụ 1
- Trờng hợp 2: Nếu cân không thăng bằng thì hộp bánh sai tiêu
chuẩn nằm ở đĩa cân chứa 27 hộp nặng hơn.
Để tìm hộp nặng hơn ta cần cân 3 lần nữa nh ở ví dụ 1.

11
Nh vậy sau 4 lần cân thì ta sẽ tìm đợc hộp bánh kém phẩm chất
nặng hơn.
2)PHƯƠNG PHáP LUỹ THừA CƠ Số 2
Dạng 2:
Dạng 2:Dạng 2:
Dạng 2:

Tìm sản phẩm sai khi không biết trợc sản
Tìm sản phẩm sai khi không biết trợc sản Tìm sản phẩm sai khi không biết trợc sản
Tìm sản phẩm sai khi không biết trợc sản
phẩm đó năng hay nhẹ hơn sản phẩm tiêu chuẩn.
phẩm đó năng hay nhẹ hơn sản phẩm tiêu chuẩn.phẩm đó năng hay nhẹ hơn sản phẩm tiêu chuẩn.
phẩm đó năng hay nhẹ hơn sản phẩm tiêu chuẩn.


Bài toán 1:
Có 4 sản phẩm, bề ngoài giống nhau. Trong đó có 3 sản phẩm có
khối lợng bằng nhau, 1 sản phẩm có khối lợng khác với các sản
phẩm kia.Với một chiếc cân 2 đĩa, không có quả cân,, làm thế nào
chỉ cân 2 lần là tìm đợc sản phẩm có khói lợng sai khác ấy.
1 Phân tích bài toán
Bài toán dạng 2 có điểm gì khác với bài toán dạng 1.

Học sinh dễ dàng nhận ra ngay: số sản phẩm ban đầu là số chẵn, sản
phẩm sai cha xác đinh đợc là nặng hơn hay nhẹ hơn so với sản phẩm
tiêu chuẩn.
Số lần cân là 2 lần.
Nh vậy bài toán này việc đầu tiên cần hớng cho học sinh xác định
đợc sản phẩm tiêu chuẩn trong số các sản phẩm đ có
* Khi cân thăng bằng nói lên điều gì ?
Học sinh nhận thấy cân thăng bằng chứng tỏ số sản phẩm nằm trên 2
đĩa cân là sản phẩm tiêu chuẩn, đánh dấu sản phẩm tiêu chuẩn, dựa
vào sản phẩm tiêu chuẩn có thể xác đinh đợc sản phẩm sai một cách
dễ dàng bằng sự không thăng bằng của cân.
2 Bớc 2: Thực hành cân để tìm sản phẩm có khối lợng khác:
Giải:
- Cân lần 1: Đặt lên mỗi đĩa cân 1 sản phẩm, còn 2 sản phẩm kia
không ở trên cân
a) Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai ở trong 2 sản phẩm không
ở trên cân. Các sản phẩm ở trên 2 đĩa cân là sản phẩm đúng.
- Cân lần 2: Đặt lên đĩa kia 1 trong 2 sản phẩm đúng, đặt lên đĩa kia
1 trong 2 sản phẩm còn lại
Trờng hợp 1:Nếu cân thăng bằng, các sản phẩm trên cân là sản phẩm
đúng sản phẩm thứ 4 kia không nằm trên cân là sản phẩm sai

12
Trờng hợp 2: Nếu cân không thăng bằng. Sản phẩm nhẹ hơn hoặc
nặng hơn ở bên đĩa không có sản phẩm tiêu chuẩn là sản phảm có khối
lợng sai khác
b) Nếu cân không thăng bằng thì 2 sản phẩm không có ở 2 đĩa cân
là sản phẩm đúng (tiêu chuẩn)
Sản phẩm sai sẽ nằm trên 1 trong 2 đĩa cân
*cân lần 2

Đặt 1 sản phẩm tiêu chuẩn lên 1đĩa cân còn dĩa kia đặt 1 trong 2sản
phẩm đang nằm trên cân .
Trờng hợp cân thăng bằng sản phẩm không nằm trên cân là sản
phẩm sai có khối lợng khác
Trờng hợp :cân không thăng bằng sản phẩm nặng hơn hoặc nhẹ hơn
bên đĩa không có sản p hẩm tiêu chuẩn là sản phẩm sai có khối lợng
khác .
Nh vậy chỉ sau 2lần cân ta đ tìm đợc sản phẩm sai có khối
lợng khác sản phẩm tiêu chuẩn .
2 Bài toán 2 .
Có 8 sản phẩm bề ngoài giống nhau .trong đó có 7 sản phẩm khối
lợng bằng nhau ,1sản phẩm có khối lợng khác so với sản phẩm kia .
với 1 chiếc cân 2 đĩa không có quả cân làm thế nào chỉ với 3 lần cân là
tìm đợc sản phẩm có khối lợng sai khác ấy ?
*Bớc 1.phân tích bài toán .
Với đề bài này học sinh dễ dàng nhận ra ngay đây là dạng toán cùng
loại bài toán 1 .vận dụng phơng pháp giải bài toán 1để giải .
* Bớc 2 thực hành giải . (cân )
Cân lần 1 .đặt lên mỗi đĩa cân 2sản phẩm còn 4 sản phẩm không ở
trên cân .
*Nếu cân thăng bằng sản phẩm sai nằm trongsố 4 sản phẩm không có
ở trên cân .
Cân làn 2 .đặt lên mỗi đĩa cân 1sản phẩm (trong 4 sản phẩm không có
ở trên cân .
_Trờng hợp 1.Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai nằm trong 2sản
phẩm ở ngoài .
-Cân lần 3 :

13
Đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên 1 đĩa cân còn đĩa bên kia đặt 1 sản phẩm

(trong 2 sản phẩm ở ngoài) .
Nhvậy ta sẽ chọn đợc sản phẩmcó khối lợng sai khác nặng hơn
hoặc nhẹ hơn sản phẩm tiêu chuẩn .
- Trờng hợp 2 :Nếu cân không thăng bằng thì s ản phẩm sai nằm
trên 2 đĩa cân .
-Cân lần 3;
đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên1 trong 2đĩa cân.
-Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm vừa bỏ xuống là sản phẩm sai khác
khối lợng
-Nếu cân không thăng bằng thì chính sản phẩm nằm trên đĩa không có
sản phẩm tiêu chuẩn là sản phẩm cần tìm.
b . Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm sai ở trong 4 sản phẩm ở
trên cân ( 4sản phẩm không ở trên cân là cấc sản phẩm tiêu chuẩn) .
Cân lần 2
Đặt trên mỗi đĩa cân 1sản phẩm còn 2 sản phẩm ở đĩa kia để ra ngoài .
+Trờng hợp 1 :nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai ở trong 2 sản
phẩm bỏ ra ngoài .
Cân lần 3 :
Đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên 1 đĩa cân còn đĩa kia đặt 1sản phẩm ở
ngoài vào .
- Nếu cân thăng bằng thì tìm đợc sản phẩm sai ở ngoài.
- Nếu cân không thăng bằng ta cũng tìm đợc sản phẩm sai khác
về khối lợng
+Trờng hợp 2:
Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm sai nằm trên cân , sản phẩm
tiêu chuẩn không nằm trên cân.
Cân lần 3 .đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên cân và 1sản phẩm cũ ở
trên cân .
+Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm bên ngoài bỏ xuống là sản phẩm
sai

+ Nếu cân không thăng bằng ta cũng xác định đợc sản phẩm nào
là sản phẩm sai
Nh vậy sau 3 lần cân ta đ tìm đợc sản phẩm sai .

14
Nhận xét.
Tơng tự nh dạng toán 1,tôi hớng dẫn các em nhận xét và so sánh
các điều kiện của 2bài toán với chiếc cân 2 đĩa không có quả cân khi
không biết sản phẩm sai là nặng hay nhẹ hơn so với sản phẩm tiêu
chuẩn.Học sinhdễ dàng nhận thấy ngay khi so sánh số sản phẩm ban
đầu của bài toán 1nhân với 2 thì bằng số sản phẩm của baì toán 2.
Xem bảng sau :


Các dữ kiện của bài toán Bài toán 1 Bài toán 2
Số sản phẩm ban đầu 4 8
Số sản phẩm nhẹ hơn 1 1
Số sản phẩm có khối kợng
bằng nhau.
3 7
Số lần cân 2 3
Cụ thể :
Số sản phẩm ở bài toán 1là : 4 = 2
ì
2 = 2
2

Số sản phẩm ở bài toán 2là 8= 4
ì
2 = 2

ì
2
ì
2 = 2
3

3 thừa số2
*Nh vậy số sản phẩm của các bài toán là luỹ thừa của2 .Trong cái luỹ
thừa này số mũ chính là số lần cân.Cáclần cân đều chia số sản phẩm ra
làm 2 phần bằng nhau ;1phần không ở trên cân còn 1 phần nằm ở trên
cân .Bạn đọc nhận thấy ngay rằng phần còn lại đợc chia làm 2phần
nhỏ bằng nhau ,mỗi phần nhỏ nằm ở trên 1đĩa cân .
*Học sinh nhận thấy rằng các bài toán dang 2 sau lần cân đầu tiên các
trờng hợp xảy ra đều là nội dung của bài toán trớc.
*Đến đây tôi cho cácem nhận xét cách giải của 2 bài toán có gì khác
nhau ? Học sinh nhận ra ngay rằng :số sản phẩm ban đầu là 2
n


15
sản phẩm bề ngoài giống nhau .trong đó có 2
n
-1 sản phẩm giốngnhau
về khối lợng còn 1 sản phẩm có khối lợng khác so với sản phẩm kia
và số lần cân để tìm ra sản phẩm sai khác là n lần .
Từ đó để các em rút ra cách giải dạng toán này bằng phơng pháp
luỹ thừa cơ số 2 .Đối với học sinh tiểu học giaó viên cần hớng dẫn
các em nhận ra luỹ thừa cơ số 2 chính
là tích của các thừa số
2.Số thừa số là số lần cân

.
*Khi giải bài toán dạng này ta cần xác định đợc mối quan hệ số sản
phẩm ban đầu với 2
-Số mũ (số thừa số 2 ) với số lần cân .
-Mỗi lần cân chia số sản phẩm ra làm 2 phần bằng nhau và tất nhiên
chia đôi tiếp mõi phần để đặt lên 2 đĩa cân .
Dựa vào cân thăng bằng hay không thăng bằng để xác định đợc sản
phẩm tiêu chuẩn và sản phẩm sai về khối lợng.
Cụ thể là :
Đặt lên mỗi đĩa cân 2
2n
sản phẩm còn 2
1n
sản phẩm không ở trên
cân .
+Trờng hợp 1: Nếu cân thăng bằng ,sản phẩm sai ở trong số 2 sản
phẩm không có ở trên cân .
Để tìm sản phẩm sai ta cân tiếp n-1 lần nữa .
+Trờng hợp 2 Nếu cân không thăng bằng ,sản phẩm sai ở trong số
2
1n
sản phẩm ở trên đĩa cân
Để tìm sản phẩm sai ta cân tiếp n-1 lần nữa.
Chú ý :Giáo viên cần giải thích 2
1n
dới ngôn ngữ toán tiểu học là :
2
ì
2
ì

ì
2 = 2
1n



16
Bạn đọc thẩm định lại qua các ví dụ sau :
Ví dụ 1 :
Có 16 đồng tiền 5 nghìn giống hệt nhau .trong đó có 1 đồng tiền giả
trọng lợng khác các đồng tiền kia .với 1 chiếc cân 2 đĩa không có quả
cân làm thế nào chỉ với 4 lần cân là tìm đợc đồng tiền giả ?
Bớc 1 .Phân bài tích toán
Xác định các mối quan hệ số sản phẩm ban đầu ;
16 đòng tiền = 2
ì
2
ì
2
ì
2 =2
4

Số thừa số 2 =số lần cân 4 lần
đồng tiền giả cần tìm : 1 đồng
Trọng lợng cha biết nặng hay nhẹ hơn so với đồng tiền thật
Nh vậy dựa vào các mối quan hệvà các dữ kiện của bài toán cho học
sinh nhận thấy ngay rằng việc sử dụng phơng pháp luỹ thừa cơ số 2sẽ
giải quyết đợc bài toán này.

+Bớc2 ; Giải toán
* Cân lần 1: Chia 16 đồng tiền thành 2 nhóm bằng nhau. đặt mỗi đĩa
cân 4 đồng tiền
a. Nếu cân thăng bằng thì đồng tiền giả nằm trong 8 đồng tiền
không ở trên cân
* Cân lần 2: Chia đôi 8 đồng tiền = 4+ 4 đồng
Đặt mỗi đĩa cân 2 đồng tiền của 4 đồng tiền còn 4 đồng không nằm
trên cân
Trờng hợp 1: Cân thăng bằng. Thì đồng tiền giả nằm trong 4 đồng
tiền không nằm trên cân.
Để tìm đồng tiền giả ta cân tiếp lần 3
Chia đôi 4 đồng tiền thành 2 nhóm . Đặt lên mỗi đĩa cân 1 đồng tiền.
Nếu cân thăng bằng thì đồng tiền giả nằm trong 2 đồng tiền bên ngoài
Cân lần4: Đặt 1 đồng tiền bên ngoài lên cân với một đồng tiền thật.
Cân thăng bằng hay không thăng bằng ta đều chọn đợc đồng tiền giả.
Nếu cân không thăng bằng thì đồng tiền giả nằm ở trên cân. Đồng tiền
thật nằm bên ngoài
b. Nếu cân không thăng bằng thì đồng tiền giả nằm trong 8 đồng
tiền trên cân.
Cân lần 2 : Chia 8 đồng tiền thành 2 nhóm

17
đặt lên mỗi đĩa 2 đồng tiền còn 4 đồng tiền không ở trên cân.
Trờng hợp 1: Cân thăng bằng thì đồng tiền giả nằm trong 4 đồng
tiền không ở trên cân
Cân tiếp 2 lần nữa nh bài toán 1 ta sẽ chọn đợc đồng tiền giả
Trờng hợp 2 : Cân không thăng bằng thì đồng tiền giả nằm trong 4
đồng tiền đang nằm trên 2 đĩa cân
Cân tiếp 2 lần nữa nh bài toán 1 ta cũng chọn đợc đồng tiền giả
Ví dụ 2:

Một ngời thợ kim hoàn có 64 thỏi vàng . Ông ta biết rằng trong đó có
một thỏi vàng giả ,các thỏi vàng giả nặng bằng nhau .Thỏi vàng giả
nặng hoặc nhẹ hơn các thỏi vàng thật ,với chiếc cân 2 đĩa không có
qủa cân .để lấy ra đợc thỏi vàng giả ngời thợ kim hoàn phải làm
nh thế nào ?
Giải
Với bài toán trên học sinh vận dụng cách giải tổng quát để giải 1 cách
dễ dàng .
Cân lần 1.
Chia 64 thỏi vàng làm 2 phần bằng nhau .
đặt lên mỗi đĩa cân 16 thỏi vàng ,phần còn lại 32 thỏi không nằm trên
cân
a Nếu cân thăng bằn thì thỏi vàng giả nằm trong 32 thỏi vàng không ở
trên cân .
Cân lần 2. Chia 32 thỏi vàng làm 2 phần bằng nhau đặt lên mỗi đĩa
cân 8 thỏi vàng ,16 thỏi vàng còn lại để bên ngoài .
+Trờng hợp 1: Nếu cân thăng bằng thì thỏi vàng giả nằm trong 16
thỏi vàng bên ngoài .
Để tìm thỏi vàng giả ta cân tiếp 4lần nữanh ví dụ 1
b Nếu cân thăng bằng thì thỏi vàng giả nằm trong 32thỏi nằm trên 2
đĩa cân .
*Cân lần 2:
bỏ 16 thỏi vàng ở 1 đĩa cân xuống chia đôi 16 thỏi vàng ở đĩa cân còn
lạivà đặt lên 2 đĩa mỗi đĩa 8 thỏi vàng .
+Trờng hợp 1.Nếu cân thăng bằng thì thỏi vàng giả nằm trong 16 thỏi
vàng không ở trên cân .

18
để tìm đợc thỏi vàng giả ta cân tiếp 4 lần nữa nh ví dụ 1.
+Trờng hợp 2:Nếu cân không thăng bằng thì thỏi vàng giả đang nằm

trong 16 thỏi vàng đang ở trên 2 đĩa cân .
Để tìm đợc thỏi vàng giả ta cân tiếp 4 lần nữa nh ví dụ 1.
* Nh vậy với phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3 học sinh
dễ dàng giải đợc 1 số bài toán tìm sản phẩm sai .Nhng bên cạnh các
phơng pháp này tôi còn cho các em tìm tòi 1 số phơng pháp khác để
giải dạng toán cân 2 đĩa không có quả cân .

Ví dụ .
Có 5 hộp bánh bề ngoài giống hệt nhau ,nhng có 1 hộp có khối lợng
không bằng (không biết nặng hơn hay nhẹ hơn )4 hộp bánh kia .Hỏi
với 1 cái cân 2 đĩa làm thế nào chỉ sau nhiều nhất 3 lần cân là tìm đợc
hộp bánh đặc biệt đó ?
Từ yêu cầu thực tế trên tôi đ hớng dẫn các em tìm hiểu thêm một
phơng pháp khác đó là :
Phơng pháp tách nhóm phần tử
Phơng pháp tách nhóm phần tửPhơng pháp tách nhóm phần tử
Phơng pháp tách nhóm phần tử


.

.


3. Phơng pháp tách nhóm phần tử.

Bài toán 1
Bài toán 1Bài toán 1
Bài toán 1

Có 5 hộp bánh bề ngoài giống hệt nhau ,nhng có 1 hộp có khối
lợng không bằng (không biết nặng hơn hay nhẹ hơn )4 hộp bánh
kia .Hỏi với 1 cái cân 2 đĩa làm thế nào chỉ sau nhiều nhất 3 lần cân
là tìm đợc hộp bánh đặc biệt đó ?
A . Phân tích bài toán .
Nhìn vào đề bài toán trên học sinh nhận thấy cấc dữ kiện bài toán cho
không có dấu hiệu đặc điểm bài toán giải bằng phơng pháp luỹ thừa
cơ số 2 và 3. học sinh nhận thấy số lần cân nhiều nhất là 3 lần .vậy vấn
đề đặt ra ở đây là giáo viên hớnghọc sinh phân tích tổng số sản phẩm
thành các nhóm để quan sát theo hớng nào thích hợp nhất các khả
năng có thể xảy ra nh:
5 = 1 + 1 và 3 hoặc 5 = 2 +2 và 1 .
Dựa vào 2 cách phân nhóm trên ta sẽ có 2 cách giải .
B . Giải
Cách 1.

19
Cân lần 1: Đặt lên mỗi đĩa cân 1 hộp bánh .
a .Nếu cân thăng bằng thì hộp giả nằm ở 3 hộp không ở trên cân .
b.Nếu cân không thăng bằng thì 1 trong 2 hộp nằm trên cân là hộp giả
3hộp không ở trên cân là thật
Cân lần 2: Đặt lên mỗi đĩa cân 1 hộp lấy từ 3 hộp không nằm trên cân
+trờng hợp 1 . cân thng bằng thì hộp còn lại là hộp giả .
+Trờng hợp 2 . Cân không thăng bằng hì hộp giả là 1 trong 2 hộp
nằm trên cân .
V ới trờng hợp cân không thăng bằng chỉ sau 2 lần cân ta đ tìm đợc
hộp giả .
Cân lần 3 : Đặt 1 hộp tiêu chuẩn lên 1 đĩa cân và bỏ 1 hộp xuống .
+Trờng hợp : cân thăng bằng hộp ở ngoài là hộp giả .
+Trờng hợp : Cân không thăng bằng ta xác định đợc ngay hộp giả

nhờ vào hộp tiêu chuẩn .
Cách 2.
Cân lần 1: Đặt lên 2 đĩa cân, mỗi đĩa 2 hộp bánh, khi đó xảy ra 1
trong 2 trờng hợp
- Nếu cân thăng bằng thì hộp còn lại là hộp cần tìm.
Nếu cân không thăng bằng thì hộp cần tìm chắc chắn ở 1 trong 2
đĩa cân, ta thực hiện cân tiếp
Cân lần 2 :
Lấy mỗi bên ra 1 hộp bánh . Khi đó xảy ra 1 trong 2 trờng hợp
Cân không thăng bằng thì hộp cần tìm là 1 trong 2 hộp ở trên cân
Nếu cân thăng bằng thì hộp cần tìm là 1 trong 2 hộp vừa lấy ra
Nh vậy sau lần cân thứ hai ta đ xác định đợc hộp cần tìm là một
trong hai hộp nào đó.
Gọi hai hộp đó là A , B, hộp còn lại là C
Cân lần 3:Đặt hộp A(hoặc hộp B) lên 1 đĩa cân, đĩa kia đặt hộp C
(Tiêu chuẩn )
Trờng hợp 1: Cân thăng bằng thì hộp B hoặc hộp A là cần tìm
Trong hợp 2: Cân không thăng bằng thì ta cũng sẽ chọn đợc hộp
giả dựa vào hộp tiêu chuẩn.
Nhận xét.
Nh vậy qua bài toán này ta thấy để tìm đợc sản phẩm sai

20
Có khối lợng khác thì lần cân đầu tiên rất quan trọng
Ngoài cách chia làm 2 phần hoặc3 phần bằng nhau thì ta có thể sử
dụng phơng pháp tách nhóm phần tử để chia thành các nhóm sao
cho có 2 nhóm có số sản phẩm bằng nhau và 1 nhóm có số sản phẩm
khác. Để đặt lên cân và xác định đợc sản phẩm sai nằm ở nhóm
nào?
A = b + b và c

Tiếp tục cân lần tiếp theo cũng bằng phơng pháp tách nhóm nhỏ hơn
để tìm sản phẩm sai khác về khối lợng.
Nếu số sản phẩm ở bài toán đang đè cập là S mà 2
n-1
< S<2
n
thì số
lần cân nhiều nhất là n.
Bạn đọc xem bảng sau sẽ rõ cách giải bằng phơng pháp chia nhóm.



Tuy các phơng pháp giải bài toán cân 2 đĩa không có quả cân có nội
dung gần giống nhau , nhng do tính chất của sản phẩm sai khác nhau
Số sản
phẩm
Lần cân thứ nhất Số lần cân nhiều nhất
3 3=1+ 1 và 1 2
5 5=1+1 và 3
=2+2 và 1
3
6 6 =2 +2 và 2 3
7 7 =2+2 và 3 3
9 9 = 3 +3 và 3 4
10 10 = 3 + 3 và 4 4
11 11= 4+4 và 3 4
12 12= 4 + 4 và 4 4
13 13 =4 + 4 và 5 4
14 14 =4 + 4 và 6 4
15 15 = 4 + 4 và 7 4

1 7 17= 5 + 5 và 7 5
S S = a +b và c n



21
, nên các cách cân ở mỗi loại bài toán này cũng khác nhau . và do đó
mối liên hệ giữa số sản phẩm và số lần cân cũng khác nhau . Học sinh
cần biết lựa chọn phơng pháp giải nào cho phù hợp nhất để tìm đợc
sản phẩm sai .

4 PHƯƠNG PHáP SáNG TáC Đề TOáN VớI CHIếC CÂN 2
ĐĩA KHÔNG Có QUả CÂN
Đối với bài toán cân 2 đĩa không có quả cân đợc đề cập tới trong
sách giáo khoa và sách nâng cao rất ít .Trong thực tế giảng dạỵ đ
chứng tỏ rằng ;Nếu chỉ sử dụng các dạng bài toán đ nêu trong SGK và
VBT thì cha thể dạy toán tốt đợc, nên giáo viên và học sinh phải có
khả năng sáng tác nhanh những đề toán mới, phù hợp với yêu cầu
chơng trình vừa kích thích đợc tính chủ động sáng tạo trong học tập
của học sinh
Đối với bài toán cân 2 đĩa, sáng tác đề thi không khó,nhng cần
đảm bảo một số yêu cầu sau :
*Điều kiện 1 :
Sản phẩm sai khác về khối lợng nên chỉ là 1 đơn vị sản phẩm
*Điều kiện 2 :
Các sản phẩm còn lại phải có khối lợng bằng nhau.
*Điều kiện 3 : Số lần cân.
Dựa vào các điều kiện trên ta có thể lập đợc các đề toán một cách dễ
dàng:
Gọi S là số sản phẩm ban đầu

n là số lần cân nhiều nhất
Ta có dạng toán:
Dạng 1: biết trớc sản phẩm sai là nặng hơn hoặc nhẹ hơn :
Loại 1: S= 3
n


Ví dụ: n = 3
Thì
S
1
=
3
3
= 3
ì
3
ì
3
Đề trên giải bằng phơng pháp luỹ thừa của 3
Loại 2 : Vời số sản phẩm là S
2
thì : 3
1n
< S <3
n

Ví dụ :n=3

22

Thì : 9 < S
2
<27
Các đề này giải bằng phơng pháp tách nhóm phần tử.
Dạng 2: Sản phẩm sai cha biết nặng hay nhẹ hơn so với sản phẩm
tiêu chuẩn.
Loại 1: S= 2
n

Ví dụ :
Với n = 4 thì S= 2
4
= 2
ì
2
ì
2
ì
2
Để giải bài toán trên ta dùng phơng pháp luỹ thừa cơ số 2
Loại 2: Với số sản phẩm là S
2
thì : 2
1n
<S
2
< 2
n

Ví dụ :n = 4 thì: 8 < S

2
<16

Các đề bài này giải bằng phơng pháp tách nhóm phần tử .
Từ đó học sinh và giáo viên có thể đặt vào trong các văn cảnh cụ thể
để sáng tác đề toán sao cho sinh động và phù hợp ,chính xác kích thích
đợc lòng say mê học tập ở các em

III . kết quả
Với những nội dung và giải pháp thực hiện đ tiến hành nêu ở trên
giúp giáo viên và học sinh giải bài toán
cân 2 đĩa không có quả
cân
bằng nhiều phơng pháp nh:
+ phơng pháp luỹ thừa cơ số 2
+ phơng pháp luỹ thừa cơ số3,
+ phơng pháp chia nhóm phần tử .
Giúp học sinh không còn lúng túng khi gặp các dạng toán khó này nữa
Khổ luyện thành tài .Nếu ngời giáo viên chịu khó suy nghĩ tìm tòi
những phơng pháp dạy học thích hợp thì sẽ giúp cho các em có hứng
thú trong học tập và hiệu quả giáo dục sẽ đạt kết quả cao .
Sau đây là kết quả khảo sát khi dạy thực nghiệm dạng toán này cho
học sinh Trờng tiểu học Thắng Lợi.
1. Kết quả trắc nghiệm khi cha áp dụng giải bằng các phơng
pháp đ nêu cho lớp 3A học sinh khá giỏi năm học 2006 2007

Sĩ số Số học sinh biết cácgiải

Số học sinh cha biết cáchgiải
Số lợng % Số lợng %

23

30
7 23,3 23 76,7

2 Kết quả trắc nghiệm khi áp dụng giải bằng các phơng pháp đ nêu
cho lớp 3A học sinh khá giỏi năm học 2007 2008.

Sĩ số Số học sinh biết cácgiải

Số học sinh cha biết cáchgiải


30
Số lợng % Số lợng %

26

86,6

4

13,4


3. Kết quả khảo sát khi hớng dẫn học sinh giải bằng phơng pháp này
với các bài toán cân 2 đĩa không có quả cân .Năm học 2008-2009 cho
lớp 4A

Sĩ số Số học sinh biết cácgiải

Số học sinh cha biết cáchgiải


30
Số lợng % Số lợng %

30

100

0

0

4.Kết quả khảo sát lớp 5A khi thực hành học dạng toán này bằng
phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và 3 với phơng pháp chia nhóm phần tử



Sĩ số Số học sinh biết cácgiải

Số học sinh cha biết cáchgiải


33
Số lợng % Số lợng %

33

100

0

0



24
Tôi thiết nghĩ lựa chọn các phơng pháp dạy học là cần thiết .Lựa chọn
các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán khó lại vô cùng quan
trọng để có đợc những kết quả tốt đẹp.Đúng nh lời của 1nhà giáo
dục đ nói :
Dạy học không phải là chất đầy vào một cái thùng rỗng mà là thắp
sáng lên những ngọn lửa tri thức.

Phần ba

Kết luận

1
. Bài học kinh nghiệm
.
Việc giải toán có 1 vị trí quan trong trong chơng trình toán tiểu học
.Để giải toán tốt học sinh còn phải biết áp dụng thành thạo các phơg
pháp giải .Qua 1số ví dụ đ nêu ở trên ta có thể nhận thấy ứng dụng
của phơng pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3 cùng phơng pháp chia
nhóm phần tử để tìm đợc sản phẩm sai khác về khối lợng từmột số

sản phẩm cho trớc .Thực chất của loại toán này là bài toán chia đại
lợng .Phơng pháp giải bài toán cân 2 đĩa không có quả cân đợc
chia làm 2 dạng cơ bản ;
Dạng 1; Sản phẩm sai cần lấy ra biết có khối lợng nặng hoặc nhẹ hơn
so vớin sản phẩm tiêu chuẩn .

Loại bài toán1
Số sản phẩm sai đợc lấy ra từ S sản phẩm ngoài giống nhau
3
1n
< S <3
n
.Trong đó có S 1 sản phẩmbề ngoài giống nhau ,với số
lần cân nhiều nhất là n lần thì lần cân đầu tiên là rất quan trọng chúng
ta cần đa về dạng phân tích nhóm thành 3 nhóm sao cho 2 nhóm có
số sản phẩm bằng nhau và 1 nhóm có số sản phảm khác để dễ dàng
loại trừ bớt các sản phẩm tiêu chuẩn phần còn lại sẽ là nhóm chứa sản
phẩm sai .
Dạng 2:
Sản phẩm sai cần lấy ra không biết nặng hay nhẹ hơn so với sản phẩm
tiêu chuẩn .

25
Để tìm sản phẩm sai ta cân tiếp n 1 lần nữa
* .Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm sai nằm trong số 2
1n
sản
phẩm ở trên cân .
để tìm sản phẩm sai ta cân tiếp n-1 lần nữa.
b . Loại bài toán có số sản phẩm sai đợc lấy ra từ S sản phẩmmà ;

2
1n
< S <2
n
. Trong đó S-1 sản phẩm có khối lợng bằng nhau .Với số
lần cân nhiều nhất là n lần thì lần cân đầu tiên cũng rất quan trọng
chúng ta đa về dạng phân tích nhóm phần tử để giải .
Nh vậy với cả 2 dạng toán cân 2 đĩa không có quả cân này có nội
dung gần giống nhau ,do tính chất của sản phẩm sai khác nhau nên
cách cân ở mỗi loại bài toán cũng khác nhau .Do đó mối liên hệ giữa
số sản phẩm và số lần cân cũng khác nhau .
Dựa vào bài toán tổng quát giáo viên và học sin có thể tự ra đề
một cách chính xác để làm phong phú bài tập cho toán cân 2 đĩa không
có quả cân (xem phần sáng tác đề toán).
Tuy rằng phơngpháp này không giải quyết đợc hầu hết các bài
toán cân 2 đĩa không có quả cân ở tiểu học song cùng với các phơng
pháp khác đẫ tạo ra cho ta một cách nhìn đa dạng , thêm vào 1 công cụ
giải toán cân 2 đĩa bằng phơng pháp luỹ thừa cơ số 2và cơ số 3 cùng
hoàn chỉnh thêm một bớc trong hệ thống phơng pháp giải toán tiểu
học nói chung .Mặt khác qua việc giảng dạy phơng pháp giải dạng
toán này còn có ý nghĩa giáo dục và khắc sâu cho học sinh thấy mối
liên hệ giữa các khái niệm toán học với nhau và ý nghĩa của việc xây
dựng nên 1 khái niệm toán học mới (đại lợng khối lợng ).Nó không
những để giải quyết 1 nhiệm vụ mới mà nhiều khi còn là 1công cụ đắc
lực để giải quyết các bài toán cũ hữu hiệu hơn ,gọn gàng hơn. Chính
điều này gây hứng thú cho học sinh khi học toán .
Cụ thể việc nhận định dạng toán ,xác định các yếu tố cơ bản của
bài toán,việc phân tích 1 số thành tích của các thừa số 2 hoặc 3 ,xác
định nhóm chứa sản phẩm sai để loại trừ sản phẩm tiêu chuẩn ,còn lại
sẽ là sản phẩm sai cần tìm cùng với việc tập ra đề toán đ giúp cho trẻ

phát triển t duy độc lập sáng tạo ,tập dợt sử dụng toán học vào việc
giải quyết các vấn đề thờng gặp trong thực tiẽn đời sống .Việc đặc