tương giao hai đồ thị

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT
VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009
Môn:
TOÁN
Chuyên đ:
S TNG GIAO
I. MC ÍCH CHUYÊN 
- Các bn s nm vng phng pháp làm v s tng giao gia hai đng cong
- Giúp các bn làm tt bài tp v dng này.
II. KIN THC C BN
1. Phng pháp làm bài
-  tìm giao đim ca mt đng cong y = F(x) nói chung (ca lp các hàm đa thc nói riêng)

vi mt đng cong y = G(x) nào đó; phng pháp chung ta quy v xét s tn ti nghim ca
phng trình
F(x) = G(x) (1).
Nhìn chung (1) đu là các phng trình bc cao (có bc ≥ 3). Nu có th, các bn tìm mi
cách h bc ca (1). Ta luôn s dng kt qu sau:
Nu x = a là mt nghim đoán đc ca (1) thì (1) đa đc v dng sau:
(x - a)H(x) = 0
Trong đó phng trình H(x) = 0 có bc gim đi 1 so vi phng trình gc (1).
- Nu s dng các kt qu v giá tr ln nht, nh nht ca hàm bc 3, ta có kt qu thông dng
sau:
Xét phng trình sau:
F(x) = ax

3
+ bx
2
+ cx + d = 0, a ≠ 0 (2).
Khi đó:
1. (2) có 3 nghim phân bit khi và ch khi F(x) có cc đi, cc tiu và
Y
max
Y
min
< 0.
2. . (2) có 2 nghim phân bit khi và ch khi F(x) có cc đi, cc tiu và

Y
max
Y
min
= 0.
3. . (2) có 1 nghim khi và ch khi:
- Hoc là F(x) không có cc đi , cc tiu.
- hoc là F(x) có cc đi, cc tiu và Y
max
Y
min
> 0.

Cn nhn mnh rng vi bài toán ngoài vic đòi hi tính giao nhau ca các đng cong bc ba
vi mt đng cong khác có bc không quá ba, ta còn quan tâm đn tính cht ca các giao đim
thì kt qu va dn ra  trên ch có th xem nh mt điu kin cn. Nó cha đ sc mnh đ gii
hoàn toàn bài toán.  gii quyt trn vn, ta cn s dng thêm các kin thc khác.

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2
2. S tng giao hàm đa thc vi trc Ox.
VD1
: Cho h đng cong ph thuc tham s m:
y = x

3
– 3(m+1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m+1).
Tìm m đ đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ > 1.
Bài gii:
ng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ > 1 khi và ch khi phng
trình x
3
– 3(m+1)x

2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1)
có 3 nghim phân bit > 1.
Do x = 2 là nghim ca (1), nên(1) có th vit di dng sau:
(x - 2)[x
2
– 3(m+1)x

+ 2m(m + 1)] = 0 (2)
 (2) có 3 nghim phân bit > 1, thì điu kin cn và đ là phng trình

x
2
– 3(m+1)x

+ 2m(m + 1) = 0 có 2 nghim phân bit > 1 và khác 2.
Theo đnh lý đo v tam thc bc 2, điu đó xy ra khi:
0
(1) 0
1
2
(2) 0
af

s
f
Δ>
⎧
⎪
>
⎪
⎪
⎨
>
⎪
⎪

≠
⎪
⎩
<=>
2
2
2
210
20
3!2
242
mm

mm
m
mm
⎧
−+>
⎪
⎪
−>
⎨
+>
⎪
⎪

0
−
+≠
⎩
<=>
1
2
1
m
m
⎧
>

⎪
⎨
⎪
≠
⎩

Vy các giá tr cn tìm ca m là:
1
1
2
m
<

<
và m > 1.
Nhn xét
:
- nh lý đo v du tam thc bc hai nói chung là công c hu hiu đ gii các bài toán
thuc loi này.
- Tuy nhiên trong VD trên (2) có th vit di dng:
(x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0
<=> x = 2, x= 2m, x = m + 1.
Vì th ta cn có:
21,22
11; 12

21
mm
mm
mm
>≠
⎧
⎪
+> +≠
⎨
⎪
≠+
⎩

<=>
1
2
1
m
m
⎧
>
⎪
⎨
⎪
≠

⎩

ó là cách gii trc tip không thông qua đnh lý đo v du tam thc bc hai.
VD2
: Bin lun theo m s giao đim vi trc hoành ca đng cong:
y = x
3
– 3x
2
+ 3(1 – m )x + 3m+1.
Bài gii:
Ta có y’ = 3x

2
– 6x + 3(1 –m ) = 3(x
2
– 2x +1 –m ).
ng cong có cc tr <=> PT: y’ = 3(x
2
– 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghim phân bit
<=> 
’
= 1 – (1 – m ) = m > 0 (1)
Ta có nhn xét sau:
x

3
– 3x
2
+ 3(1 – m )x + 3m+1 = (x
2
– 2x +1 –m )(x - 1) + 2 (-mx + 1 + m).
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3
Hay: y =
1
3
y’ (x - 1) + 2 (-mx +1+m) (2)

ng thc (2) chng t rng: Nu(x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) là các đim cc tr ca hàm s thì:

11
22

2( 1 )
2( 1 )
ymxm
ymx
=− ++
⎧
⎨
=− ++
⎩
m
Bây gi ta bin lun s giao đim ca đng cong vi trc hoành nh sau:
1. ng cong ct trc hoành ti 1 đim duy nht khi:

a. Hoc là đng cong không có cc đi, cc tiu.
<=>
’
≤ 0
<=> m ≤ 0
b. Hoc là có cc đi, cc tiu nhng y
1
y
2
> 0. iu đó xy ra khi:
12
0

0
m
yy
>
⎧
⎨
>
⎩
⇔
22
12 1 2
0

(1 )( ) (1 ) 0
m
mxx m m x x m
>
⎧
⎪
⎨
−+ +++ >
⎪
⎩
(3)
(4)

Do x
1,
x
2
là hai nghim ca phng trình x
2
– 2x + 1 – m = 0, nên
x
1
+ x
2
= 2; x

1
x
2
= 1 – m
Thay vào (4) và có:
(3),(4)
⇔
3
0
10
m
m

>
⎧
⎪
⎨
−+>
⎪
⎩
⇔
0 < m < 1
Kt hp li ta có: ng cong ct trc hoành ti mt đim duy nht khi m<1
2. ng cong ct trc hoành ti 2 đim khi đng cong có cc tr và y
1

y
2
=0 iu này xy ra
khi:
12
0
0
m
yy
>
⎧
⎨

=
⎩
⇔
3
0
10
m
m
>
⎧
⎪
⎨

−+=
⎪
⎩
⇔ m=1
3. Tng t đng cong ct trc hoành ti 3 đim khi m > 1.
VD3
: Cho đng cong y = x
3
– 3x
2
+( 2m - 2 )x + m - 3.
Tìm m đ đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ x

1
, x
2
, x
3
tho mãn điu
kin: x
1
< -1 <x
2
< x
3

Bài gii:
iu kin cn
: Gi s m là giá tr tho mãn yêu cu bài toán. Khi đó ta có:
F(x) = x
3
– 3x
2
+( 2m - 2 )x + m – 3= (x – x
1
)(x – x
2

)(x – x
3
).
Ta gi thit: x
1
< -1 <x
2
< x
3
ta suy ra F(-1) > 0.
=> -m – 5 > 0
=> m < -5

Vy m < -5 là điu kin cn đ tho mãn điu kin đ ra.
iu kin đ
: gi s m < -5. Ta có:
F(-1) = -m – 5 > 0
F(0) = m – 3 < 0 (Do m < -5).
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Vì ,nên tn ti b<-1 ,sao cho F(b)<0
lim ( )
x
Fx
→−∞
=−∞

Vì: , nên tn ti a>0 , sao cho F(a)>0.
lim ( )
x
Fx
→+∞
=+∞

T tính liên tc ca F(x) và do F(b) < 0; F(-1) > 0; F(0) < 0; F(a) > 0;
nên tn ti x
1
, x

2
, x
3
tho mãn: x
1
< -1 <x
2
< x
3
khi và ch khi m < -5.
Nhn xét: Ba Vd trên cho ta các cách gii khác nhau, và đó cng chính là các cách thng gp
nht:

- H bc phng trình ri dùng đnh lý đo v du tam thc bc 2.
- S dng vi mi liên h vi giá tr ln nht và nh nht ca hàm s.
- S dng các kin thc khác.
ó chính là các lc đ chung nht đ xét các bài toán v đim ct đi vi các đng cong đa
thc bc ba.
VD4
: Cho đng cong y = x
3
- 3 mx
2
+ 2m (m - 4)x + 9m
2

– m .
Tìm m đ đng cong chn trên trc hoành 2 đon bng nhau.
Bài gii
iu kin cn:

Gi s đng cong chn trên trc hoành hai đon bng nhau, tc là đng cong ct trc
hoành ti 3 đim phân bit A, B, C sao cho: BA = BC
Gi s x
1
, x
2
, x

3
tng ng là hoành đ ca A, B, C
Khi đó ta có: x
2
- x
1
= x
3
- x
2

=> x

3
+ x
1
= 2x
2

=> x
1
+

x
2

+ x
3
= 3 x
2

Vì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghim ca phng trình bc 3

x
3
- 3mx
2
+ 2m(m - 4)x + 9m
2
- m = 0 (1)
nên theo đnh lý Viet vi (1), và có x
1
+

x

2
+ x
3
= 3 m
T đó có 3m = 3x
2
=> x
2
= m
Do m là nghim ca (1), nên thay vào (1) ta có
m
3

- 3m
3
+ 2m
2
(m - 4) + 9m
2
- m = 0
<=> m
2
- m = 0
<=>
0

1
m
m
=
⎡
⎢
=
⎣
Vy điu kin cn là: m = 0 hoc m = 1
iu kin đ:

-Nu m = 0 => đng cong tr thành y = x

3

Rõ ràng y = x
3
ch ct trc hoành ti mt đim => loi trng hp này
- Nu m = 1 => y = x
3
- 3x
2
- 6x + 8
T y = 0 <=> (x - 1) (x
2

- 2x - 8) = 0
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
<=> x
1
= 1, x
2
= -2, x
3
= 4
Rõ ràng đng cong ct trc hoành ti ba đim có hoành đ x
1,

x
2
, x
3
sao cho:
x
2
- x
1
= x
3
- x

2 ,

tc là chn trên trc hoành 3 đon bng nhau.
Vy m = 1 là giá tr ca tham s m cn tìm.
3. S tng giao ca hàm phân thc.
Các bài toán thuc loi này thng có dng sau: Tìm điu kin đ đng cong (C) biu
din hàm phân thc và mt đng (C’) cho trc ct nhau và hoành đ các giao đim tha mãn
mt điu kin cho trc nao đó. Hãy xét các thí d sau đây:
Thí d 1. Chng minh rng đng cong y =
2
2
1

x
x
x
+
+
và đng thng y = -x - 3 ct nhau ti 2
đim phân bit đi xng vi nhau qua đng thng y = x .
Gii: Xét phng trình
2
2
1
x

x
x
+
+
= - x - 3 vi điu kin x 1
≠
−
ú x
2
+ 2x = - x
2
- 4x = 3

ú 2x
2
+ 6x + 3 = 0 (1)
Rõ ràng (1) có hai nghim phân bit (vì
'
Δ
= 3 > 0)
Gi M
1
(x
1
, -x

1
- 3) và M
2
(x
2
, -x
2
- 3) là hai giao đim ca hai đng trên.
ng thng qua M
1
M
2

có h s góc
k =
21
21
(3)(3)
1
xx
xx
−−−−−
=−
−
.

Vì vy, M
1
M
2
nm trên đng thng vuông góc vi y = x
Gi I là trung đim M
1
M
2
, thì to đ (x
0
, y

0
) ca I là
x
0
=
12
2
x
x
+

y

0
=
12
21
(3)( 3)
1
xx
xx
−−+− −
=
−
−

Do x
1
, x
2
là hai nghim ca (1), nên theo đnh lí Viet, ta có x
1
+ x
2
= - 3 .
Thay vào (2) ta có: x
0

= y
0
=
3
2
−

iu đó chng t rng I nm trên đng thng y = x
Nói cách khác, M, N đi xng vi nhau qua đng thng y = x. ó là đ.pc.m.
Thí d 2. Cho y =
2
3

1
x
x
+
+
(C)
Vit phng trình đng thng (d) đi qua M(2,
2
5
) sao cho (d) và (C) ct nhau ti hai
đim phân bit A và B, sao cho M là trung đim ca AB.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Gii : Vì y =
2
3
1
x
x
+
+
là đng cong thun tuý (ng vói mt x ch có mt y tng ng),
nên đng thng x = 2 không th ct (C) ti hai đim phân bit, cho nên đng thng cn tìm
phi có dng y = k(x - 2) +

2
5
(d)
Trc ht ta tìm k đ (d) và (C) ct nhau ti hai đim phân bit. Mun vy xét phng
trình:
2
3
1
x
x
+
+

= k(x - 2) +
2
5

ú 5(1 - k)x
2
+ (5k - 2) + 10k + 13 = 0 (1)
( do x=-1 không phi là nghim ca
2
3x
+
).

 (1) có hai nghim phân bit ta cn có
(5k - 2)
2
+ - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2)
Khi đó (1) có hai nghim phân bit x
1
, x
2
và hai giao đim ca (C) vi (d) là: I(x
1
, k(x
1

-
2) +
2
5
) và J(x
2
, k(x
2
- 2) +
2
5

Rõ ràng M, I, J cùng nm trên (d), do đó M là trung đim ca IJ nu nh
2x
M
= x
I
+ x
J

ú 4 = x
1
+ x
2

ú 4 =
52
5( 1)
k
k
−
−

ú 20k - 20 = 5k - 2
ú k =
6

5
(3)
Thay (3) vào (2) thy đúng. Vy k =
6
5
là giá tr duy nht ca tham s m tho mãn yêu
cu đ ra.
Thí d 3: Cho y =
2
1
1
x

x
x
+
−
−
(C)
Tìm m đ (C) ct y = -x + m ti hai đim phân bit A và B. Chng minh rng khi y A, B
thuc cùng 1 nhánh ca đ th (C).
Gii :  y = -x + m ct (C) ti hai đim phân bit, điu kin là phng trình:
2
1
1

x
x
x
+−
−
= -x + m có hai nghim phân bit
≠
1. Vì x = 1 không phi là nghim ca x
2
+
x - 1, nên điu đó xy ra khi phng trình
x

2
+ x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghim phân bit. Ta có th vit li (1) di dng
sau :
f(x) = 2x
2
- mx + m - 1 = 0 (2) .
(1)
có hai nghim phân bit khi
Δ
= m
2
- 8m + 8 > 0

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
ú m < 4 - 2
2
hoc m > 4 + 2
2
(3)
Vi điu kin (3) ta có:
af(1) = 2 > 0 . Vy 1
∉
[
]

12
,
x
x
,  đây x
1,
x
2
là hai nghim ca (2). iu này chng t
rng c hai giao đim A, B gia (C) và y = -x + m nm v cùng mt phía ca đng thng x = 1,
tc là A, B thuc cùng mt nhánh ca đ th ca (C) => đpcm.
III. CNG C KIN THC

Bài tp 1: Cho y =
2
8xmx
xm
+
−
−
(C
m
)
Tìm m đ C
m

ct trc hoành ti hai đim phân bit A, B sao cho các tip tuyn vi (C
m
)
ti A và B vuông góc vi nhau.
Gii : ng cong (C
m
) và trc hoành Ox ct nhau ti hai đim phân bit (mà ta s gi là
A, B) khi và ch khi h sau
2
8xmx
x
m

+−
−
= 0
x m
≠
có hai nghim phân bit. iu này xy ra khi và ch khi h
f(x) = x
2
+ mx - 8 = 0
f((m) 0
≠
có hai nghim phân bit , tc là:

Δ = m
2
+ 32 > 0 . (1)
T (1) suy ra vi mi m, C
m
và Ox luôn ct nhau ti hai đim phân bit A, B. Gi x
1
, x
2

tng ng là hoành đ ca A và B thì x
1

, x
2
là hai nghim phân bit ca phng trình x
2
+ mx -
8 = 0 . (2)
Ta có y
’
=
22
2
28

()
x
mx m
xm
−+−
−
= 1 +
2
2
82
()
m

x
m
−
−
.
Tip tuyn vi (C
m
) ti A, B tng ng có h s góc là
k
1
= 1 +
2

2
1
82
()
m
x
m
−
−

k
2

= 1 +
2
2
2
82
()
m
x
m
−
−
.

 hai tip tuyn này vuông góc vi nhau, ta cn có
k
1
, k
2
= - 1 1 + (8 - 2m
2
) ⇔
22
12
11
()()xm x m

⎡
⎤
+
⎢
⎥
−−
⎢
⎥
⎣
⎦
+
22

22
12
(8 2 )
()( )
m
x
mxm
−
−−

⇔ 1 + (8 - 2m
2

)
[]
22
11 12
2
12
1( ) 22
()( )
x
xmxx m
xmx m
+− + +

−−
+
22
2
12
(8 2 )
()( )
m
xmx m
−
⎡
⎤

−−
⎣
⎦
.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8
Áp dng đnh lý Viet vi (2), ta có
x
1
+ x
2

= - m; x
1
x
2
= - 8, suy ra
2
1
x
+
2
2
x

= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= m
2

+ 16 ,
(x
1
- m) (x
2
- m) = x
1
x
2
- m (x
1
+ x

2
) + m
2
= - 8 + 2m
2 .

Thay li vào trên và có
k
1
k
2
= - 1 1 + (8 - 2m

2
) ⇔
22
22
16 4
(2 8)
mm
m
++
−
+
22

2
(8 2 )
(2 8)
m
m
−
−
2
= -1
⇔ 3 -
2
2

51
28
m
m
+
−
6
= 0 m = ⇔
±
40 .
Vy có hai giá tr cn tìm ca tham s m là m =
±

2 10 .
Bài tp 2: (i hc, Cao đng khi D nm 2003)
Tìm m đ đng thng y = mx + 2 - 2m ct đng cong y =
2
24
2
xx
x
−
+
−
ti hai đim phân

bit.
Bài gii
ng cong y =
2
24
2
xx
x
−+
−
và y = mx + 2 - m ct ti hai đim phân bit khi và ch khi
phng trình:

2
24
2
2
xx
m
m
−+
=+−
−
m
có hai nghim phân bit, tc là phng trình

x
2
- 2x + 4 = (m - 2) (mx + 2 - m)
ú (m - 1) (x - 2)
2
= 4 có hai nghim phân bit
≠
2
iu đó xy ra khi và ch khi m - 1 > 0
ú m > 1
Bài tp 3: (i hc, Cao đng khi A - 2004)
Cho y =

2
33
2( 1)
x
x
x
−+−
−
(C)
Tìm m đ đng thng y = m ct (C) ti hai đim A, B sao cho AB = 1
Bài gii
Xét phng trình

2
33
2( 1)
xx
m
x
−+−
=
−
(1)
Do x = 1 không phi là nghim ca - x
2

+ 3x - 3, nên
(1)
ú - x
2
+ 3x - 3 = 2m(x-1)
ú x
2
+ (2m -3)x + 3 - 2m = 0 (2)
Gi x
1
, x
2

là hai nghim phân bit ca (2).  có điu này ta cn có
Δ = (2m - 3)
2
- 4(3 - 2m) > 0
ú 4m
2
- 4m - 3 > 0 ú m >
3
2

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 9

hoc m < -
1
2
(3)
Ta có giao đim A, B là A (x
1
, m) . B (x
2
, m)
T đó AB = 1
ú
21

1xx−=

ú (x
2
- x
1
)
2
= 1
ú (x
2
+ x

1
)
2
- 4x
1
x
2
= 1 (4)
Áp dng đnh lí Viet đi vi (2), thì x
1
+ x
2

= 3 - 2m, x
1
x
2
= 3 - 2m
Thay li vào (4) ta có:
(3 - 2m)
2
- 4 (3 - 2m) = 1
ú m
2
- m - 1 = 0

ú m =
15
2
±
(5)
Kt hp (3), (5) suy ra m =
15
2
±

Vy có hai giá tr ca tham s m tho mãn đu bài .
IV. BÀI TP V NHÀ

Bài tp 1. Chng minh rng vi mi m, đng thng y =
1
2
x - m luôn ct (c) ti hai đim phân
bit A và B. Tìm m sao cho AB là nh nht.
áp s:
nên AB = 10 khi m = -2
Bài tp 2. Tìm m đ (C) : y =
2
x
xm
xm

−++
+
ct đng thng (d) y = x - 1 ti 2 đim phân bit.
áp s:
m < - 6 -
42
hoc m > - 6 +
42
(vì m
≠
0)
Bài tp 3 :Tìm m đ đ th hàm s y =

2
1
1
x
mx
x
+
−
+
ct y = m ti 2 đim phân bit A, B sao cho
.
AB OB⊥

áp s:
m =
15
2
−±

Bài tp 4:Cho đng cong y = x
3
- x
2
+ 18mx - 2m
Tìm m đ đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ x

1
, x
2
,x
3
,sao cho x
1
< 0
< x
2
< x
3.

áp s:
m < 0
Bài tp 5: Cho hàm s . Gi (d) là đng thng đi qua đim M(0;-1) và có h
s góc là k. Tìm k đ đng thng (d) ct (C) to 3 đim phân bit.
32
23yx x=−−1
Bài tp 6: Cho hàm s :
2
24
2
xx
y

x
−+
=
−
(1) và đng thng (d): y = mx+2-2m. Tìm m đ đng
thng (d) ct đ th hàm s (1) ti hai đim phân bit
T Toán Trung tâm BDVH
Hocmai.vn
Ngun:
Hocmai.vn