bài tập tương giao của đồ thị hàm số

Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho
2
3
( ) :
1
x
C y
x
+
=
+
. Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua
2
(2; )
5
A
sao cho (d) cắt
(C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N nhận A làm trung ñiểm.
Giải:
Vì ñường thẳng x=2 ñi qua A nhưng chỉ cắt (C) tại 1 ñiểm.
Vậy phương trình ñường thẳng ñi qua A và cắt (C) tại M, N có dạng (d):
2
( 2)
5
y k x

= − +

Hoành ñộ giao ñiểm của (C) và (d) là nghiệm của PT:

( )
( )
2 2
2
2 2
2
3 2 3 5 ( 2) 2
( 2)
1 5 1 5
5 3 5 ( 2) 1 2( 1)
5 15 5 ( 2) 2 2
5 ( 1) (5 2) (10 13) 0(*)
x x k x
k x
x x
x k x x x
x k x x x
x k k x k
+ + − +
= − + ⇔ =
+ +
⇔ + = − + + +
⇔ + = − − + +
⇔ − − − − + =

ðể C) và (d) cắt nhau tại M, N phân biệt nhận A làm trung ñiểm thì:

2
2
1 2
(5 2) 20( 1)(10 13) 0
225 40 256 0
5 2
5 2 20 20
4 2
5 5
4 4 145 4 4 145
;
18 2
45 45
( ) : ( 2) ( ) : 6 5 10 0
15 5
18
( / )
15
A M N
k k k
k k
b k
k k
x x x x x
a k
k k
d y x hay d x y
k t m
∆


= − + − + >

+ − >

⇔
 
−
− = −
= = + = + = − =


 −

− + − −
> <


⇔ ⇒ = − + − − =


=



Bài 2: Cho
3
( ) : 3
C y x x
= −

CMR: ðường thẳng (d):
( 1) 2
y m x
= + +
luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh.
Giải:
Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

( )
3
3 3
3 2 0
3 ( 1) 2 3 2 ( 1) 0 1
1 0
x x
x x m x x x m x x
x

− − =
− = + + ⇔ − − + + = ⇔ ⇔ = −

+ =


Vậy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh có tung ñộ là:
( 1;2)
A
−

Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 6



Bài 3: Cho
3
( ) : 3
C y x x
= −
. Tìm m ñể ñường thẳng (d):
( 1) 2
y m x
= + +
luôn cắt (C) tại 3 ñiểm
A, B, C phân biệt và tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau.
Giải:
Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

− = + + ⇔ − + − + =
 
⇔ + − − + = +
 
3 3
2
3 ( 1) 2 ( 3) ( 2) 0
( 1) ( 2) ( 1) ( )
x x m x x m x m
x x x m x g x

Ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm cố ñịnh A(-1;2) nên ñể cắt tại 3 ñiểm phân biệt thì:

9
1 4( 2) 0
(*)
4
( 1) 0
0
g
m
m
g m
m
∆

= + + >

> −

⇔
 
− = − ≠


≠


HSG tiếp tuyến tại B và C lần lượt là:

( )

( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
2
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
'( ) '( ) 3( 1)
1 . 9 1
'( ) '( ) 3( 1)
9 2 1 9 1
B B
B C
C C
k f x f x x
k k x x x x
k f x f x x
x x x x x x x x x x

= = = −

 
⇔ − = = − + +

 
= = = −



   
= − + + + = + − +
   

Áp dụng ðL Viet ta lại có:
1 2
2 2
1 2
1
( 1) 1 1 ( 1) 0 1
( 2)
x x
m m m
x x m
+ =

⇒ − − = − ⇔ − = ⇔ =

= − +


Bài 4: Cho
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
− + +

=
−
. CMR: Với mọi m, ñường thẳng y=m luôn cắt (C) tại 2 ñiểm A,
B. Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ nhất.
Giải:
Hoành ñộ giao ñiểm của (C) với y=m là nghiệm của PT:

2
2
2
( ) ( 1) ( 1) 0(*)
1
1 ( 1)
1
1
g x x x m m
x x
m x x m x
x
x

= + − − + =
− + +
= ⇔ − + + = − ⇔

−
≠


Ta thấy:

( )
2
2 2
1 4( 1) 2 5 ( 1) 4 4 0
(1) 1 0
g
m m m m m
g
∆

= − + + = + + = + + ≥ >


= − ≠



Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, nên (C) luôn cắt y=m tại A, B phân biệt.
Gọi
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ; ); ( ; ) ( ) ( ) 4
A x m B x m AB x x x x x x
⇒ = − = + −

Áp dụng ðL Viet vào ta có:
Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 6

1 2

2 2 2 2 2
1 2
1
( 1) 4( 1) 2 5 ( 1) 4 4
( 1)
x x m
AB m m m m m
x x m
+ = −

⇒ = − + + = + + = + + ≥

= − +


Vậy AB nhỏ nhất là 2. Dấu “=” xảy ra khi
m 1
= −

Bài 5: Tìm m ñể
( ) : 2
d y mx m
= −
cắt (C):
2
2 3
2
x x
y
x

−
=
−
tại 2 ñiểm phân biệt thuộc 2 nhánh của
ñồ thị.
Giải:
Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của PT:

2
2
2 3
2 ( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0(*)
2
x x
mx m g x m x m x m
x
−
= − ⇔ = − + − + =
−

ðể giao ñiểm nằm về 2 phía ñồ thị tức là 2 phía của TCð x-2=0 ta có:
1 2
2
x x
< <


( 1) (2) ( 1)( 2) 0 1
m g m m
⇔ − = − − < ⇔ >

Bài 6: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
Tìm m
ñể
(C) c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng
(
)
: 2 1
m
d y mx m
= + −
t
ạ
i 2
ñ

i
ể
m phân bi
ệ
t A, B:
a. Thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C)
b. Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B vuông góc v
ớ
i nhau
c. Th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki

ệ
n
4 . 5
OAOB
=
 


Giải:

Xét ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m:

( ) ( )
2
1
2 1 5 1 2 2 0
2 1
x
mx m f x mx m x m
x
− +
= + − ⇔ = + − + − =

+
v
ớ
i
1
2
x
≠ −


(
)
C
c
ắ
t
(
)
m
d
t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B
(

)
0
f x
⇔ =
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác
1
2
−

2
0
0
17 2 9 0
6
1 1 3
0
2 4 2
m
m
m m
m
f m


≠


≠


⇔ ∆ = − + > ⇔
 
≠ −


 

− = − − ≠
 

 

(*)
a)

Hai
ñ
i
ể
m A, B thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a
ñồ
th
ị

(
)
0
f x
⇔ =
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
;
x x
mà
1 2
1
2
x x
< − <

Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi

ệ
t Page 4 of 6

0
1 1 3
0
6
2 4 2
m
mf m m
m
>

   
⇔ − = − − < ⇔
   

< −
   


a.
H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế

p tuy
ế
n t
ạ
i A. B l
ầ
n l
ượ
t là:
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3
' ; '
2 1 2 1
A A B B
A B
k y x k y x
x x
− −
= = = =
+ +


( ) ( )
2 2
3 3
. . 0

2 1 2 1
A B
A B
k k
x x
⇒ = >
+ +
nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông
góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
b. Gọi
1 2
;
x x
là 2 nghiệm của f(x). Giả sử
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 1 ; ; 2 1
A x mx m B x mx m
+ − + −

Theo viet ta có:
1 2
1 2
5 1
2 2
m
x x

m
m
x x
m
−

+ = −



−

=



Có:
5
4 . 5 . 0
4
OA OB OA OB
= ⇔ − =
   


( )( )
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )

( )
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
2
2
3 2
5
2 1 2 1 0
4
5
1 2 1 2 1 0
4
5
1 2 2 2 1 5 1 2 1 0
4
3 3 1 3
4 2 0 2 1 0
4 4 2 4
x x mx m mx m
m x x m m x x m
m m m m m m m
m m m m m m m
⇔ + + − + − − =
⇔ + + − + + − − =
⇔ + − − − − + − − =
−
 

⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
 
 

ðáp số:
1 3
;
2 4
m
−
 
=
 
 

Bài 7: Cho hàm số (C):
3 2
3
y x mx mx
= − −
và ñường thẳng d: y = x + 2.
Tìm m ñể hàm số (C) cắt ñường thẳng d:
a. Tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
b. Tại 3 ñiểm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
a. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

(
)
(

)
3 2 3 2
3 2 3 1 2 0
x mx mx x g x x mx m x
− − = + ⇔ = − − + − =

Hàm số (C) cắt ñường thẳng d tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 6

(
)
' 0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt và ñiểm uốn của ñồ thị hàm số
(
)
y g x
=
nằm trên
trục hoành Ox.
- Phương trình
(
)
(
)
2
' 3 6 1 0
g x x mx m

= − − + =
có
2
' 9 3 3 0
m m
∆ = + + >
nên luôn có 2
nghiệm phân biệt với mọi m
- Hàm
(
)
y g x
=
có ñiểm uốn là
(
)
3 2
; 2 2 Ox
U m m m m− − − − ∈
khi và chỉ khi:

(
)
(
)
3 2 2
2 2 0 1 2 2 0 1
m m m m m m m
− − − − = ⇔ + − + = ⇔ = −

Vậy
1
m
= −

b. ðk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
1 2 3
; ;
x x x
lần lượt lập thành
cấp số nhân. Khi ñó ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
g x x x x x x x
= − − −

Suy ra:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
3
1
2

x x x m
x x x x x x m
x x x
+ + =


+ + = − −


=


Vì
2 3
3
1 3 2 2 2
2 2
x x x x x
= ⇒ = ⇒ =
nên ta có:
3
3
5
1 4 2.3
3 2 1
m m m
− − = + ⇔ = −
+

ðk ñủ: Với

3
5
3 2 1
m
= −
+
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
5
3 2 1
m
= −
+

Bài 8: Cho hàm số
(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m
= − + + +

a. Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt lập thành cấp số cộng;
b. Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 3.
Lời giải:
Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:
(
)
4 2

2 1 2 1 0
x m x m
− + + + =
;
(1)

ðặt
2
, 0
t x t
= ≥
thì
(1)
thành:
(
)
2
( ) 2 1 2 1 0
f t t m t m
= − + + + =
.
a. ðiều kiện ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân
biệt
( )
2
' 0
1
2 1 0
2
0

2 1 0
m
m
S m
m
P m

∆ = >

> −


⇔ = + > ⇔
 
 
≠

= + >

(*)
Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 6 of 6
Với (*), gọi
1 2
t t
<
là 2 nghiệm của f(t), khi ñó hoành ñộ giao ñiểm của hàm số với Ox
lần lượt là:
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;

x t x t x t x t
= − = − = =

Các giao ñiểm lập thành cấp số cộng
2 1 3 2 4 3 2 1
9
x x x x x x t t
⇔ − = − = − ⇔ =


( )
( )
4
5 4 4
1 9 1 5 4 1
4
5 4 4
9
m
m m
m m m m m m
m m
m
=

= +


⇔ + + = + − ⇔ = + ⇔ ⇔



− = +
= −



V
ậ
y
4
4;
9
m
 
= −
 
 



……………………Hết…………………


Nguồn:
Hocmai.vn