bài tập sự tương giao của đồ thị hàm số

Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI LUYỆN TẬP SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
(1)
a. Tìm m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
b. Tìm m ñể ñường thẳng d:
(
)
2 3
y m x
= − +
và ñường cong (1) cắt nhau tại A, B phân
biệt sao cho M(2; 3) làm trung ñiểm của AB.
Giải:
a. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

( )
( ) ( )

2
2
3 3
2 3 3 2 0
2 1
x x
m f x x m x m
x
− + −
= ⇔ = + − + − =
−
; với
1
x
≠

ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng y = m tại 2 ñiểm phân biệt
(
)
0
f x
⇔ =
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
( ) ( )
( )
2
3
2 3 4 3 2 0
2

1
1 0
2
m
m m
f
m

>


∆ = − − − >

⇔ ⇔


≠



< −


(*)
Với ñiều kiện (*), gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của
(

)
0
f x
=
. Theo viet có:
1 2
1 2
3 2
3 2
x x m
x x m
+ = −


= −


Tọa ñộ A, B là:
(
)
(
)
1 2
; ; ;
A x m B x m
. Ta có:

( ) ( )
2 2
2

1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
AB x x x x x x
= ⇔ − = ⇔ + − =


( ) ( )
2
2
1 6
3 2 4 3 2 2 4 4 5 0
2
m m m m m
±
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ =

ðáp số:
1 6
2
m
±
=

b. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 3

2 3 2 1 3 1 2 4 3 0
2 1
x x
m x f x m x m x m
x
− + −
= − + ⇔ = + + − + − =
−
; với
1
x
≠

ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng
(
)
2 3
y m x
= − +
tại 2 ñiểm phân biệt
(
)
0
f x
⇔ =
có
2 nghiệm phân biệt khác 1.
Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4

( ) ( )( )
( )
2
7 2 7
2
2 1 0
7 2 7
9 1 2 4 2 1 4 3 0
2
1 0
1
2
m
m
m m m
m
f
m

+
>

+ ≠





−
⇔ ∆ = − − + − > ⇔


<






≠



≠ −





Với ñiều kiện trên, gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của
(
)
0
f x
=
(
)

1 2
3 1 2
2 1
m
x x
m
−
⇒ + = −
+

Gọi 2 giao ñiểm là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 3 ; ; 2 3
A x m x B x m x
− + − +
.
ðiểm
(
)
2;3
M d
∈

là trung ñiểm của AB
(
)
1 2
3 1 2
7
4 4
2 1 2
m
x x m
m
−
⇔ + = ⇔ − = ⇔ = −
+

Vậy
7
2
m
= −

Bài 2: Cho hàm số
(
)
1
m x m
y
x m
− +
=

−

(
)
m
C

Dựa vào ñồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
a.
2
2 3
1 log
3
x
m
x
+
− =
−

b.
2 3
2 1 0
3
x
m
x
+
− + =
−

Giải:
Số nghiệm của phương trình
(
)
(
)
f x g m
=
là số giao ñiểm của ñường cong
(
)
y f x
=

và ñường thẳng
(
)
y g m
=
song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa ñộ Oxy.
a. Vẽ ñồ thị hàm số
( )
2 3
:
3
x
C y
x
+

=
−
nh
ư sau:
- Giữ nguyên phần ñồ thị nằm trên trục hoành Ox của
(
)
3
C
- kí hiệu là
(
)
t
C

- Lấy ñối xứng phần ñồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu
(
)
'
t
C


(
)
(
)
(
)
'

t t
C C C
⇒ = ∪
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận: -
1
2
m
≤
phương trình vô nghiệm
-
1
;2
2
m
 
=
 
 
ph
ương trình có nghiệm duy nhất
-
( )
1
; 2 2;
2
m
 
∈ ∪ +∞
 

 
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4
b. Vẽ ñồ thị hàm số
( )
2 3
' :
3
x
C y
x
+
=
−
như sau:
- Giữ nguyên nhánh phải của
(
)
3
C
- kí hiệu là
(
)
p
C

- Lấy
(
)

'
p
C
ñối xứng nhánh trái của
(
)
3
C
qua trục hoành Ox

(
)
(
)
(
)
'
p p
C C C
⇒ = ∪
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận: +
1
2
m
≤ −
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ

m
+
1 3
2 2
m
− < ≤
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
+
3
2
m
≥
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t


Bài 3:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị

(
)
3 2
: ( ) 18 2
m
C y f x x x mx m
= = − + −
. C
ắ
t Ox t
ạ
i
1 2 3
0
x x x
< < <
phân bi
ệ
t.

Giải:

Xét
3 2
( ) 18 2 0

f x x x mx m
= − + − =


3 2
2 (9 1) (*)
m x x x⇔ − = − +


( )
( )
2
3 2
2
2 3 1
( ) 2 '( )
9 1
9 1
x
x x
g x m g x BBT
x
x
− −
− +
⇔ = = ⇒ = ⇒
−
−

Nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình f(x)=0 là hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng y = 2m v
ớ
i
(L): y=g(x). Nhìn b
ả
ng bi
ế
n thiên ta có
( ) 0
f x
=
có nghi
ệ

m thõa mãn :

1 2 3
0 2 0 0
x x x m m
< < < ⇔ < ⇔ <


Bài 4:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
3 2
: ( ) 3 3(1 ) 1 3
m
C y f x x x m x m
= = − + − + +
c
ắ
t Ox t
ạ
i

1 2 3
1
x x x
< < <


Giải:

Xét ph
ươ
ng trình

3 2
( ) 3 3(1 ) 1 3 0
f x x x m x m
= − + − + + =


Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 4 of 4

( )
( )
3 2
3 2
2
3 3 1 3 ( 1)
3 3 1
( )
1
2 2 1
'( ) '( ) 0 2
1
x x x m x
x x x
g x m
x
x x x
g x g x x BBT
x
⇔ − + + = −
− + +
⇔ = =
−
− − +
⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇒
−


Bài 5:

Tìm m
ñể
c
ắ
t (C):
= = − + + +
4 2
( ) : ( ) 2( 1) 2 1
m
C y f x x m x m
c
ắ
t Ox t
ạ
i 4
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.

Giải:
Xét ph
ươ
ng trình:
4 2
( ) 0 2( 1) 2 1 0(1)
f x x m x m= ⇔ − + + + =
.

ðặ
t
( )
2 2
; ( ) 2( 1) 2 1
t x f x g t t m t m
= = = − + + +
. Yêu c
ầ
u bài toán
( ) 0
f t
⇔ =
có 2
nghi
ệ
m
1 2
0
t t
< <
sao cho (1) có s
ơ

ñồ
nghi
ệ
m:

Ta có:
4 3 3 2 2 1
x x x x x x
− = − = −


(
)
4 3 3 2 2 1 1 1 2 1 2 1
3 9 0
x x x x t t t t t t t t
⇔ − = − ⇔ − = − − ⇔ = ⇔ = >

Yêu c
ầ
u bài toán

' 2
2 1
2 1
1 2 2 1
2
1
1 2
2
1
1
1
0
0

2
0; 9
4
2
9
2( 1) 0 9
4
5 2( 1)
2 1 0
9
1
9 2 1
9 2 1
5
m
m
m t t
m
t t
t t m t t
m
t m
t t m
m
m
t m


≠ > −


≠ > −


∆ = > =
=




 
=

⇔ + = + > ⇔ ⇔ = ⇔
  

= −
  
= +
= + >

+
 

 
= +
 
= +
 

 




……………………Hết…………………


Nguồn:
Hocmai.vn