VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 10

1

đại học thái nguyên
Trờng đại học s phạm
Khoa toán
********************************

Vận dụng quan điểm hoạt động trong
dạy học một số nội dung Chơng trình
hình học nâng cao lớp 10

Chuyên ngành : Phơng pháp giảng dạy
Luận văn tốt nghiệp Đại học

Thái Nguyên


2

Mục lục
Lời nói đầu........................................................................................................4
Mở đầu...................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài.....5
2. Mục đích nghiên cứu .....6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu......6
4. Phơng pháp nghiên cứu..............................................................6
Chơng I: Cở sở lý luận...................................................................................7
1.1 Hình thức t duy trong học tập môn Toán .. .7
1.2 Những hoạt động của học sinh gắn với môn Toán..7
1.3 Những thành tố cơ sở của phơng pháp dạy học..26
1.4. ích lợi của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học

môn Toán.36
Chơng II : Vận dụng quan điểm hoạt động để dạy học chơng
phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng47
2.1 Phân phối chơng trình của chơng phơng pháp tọa độ trong
mặt phẳng..47
2.2 Mục tiêu của chơng..48
2.3 Hệ thống các hoạt động để dạy học chơng phơng pháp tọa độ
trong mặt phẳng..........................................................................48
Chơng III : Thực nghiệm s phạm..63
3.1 Mục đích thực nghiệm63
3.2 Dạy thực nghiệm.91
Kết luận.....99
T i liệu tham khảo.....................................................................100


3

Danh mục các chữ cáI viết tắt

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

THPT

: Trung học phổ thông

PPGD

: Phơng pháp giảng dạy


4

Lời nói đầu
Với ớc nguyện tìm hiểu và làm rõ thêm về khả năng và cách thức vận
dụng quan điểm hoạt động vào trong dạy học, góp phần nâng cao hiệu quả
dạy và học ở trờng THPT và phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của
học sinh, em đà lựa chọn và nghiên cứu luận văn: Vận dụng quan điểm hoạt
động trong dạy học một số nội dung hình học nâng cao lớp 10 .
Trong quá trình nghiên cứu luận văn này, ngoài sự nỗ lực tìm tòi
nghiên cứu khoa học của bản thân, em còn nhận đợc sự hớng dẫn chỉ
bảo tận tình của cô giáo Luyện Thị Bình trong suốt quá trình nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, cùng các thầy cô
giáo trong tổ phơng pháp giảng dạy trờng ĐHSP, đặc biệt là cô giáo Luyện
Thị Bình đà cho phép, giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn
này.
Tuy nhiên do thời gian còn hạn hẹp, kinh nghiệm còn ít nên luận văn
không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đợc sự góp ý của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên để luận văn ngày càng đợc hoàn thiện hơn.
Sinh viên
Mai Thị Thóy


5

Mở đầu
I. Lí do chọn đề t i
- Xuất phát từ nhu cầu đổi mới phơng pháp giáo dục để đào tạo con
nguời mới năng động sáng tạo cho thời kỳ công nghiệp hóa hiện đại hóa đất
nớc.
Sự phát triển của xà hội và đổi mới đất nớc đang đòi hỏi cấp bách phải
nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo. Công cuộc đổi mới thời kỳ này đề ra
những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục. Điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng
với những thay đổi về nội dung, cần có những thay đổi căn bản về phơng
pháp dạy học. Phải thừa nhận rằng trong tình trạng hiện nay phơng pháp dạy
học ở nớc ta còn có những nhợc điểm phổ biến. Phổ biến nhất vẫn là thầy
thuyết trình tràn lan; thầy áp đặt, trò thụ động; thiên về dạy, yếu về học,
thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của ngời họcVì thế hiệu quả
dạy học cha cao, cha đáp ứng đợc mục tiêu giáo dục. Từ đó đà làm nảy
sinh và thúc đẩy một cuộc đổi mới phơng pháp dạy học ở tất cả các cấp trong
ngành giáo dục từ một số năm gần đây với những t tởng khác nhau nh
phát huy tính tích cực; hoạt động hóa ngời học..vv..Những ý tởng này
đều có tác dụng thúc đẩy đổi mới phơng pháp dạy học nhằm nâng cao hiệu
quả giáo dục và đào tạo. Chính vì vậy đổi mới phơng pháp dạy học nhằm
nâng cao chất lợng giáo dục là việc làm cần thiết trong dạy học ở trờng
THPT.
- Xuất phát từ định hớng hớng cho ngời học học tập trong hoạt động
và bằng hoạt động tứ giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Mỗi nội dung Toán học khi giảng dạy đều liên hệ mật thiết với những
hoạt động nhất định. Đó là những hoạt động đợc tiến hành trong quá trình
hình thành và ứng dụng tri thức đợc bao hàm trong nội dung Toán học này.
Và đó cũng chính là những hoạt động để ngời học có thể sáng tạo và ứng
dụng tri thức trong nội dung Toán học ®ã.

6

Phát hiện đợc những hoạt động nh vậy trong một nội dung dạy học là
đà vạch ra đợc một con ®−êng ®Ĩ ng−êi häc chiÕm lÜnh néi dung ®ã vµ đạt
đợc những mục tiêu dạy học khác. Cho nên điều căn bản của phơng pháp
dạy học là khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt
đợc những mục tiêu dạy học.
- Xuất phát từ những khó khăn mà sinh viên vấp phải khi đi thực tập s
phạm.
Hiện nay tất cả các trờng THPT trong cả nớc đà học sách giáo khoa
cải cách của lớp 10 và một số tỉnh học sinh đà học theo sách giáo khoa thí
điểm của lớp 11. Chơng trình sách giáo khoa cải cách có nhiều hoạt động
tích cực hóa hoạt động của ngời học làm cho sinh viên đi thực tập gặp nhiều
khó khăn. Nhất là không biết làm thế nào để khai thác tốt các hoạt động đó
hoặc không biết tạo ra những hoạt động để phát triển năng lực trí tuệ cho học
sinh.
Thực trạng từ những lí do trên, em đà lự chọn đề tài vận dụng quan
điểm hoạt động trong dạy học một số nội dung chơng trình hình học nâng
cao lớp 10 với mong muốn tìm hiểu làm rõ khả năng và cách thức vận dụng
quan điểm hoạt động trong dạy học Toán ở trờng THPT.
II. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng quan điểm hoạt động dạy học để thiết kế một số bài soạn và
giảng dạy một số nội dung hình học nâng cao lớp 10.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài.
- Vận dụng quan điểm hoạt động để dạy học một số nội dung chơng
phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng của hình học nâng cao lớp 10.
- Thực nghiệm s phạm.
IV. Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu lý luận dạy học Toán, chơng trình sách giáo khoa lớp

10.
- Phơng pháp thực nghiƯm s− ph¹m.


7

Chơng I : Cơ sở lý luận
1.1 Hình thức t duy trong học tập môn Toán
1.1.1 T duy
T duy là quá trình tâm lý mà nhờ đó con ngời phản ánh đợc các đối
tợng và các hiện tợng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng,
con ngời vạch ra đợc những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tợng,
hiện tợng và giữa chúng với nhau.
1.1.2 Hoạt động t duy trong dạy học Toán
- Nội dung của t duy Toán học là những t tởng phản ánh hình dạng
không gian và những quan hệ số lợng của thÕ giíi hiƯn thùc.
- H×nh thøc cđa t− duy trong Toán học bao gồm các cách định nghĩa
khái niệm, các phán đoán, các quy tắc suy luận và chứng minh (suy đoán và
suy diễn) ; các phơng pháp xây dựng lý thuyết (phơng pháp tiên đề, phơng
pháp kiến thiết).
- Các thao tác t duy trong dạy học Toán : Môn Toán có khả năng to
lớn góp phần rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Các thao tác t duy
Toán học đòi hỏi học sinh phải thờng xuyên thực hiện những hoạt động trí
tuệ cơ bản nh phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa, khái quát hóa, cụ
thể hóa, đặc biệt hóa, tởng tợng, suy luận (diễn dịch, quy nạp), chứng minh
(trực tiếp, gián tiếp)..vv..
- Sản phẩm của t duy Toán học là khái niệm, phán đoán (tiên đề, định
lý, định luật), suy luận đợc biểu đạt bởi những từ những ngữ, những câu,
..vv.., kí hiệu, công thức.
1.2 Những hoạt động của học sinh gắn với môn Toán

1.2.1 Khái niệm hoạt động
Hoạt động là những việc làm khác nhau với mục đích nhất định.
<Đại từ điển Tiếng Việt, NXB Giáo Dục năm 2000>


8

1.2.2 Những hoạt động của học sinh gắn với môn Toán
Xuất phát từ một nội dung bài học, ta cần phát hiện những hoạt
động liên hệ với nội dung nào đó rồi căn cứ vào mục tiêu của bài mà
chọn ra vµ cho häc sinh tËp lun mét sè trong các hoạt động đà phát
hiện đợc. Trong quá trình dạy học môn Toán, cần cho học sinh tập
luyện những dạng hoạt động sau:
- Nhận dạng và thể hiện.
- Những hoạt động Toán học phức hợp.
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học.
- Những hoạt động trí tuệ chung.
- Những hoạt động ngôn ngữ.
1.2.2.1 Nhận dạng v thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hớng trái
ngợc nhau liên hệ mật thiết với một định nghĩa, một định lý hay một tri
thức phơng pháp.
Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tờng minh hoặc
tờng ẩn) là phát hiện xem một đối tợng cho trớc có thỏa mÃn định
nghĩa đó hay không.
Thể hiện một khái niệm (nhờ một định nghĩa tờng minh hoặc
tờng ẩn) là tạo ra một đối tợng thỏa mÃn định nghĩa đó (có thể còn đòi
hỏi thỏa mÃn một số yêu cầu khác nữa).
Ví dụ 1: Trong các phơng trình sau, phơng trình nào là phơng
trình đờng tròn? (Nhận dạng phơng trình đờng tròn)

a. 3 x 2 + 3 y 2 − 2001x − y = 0

2
2
b. x + 2 y − 2 x + 5 y + 2 = 0

c. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 103 = 0

d. x 2 + y 2 − 2 xy + 3x − 5 y + 9 = 0

Lời giải
Phơng trình 3x 2 + 3 y 2 2001x y = 0 là phơng trình ®−êng trßn.


9

2
2
Còn lại các phơng trình x + 2 y 2 x + 5 y + 2 = 0 ;

x2 + y 2 − 2 x − 6 y + 103 = 0 ; x 2 + y 2 − 2 xy + 3x − 5 y + 9 = 0 không là phơng

trình đờng tròn.
Phân tích:
Để nhận dạng đợc trong các phơng trình trên đâu là phơng trình
đờng tròn ta phải chú ý
+ Hệ số của x 2 và y 2 bằng nhau và bằng 1.
+ Nếu phơng trình cã d¹ng λ x 2 + λ y 2 + 2ax + 2by + c = 0(λ ≠ 0) ta chia cả
hai vế cho đa về dạng hệ số cđa x 2 vµ y 2 b»ng nhau vµ b»ng 1.
+ Trong phơng trình không có hạng tử chứa tích xy.

2
2
+ Phơng trình có dạng x + y + 2ax + 2by = 0( 0) luôn là phơng

trình đờng tròn.
Để nhận dạng đợc các phơng trình trên phơng trình nào là
phơng trình đờng tròn ta phải dựa vào những chú ý trên và dựa vào
2
2
điều kiện phơng tr×nh x + y + 2ax + 2by + c = 0 là phơng trình đờng

tròn khi và chỉ khi a 2 + b 2 > c .
VÝ dô 2: Viết phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm A(1;2);
B(0;3); C(1;4)
(Thể hiện phơng trình đờng tròn)
2
2
Giả sử phơng trình đờng tròn có dạng x + y + 2ax + 2by + c = 0

Do A, B, C thuộc đờng tròn nên ta có hệ phơng trình với ba ẩn a, b, c
nh− sau:

1 + 4 + 2a + 4b + c = 0
2a + 4b + c = −5
a = −1



⇔ 6b + c = −9
⇔ b = −3

0 + 9 + 6b + c = 0
1 + 16 + 2a + 8b + c = 0 2a + 8b + c = −17
c = 9





10

2

2

Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là x + y − 2 x − 6 y + 9 = 0
Tâm I(1;3) và R = 1 + 9 9 = 1
Nhận dạng một định lý: là xét xem một tình huống cho trớc có ăn
khớp với nội dung định lý đó hay không.
Thể hiện một định lý: là xây dựng một tình huống ăn khớp với nội
dung định lý cho tr−íc.
VÝ dơ 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 5; AC =8;

= 600 .Tính độ dài

của cạnh BC? (Nhận dạng định lý cosin trong tam giác)
Lời giải :
Độ dài của cạnh BC là:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. ACcosA
= 52 + 82 − 2.5.8.cos600
= 49

⇒ BC = 7
VÝ dơ 4: Cho tam gi¸c ABC. Chứng minh các khẳng định sau
2
2
2
a. Góc A nhọn khi vµ chØ khi a < b + c

2
2
2
b. Gãc A tï khi vµ chØ khi a > b + c
2
2
2
c. Góc A vuông khi và chỉ khi a = b + c

Lời giải :
Theo định lý cosin trong tam gi¸c ta cã

a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosA
b2 + c2 − a2
⇒ cosA=
2bc


11

0
0

ˆ
a. NÕu 0 < A < 90 ⇒ cosA>0

b2 + c2 − a 2
>0
⇒
2bc
⇔ b2 + c2 − a 2 > 0
⇔ a 2 < b2 + c 2
2
2
2
VËy gãc A nhän ⇔ a < b + c .
0
0
ˆ
b. NÕu 90 < A < 180 ⇒ cosA<0

b2 + c 2 − a 2
<0
⇒
2bc
⇔ b2 + c2 − a 2 < 0
⇔ a 2 > b2 + c 2
2

2

VËy nÕu gãc A tï ⇔ a > b + c

2

0
ˆ
c. NÕu A = 90 ⇒ cosA=0

b2 + c 2 − a 2
⇒
=0
2bc
⇔ b2 + c 2 − a 2 = 0
⇔ a2 = b2 + c2
2
2
2
VËy gãc A vu«ng ⇔ a = b + c

Để giải đợc 2 ví dụ trên ta phải nhận dạng và thể hiện định lý
cosin trong tam giác.
Nhận dạng một tri thức phơng pháp: là phát hiện xem một dÃy
tình huống có phù hợp với các bớc thực hiện tri thức phơng pháp đó
hay không.
Thể hiện một tri thức phơng pháp : là tạo ra một dÃy tình huống
phù hợp với các bớc của tri thức phơng pháp đà biết.


12

Ví dụ 5: Cho 2 điểm A và B. Xác định điểm M biết
2MA 3MB = 0 (*)

Giải: Ta tÝnh AM theo AB
Ta cã (*) ⇔ 2 MA − 3( MA + AB ) = 0
⇔ − MA − 3 AB = 0
AM = 3 AB

Điểm M hoàn toàn xác định đợc sao cho AM = 3 AB
Ví dơ 6: Cho ∆ABC cã B ( 6;4 ) vµ C ( 5;3) . BiÕt träng t©m G cđa

∆ABC n»m trên đờng thẳng 3x + y 20 = 0 và diện tích ABC = 1. HÃy
tìm tọa độ đỉnh A cđa ∆ABC .
 11 7 
Lêi gi¶i : Gäi O là trung điểm của BC O ; 
 2 2
Ta cã BC = ( −1; −1) ⇒ BC = 1 + 1 = 2
Ta cã S∆ABC =
⇒ AH =

1
AH. BC
2

2 S∆ABC 2.1
=
= 2
BC
2

Tõ G kỴ GM ⊥ BC .
Ta cã

H×nh 1.1

1
1
2
GM OG 1
.
2=
=
= ⇒ GM = AH =
3
3
3
AH OA 3

x = t
Chuyển phơng trình 3x + y − 20 = 0 vỊ d¹ng tham sè 
 y = −3t + 20

V× G ∈ 3x + y − 20 = 0 ⇒ G ( t; −3t + 20 )
Phơng trình cạnh BC là : 1( x 5) − 1( y − 3) = 0

⇔ x − y − 2 = 0.


13

Khoảng cách từ G đến BC là : GM =

t + 3t − 20 − 2
1+1
4t − 22
2

=

=

2
3

2
3

2
3
2

 17
4t − 22 =

t = 3
3
⇔
⇔
 4t − 22 = − 2
t = 16



3
3


⇔ 4t − 22 =

+ Víi t =

17
 17 
⇒ G  ;3 
3
 3 

1
11
7
 1 1  1
Ta cã OG = OA ⇔  ; −  =  x A − ; yA − 
3
2
2
 6 2  3
1 
11  1
3  xA − 2  = 6
xA = 6
 


⇒
⇔
⇒ A ( 6;2 )
1
7
1
 yA = 2
 y −
=−
3  A 2 
2

 

+ Víi t =

16
 16 
⇒ G  ;4 
3
 3 

1
11
7
 1 1  1
Ta cã OG = OA ⇔  − ;  =  x A − ; yA − 
3
2

2
 6 2  3
1 
11 
1
3  xA − 2  = − 6
 xA = 5
 

⇒
⇔
⇒ A ( 5;5)
yA = 5
1
7 1

 y −
=
3  A 2  2

 
 A ( 6;2 )
.
VËy täa độ điểm A cần tìm là
A ( 5;5)



14

Phân tích:
Ví dụ 5 là nhận dạng tri thức phơng pháp xác định một điểm thỏa
mÃn một đẳng thức vectơ cho trớc.
Ví dụ 6 là thể hiện tri thức phơng pháp xác định một điểm thỏa
mÃn một đẳng thức vectơ cho trớc.
Để tìm một điểm thỏa mÃn một đẳng thức vectơ cho trớc ta làm
nh sau:
Bớc 1: Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc về dạng OM = v

(**).

Trong đó điểm O và v đà biết.
Bớc 2: Xác định ®iĨm M tháa m·n ®¼ng thøc (**).
VÝ dơ 7: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung
điểm của AB , BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ
có cùng trọng tâm.
Giải
Gọi G1 và G2 lần lợt là trọng tâm của tam giác
ANP và CMQ. Và O là một điểm tùy ý.
Ta cã OA + ON + OP = 3OG1
(1)

OC + OM + OQ = 3OG2

Mặt khác ta lại có
OA + ON + OP = OA +

H×nh 1.2
1
1

OB + OC + OC + OD
2
2

(

= OA + OC +
OC + OM + OQ = OC +

) (

1
OB + OD
2

(

)

(2)

1
1
OA + OB + OA + OD
2
2

(

= OC + OA +

) (

1
OB + OD
2

(

)

)

)
(3)


15

Tõ (1) (2) vµ (3) ta suy ra OG1 = OG2
Vậy G1 G2 .
Phân tích :
Để giải đợc bài toán trên trớc hết học sinh phải nhận dạng đợc
phơng pháp chứng minh hai điểm trùng nhau và từ những dữ kiện của
đầu bài phải biến đổi về điều cần chứng minh hai điểm trùng nhau chính
là thể hiện tri thức phơng pháp chứng minh hai điểm trùng nhau.
Để chøng minh hai ®iĨm A1 ≡ A2 , ta lùa chän mét trong hai c¸ch
sau:
C¸ch 1: Chøng minh A1 A2 = 0
C¸ch 2: Chøng minh OA1 = OA2 víi O là điểm tùy ý.

1.2.2.2. Những hoạt động Toán học phức hợp
Những hoạt động toán học phức hợp nh chứng minh định lý, giải
toán bằng cách lập phơng trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ
tích...thờng xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong sách giáo khoa phổ
thông. Khi giải những bài tập này thờng này sử dụng nhiều định lý,
nhiều khái niệm và các quy tắc suy luận. Cho học sinh tập luyện những
hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung Toán học và phát
triển những kĩ năng và năng lực Toán học tơng ứng.
Ví dụ 8: Giải bài toán quỹ tích
Cho ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

a2
MA.MB + MB.MC + MC.MA =
4
Lời giải
Phần thuận : Gọi O là tâm ABC , ta có

(4)


16

MA + MB + MC = 3MO

(

⇒ MA + MB + MC

2

) = (3MO )

2

(

)

⇔ MA2 + MB 2 + MC 2 + 2 MA.MB + MB.MC + MC.MA = 9MO 2

Mặt khác ta có
2

2

MA2 + MB 2 + MC 2 = MA + MB + MC

(

2

) (

2

2

= 3MO 2 + OA2 + OB 2

2

) (
)
+ OC + 2 ( OA + OB + OC ) .MO

= MO + OA + MO + OB + MO + OC
2

1
1
1
= 3MO 2 + a 2 + a 2 + a 2
3
3
3

= 3MO2 + a2

(6)

Thay (6) vào (5) ta đợc :
3MO 2 + a 2 + 2( MA.MB + MB.MC + MC.MA) = 9 MO 2
2
⇔ MA.MB + MB.MC + MC .MA = 3MO −

a2
2

a2 a2

Khi ®ã (4) ⇔ 3MO − =
2
4
2

3 2
a
4
a2
2
⇔ MO =
4
a
⇒ MO =
2
⇔ 3MO 2 =

⇒ M thuéc ®−êng tròn tâm O, bán kính R=

a
.
2

(5)


17

Phần đảo
Nếu lấy một điểm M bất kỳ thuộc đờng tròn tâm O, bán kính

R=

a
.Với O là tâm ABC .
2

a
Khi đó ta có MO = .
2
Vì O là tâm ABC , ta cã
MA + MB + MC = 3MO

(

⇒ MA + MB + MC

2

) = (3MO )

2

(

)

⇔ MA2 + MB 2 + MC 2 + 2 MA.MB + MB.MC + MC.MA = 9MO 2
2

2

Mặt khác : MA2 + MB 2 + MC 2 = MA + MB + MC

(

2

) (

2

2

⇔ MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MO 2 + OA2 + OB 2

2

) (
)
+ OC + 2 ( OA + OB + OC ) .MO

⇔ MA2 + MB 2 + MC 2 = MO + OA + MO + OB + MO + OC
2

1
1
1
⇔ MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MO 2 + a 2 + a 2 + a 2
3
3

3

⇔ MA2 + MB2 + MC2 = 3MO2 + a2

(8)

Thay (8) vào (7) ta đợc :

3MO 2 + a 2 + 2( MA.MB + MB.MC + MC.MA) = 9MO 2
2
⇔ MA.MB + MB.MC + MC .MA = 3MO −

⇔ MA.MB + MB.MC + MC .MA = 3
⇔ MA.MB + MB.MC + MC .MA =

a2 a2
−
4
2

a2
4

a2
2

(7)


18

M thuộc đờng tròn tâm O, bán kính R=

MA.MB + MB.MC + MC.MA =

a
thì
2

a2
4

Kết luận : Cho ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp những điểm M sao cho

a2
a
MA.MB + MB.MC + MC.MA =
là đờng tròn tâm O bán kính R= .
4
2
(Với O là tâm của ABC ).
Phân tích :
Để giải đợc bài toán trên trớc hết ta nhìn vào vế trái của giả thiết
là MA.MB + MB.MC + MC.MA . Để xuất hiện đợc tổng của 3 tích đó ta

(

)

2

phải nghĩ đến xuất phát từ MA + MB + MC .
Sau đó sử dụng quy tắc 3 điểm, các quy tắc biến đổi để ta đa bài
toán về một trong các dạng sau để tìm quỹ tích điểm M.
2
Dạng 1 : AM = k > 0 , thì M thuộc đờng tròn tâm A, bán kính R= k

Dạng 2 : MA.MB = k , víi A, B cè định và k không đổi.
Gọi I là trung điểm của AB, ta đợc

(

)(

) (

)(

)

k = MA.MB = MI + IA . MI + IB = MI + IA . MI − IA = MI 2 − IA2

AB 2
⇒ MI = k + IA = k +
=l
4
2

2

2

2

Khi ®ã :
- NÕu l < 0 thì M không tồn tại.
- Nếu l = 0 th× M ≡ I
- NÕu l > 0 th× M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R= l .


19

1.2.2.3.Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học
Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng
trong môn Toán, nhng cũng diễn ra ở những môn học khác nữa. Đó là
lật ngợc vấn đề, phân chia trờng hợp, kiểm tra lời giải, xét tính tối u
của lời giải hoặc các cách giải khác nhau..vv.
Ví dụ 9: Lật ngợc vấn đề
Cho 2 tam giác AB C và ABC có trọng tâm lần luợt là G và G . Chứng
minh rằng nếu hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm thì

AA + BB + CC = 0 .
Lời giải
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nªn ta cã GA + GB + GC = 0
hay AG + BG + CG = 0

(7)

Vì G là trọng tâm của ABC nên ta có GA + G′B′ + G′C ′ = 0
V× G ≡ G′ ⇒ G′A′ + G′B′ + G′C ′ = GA′ + GB′ + GC ′ = 0

(8)

Céng (7) víi (8) ta cã
AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ = 0

⇔ AG + GA′ + BG + GB′ + CG + GC ′ = 0
⇔ AA′ + BB′ + CC ′ = 0
VËy nÕu 2 tam gi¸c ABC và ABC có cùng trọng tâm thì
AA + BB + CC = 0

Ngợc lại cho 2 tam giác ABC vµ A′B′C′ . NÕu AA′ + BB′ + CC ′ = 0
thì hai tam giác AB C và ABC có cùng trọng tâm hay không?
Nếu ta chứng minh đợc mệnh đề trên đúng thì ta có một bài toán
mới là: 2 tam giác ABC và
ABC và ABC có


.
AA + BB′ + CC ′ = 0


A′B′C′

cã cïng träng t©m ⇔


20

Nếu mệnh đề mới đợc thành lập khi dùng phơng pháp lật ngợc

vấn đề sẽ giúp học sinh hình thành thêm kiến thức mới, nắm chắc đợc
mệnh đề đó. Nếu mệnh đề ngợc lại không đúng giáo viên sẽ đa ra
những chú ý để học sinh khi vận dụng kiến thức đó không bị mắc sai
lầm.
Ví dụ 10 : Phân chia trờng hợp
Cho phơng trình đờng tròn có dạng

2

( x − x0 ) + ( y − y0 )

2

= R 2 và

điểm M ( xM ; yM ) . Hỏi từ M có thể viết đợc bao nhiêu phơng trình tiếp
tuyến với đờng tròn?
Việc giải quyết vấn đề này đòi hỏi phải xét các trờng hợp ví trí
của điểm M ®èi víi ®−êng trßn.
Gäi I ( x0 ; y0 ) là tâm đờng tròn.
- Nếu IM < R thì không có phơng trình tiếp tuyến nào.
- Nếu IM = R thì từ M viết đợc 1 phơng trình tiếp tuyến với đờng
tròn.
- Nếu IM > R thì từ M viết đợc 2 phơng trình tiếp tuyến với đờng
tròn.
Ví dụ 11 : Cho tø gi¸c ABCD bÊt kú. Chøng minh r»ng
AB + CD = AD + CB .

Lời giải
Cách 1: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vÕ tr¸i.

VT = AB + CD = AD + DB + CB + BD
= AD + CB + DB + BD
= AD + CB =VP

ĐPCM.

Cách 2 : Xuất phát từ một đẳng thức vectơ đà biết.
Ta có AB + BC + CD + DA = 0


21

⇒ AB + CD = − DA − BC
⇔ AB + CD = AD + CB ĐPCM.

Cách 3: Dùng định nghĩa
Từ B dựng vectơ BM = CD (Hình 1.3)
Ta cã AB + CD = AB + BM = AM (9)
AD + CB = AD + DM = AM

(10)

Tõ (9) vµ (10) ⇒ AB + CD = AD + CB ĐPCM.

Hình 1.3

Cách 4: Biến đổi tơng đơng
AB + CD = AD + CB
⇔ AB − AD + CD − CB = 0
DB + BD = 0

0=0

ĐPCM.

Cách 5 : Biến đổi các vectơ trong đẳng thức vectơ cần chứng minh về các
vectơ chung gốc.

AB + CD = AD + CB

⇔ OB − OA + OD − OC = OD − OA + OB − OC ⇒ §PCM.

VÝ dơ 12 : Cho A(-2; 0), B(1; 9), C(4; 0). H·y viết phơng trình đờng
tròn đi qua 3 điểm A, B, C. Tìm tâm và bán kính đuờng tròn.
Lời giải
Cách 1
2

2

Giả sử phơng trình đờng tròn có dạng x + y + 2ax + 2by + c = 0
V× A, B, C thuộc đờng tròn nên ta có hệ phơng trình sau

 4 − 4a + c = 0
−4a + c = −4
a = −1



1 + 81 + 2a + 18b + c = 0 ⇔ 2a + 18b + c = −82 ⇔ b = −4
16 + 8a + c = 0

8a + c = −16
c = −8





22

2
2
Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là x + y − 2 x − 8 y − 8 = 0 .

Tâm I( 1; 4) và R= 1 + 16 + 8 = 25 = 5 .
Cách 2
Gọi I(x;y) là tâm đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C và R là bán kính
đờng tròn
Từ IA = IB = IC ta có hệ phơng trình

( x + 2 ) 2 + y 2 = ( x − 1)2 + ( y − 9 )2


2
2
2
2
( x + 2 ) + y = ( x − 4 ) + y

2
2

2
 2
 x + 4 x + 4 + y = x − 2 x + 1 + y − 18 y + 81
⇔ 2
2
2
2
 x + 4 x + 4 + y = x − 8 x + 16 + y

6 x + 18 y = 78
x = 1
⇔
⇔
12 x = 12
y = 4

⇒ I(1;4)

Ta cã R = IA = 9 + 16 = 25 = 5
Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là

2

( x 1) + ( y 4 )

2

= 25 .

Cách 3

+ Viết phơng trình đờng trung trực cạnh BC.
5 9
Tọa độ trung điểm M của BC lµ: M  ; 
2 2

Ta cã BC = ( 3; 9 )
Vậy phơng trình đờng trung trực cạnh BC đi qua M nhận n (1; 3) làm
vectơ pháp tuyến có phơng trình là


23

5 
9

1 x −  − 3  y −  = 0
2 
2

⇔ x − 3y + 11 = 0

+ Viết phơng trình đờng trung trực cạnh AC
Tọa độ trung điểm N của AC là: N (1;0 )
Ta có AC = ( 6;0 )
Vậy phơng trình đờng trung trực cạnh AC đi qua N nhận n (1;0 ) làm
vectơ pháp tuyến có phơng trình là
1( x 1) = 0
x 1 = 0

Tọa độ tâm I của đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C là nghiệm cđa hƯ

x −1 = 0
x = 1
⇔

 x − 3 y + 11 = 0
y = 4
Tọa độ tâm I lµ I(1;4).

Ta cã R = IA = 9 + 16 = 25 = 5
Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là

2

( x 1) + ( y 4 )

2

= 25 .

Cho học sinh thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
Toán học này sẽ hình thành ë häc sinh mét thãi quen khi gi¶i quyÕt xong
mét vấn đề. Sau khi giải quyết xong một vấn đề nào đó học sinh sẽ tự đặt
ra câu hỏi liệu mệnh đề ngợc lại có đúng không, lời giải mình đà giải
đúng cha, còn cách giải nào hay hơn không? Qua đó nó rèn cho con
ngời tính cẩn thận, kiên trì, sáng tạo.


24

1.2.2.4 Những hoạt động trí tuệ chung
Những hoạt động trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, so sánh,
khái quát hóa, xem xét tơng tự..vv.cũng đợc tiến hành thờng xuyên
khi học sinh học tập môn Toán. Chúng đợc gọi là hoạt động trí tuệ
chung bởi vì chúng cũng đợc thực hiện ở các môn học khác một cách
bình đẳng nh môn Toán
Ví dụ 13 : Xem xét tơng tự
Cho tam giác ABC. G là trọng tâm của tam giác, O là điểm bất kỳ.
Ta có
GA + GB + GC = 0
OA + OB + OC = 3OG

HÃy dự đoán hệ thức tơng tự với tứ giác ABCD. Với G là trọng
tâm của tứ giác và O là điểm bất kỳ?
Lời giải trông đợi : GA + GB + GC + GD = 0
OA + OB + OC + OD = 4OG

Ví dụ 14 : Khái quát hóa
Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó

MA + MB = 0 .
Cho G là trọng tâm của tam giác A BC. Khi ®ã

GA + GB + GC = 0
Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. Khi đó

GA + GB + GC + GD = 0
HÃy nêu bài toán tổng quát?
Lời giải trông đợi :
Nếu G là trọng tâm của đa giác A1 A2 A3 ... An thì

GA1 + GA2 + GA3 + ........ + GAn = 0


25

1.2.2.5. Những hoạt động ngôn ngữ
Những hoạt động ngôn ngữ đợc học sinh thực hiện khi họ đợc
yêu cầu phát hiện, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc
biệt là bằng lời lẽ của mình hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng
khác, chẳng hạn từ kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc
ngợc lại, hoặc các cách phát biểu khác nhau.
Ví dụ 15: HÃy phát biểu bằng lời định lý sau:
Định lý : Trong ∆ABC , víi BC = a, AB = c, AC = b. Ta cã

a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosA
b 2 = a 2 + c 2 − 2accosB
c 2 = b 2 + a 2 2abcosC
Ví dụ 16: HÃy viết định nghĩa sau dới dạng kí hiệu Toán học.
- Bình phơng vô hớng của một vectơ bằng bình phơng độ dài của
vectơ đó.
- Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là tổng các
bình phơng của các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Trên đây là 5 dạng hoạt động gắn liền với môn Toán. Với 5 dạng
hoạt động trên tùy theo nội dung bài học, từng mục đích khác nhau mà
giáo viên lựa chọn, vận dụng vào bài học cho phù hợp. 5 dạng hoạt động
gắn liền với môn Toán đó có thể áp dụng trong hình thµnh kiÕn thøc míi,
hay cđng cè, vËn dung kiÕn thøc, hay hƯ thèng hãa kiÕn thøc.

1.3 Nh÷ng th nh tè cơ sở của phơng pháp dạy học

Điều căn bản của phơng pháp dạy học là khai thác những hoạt
động tiềm tàng trong mỗi nội dung làm cơ sở cho việc tổ chức quá trình
dạy học đạt đợc mục tiêu đề ra.
Từ định hớng học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, phân
tích các thành phần của hoạt động về mặt lí luận và thực tiễn, ta rút ra
đợc những thành tố cơ sở của phơng pháp dạy học đó lµ: