chuyên đề phương trình lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (242.67 KB, 14 trang )

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

Bài 1: LƯNG GIÁC CƠ BẢN
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
sin u = a
u ∈ R
1a ≤
sinu = sinv (sinv = a)
uvk2 u v 2;k, Z
⇔
=+ π∨=π−+ π ∈AA

cosu = a
u ∈ R
1a ≤
cosu = cosv (cosv = a)
Zk;2kvu ∈π
+
±
=
⇔

tgu = a
π+
π
≠ k

2
u
a ∈ R
tgu = tgv (tgv = a)
⇔ u = v + kπ
cotgu = a
π≠ ku
a ∈ R
cotgu = cotgv (cotgv = a)
⇔ u = v + kπ

Bài 1: Giải phương trình:
a.
2
3
x2sin =

b.
()
2
2
25x2cos
0
−=+

c.
()
32x4gcot −=+

d.

()
3
3
15xtg
0
=+

e.
()
000
90x120- với
2
2
15x2sin <<=−

f.
()
π<<π=+ x- với
2
1
1x2cos

g.
()
2
x
2
- với 32x3tg
π
<<

π
=+
h.
(
)(
3xsin1x2sin +=
)
−

i. x2cosx3sin
=

j.
(
)
0x2gcot2x3tg =+
+

k. 0x5cosx4sin =
+

l.
0x2sin2xsin2 =
+

m. 1x3cosx2sin
22
=
+

n.
1tgx.x5tg =
o.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
4
x
cos
5
2
x5sin
22

a.
2x k2 x k
3

36
sin2x sin2x sin k, Z
23
2x 2 x
33
ππ
⎡⎡
=+ π =+π
⎢⎢
π
=⇔ = ⇔ ⇔ ∈
⎢⎢
ππ
⎢⎢
=π− + π = + π
⎢⎢
⎣⎣
A
AA

b.
() () ( )
00
00
x55 k180
x 80 180
⎡
=+
⇔
⎢

=− +
⎣
A
00000
45180cos45cos25x2cos
2
2
25x2cos −=−=+⇔−=+

c.
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=
π
−=+⇔−=+
6
gcot
6
gcot2x4gcot32x4gcot
4
k
2
1
24

x
π
+−
π
−=⇔

d.
() ()
00000
180k15x30tg15xtg
3
3
15xtg +=⇔=+⇔=+

e.
() ()
00
000
00
x30 k180
2
sin 2x 15 sin 2x 15 sin45
2
x 75 180
⎡
=+
−=⇔ −= ⇔
⎢
=+
⎣

A

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
,Z∈

00 00 0
0
00 00 0
k0
x 30 k180 x 75 180 1; x 105
;k
x30
120 x 90 120 x 90 0; x 75
=⎧⎧⎧
=+ =+ =−=−
⎧
⎪⎪⎪
⇒⇒
⎨⎨⎨⎨
=
−<< −<< = =
⎪⎪⎪
⎩
⎩⎩⎩
AA
A

A
Vậy với –120
0
< x < 90
0
có: x= 30
0
, 75
0
, -105
0
.
f.
() ()
3
xk
1
6
cos 2x 1 cos 2x 1 cos
23
x
6
π−
⎡
3
=
+π
⎢
π
+=⇔ += ⇔

⎢
−π−
⎢
=
+π
⎢
⎣
A

3
k0 x
3
xk
6
6
51
k1x
x
62
3
0x
3
x
6
6
51
x
1x
62

π−
⎧
==
π−
⎧
⎪
=+π
⎪⎪
⇒
⎨⎨
π
⎛⎞
⎪⎪
=− =− +
−π < < π
⎩
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
⎧
π+
⎛⎞
==−
−π−
⎧
⎜⎟
⎪
=+π
⎪⎪

⎝⎠
⇒
⎨⎨
π
⎪⎪
−π < < π
==
⎩
⎪
⎩
A
A
A
−

Vậy với -π < x < π có:
2
1
6
5
;
6
3
;
6
5
2
1
;
6

3
x −
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+π
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+−
−π
=

g.
() ()
6
tg 3x 2 3 tg 3x 2 tg x k
39
26
k 1 x
9

6
xk
6
93
k0 x
9
x
46
22
k1 x
9
ππ−
+= ⇔ += ⇔= +
⎡
π+
⎛⎞
=− =−
⎜⎟
⎢
⎝⎠
π− π
⎧
⎢
=+
⎪
⎢
π−
⎪
⇒= =
⎨

⎢
ππ
⎪
⎢
−<<
⎪
π−
⎩⎢
==
⎢
⎣
3
π

h.
()()
x4k2
sin 2x 1 sin x 3 k, Z
22
x
33
=+ π
⎡
⎢
−= +⇔ ∈
π− π
⎢
=+
⎣
A

A

i.
2
xk
10 5
sin3x cos2x sin 2x k, Z
2
x2
2
ππ
⎡
=+
⎢
π
⎛⎞
==−⇔ ∈
⎢
⎜⎟
π
⎝⎠
⎢
=+π
⎢
⎣
A
A

j.
()

π+−
π
=⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
=−=+ k2
2
xx2
2
tgx2gcot2x3tg

k.
xk2
2
cos5x sin4x cos 4x k, Z
2
2
x
18 9
π
⎡
=+ π
⎢
π

⎛⎞
=− = + ⇔ ∈
⎢
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎢
=− +
⎢
⎣
A
A

l.
(
)
0xcos21xsin20x2sin2xsin2 =+⇔=+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

3

sinx 0
xk
k, Z
13
3
cosx cos
xl2

4
4
2
=
⎡
=π
⎡
⎢
⎢
⇔⇔
π
π
⎢
⎢
=− =
=± + π
⎢
⎣
⎣
A
∈

m. x2cosx2sin1x3cos1x3cosx2sin
22222
=
−
=
⇔=+

xk

1cos6x 1cos4x
cos6x cos4x k, Z
22
x
5
=π
⎡
++
⎢
⇔=⇔=⇔
π
⎢
=
⎣
A
A
∈
n.
6
k
12
xx
2
tggxcot
tgx
1
x5tg1tgx.x5tg
π
+
π

=⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
===⇔=

o.
222
4
x
1cos10x
1cos
2x x
5
2
sin 5x cos cos
54 4 2 2
π
⎛⎞
−+
+
⎜⎟
π
⎛⎞⎛⎞
⎝⎠

+= +π= ⇔ =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

24
xk
x4
105 21
cos cos 10x cos 10x
2552
x
95 19
4
π
π
⎡
=+
⎢
ππ
⎛⎞⎛⎞
⇔=− += −⇔
⎢
⎜⎟⎜⎟
π
π
⎝⎠⎝⎠
⎢
=−
⎢

⎣
A

Bài 2: Giải các phương trình:
a.
(
)
(
)
00
120xcos50x2sin +=+
b. 0gxcot
5
xtg =+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
c.
(
)
00
30cos30x4cos =−
d.
(
)

(
)
000
20cos144xsin24xsin =+++
e. xcos.x3sinxsin.x2sinx3cos.xsinxcos.x2cos
−
=+
f.
(
)
(
)
(
)
00202
60xsin30xsin30xcos +=−−−
g.
xcos.
2
x
cos.
2
x
sin4
2
xsinxsin
44
=
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
π
+−

a.
(
)
(
)
(
)
000
30xsin120xcos50x2sin −−=+=+
0
00
80
x k120 x 160 360
3
⇔=− + ∨= +A
0

b. π+
π
=⇔
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+
π
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
− k
10
7
x0x
2
tggxcot
5
xtg
vô nghiệm
c.
(
)
00000
90kx90k15x30cos30x4cos =∨+=⇔=−
d.

()( )

(
)(
000 0000
00 00
sin x 24 sin x 144 cos20 2sin x + 84 .cos60 cos20 sin x 84 cos20
x 14 k360 x 26 360
++ + = ⇔ = ⇔ +=
⇔=− + ∨= +A
)
0

e.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

4
()
cos2x.cosx sinx.cos3x sin2x.sinx sin3x.cosx cos2x.cosx sin2x.sinx
2
sin3x.cosx cos3x.sinx cos3x sin4x cos 4x x k ;x =- + n2
21472
+=−⇔ −=
ππππ
⎛⎞
−+⇔=−=+⇔=−+
⎜⎟
⎝⎠
π

f.
()()()
(
)
(
)(
2020 0 0 0 0
00 0 0
cos x 30 sin x 30 sin x 60 cos2 x 30 sin x 60 cos 30 x
x 30 k120 ; x = 30 k'360
−− −= +⇔ −= += −
⇔= + +
)

g. xcos
2
xsin
44
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
Bài toán: ;
x2cosxcosxsin
44

−=−
x2sinxcos.
2
x
cos.
2
x
sin4 =
⇒ ycbt: -
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=−π⇔= x2
2
cosx2cosx2sinx2cos
3
xmm
82
ππ
⇒= + ∈
R

Bài 3: Giải các phương trình:

a.
0x2sin23 =−

b.
()
4
3
30xcos
02
=−
c. 1tgx.x3tg =
d.
cotg2x.cotg x 1
6
π
⎛⎞
+=−
⎜⎟
⎝⎠

e.
()
π≤≤=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π

+ 2x03
43
x
sin2
f.
()()
0
2
3
xsin.1xsin21xsin2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+

g.
01xcos8
3
=−
h.
()
0x2tg.2xcos2.
4
xsin =+
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
i. 1x2cos.xcos.xsin4
=

j.
(
)
033x2tg3xsin3xsin.x2tg =−−+

k.
0
x2cos1
x2sin
=
+

l.
x2cos
4
3
xsin
4
3
xsin

x2cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+

m.
()
π<<=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

+
+
−
x003tgx3x2gcot
1tgx
1tgx

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

5
n.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
<<π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
−+−

2
3
x3x
2
gcot3
xcos
1
1xtg
2
3

a.
3
sin2x sin x k x k, Z
23 6 3
ππ π
== ⇔=+π∨=+π ∈AA

b.
()
()
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=∨+=
=∨+=
⇔
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−=−
==−
0000
000
00
00
360k120x360k180x
360kx360k60x
150cos
2
3
30xcos
30cos
2
3
30xcos

00
x = 60 + k360 ; x = k'180⇔
0
c. ĐK:
000
180kx;360k60x
3

k
6
x =+=⇔
π
+
π
≠

4
k
8
xx
2
tggxcot
tgx
1
x3tg
π
+
π
=⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
===

d.
1
cotg x tg2x cotg 2x x - + k'
6cotg2x 2 3
ππ
⎛⎞ ⎛ ⎞
+=− =− = + ⇒=
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
π
π

e.
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π+
π
=
π+
π
=
⇔
π
==
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
6k
4
5
x
6k
4
x
3
sin
2
3
43
x
sin

Với 0k:
6
5
x;
4
x2x0 =
π
=

π
=⇒π≤≤
f.
()
1
sinx sin
xk
5
26
6
2sinx 1 sinx 0
27
5
x2
sinx VN
6
2
⎡
π
π
⎛⎞
⎡
=− = −
2
=
−+ π
⎜⎟
⎢
⎢
⎛⎞

⎝⎠
⎢
++=⇔ ⇔
⎢
⎜⎟
π
⎢
⎝⎠
⎢
=
+π
=−
⎢
⎢
⎣
⎣
A

g.
π+
π
±=⇒
π
==⇔= 2k
3
x
3
cos
2
1

xcos
8
1
xcos
3

h. ĐK:
2
k
4
x
π
+
π
≠

Zm,l,k
2
mx
2l
4
3
x
k
4
x
0x2tg
4
3

cos
2
2
xcos
4
xsin
pt ∈
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π
=
π+
π
±=
π+
π
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
=
π
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
⇔

Nguyeón Phuự Khaựnh ẹaứ Laùt

6
i.
2
k
8
x1x4sin1x2cos.x2sin2pt

+

===

j.
x + k
42

()()
(
)
(
)
2
k
6
x
3
tg3x2tg
03x2tg3xsin03xsin33xsinx2tgpt

+

=

==
==+

k. ====
+
kx0tgx0
xcos2
xcosxsin2
0
x2cos1
x2sin
2

l.
3
x - + k ; x + k'
44

2

+=

+
=

+
4
3
xsinx2cos
x2cos
4
3
xsin
4
3
xsin
x2cos
22

3
1cos2x
xm
1cos4x
2
4
cos4x cos 2x x m
22 2 12
xm
12 3

=+

+

= =+ =+

= +

3

m.
()
<<=

+
+

x003tgx3x2gcot
1tgx
1tgx

tgx 1
tg x cotg2x tg 2x
cotg2x 0
42
tgx 1
3

3tgx 3 0
tgx tg
36

= = +

+=

+

=
==

xk
43
7
x;x
412
xk
11
6
x ; x =
0x
61

=+

==

=+

=

<<

2

n.

<<=

+
2
3
x3x

2
gcot3
xcos
1
1xtg
2
3

()
(
)
(
)
(
)
2
3
x vỡ 1k;
3
4
x
3
tg3tgx
4
tg1tgx
03xtg1tgx01tgx31tgxxtg
22

<<=

=

==

==

==++

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

7

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Sinx, Cosx

Dạng a.sinx + b.cosx = c (1); a, b ≠ 0; a, b, c ∈ R.
Để phương trình (1) có nghiệm
222
cba ≥
+
⇔

Chia 2 vế của (1) cho
22
ba +
ta được:

222222
ba
c
xcos.
ba
b
xsin.
ba
a
+
=
+
+

+
(2)
Đặt:
()
22
22
22
ba
c
xsin)2(
sin
ba
b
cos
ba
a
+
=ϕ+⇔⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
ϕ=
+
ϕ=
+

Bài 1: Giải các phương trình:
a.
02xcos2 =−

b.
03x2tg3 =−

c. 5xcos4xsin3 =+
d.
2xcos2xsin2 =−

e.
2
1
xsinx2sin
2
=+

f. 13x2sin12x2cos5
=
−

g.
2
23
4
xsin
4
xsin2 =

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+

h. 22
6
x2sin2x2sinx2cos3 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−++

a.

Zk,2k
4
x
4
cos
2
2
xcos02xcos2 ∈π+
π
±=⇔
π
==⇔=−

b.
Zk;
2
k
6
x
3
tg3x2tg03x2tg3 ∈
π
+
π
=⇔
π
==⇔=−

c. Ta có:
222222

543cba ≥+
⇔
≥+
. Chia 2 vế phương trình cho 5, ta được:

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=α
=α
π+α−
π
=⇔=α+⇔
=α+α⇔=+
5
4
sin
5
3
cos
với 2k
2
x1xsin
1xcos.sinxsin.cos1xcos
5

4
xsin
5
3

d. Tương tự chia cả hai vế cho 22 ta được:

5
xk
111 1
12
sinx cosx sin x sin
242613
22
x2
12
π
⎡
2
=
+π
⎢
ππ
⎛⎞
−=⇔−==⇔
⎢
⎜⎟
π
⎝⎠
⎢

=
+π
⎢
⎣
A

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

8
e.
2
1
x2tg
2
1
2
x2cos1
x2sin
2
1
xsinx2sin
2
=⇔=
−
+⇔=+

⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
=α∈
π
+
α
=⇔α=⇔
2
1
tgZk;
2
k
2
xtgx2tg

f.
1x2sin
13
12
x2cos
13
5
13x2sin12x2cos5 =−⇔=−

()
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=α
=α
π+
α
−=⇔=α+⇔
13
12
sin
13
5
cos
với k
2
x1x2cos

g.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
4
xcos
4
xsin

32 2 1 32
pt 2cos x sin x 5 cos x .sin x
442 4 42
55
32 2 1 32
cos x x k2 .Với cos ;sin 0 ;cos
44 2
25 5 5 25
⎛⎞
ππ π π
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⇔−+−=⇔ −+ −=
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
ππ π

⎛⎞ ⎛ ⎞
⇔−−ϕ=⇔=+ϕ±α+π ϕ= ϕ= <ϕ< α=
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠

h.
x2cos
2
1
x2sin
2
3
x2cos.
6
sin
6
cos.x2sin
6
x2sin −=
π
−
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π

−

(
)
(
)
(
)
2
0;
22
13
sin;
22
13
cos với k
2
x
22x2cos2222x2sin13x2cos13pt
π
<ϕ<
+
=ϕ
−
=ϕπ+
ϕ
=⇔
=ϕ−⇔=++−⇔

Bài 2: Giải các phương trình:
a.
xcos75x2
4
cos.
4
xsin6x2sin.xsin8 +=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
++
b. 3
8
xcos2
8
xcos.
8

xsin32
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
c. 0xcosxsinxcosxsin1 =+++
d.
3

6xsin4xcos3
2
xsin4xcos3 =
−
−
+−

a.

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
+
π
++
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+
π
−
π
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+ x2
44
xsinx2
44
xsin
2
1

x2
4
cos.
4
xsin
[]
1
sin3x cosx
2
=+
;
[]
1
sinx.sin2x cosx cos3x
2
=−

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

9

()()
()
pt 4 cosx cos3x 3 sin3x cosx 5 7cosx
2
4cos3x 3sin3x 5 cos 3x 1 x k
33 3
⇔−+ +=+

π
ϕπ
⇔− + = ⇔ +ϕ =− ⇒ = − +

Với
5
3
sin;
5
4
cos =ϕ=ϕ

b. 3
4
x2cos1
4
x2sin3pt =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
π
−⇔
13
4
x2cos
4
x2sin3 −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
Làm tương tự câu a.
c.
()
(
)
(

)
0xcos1xsin10xsin1xcosxsin1pt
=
+
+
⇔
=
+++⇔

sinx 1
xk2
k, Z
2
cosx 1
x2
π
⎡
=−
=− + π
⎡
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
=−
⎣
=π+ π
⎣
A

A
∈
d. Đặt
0t6xsin4xcos3t
≠
−−=

⎩
⎨
⎧
=−
=−
⇔
⎩
⎨
⎧
−=−−
−=−−
⇔
⎩
⎨
⎧
−=
−=
⇔
=++⇔=++⇔
4xsin4xcos3
5xsin4xcos3
26xsin4xcos3
16xsin4xcos3

2t
1t
02t3t3
t
2
6tpt
2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cosx, Sinx ĐẲNG CẤP
Dạng 1:
(
)
0ac0xcoscxcosxsinbxsina
22
≠=++
Cách 1: 0
2
x2cos1
cx2sin
2
b
2
x2cos1
apt =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⇔

()
0cax2cos.acx2sin.b
=
+
+
−+⇔ (Giải như bài 2)
Cách 2: Cho
(
Zkk
2
x0xcos ∈π+
)
π
=⇔=
có là nghiệm không.
Chia cả 2 vế cho 0xcos
≠

.
0ctgx.bxatgpt
2
=++⇔
Đặt t = tgx.

Dạng 2:
(
)
0ddxcoscxcosxsinbxsina
22
≠=++

()
(
)
0xcosdcxcosxsinbxsinda
22
=−++−⇔ (Giải như trên)

Bài 1: Giải các phương trình:
a. 01xcos3xcos2
2
=+−
b.
01xsinxcos
2
=++
c.
(

)
0xcos938xcosxsin8xsin3
22
=−++
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

10
d.
4xcos2x2sin33xsin4
22
=−+

e.
2
1
xcos2x2sinxsin
22
=−+

f.
(
)
(
)
1xcos13xcosxsin33xsin2
22
−=−+++
g.

(
)
03xcos132xcos4
2
=+−−
h.
03gxcot4xgcot
2
=+−
i.
0
4
3
xcos2x2sin
22
=+−

j.
42
tg x 4tg x 3 0−+=

a. (1)
01xcos3xcos2
2
=+−
Đặt t = cosx và 1t ≤

Zl,k
2l
3

x
2kx
3
cos
2
1
xcos
1xcos
2
1
t
1t
01t3t2)1(
2
∈
⎢
⎢
⎣
⎡
π+
π
±=
π=
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
π
==

=
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇔=+−⇔

b. (2)
01xsinxcos
2
=++
2
1 - sin x + sinx + 1 = 0⇔
Đặt t = sinx và 1t ≤

Zk;2k
2
x1xsin1t02tt)2(
2
∈π+
π
−=⇔−=⇔−=⇔=++−⇔

c. cosx = 0 không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho
0xcos
2

≠
ta được:
0938tgx8xtg3
2
=−++

Đặt t = tgx thì
(
)
2
2
334 có 0938t8t3)1( −=Δ=−++⇔

Zl,k
l
3
x
kx
3
tg3tgx
tg
3
833
tgx
3t
3
833
t
∈
⎢

⎢
⎣
⎡
π+
π
−=
π+α=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=−=
α=
−
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
−=
−
=
⇔

d.
(
)
xcosxsin4xcos2x2sin33xsin4
2222
+=−+

2
cosx 0
cosx 0
3 sinx.cosx cos x
1
tgx tg
3sinx cosx
6
3
xkx k,Z
26
=
⎡
=
⎡
⎢
⇔=⇔ ⇔

π
⎢
⎢
==
=
⎣
⎢
⎣
ππ
⇔=+π∨=+π ∈AA

e.
0xcos5xcos.xsin4xsin
2
1
xcos2x2sinxsin
2222
=−+⇔=−+

cosx = 0 không là nghiệm phương trình.
Chia cả 2 vế cho . Phương trình cho
0xcos
2
≠ 05tgx4xtg
2
=−+⇔
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

11

2
ttgx
t1
tgx 1 tg x k
44
t5
t4t50
tgx 5 tg x
ππ
⎡⎡
=
=
⎧
=
==
⎡
⎢⎢
⇔⇔⇔ ⇔
⎨
⎢
⎢⎢
=−
+−=
⎣
⎩
+π
=
−= α =α+π

⎣⎣
A

f.
(
)
(
)
1xcos13xcosxsin33xsin2
22
−=−+++

(
)
0xcos3xcosxsin33xsin3
22
=+++
cosx = 0 không là nghiệm.
Chia cả hai vế cho . Pt cho
0xcos
2
≠
(
)
03tgx33xtg3
2
=+++⇔

()

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π+
π
−=
π+
π
−=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=−=
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
π
−=−=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=+++
=
⇔
l
6
x
k
4
x
6
tg
3

3
tgx
4
tg1tgx
3
3
t
1t
03t33t3
tgxt
2

g.
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
π+
π
±=
π+
π
±=
⇔
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=Δ=++−
≤=
2l
6
x
2k
3
x
2
3
xcos
2
1
xcos
13' có 03t132t4
1t,xcost
2

2

h.
()
2
xk
tcotgx,xk
cotgx 1
4
?.
cotgx 3
t4t30
xcotg
π
⎧
=+π
=≠π
=
⎧
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
=
−+=
⎩
⎩
⎪
=α+ π α=
⎩

A
3

i. pt cho
2
3
cos 2x cos2x 0
4
⇔+−=
(hạ bậc)

π+
π
±=⇔
π
==⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
≤=
⇔ k
6
x
3
cos
2
1

x2cos
0
4
3
tt
1t,x2cost
2

j.
2
2
2
2
xk
ttgx,t0,x k
tg x 1
4
2
tg x 3
x
t4t30
3
π
⎧
π
⎧
=
±+π
⎪
⎧

=≥≠+π
=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
=
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
=
±+π
−+=
⎩
⎪
⎩
A

Bài 2: Giải các phương trình:
a.
2
5
x
6
cos4
3
x2cos

=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
b. xcos
2
1
2
7
x
2
5
cos10
2
x
cosx2cos2

2
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
−+
c.
1xcos3x2cos.x4cosxcos.x5cos
2
+
+=

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

12
d.
02
xtg1
xtg1
3x4cos
2
2
=+

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−

a.
2
cos x sin x ;cos2 x 1 2 sin x
633
πππ
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
−= + + =− +
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
3
π

2
2
3
pt 2 sin x 4sin x 0

332
tsinx ,t1
xk
1
3
6
sin x sin
32 6
3
x2
2t 4t 0
2
2
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔+−++=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎧
π
π
⎛⎞
⎧
=+≤
2
=
−+ π
⎜⎟
⎪
⎪

ππ
⎪⎪
⎛⎞
⎝⎠
⇔⇔+==⇔
⎨⎨
⎜⎟
π
⎝⎠
⎪⎪
=
+π
−+=
⎪
⎪
⎩
⎩
A

b.
xsin21x2cos;xsinx
2
5
cos;
2
xcos1
2
x
cos
22

−==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π+
=

2
xk2
1
6
pt 2 sin x 5sinx 3 0 sinx sin
26
5
x2
2
π
⎡
=
+π
⎢
π
⇔+−=⇔==⇔
⎢
π
⎢

=
+π
⎢
⎣
A

c.
()()()
113
pt cos4x cos6x cos2x cos6x 1 cos2x 1 cos4x - 4cos2x - 5 = 0
222
⇔+=++++⇔

π+
π
=⇔−=⇔=−−⇔ k
2
x1x2cos03x2cos2x2cos
2

d.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
≤=π+
π

≠
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
π+
π
≠
⇔
01x2cos3x2cos2
1t,x2cost,k
2
x
02x2cos3x4cos
k
2
x
pt
2

xk xl
cos2x 1
1
xx
cos2x
66

2
=π =π
=
⎡⎡
⎡
⎢⎢
⎢
⇔⇔ ⇔
ππ
⎢⎢
⎢
k
=
±+π =±+π
=
⎣
⎣⎣
A

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng: a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = c
Đặt
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=

≤
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=+=
2
1t
xcos.xsin
2t
4
xcos2xcosxsint
2

Pt cho
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
=+−+
⇔
2t
0c2bat2bt

2

Bài 1: Giải các phương trình:
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

13
a. (1)
()
03x2sin2xcosxsin3 =+++
b. (2)
01xcosxsin4xcosxsin =++−
c. (3)
()
012xcosxsin12x2sin =+−−
d. (4)
1xsinxcos
33
=+

a. (1)
()
03x2sin2xcosxsin3 =+++
Đặt
1tx2sin
4
xcos2xcosxsint
2

−=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=+=

()
2
13
cos x cos
t1
3t 2 t 1 3 0
44
2
(1)
1
t
1
t2
cos x cos
2
4
22
xk2x 2
2
1

xm2 với cos
4
22
⎡
π
π
⎛⎞
−=− =
=
⎡
⎜⎟
⎢
⎧
+−+=
⎪⎝
⎢
⎢
⇔⇔⇔
⎨
⎢
⎢
=−
π
⎛⎞
≤
⎪
⎩
⎠
−
=− = α

⎣
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎣
π
⎡
=π+ π∨ =− + π
⎢
⎢
⇔
π
⎢
=±α+ π α=−
⎢
⎣
A

b. (2)
01xcosxsin4xcosxsin =++−
Đặt
2
1t
xcosxsin
4
xsin2xcosxsint
2
−
=⇒
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=−=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−⇔−=⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

≤
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⇔
4
sin
2
1
4
xsin1t
2t
01
2
t1
4t
)2(
2

3
xk2 x 2;k, Z

2
π
⇔= π∨= + π ∈
AA

c. (3)
()
012xcosxsin12x2sin =+−−
Đặt
2
t1x2sin
4
xsin2xcosxsint −=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=−=

()
4
sin
2
1
4
xsin1t
2t

012t12t1
)3(
2
π
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−⇔=⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
=+−−
⇔

Zl,k2lx2k
2
x ∈π+π=∨π+
π
=⇔

d. (4)

()(
1xcosxsin1xcosxsinxsinxcos
33
=−+=+
)
Đặt
2
1t
xcosxsin
4
xcos2xcosxsint
2
−
=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=+=

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

14

()

()
2
2
xk
t1 1
(4) t 1 1 t 1 t t 2 0 t 1 cos x cos
2
24
2
xl2
π
⎡
⎛⎞
=+ π
−π
⎛⎞
⎢
⇔− =⇔− +−=⇔=⇔ −== ⇔
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎝⎠
=π
⎣
2
4
π

Bài 2: Giải các phương trình:
a.
()
sin2x 3 3 sinx cosx 5 0−++=
b.
(
)
()
x2sinxcosxsin121 =−+−
c.
01x2sin3xsinxcos =−+−
d.
()
(
)
()
02xcosxsin12xcosxsin
2
=+−+−−
e.
08xcosxsin63x2sin2 =++−

f.
1
4
xsin2x2sin =
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
π
−+

a. Đặt
2
t sinx cosx 2 sin x ; t 2 sin2x t 1
4
π
⎛⎞
=+ = + ≤⇒ =−
⎜⎟
⎝⎠

22
pt t 1 33t 5 0 t 33t 4 0⇔−− +=⇔− += Học sinh tự giải.
b.
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∨−=
≤−=
⇔
⎪
⎩