phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình huống cho học sinh từ một số bài toán giải hệ phương trìnhc

MỤC LỤC
Trang
Mục lục ……………………………………………………………………… 1
A. Đặt vấn đề ……………………………………………………………… 2
I. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………… 2
II. Thực trạng của vấn đề………………………………………………………2
B. Giải quyết vấn đề………………………………………………………… 3
I. Giải pháp thực hiện………………………………………………………….3
1. Giải pháp chung….……………………………………………………… 3
2. Biện pháp cụ thể… ……………………………………………………… 3
II. Kết quả ứng dụng đề tài. … ………………………………………… 12
C . Kết luận………………………………………………………………… 13
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Tên đề tài :
“Phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình huống cho học sinh
từ một số bài toán giải hệ phương trình”
I. Lí do chọn đề tài
Trong thời đại cạnh tranh khốc liệt hiện nay, con người muốn hội nhập và phát
triển thì rất cần có khả năng tư duy sáng tạo. Có thể nói rằng, dạy học sinh biết
sáng tạo và khả năng xử lí tình huống là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của
người thầy.
Qua các kỳ thi ĐH- CĐ gần đây và trong thực tiễn giảng dạy tại trường THPT
Nông Cống I, tôi thấy đa số học sinh khá lúng túng trong các bài toán giải hệ
phương trình.
Bởi lẽ hệ phương trình rất đa dạng và biến hoá, đòi hỏi học sinh khả năng tư duy
linh hoạt, óc phán đoán, nhận dạng cùng với một số kỹ năng biến đổi nhất định.
Chính vì vậy, tôi luôn trăn trở làm sao để các em học sinh biết cách tư duy để giải
quyết được một bài hệ phương trình và tự tin với các bài toán giải hệ phương trình
tại các kỳ thi ĐH- CĐ. Do đó tôi quyết định chọn đề tài SKKN: “Phát triển tư duy
sáng tạo, khả năng xử lí tình huống cho học sinh từ một số bài toán giải hệ

phương trình” nhằm giới thiệu với đồng nghiệp một số kinh nghiệm của bản thân
trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giải quyết các bài toán hệ phương
trình, từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán bậc THPT.
II. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu
Sau khi dạy xong phần hệ phương trình đại số trong chương trình toán 10 nâng
cao, tôi cho học sinh thử làm một số bài hệ trong các đề thi đại học những năm gần
đây thì thấy rằng có ít học sinh giải được, mặc dù đối tượng trong lớp có nhiều em
là học sinh khá, giỏi của nhà trường. Phải chăng do đề ra khó quá, hay do tâm lí các
em chưa tự tin. Tôi cho rằng đề thi không phải quá khó, bám sát dạng cơ bản. Tuy
nhiên có biến hoá một chút làm cho học sinh lúng túng không biết phương hướng
giải. Do đó nếu chỉ dựa vào kinh nghiệm là chưa đủ. Điều quan trọng hàng đầu là
phải rèn luyện được khả năng tư duy để giải quyết vấn đề. Trong khuôn khổ của
một SKKN, tôi chỉ đề cập đến việc rèn luyện khả năng tư duy và xử lí tình huống
khi gặp một số hệ phương trình cho học sinh.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Giải pháp thực hiện
1. Giải pháp chung : Ôn tập một số dạng hệ phương trình cơ bản và các phương
pháp giải hệ phương trình :
a) Các dạng hệ phương trình cơ bản gồm:
- Hệ chứa một phương trình bậc nhất đối với một hoặc hai biến
- Hệ đôí xứng loại 1, 2
2
- Hệ đẳng cấp (bậc 2, bậc 3)
- Hệ đồng bậc
b) Một số phương pháp giải hệ cơ bản :
- Rút thế
- Đặt ẩn phụ
- Sử dụng các phép cộng, nhân đại số.
- Đánh giá, bất đẳng thức.
2. Giải pháp cụ thể : Giới thiệu một bài toán giải hệ phương trình ở mức độ đơn

giản với nhiều cách khác nhau để củng cố phương pháp :
a) Bài toán mở đầu :
Chúng ta đến với một bài giải hệ phương trình khá đơn giản sau
(I)
Mặc dù bài này hoàn toàn không khó song ta sẽ cố gắng tìm nhiều lời giải cho hệ
này
Giải
Cách 1. Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên cách thường dùng là trừ hai
phương trình cho nhau. Khi đó ta có
- Với suy ra . Từ đó ta có 2 nghiệm (0;0), (1/2;1/2)
- Với thế vào phương trình của hệ và rút gọn ta
có 1=0 (vô lí). Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2).
Cách 2. Cộng hai phương trình ta được
- Với . Thế vào ta được nghiệm (0;0)
- Với . Thế vào hệ ta được nghiệm (1/2;1/2).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.
3
Cách 3. Viết lại hệ :
Nhân hai phương trình ta được :
Từ đó ta giải được hai cặp (0;0) và (1/2;1/2). Thay vào từng phương trình ta
thấy thoả mãn. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.
Cách 4. Nhận xét : đây là một hệ đẳng cấp bậc hai
Ta thấy (thoả mãn hệ). Vậy (0;0) là một nghiệm của hệ
Với . Đặt . Khi đó thế vào hệ rồi rút gọn cho ta được hệ
. Chia phương trình sau cho phương trình đầu ta được
- Với . Ta có suy ra (loại) hoặc
- Với (loại)
Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2).
Cách 5. (rút thế)
Từ phương trình đầu ta có

Ta thấy không thoả mãn phương trình. Với . Ta có . Thay
vào phương trình sau ta có : . Giải pt này ta được
.
Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2).
Bây giờ ta thay đổi hệ bằng cách sau : giữ nguyên phương trình 2, còn ở phương
trình 1 ta thay y ở vế phải bởi 2y. Ta sẽ xem cách nào trong 4 cách trên có thể
giải quyết được.
b) Sáng tạo những hệ phương trình mới từ hệ (I)
Từ hệ (I) bây giờ ta giữ nguyên các vế trái của hai phương trình và thay đổi vế
phải để tạo ra các hệ mới khó hơn.
4
Bài 1. Giải hệ phương trình
Giải
Ta thấy các cách 1, 2 và 4 sẽ không cho ra kết quả. Ta sử dụng cách 3 như sau :
Với (thoả mãn hệ). Vậy (0;0) là một nghiệm của hệ
Với . Đặt . Khi đó thế vào hệ rồi rút gọn cho ta được hệ
. Chia phương trình sau cho phương trình đầu ta được . Từ
đó thay vào hệ ta được các nghiệm của hệ là :
Bây giờ ta thay đổi phương trình đầu theo cách khác
Hãy tổng quát hoá hệ phương trình trên ?
Ta có kết quả : hệ đẳng cấp bậc hai tổng quát
Bây giờ thay đổi phương trình (1) nhưng hệ mới không phải là một hệ đẳng cấp thì
cách giải thế nào ?
Bài 2. Giải hệ phương trình .
Giải
Rõ ràng với hệ này thì các cách 1, 3,4 gặp khó khăn. Ta có thể sử dụng cách 2
hoặc 5
Cách 1 : cộng hai vế ta được
Từ đó thế vào phương trình (1) : và rút theo ta được các
nghiệm của hệ là (1; ;

5
Cách 2. Ta muốn rút từ phương trình (1). Ta có (1)
Với . Với thế vào (2) suy ra vô lí
Vậy hệ có hai nghiệm (1; ;
Bây giờ nếu ta thay đổi phương trình đầu như sau thì cách giải sẽ thế nào?
Bài 3. Giải hệ phương trình
Giải
Cách 1. Cộng hai phương trình ta được . Đặt . Khi
đó
. Giải được .
Với . Thế vào (2) ta được .
Với thế vào (2) ta thấy phương trình vô
nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Cách 2. Rút y từ (1) : . ( không thoả mãn)
Thế vào (2) và rút gọn ta được :
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
6
Cách 3. Ta viết lại hệ như sau :
Rõ ràng không thoả mãn. Với . Rút từ (3) thế vào (4) và kết hợp
với (4) ta được hệ mới
Do . Đặt ta được . Chia hai phương trình ta được
.
Với (loại)
Với . Từ đó ta có kết luận.
Hãy đưa ra một dạng tổng quát?
Kết quả : với các cách giải ta có thể giải được hệ tổng quát
(với là tham số bất kỳ)
Thay đổi hệ số của ta xét bài toán
Bài 4. Giải hệ phương trình

Rõ ràng với hệ này thì các cách cộng đại số, đặt ẩn phụ không phát huy tác dụng.
Ta thử sử dụng cách rút thế . Từ (1) rút y : và thế vào (2) ta được phương
trình
Giải phương trình ta có các nghiệm
Từ đó hệ đã cho có 3 nghiệm là
7
Ta xét một hệ tương tự
Sử dụng cách rút thế ta có kết quả hệ có nghiệm duy nhất (2;-2)
Một cách tổng quát thì hệ phương trình
luôn giải được. Thành phần của nghiệm của hệ là nghiệm của phương trình
Chính vì vậy nếu chọn các hệ số phù hợp sẽ cho ta nghiệm đẹp.
Quay trở lại hệ phương trình (I). Bây giờ ta thay đổi ở phương trình đầu bởi
Khi đó ta có bài toán :
Bài 5. Giải hệ phương trình
Nếu ta sử dụng cách thế y từ (1) vào (2) ta sẽ phải giải một phương trình bậc ba
không có nghiệm chẵn. Đây là một vấn đề khó khăn đối với học sinh.
Và rõ ràng ta không sử dụng được cách cộng đại số. Vậy ta phải sử dụng cách nào?
Ta chú ý rằng hệ đã cho chính là một hệ đẳng cấp bậc hai
Do đó ta sử dụng cách đặt ẩn phụ
- Với
- Với . Đặt thế vào hệ rồi chia hai phương trình ta được
. Thế tìm được vào ta được hai nghiệm của hệ đã cho là
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm
(0;0),
8
Bây giờ từ hệ (I) ta thay đổi bậc của y ở vế phải phương trình (1)
Nếu bậc của y là 3 ta có bài toán
Bài 6. Giải hệ phương trình
Đây là một hệ đồng bậc. Ta sử dụng cách đặt ẩn phụ và thu được kết quả
Hệ có hai nghiệm (0;0) và (-4;2)

Thậm chí nếu bậc của y là 4 thì trong một số trường hợp ta vẫn áp dụng cách đặt ẩn
phụ như trên để giải. Chẳng hạn
Bài 7. Giải hệ phương trình
Ta được 4 nghiệm là (0;0),
Rõ ràng các cách cộng trừ, rút thế không thể áp dụng được trong các hệ có dạng
này.
Bây giờ ta thay đổi vế phải của (I) để có bài toán :
Bài 8. Giải hệ phương trình
Hãy thử sử dụng các phương pháp đã giải trên để giải hệ này?
Ta thấy với hệ này thì các cách đã trình bày trên đều không cho ta kết quả. Do đó ta
thử tập trung biến đổi phương trình (1) :
(1)
Thử các cặp ( vào phương trình (2) ta thấy chỉ có cặp (-3;2) thoả mãn
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-3;2).
Ta xét bài toán sau
Bài 9. Giải hệ phương trình
Hãy biến đổi (1) để giải hệ phương trình này?
Giải
9
Ta biến đổi phương trình (1) như sau :
(1)
Thế vào (2) ta được phương trình
Đặt ta được .
Vậy hệ có hai nghiệm là (1;1), (-1;-1)
Chú ý rằng ta có thể sử dụng BĐT Bunhiacopski để giải bài toán trên.
Bây giờ ta thay đổi hệ (I) theo một cách khác
Bài 10. Giải hệ phương trình
Giải
Ta thấy đây không phải là một hệ quen thuộc và các cách giải đã nêu đều không
khả thi. Do vậy ta phải tìm một cách giải khác

Ta biến đổi hệ như sau :
Đặt . Nhân hai phương trình theo vế ta được
Khi đó . Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1)
Trở lại hệ (I). Ta sẽ tạo ra một hệ đối xứng loại 2 phức tạp hơn
Bài 11. Giải hệ phương trình
Ta thấy đây là một hệ quen thuộc – hệ đối xứng loại 2. Vì vậy cách giải thường
dùng là trừ hai phương trình cho nhau ta được
10

-Với hoặc Hệ có 3 nghiệm
- Với . Ta cộng (1) và (2) rồi đặt ta
có hệ mới
Thế p từ (3) vào (4) ta được
Suy ra các nghiệm của hệ trong trường hợp này là :
Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm là
(1;1), ,
Ta cần tạo ra một hệ mà cách giải sử dụng ẩn phụ
Bài 12. Giải hệ phương trình
Giải
Ta thấy rằng hệ này không áp dụng được các phương pháp đã giải ở trên
Vậy ta phải tìm một phương án khác.
Nhận thấy phương trình đầu biến đổi được về phương trình
. Đặt . Ta có ngay
Giải được
11
Với . Ta có hệ . Đây là một hệ đẳng cấp bậc hai. Sử dụng
pp đặt ta được nghiệm là
Với Ta có hệ . Giải hệ đẳng cấp bậc hai này cho ta
nghiệm là
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là

II. Kết quả ứng dụng đề tài.
Qua nhiều lần sử dụng SKKN vào giảng dạy tôi nhận thấy ưu điểm và hiệu quả
thể hiện thông qua kết quả kiểm tra kiến thức và thái độ của học sinh.
Cụ thể : Kiểm tra lớp 10 C3 (lớp đối chứng), 10C5 (lớp thực nghiệm). Hai lớp có
trình độ ngang nhau. Năm học 2011 – 2012.
Tốt
(Giỏi)
Khá Trung
bình
Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
10C5
(lớp thực
nghiệm)
48 3 10 25 9 1
10C3
(lớp đối
chứng)
51 6 15 27 3

12
C.KẾT LUẬN
Sau khi sử dụng đề tài để dạy ôn tập hệ phương trình, tôi nhận thấy nhiều
học sinh lớp ở các lớp dạy đã biết vận dụng để giải các dạng hệ phương trình tương
tự. Đặc biệt một số học sinh đã biết tạo ra một số hệ phương trình khá hay. Học
sinh thấy được sự linh hoạt trong các tình huống xử lí hệ phương trình và tích luỹ
được một số kinh nghiệm trong bài toán giải hệ phương trình sơ cấp.
Có thể nói SKKN : “Phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình
huống qua một số bài toán giải hệ phương trình” bước đầu đã thành công theo

đúng mục đích của tác giả.
Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo trong giảng
dạy và để học sinh vận dụng làm bài tập và tìm tòi khám phá vẻ đẹp muôn hình
muôn vẻ của hệ phương trình.
Hệ phương trình là một phần khá rộng lớn. Vì vậy mặc dù đã rất cố gắng
song đề tài chắc khó tránh khỏi sự bất hợp lí ở một vài điểm nào đó. Rất mong
nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp, học sinh và những ai yêu thích hệ
phương trình để đề tài được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày15 tháng 4 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Lê Văn Minh
13