Dao động kỹ thuật động lực học công trình

1
Chương 3
HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
3.1 Phương trình vi phân dao động của hệ
Các lực tác dụng trên một điểm của hệ
P
i
(t) - tải trọng bên ngoài;
P
qi
(t) - lực quán tính;
P
ci
(t) - lực cản dao động;
P
di
(t)- lực đàn hồi.
Điều kiện cân bằng động đối với mỗi bậc tự do:
P
q1
+ P
c1
+ P
d1
= P
1
(t) ;
P
q2
+ P
c2

+ P
d2
= P
2
(t) ;
P
q3
+ P
c3
+ P
d3
= P
3
(t) ;
. . . . . . . . . .
( 3.1 )
[ P
q
] + [ P
c
] + [ P
d
] = [ P(t) ] .
( 3.2 )
Dạng ma trận:
2
F
d1
= k
11

y
1
+ k
12
y
2
+ . . . + k
1n
y
n
;
F
d2
= k
21
y
1
+ k
22
y
2
+ . . . + k
2n
y
n
;
F
di
= k
i1

y
1
+ k
i2
y
2
+ . . . + k
in
y
n
;
k
ij
- lực đàn hồi ứng với toạ độ thứ i do chuyển vị đơn vị ở
toạ độ thứ j gây ra.
. . . . . . . . . . . .
[ F
d
] = [ K ] [ Y ] ( 3.4 )
Ma trận lực đàn hồi:
Ma trận độ cứng:
Ma trận chuyển vị:
[ ]
;




21
22221

11211










=
nnnn
n
n
kkk
kkk
kkk
K
( 3.5)
[ ]
.
.
2
1











=
n
y
y
y
Y
( 3.6 )
( 3.3 )
[ F
d
] =
=










dn
d
d

F
F
F
.
2
1
.
.




2
1
21
22221
11211





















n
nnnn
n
n
y
y
y
kkk
kkk
kkk
3
c
ij
- lực cản ứng với toạ độ thứ i do vận tốc đơn vị của toạ độ
thứ j.
Ma trận lực cản
=











cn
c
c
F
F
F
.
2
1










nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc

21
22221
11211










n
y
y
y



.
2
1
[ F
c
] =











nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc




21
22221
11211
[ C ] =
( 3.7 )
[ ] [ ]
[ ]
.F
c
YC


=
( 3.8 )
Ma trận hệ số cản
4
Ma trận lực quán tính:
[ ]
[ ]
[ ]
.YMF
q

=
( 3.9 )
=












qn
q
q
F

F
F
.
2
1










nnnn
n
n
mmm
mmm
mmm




21
22221
11211
.
.

2
1










n
y
y
y



[ F
q
] =
Ma trận khối lượng:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
.)(tPYKYCYM =++⇒












nnnn
n
n
mmm
mmm
mmm




21
22221
11211
[ M ] = ( 3.10 )
( 3.11 )
Phương trình chuyển động ( 3.2 )
5
3.2 Ma trận độ cứng, ma trận độ dẻo, ma trận khối lượng
1. Ma trận độ cứng, ma trận độ dẻo
δ

ij
- chuyển vị theo toạ độ i do lực đơn vị tác dụng theo toạ độ j.
y
1
= δ
11
P
1
+ δ
12
P
2
+ …. + δ
1n
P
n
.
=










n
y

y
y
.
2
1










nnnn
n
n
δδδ
δδδ
δδδ




21
22221
11211











n
P
P
P
.
2
1
Ma trận độ dẻo:
[ Y ] = [ Δ ] [ P ] .
( 3.12 )










nnnn
n

n
δδδ
δδδ
δδδ




21
22221
11211
[ Δ ] =
( 3.13 )
[ K ] = [ Δ ]
-1
; [ Δ ] = [ K ]
-1
.
( 3.5 ) + ( 3.13 )
6
2
/3 lEIQQ
BA
−==
;8/3;8/5 qlQqlQ
BA
−==
BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN
Sơ đồ dầm
Biểu đồ momen

Công thức
);1()2/(
2
vvPlM
A
−−=
( )
( )
;32/
2
vPvQ
A
−=
;8/
2
qlM
A
−=
lEIM
A
/3=
1
2
3
);3()2/(
2
uvuPlM
C
−=
( )

2/1
2
vPuQ
B
+−=
φ
A
=1
A
B
l
vl
l
ul
A
B
C
P
l
q
A
B
A
M
C
M
ul
vl
A
M

A
M
STT
7
BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN ( TIẾP )
1 2
3
4
;/3
2
lEIM
A
−=
;/3
3
lEIQQ
BA
−==
;/3
2
lEIM
A
−=
;/3
3
lEIQQ
BA
=
;2/)31(
2

vmM
A
−=
.2/)1(3
2
lvmQQ
BA
−−==
4
5
6
1=f
l
A
B
A
M
vl
l
ul
A
B
C
m
A
B
t
1
t
2

Δt=t
1
-t
2
8
BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN (tiếp)
1
2
3 4
;
2
PluvM
A
−=
;
2
vPluM
B
=
;2
22
PlvuM
C
=
;)21(
2
PuvQ
A
+=
.)21(

2
PvuQ
B
+−=
;12/
2
qlMM
BA
−=−=
.2/qlQQ
BA
=−=
;/2;/4 lEIMlEIM
BA
==
./6
2
lEIQQ
BA
−=
7
8
9
l
ul
vl
A
B
P
C

C
M
A
M
B
M
A
B
l
q
A
M
B
M
φ
A
=1
A
B
l
A
M
B
M
9
BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN (tiếp)
1

2
3
4
;/6
2
lEIMM
BA
−==
./12
3
lEIQQ
BA
==
;/ htEIMM
BA
∆=−=
α
;0==
BA
QQ
;catmatcaochieuh −
.daidansohe−
α
;)32( mvvM
A
−=
;)32( muuM

B
−=
./6 luvmQQ
BA
−==
10
11
12
1
l
A B
A
M
B
M
t
1
A B
t
2
Δt=t
1
-t
2
A B
l
m
ul
vl
A

M
B
M
10
Thí dụ 3.1 Xác định ma trận độ cứng và ma trận lực đàn hồi
của khung cho trên hình.
;
6
2
21
L
EI
k =
;
24
2.
12
33
11
L
EI
L
EI
k ==
;
12
2
4.44
3322
k

L
EI
L
EI
L
EI
k ==+=
.
4
2
4.2
3223
L
EI
L
EI
kk ===
L
2L
4EI
y
2
y
3
y
1
y
2
=1
L

EI
k
12
22
=
L
EI
k
4
32
=
2
12
6
L
EI
k =
;
6
2
21
L
EI
k =
;
24
3
11
L
EI

k =
2
31
6
L
EI
k =
y
1
=1








dn
d
d
F
F
F
2
1
3
2
L
EI

12
3L
3L
3L
3L
6L
2
2L
2
2L
2
6L
2
=








3
y
y
y
2
1
11
Thí dụ 3.2 Xác định các phần tử của ma trận độ cứng của hệ.

k
3
k
1
k
2
k
4
m
3
m
1
m
2
y
3
y
2
y
1
F
1
= k
1
+ k
2
= k
11
;
F

2
= - k
2
= k
21
;
F
3
= 0 = k
31
;
y
1
= 1 ; y
2
= y
3
= 0:
y
2
= 1 ; y
1
= y
3
= 0:
F
1
= - k
2
= k

12
; F
2
= k
3
+ k
2
= k
22
;
y
1
= y
2
= 0 ; y
3
= 1:
F
1
= 0 = k
13
;
F
3
= - k
3
= k
32
.
F

2
= - k
3
= k
23
;
F
3
= k
3
+ k
4
= k
33
.
k
1
+k
2
- k
2
0
- k
2
k
2
+k
3
- k
3

0
- k
3
k
3
+k
4
[ K ] =
12
Thí dụ 3.2 Xác định các phần
tử của ma trận độ dẻo của dầm
có độ cứng EI mang ba khối
lượng tập trung m
1
,m
2
,m
3
.
;
9
3
3
0
2
1
11
EI
l
EI

dxM
l
==
∫
δ
;
14
21
3
3
0
21
12
δδ
===
∫
EI
l
EI
dxMM
l
;
3
4
3
3
0
31
3113
EI

l
EI
dxMM
l
===
∫
δδ
.
3
3
0
2
3
33
EI
l
EI
dxM
l
==
∫
δ
.
6
5
;
3
8
3
23

3
22
EI
l
EI
l
==
δδ
l
l
m
1
m
2
m
3
l
27 14 4
14 8 2,5
4 2,5 1
[ ]
EI
l
3
3
=∆
l3
1
M
1

l2
1
2
M
l
1
3
M
13
2. Ma trận khối lượng tập trung.
Kết cấu được chia thành nhiều
đoạn,khối lượng của mỗi đoạn
được phân về các điểm mút
của mỗi đoạn theo phương
pháp của tĩnh học.Các điểm
nút chỉ có chuyển động tịnh tiến.
a b
c
n
1
2
i
0
j
kr
m
0a
m
1a
m

1b
m
2b
m
2c
m
ic
m
in
m
jn
m
kr
m
jr
m
1
m
2
m
c
m
j
m
1
0 0 . . . 0 . . 0
0 m
2
0 . . . 0 . . 0
. . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . m
i
. . 0
. . . . . . . . . . .
0 0 0 0 m
n
[ m ] =
3. Ngoại lực: phân bố theo các nguyên tắc của tĩnh học
14
3.3 Dao động tự do không có lực cản
1. Tần số dao động riêng
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
.0=+ YKYM

[ ]
[ ]
).sin(
θω
+= tYY
( 3.14 )
( 3.15 )
[ ]
Y
- diễn tả hình dáng của hệ; θ – góc lệch pha.
[ ]
[ ]
[ ]
.)sin(

22
YtYY
ωθωω
−=+−=

( 3.16 )
( 3.14 )+( 3.15 )+( 3.16 )
[ ] [ ]
( )
[ ]
[ ]
.0
2
=− YMK
ω
( 3.17a )
[ ]
[ ]
⇒≠ 0Y
[ K ] –ω
2
[ M ] = 0 .
( 3.18a )
[ ω ] = [ ω
1
ω
2
. . . ω
n
]

T
.
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ]
[ ]
.0
11
22
=






∆−⇒∆ YMI
ωω
( 3.17a) x
( 3.17b )
( 3.18b )
= 0 .
[ ] [ ][ ]
MI
∆−⇒
2
1
ω
⇒
15
Thí dụ 3.4 Xác định tần số dao động riêng của khung cho trên

hình.
1,0T
1,5T
2,0T
600kN/m
1200
1800
y
1
y
2
y
3
1
k
22
=
1800
k
32
=
-1200
k
12
=-600
1
k
23
=
-1200

k
33
=
3000
k
13
=0
1
k
11
=600
k
21
=
-600
k
31
=0
Lần lượt cho các tầng khung chuyển vị đơn vị:
y
1
= 1 hoặc y
2
= 1 hay y
3
=1 .
16
1 -1 0
-1 3 -2
0 -2 5

600 ( kN/m ) ;
[ K ] =
1 0 0
0 1,5 0
0 0 2
[ M ] =
T
1 – B -1 0
-1 3 – 1,5B -2
0 -2 5 – 2B
600 ( kN/m )
[ K ] – ω
2
[ M ]
=
B = ω
2
/600
B
3
– 5,5B
2
+ 7,5B -2 = 0 .
B
1
= 0,351 ; B
2
= 1,61 ; B
3
= 3,54 .

[ ]
./
1,46
1,31
5,14
2124
966
210
2
3
2
2
1
srad








=⇒









=










ω
ω
ω
2
ω
17
3.4 Các dạng dao động
( 3.17a )
[ ] [ ]
( )
[ ]
[ ]
;0
2
=−
ii
YMK
ω

[ ]
[ ]
[ ] [ ]
.
;0
2)(
)(
MKE
YE
i
i
i
i
ω
−=






=






( 3.19 )
[ ]

.; ;;
.
.
1
.
.
1
1
2
21
2
2
1
i
ni
ni
i
i
ii
ni
i
ni
i
i
i
y
y
y
y
y

y
y
y
Y ==
















=

















=
φφ
φ
φ
18














=

































0

.
0
0
0
.
1





3
2
)(
)(
3
)(
2
)(
1
)(
3
)(
33
)(
32
)(
31
)(
2

)(
23
)(
22
)(
21
)(
1
)(
13
)(
12
)(
11
ni
i
i
i
nn
i
n
i
n
i
n
i
n
iii
i
n

iii
i
n
iii
ф
ф
ф
eeee
eeee
eeee
eeee
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
⇒






=















0
0
1

0
)(
00
)(
01
)(
10
)(
11
i
ii
ii
EE
Ee
φ
[ ]
[ ]
0
0

)(
00
)(
01
=






+






i
ii
EE
φ
[ ]
[ ]
0
0
)(
10
)(
11

=






+
i
ii
Ee
φ
( 3.20 )
( 3.21)
19
( 3.21 )
[ ]












−=

−
)(
01
1
)(
00
0
ii
i
EE
φ
[ ]
[ ]
.0.
0
)(
00
)(
11
=






+
i
ii
Ee

φ
[ ]
[ ]
.
.
.
1
.
.
1
2
1
1
2
1

















=
















Φ
Φ
Φ
=Φ⇒






ni
i

i
i
ni
i
i
i
oi
y
y
y
y
φ
( 3.22 )
( 3.23 )
( 3.24 )
( 3.24 )
[ ]
.




21
22221
11211











ΦΦΦ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
=Φ⇒
nnnn
n
n
( 3.27 )
Kết quả giải phương trình ( 3.22 ) phải thoả mãn p.tr. dưới đây:
ω
1
…ω
n
ω
2.
20
Thí dụ 3.5 Phân tích các dạng dao động của khung xét trong
thí dụ 3.4.
( 3.19 )
[ ]
[ ] [ ]
600E
2(i)
=−= MK
i

ω
1-B
i
-1 0
-1 3-1,5B
i
-2
0 -2 5-2B
i
e
11
= 1-B
i
;
[ ]
=
)(
01
i
E
-1
0
-1 0
=







)(
10
i
E
[ ]






=
i
i
i
3
2
0
φ
φ
φ
=






)(
00

i
E
3-1,5B
i
-2
-2 5-2B
i
Ф
2i
Ф
3i
= -
3-1,5B
i
-2
-2 5-2B
i
-1
-1
0
( 3.22 )
21
Dạng 1: B
1
= 0,35
Dạng 2: B
2
= 1,61
Dạng 3: B
3

=3,54
-2,08 2
2 -2,31
81,0
1
1
)3(
00
=






−
E
=






)3(
00
E
-2,31 -2
-2 -2.08
=







)2(
00
E
0,585 -2
-2 1,780
81,0
1
33
23
=






Φ
Φ
-2,08
2
=
-2,57
2,47
[ ]

959,2
1
1
)2(
00
−
=
−
E
1,780 2
2 0,585
959,2
1
32
22
−
=






Φ
Φ
1,780
2,000
= -
0,601
0,676

=






)1(
00
E
2,475 -2
-2 4,300
68,6
1
1
)1(
00
=






−
E
4,300 2
2 2,475
68,6
1

31
21
=






Φ
Φ
4,300
2,000
=
0,644
0,300
22
1,000
0,644
0,300
ω
1
=14,5rad/s
1,000
-0,601
-0,676
ω
2
=31,1rad/s
1,000

-2,57
2,47
ω
3
=46,1rad/s
23
3.5 TÍNH CHẤT TRỰC GIAO CỦA CÁC DẠNG DAO ĐỘNG
F
q1j
F
q2j
F
q3j
j
y
1
j
y
2
j
y
3
F
q1i
F
q2i
F
q3i
i
y

1
i
y
3
i
y
2
( 3.17a )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
iii
YMYK
2
ω
=⇒
( 3.28 )
Vế phải vectơ lực quán tính
[ ]
;
q
F−
[ ]
.
d
F−
vế trái vectơ lực đàn hồi
Dao động tự do : chuyển động do lực quán tính.
Định luật Betti

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
jqiiqj
YFYF
''
−=−
( 3.28 )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
jiiijj
YMYYMY






=






'2'2
ωω

( 3.29 )
[ ]
[ ]
[ ]
.0)(
'22
=






−
ijij
YMY
ωω
( 3.30 )
[ ]
[ ]
[ ]
)(;0
22'
ijij
YMY
ωω
≠=







( 3.31 )
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
.;0)28.3(
22'2''
ijijiijj
YMYYKYxY
ωωω
≠==⇒
( 3.32 )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
jiij
YMYYMY
''
=
[ ]
M

-ma trận vuông,
đường chéo
24
[Ф’
1
]
=[1 Ф
21
Ф
31
] , [Ф’
3
] =[1 Ф
23
Ф
33
]

n=3
M
1
0 0
0 M
2
0
0 0 M
3
[1 Ф
21
Ф

31
]

= [M
1
Ф
21
M
2
Ф
31
M
3
]
[Ф’
1
]
M
1
0 0
0 M
2
0
0 0 M
3
[Ф
3
] =
[M
1

Ф
21
M
2
Ф
31
M
3
]
1
Ф
23
Ф
33
= M
1
+Ф
21
Ф
23
M
2
+Ф
31
Ф
33
M
3.
[M]=
M

1
0 0
0 M
2
0
0 0 M
3
;
[1 Ф
23
Ф
33
]

M
1
0 0
0 M
2
0
0 0 M
3
=[M
1
Ф
23
M
2
Ф
33

M
3
]
M
1
0 0
0 M
2
0
0 0 M
3
[Ф’
3
]
[Ф
1
]
=[M
1
Ф
23
M
2
Ф
33
M
3
]
1
Ф

21
Ф
31
= M
1
+Ф
21
Ф
23
M
2
+Ф
31
Ф
33
M
3.
25
[ ]
[ ]
[ ]
)(;0
22'
ijij
YMY
ωω
≠=







( 3.31 )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
.;0
22'
ijij
YKY
ωω
≠=
( 3.32 )
[ ]
[ ][ ] [ ]
)(;0
'
ijM
ij
≠=ΦΦ⇒
( 3.31a )
[ ]
[ ][ ] [ ]
)(;0
'
ijK
ij
≠=ΦΦ

( 3.32a )