Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

Đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học s- phạm





Giáp Xuân Tr-ờng






Về môđun đối đồng điều địa ph-ơng
cấp cao nhất









Luận văn thạc sĩ toán học

Thỏi Nguyờn, 2012
H
d
I
(M)
H
d
I
(M)
H
d
I
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
(R, m) M R
Ann
R
(M/pM) = p p ⊇ Ann
R
M.
R A
Ann
R

(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A. (∗)
R m
R
R
A
A dim(R/ Ann
R
A)
H
d
m
(M)
R/ Ann
R
H
d
m
(M)
i R
R H
i
m
(M)
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
H

d
I
(M)
H
d
I
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
(R, m)
A R
R A
A A ⊇ A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . .
A n
0
∈ N A
n
= A
n
0
n ≥ n
0
.
A R A
A
A Γ
A Γ A

1
∈ Γ A
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
A
2
∈ Γ A
1
⊃ A
2
A
1
= A
2
.
A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ⊃ A
n
⊃ . . . A A
A
A
1
⊇ A
2
⊇ ··· ⊇ A
n
⊇ . . .

A Γ = {A
i
| i ≥ 1}
A
n
0
A
n
= A
n
0
n ≥ n
0
A
0 → A

→ A → A

→ 0 R
A A

, A

A

A A

= A/A

A


A A

A

1
⊇ . . . ⊇
A

n
⊇ . . . A

A A

A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . . A

i
= A
i
/A

i A A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . .

A

1
⊇ . . . ⊇ A

n
⊇ . . . A

A

, A

A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . .
A
A
1
∩ A

⊇ . . . ⊇ A
n
∩ A

⊇ . . .
(A
1
+ A


)/A

⊇ . . . ⊇ (A
n
+ A

)/A

⊇ . . .
A

A

A

A

k t
A
n
∩A

= A
k
∩A

n ≥ k (A
n
+A


)/A

= (A
t
+A

)/A

n ≥ t n
0
= max{t, k} (A
n
+ A

)/A

∼
=
A
n
/(A
n
∩A

)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
n ≥ n
0
A

n
/(A
n
∩A

) = A
n+1
/(A
n+1
∩A

) A
n
∩A

= A
n+1
∩A

A
n
= A
n+1
n ≥ n
0
A
I
I R n
(0 :
A

I
n
) = {x ∈ A | I
n
x = 0} (0 :
A
I
n
)
A Γ
I
(A) =

n0
(0 :
A
I
n
) A
I A I A = Γ
I
(A)
a ∈ R A Ra A

, A

A A

⊆ A


a
i
(0 :
A

a
i+1
) = a
i
(0 :
A

a
i+1
) i
A

= A

A Ra A

Ra
A

=

i≥0
(0 :
A


a
i
) (0 :
A

a
i
) ⊆ A

i ≥ 0 i i = 0
a
0
(0 :
A

a) = a
0
(0 :
A

a) (0 :
A

a) = (0 :
A

a) ⊆ A

i = 0 i > 0
i (0 :

A

a
i
) ⊆ A

z ∈ (0 :
A

a
i+1
)
a
i
z ∈ a
i
(0 :
A

a
i+1
) = a
i
(0 :
A

a
i+1
).
z


∈ (0 :
A

a
i+1
) a
i
z = a
i
z

a
i
(z − z

) = 0
z −z

∈ (0 :
A

a
i
) ⊆ A

z = (z −z

)+z


∈
A

(0 :
A

a
i+1
) ⊆ A

(0 :
A

a
i
) ⊆ A

i
A

= A

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
A
I (0 :
A
I) A I
A I (0 :
A
I)

A x ∈ A Rx R
Rx A (Rx) < ∞.
n m
n
x = 0 x ∈ (0 :
A
m
n
) A m
I R (0 :
A
I)
A =

n≥0
(0 :
A
I
n
) I t A
t t = 0 I = 0
A = (0 :
A
I) t = 1 I = Ra L
1
⊇ L
2
⊇ . . . ⊇
L
n

⊇ . . . A
i L A x ∈ a
i
(0 :
L
a
i+1
)
y ∈ (0 :
L
a
i+1
) x = a
i
y ax = a(a
i
y) = a
i+1
y = 0
ax = 0 x ∈ (0 :
A
a) a
i
(0 :
L
a
i+1
) ⊆ (0 :
A
a)

a
i
(0 :
L
n
a
i+1
) ⊇ a
i+1
(0 :
L
n
a
i+2
) i
x ∈ a
i+1
(0 :
L
n
a
i+2
) y ∈ (0 :
L
n
a
i+2
) x = a
i+1
y

y ∈ (0 :
L
n
a
i+2
) a
i+2
y = 0 a
i+1
(ay) = 0 ay ∈ (0 :
L
n
a
i+1
)
z ∈ (0 :
L
n
a
i+1
) ay = z x = a
i+1
y = a
i
z
x ∈ a
i
(0 :
L
n

a
i+1
) a
i
(0 :
L
n
a
i+1
) ⊇ a
i+1
(0 :
L
n
a
i+2
)
n ≥ 1 (0 :
A
a)
(0 :
L
n
a) ⊇ . . . ⊇ a
i
(0 :
L
n
a
i+1

) ⊇ a
i+1
(0 :
L
n
a
i+2
) ⊇ . . .
(0 :
A
a) k
n
∈ N
E
n
= a
k
n
(0 :
L
n
a
k
n
+1
) = a
i
(0 :
L
n

a
i+1
); ∀i ≥ k
n
.
E
n
= a
k
n
+k
n+1
(0 :
L
n
a
k
n
+k
n+1
+1
) ⊇ a
k
n
+k
n+1
(0 :
L
n+1
a

k
n
+k
n+1
+1
) = E
n+1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
E
1
⊇ . . . ⊇ E
n
⊇ . . . (0 :
A
a)
n
0
E
n
= E
n
0
n ≥ n
0
i ≥ k
n
0
, n ≥ n
0

E
n
0
= a
k
n
0
(0 :
L
n
0
a
k
n
0
+1
) ⊇ a
i

0 :
L
n
0
a
i+1

⊇ a
i

0 :

L
n
a
i+1

⊇ E
n
= E
n
0
.
E
n
0
= a
i

0 :
L
n
a
i+1

; ∀n ≥ n
0
i ≥ k
n
0
i = 0, 1, , k
n

0
− 1
a
i

0 :
L
1
a
i+1

⊇ ⊇ a
i

0 :
L
n
a
i+1

⊇ a
i

0 :
L
n+1
a
i+1

⊇

(0 :
A
a) u ≥ n
0
a
i

0 :
L
n
a
i+1

= a
i

0 :
L
u
a
i+1

; ∀n ≥ u, 0  i  k
n
0
− 1.
L
n
= L
n+1

n ≥ u A
t > 1 I = (a
1
, . . . , a
t
) J = (a
1
, . . . , a
t−1
) B =
(0 :
A
J) B Ra
t
(0 :
B
a
t
) = (0 :
A
I) (0 :
A
I)
(0 :
B
a
t
) B Ra
t
t = 1 B A I A

J B = (0 :
A
J) J t − 1
A
(R, m) A R
i) x ∈ R n
x
n
A = 0 x A xA = A
x A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
ii) A A = 0 x A
x ∈ R
x ∈ R x A
p A p
iii) A = A
1
+ . . . + A
n
A
i
p
i
A
p
i
A
i
A = A
1

+ . . . + A
i−1
+ A
i+1
+ . . . + A
n
) i
iv) A = 0 A A
i) 0 p p
ii) p p
iii) p A p
A p B = A/Q = 0. x ∈ p
n x
n
A = 0 x
n
B = 0. x /∈ p xA = A
xB = B. B p
p
A
1
, . . . , A
n
p A
f : A
1
⊕. . . ⊕A
n
→ A
1

+ . . . + A
n
f(a
1
, . . . , a
r
) = a
1
+ . . . + a
n
A
1
+ . . . + A
n
0 A
1
⊕. . . ⊕A
n
.
A = A
1
+ . . . + A
n
A
i = j A
i
A
j
p A
i

+ A
j
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
A = A
1
+ . . . + A
n
A A
i
p
i
p
i) p ∈ {p
1
, . . . , p
n
}
ii) A p
iii) A Q Ann
R
(Q) = p
(i ⇒ ii) p = p
i
. P
i
=

j=i
A

j
A
i
A/P
i
= 0
A/P
i
= (A
i
+ P
i
)/P
i
∼
=
A
i
/(A
i
∩ P
i
)
A/P
i
0 A
i
A
i
p

i
A/P
i
p
i
A
(ii ⇒ iii) P p A R
p p = (a
1
, , a
t
) P
p i = 1, , t n
i
a
n
i
i
P = 0
n = max{n
1
, , n
t
} p
k
P = 0 k ≥ nt P
p P = 0 P = pP P = pP
k ≥ nt
0 = p
k

P = p
k−1
(pP ) = p
k−1
P = . . . = pP = P,
Q = P/pP 0 P
0 A P p Q p
Ann
R
Q ⊆ p p ⊆ Ann
R
Q Ann
R
Q = p
(iii ⇒ i) Q = A/B Ann
R
Q = p
Q = A/B =
n

i=1
(A
i
+ B)/B
∼
=
n

i=1
A

i
/(A
i
∩ B).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
(A
i
+ B)/B = 0 p
i
Q =
n

i=1
(A
i
+ B)/B
Q
Q Q = Q
1
+ . . . + Q
m
Q
i
p
i
i = 1, . . . , m
√
Ann
R
Q = p

1
∩ . . . ∩ p
m
(iii) p = p
1
∩ . . . ∩p
m
p = p
i
i
A = A
1
+ . . . + A
r
=
B
1
+ . . . + B
s
A A
i
p
i
i = 1, . . . , r B
i
q
i
i = 1, . . . , s.
r = s {p
1

, . . . , p
r
} = {q
1
, . . . , q
r
}.
A
{p
1
, , p
n
} A
A
A Att
R
A p Att
R
A
A
A
p ∈ min Att
R
A p
A
A = A
1
+ . . . + A
n
= B

1
+ . . . + B
n
A A
i
, B
i
p
i
p = p
1
. p
1
∈ min Att
R
A p
j
⊆ p
1
j > 1. x
j
∈ p
j
\ p
1
x = x
2
. . . x
n
. x ∈ p

j
j = 1 x /∈ p
1
x ∈ p
j
j t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
x
t
A
j
= 0 = x
t
B
j
j = 1. x /∈ p
1
xA
1
= A
1
xB
1
= B
1
x
t
A
1
= A

1
, x
t
B
1
= B
1
. x
t
A = A
1
x
t
A = B
1
.
A
1
= B
1
.
A = 0 A
A A
A x ∈ R
xA = A x
n
A = 0 n xA ⊇ x
2
A ⊇ . . .
A k x

n
A = x
k
A
n ≥ k. A
1
= {a ∈ A | x
k
a = 0} A
2
= x
k
A.
a ∈ A. x
k
A = x
2k
A x
k
a = x
2k
b. x
k
(a − x
k
b) = 0
a − x
k
b = c ∈ A
1

. a = c + x
k
b ∈ A
1
+ A
2
. A = A
1
+ A
2
.
A
1
x
k
A
1
= 0. x
k
A = 0 A = A
1
.
xA = A A
2
= x
k
A = A.
A A Γ
A A ∈ Γ
Γ = ∅ A Γ L L ∈ Γ L = 0

L L
L
1
, L
2
L L
1
, L
2
/∈ Γ
L
1
, L
2
L = L
1
+ L
2
A R I
R Var(I) I.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
min Att
R
A = min Var(Ann
R
A).
A = 0 Att
R
A = ∅
Att

R
A = {p
1
, . . . , p
n
}, p ∈ min Var(Ann
R
A).
√
Ann
R
A =

n
i=1
p
i
. p ⊇ Ann
R
A p ⊇ p
i
i
p
i
∈ min Att
R
A p ⊇ p
i
. p
i

⊇ Ann
R
A p
p = p
i
∈ min Att
R
A. p ∈ min Att
R
A.
Q A p = Ann
R
Q. Ann
R
A ⊆
Ann
R
Q p ∈ Var(Ann
R
A). p /∈ min Var(Ann
R
A)
q ∈ min Var(Ann
R
A) q ⊂ p q = p.
q ∈ min Att
R
A. p ∈ min Var(Ann
R
A).

Att
R
A = ∅. p ∈ Att
R
A.
Q = 0 A p = Ann
R
Q. A = 0 A = 0.
Ann
R
A = R. p Ann
R
A.
p ∈ Att
R
A. Att
R
A = ∅
0 → A

→ A → A

→ 0 R
Att
R
A

⊆ Att
R
A ⊆ Att

R
A

∪ Att
R
A

.
A

A A

= A/A

. p ∈ Att
R
A

. Q
A

Ann
R
Q = p. Q A p ∈ Att
R
A
Att
R
A


⊆ Att
R
A. p ∈ Att
R
A. A/P
A p− Q = P + A

. A = Q
A/P = (P + A

)/P
∼
=
A

/(P ∩ A

).
A/P p p ∈ Att
R
(A/P ). A/P
A

. p ∈ Att
R
A

. A = Q A/Q
A/P. A/P p− A/Q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14

p p ∈ Att
R
(A/Q). A/Q A

= A/A

p ∈ Att
R
A

.

R R m u ∈ A
x = (x
n
) ∈

R, x
n
∈ R. Ru = {au | a ∈ R}
A Ru
u Ru
Ru
k m
k
u = 0 (x
n
) ∈

R, n

0
x
n
− x
m
∈ m
k
m, n ≥ n
0
. (x
n
− x
m
)u = 0
m, n ≥ n
0
. x
n
u n ≥ n
0
.
xu = x
n
u n ≥ n
0
. A
A

R A
R A


R A
A

R
A R A

R
Att
R
A = {

p ∩ R |

p ∈ Att

R
A}.
A = (A
11
+ . . . + A
it
1
) + . . . + (A
n
1
+ . . . + A
nt
n
)

A

R A
ij

p
ij

p
i1
∩R = . . . =

p
it
i
∩R = p
i
i = 1, . . . , n p
i
Att

R
A = {

p
ij
| i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , t
i
}.
A

i
= A
i1
+ . . . + A
it
i
i = 1, . . . , n. A = A
1
+ . . . + A
n
i ∈ {1, . . . , n}. x ∈ p
i
, x ∈

p
ij
j = 1, . . . , t
i
.
x A
i
x /∈ p
i
. x /∈

p
ij
j = 1, . . . , t
i
. x A

i
A
i
p
i
A
ij
A
i
i.
Att
R
A = {p
1
, . . . , p
n
} = {

p ∩ R |

p ∈ Att

R
A}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
(R, m)
M R I R
I R M N R
Γ
I

(M) =

n≥0
(0 :
M
I
n
) Γ
I
(M) M
f : N → M R x ∈ Γ
I
(N)
t ∈ N x ∈ (0 :
A
I
t
) I
t
x = 0
f(I
t
x) = 0 = I
t
f(x) f(x) ∈ Γ
I
(M)
f
∗
: Γ

I
(N) → Γ
I
(M) f
∗
(x) = f(x) Γ
I
(f) = f
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
Γ
I
(−) R
R Γ
I
(−) I
M
0 → M → E
0
→ E
1
→ E
2
→
E
i
M R I R
n I Γ
I
(−) M

M I H
n
I
(M)
0 → M
α
→ E
0
u
0
→ E
1
u
1
→ E
2
→
M Γ
I
(−)
0 → Γ
I
(E
0
)
u
∗
0
→ Γ
I

(E
1
)
u
∗
1
→ Γ
I
(E
2
) →
H
n
I
(M) = Ker u
∗
n
/ Im u
∗
n−1
n ≥ 0
n
M
M R
H
0
I
(M)
∼
=

Γ
I
(M)
M H
i
I
(M) = 0 i ≥ 1
0 → M

→ M → M

→ 0
R n ∈ N δ
n
: H
n
I
(M

) →
H
n+1
I
(M

)
0 → Γ
I
(M


) → Γ
I
(M) → Γ
I
(M

)
δ
0
→ H
1
I
(M

) →
→ H
1
I
(M) → H
1
I
(M

)
δ
1
→ H
2
I
(M


) →
δ
n
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
M
H
i
I
(M)
I M
H
i
I
(M) I i
M I H
i
I
(M) = 0 i > 0
R M, H
j
I
(H
i
I
(M)) = 0 i ≥ 0 j > 0
M = M/Γ
I
(M) n ≥ 1

H
n
I
(M)
∼
=
H
n
I
(M).
0 = a ∈ R M
am = 0 m = 0 m ∈ M.
a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M i = 1, . . . , n.
a
1
, . . . , a
n
∈ R M a
1
, . . . , a

n
M M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
M I M
I H
i
I
(M)
M I
H
i
I
(M)
M
M I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
M I
M I depth(I, M).
M
depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) = 0}.
p
0
 p
1

 . . .  p
n
R R n
R
R dim R M = 0
M dim M
dim(R/ Ann M) M 0 dim M = −1
(R, m) M
m q (M/q
n
M)
n  0
dim M = deg (M/q
n
M)
= inf{t | ∃x
1
, . . . , x
t
∈ m (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞}.
x ∈ m dim(M/xM) ≥ dim M − 1
x M
R I R
M R H
i
I

(M) = 0 i > dim M
M
M (R, m)
m dim M = max{i | H
i
m
(M) = 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
(R, m) I
R M R dim M = d
x ∈ I M
i ∈ N
0 → H
i
I
(M)/xH
i
I
(M) → H
i
I
(M/xM) → (0 :
H
i
I
(M)
x).
x M
0 → M
x.

→ M
p
→ M/xM → 0,
x. x M p
id
M
M H
i
I
(−)
H
i
I
(x.) = H
i
I
(x id
M
) = xH
i
I
(id
M
) = x id
H
i
I
(M)
.
H

i
I
(x.) x H
i
I
(M)
H
i−1
I
(M)
x.
→ H
i−1
I
(M)
f
i
→ H
i−1
I
(M/xM)
g
i
→ H
i
I
(M)
x.
→ H
i

I
(M)
i ≥ 0
0 → H
i−1
I
(M)/xH
i−1
I
(M)
f
i
→ H
i−1
I
(M/xM)
g
i
→ (0 :
H
i
I
(M)
x) → 0
i ≥ 0.
I
I
H
d
I

(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
d d = 0 M
H
0
I
(M)
∼
=
Γ
I
(M) H
0
I
(M)
d ≥ 1
d d > 0 H
d
I
(M)
∼
=
H
d
I
(M/Γ
I
(M))
dim M ≥ dim(M/Γ
I

(M)) dim(M/Γ
I
(M)) < d
H
d
I
(M/Γ
I
(M)) = 0 H
d
I
(M) = 0
dim(M/Γ
I
(M)) = d. H
d
I
(M)
∼
=
H
d
I
(M/Γ
I
(M))
M/Γ
I
(M) I I
x M 0 → M

x.
→ M
p
→ M/xM →
0,
H
d−1
I
(M/xM)
f
→ H
d
I
(M)
x.
→ H
d
I
(M).
x M dim(M/xM) = d − 1
H
d−1
I
(M/xM)
H
d−1
I
(M/xM)/ Ker f
∼
=

Im f = Ker(x.) = (0 :
H
d
I
(M)
x).
H
d−1
I
(M/xM)/ Ker f (0 :
H
d
I
(M)
x) H
d
I
(M)
I x ∈ I H
d
I
(M) Rx
H
d
I
(M)
H
i
m
(M) i ≥ 0.

i i = 0
H
0
m
(M) = Γ
m
(M) =

k>0
(0 :
M
m
k
) M
M
(0 :
M
m) ⊆ (0 :
M
m
2
) ⊆ . . . r
(0 :
M
m
k
) = (0 :
M
m
r

) k ≥ r H
0
m
(M) = (0 :
M
m
r
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
m
r
⊆ Ann(H
0
m
(M)) dim(H
0
m
(M)  dim R/m
r
= 0
H
0
m
(M) 0 H
0
m
(M)
i > 0 i − 1
H
i

m
(M)
∼
=
H
i
m
(M) M = M/Γ
m
(M) m
x M
0 → M
x.
→ M
p
→ M/xM → 0
H
i−1
m
(M/xM)
δ
i−1
→ H
i
m
(M)
x.
→ H
i
m

(M).
H
i−1
m
(M/xM)/ Ker δ
i−1
∼
=
Im δ
i−1
= Ker(x.) = (0 :
H
i
m
(M)
x)
H
i−1
m
(M/xM)/ Ker δ
i−1
(0 :
H
i
m
(M)
x) H
i
m
(M)

m x ∈ m H
i
m
(M) Rx
H
i
m
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
(R, m) I
R M R dim M = d.
H
d
I
(M)
R
q ⊂ p R
q p q p
(R, m)
q ⊂ p R
q ⊂ p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
i)
ii) dim R  2 R

M m
M M dim(R/p) = dim M p ∈
min Ass
R
M M


M
dim(

R/

p) = dim

M

p ∈ min Ass

R

M M
dim

R/P = dim

M P ∈ Ass

R

M
(R, m)
R
R
ht p + dim R/p = dim R p ∈ Spec(R)
R
R p R

ht p + dim R/p = dim R.
A R
R M p ∈
Spec(R) p Ann
R
M M
p
= 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24