Xác định duy nhất của hàm phân hình P Adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CAO THỊ HÀ
XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM
PHÂN HÌNH P −ADIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CAO THỊ HÀ
XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM
PHÂN HÌNH P −ADIC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS HÀ TRẦN PHƯƠNG
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số vấn đề về Lý thuyết Nevanlinna p−adic 3
1.1 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hai định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 16
2.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus . . . . . . . 16
2.1.2 Giá trị bội của hàm phân hình . . . . . . . . . . 20
2.2 Đa thức duy nhất của hàm phân hình . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Y
n,m
. . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Đa thức duy nhất kiểu F
n,b
. . . . . . . . . . . . 28
2.3 Hàm phân hình chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Tập duy nhất cho hàm phân hình p−adic . . . . 30
2.3.2 Tập duy nhất kiểu F
o
n,b
. . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 48
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm hay ánh xạ
phân hình thông qua ảnh ngược của một tập hữu hạn thu hút được
sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước:
G.Pólya, R.Nevanlinna, F. Gross, và thu được nhiều kết quả quan
trọng. Năm 1926, R.Nevanlinna đã chứng minh: Nếu hai hàm phân
hình f và g chung nhau 5 giá trị phân biệt thì trùng nhau. Kết quả này
của Nevanlinna cho thấy một hàm phân hình phức được xác định một
cách duy nhất bởi ảnh ngược, không kể bội, của 5 giá trị phân biệt.
Công trình này của Ông được xem là khởi nguồn cho các công trình
nghiên cứu về sự xác định duy nhất hàm hay ánh xạ phân hình.
Một vấn đề tự nhiên được đưa ra bởi F. Gross (xem [6]), đó là không
xét ảnh ngược của các điểm rời rạc mà xét ảnh ngược của một tập hợp

điểm. Từ đó đến nay, vấn đề này được nghiên cứu một cách liên tục và
mạnh mẽ với những kết quả của H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M.
Ru, Z. Tu, C. C. Yang, G. Frank, M. Reinders,. .
Kí hiệu C
p
là trường các số phức p−adic. Ta biết C
p
là một trường
đóng đại số, có đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không acsimet. Song song
với việc nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình trên C,
các nhà toán học còn nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân
hình trên C
p
. Hướng nghiên cứu cũng này hút được sự quan tâm của
nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả quan trọng.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
tế liên quan đến việc ứng dụng Lý Thuyết Nevanlinna cho hàm phân
hình p-adic. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này.
3. Mục đích của luận văn
Với mục đích trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về tính duy
nhất của hàm phân hình không Acsimet, chúng tôi chọn đề tài "Xác
định duy nhất của hàm phân hình p-adic".
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết
luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 : Một số vấn đề về lý thuyết Nevanlinna p-adic. Trong
chương này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết cho

việc chứng minh trong chương 2 như: Các hàm Nevanlinna, định lí cơ
bản thứ nhất, định lí cơ bản thứ hai.
Chương 2:Xác định duy nhất của hàm phân hình p- adic. Chương
này chúng tôi trình bày một số kết quả trong nghiên cứu tính duy nhất
của hàm phân hình.
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự
dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Thái Nguyên,
ĐHSP Hà Nội, Viện Toán học. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực
tiếp của thày giáo TS Hà Trần Phương. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thày giáo TS Hà Trần Phương, tới các thày cô giáo
và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012
Tác Giả
Cao Thị Hà
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
Một số vấn đề về Lý thuyết
Nevanlinna p−adic
1.1 Hàm đặc trưng
Trong phần này ta luôn quy ước các số thực ρ
0
, r, ρ thỏa mãn
0 < ρ
0
< r < ρ ≤ ∞.
Giả sử f ∈ A
(ρ
(C
p

) là một hàm nguyên, khi đó
f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
, (a
n
∈ C
p
). (1.1)
Hiển nhiên ta có thể gán cho f(z) giá trị của chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
với mỗi
z ∈ C
p
mà |a
n
z
n
| → 0 khi n → ∞ (vì khi đó chuỗi hội tụ). Bán kính

hội tụ ρ của chuỗi (1.1) được tính bởi công thức
1
ρ
= lim sup
n−→∞
|a
n
|
1
n
.
Giả sử chuỗi lũy thừa f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
có bán kính hội tụ là ρ:
0 < ρ  +∞. Với mỗi r ∈ R
+
: 0 < r < ρ. Ta định nghĩa số hạng lớn
nhất
µ(r, f) = max
n0
|a
n
|r
n

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
liên kết với chỉ số trung tâm
ν(r, f) = max
n0
{n : |a
n
|r
n
= µ(r, f)}.
Nhận xét. 1. Với mỗi r : 0 < r < ρ, µ(r, f) luôn tồn tại hữu hạn. Thật
vậy, do chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
hội tụ tại z ∈ C
p
: |z| = r, nên lim
n−→∞
|a
n
|r
n
= 0,
kéo theo dãy {|a
n

|r
n
} bị chặn trong R
+
.
2. Hàm µ(r, f) liên tục theo r.
3. Với mỗi r, chỉ số trung tâm ν(r, f) luôn tồn tại hữu hạn và là
một số nguyên không âm. Theo định nghĩa ta có
µ(r, f) = |a
ν(r,f)
|r
ν(r,f)
.
4. Hiển nhiên, nếu z ∈ C
p
mà |z|  r thì
|f(z)|  max
n0
|a
n
||z|
n
 max
n0
|a
n
|r
n
= µ(r, f).
Ta kí hiệu

µ(0, f) = lim
r−→0
+
µ(r, f), ν(0, f) = lim
r−→0
+
ν(r, f).
Dễ thấy chỉ số trung tâm ν(r, f) tăng khi r → ρ và thoả mãn
log µ(r, f) = log |a
ν(0,f )
| +

r
0
ν(t, f) − ν(0, f)
t
dt
+ ν(0, f) log r, (0 < r < ρ) (1.2)
trong đó log là kí hiệu logarit thực cơ số e.
Kí hiệu vành của chuỗi luỹ thừa f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
(a
n
∈ C

p
) mà
thoả mãn điều kiện lim
n−→∞
|a
n
|r
n
= 0 bởi A
r
(C
p
). Hiển nhiên nếu r
1
< r
2
và lim
n−→∞
|a
n
|r
n
2
= 0 thì lim
n−→∞
|a
n
|r
n
1

= 0. Do đó
A
r
2
(C
p
) ⊂ A
r
1
(C
p
).
Kí hiệu A
(r
(C
p
) là tập hợp các chuỗi luỹ thừa của z mà bán kính
hội tụ là lớn hơn hoặc bằng r. Hiển nhiên, f ∈ A
(r
(C
p
) nếu và chỉ nếu
f ∈

s<r
A
s
(C
p
). Ta viết ngắn gọn

A(C
p
) = A
(∞
(C
p
)
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Từ công thức (1.2) ta có với mỗi f ∈ A(C
p
), hàm µ(r, f) tăng khi
r → ρ. Hai định lý sau cho ta một số tính chất của hàm µ(r, f).
Định lý 1.1. Với r > 0 hàm µ(r, .) : A
r
(C
p
) → R
+
thoả mãn tính
chất sau
1) µ(r, f) = 0 nếu và chỉ nếu f ≡ 0;
2) µ(r, f + g)  max{µ(r, f), µ(r, g)};
3) µ(r, fg) = µ(r, f)µ(r, g).
Định lý 1.2. Giả sử chuỗi luỹ thừa (1.1) có bán kính hội tụ ρ > 0.
Với mỗi z ∈ C
p
, nếu f(z) hội tụ thì tồn tại đạo hàm f

(z) được tính

theo công thức:
f

(z) =
∞

n=1
na
n
z
n−1
. (1.3)
Bán kính hội tụ của chuỗi (1.3) bằng bán kính tụ của f. Hơn nữa f

thoả mãn
µ(r, f

) 
1
r
µ(r, f) (0 < r < ρ).
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm tại các không điểm và cực điểm.
Giả sử f ∈ A
(ρ
(C
p
) là một hàm nguyên. Với a ∈ C
p
, kí hiệu n


r,
1
f−a

là số không điểm của f tại a kể cả bội, n

r,
1
f−a

là số không điểm của
f tại a không kể bội. Ta định nghĩa các hàm đếm tại các không điểm
của f − a kể cả bội, không kể bội bởi
N

r,
1
f − a

=

r
ρ
0
n(t,
1
f−a
)
t
dt với ρ

0
< r < ρ;
N

r,
1
f − a

=

r
ρ
0
n(t,
1
f−a
)
t
dt với ρ
0
< r < ρ.
Với a = ∞, kí hiệu n(r, f) là số cực điểm của f kể cả bội, n(r, f) là số
cực điểm của f tại a không cả bội. Ta định nghĩa các hàm đếm tại các
cực điểm f kể cả bội, không kể bội bởi
N(r, f) =

r
ρ
0
n(t, f)

t
dt với ρ
0
< r < ρ;
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
N(r, f) =

r
ρ
0
n(t, f)
t
dt với ρ
0
< r < ρ.
Giả sử f ∈ M
(ρ
(C
p
) là một hàm phân hình, khi đó tồn tại hai hàm
f
0
, f
1
∈ A
r
(C
p
) sao cho f

0
, f
1
không có nhân tử chung trong A
r
(C
p
)
và f =
f
1
f
0
. Với a ∈ C
p
∪ {∞}, ta định nghĩa hàm đếm số không điểm
n

r,
1
f−a

của f tại a (hay còn gọi là hàm đếm số a− điểm của f) bởi
n

r,
1
f − a

=


n(r, f) = n(r,
1
f
0
) : a = ∞
n(r,
1
f
1
−af
0
) : a = ∞ .
Định nghĩa hàm đếm N(r,
1
f−a
) của f tại a bởi
N

r,
1
f − a

=

N(r, f) = N(r,
1
f
0
) : a = ∞

N(r,
1
f
1
−af
0
) : a = ∞ .
Kí hiệu
N(r, f = a) =

N(r, f) = N(r, f
0
= 0) : a = ∞
N(r, f
1
− af
0
= 0) : a = ∞ .
Tương tự ta cũng định nghĩa được các hàm n(r, f), N(r, f), n(r,
1
f−a
),
N(r,
1
f−a
).
Giả sử
f
1
=

∞

n=m
1
a
n
z
n
; f
0
=
∞

n=m
0
b
n
z
n
,
trong đó m
0
, m
1
∈ N và a
m
1
= 0, b
m
0

= 0. Theo công thức Jensen ta
có
N(r, f = 0) = N(r, f
1
= 0) = log µ(r, f
1
) − log |a
m
1
|,
N(r, f = ∞) = N(r, f
0
= 0) = log µ(r, f
0
) − log |b
m
0
|.
Kéo theo
N(r, f = 0) − N(r, f = ∞) = log µ(r, f) − log
|a
m
1
|
|b
m
0
|
= log µ(r, f) − log |f
∗

(0)|. (1.4)
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
trong đó f
∗
(0) =
a
m
1
b
m
0
. Có thể thấy
f
∗
(0) = lim
z→0
z
m
0
−m
1
f(z) ∈ C
p
− {0}
Hơn nữa, sử dụng công thức Jensen cho các hàm f
1
và f
0
ta có:

N(r,
1
f
) − N(r, f) = N(r,
1
f
1
) − N(r,
1
f
0
)
= log µ(r, f
1
) − log µ(ρ
0
, f
1
) − log µ(r, f
0
)
+ log µ(ρ
0
, f
0
)
= log
µ(r, f
1
)

µ(r, f
0
)
− log
µ(ρ
0
, f
1
)
µ(ρ
0
, f
0
)
= log µ(r, f) − log µ(ρ
0
, f). (1.5)
Công thức (1.4) và (1.5) được gọi là công thức Jensen cho các hàm
phân hình.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm bù (hay còn gọi là hàm xấp xỉ) của
hàm f bởi công thức
m(r, f) = log
+
µ(r, f) = max{0; log µ(r, f)}.
Đặc biệt
m

r,
1
f


= log
+
µ

r,
1
f

= log
+
1
µ(r, f)
= max{0, − log µ(r, f)}.
Hơn nữa,
1
log p
m

p
t
,
1
f

= γ
+
(t, f) = max{0; γ(r, f)}.
Tiếp theo ta xem xét một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm
xấp xỉ.

Mệnh đề 1.3. Giả sử f
i
∈ M
(p
(C), (i = 1, 2, . . . , k). Khi đó với mỗi
r > 0, ta có
N

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
N(r, f
i
); N

r,
k

i=1
f
i


≤
k

i=1
N(r, f
i
).
m

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
m(r, f
i
); m

r,
k

i=1
f
i


≤
k

i=1
m(r, f
i
).
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Chứng minh. Với mỗi i = 1, . . . , k ta kí hiệu f
i
=
f
i1
f
i0
, trong đó
f
i1
, f
i0
∈ A
r
(C
p
). Khi đó
k

i=1

f
i
=
F
f
1
0
. . . f
k0
;
k

i=1
=
G
f
10
. . . f
k0
,
trong đó F, G ∈ A
r
(C
p
). Do đó, mỗi cực điểm của hàm
k

i=1
f
i

hoặc
k

i=1
f
i
chỉ có thể là không điểm của hàm f
10
, . . . , f
k0
, nên nó là cực điểm của
một trong các hàm f
i
. Suy ra
n

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
n(r, f
i
),

n

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
n(r, f
i
).
Điều này kéo theo
N

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1

N(r, f
i
),
N

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
N(r, f
i
).
Ngoài ra, theo tính chất của hàm µ(r, .) ta có:
log µ

r,
k

i=1
f
i

≤ log max

i∈{1, ,k}
µ(r, f
i
) = max
i∈{1, ,k}
log µ(r, f
i
).
Nên
m

r,
k

i=1
f
i

≤ max
i∈{1, ,k}
m(r, f
i
).
Và
log µ

r,
k

i=1

f
i

= log
k

i=1
µ(r, f
i
) =
k

i=1
log µ(r, f
i
),
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
kéo theo
m

r,
k

i=1
f
i

≤
k


i=1
m(r, f
i
).
Mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna. Hàm đặc trưng
Nevanlinna của một hàm phân hình p−adic f được xác định bởi:
T (r, f) = m(r, f) + N(r, f) (ρ
0
< r < ∞).
Chú ý rằng
log µ(r, f) = log
+
µ(r, f) − log
+
1
µ(r, f)
= m(r, f) − m

r,
1
f

.
Nên công thức (1.5) được viết lại là
T

r,
1

f

= T (r, f) − log µ(ρ
0
, f). (1.6)
Nếu hàm f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
thì f phải có các
không điểm hoặc cực điểm, do đó
N

r,
1
f

→ ∞ hoặc N(r, f) → ∞(r → ρ).
Trong mỗi trường hợp này ta luôn có T (r, f) → ∞. Mệnh đề sau đây
là một tính chất đơn giản của hàm đặc trưng
Mệnh đề 1.4. Giả sử f, f
i
∈ M
(p
(C
p
)(i = 1, . . . , k). Khi đó với mỗi
r > 0 ta có
T

r,
k


i=1
f
i

≤
k

i=1
T (r, f
i
), T

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
T (r, f
i
). (1.7)
Hơn nữa T(r, f) là một hàm tăng theo r.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10

Chứng minh. Bất dẳng thức (1.7) được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề
1.3. Giả sử r
1
> r
2
. Nếu m(r
1
, f) = 0 ta có
T (r
1
, f) = N(r
1
, f) ≤ N(r
2
, f) ≤ T (r
2
, f).
Nếu m(r
1
, f) > 0 thì m(r
1
,
1
f
) = 0 suy ra N(r
1
,
1
f
) = 0. Và như thế

T

r
1
,
1
f

= N

r
1
,
1
f

≤ N

r
2
,
1
f

≤ T

r
2
,
1

f

.
Do đó, từ (1.6) ta có T (r
1
, f) ≤ T (r
2
, f). Mệnh đề được chứng minh.
1.2 Hai định lý cơ bản
Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu hai định lí cơ bản trong lý thuyết
phân bố giá trị p− adic. Ta kí hiệu |.| thay cho |.|
p
trên C
p
. Ta cố định
hai số thực ρ và ρ
0
sao cho 0 < ρ
0
< ρ < ∞. Trước tiên ta chứng minh
Định lí cơ bản thứ nhất, định lí này tương tự trường hợp phức
Định lý 1.5. (Định lý cơ bản thứ nhất) Nếu f là hàm phân hình
khác hằng trên C
p
(0; ρ) thì với mọi a ∈ C
p
ta có
m

r,

1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T (r, f) + O(1).
Chứng minh. Từ (1.6) ta có
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T

r,
1
f − a

= T (r, f − a) − log µ(ρ

0
, f − a).
Theo Mệnh đề 1.4 ta có
T (r, f − a) ≤ T (r, f) + log
+
|a|,
T (r, f) ≤ T (r, f − a) + log
+
|a|.
Từ đó ta có kết luận của định lý.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Mệnh đề sau đây được gọi là bổ đề đạo hàm logarit
Mệnh đề 1.6. Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
(0, ρ) thì
với một số nguyên k > 0 ta có
µ

r,
f
(k)
f

≤
1
r
k
.
Đặc biệt

m

r,
f
(k)
f

≤ k log
+
1
r
.
Chứng minh. Nếu f ∈ A
(p
(C
p
) thì ta có:
µ

r,
f

f

=
µ(r, f

)
µ(r, f)
≤

1
r
,
do đó
µ

r,
f
(k)
f

= µ

r,
k

i=1
f
(i)
f
(i−1)

=
k

i=1
µ

r,
f

(i)
f
(i−1)

≤
1
r
k
,
trong đó f
(0)
= f. Bây giờ ta xét f =
g
h
∈ M
(p
(C
p
). Khi đó
µ

r,
f

f

= µ

r,
hg


− gh

h
2
.
h
g

= µ

r,
g

g
−
h

h

≤ max

µ

r,
g

g

, µ


r,
h

h

≤
1
r
.
tương tự ta cũng thu được
µ

r,
f
(k)
f

≤
1
r
k
.
Mệnh đề được chứng minh.
Với một hàm phân hình khác hằng f trong C
p
(0, ρ), ta định nghĩa
số hạng phân nhánh bởi
N
ram

(r, f) = 2N(r, f) − N(r, f

) + N

r,
1
f


.
Tiếp theo ta giới thiệu Định lý cơ bản thứ hai trong trường hợp p−adic
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Định lý 1.7. (Định lý cơ bản thứ hai) Nếu f là hàm phân hình
khác hằng trên C
p
(0; ρ) và a
1
, . . . , a
q
∈ C
p
là các số phân biệt. Đặt
δ = min
i=j
{1, |a
i
− a
j
|}.

Khi đó với 0 < r < ρ
(q − 1)T (r, f) ≤ N(r, f) +
q

j=1
N

r,
1
f − a
j

− N
Ram
(r, f) − log r + S
f
≤ N(r, f) +
q

j=1
N

r,
1
f − a
j

− log r + S
f
,

trong đó
S
f
=
q

j=1
log µ(ρ
0
, f − a
j
) − log µ(ρ
0
, f

) + (q − 1) log
A
δ
.
Chứng minh. Lấy r

∈ |C
p
|sao cho ρ
0
< r

< ρ. Ta viết f =
f
1

f
0
, trong
đó f
0
, f
1
∈ A
r

(C
p
) không có không điểm chung và đặt
F
0
= f
0
, F
i
= f
1
− a
i
f
0
(i = 1, . . . , q).
Khi đó
|f
k
(z)| ≤ A max

i
{|F
0
(z)|, |F
i
(z)|} (k = 0, 1).
Ta luôn sử dụng W = W(f
0
, f
1
) =




f

0
f

1
f
0
f
1




= f


0
f
1
− f

1
f
0
là kí hiệu
Wronskian của f
0
và f
1
. Đặt
W
i
= W(F
0
, F
i
) = W.
Bây giờ ta cố định z ∈ C
p
[0; r

] − C
p
[0; ρ] sao cho
W(z), f

1
(z), F
i
(z) = 0, (i = 0, 1, . . . , q).
Khi đó tồn tại một chỉ số j ∈ {1, 2, . . . , q} sao cho
|F
j
(z)| = min
1≤j≤q
|F
i
(z)|.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Chú ý rằng
|f
0
(z)| =
|F
i
(z) − F
j
(z)|
|a
i
− a
j
|
≤
1

δ
, (i = j),
Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β
1
, . . . , β
q−1
với
β
l
= j (l = 1, 2, . . . , q − 1) sao cho
0 < max{δ|f
0
(z)|, |F
j
(z)|} ≤ |F
β
1
(z)| ≤ · · · ≤ |F
β
q−1
(z)| < ∞.
Khi đó ta có
|f
k
(z)| ≤
A
δ
max{δ|f
0
(z)|, |F

j
(z)|} ≤
A
δ
|F
β
l
(z)|,
với mỗi k = 0, 1, . . . , q − 1. Như vậy ta thu được
|
˜
f(z)| = max
k
|f
k
(z)| ≤
A
δ
|F
β
l
(z)| (l = 1, . . . , q − 1),
trong đó
˜
f = (f
0
, f
1
) : C
p

→ C
2
p
,
là một biểu diễn của f. Vì W = W
j
, ta thu được
log
|F
0
(z) . . . F
q
(z)|
|W (z)|
= log |F
β
l
. . . F
β
q−l
− log D
j
(z),
trong đó
D
j
=
|W
j
|

F
0
F
j
=




F

j
F
j
−
F

0
F
0




.
Khi đó
log |F
β
l
. . . F

β
q −l
≤ log
|F
0
(z) . . . F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z).
Bởi vậy ta có
(q − 1) log |
˜
f(z)| ≤ log
|F
0
(z) . . . F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z) + (q − 1) log
A
δ
.
(1.8)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Đặt r = |z|. Ta thu được
D
j
(z) ≤ max

|F

0
(z)|
|F
0
(z)|
,
|F

j
(z)|
|F
j
(z)|

≤
1
r
,
như vậy
log D
j
(z) ≤ − log r.

Bằng việc sử dụng công thức Jensen ta có
log |F
0
(z)| = log µ(r, F
0
) = log µ(r, f
0
)
= N

r,
1
f
0

+ log µ(ρ
0
, f
0
)
= N(r, f) + log µ(ρ
0
, f
0
).
log |W(z)| = log µ(r, W) = log µ(r, f
0
f

1

− f
1
f

0
)
= N

r,
1
W

+ log µ(ρ
0
, W)
= N

r,
1
W

+ log µ(r, f

) + 2 log µ(ρ
0
, f
0
).
log |F
i

(z)| = log µ(r, F
i
) = log µ(r, f
1
− a
i
f
0
)
= N

r,
1
f − a
i

+ log µ(ρ
0
, f − a
i
) + log µ(ρ
0
, f
0
),
với mỗi i = 1, . . . , q và chú ý rằng
log |
˜
f(z)| = T (r, f) + log µ(ρ
0

, f
0
),
ta thu được
(q − 1)T (r, f) ≤ N(r, f) +
q

j=1
N

r,
1
f − a
j

− N

r,
1
W

− log r + S
f
. (1.9)
Chú ý rằng
W = f
0
f

1

− f
1
f

0
= f
2
0
f

.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ta có thể dễ dàng chứng minh được
n

r,
1
W

= 2n(r, f) − n(r, f

) + n

r,
1
f


,

điều này kéo theo
N

r,
1
W

= N
Ram
(r, f),
và
n(r, f) +
q

j=1
n

r,
1
f − a
j

− n

r,
1
W

≤ n(r, f) +
q


j=1
n

r,
1
f − a
j

.
Từ đó ta suy ra bất đẳng thức trong định lý. Chú ý rằng, tập r làm
cho công thức (1.9) đúng là trù mật trong (ρ
0
, r

]. Kéo theo (1.9) cũng
đúng với mọi ρ
0
< r ≤ r

bởi tính liên tục của các hàm trong bất đẳng
thức đó. Vì r

chọn bất kì nên định lý được chứng minh.
Chú ý. Ta viết
n

r,
1
f


; a
1
, . . . , a
q

= n

r,
1
f


+
q

j=1
n

r,
1
f − a
j

−
q

j=1
n


r,
1
f − a
j

,
(1.10)
và kí hiệu
n

r,
1
f

; a
1
, . . . , a
q

=
r

ρ
0
n(t,
1
f

; a
1

, . . . , a
q
)
t
dt. (1.11)
Khi đó ta có
0 ≤ n

r,
1
f

; a
1
, . . . , a
q

≤ n

r,
1
f


và
(q − 1)T (r, f) ≤ N(r, f) +
q

j=1
N


r,
1
f − a
j

− N

r,
1
f

; a
1
, . . . , a
q

− log r + S
f
.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Xác định duy nhất của hàm phân
hình p-adic
Trong chương này chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh lại một số
định lý về xác định một hàm phân hình p−adic thông qua ảnh ngược
của một tập hữu hạn các phần tử.
2.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị
2.1.1 Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus

Kí hiệu C
p
là trường các số phức p−adic. Ta biết C
p
là một trường đại
số đóng, đầy đủ, có đặc số 0. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên
C
p
và a ∈ C
p
∪ {∞}. Kí hiệu:
E
f
(a) =

(µ
a
f
(z), z) : z ∈ C
p

.
Và
E
f
(a) = f
−1
(a) =

z ∈ C

p
: µ
a
f
(z) > 0

.
Nếu một cặp hàm phân hình f và g khác hằng trên C
p
thỏa mãn
E
f
(a) = E
g
(a) (tương ứng E
f
(a) = E
g
(a)) thì ta nói f và g chung
nhau giá trị a CM (tương ứng, IM). Trong đó, CM (tương ứng, IM)
có nghĩa là kể cả bội (ương ứng, không kể bội).
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Năm 1971, Adams-Straus chứng minh định lý sau (được gọi là định
lý 4 điểm) cho thấy một hàm phân hình khác hằng p−adic được xác
định duy nhất bởi ảnh ngược của 4 điểm phân biệt.
Định lý 2.1 ([1]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
và a
1

, a
2
, a
3
, a
4
là bốn giá trị phân biệt trong C
p
∪ {∞}. Khi đó nếu:
E
f
(a
j
) = E
g
(a
j
), j = 1, 2, 3, 4,
thì f ≡ g.
Chứng minh. Giả sử ngược lại f ≡ g. Theo Định lí cơ bản thứ hai ta
có:
2T (r, f) + log r ≤
4

j=1
N

r,
1
f − a

j

+ O(1)
≤ N(r,
1
f − g
) + O(1),
≤ T(r,
1
f − g
) + O(1),
= T (r, f − g) + O(1),
≤ T(r, f) + T (r, g) + O(1).
Và tương tự ta cũng có
2T (r, g) + log r ≤ T (r, f) + T (r, g) + O(1).
Do đó:
2 log r ≤ O(1).
Điều này không thể xảy ra. Như vậy f ≡ g.
Từ định lý trên ta thấy, nếu hai hàm nguyên khác hằng f và g trên
C
p
chung nhau bốn giá trị phân biệt không kể bội thì f = g. Đối với
hàm nguyên, ta có kết quả như sau:
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Định lý 2.2 ([7]). Giả sử, f và g là hai hàm nguyên khác hằng trên
C
p
. Nếu tồn tại hai giá trị a
1

, a
2
∈ C
p
sao cho:
E
f
(a
j
) = E
g
(a
j
), j = 1, 2,
thì f = g.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử có một dãy
{z
n
}
n≥1
⊂ C
p
với r
n
= |z| −→ ∞ khi n −→ ∞ thỏa mãn
|f(z
n
)| ≥ |g(z
n
)|

với mọi n ∈ N
∗
. Khi đó, do f không phải là hằng số nên ta có thể giả
thiết
|f(z
n
)| > max{|a
1
|, |a
2
|}
với mọi n ≥ 1. Đặt:
Ψ =
f

(f − g)
(f − a
1
)(f − a
2
)
.
Chú ý rằng nếu f = a
1
hoặc f = a
2
thì f

= 0, tức là nếu mẫu bằng
0 thì tử cũng bằng 0. Do đó, Ψ là một hàm phân hình trên C

p
. Theo
bất đẳng thức tam giác và Bổ đề đạo hàm logarit ta có:
Ψ(z
n
)| =
|f

(z
n
)||f(z
n
) − g(z
n
)|
|f(z
n
) − a
1
||f(z
n
) − a
2
|
≤
|f

(z
n
)||f(z

n
)|
|f(z
n
)||f(z
n
)|
≤
1
r
n
−→ 0.
Do đó Ψ = 0, điều này kéo theo f = g.
Ta biết rằng nếu f và g là các đa thức khác hằng trên C
p
chung
nhau các giá trị phân biệt a
1
, a
2
không kể bội thì f = g. Kết hợp khẳng
định đó với Định lí 2.2, W. Cherry ([3]) đặt ra nguyên lý:
Nguyên lý Cherry. Nếu một định lí đúng với các hàm đa thức (tương
ứng phân thức) thì nó cũng đúng với hàm nguyên không Acsimet (tương
ứng, hàm phân hình). Nhưng điều ngược lại thì chưa chắc đúng.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Định lý 2.3 ([7]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên
C
p

và tồn tại ba giá trị phân biệt a
1
, a
2
, a
3
∈ C
p
∪ {∞} thỏa mãn:
E
f
(a
j
) = E
g
(a
j
), j = 1, 2; E
f
(a
3
) ∩ E
g
(a
3
) = ∅,
thì f ≡ g.
Chứng minh. Với a
1
, a

2
∈ C
p
ta xét
F =
f(z) − a
1
f(z) − a
2
; G =
g(z) − a
1
g(z) − a
2
.
Khi đó
F
G
là một hàm giải tích trên C
p
, không nhận giá trị 0. Như vậy
nó là hàm hằng, tức là tồn tại c ∈ C
p
sao cho
F
G
= c, tức là
f(z) − a
1
f(z) − a

2
= c
g(z) − a
1
g(z) − a
2
. (2.1)
Lấy z
0
∈ E
f
(a
3
)∩E
g
(a
3
). Khi đó f(z
0
) = g(z
0
) = a
3
. Trong (2.1) chọn
z = z
0
ta có c = 1 và f = g.
Nếu một trong hai giá trị a
1
hoặc a

2
bằng ∞, giả sử a
2
= ∞, khi
đó
f − a
1
g − a
1
là một hàm nguyên trên C
p
không nhận giá trị 0. Tương tự
ta cũng chứng minh được f = g.
Dựa trện cách chứng minh của Định lý 2.3, ta dễ dàng chứng minh
được:
Hệ quả 2.4 ([7]). Giả sử f và g là hai hàm nguyên khác hằng trên C
p
và tồn tại hai giá trị a
1
, a
2
∈ C
p
sao cho:
E
f
(a
1
) = E
g

(a
1
); E
f
(a
2
) ∩ E
g
(a
2
) = ∅.
Khi đó f ≡ g.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
2.1.2 Giá trị bội của hàm phân hình
Cho f là một hàm phân hình trên C
p
và a ∈ C
p
∪ {∞}. Với số nguyên
dương k, ta kí hiệu:
E
f
(a, k) =

z ∈ C
p
: µ
a
f,k

(z) = 1

.
Đặt
µ
a
f(k
(z) =

µ
a
f
(z) : µ
a
f
(z) ≥ k
0 : trong các trường hợp khác.
Ta kí hiệu
n
(k

r,
1
f − a

=

|z|r
µ
a

f(k
(z)
và
N
(k

r,
1
f − a

=
r

ρ
0
n
(k

t,
1
f − a

dt
t
.
Bổ đề 2.5 ([7]). Cho f là hàm phân hình khác hằng trong C
p
và
a
1

, . . . , a
q
là q giá trị khác nhau trên C
p
∪ {∞}. Khi đó, tồn tại k
i
∈
Z
+
∪ {∞}, i = 1, q sao cho:

q

j=1
k
j
k
j
+ 1
− 2

T (r, f) <
q

j=1
k
j
k
j
+ 1

N
k
i

r,
1
f − a
j

− log r + O(1).
(2.2)
Chứng minh. Theo Định lí cơ bản thứ hai, ta có:
(q − 2)T (r, f) ≤
q

j=1
N

r,
1
f − a
j

− log r + O(1). (2.3)
Với a ∈ {a
1
, . . . , a
q
} và k ∈ {k
1

, . . . , k
q
} ta có:
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
N

r,
1
f − a

= N
k

r,
1
f − a

+ N
(k+1

r,
1
f − a

,
≤
k
k + 1
N

k

r,
1
f − a

+
1
k + 1
N
k

r,
1
f − a

+
1
k + 1
N
(k+1

r,
1
f − a

,
≤
k
k + 1

N
k

r,
1
f − a

+
1
k + 1
N

r,
1
f − a

≤
k
k + 1
N
k

r,
1
f − a

+
1
k + 1
T (r, f) + O(1). (2.4)

Bất đẳng thức (2.2) được suy ra từ hai bất đẳng thức trên.
Ta kí hiệu:
Θ
f
(a, k) = 1 − lim sup
r→∞
N
k

r,
1
f−a

T (r, f)
,
khi đó 0 ≤ Θ
f
(a, k) ≤ 1. Ta viết Θ
f
(a) thay cho Θ
f
(a, ∞). Bổ đề 2.5
được viết lại như sau:
q

j=1
k
j
k
j

+ 1
Θ(a
j
, k
j
) ≤ 2. (2.5)
Một phần tử a ∈ C
p
∪ {∞} được gọi là giá trị bỏ được Borel bậc k của
f nếu:
lim sup
r→∞
log
+
n
k

r,
1
f−a

log r
< lim sup
r→∞
log
+
T (r, f)
log r
.
Lưu ý rằng

lim sup
r→∞
log
+
n
k

r,
1
f−a

log r
= lim sup
r→∞
log
+
N
k

r,
1
f−a

log r
.
Lúc này Bổ đề 2.5 cho ta kết quả sau:
Hệ quả 2.6 ([7]). Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
và
a

1
, . . . , a
q
là q giá trị khác nhau trong C
p
∪ {∞}. Nếu tồn tại k
j
∈
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Z
+
∪ {∞}, (j = 1, . . . , q) sao cho a
j
là giá trị bỏ được Borel bậc k
j
của
f thì
q

j=1
k
j
k
j
+ 1
≤ 2.
Định lý 2.7 ([7]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
,

a
1
, . . . , a
q
là q giá trị khác nhau trên C
p
∪ {∞} và lấy k
j
∈ Z
+
∪ {∞},
(j = 1, . . . , q) với:
k
1
≥ k
2
≥ · · · ≥ k
q
,
q

j=3
k
j
k
j
+ 1
≥ 2. (2.6)
Khi đó, f ≡ g nếu f và g thỏa mãn:
E

f
(a
j
, k
j
) = E
g
(a
j
, k
j
), j = 1, . . . , q.
Chứng minh. Giả sử ngược lại f ≡ g. Theo (2.6) ta có:
1 ≥
k
1
k
1
+ 1
≥
k
2
k
2
+ 2
≥ · · · ≥
k
q
k
q

+ 1
≥
1
2
.
Theo Bổ đề 2.5 ta có:

q

j=1
k
j
k
j
+ 1
− 2

T (r, f) <
q

j=1
k
j
k
j
+ 1
N
k
j


r,
1
f − a
j

− log r + O(1).
≤
k
2
k
2
+ 1
q

j=1
N
k
j

r,
1
f − a
j

− log r + O(1)
+

k
1
k

1
+ 1
−
k
2
k
2
+ 1

N
k
j

r,
1
f − a
j

.
≤
k
2
k
2
+ 1
q

j=1
N
k

j

r,
1
f − a
j

− log r + O(1)
+

k
1
k
1
+ 1
−
k
2
k
2
+ 1

T (r, f).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên