Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (925.44 KB, 92 trang )
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
1
Lưu hành nội bộ cá nhân
MỤC LỤC
Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết 2
Chương 1 : Ma trận – Định thức 2
I. Nội dung cần nhớ 2
1) Ma trận 2
1.1) Các khái niệm 2
1.2) Các phép toán 4
2) Định thức 12
2.1) Khái niệm 12
2.2) Tính chất 14
2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức 17
II. Bài tập áp dụng 19
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 22
I. Nội dung cần nhớ 22
1) Các khái niệm 22
2) Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer 23
2.1) Ma trận nghịch đảo 23
2.2) Hệ Cramer 33
3) Hạng ma trận – Phương pháp Gauss 40
3.1) Hạng ma trận 40
3.2) Phương pháp Gauss 47
II. Bài tập áp dụng 57
Chương 3 : Không gian vector 61
I. Nội dung cần nhớ 61
1) Không gian vector 61
1.1) Khái niệm 61
1.2) Không gian vector con 61
2) Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính 61
2.1) Tổ hợp tuyến tính 61
2.2) Biểu diễn tuyến tính 62
2.3) Độc lập tuyến tính 65
2.4) Phụ thuộc tuyến tính 69
3) Cơ sở – Ma trận chuyển cơ sở 72
3.1) Cơ sở – Tọa độ vector trong cơ sở 72
3.2) Ma trận chuyển cơ sở – Công thức đổi tọa độ 74
4) Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector 80
4.1) Không gian con sinh bởi hệ vector 80
4.2) Cơ sở của hệ vector 81
4.3) Hạng của hệ vector 81
Phần thứ hai : Một số đề bài tập luyện tập 86
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
2
Lưu hành nội bộ cá nhân
PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương 1 : Ma trận – Định thức
Trong chương này ta cần hiểu và nắm được thế nào là ma trận, định thức và cách tính định thức.
I. Nội dung cần nhớ :
1) Ma trận :
1.1) Các khái niệm :
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
a) Ma trận là một bảng số gồm
m
hàng
n
cột và được gọi là ma trận cỡ
m n
×
. Nó thường được
ký hiệu bởi các chữ cái hoa
, , ,
A B C
…
và được viết ngắn gọn lại là
(
)
ij
m n
A a
×
=
. Nếu viết theo
kiểu tập hợp thì được viết dưới dạng
( , )
A Mat m n
∈
hay
( )
A Mat m n
∈ ×
, trong đó
ij
a
là phần tử ở
hàng thứ
i
(
1,
i m
=
) và cột thứ
j
(
1,
j n
=
).
Ví dụ :
*)
2 1 0
1 0 2
A
=
là ma trận cỡ
2 3
×
. *)
1 1
2 0
1 3
B
−
=
là ma trận cỡ
3 2
×
.
b) Ma trận mà có một hàng hay có một cột thì người ta thường hay gọi là ma trận hàng (vector
hàng) hay ma trận cột (vector cột).
Ví dụ :
*)
1
2
3
C
=
là ma trận cột cỡ
3 1
×
. *)
(
)
1 1 2 1
D = −
là ma trận hàng cỡ
1 4
×
.
c) Ma trận mà các phần tử của nó đều bằng 0 thì người ta gọi nó là ma trận
O
.
Ví dụ :
0 0
0 0
O
=
là ma trận cỡ
2 2
×
.
d) Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không (nếu có) luôn ở trên các hàng bằng
không và trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở
bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.
Ví dụ :
*)
1 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
A
−
= −
. *)
1 0 1 2 1 0 1
0 1 2 1 1 2 1
0 0 0 3 2 1 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
B
−
−
=
−
. *)
2 1 1 1 2 3
0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 1
C
−
− −
=
−
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
3
Lưu hành nội bộ cá nhân
e) Ma trận mà có số hàng bằng số cột (
m n
=
) thì người ta gọi là ma trận vuông cấp
n
và ký hiệu
(
)
ij
n n
A a
×
=
hay
( )
A Mat n
∈
.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
Khi đó các phần tử
11 22 33
, , , ,
nn
a a a a
…
được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính, còn
các phần tử nằm trên đường chéo đi từ phía trên bên phải đi xuống phía dưới bên trái thì được
gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính được
gọi là vết và ký hiệu là
(
)
11 22 33
nn
tr A a a a a
= + + + +
⋯
.
Ví dụ :
*)
1 1 1
0 1 2
1 0 1
A
−
=
− −
là ma trận vuông cấp
3
. *)
1 0 1 2
1 0 2 1
0 1 0 1
0 1 0 2
B
−
=
− −
−
là ma trận vuông cấp
4
.
Từ khái niệm của ma trận vuông, ta có những khái niệm sau :
e.1) Ma trận đơn vị :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
I
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
Ma trận đơn vị là ma trận vuông cấp
n
mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng
1
và các phần nằm ngoài đường chéo chính đều bằng
0
.
Ví dụ :
*)
2
1 0
0 1
I
=
là ma trận đơn vị cấp
2
. *)
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
là ma trận đơn vị cấp
3
.
e.2) Ma trận tam giác trên :
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0
n
n
n
nn
a a a a
a a a
A a a
a
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông cấp
n
mà các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
4
Lưu hành nội bộ cá nhân
đều bằng
0
.
Ví dụ :
*)
1 1 2
0 1 1
0 0 2
A
−
= −
ma trận tam giác trên cấp
3
. *)
1 1 0 1
0 1 1 2
0 0 2 2
0 0 0 1
A
−
−
=
−
ma trận tam giác trên cấp
4
.
e.3) Ma trận tam giác dưới :
11
21 22
31 32 33
1 2 3
0 0 0
0 0
0
n n n nn
a
a a
A a a a
a a a a
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông cấp
n
mà các phần tử nằm phía trên đường chéo chính
đều bằng
0
.
Ví dụ :
*)
1 0 0
2 1 0
1 0 2
A
=
−
ma trận tam giác dưới cấp
3
. *)
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 2 0
1 3 0 1
A
=
ma trận tam giác dưới cấp
4
.
e.4) Như vậy :
*) Ma trận đơn vị là trường hợp đặc biệt của ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới.
*) Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới góp phần trong việc tính định thức (sẽ được đề
cập trong phần 2)).
1.2) Các phép toán : Nếu ta đã biết đến các phép toán cộng, trừ, nhân chia trên các trường số
thực, số phức, đa thức, phân thức, … thì trên ma trận cũng có các phép toán tương tự như vậy.
a) Phép toán chuyển vị :
11 12 13 1 11 21 31 1
21 22 23 2 12 22 32 2
31 32 33 3 13 23 33 3
1 2 3 1 2 3
n m
n m
T
n m
m m m mn n n n mn
a a a a a a a a
a a a a a a a a
A a a a a A a a a a
a a a a a a a a
= ⇒ =
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯
.
Ta chuyển hàng thành cột, cột thành hàng và vị trí thứ tự của các phần tử vẫn giữ nguyên. Hay
viết ngắn gọn lại là
(
)
(
)
T
ij ji
m n n m
A a A a
× ×
= ⇒ =
.
Ví dụ :
*)
1 4
1 2 3
2 5
4 5 6
3 6
T
A A
= ⇒ =
. *)
( )
1 1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 3 1 1 0 2 1 3
1 0 1 1 3 1 1 0 1
T
T T
B B B B
− − −
= ⇒ = − ⇒ = =
− −
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
5
Lưu hành nội bộ cá nhân
b) Phép toán cộng (trừ) ma trận :
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
,
n n n n
n n n n
m m mn m m mn m m m m mn mn
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
A B A B
a a a b b b a b a b a b
± ± ±
± ± ±
= = ⇒ ± =
± ± ±
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯ ⋯
.
Để làm phép toán cộng (trừ) các ma trận thì các ma trận đó phải cùng cỡ với nhau và ta thực
hiện cộng (trừ) các phần tử tương ứng với nhau. Ta viết ngắn gọn lại là
(
)
ij ij
A B a b
± = ±
.
Ví dụ :
*)
1 1 2 2 1 1 1 0 1 3 2 3
, ,
1 1 1 2 0 1 1 1 2 3 1 0
A B A B A B
− − − − −
= = ⇒ + = − =
− −
.
*)
1 0 1 2 1 2 3 1 3 1 1 1
0 1 1 , 1 2 1 1 3 0 , 1 1 2
1 1 1 2 1 2 3 0 3 1 2 1
A B A B A B
− − −
= − = ⇒ + = − = − − −
− − − −
.
c) Phép toán nhân ma trận với một số :
11 12 1 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2
1 2 1 2 1 2
,
n n n
n n n
m m mn m m mn m m mn
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
R A A
a a a a a a a a a
α α α
α α α
α α α
α α α
∈ = ⇒ = =
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯ ⋯
.
Để thực hiện phép toán nhân ma trận với một số
R
α
∈
thì ta tiến hành nhân tất cả các phần tử
trong ma trận
A
với số
α
. Ta viết ngắn gọn lại là
(
)
ij
A a
α α
=
.
Ví dụ :
*)
1 2 1 3 6 3
3
2 1 3 6 3 9
A A
= ⇒ =
− −
. *)
1 0 2 3 0 6
2 1 1 3 6 3 3
0 1 3 0 3 9
B B
− −
= − ⇒ − = − −
− −
.
*)
1 2 2 1 3 6 2 4 2 1 3 3
1 1 1
1 1 , , 1 2 3 2 3 3 2 2 1 2 0 3
2 1 1
2 3 2 1 6 9 2 2 2 1 6 12
T
A B C A B C
− −
−
= − = = ⇒ − + = − + − + =
−
−
.
*)
2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 4 1
1 2 2 , 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 1 2 1 1 2
2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1
A B A B
− −
= = ⇒ − = − = − −
− −
.
d) Phép toán nhân ma trận với ma trận :
Cho
( )
11
21
11 12 1
1
,
n
n
b
b
A a a a B
b
= =
⋯
⋮
. Khi đó phép toán nhân ma trận với ma trận được thực hiện
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
6
Lưu hành nội bộ cá nhân
theo sơ đồ như sau :
( ) ( )
11
21
11 12 1 11 11 12 21 1 1
1
n n n
n
b
b
AB a a a a b a b a b
b
= × = × + × + + ×
⋯ ⋯
⋮
.
Ta thực hiện phép toán nhân ma trận với ma trận được khi mà số cột của ma trận đứng trước
trong phép toán nhân phải bằng số hàng của ma trận đứng sau trong phép toán nhân. Ta lấy
hàng thứ
i
(
1,
i m
=
) của ma trận đứng trước nhân cho cột thứ
j
(
1,
j n
=
) của ma trận đứng sau
thì ta được phần tử ở hàng thứ
i
cột thứ
j
. Ta có thể viết ngắn gọn lại là
(
)
(
)
,
ij jk
m n n p
A a B b
× ×
= =
(
)
ik
m p
C AB c
×
⇒ = =
.
Ví dụ :
*) Cho hai ma trận :
( )
1
2
1 2 3 4 ,
3
4
A B
= =
. Khi đó :
+)
( ) ( ) ( )
1
2
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 30
3
4
AB
= × = × + × + × + × =
.
+)
( )
1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4
2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 4 6 8
1 2 3 4
3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 6 9 12
4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 8 12 16
BA
× × × ×
× × × ×
= × = =
× × × ×
× × × ×
.
*) Cho hai ma trận :
1 3
1 2 3
, 2 4
3 4 5
3 5
A B
= =
. Khi đó :
+)
1 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 3 2 4 3 5 14 26 7 13
2 4 2
3 4 5 3 1 4 2 5 3 3 3 4 4 5 5 26 50 13 25
3 5
AB
× + × + × × + × + ×
= × = = =
× + × + × × + × + ×
.
+)
1 3 1 1 3 3 1 2 3 4 1 3 3 5 10 14 18 5 7 9
1 2 3
2 4 2 1 4 3 2 2 4 4 2 3 4 5 14 20 26 2 7 10 13
3 4 5
3 5 3 1 5 3 3 2 5 4 3 3 5 5 18 26 34 9 13 17
BA
× + × × + × × + ×
= × = × + × × + × × + × = =
× + × × + × × + ×
.
*) Chú ý :
+) Nói chung phép toán nhân ma trận với ma trận không có tính chất giao hoán. Tức là
AB BA
≠
(Khác ở đây có thể : thứ nhất là
AB
thực hiện được nhưng
BA
không thực hiện được và ngược
lại. Thứ hai là
AB
,
BA
đều thực hiện được nhưng kết quả là hai ma trận đó không cùng cỡ).
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
7
Lưu hành nội bộ cá nhân
+) Nếu
( ), 2
A Mat n n N
∈ ≤ ∈
thì ta có
n
n
A A A A A
= × × × ×
⋯
.
Ví dụ : Tìm
, 2
n
A n N
≤ ∈
, với :
+)
1 1
1 1
A
−
=
−
.
Ta có :
-) Với
1 1
2
1 1
1 1 1 1 2 2
2 2
2,
1 1 1 1 2 2
2 2
n A A A
− − −
−
= = × = = =
− − −
−
.
-) Với
2 2
3 2
2 2
2 2 1 1 4 4
2 2
3,
2 2 1 1 4 4
2 2
n A A A
− − −
−
= = × = = =
− − −
−
.
-) Với
3 3
4 3
3 3
4 4 1 1 8 8
2 2
4,
4 4 1 1 8 8
2 2
n A A A
− − −
−
= = × = = =
− − −
−
.
Tới đây ta có thể đoán là
1 1
1 1
2 2
2 2
n n
n
n n
A
− −
− −
−
=
−
.
Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp.
Ta giả sử nó đúng với
n k
=
, tức là
1 1
1 1
2 2
2 2
k k
k
k k
A
− −
− −
−
=
−
.
Ta cần chứng minh nó đúng với
1
n k
= +
, tức là
1
2 2
2 2
k k
k
k k
A
+
−
=
−
.
Thật vậy :
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1 1
2 2 2 .2 2 .2 2 2
1 1
2 2 2 .2 2 .2 2 2
k k k k k k
k k
k k k k k k
VT A A A VP
− − − −
+
− − − −
−
− − −
= = × = = = =
−
− − −
.
Vậy
1 1
1 1
2 2
2 2
n n
n
n n
A
− −
− −
−
=
−
.
+)
1 1
0 2
A
=
.
Ta có :
-) Với
2
2
2
1 1 1 1 1 3
1 2 1
2,
0 2 0 2 0 4
0 2
n A A A
−
= = × = = =
.
-) Với
3
3 2
3
1 3 1 1 1 7
1 2 1
3,
0 4 0 2 0 8
0 2
n A A A
−
= = × = = =
.
-) Với
4
4 3
4
1 7 1 1 1 15
1 2 1
4,
0 8 0 2 0 16
0 2
n A A A
−
= = × = = =
.
Tới đây ta có thể đoán là
1 2 1
0 2
n
n
n
A
−
=
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
8
Lưu hành nội bộ cá nhân
Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp.
Ta giả sử nó đúng với
n k
=
, tức là
1 2 1
0 2
k
k
k
A
−
=
.
Ta cần chứng minh nó đúng với
1
n k
= +
, tức là
1
1
1
1 2 1
0 2
k
k
k
A
+
+
+
−
=
.
Thật vậy :
(
)
1
1
1
1
1 1 2 1 2
1 1
1 2 1 1 2 1
0 2
0 2 0 2
0 2 .2
k
k k
k k
k k
k
VT A A A VP
−
+
+
+
+ −
− −
= = × = = = =
.
Vậy
1 2 1
0 2
n
n
n
A
−
=
.
+)
1 0 1
0 1 1
1 0 1
A
=
.
Ta có :
-) Với
2 1 2 1
2 2 1 2 1
2 1 2 1
1 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 2
2, 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2
1 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 2
n A A A
− −
− −
− −
= = × = = = −
.
-) Với
3 1 3 1
3 2 3 1 3 1
3 1 3 1
2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 0 2
3, 1 1 2 0 1 1 3 1 4 2 1 1 2
2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 0 2
n A A A
− −
− −
− −
= = × = = = −
.
-) Với
4 1 4 1
4 3 4 1 4 1
4 1 4 1
4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 0 2
4, 3 1 4 0 1 1 7 1 8 2 1 1 2
4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 0 2
n A A A
− −
− −
− −
= = × = = = −
.
Tới đây ta có thể đoán là
1 1
1 1
1 1
2 0 2
2 1 1 2
2 0 2
n n
n n n
n n
A
− −
− −
− −
= −
.
Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp.
Ta giả sử nó đúng với
n k
=
, tức là
1 1
1 1
1 1
2 0 2
2 1 1 2
2 0 2
k k
k k k
k k
A
− −
− −
− −
= −
.
Ta cần chứng minh nó đúng với
1
n k
= +
, tức là
1
2 0 2
2 1 1 2
2 0 2
k k
k k k
k k
A
+
= −
.
Thật vậy :
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
9
Lưu hành nội bộ cá nhân
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 0 2 1 0 1 2 .2 0 2 .2 2 0 2
2 1 1 2 0 1 1 2 .2 1 1 2 .2 2 1 1 2
2 0 2 1 0 1 2 .2 0 2 .2 2 0 2
k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k
VT A A A VP
− − − −
+ − − − −
− − − −
= = × = − = − = − =
.
Vậy
1 1
1 1
1 1
2 0 2
2 1 1 2
2 0 2
n n
n n n
n n
A
− −
− −
− −
= −
.
+)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
A
=
.
Ta có :
-) Với
2
0 0 1 0 0 1 0 1 0
2, 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0
T
n A A A A
= = × = = =
.
-) Với
3 2
3
0 1 0 0 0 1 1 0 0
3, 0 0 1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
n A A A I
= = × = = =
.
-) Với
4 3
3
1 0 0 0 0 1 0 0 1
4, 0 1 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1 0
n A A A I A A
= = × = = = × =
.
Vậy
3
, khi 3 1
, khi 3 , 1,2,3,
, khi 3 1
T
n
A n k
A I n k k
A n k
= −
= = =
= +
.
+)
1 0 1
1 1 0
0 0 1
A
=
.
Ta có :
-) Với
( )
2
1 0 2
1 0 1 1 0 1 1 0 2
2 2 1
2, 1 1 0 1 1 0 2 1 1 2 1
2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1
n A A A
−
= = × = = =
.
-) Với
( )
3 2
1 0 3
1 0 2 1 0 1 1 0 3
3 3 1
3, 2 1 1 1 1 0 3 1 3 3 1
2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1
n A A A
−
= = × = = =
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
10
Lưu hành nội bộ cá nhân
-) Với
( )
4 3
1 0 4
1 0 3 1 0 1 1 0 4
4 4 1
4, 3 1 3 1 1 0 4 1 6 4 1
2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1
n A A A
−
= = × = = =
.
Tới đây ta có thể đoán là
( )
1 0
1
1
2
0 0 1
n
n
n n
A n
−
=
.
Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp.
Ta giả sử nó đúng với
n k
=
, tức là
( )
1 0
1
1
2
0 0 1
k
k
k k
A k
−
=
.
Ta cần chứng minh nó đúng với
1
n k
= +
, tức là
( )
1
1 0 1
1
1 1
2
0 0 1
k
k
k k
A k
+
+
+
= +
.
Thật vậy :
( ) ( ) ( )
1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 0 1
1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1
2 2 2
0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
k k
k k k
k k k k k k
VT A A A k k k k VP
+
+ +
− − +
= = × = = + + = + =
.
Vậy
( )
1 0
1
1
2
0 0 1
n
n
n n
A n
−
=
.
+) Cho hàm số
2
( ) 3 2, 2
n n
f x x x n N
−
= − + ≤ ∈
. Tính
( )
f A
, với :
-)
1 0
2 3
A
=
.
Ta có :
Với
2
2 2
1 0 1 0 1 0 1 0
2,
2 3 2 3 8 9 3 1 3
n A A A
= = × = = =
−
.
Với
3 2
3 3
1 0 1 0 1 0 1 0
3,
8 9 2 3 26 27 3 1 3
n A A A
= = × = = =
−
.
Với
4 3
4 4
1 0 1 0 1 0 1 0
4,
26 27 2 3 80 81 3 1 3
n A A A
= = × = = =
−
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
11
Lưu hành nội bộ cá nhân
Từ đó suy ra :
1 0
3 1 3
n
n n
A
=
−
.
Vậy :
2 2 1 1
1 0 1 0 1 0 0 0
( ) 3 2
3 1 3 3 1 3 0 1 3 3 2 3 3 2
n n n n n n n n
f A
− − − −
= − + =
− − − + − +
.
-)
1 0 0
1 1 0
0 1 1
.
Ta có :
Với
( )
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
2, 1 1 0 1 1 0 2 1 0 2 1 0
0 1 1 0 1 1 1 2 1
2 2 1
2 1
2
n A A A
= = × = = =
−
.
Với
( )
3 2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
3, 2 1 0 1 1 0 3 1 0 3 1 0
1 2 1 0 1 1 3 3 1
3 3 1
3 1
2
n A A A
= = × = = =
−
.
Với
( )
4 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
4, 3 1 0 1 1 0 4 1 0 4 1 0
3 3 1 0 1 1 6 4 1
4 4 1
4 1
2
n A A A
= = × = = =
−
.
Từ đó suy ra :
1 0 0
1 0
( 1)
1
2
n
A n
n n
n
=
−
.
Vậy :
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
( ) 1 0 3 2 1 0 2 0 1 0 6 2 0 0
( 1) ( 2)( 3) 0 0 1 7 9 6 2 0
1 2 1
2 2
f A n n n
n n n n n n n
n n
= − − + = −
− − − − + − −
−
.
+) Cho
2
1 2 1 0
,
4 3 0 1
A I
= =
. Chứng minh rằng
2
2
4 5 0
A A I
− − =
.
Thật vậy :
2
1 2 1 2 9 8 1 2 4 8 1 0 5 0
, 4 , 5
4 3 4 3 16 17 4 3 16 12 0 1 0 5
A A A
= × = = = =
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
12
Lưu hành nội bộ cá nhân
2
2
9 8 4 8 5 0 0 0
4 5 0
16 17 16 12 0 5 0 0
VT A A I VP
= − − = − − = = =
.
2) Định thức :
2.1) Khái niệm :
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
Từ khái niệm ma trận vuông thì người đưa ra khái niệm về cách tính của nó và người ta gọi là
định thức. Ký hiệu là
det( )
A A
=
. Như vậy, nếu ma trận là một bảng số thì định thức là một số
hay biểu thức. Vậy cách định thức như thế nào?
Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu cách tính định thức tổng quát thông qua phương pháp định
nghĩa qui nạp theo hàng
1
.
a) Định thức cấp
2
:
11 12
11 11 12 12 11 22 12 21
21 22
a a
a D a D a a a a
a a
= − = −
(Ở đây ký hiệu
11
D
là định thức bỏ đi
hàng
1
và cột
1
,
12
D
là bỏ đi hàng
1
và cột
2
, còn lại kết quả được gì thì ta viết vào biểu thức).
Ví dụ :
*)
1 2
1 4 3 2 2
3 4
= × − × = −
. *)
2 1
2 3 4 1 2
4 3
= × − × =
. *)
( )
1 1
1 1 2 1 3
2 1
−
= × − × − =
.
*) Giải phương trình sau :
-)
2
1 2
0 1 4 0 4 0
4 2
x x
x x x
x x
= −
= ⇔ × − × = ⇔ − = ⇔
=
. -)
1 2
0 1 1 2 0 2 0 2
1
x x x
x
= ⇔ × − × = ⇔ − = ⇔ =
.
-)
( )
2 2 2
2
0 2 2 0 4 0 4 4
2
x x i
x x x x i
x x i
− = −
= ⇔ × − × − = ⇔ + = ⇔ = − = ⇔
=
,
i
là đơn vị ảo,
2
1
i
= −
.
Chú ý :
2 2
1,2
0, 0, 4 0,
2 2
b
ax bx c a b ac x i
a a
−∆
+ + = ≠ ∆ = − < = − ±
.
b) Định thức cấp
3
:
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 11 12 12 13 13 11 12 11
32 33 31 33 31 32
31 32 33
a a a
a a a a a a
a a a a D a D a D a a a
a a a a a a
a a a
= − + = − +
Dựa vào cách tính của định thức cấp
2
, ta có công thức tính của định thức cấp
3
:
[ ] [ ]
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23
32
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
= + + − + +
.
Ví dụ :
1 1 2
1 1 2 1 2 1
2 1 1 1 ( 1) 2 3 1 10 14
2 1 1 1 1 2
1 2 1
−
− −
− = − − + = + + =
− −
−
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
13
Lưu hành nội bộ cá nhân
Qui tắc Sarius : Chỉ áp dụng cho định thức cấp
3
.
Cách 1 : Dùng qui tắc tam giác cân.
Phần (
+
) Phần (
−
)
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
a
Cách 2 : Thêm hai cột (hàng) đầu vào bên phải (dưới) cột (hàng) thứ 3 (Chỉ dùng ngoài nháp).
Phần (
+
) Phần (
−
)
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
=
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
21
a
22
a
23
a
=
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
Ví dụ :
+)
[ ] [ ]
1 2 1
1 2 3 1 2 1 2 ( 3) 2 1 ( 1) 3 1 2 2 2 ( 1) 1 1 3 ( 3) 13 ( 7) 6
2 3 1
− − = × × + × − × + × − × − × × + × − × + × × − = − − − = −
.
+) Giải phương trình sau :
-)
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1
2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 5 0
1 1
x x x x x x x
x
−
= ⇔ × × + × × + − × × − − − × × + × × + × − × = + =
−
0
5
x
x
=
⇔
= −
.
-)
( ) ( )
3
1 1
2 1 0 1 4 1 1 2 2 1 2 4 1 1 2 10 0
2 4
x
x x x x x x x x x
x
−
= ⇔ × × + × × + − × × − − × × + × × + × × = + − =
( )
( )
2
2
2 2 5 0 1 2
1 2
x
x x x x i
x i
=
⇔ − + + = ⇔ = − −
= − +
.
Đến đây ta qui nạp như sau :
11 12 1
21 22 2
1 1
11 11 12 12 1 1 1 1
1
1 2
( 1) ( 1)
n
n
n
n j
n n j j
j
n n nn
a a a
a a a
a D a D a D a D
a a a
+ +
=
= − + + − = −
∑
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
Chú ý :
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
14
Lưu hành nội bộ cá nhân
+)
11 12 1
22 2
11 22
0
0 0
n
n
nn
nn
a a a
a a
a a a
a
= × × ×
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
. +)
11
21 22
11 22
1 2
0 0
0
nn
n n nn
a
a a
a a a
a a a
= × × ×
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
Ví dụ :
-)
1 2 1
0 2 0 1 2 ( 1) 2
0 0 1
−
= × × − = −
−
. -)
1 0 0 0
1 1 0 0
1 ( 1) 2 3 6
1 0 2 0
2 2 1 3
−
= × − × × = −
−
−
.
2.2) Tính chất :
a)
(
)
det det( )
T
A A
=
(Phép toán chuyển vị bất biến đối với định thức).
Ví dụ :
*)
( )
1 2 1 2 1 1 1 1
det( ) 3, det 3
1 1 1 1 2 1 2 1
T T
A A A A
− −
= ⇒ = = = ⇒ = =
− −
.
*)
( )
1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 2 1 det( ) 1 2 1 9, 1 2 1 det 1 2 1 9 det( )
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
T T
A A A A A
− − − −
=
⇒
= = = −
⇒
= − = =
− −
.
b) Trong một định thức nếu ta đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột cho nhau thì giá trị của định thức
đó thay đổi dấu (Nếu đổi chẵn lần thì không thay đổi, nếu đổi lẻ lần thì thay đổi). Nếu ta ký hiệu
A
′
là ma trận suy ra từ
A
bằng cách đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột cho nhau thì
(
)
det det( )
A A
′
= −
.
Ví dụ :
*)
( )
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
det( ) 1, det 1 det( )
2 3 2 3 3 2 3 2
c c
T
A A A A A
↔
− − − −
′
=
⇒
= = =
⇒
= = − = −
− − − −
.
*)
( )
2 3
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 1 det( ) 1 1 1 9, 2 1 1 det 2 1 1 9 det( )
2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
h h
A A A A A
↔
′ ′
= −
⇒
= − = = −
⇒
= − = − = −
− − − −
.
c) Trong một định thức nếu ta nhân một hàng hoặc một cột với một số
R
α
∈
thì giá trị của định
thức đó được nhân lên với số
α
đó. Nếu ta ký hiệu
A
′
là ma trận suy ra từ
A
bằng cách nhân
một hàng hoặc một cột với một số
R
α
∈
thì
(
)
det det( )
A A
α
′
=
.
Ví dụ :
*)
( )
2
2
1 2 1 2 1 4 1 4
det( ) 7, det 14 2( 7) 2det( )
3 1 3 1 3 2 3 2
c
A A A A A
×
′ ′
=
⇒
= = − =
⇒
= = − = − =
− − − −
.
*)
2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 det( ) 1 1 2 3, 3 3 6 det( ) 3 3 6 9 3det( )
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
h
A A A A A
×
− − − −
′ ′
= ⇒ = = = ⇒ = = =
− − − −
.
Hay trong một định nếu có một hàng hay một cột mà có phần tử chung thì ta đưa phần tử đó ra
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
15
Lưu hành nội bộ cá nhân
ngoài định thức.
Ví dụ :
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 4 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 6 1 2 1 36
3 6 9 3 3 9 1 1 3 1 1 3
− = − = × − = − =
.
d) Nếu
, ( )
A B Mat n
∈
thì
(
)
det det( ).det( )
AB A B
=
.
Ví dụ :
*)
1 2 1 1 2 1 1 1 0 1 1 0
1 1 0 det( ) 1 1 0 4, 2 1 1 det( ) 2 1 1 2
1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0
A A B B
− −
= − ⇒ = − = − = − ⇒ = − =
− −
.
( )
1 2 1 1 1 0 6 2 2 6 2 2
1 1 0 2 1 1 1 2 1 det( ) 1 2 1 8 4 2 det( ).det( )
1 0 1 1 1 0 0 2 0 0 2 0
AB AB A B
− − −
= − − = − −
⇒
= − − = − = − × =
−
.
*) Cho
, ( ), .
T
n
A B Mat n B B I
∈ =
và
n
B I AB
− =
. Chứng minh rằng
det( ) 1
n
I A
− = ±
.
Ta có :
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
2
det . det det .det 1 det .det 1 det 1 det 1
T T
n
B B I B B B B B B
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
.
Mà :
(
)
(
)
(
)
det det
n n n n n n n n
B I AB B AB I I B AB I I A B I I A B I
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ − =
( ) ( ) ( )
( )
1 1
det .det 1 det 1
det 1
n n
I A B I A
B
⇔ − = ⇔ − = = = ±
±
(đpcm).
*) Cho
(
)
4
det 1995, ( ), .
T
n
A B Mat n B B I
= ∈ =
. Tính
( ) ( )
2
det . 18det .
T T
A A B B
+
.
Ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
det . det 1995, det . det 1 det . 18det . 2013
T T T T
n
A A A B B I A A B B
= = = = ⇒ + =
.
Chú ý :
*) Trong một định thức nếu có một hàng hay một cột nào đó mà các phần tử của nó là tổng của
hai hàng hoặc hai cột thì ta tách hàng hay cột đó ra và ta được định thức lúc đầu bằng tổng hai
định thức mới tách ra với các hàng hay các cột còn lại vẫn giữ nguyên.
Ví dụ :
+)
1 1 3 1 1 1 1 1 3 1
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 16 10 26
1 3 2 1 1 3 1 1 2 1
+
− + = − + − = − − = −
+ − − −
.
+)
a b c a b c a b c a b c a b c
d e f d e e d e f d e f d e f
a d g b e h c f i a b c d e f g h i g h i
= + + =
+ + + + + +
.
+)
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
a b c d e f g h a c e g b d f h
− − −
= +
+ + + +
− − −
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
16
Lưu hành nội bộ cá nhân
*) Trong một định thức nếu có hai hàng hoặc hai cột mà giống nhau (bằng nhau) thì giá trị của
định thức đó bằng
0
.
Ví dụ :
1 1 1
2 1 3 0
1 1 1
−
=
−
.
*) Trong một định thức nếu có hai hàng hoặc hai cột mà tỷ lệ với nhau thì giá trị của định thức
đó bằng
0
.
Ví dụ :
1 2 2
1 1 2 0
1 1 2
− =
.
*) Trong một định thức nếu có một hàng hoặc một cột mà các phần tử của nó đều bằng
0
thì giá
trị của định thức đó bằng
0
.
Ví dụ :
0 0 0
1 1 2 0
1 1 1
− =
− −
.
Như vậy, trong quá trình tính định thức ta khai triển theo hàng hoặc cột mà có số
0
nhiều nhất
để giảm bớt phép tính và thời gian tính toán.
Ví dụ :
+)
2
1 1 2 1 1 1
1 1
0 1 0 2 0 1 0 2 1 2
2 1
2 1 2 2 1 1
kt theo h
− −
= = × = −
hoặc
2
1 1 2
1 2
0 1 0 1 2
2 2
2 1 2
kt theo h
−
= = −
.
+)
( )
2 4
1 0 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1
0 1 0 1 1
2 1 0 0
1 1 2 1 0 8
2 0 1 0 0
1 1 0 1
0 1 2
1 0 1 0 1
0 1 2 0
0 0 1 2 0
kt theo c kt theo c
−
−
= = − − − = −
−
− −
− −
.
Ngoài những tính chất nêu trên, người ta còn đưa ra một phép tính tối ưu hơn cho cách tính
những định thức cấp cao hơn hoặc tổng quát hơn.
2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức :
Để tính định thức cấp
4
trở nên người ta đưa ra phép biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột trong
định thức như sau :
( ), ( ), ( )
i j i j i i i i j j i j j i
h h c c h h c c h h h c c c
α α α α
↔ ↔ → → → + → +
.
Mục đích của phương pháp này là nhằm đưa định thức của ma trận vuông về định thức của ma
trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới.
Ví dụ :
*)
( )
3 3 2
2 2 1
3 3 1
2
1 2 1 1 2 1 1 2 1
2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 3 3
1 3 1 0 1 2 0 0 3
h h hh h h
h h h
→ −→ −
→ +
= − − = − − = × − × = −
− − −
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
17
Lưu hành nội bộ cá nhân
*)
3 3 2 4 4 3
2 2 1
3 3 1 4 4 2
4 4 1
2
2
1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
2 3 3 1 2 1 1 1 2 1 0 0 2 1 0 0
1 1 4 1 4
1 2 1 4 1 3 1 5 1 3 4 8 1 3 4 0
1 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
c c c c c cc c c
c c c c c c
c c c
→ + → −→ −
→ − → +
→ −
− −
= = = = × × × =
− − − − −
.
*)
2 2 1
3 3 1 3
1 4
4 4 1
5 5 1
c
2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 3 2 2 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 1 0 2
1 1 2 0 1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
1 1 0
2 3 1 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 2 1 1 0 1 1 0 0
h h h
h h h theo ctheo c theo
h h h
h h h
→ −
→ +
→ −
→ −
− − − −
−
− −
−
= = = − − = − = −
− −
− − −
− −
− − −
− −
− − − −
.
Chú ý :
*)
( )
j j i j j i
h h h c c c
β α β α
→ + → +
(Phải chia cho
β
,(
0, 1
β β
≠ ≠
)).
Ví dụ :
( )
3 3 22 2 1
3 3 1
2
2 3
2 1 1 2 1 1 2 1 1
1 1 1
4 3 3 0 1 1 0 1 1 2 1 2 2
2 2 2
3 1 2 0 1 1 0 0 2
h h hh h h
h h h
→ +→ −
→ −
− − −
− = − = − = × × × − = −
− − − −
.
*) Khi ta thấy trong một định thức mà nó có tất cả các cột (hàng) giống nhau nhưng chỉ khác
nhau về vị trí các phần tử thì ta cộng dồn tất cả các hàng về hàng (cột)
1
. Tiếp đó áp dụng tính
chất đưa phần tử chung ra ngoài định thức. Sau đó dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa
về định thức của ma trận tam giác trên hoặc dưới.
Ví dụ :
+)
1 1 2 3
2 2 1
3 3 1
1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2
1 2 3 2 ( 3) 1 2 ( 3) 0 1 0 ( 3)( 1)( 2)
2 1 3 1 1 1 0 0 2
c c c c h h h
h h h
x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
→ + + → −
→ −
+
= + = + = + − = + − −
+ −
.
+)
( )
1 1 2
3 4
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
h h h
h h
x x x x x x x x x x
x
x x
x x
x x x x
x x x x x x x x
x
x x
→ +
+ +
+ + + + + + + +
= = + +
( ) ( )( )( )( )
2 2 1
3 3 1
4 4 1
2
2 2 2 2 2
2
2
2
2
1 1 1 1
0 1 0 0
2 3 2 3 1 2 2
0 0 2 0
0 0 0 2
h h h
h h xh
h h h
x
x x x x x x x x
x x
x
→ −
→ −
→ −
−
= + + = + + − − −
−
−
.
+)
2 2 1
3 3 1 3 3 2
4 4 1 4 4 2
5 5 1 5 5 2
2
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 0 1 1 0 1 2 1 3 0 1 2 1 3
1 2 1 3 4 0 1 2 3 1 5 0 0 3 2
3 4 3 1 2 2 0 1 3 2 1 5 0 0 3 2
1 2 3 3 2 0 1 4 3 1 3 0 0 2 3
h h h
h h h h h h
h h h h h h
h h h h h h
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
→ −
→ − → −
→ − → −
→ − → −
− − − − − − − − −
−
= =
+ + +
− − + +
+ + +
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
18
Lưu hành nội bộ cá nhân
( ) ( )
1 1 2 3 2 2 1
3 3 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2
3 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 0 3 0
2 3 3 2 3 1 3 0 0 2
c c c c
h h h
h h h
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
→ + +
→ −
→ −
+ +
= = + + = + + = + + −
+ + −
(
)
(
)
(
)
2 2 2
3 2 3 2
x x x x x
= + + − −
.
+)
1 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4
2 1 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 1 3 4
3 2 1 4 1 2 3 4 2 1 4 1 2 1 4
( 1)
4 2 3 1 1 2 3 4 2 3 1 1 2 3 1
2
2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 1
n
c c c c c c
n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n
→ + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+
= =
+ + + + +
+ + + + +
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
( ) ( )
2 2 1
3 3 1
4 4 1
1
1
1 2 3 4
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
( 1) ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 2) ( 3) (1 ) 1 . 1 !
0 0 0 3 0
2 2 2
0 0 0 0 1
n n
h h h
h h h
n
h h h
h h h
n
n n n n n n
n n
n
→ −
→ −
−
→ −
→ −
−
−
+ + +
= = × − × − × − × × − = − −
−
−
⋮
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
+)
1 1 2 3 4
2 4 8 16 2 2 4 8 16 2 4 8 16 2
4 2 8 16 2 2 4 8 16 2 2 8 16 2
8 4 2 16 2 2 4 8 16 2 4 2 16 2
16 4 8 2 2 2 4 8 16 2 4 8 2 2
2 4 8 16 2 2 4 8 16 2 4 8 16 2
n
n n n
n n n
n n n
c c c c c c
n n n
n n
→ + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
=
+ + + + +
+ + + + +
⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯ ⋯
( ) ( )
2 2 1
3 3 1
4 4 1
1
1 4 8 16 2 1 4 8 16 2
1 2 8 16 2 0 2 0 0 0
1 4 2 16 2 0 0 6 0 0
2 2 1 2 2 1
1 4 8 2 2 0 0 0 14 0
1 4 8 16 2 0 0 0 0 2 2
n n
n n
n
h h h
n
h h h
n n
n
h h h
h h h
n
→ −
→ −
→ −
→ −
−
−
= − = −
−
−
⋮
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2 2 1 1 ( 2) ( 6) ( 14) 2 2 2 2 1 1 1 3 7 2 1
n
n n n n n
−
−
= − × × − × − × − × × − = − − × × × × × −
⋯ ⋯
( )
( )
( )
1
1
2
2 2 1 1 2 1
n
n
n n i
i
−
−
=
= − − −
∏
.
II. Bài tập áp dụng :
1) Tính giá trị của thức :
(
)
3
3 2
T
T
A B C DE
− +
, với :
a)
1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2
, , , ,
0 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1
T T T
A B C D E
− −
= = = = =
− − −
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
19
Lưu hành nội bộ cá nhân
b)
1 0 1 1 1
1 1 1 2 0 1 2 1 2
1 1 0 , , , 1 1 ,
2 1 1 1 1 0 1 2 1
0 1 1 1 1
A B C D E
−
−
= = = = − =
− −
−
.
2) Tìm
, 2
n
A n N
≤ ∈
, với :
a)
1 2
0 1
A
=
. b)
1 0 1
0 1 0
1 0 1
A
=
. c)
1 2 0
0 1 2
0 0 1
A
=
. d)
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1
A
=
. e)
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
A
=
.
3) Cho
1 3
( ) 3 2 1
n n n
f x x x x
− −
= − + +
. Tìm
( )
f A
, với :
a)
2 0
1 2
A
=
. b)
1 1 0
0 1 0
0 2 1
A
=
. c)
1 0 1
1 1 1
0 0 1
A
=
. d)
1 2 0 1
0 1 0 0
0 0 1 2
1 0 0 1
A
=
. e)
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 0
1 0 0 1
A
=
.
4) Tìm
, (3)
A B Mat
∈
sao cho
AB BA B
− =
và
3
.
T
B B I
=
.
5) Tính :
a)
1 0 2
2 1 0
0 2 1
. b)
1 1 1
1 2 3
1 3 2
. c)
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
6 7 8 9
. d)
2 4 0 0
4 2 0 0
0 0 2 4
0 0 4 2
. e)
1 3 5 7 9
3 3 7 9 7
5 7 5 7 5
7 9 7 3 3
9 7 5 3 1
. f)
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
.
g)
1 2 3
2 3 4 1
3 4 5 2
1 2 2 1
n
n
n
n n n n
+
+
+ + −
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
. h)
1 1 1 1
1 2 3
1 3 2 1
1 1 2
n
n
n n
−
−
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
. i)
1
2 1 1 1
2 3 1 1
2 1 5 1
2 1 1 2 1
n
−
+
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
. j)
2 2 3
2 4 3
2 2 6
2 2 3 2
n
n
n
n
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
6) Tìm nghiệm thực hoặc phức của phương trình sau :
a)
1 1 2
2 3 0
3 6
x
x
=
. b)
1 2
2 2 0
2
x
x
x x
=
. c)
1 1 1
2 3 1
0
1 1
2 0 7
x
x
x x
x
−
=
. d)
2
2
2 2
2
2
3 0 2 0 0
2 2 2 4 6
0
2 4 4
2 4 2 4
2 7 2 4 3
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
−
+ − −
=
− −
− −
− − +
.
e)
1 2 2
1 2 0
2 2
x
x
−
=
−
. f)
1 1 2 1
2 5 1
0
3 5 3
4 1 9
x
x
x
−
=
. g)
1 0 0
1 0 0
0
1 0 1
0 1 1
x
x
x
x
=
− −
− −
. h)
2
2
2
2
1 1 1 1 3
2 2 0 0
0
1 1 1 1 3
1 1 1 1 9
2 8 2 4 8
x x
x x
x x
x x
−
+
=
+ − −
− − − −
− − − −
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
20
Lưu hành nội bộ cá nhân
7) Tính
(
)
det ( )
A B C
+
, với :
a)
1 2 1 2 1 2 1 0 1
, ,
2 1 2 1 2 1 1 1 0
T
A B C
−
= = =
−
. b)
1 1
1 2 3 2 1 3
1 1 , ,
2 3 1 1 2 1
1 1
T
A B C
−
−
= − = =
−
.
c)
1 2 3 2 3 3 1 2 3
0 1 2 , 1 2 3 , 3 1 2
0 0 1 0 1 2 2 3 1
T
A B C
= = =
. d)
( )
2 1
1 1
, , 1 2 3 4
6 3
1 3
A B C
−
= = =
−
.
8) Cho
, , ( ),2 , .
T
n
A B C Mat n n N B B I
∈ ≤ ∈ =
và
n
BA I C
+ =
. Chứng minh rằng :
(
)
det det( )
T
A B C
+ = ±
.
Áp dụng :
a) Tính
det( )
A
, với
2 1 3
3 3 2
1 3 2
C
=
. b) Tính
(
)
det
T
A B
+
, với
4
1 1 3
3 2 2
1 3 1
C
=
.
c) Tính
(
)
det
n
C I
−
, với
(
)
det 2
n n
A
=
. d) Tính
(
)
det
n
I A
+
, với
(
)
, det 2013
n
B I AB C AB− = + =
.
9) Cho
, ( ), .
T
n
A B Mat n B B I
∈ =
. Chứng minh rằng :
( )
(
)
(
)
det det
T
T
AB A
= ±
. Áp dụng :
a) Tính
(
)
det
T
n
A I
+
, với
1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 3 1 1 1 1 0 0 0 0
2 2 5 2 2 0 1 0 0 0
,
3 3 3 3 3 0 0 1 0 0
1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
AB B
n n n n n
= =
− − − − −
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋱ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
.
b) Tính
det( )
A
, với
1 2 3
2 1 3
.
3 2 1
2 3 1
T T
n
n
B A
n
n
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
. c) Tính
(
)
det
T
B A
+
, với
1
1
1
1
0 2 4 2
2 0 4 2
4 2 0 2
2 2 4 0
n
n
n
n
AB
−
−
−
−
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
d) Tính
(
)
det
T
A
, với
( )
1 2 ( 1) 0 0 2
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 2 0 0 1
n
n n n
AB
n
−
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋯
⋯
.
10) Cho
(
)
, ( ), 2 n N, . , 0
T
T
n
A B Mat n B B I B AB A
∈ ≤ ∈ = + =
. Chứng minh rằng
(
)
(
)
(
)
det 1 det
n
T
A A
= −
.
Tính
( )
(
)
det
T
AB
, biết
(
)
det 2013
A =
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
21
Lưu hành nội bộ cá nhân
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính
Trong chương này ta cần nắm bắt được khái niệm ma trận nghịch đảo, hệ ra Cramer, hạng ma
trận và phương pháp giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
I. Nội dung cần nhớ :
1) Các khái niệm :
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
.
* Hệ phương trình tuyến tính là một hệ bao gồm nhiều phương trình ghép lại và mỗi phương
trình giống như một đường thẳng trong không gian
n
chiều với các ẩn
j
x
(
1,
j n
=
) đều là bậc
1
.
* Nếu ta đặt
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
là ma trận hệ số cho trước,
1
2
3
n
x
x
X x
x
=
⋮
là ma trận cột
ẩn,
1
2
3
n
x
x
B x
x
=
⋮
là ma trận hệ số tự do cho trước thì hệ phương trình trên được viết lại dưới dạng ma
trận là
AX B
=
, được gọi là phương trình ma trận.
Thật vậy :
11 12 13 1 1 1 11 1 12 2 13 3 1
21 22 23 2 2 2 21 1 22 2 23 3 2
31 32 33 3 3 3 21 1 32 2 33 3
1 2 3
n n n
n n n
n
m m m mn n m
a a a a x b a x a x a x a x
a a a a x b a x a x a x a x
AX B a a a a x b a x a x a x
a a a a x b
+ + + +
+ + + +
= ⇔ = ⇔ + + + +
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
1
2
3 3
1 1 2 2 11 1
n n
m m mn n m
b
b
a x b
a x a x a x a x b
=
+ + + +
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
⇔ + + + + =
+ + + + =
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
.
Do đó, thay vì giải hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp thông thường ta đã học ở lớp
dưới thì giờ đây ta giải hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp ma trận mà sẽ được đề cập
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
22
Lưu hành nội bộ cá nhân
đến ở phần 2), 3), trong chương này.
Ví dụ :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4 4
1
2 3 4 3
2 1
2 2 1
3 2 4 3 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
+ + − =
− − + + =
− − + =
+ − + =
.
Viết dưới dạng phương trình ma trận :
1
2
3
4
1 1 1 1 1
2 3 4 1 3
1 2 1 1 1
1 1 2 2 1
3 2 4 3 0
x
x
x
x
−
−
=
− −
− −
−
.
* Nếu
B O
≡
thì hệ phương trình trên được gọi là hệ phương trình thuần nhất. Nếu hệ phương
trình thuần nhất có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó được gọi là nghiệm tầm thường
(
0, 1,
j
x j n
∀ = =
). Nếu hệ phương trình thuần nhất có vô số nghiệm thì nghiệm đó được gọi là
nghiệm không tầm thường (
0, 1,
j
x j n
∃ ≠ =
).
Ví dụ :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 0
2 3 2 0
2 0
2 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
− + − + =
− + − + − =
− + + + =
− + + + − =
.
* Nếu
m n
=
(số phương trình bằng số ẩn) và ma trận hệ số cho trước không suy biến
(
(
)
det 0
A
≠
) thì hệ phương trình trên được gọi là hệ Cramer. Hệ Cramer có nghiệm tầm thường
khi
B O
≡
và
(
)
det 0
A
≠
, có nghiệm không tầm thường khi
B O
≡
và
(
)
det 0
A
=
.
Ví dụ :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2 2
2 3 2 3
2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + − =
− − − + = −
+ + − =
+ + + =
.
* Số nghiệm tối đa của hệ phương trình tuyến tính trên là
n
nghiệm.
2) Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer :
2.1) Ma trận nghịch đảo :
a) Định nghĩa :
Ma trận
( )
A Mat n
∈
được gọi là khả nghịch nếu
( )
B Mat n
∃ ∈
sao cho
n
BA AB I
= =
. Khi đó ma trận
B
được gọi là ma trận nghịch đảo của
A
và được ký hiệu là
1
A
−
.
Nếu
A
khả nghịch thì
1
A
−
là duy nhất và
(
)
det 0
A
≠
(tức là
A
là ma trận không suy biến).
Thật vậy : Giả sử
B
là ma trận nghịch đảo của
A
.
Từ đó suy ra
n
BA AB I
= =
và
1 1
n
A A AA I
− −
= =
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
23
Lưu hành nội bộ cá nhân
Ta có :
(
)
(
)
1 1 1 1
n n
B BI B AA BA A I A A
− − − −
= = = = =
(duy nhất).
Ta lại có :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
det det det .det 1 det 0
n n
AA I AA I A A A
− − −
= ⇒ = ⇔ = ⇒ ≠
.
Ví dụ :
*) Cho
( ), det( ) 0
A Mat n A
∈ ≠
và
2
2 3 0
n
A A I
− − =
. Chứng tỏ rằng
( )
1
1
2
3
n
A A I
−
= −
.
Thật vậy :
( ) ( )
2 1 1 1
1
2 3 2 3 2 3 2
3
n n n n
A A I A A I AA A I A A A I
− − −
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ = −
.
*) Cho
, ( )
A B Mat n
∈
(
n
là số tự nhiên lẻ) sao cho
(
)
0,
T
T
n
B AB A BB I
+ = =
. Chứng tỏ ma trận
A
không khả nghịch (
(
)
det 0
A
=
).
Thật vậy :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 det det det 1 det
T n
T T T T T T
n
B AB A BB A A I A A A A A A A A
+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇒ = − ⇔ = −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
det det det det 2det 0 det 0
T
A A A A A A
⇒ = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
.
*) Cho
, , ( ),
A B C Mat n AB CB A
∈ = +
, ma trận
A C
−
khả nghịch, ma trận
A
không khả nghịch.
Chứng tỏ rằng ma trận
B
không khả nghịch.
Thật vậy :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
det det det det det
AB CB A AB CB A A C B A A C B A A C B A
= + ⇔ − = ⇔ − =
⇒
− = ⇔ − =
.
Do
(
)
det 0
A C
− ≠
và
(
)
det 0
A
=
nên suy ra
(
)
det 0
B
=
.
*) Với điều kiện nào của
m
(
m
là tham số thực hoặc phức) thì ma trận sau khả nghịch?
+)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
m
A m
m
+
= +
+
.
Để ma trận
A
khả nghịch thì
( )
1 2 3 6 2 3
det 0 1 2 3 0 6 2 3 0
1 2 3 6 2 3
m m
A m m m
m m m
+ +
≠ ⇔ + ≠ ⇔ + + ≠
+ + +
( ) ( ) ( )
2
1 2 3 1 2 3
6
6 1 2 3 0 6 0 0 0 6 0
0
1 2 3 0 0
m
m m m m m m
m
m m
≠ −
⇔ + + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ + ≠ ⇔
≠
+
.
+)
1 1 2 3
1 1 3 4
1 3 2 3
1 2 3 3
m
A
m
m
+
=
+
+
.
Để ma trận
A
khả nghịch thì
( )
1 1 2 3 1 1 2 3
1 1 3 4 0 1 1
det 0 0 0
1 3 2 3 0 2 0
1 2 3 3 0 1 1
m m
A
m m
m m
+
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
+
+
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
24
Lưu hành nội bộ cá nhân
( ) ( )
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 0 0 2 0 0 2 1 0 0 2 0 1 1 0
1 1 2 1 1 1 0 0 1
m m
m m m m m m m
m m m m m
+
⇔ ≠ ⇔ + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ + − − ≠
+ −
( )( )
2
2
2 1 0
1
m
m m
m
≠ −
⇔ + − ≠ ⇔
≠
.
+)
1 2 3
1 2 4 1
2 4 3 2
1 2( 1) 3( 1)
n
m n
A
m n
n n n n m
+ +
=
+ +
− − − +
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
Để ma trận
A
khả nghịch thì
( )
1 2 3
1 2 4 1
det 0 0
2 4 3 2
1 2( 1) 3( 1)
n
m n
A
m n
n n n n m
+ +
≠ ⇔ ≠
+ +
− − − +
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
( )
( )
2
2
2
1 0 0 0
1 1
1 1 1
0 3 2
0 1 0 3 2 0
2 0 3 2
0 0 2
1 0 0 2
m
m
m n
m m m n n
m n
m n n
n m n n
− −
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ − + − ≠
− −
+ −
− + −
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
⋯
2
0
3
2
m
m
m n n
≠
≠
⇔
≠ −
⋮
.
Đến đây vấn đề đặt ra là cách tính
1
A
−
như thế nào?
b) Công thức tính
1
A
−
:
Cho
(
)
( ), det 0
A Mat n A
∈ ≠
. Khi đó
1
A
−
∃
và được tính bằng công thức sau :
( )
11 21 31 1
12 22 32 2
1
13 23 33 3
1 2 3
1
det
n
n
n
n n n nn
b b b b
b b b b
A b b b b
A
b b b b
−
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
, trong đó
(
)
(
)
1 det
i j
ij ij
b D
+
= −
, với
ij
D
là bỏ đi hàng
i
và cột
j
trong ma trận
A
.
Cụ thể :
*) Nếu
11 12
21 22
a a
A
a a
=
thì
( )
( )
22 12
1
21 11
1
, det 0
det
a a
A A
a a
A
−
−
= ≠
−
.
Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền
25
Lưu hành nội bộ cá nhân
*) Nếu
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
thì
( )
( )
22 23 12 13 12 13
32 33 32 33 22 23
21 23 11 13 11 13
1
31 33 31 33 21 23
21 22 11 12
11 12
31 32 31 32
21 22
1
, det 0
det
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
A A
a a a a a a
A
a a a a
a a
a a a a
a a
−
−
= − − ≠
−
.
Ví dụ :
+)
1
1 2 4 2
1
3 4 3 1
2
A A
−
−
= ⇒ =
−
−
. +)
1
1 2 1 8 1 5
1
2 1 3 1 0 1
1
1 3 1 5 1 3
A A
−
−
= ⇒ = −
−
− −
.
+) Cho
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
=
. Tìm
1
A
−
. Từ đó suy ra
, 2
n
A n N
−
≤ ∈
.
Ta có :
1 2 1 1
3
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0
1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
A A A A I
− − − −
−
= − = ⇒ = = = =
−
−
.
Từ đó suy ra
3
, khi 2
, 1,2,3,
, khi 2 1
n
I n k
A k
A n k
−
=
= =
= +
…
.
+) Với điều kiện nào của
m
(
m
là tham số thực hoặc phức) thì ma trận
A
sau khả nghịch? Từ
đó suy ra
1
A
−
.
1 0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
m
A
m
m
=
.
Để ma trận
A
khả nghịch thì
( )
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1
det 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0
m m
A
m m
m m
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
−
( ) ( )
( )
2
0 1
1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1 0
1 1
1 0
m
m m
m m m m
m m
m
≠ −
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − − ≠ ⇔
≠
.
Ta có :
( ) ( )
3 2 2
2
1
2
2
2 2
2
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
1 1
1
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1
0 1 0 0 1 0
m m m m m m
m m m m
A
m
m m m m
m m
m m m m
−
− − + − −
− − −
= =
−
− − − − +
− +
− − −
.
