ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.79 KB, 42 trang )
1
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC)
DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN
2
CHƯƠNG 1.
Không gian véctơ
Số tiết: 12 (Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được khái niệm về không gian véctơ và các khái niệm liên quan: Hệ
véctơ độc lập tuyến tính, hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại, hạng
của hệ véctơ, hệ véctơ cơ sở, số chiều của không gian véctơ, không gian véctơ thương, giao và
tổng của các không gian véctơ.
- Sinh viên hiểu được các tính chất, định lý của không gian véctơ.
- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan.
1.1. Định nghĩa không gian vectơ
1.1.1. Định nghĩa: Cho tập V mà các phần tử được ký hiệu:
, , ,
α β γ
và trườ
ng
K
mà các ph
ầ
n
t
ử
đượ
c ký hi
ệ
u:
x
,
y
,
z
,…. Gi
ả
s
ử
trên
V
có hai phép toán:
+ Phép toán trong, ký hi
ệ
u : +:
V
x
V
→
V
( , )
+
֏
α β α β
+ Phép toán ngoài, ký hi
ệ
u:
.:
K
x
V
V
(
)
, .
x x
→
α α
Th
ỏ
a mãn các tính ch
ấ
t sau (c
ũ
ng nói th
ỏ
a mãn các tiên
đề
sau): v
ớ
i m
ọ
i
, ,
∈
α β γ
K
:
1)
( ) ( )
+ + = + +
α β γ α β γ
,
2)
Có
0
∈
V
sao cho 0 0
+ = + =
α α α
,
3)
Có
'
∈
α
V
sao cho
' ' 0
+ = + =
α α α α
,
4)
+ = +
α β β α
5)
(
x
+
y
) .
α
=
x
.
α
+
y
.
α
6)
x
. (
+
α β
) =
x
.
α
+
y
.
β
7)
x
. (
y
.
α
) = (
x
.
y
) .
α
,
8)
1 .
α
=
α
trong
đ
ó 1 là ph
ầ
n t
ử
đơ
n v
ị
c
ủ
a tr
ườ
ng
K
.
Khi
đ
ó
V
(c
ũ
ng v
ớ
i hai phép toán xác
đị
nh nh
ư
trên) g
ọ
i là m
ộ
t
không gian vectơ trên trường K,
hay
K
-
không gian vectơ
, hay v
ắ
n t
ắ
t không gian vect
ơ
.
Khi
K
=
ℝ
,
V
đượ
c g
ọ
i là không gian vect
ơ
th
ự
c. Khi K =
ℂ
,
V
đượ
c g
ọ
i là không gian vect
ơ
ph
ứ
c.
Các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a V g
ọ
i là các
vectơ
, các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
K
còn g
ọ
i là
vô hướng.
3
Phép toán “+” g
ọ
i là
phép cộng vectơ,
phép toán “.” g
ọ
i là
phép nhân vectơ với vô hướng
.
Để
cho g
ọ
n, d
ấ
u “.” nhi
ề
u khi l
ượ
c b
ỏ
, thay th
ế
cho
.
x
α
ta vi
ế
t
x
α
.
B
ố
n tiên
đề
đầ
u tiên ch
ứ
ng t
ỏ
V là m
ộ
t nhóm giao hoán
đố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng vect
ơ
. Các tiên
đề
5, 6
và 7 theo th
ứ
t
ự
nói lên r
ằ
ng phép nhân vect
ơ
v
ớ
i vô h
ướ
ng có tính ch
ấ
t phân ph
ố
i
đố
i v
ớ
i phép
c
ộ
ng vô h
ướ
ng, phân ph
ố
i
đố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng vect
ơ
và có tính ch
ấ
t k
ế
t h
ợ
p.
1.1.2. Các ví dụ
1)
T
ậ
p các vect
ơ
(“t
ự
do”) trong không gian
đố
i v
ớ
i các phép toán c
ộ
ng và nhân vect
ơ
v
ớ
i m
ộ
t
s
ố
th
ự
c trong ch
ươ
ng trình toán ph
ổ
thông trung h
ọ
c là m
ộ
t không gian vect
ơ
th
ự
c.
2)
Cho hai không gian vect
ơ
trên tr
ườ
ng K: V
1
và V
2
. Xét t
ậ
p h
ợ
p:
V
1
x V
2
=
(
)
{
}
1 2
, | V , V
∈ ∈
α β α β
V
ớ
i hai phép toán:
( , ) ( ', ') ( ', ')
( , ) ( , )k k k
+ = + +
=
α β α β α α β β
α β α β
Trong
đ
ó k
∈
K,
1 2
, ' , , '
V V
∈ ∈
α α β β
.
D
ễ
th
ấ
y V
1
x V
2
cùng v
ớ
i hai phép toán trên là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
, g
ọ
i là tích tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a
hai K- Không gian vect
ơ
.
3)
Cho tr
ườ
ng K. V
ớ
i
1
n
≥
, xét tích
Đ
êcác( Descartes)
K
n
= {(x
1
, x
2
,…,x
n
)|x
i
∈
K, i = 1,2,…,n}
v
ớ
i hai phép toán
(x
1
, x
2
,…, x
n
) + (y
1
, y
2
,…, y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, …, x
n
+ y
n
)
k(x
1
, x
2
,…,x
n
) = (kx
1
, kx
2
,…, kx
n
), k
∈
K
D
ễ
th
ấ
y K
n
cùng v
ớ
i hai phép toán nói trên là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
Khi n = 1 thì b
ả
n thân K c
ũ
ng là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
4)
T
ậ
p K[x] các
đ
a th
ứ
c (m
ộ
t bi
ế
n) v
ớ
i h
ệ
s
ố
thu
ộ
c tr
ườ
ng K v
ớ
i phép c
ộ
ng
đ
a th
ứ
c và nhân
đ
a
th
ứ
c v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c tr
ườ
ng K là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
5)
T
ậ
p s
ố
ph
ứ
c
ℂ
v
ớ
i phép c
ộ
ng s
ố
ph
ứ
c và nhân s
ố
ph
ứ
c là m
ộ
t
ℂ
không gian vect
ơ
. Trong
khi
đ
ó
ℂ
cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng s
ố
ph
ứ
c và nhân s
ố
ph
ứ
c v
ớ
i m
ộ
t s
ố
th
ự
c là
ℝ
- Không gian vect
ơ
.
6)
T
ậ
p
ℝ
các s
ố
th
ự
c v
ớ
i phép c
ộ
ng s
ố
th
ự
c và nhân s
ố
th
ự
c v
ớ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỷ
là m
ộ
t
ℚ
-
không gian vect
ơ
.
7)
T
ậ
p g
ồ
m ch
ỉ
có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
0 0. 0. (0 0). 0. 0.
+ = = + = +
α α α α α
{
θ
} v
ớ
i hai phép toán
θ
+
θ
=
θ
, x
θ
=
θ
, x
∈
K là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
(g
ọ
i là không gian vect
ơ
không).
Th
ườ
ng ký hi
ệ
u là
0
=
θ
.
4
8)
X là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng, V là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
. G
ọ
i
Ω
là t
ậ
p các ánh x
ạ
ϕ
: X
→
V.
V
ớ
i hai phép toán:
( )( )= ( )+ ( )
( )( )= ( ), , , ,
x x x
k x k x x X k K
+
∈Ω ∈ ∈
ϕ ψ ϕ ψ
ϕ ϕ ϕ ψ
D
ễ
th
ấ
y
Ω
là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
Đặ
c bi
ệ
t, khi V =
ℝ
thì t
ậ
p các hàm s
ố
th
ự
c
:Xf
→
ℝ
là m
ộ
t
ℝ
- Không gian vect
ơ
. Khi V =
ℂ
thì t
ậ
p các hàm s
ố
ph
ứ
c
X C
→
là m
ộ
t
ℂ
- không gian vect
ơ
.
9)
L
ấ
y (a,b)
⊂
ℝ
thì t
ậ
p các hàm s
ố
liên t
ụ
c trên (a,b), t
ậ
p các hàm s
ố
kh
ả
vi trên (a,b) ( t
ứ
c
là có
đạ
o hàm t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m thu
ộ
c (a,b)) là nh
ữ
ng
ℝ
- không gian vect
ơ
(v
ớ
i các phép toán nh
ư
trong 8).
10)
Trong nhóm c
ộ
ng các ma tr
ậ
n c
ỡ
(m.n) trên tr
ườ
ng K ta
đư
a phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng sau,
v
ớ
i A =(
ij
a
) ; i =
1,
m
, j =
1,
n
thì
kA
= (
k
ij
a
), d
ễ
th
ử
th
ấ
y
đ
ó là m
ộ
t
K
- không gian vect
ơ
.
1.1.3. Một số hệ quả:
Cho K- không gian vect
ơ
V. Vì V là m
ộ
t nhóm giao hoán
đố
i v
ớ
i phép
c
ộ
ng vect
ơ
nên ta suy ra ngay các tính ch
ấ
t sau:
1)
Ph
ầ
n t
ử
trung hòa
0
c
ủ
a phép c
ộ
ng vect
ơ
nói trong tiên
đề
2 là duy nh
ấ
t và
đượ
c g
ọ
i là
vect
ơ
không.
2)
Ph
ầ
n t
ử
đố
i
α
nói trong tiên
đề
3 là duy nh
ấ
t g
ọ
i là vect
ơ
đố
i c
ủ
a vect
ơ
α
. T
ừ
đ
ây ta s
ẽ
ký
hi
ệ
u vect
ơ
đố
i c
ủ
a
α
là
−
α
. T
ừ
đ
ó ta có
đị
nh ngh
ĩ
a:
( )
− = + −
α β α β
. G
ọ
i là hi
ệ
u c
ủ
a
α
và
β
.
3)
Qui t
ắ
c chuy
ể
n v
ế
: t
ừ
+ =
α β γ
suy ra
= −
α γ β
4)
Lu
ậ
t gi
ả
n
ướ
c: t
ừ
+ = +
α β γ β
suy ra
=
α γ
Đố
i v
ớ
i phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng ta còn có các tính ch
ấ
t sau:
5)
0.
α
=
0
,
ở
đ
ây 0 là ph
ầ
n t
ử
không c
ủ
a tr
ườ
ng K, còn
0
là vect
ơ
0
c
ủ
a V. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:
0 0. 0. (0 0). 0. 0.
+ = = + = +
α α α α α
. T
ừ
đ
ó theo lu
ậ
t gi
ả
n
ướ
c: 0.
α
=
0
6)
x .
0
=
0
Th
ậ
t v
ậ
y, t
ừ
0
+ x
0
= x
0
= x.(
0
+
0
) = x.
0
+ x.
0
. Suy ra
0
= x.
0
.
7)
T
ừ
x.
α
=
0
suy ra ho
ặ
c x = 0 ho
ặ
c
α
=
0
.
8)
( ) ( )
x x
− = −
α α
. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:
0 0. ( ( )) ( )
x x x x
= = + − = + −
α α α α
Suy ra
( )
x x
− = −
α α
.
Đặ
c bi
ệ
t
( 1)
− = −
α α
.
Nhận xét:
5
Do tính k
ế
t h
ợ
p và giao hoán c
ủ
a phép c
ộ
ng vect
ơ
nên có th
ể
đị
nh ngh
ĩ
a
đượ
c t
ổ
ng c
ủ
a
n
vect
ơ
(
2
≥
)
(
)
1 2
, ,
n
…
α α α
thu
ộ
c
V
, ta kí hi
ệ
u:
1 2
1
n
n i
i=
+ + + =
∑
…
α α α α
Trong t
ổ
ng
đ
ó, ta không c
ầ
n
để
ý
đế
n trình t
ự
l
ấ
y t
ổ
ng các vect
ơ
. D
ễ
th
ấ
y ta có ch
ẳ
ng h
ạ
n:
ij ij
1 1 1 1
m n n m
j i j i
j i i j
a b a b
= = = =
=
∑ ∑ ∑ ∑
α α
.
Th
ậ
t v
ậ
y,
1 11 1 21 2 1 1 1 2 2
1 11 1 1 1 21 2 2 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n m m m nm n
m m m m n m nm n
VT a b b b a b b b
a b a b a b a b a b a b VP
= + + + + + + + +
= + + + + + + + + + =
… … …
… … … …
α α α α α α
α α α
Do
đ
ó t
ổ
ng trên còn
đượ
c kí hi
ệ
u:
ij ij
1 1
1,
1,
hay
m n
j i j i
j i
i n
j m
a b a b
= =
=
=
∑∑ ∑
α α
Và khi
m
=
n
, còn dùng kí hi
ệ
u:
ij
ij 1
n
j i
a b
=
∑
α
1.2. Tổ hợp tuyến tính. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa:
M
ộ
t
t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
v
ớ
i h
ọ
h
ệ
s
ố
(
), 1,2, ,
i
x i n
=
là
:
1 1 2 2
i i n n
x x x x= + + +
∑
α α α α
.
N
ế
u
1
n
i i
i
x
=
=
∑
α α
thì
α
đượ
c g
ọ
i là
bi
ể
u th
ị
(khai tri
ể
n) tuy
ế
n tính
theo h
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
.
Nhận xét:
Cho ba h
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, , , ( ), 1,2, , , ( ), 1,2, ,
i j k
i n j m k l
= = = = = =
α α β β γ γ
. N
ế
u các
vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
α
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo h
ệ
β
, các vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
β
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo h
ệ
γ
.
Th
ậ
t v
ậ
y, t
ừ
:
ij
1
, 1,2, ,
m
i j
j
x i m
=
= =
∑
α β
và
ik
1
, 1,2, ,
l
j k
k
y j m
=
= =
∑
β γ
Suy ra:
ij ij
1 1 1 1
m l l m
i jk k jk k
i k k j
x y x y
= = = =
= =
∑ ∑ ∑ ∑
α γ γ
. Do
đ
ó, các vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
α
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính
theo h
ệ
γ
.
2) H
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
, g
ọ
i là
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính n
ế
u:
1
0
n
i i
i
x
=
=
∑
α
kéo theo
0, 1,2, ,
i
x i n
= =
.
H
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
,
g
ọ
i là ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính n
ế
u nó không
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Ví dụ:
Trong R- không gian vect
ơ
2
ℝ
cho các vect
ơ
:
1 2 3
(2,0), (0, 1), (4,2)
= = − =
α α α
.
6
H
ệ
1 2
( , )
α α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính vì:
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
0 (2 ,0) (0, ) (0,0) (2 , 2 ) (0,0) 0
x x x x x x x x
+ =
⇒
+ − =
⇒
− =
⇒
= =
α α
H
ệ
1 2 3
( , , )
α α α
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính vì:
1 2 3
2 2 0
− + + =
α α α
.
1.2.2. Một số tính chất
1)
H
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi có h
ọ
các h
ệ
s
ố
( ), 1,2, ,
i
x i n
=
,
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng không sao cho
1
0
n
i i
i
x
=
=
∑
α
. Tính ch
ấ
t này
đượ
c suy ra hi
ể
n nhiên t
ừ
đị
nh
ngh
ĩ
a.
2)
H
ệ
con c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính là m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính (ta coi h
ệ
φ
( t
ứ
c
t
ậ
p r
ỗ
ng) là h
ệ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính).
Th
ậ
t v
ậ
y, cho h
ệ
h
ữ
u h
ạ
n vect
ơ
( ) ,
j j J
J I
∈
⊂
α
, là h
ệ
con c
ủ
a nó. N
ế
u h
ệ
( )
j j J
∈
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính thì
0
j j
j J
x
∈
=
∑
α
có th
ế
vi
ế
t l
ạ
i là
\
0 0
j j i
j J i I J
x
∈ ∈
+ =
∑ ∑
α α
. Nên suy ra 0,
j
x j J
= ∀ ∈
. V
ậ
y
( )
j j J
∈
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
3)
H
ệ
vect
ơ
ch
ứ
a h
ệ
vect
ơ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính. Tính ch
ấ
t này là h
ệ
qu
ả
tr
ự
c ti
ế
p t
ừ
2.
4)
H
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
, ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi :
- N
ế
u n = 1 thì
1
0
=
α
,
- N
ế
u n >1 thì m
ộ
t vect
ơ
nào
đ
ó c
ủ
a h
ệ
ph
ả
i bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua các vect
ơ
còn l
ạ
i c
ủ
a h
ệ
.
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u n = 1,
1
( )
α
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính
⇔
có
0
x
≠
để
1 1
0 0
x
= ⇔ =
α α
. Khi n >1, n
ế
u
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì t
ồ
n t
ạ
i h
ọ
( ), 1,2, ,
i
x i n
=
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng
không ( ch
ằ
ng h
ạ
n
0
n
x
≠
) sao cho :
1 1 1 1
0
n n n n
x x x
− −
+ + + =
α α α
,
suy ra
1 1 1 1
( / ) ( / )
n n n n n
x x x x
− −
= − − −
α α α
.
Ng
ượ
c l
ạ
i n
ế
u có, ch
ẳ
ng h
ạ
n:
1 1 1 1
n n n n n
y y y
− −
= + + +
α α α α
thì
1 1 1 1
0
n n n n n
y y y
− −
+ + + − =
α α α α
, h
ệ
s
ố
c
ủ
a
n
α
là –1
≠
0, do
đ
ó h
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
, ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính .
5)
N
ế
u h
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì h
ệ
1
( , , , )
n
α α β
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi
và ch
ỉ
khi
β
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo h
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
. Ngoài ra cách bi
ể
u th
ị
đ
ó là duy nh
ấ
t.
Th
ậ
t v
ậ
y, theo tính ch
ấ
t 4, n
ế
u
β
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo
( )
i
α
thì h
ệ
1
( , , , )
n
α α β
ph
ụ
thu
ộ
c
tuy
ế
n tính.
7
Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u h
ệ
1
( , , , )
n
α α β
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì có h
ọ
h
ệ
s
ố
1 2
( , , , , )
n
x x x y
không
đồ
ng
th
ờ
i b
ằ
ng không
để
:
1 1
0
n n
x x y
+ + + =
α α β
.
Do
đ
ó h
ệ
1
( , , )
n
α α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên y ph
ả
i khác không. T
ừ
đ
ó:
1 1
( / ) ( / )
n n
x y x y= − − −
β α α
Bây gi
ờ
ta ch
ứ
ng minh tính duy nh
ấ
t. Gi
ả
s
ử
:
'
1 1
n n
i i i n
i i
y y
= =
= =
∑ ∑
β α α
Thì
'
1
( ) 0
n
i i i
i
y y
=
− =
∑
α
, do
, 1,2, ,
i
i n
=
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính suy ra
'
, 1,2, ,
i i
y y i n
= = .
Chú ý:
Ng
ườ
i ta có th
ể
m
ở
r
ộ
ng
đị
nh ngh
ĩ
a khái ni
ệ
m t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính,
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính, ph
ụ
thu
ộ
c
tuy
ế
n tính cho h
ệ
tùy ý (có th
ể
vô h
ạ
n) các vect
ơ
. Cho h
ệ
vect
ơ
( )
i
i I
∈ ≠ ∅
α
(I có th
ể
có vô
h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
). M
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ệ
đ
ó là
i i
i I
x
∈
∑
α
trong
đ
ó h
ọ
h
ệ
s
ố
( ) ,
i
x i I
∈
, ph
ả
i th
ỏ
a
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n “ tri
ệ
t tiêu h
ầ
u kh
ắ
p” (t
ứ
c là ch
ỉ
có m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
i I
∈
mà
0
i
x
≠
). Khi
đ
ó các
tính ch
ấ
t trên v
ẫ
n
đ
úng.
Ví dụ:
1) Trong không gian vect
ơ
ở
ch
ươ
ng trình h
ọ
c trung h
ọ
c:
H
ệ
hai vect
ơ
( , )
α β
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi
,
α β
không cùng ph
ươ
ng.
H
ệ
ba vect
ơ
( , , )
α β γ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi
, ,
α β γ
không
đồ
ng ph
ẳ
ng.
M
ọ
i h
ệ
b
ố
n vect
ơ
đề
u ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính.
2) Trong R- không gian vect
ơ
các
đ
a th
ứ
c m
ộ
t bi
ế
n v
ớ
i h
ệ
s
ố
th
ự
c R[x], h
ệ
các
đ
a th
ứ
c:
2 3
(1, , , , , )
n
x x x là
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính vì
0
0
k
k
k
a x
∞
=
= ⇒
∑
có s
ố
t
ự
nhiên n
để
0
k
a k n
= ∀ >
và
0
0 0, 0,1, 2, ,
n
k
x k
k
a x a k n
=
= ⇒ = ∀ =
∑
.
1.3. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
1.3.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vectơ
Định nghĩa:
Cho m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
( ),
i
i I
∈
α
, trong
đ
ó K- không gian vect
ơ
V. H
ệ
con
( ),
j
j J I
∈ ⊂
α
, g
ọ
i là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a h
ệ
đ
ã cho n
ế
u nó là h
ệ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính và n
ế
u thêm b
ấ
t c
ứ
vect
ơ
k
α
nào,
\
k I J
∈
, vào h
ệ
con
đ
ó thì ta
đề
u
đượ
c m
ộ
t h
ệ
ph
ụ
thu
ộ
c
tuy
ế
n tính.
Tính chất:
8
a) N
ế
u h
ệ
con
1 2
( , , , )
n
α α α
c
ủ
a h
ệ
( )
i
α
i I
∈
, là m
ộ
t h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i thì m
ọ
i
vect
ơ
,
i
i I
∈
α
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính m
ộ
t cách duy nh
ấ
t qua h
ệ
con
đ
ó.
b) Cho h
ệ
h
ữ
u h
ạ
n vect
ơ
{
}
, 1,2, ,
i
i I n
∈ =
α
, và cho h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
( ),
j
j J I
∈ ⊂
α
(J có th
ể
r
ỗ
ng) thì có th
ể
xây d
ự
ng m
ộ
t h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a h
ệ
,
i
i I
∈
α
, sao cho
h
ệ
đ
ó ch
ứ
a h
ệ
con
đ
ã cho.
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u ( ),
j
j J
∈
α
, không ph
ả
i là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a h
ệ
,
i
i I
∈
α
, thì
ắ
t
có vect
ơ
o
i
α
,
\
o
i I J
∈
, không là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ệ
( ),
j o
j J
∈
α
, trong
đ
ó
{ }
o o
J I i
= ∪
.
D
ễ
th
ấ
y h
ệ
( ),
j o
j J
∈
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. N
ế
u h
ệ
này ch
ư
a ph
ả
i là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i thì l
ạ
i làm t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên. Do s
ố
ph
ầ
n t
ử
N h
ữ
u h
ạ
n nên sau m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c ta xây
d
ự
ng
đượ
c h
ệ
ph
ả
i tìm.
1.3.2. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
Bổ đề:
Trong không gian vect
ơ
V, cho hai h
ệ
vect
ơ
:
1 2
1 2
( , , , ) (1)
( , , , ) (2)
r
s
α α α
β β β
N
ế
u h
ệ
(1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính và m
ỗ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1) là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ệ
(2) thì
r s
≤
.
Chứng minh:
Ta s
ẽ
thay d
ầ
n các vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(2) b
ở
i các vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1). Theo gi
ả
thi
ế
t ta có:
1 1 1 2 2
s s
x x x= + + +
α β β β
.
Do (1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính,
1
0
≠
α
t
ừ
đ
ó suy ra các vô h
ướ
ng
i
x
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng không. Gi
ả
s
ử
1
0
x
≠
thì:
1 1 1 2 1 2 1
(1/ ) ( / ) ( / ) (3)
s s
x x x x x= − − −
β α β β
.
Thay
1
β
trong (2) b
ở
i
1
α
, ta
đượ
c h
ệ
:
1 2
( , , , ) (4)
s
α β β
mà theo gi
ả
thi
ế
t, t
ừ
công th
ứ
c (3) và nh
ậ
n xét
ở
§2.I.1, suy ra m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1)
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua h
ệ
(4). Do
đ
ó:
2 1 1 2 2
s s
y y y
= + + +
α α β β
Do (1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên trong s
ố
các h
ệ
s
ố
2
, ,
s
y y
ph
ả
i có m
ộ
t h
ệ
s
ố
khác không, gi
ả
s
ử
2
0
y
≠
. Khi
đ
ó:
2 1 2 1 2 3 2 3 2
( / ) (1/ ) ( / ) ( / ) (5)
s s
y y y y y y y= − + − − −
β α β β
Ta l
ạ
i thay
2
β
trong h
ệ
(4) b
ở
i
2
α
và
đượ
c h
ệ
:
1 2 3
( , , , , ) (6)
s
α α β β
Mà t
ừ
(3) và (5) suy ra m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1)
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua h
ệ
(6).
N
ế
u r > s thì ti
ế
p t
ụ
c qua trình trên sau m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c, h
ệ
(2) s
ẽ
đượ
c thay th
ế
b
ở
i h
ệ
:
1 2
( , , ) (7)
s
α α α
9
Trong
đ
ó m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1)
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua h
ệ
(7).
Đ
i
ề
u này trái v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t h
ệ
(1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. Do
đ
ó
r s
≤
.
Định lý và định nghĩa:
Cho h
ệ
h
ữ
u h
ạ
n vect
ơ
1 2
( , , )
m
α α α
trong không gian vect
ơ
V thì s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ọ
i h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a h
ệ
trên b
ằ
ng nhau. S
ố
đ
ó
đượ
c g
ọ
i là h
ạ
ng
c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
1 2
( , , )
m
α α α
.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
h
ệ
1 2
( , , )
m
α α α
có hai h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i
1 2
( , , )
r
=
α α α α
và
1 2
( , , )
s
=
β β β β
. Khi
đ
ó h
ệ
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính và m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
α
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính
qua h
ệ
β
. Áp d
ụ
ng b
ổ
đề
trên ta có
r s
≤
.
Đổ
i vai trò c
ủ
a h
ệ
α
và h
ệ
β
cho nhau ta có
s r
≤
.
T
ừ
đ
ó ta có
r s
=
.
Ví dụ:
Trong
ℝ
- không gian vect
ơ
ℝ
[x] xét h
ệ
2 2
1 2 3 4
{ 5, 2 3, 1, 7 6, 2 4 20}
o
P P x P x x P x P x x= = + = + + = + = + +
. D
ễ
th
ấ
y
1 2
( , , )
o
P P P
độ
c l
ậ
p
tuy
ế
n tính. Th
ậ
t v
ậ
y,
2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
0 (2 ) 5 3 0 0
o o o o
a P a P a P a x a a x a a a a a a
+ + =
⇒
+ + + + + =
⇒
= = =
.
Ngoài ra:
4 2 1
2 3
o
P P P P
= + +
3 1
(7 / 2)(2 3) 9 / 2 (7 / 2) (9 /10)
o
P x P P
= + − = −
.
V
ậ
y
1 1 2
(1,0,0), (0,1,0)
W
=< = = >
α α
{
}
1 2
, ,
o
P P P
là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a h
ệ
ban
đầ
u. Do
đ
ó h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
ban
đầ
u là 3.
1.4. Cơ sở, số chiều của không gian vectơ
1.4.1. Định nghĩa:
Gi
ả
s
ử
V
là m
ộ
t
K
- Không gian vect
ơ
.
1)
M
ộ
t h
ệ
vect
ơ
trong
V
g
ọ
i là m
ộ
t
h
ệ
sinh
c
ủ
a
V
n
ế
u m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a
V
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính
theo h
ệ
đ
ó.
2)
N
ế
u V có m
ộ
t h
ệ
sinh g
ồ
m nhi
ề
u h
ữ
u h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
thì
V
đượ
c g
ọ
i là
K
-
không gian vect
ơ
h
ữ
u
h
ạ
n sinh.
3)
M
ộ
t h
ệ
vect
ơ
trong
V
, g
ọ
i là m
ộ
t
c
ơ
s
ở
c
ủ
a
V
n
ế
u m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a
V
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính
duy nh
ấ
t qua h
ệ
đ
ó.
1.4.2. Định lý:
Gi
ả
s
ử
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
là m
ộ
t h
ệ
h
ữ
u h
ạ
n vect
ơ
trong không gian vect
ơ
, khi
đ
ó
các m
ệ
nh
đề
sau t
ươ
ng
đươ
ng:
1)
( )
i
α
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a V.
2)
( )
i
α
là h
ệ
sinh
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a V
3)
( )
i
α
là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a V.
Chứng minh:
10
1)
⇒
2). Ch
ỉ
còn ch
ứ
ng minh h
ệ
( )
i
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính . Vì m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a
V
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n
tính duy nh
ấ
t qua
( )
i
α
nên
1 1
0
n n
x x
+ + =
α α
và
1
0 0 0
n
+ + =
α α
kéo theo
1
0
n
x x
= = =
.
V
ậ
y h
ệ
( )
i
α
, i=1, 2,…,
n
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
2)
⇒
3). Hi
ể
n nhiên khi xem
V
nh
ư
là m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
trong
V
.
3)
⇒
1). Do tính ch
ấ
t a m
ụ
c 1.1.3.
1.4.3. Định lý và định nghĩa:
V là m
ộ
t không gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n sinh thì V có c
ơ
s
ở
h
ữ
u h
ạ
n và
s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a các c
ơ
s
ở
trong V
đề
u nh
ư
nhau g
ọ
i là s
ố
chi
ề
u c
ủ
a không gian vect
ơ
V.
Khi V là m
ộ
t K - không gian vect
ơ
có s
ố
chi
ề
u n ta vi
ế
t dimV = n (hay
dim
K
V n
=
)
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
( )
i
α
,
i I
∈
,
I
h
ữ
u h
ạ
n, là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
V
,
1 2
( , , , )
n
α α α
là m
ộ
t h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a
( )
i
α
,
i I
∈
. D
ễ
th
ấ
y khi
đ
ó
1 2
( , , , )
n
α α α
c
ũ
ng là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
V
. H
ệ
đ
ó l
ạ
i
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên nó là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
V
. Theo b
ổ
đề
ở
m
ụ
c 1.3.2, m
ọ
i h
ệ
m vect
ơ
v
ớ
i
m
>
n
đề
u ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính. Nh
ư
v
ậ
y n
ế
u ( ),
j
j J
∈
β
, là m
ộ
t c
ơ
s
ở
khác c
ủ
a
V
thì s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
( )
j
β
ph
ả
i
n
≤
.
Đổ
i vai trò c
ủ
a hai c
ơ
s
ở
cho nhau ta s
ẽ
th
ấ
y s
ố
các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ọ
i h
ệ
c
ơ
s
ở
V
b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
n
.
Nhận xét:
a)
N
ế
u
V
là không gian vect
ơ
n chi
ề
u thì m
ọ
i h
ệ
vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
đề
u có th
ể
b
ổ
sung
để
tr
ở
thành m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
V
.
b)
V
là không gian vect
ơ
n chi
ề
u thì h
ệ
n vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a nó
đề
u là c
ơ
s
ở
.
c)
Đố
i v
ớ
i không gian vect
ơ
không h
ữ
u h
ạ
n sinh c
ũ
ng có th
ể
ch
ứ
ng minh các c
ơ
s
ở
c
ủ
a nó
cùng l
ự
c l
ượ
ng. Sau
đ
ây th
ườ
ng ch
ỉ
nói v
ề
các không gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n sinh t
ứ
c là các không
gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u.
1.4.4. Tọa độ của vectơ đối với một cơ sở
Định nghĩa:
Cho c
ơ
s
ở
1 2
( , , , )
n
=
α α α α
c
ủ
a
K
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u
V
thì m
ọ
i vect
ơ
V
∈
α
vi
ế
t
đượ
c m
ộ
t cách duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng:
1
,
n
i i i
i
x x K
=
= ∈
∑
α α
1 2
( , , , ) ( )
m i
x x x x
=
g
ọ
i là t
ọ
a
độ
c
ủ
a
α
đố
i v
ớ
i (hay “trong” hay “theo”) c
ơ
s
ở
1 2
( , , , )
n
=
α α α α
,
i
x
g
ọ
i là t
ọ
a
độ
th
ứ
i
c
ủ
a
α
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
nào
đ
ó.
D
ễ
th
ấ
y, n
ế
u
,
α β
theo th
ứ
t
ự
có t
ọ
a
độ
( , )
i i
x y
trong c
ơ
s
ở
α
thì
+
α β
có t
ọ
a
độ
( )
i i
x y
+
và
k
α
có t
ọ
a
độ
( )
i
k x
,
k K
∈
trong c
ơ
s
ở
đ
ó.
Gi
ả
s
ử
còn có c
ơ
s
ở
1 2
' ( ' , ' , , ' )
n
=
α α α α
c
ủ
a
V
thì ta có khai tri
ể
n
11
ij ij
1
' , 1,2, , , (1)
n
j i
i
c j n c K
=
= = ∈
∑
α α
N
ế
u vect
ơ
α
có t
ọ
a
độ
(
i
x
) trong c
ơ
s
ở
α
và t
ọ
a
độ
( ' )
i
x
trong c
ơ
s
ở
'
α
thì:
ij ij
1 1 1 1 1 1
' ' ' '
n n n n n n
i i j j j i j i
i j j i i j
x x x c c x
= = = = = =
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
α α α α α
Do tính ch
ấ
t duy nh
ấ
t c
ủ
a khai tri
ể
n
α
theo c
ơ
s
ở
1 2
( , , , )
n
α α α
suy ra:
ij
1
' , 1, , (2)
n
i j
j
x c x i n
=
= =
∑
Trong công th
ứ
c (1) ch
ỉ
s
ố
l
ấ
y t
ổ
ng (còn g
ọ
i là: ch
ỉ
s
ố
“câm”) là ch
ỉ
s
ố
tr
ướ
c c
ủ
a
ij
c
, còn trong
công th
ứ
c (2) ch
ỉ
s
ố
l
ấ
y t
ổ
ng là ch
ỉ
s
ố
sau c
ủ
a
ij
c
. Công th
ứ
c (2) g
ọ
i là công th
ứ
c
đổ
i t
ọ
a
độ
ứ
ng
v
ớ
i công th
ứ
c
đổ
i c
ơ
s
ở
(1).
Ví dụ 1:
Trong
K
- không gian vect
ơ
n
K
xét h
ệ
vect
ơ
( ), 1, ,
i
i n
=
ε
, trong
đ
ó
1 2
(1,0, ,0), (0,1,0, ,0), , (0,0, ,1
)
n
= = =
ε ε ε
.
Khi
đ
ó
1 1
1
0 ( , , ) 0 0
n
i i n n
i
x x x x x
=
=
⇒
=
⇒
= = =
∑
ε
, v
ậ
y
( )
i
ε
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. Ngoài ra v
ớ
i
m
ọ
i
1
( , , )
n
x x K
= ∈
α
ta có
1
n
i i
i
x
=
=
∑
α ε
. Do
đ
ó h
ệ
( ), 1, ,
i
i n
= +
ε ε
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a K- không
gian vect
ơ
n
K
. C
ơ
s
ở
này g
ọ
i là
c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c (
hay
c
ơ
s
ở
t
ự
nhiên)
c
ủ
a
n
K
. T
ừ
đ
ó suy ra
dim
n
K n
=
.
Ví dụ 2:
Trong
ℝ
- không gian vect
ơ
2
ℝ
, cho c
ơ
s
ở
1 2
( , )
=
α α α
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng h
ệ
1 2
' ( ' , ' )
=
α α α
v
ớ
i
1 1 2 2 2 1
' , '
= + = −
α α α α α α
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
2
R
.
b)
Gi
ả
s
ử
trong c
ơ
s
ở
α
, vect
ơ
2
β
∈
ℝ
có t
ọ
a
độ
(2,4). Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
β
trong c
ơ
s
ở
'
α
.
Giải.
a)
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2
' ' 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
k k k k k k k k
+ =
⇒
+ + − =
⇒
− + + =
α α α α α α α α
1 2
0
k k
⇒
− =
và
1 2
0
k k
+ =
1 2
0
k k
⇒
= =
V
ậ
y h
ệ
1 2
' ( ' , ' )
=
α α α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính do
đ
ó
1 2
' ( ' , ' )
=
α α α
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
2
ℝ
.
b) Gi
ả
s
ử
t
ọ
a
độ
β
trong c
ơ
s
ở
'
α
là
1 2
( ' , ' )
x x
. Vì công th
ứ
c chuy
ể
n c
ơ
s
ở
là
12
1 1 2
2 1 2
'
'
= +
= − +
α α α
α α α
Nên công th
ứ
c chuy
ể
n t
ọ
a
độ
là:
1 2
1 2
2 ' '
4 ' '
x x
x x
= −
= +
,
T
ừ
đ
ó suy ra
1 2
' 3, ' 1
x x
= =
.
Ví dụ 3:
M
ọ
i h
ệ
vect
ơ
( , , )
α β γ
không
đồ
ng ph
ẳ
ng trong không gian vect
ơ
ở
ch
ươ
ng trình hình
h
ọ
c là m
ộ
t c
ơ
s
ở
cho nên không gian
đ
ó là 3 chi
ề
u.
1.5. Không gian vectơ con và không gian vectơ thương
1.5.1. Không gian vectơ con
Định nghĩa:
T
ậ
p con W c
ủ
a m
ộ
t K- không gian vect
ơ
V
đượ
c g
ọ
i là không gian vect
ơ
con c
ủ
a V
n
ế
u nó th
ỏ
a mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
(i)
W
ổ
n
đị
nh (hay
đ
óng)
đố
i v
ớ
i hai phép toán c
ủ
a V, ngh
ĩ
a là:
, ,
, ,
W W
W x K x W
+ ∀ ∈ + ∈
+ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈
α β α β
α α
(ii)
W cùng v
ớ
i hai phép toán c
ủ
a V (h
ạ
n ch
ế
trên W) là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
Nhận xét:
1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n i) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau: , , , ,
W x y K x y W
∀ ∈ ∀ ∈ + ∈
α β α β
2)
T
ừ
đ
i
ề
u ki
ệ
n ii) suy ra W ph
ả
i ch
ứ
a vect
ơ
0
, t
ứ
c là
W
≠ ∅
Định lý:
Cho K- không gian vect
ơ
V,
W V
⊂
là không gian con c
ủ
a V khi và ch
ỉ
khi
W
≠ ∅
và
W
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i hai phép toán c
ủ
a V.
Chứng minh.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n suy ra t
ừ
nh
ậ
n xét 2).
Để
ch
ứ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
, ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh W là m
ộ
t
K- không gian vect
ơ
. Các tiên
đề
1, 4, 5, 6, 7, 8 th
ỏ
a mãn v
ớ
i m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a V nên th
ỏ
a mãn
v
ớ
i m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a W.
Vì
W
≠ ∅
nên có
W
∈
α
. T
ừ
đ
ó
0 0
W
= ∈
α
( do W
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i phép nhân vô h
ướ
ng) rõ
ràng vect
ơ
0
này th
ỏ
a mãn tiên
đề
2
đố
i v
ớ
i m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a W. M
ặ
t khác
W
∀ ∈
α
,
( 1)
W
− = − ∈
α α
và
( ) 0
+ − =
α α
nên tiên
đề
3 c
ũ
ng th
ỏ
a mãn
đố
i v
ớ
i W. V
ậ
y W là m
ộ
t K-
không gian vect
ơ
.
Ví dụ:
a) T
ậ
p
{
}
0
và V rõ ràng là nh
ữ
ng không gian vect
ơ
con c
ủ
a không gian vect
ơ
V. Chúng g
ọ
i là
nh
ữ
ng không gian vect
ơ
con t
ầ
m th
ườ
ng c
ủ
a V
13
b) Coi
ℂ
là
ℝ
- không gian vect
ơ
thì
⊂
ℝ ℂ
là không gian vect
ơ
con c
ủ
a
ℂ
. N
ế
u coi
ℂ
là
ℂ
-
không gian vect
ơ
thì
ℝ
không ph
ả
i là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c
ủ
a
ℂ
( vì
ℝ
không
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i phép nhân v
ớ
i m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c).
c) T
ậ
p
{
}
1
|
n
o n i
W a a x a x a K
= + + + ∈
trong
đ
ó n là s
ố
t
ự
nhiên cho tr
ướ
c, là m
ộ
t không gian
vect
ơ
con c
ủ
a K- không gian vect
ơ
K[x].
d) T
ậ
p các vect
ơ
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i m
ộ
t vect
ơ
khác
0
cho tr
ướ
c trong không gian vect
ơ
ở
ch
ươ
ng
trình hình h
ọ
c trung h
ọ
c làm thành m
ộ
t không gian vect
ơ
con m
ộ
t chi
ề
u.
1.5.2. Giao của một họ không gian vectơ con
Giao c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
( ),
i
W i I
∈
, nh
ữ
ng không gian vect
ơ
con c
ủ
a không gian vect
ơ
V là m
ộ
t không
gian vect
ơ
con c
ủ
a V. Th
ậ
t v
ậ
y, rõ ràng chúng khác r
ỗ
ng (vì ch
ứ
a
0
) và
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i các phép
toán c
ủ
a V. Giao
đ
ó
đượ
c ký hi
ệ
u
i
i I
W
∈
∩
hay
1 2
n
W W W
∩ ∩ ∩
n
ế
u I = {1,2,…,n}.
Đ
ó là không
gian vect
ơ
con l
ớ
n nh
ấ
t (theo quan h
ệ
bao hàm) n
ằ
m trong m
ọ
i ,
i
W i I
∈
.
Định nghĩa:
Cho
X V
⊂
thì giao c
ủ
a m
ọ
i không gian vect
ơ
con c
ủ
a V ch
ứ
a X
đượ
c g
ọ
i là bao
tuy
ế
n tính c
ủ
a X và
đượ
c ký hi
ệ
u là
X
. N
ế
u
{
}
1
, ,
m
X
=
α α
thì ta c
ũ
ng ký hi
ệ
u:
1
, ,
m
X a a
=
Nhận xét:
a)
Rõ ràng
X
là không gian vect
ơ
con bé nh
ấ
t ( theo quan h
ệ
bao hàm ) c
ủ
a V ch
ứ
a X.
b)
Vì
∅
là t
ậ
p con c
ủ
a m
ọ
i t
ậ
p h
ợ
p nên
∅
=
{
}
0
c)
N
ế
u W là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c
ủ
a V thì
W W
=
Định lý:
Gi
ả
s
ử
X là t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a không gian vect
ơ
V. Khi
đ
ó
X
là t
ậ
p các t
ổ
h
ợ
p
tuy
ế
n tính c
ủ
a các h
ệ
(h
ữ
u h
ạ
n) vect
ơ
trong X.
Chứng minh:
G
ọ
i W là t
ậ
p các t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các h
ệ
( h
ữ
u h
ạ
n ) vect
ơ
trong X. Vì m
ỗ
i vect
ơ
c
ủ
a X là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a chính nó nên
X W
⊂
. D
ễ
th
ấ
y
W
≠ ∅
(vì
X
≠ ∅
) và W
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i các phép toán c
ủ
a V. Do
đ
ó W là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c
ủ
a V. Vì
X W
⊂
nên
X W W
⊂ =
. M
ặ
t khác
X
là không gian vect
ơ
ch
ứ
a X nên nó ch
ứ
a m
ọ
i t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a các h
ệ
(h
ữ
u h
ạ
n) vect
ơ
trong X t
ứ
c là
X W
⊃ . V
ậ
y
W X
= .
Ví dụ:
Trong không gian vect
ơ
3
ℝ
cho các vect
ơ
1 2 3 1 2 3
(0,1,0); (1,1,3); (2,3,6); (0,0,1); (1,2,1);
(3,6,1)
= = = = = =
α α α β β β
Hãy xác
đị
nh m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a giao hai không gian vect
ơ
1 1 2 3
, ,
W
=< >
α α α
và
2 1 2 3
, ,
W
=< >
β β β
.
14
D
ễ
th
ấ
y
1 2
( , )
α α
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
1 1 2
, ( , )
W
β β
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
2
W
.
N
ế
u
1 2
W W
∈ ∩
γ
thì
1 2 1 2
x y u v
= + = +
γ α α β β
t
ừ
đ
ó suy ra:
(0,1,0) (1,1,3) (0,0,1) (1,2,1)
( , ,3 ) ( , 2 , )
, , 2
x y u v
y x y y v y u v
x v y v u v
+ = +
⇔ + = +
⇔ = = =
V
ậy
1 2 1 2
2 ,
v v v v v
= + = + ∈
ℝ
γ α α β β
.
Hay
(1, 2,3),
v v
= ∈
ℝ
γ
. Từ đó {(1,2,3)} là một cơ sở của
1 2
W W
∩
.
1.5.3. Tổng của một họ không gian vectơ con
Định nghĩa:
Cho ( ),
i
W i I
∈
là một họ các không gian vectơ con của V thì
i
W
∪
gọi là tổng của
h
ọ đó và được ký hiệu
i
i I
W
∈
∑
.
Nếu I ={1, 2,…, m} thì tổng đó được ký hiệu
1
m
i
i
W
=
∑
hay
1 2
m
W W W
+ + +
D
ễ thấy
1 2
m
W W W
∈ + + +
α
khi và chỉ khi có thể viết được
1 2
, , 1,2, ,
m i i
W i m
= + + + ∈ =
α α α α α
. Nói chung các viết đó không duy nhất.
Ví dụ: Trong không gian vectơ
3
ℝ
cho
1 1 2
2 3 4
(1,0,0), (0,1,0)
(0,0,1), (1,1,0)
W
W
=< = = >
=< = = >
α α
α α
Ta có:
1
W
3
1 2 1 2 3 4 1 2 3
, , , , ,W W
+ = = =
ℝ
α α α α α α α
Vect
ơ
1 2 3
(2 )
= + +
β α α α
(trong đó
1 2 1 3 2
(2 ) , )
W W
+ ∈ ∈
α α α
cũng có thể viết là
1 3 4
( )
= + +
β α α α
(trong đó
1 1 3 4 2
, )
W W
∈ + ∈
α α α
.
Định nghĩa: Nếu mọi
1 1
m
W W
∈ ∈
α
đều được viết một cách duy nhất dưới dạng :
1 2
, , 1,2, ,
m i i
W i m
= + + + ∈ =
α α α α α
thì
1 2
m
W W W
+ + +
được gọi là tổng trực tiếp của m
không gian vect
ơ con
i
W
và được ký hiệu là:
1
1
m
m i
i
W W hay W
=
⊕ ⊕ ⊕
Định lý:
Giả sử
1 2
,
W W
là các không gian vectơ con của V. Khi đó
1 2
W W W
= +
là tổng trực tiếp
1 2
W W
⊕
khi và chỉ khi
{
}
1 2
0
W W∩ =
Chứng minh:
Giả sử
1 2 1 2
W W W W
+ = ⊕
. Nếu
1 2
W W
∈ ∩
α
thì :
15
1 2
1 2
0; , 0
0 ; 0 ,
W W
W W
= + ∈ ∈
= + ∈ ∈
α α α
α α α
Vì cách khai triển
α
là duy nhất nên
0
=
α
. Từ đó suy ra
{
}
1 2
0
W W∩ =
Ng
ược lại nếu
{
}
1 2
0
W W∩ =
và có
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
, , , ,
W W
= + = + ∈ ∈
α α α β β α β α β
thì
1 1 2 2
− = −
α β β α
. Vì vế trái thuộc
1
W
, vế phải thuộc
2
W
nên
1 1 2 2 1 2
W W
− = − ∈ ∩
α β α β
. Suy
ra
1 1 2 2
0
− = − =
α β β α
.
Do
đó
1 2 3 5 6 7 1 2 3 5
, , , , , , , ,
W Z
+ =< >=< >
α α α α α α α α α α
1 1 2 2
;
= =
α β α β
Định lý: Giả sử W và Z là hai không gian vectơ con của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V.
Khi
đó:
dim dim dim( ) dim( )
W Z W Z W Z
+ = + + ∩
Chứng minh:
Gọi
1 2
( , , , )
r
α α α
là một cơ sở của
W Z
∩
( nếu
{
}
0
W Z∩ =
thì coi r = 0). Vì
1 2
( , , , )
r
α α α
độc lập tuyến tính nên có thể bổ sung để
1 1
( , , , , , )
r m
α α β β
là cơ sở của W.
1 1
( , , , , , )
r k
α α γ γ
là c
ơ sở của Z. Ta sẽ chứng minh
1 1 1
( , , , , , , , , )
r m k
α α β β γ γ
là cơ sở của W + Z. Rõ ràng nó sẽ
là m
ột hệ sinh của W + Z. Nếu:
1 1 1 1 1 1
0
r r m m k k
a a b b c c
+ + + + + + + + =
α α β β γ γ
thì
1 1 1 1 1 1
r r m m k k
a a b b c c
+ + + + + = − − −
α α β β γ γ
.
V
ế trái thuộc W, vế phải thuộc Z nên chúng phải thuộc
W Z
∩
. Do đó:
1 1 1 1
k k r r
c c t t
− − − = + +
γ γ α α
từ đó suy ra:
1 1 1 1
0
r r k k
t t c c
+ + + + + =
α α γ γ
. Vì
1 1
( , , , , , )
r k
α α γ γ
độc lập tuyến tính nên:
1
0
k
c c
= = =
T
ừ đó suy ra:
1 1 1 1
0
r r m m
a a b b
+ + + + + =
α α β β
.
Vì
1 1
( , , , , , )
r m
α α β β
độc lập tuyến tính nên:
1 1
0
r m
a a b b
= = = = = =
Vậy hệ
1 1 1
( , , , , , , , , )
r m k
α α β β γ γ
là độc lập tuyến tính và là cơ sở của W + Z.
T
ừ đó suy ra:
dim( ) ( ) ( ) dim dim dim( )
W Z r m k r m r k r W Z W Z
+ = + + = + + + − = + − ∩
.
Hệ quả:
dim( ) dim dim
W Z W Z
⊕ = +
Thật vậy, vì
W Z W Z
+ = ⊕
nên
{
}
0
W Z∩ =
. Áp dụng định lý trên suy ngay ra hệ quả
Định nghĩa: Nếu
V W Z
= ⊕
thì Z gọi là bù tuyến tính của W trong V. Bậy giờ
dim dim dim
Z V W
= −
gọi là số đối chiều của W trong V.
1.5.4. Không gian vectơ thương
16
Giả sử W là một không gian vectơ con của K- không gian vectơ V. Xét quan hệ
ℜ
trong V như
sau:
W
ℜ ⇔ − ∈
α β α β
D
ễ thấy
ℜ
là một quan hệ tương đương. Thật vậy, với mọi
, ,
α β γ
thuộc V ta có:
+ ℜ
α α
vì
0
W
− = ∈
α α
W
+ ℜ ⇒ − ∈
α β α β
và W
− ∈ ⇒ ℜ
β α β α
+ ℜ
α β
và
W
ℜ
⇒
− ∈
β γ α β
và
W
− ∈
β γ
( ) ( )
W
⇒
− + − = − ∈
⇒
ℜ
α β β γ α γ α γ
Ký hi
ệu tập thương theo quan hệ tương đương đó (tức tập các lớp tương đương của quan hệ đó là
V/W. L
ớp tương đương chứa
V
∈
α
được ký hiệu là
α
.
Định lý và định nghĩa: Tập hợp V/W với các phép toán :
[ ]+[ ]=[ + ],
[ ]=[ ],
k k k K
∈
α β α β
α α
là m
ột không gian vectơ, gọi là không gian vectơ thương (của V chia cho W).
Chứng minh:
Trước hết các phép toán được định nghĩa như trên không phụ thuộc vào đại diện. Thật vậy, nếu
[ '] [ ], [ ']=[ ]
=
α α β β
thì
', '
− −
α α β β
thuộc W, nên
( ') ( ') ( ) ( ' ')
− + − = + − +
α α β β α β α β
thuộc W, tức
[ ]=[ ' ']
+ +
α β α β
ngoài ra
( ') '
k k k
− = −
α α α α
cũng thuộc W nên
[ ] [ ']
k k
=
α α
.
D
ễ rằng các phép toán đó trên V/W thỏa mãn 8 tiên đề của K- không gian vectơ, trong đó
[0]
là
vect
ơ không, vectơ đối của
[ ]
α
là
[ ']
α
.
Chú ý: Nếu W = V thì V/W=
{
}
[0]
Định lý: Nếu W là một không gian vectơ con của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V thì
dim / dim dim
V W V W
= −
.
Chứng minh:
Lấy một cơ sở
1 2
( , , , )
m
α α α
của W ( nếu W=
{
}
0
, thì coi m = 0) rồi bổ sung để được cơ sở
1 2 1
( , , , , , , )
m n
α α α β β
của V (nếu W = V thì coi n = 0). Ta sẽ chứng minh
1
([ ], [ ])
n
β β
là một
c
ơ sở của V/W. Thật vậy, với mọi
[ ] /
V W
∈
α
ta có
1 1 1 1
,
m m n n
x x y y
= + + + + +
α α α β β
Nên
1 1
[ ] [ ]+ + [ ]
n n
y y
=
α β β
, tức hệ
1
([ ], [ ])
n
β β
là hệ sinh của V/W. Hệ đó là độc lập tuyến tính
vì n
ếu
1 1
[ ]+ +z [ ] 0
n n
z
=
β β
thì
1 1
+ +z
n n
z
β β
thuộc W, do đó
1 1 1 1
[ ]+ +z [ ]
n n m m
z t t
= + +
β β α α
. Nhưng hệ
1 2 1
( , , , , , , )
m n
α α α β β
độc lập tuyến tính nên
1 2
0
n
z z z
= = = =
. Vậy dimV/W= n = dimV – dimW.
17
Ví dụ: Trong không gian vectơ
4
ℝ
cho các vectơ
1 2 3 4 5
6 7
(1,0, 1,0); (0,1,1, 1); ( 1,1,0,1); (1,2, 1,0);
(0,1,0, 1);
(1, 3,2,3); (2, 1,1, 3)
= − = − = − = − = −
= − = − −
α α α α α
α α
G
ọi
1 2 3 5 1 2 3 4 4 5 6 7
, ; , ; , , , ; , ,
T U W Z
=< > =< > =< > =< >
α α α α α α α α α α α
. Hãy xác định cơ sở
c
ủa T + U + W + Z, W
∩
V,
4
ℝ
/W.
a)
Xét hệ vectơ
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
ta thấy:
1 1 2 2 3 3 5 5
x x x x
+ + +
α α α α
, kéo theo:
1 3
2 3 5
1 2
2 3 5
0 (1)
0 (2)
0 (3)
0 (4)
x x
x x x
x x
x x x
− =
+ + =
− + =
− + − =
C
ộng từng vế (2) và (4) suy ra
3
0
x
=
. Thay kết quả đó vào (1) được
1
0
x
=
. Thay kết quả nhận
được vào (3) rồi vào (2) ta được
2 5
0, 0
x x
= =
. Vậy hệ
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
độc lập tuyến tính . Từ đó
suy ra T + U =
1 2 3 5
, , ,
< >
α α α α
=
4
ℝ
. Hơn nữa, vì
{
}
0
T U∩ =
nên
T U T U
+ = ⊕
.
Và c
ơ sở T + U là
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
.
b) Vì
1 2 3
( , , )
α α α
độc lập tuyến tính và
4 1 2 3
2
= + +
α α α α
nên cơ sở của W có thể chọn là
1 2 3
( , , )
α α α
. Do
5 6 7
( , , )
α α α
độc lập tuyến tính nên nó tạo thành một cơ sở của Z. Ta có :
1 2 3 5 6 7 1 2 3 5
, , , , , , , ,
W Z
+ =< >=< >
α α α α α α α α α α
nên
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
là một cơ sở của W + Z.
c) Từ định lý về số chiều của giao và tổng các không gian vectơ con ta có:
dim dim dim dim( ) 2
W Z W Z W Z
∩ = + − + =
Khai tri
ển
6 7
,
α α
trong cơ sở
5 6 7
( , , )
α α α
của Z theo
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
ta được:
6 1 3 7 2 3
2 4 ; 2
= − − = −
α α α α α α
V
ậy
6 7
,
W Z
∈ ∩
α α
. Chúng lại độc lập tuyến tính nên tạo thành một cơ sở của
W Z
∩
.
d)
Vì
1 2 3
( , , )
α α α
là cơ sở của W và
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
là cơ sở của
4
ℝ
nên có thể chọn cơ sở
c
ủa
4
/
W
ℝ
là lớp tương đương
{
}
4
5 5
[ ] |
R W
= ∈ − ∈
α β β α
.
*) Tài liệu học tập:
[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính
và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số
tuy
ến tính và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:
18
1. Với các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một vô hướng trong K- không gian vectơ
n
K
,
các tập hợp sau có phải là K - không gian vectơ không?
a)
Tập các phần tử có dạng
( , , )
n
x x K
∈
b)
Tập các phần tử có dạng
2
(0, , , )
n
n
x x K
∈
c)
Tập các phần tử
1 2
( , , , )
n
n
x x x K
∈
sao cho:
1 2
0
n
x x x
+ + + =
d)
Tập các phần tử
1 2
( , , , )
n
n
x x x K
∈
sao cho:
1 2
1
n
x x x
+ + + =
.
2.
a) Tập hợp các số thực
ℝ
với phép cộng số thực và phép nhân một số thực với một số hữu tỷ
có ph
ải là một
ℚ
- không gian vectơ không?
b) C
ũng câu hỏi đó khi thay
ℝ
bằng tập các số phức
ℂ
.
3. Lấy số phức
z
∈
ℂ
. Gọi
{
}
( ) | ,
z a bz a b
= + ∈
ℚ ℚ
. Với phép cộng là cộng hai số phức thuộc
( )
z
ℚ
và phép nhân là phép nhân số phức thuộc
( )
z
ℚ
với một số hữu tỷ,
( )
z
ℚ
có phải là một
ℚ
- không gian vectơ không?
4. Xét các hàm số thực xác định trên đoạn
[ , ]a b
⊂
ℝ
, với phép cộng hai hàm số và phép nhân
hai hàm số thực. Tập các hàm số sau có phải là
ℝ
- không gian vectơ không?
a) T
ập các hàm số liên tục trên [a,b]
b) T
ập các hàm số khả vi trênn [a,b] (tức là các hàm số có đạo hàm trên [a,b])
c) T
ập các hàm số bị chặn trên [a,b].
d) T
ập các hàm số
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
sao cho
[ , ]
sup | ( ) | 1
a b
f x
≤
.
e) Tập các hàm số không âm trên [a,b]
g) T
ập các hàm số trên [a,b] sao cho f(a)=0\
h) T
ập các hàm số trên [a,b] sao cho f(a)=1
i) T
ập các hàm số đơn điệu tăng trên [a,b]
k) T
ập các hàm số đơn điệu giảm trên [a,b]
5.
, 1, ,
i
V i n
=
là những K- không gian vectơ. Xét tính Đềcac
1
n
V x xV
với hai phép toán :
1 1 1 1
1 1
( , , ) ( ', , ') ( ', , '),
( , , ) ( , ),
n n n n
n n
v v v v K
+ = + +
= ∈
α α α α α α α α
λ λ λ λ
Chứng minh rằng
1
n
V V
× ×
là K- không gian vectơ
6. Chứng minh rằng có thể chứng minh được tiên đề 4 từ các tiên đề khác của định nghĩa không
gian vect
ơ .
19
7. Chứng minh rằng không thể chứng minh được tiên đề 8 từ các tiên đề khác trong định nghĩa
không gian vectơ.
8. Cho hệ vectơ (
1 2
( , , )
n
α α α
trong K- không gian vectơ V. Xét xem hệ này độc lập tuyến tính
hay ph
ụ thuộc tuyến tính trong các trường hợp sau:
a)
Có một vectơ của hệ bằng
0
.
b)
Có hai vectơ của hệ bằng nhau.
c)
1 1 2 1 2 1
, , ,
n n
= = + = + +
α β α β β α β β
mà hệ
1
( , , )
n
β β
độc lập tuyến tính .
d)
1
1 1
1 1
, , ,
n
n n
n n
x
−
− +
= = = +
α β α β α β β
với
x K
∈
và hệ
1)
1
( , ,
n
+
β β
độc lập tuyến tính.
9. Xét tập các đa thức một biến x hệ số thực, bậc
≤
n:
{
}
2
0 1 2
( ) , , 0,1, ,
n
n i
f x a a x a x a x a i n
= + + + + ∈ =
ℝ
a)
Chứng minh tập đó là một
ℝ
- không gian vectơ.
b)
Chứng minh rằng
2 2
(1, , , , ), (1, ,( ) , ,( ) ),
n n
x x x x a x a x a a
− − − ∈
ℝ
là những cơ sở
của nó.
c) Tìm tọa độ của đa thức
0 1
n
n
a a x a x
+ + + theo các cơ sở trên.
10. Trong
ℝ
- không gian vectơ các đa thức một biến x với hệ số thực, chứng minh rằng hệ vectơ
2
(1, , , , , )
n
x x x
là
độc lập tuyến tính và là hệ sinh của không gian đó.
11. Trong
ℝ
- không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên
ℝ
, hệ hàm số sau phụ thuộc tuyến
tính hay
độc lập tuyến tính?
a)
2
1 2 3
( ) 3 , ( ) 5, ( ) 2
f t t f t t f t t
= = + =
b)
1 2 3
( ) 1, ( ) , ( )
t t
f t f t e f t e
−
= = =
c)
2 2
1 2 3
( ) , ( ) , ( )
t
f t t f t t f t c
= = =
d)
1 2 3
( ) sin , ( ) cos , ( )
f t t f t t f t t
= = =
.
12. Hệ vectơ
1 2 1 2
V W W Z Z
= ⊕ = ⊕
1 2 3
(1,0,1), ( ,1,0), ( ,2,1 )
i i i
= = = +
α α α
có độc lập tuyến
tính trong
3
C
không? Biểu thị
(1, 2,3), ( , , )
i i i
= =
α β
qua hệ
1 2 3
α α α
.
13. Giả sử
1
( , , )
n
ε ε
là một cơ sở của K- không gian vectơ V và
1
n
i i
i
x
=
=
∑
α ε
. Chứng minh rằng
n
ếu có chỉ số k để
0
k
x
≠
thì hệ vectơ
1 1
1
( , , , , , , )
k k
n
− +
ε ε α ε ε
cũng là một cơ sở của V.
14. Giả sử
1
( , , )
n
ε ε
là một cơ sở của K- không gian vectơ và
1
( , , )
p
α α
là một hệ độc lập
tuy
ến tính. Chứng minh rằng có thể thay thế p vectơ trong cơ sở trên bằng các vectơ
1
, ,
p
α α
để
được một hệ mới cũng là một cơ sở của V.
20
15. Không gian vectơ
ℝ
trên trường
ℚ
có phải là một không gian vectơ hữu hạn sinh không?
16. Trong các trường hợp sau, chứng minh rằng
1 2 3
( , , )
ε ε ε
là một cơ sở của
3
ℝ
và tìm tạo độ
c
ủa
α
trong cơ sở đó biết rằng:
a)
1 2 3
(2,1,1), (6,2,0), (7,0,7), (15,3,1)
= = = =
ε ε ε α
.
b)
1 2 3
(0,1,1), (2,3,0), (1,0,1), (2,3,0)
= = = =
ε ε ε α
.
17. Chứng minh:
a) N
ếu hai hệ vectơ
1 2
( , , , )
n
α α α
và
1 2
( , , , )
m
β β β
của K- không gian vectơ V mà mỗi
vect
ơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua hệ kia thì hai vectơ đó có cùng hạng
b) H
ạng của hệ vectơ
1 2
( , , , )
n
α α α
(n
≥
2) trong V không đổi khi:
α
) Nhân một vectơ của hệ với
\{0}
K
∈
λ
tùy ý.
β
) Cộng vào một vectơ của hệ vectơ khác của hệ nhân với một phần tử tùy ý của K.
T
ừ đó suy ra: Hạng của hệ vectơ không đổi khi ta cộng vào một vectơ của hệ một tổ hợp tuyến
tính c
ủa các vectơ vào hệ.
c) Xét m
ột hệ vectơ cột (coi là phần tử của
n
K
) của ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
=
Thì bằng hai phép biến đổi nói ở b) và bằng cách đổi chỗ các dòng (nếu cần), có thể đưa ma trận
A về ma trận có dạng:
1
0
1
0
X
X
⋱
⋱
(Ký hiệu X nói rằng đó là những phần tử nào đó của K).
Ch
ứng minh rằng hạng của hệ vectơ cột của A bằng hạng của hệ vectơ cột của A’. Hãy tính hạng
đó.
18. V là một K- không gian vectơ n chiều, W là một tập có m phần tử. Hãy tính số chiều của
không gian vect
ơ các ánh xạ từ W đến V.
19. Trong
ℝ
- không gian vectơ
4
ℝ
, tính hạng của các hệ vectơ sau:
21
a)
1 2 3
3 3
(0,0,0,0), (1,0, 1,3), ( ,0, , 3)
3 3
= = − = −
α α α
b)
1 2 3
2 2
(0, 3,12,3), (3 2, ,2 2, ), (6, 1, 4,1)
2 2
= − = − = −
α α α
.
c)
1 2 3 4
(1, 2,1,3), (0, 1,1,3), (0,0,2,6), (8,7,3,9)
= = − = =
α α α α
20. Chứng minh rằng hệ vectơ
1 2 3
(1, 1,0), (0,1, 1), (1,0,1)
= − = − =
α α α
là một cơ sở của
3
ℝ
.
Vi
ết công thức đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của
3
ℝ
sang cơ sở đó. Tìm tọa độ của vectơ
(3, 3,2)
−
trong cơ sở đó.
21. Trong R- không gian vectơ
3
ℝ
hỏi các bộ phận sau có phải là không gian vectơ con không?
a)
{
}
1 2 3
( , , ) | , 1,2,3
i
A x x x x Q i
= ∈ =
b)
{
}
1 2 3 1 2 3
( , , ) | 0
B x x x x x x
= + + =
c)
{
}
1 2 3 1 2 3
( , , ) | 1
C x x x x x x
= + + =
d)
{
}
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) | 2 0, 4 0
D x x x x x x x x x
= − + = + − =
e)
{
}
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3
( , , ) | , , , ,
E x x x a x a x a x b a a a b R
= + + = ∈
Hãy tìm s
ố chiều của những không gian vectơ con trong bài.
22. Chứng minh rằng số chiều của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ
1 2
( , , , )
n
α α α
bằng
h
ạng của hệ vectơ đó.
23. Trong
ℚ
- không gian vectơ
3
ℚ
, chứng minh rằng bao tuyến tính của
{
}
(1, 2,4), (1,1,3)
và
bao tuy
ến tính của
{
}
(0,1,1), ( 1,1, 1)
− −
bằng nhau.
24. Trong
ℝ
- không gian vectơ
3
ℝ
chứng minh rằng các bộ phận sau :
{
}
{ }
1 2 3 1
1 2 3 2
( , , ) | 0
( , , ) | 0
A x x x x
B x x x x
= =
= =
là nh
ững không gian vectơ con. Hãy xác định
3
, ,
A B A B A
∩ +
ℝ
và tìm số chiều của chúng.
25. Trong
3
ℚ
- không gian vectơ
ℝ
, hãy chứng minh rằng bộ phận
{
}
2 3 6 | , , ,
A a b c d a b c d Q
= + + + ∈
là một không gian vectơ con, hãy tìm dim A. Xét bao
tuyến tính của các tập con
{
}
1, 2, 3
X = và
{
}
1, 6
Y = , hãy xác định
,
X Y X Y
< > ∩ < > < > + < >
và hãy tìm số chiều của chúng.
26. Trong không gian vectơ
4
ℝ
xét các không gian vectơ con của W sinh bởi (1,0,0,2), (0,2,1,-
1), (-1,6,3,7) và Z sinh b
ởi (3,2,0,1), (1,2,1,1). Tìm số chiều của W, Z, W + Z,
4
, /
W Z R W
∩ .
22
27. Chứng minh rằng mọi không gian con W của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V đều có bù
tuy
ến tính Z, tức có không gian vectơ con Z của V để
V W Z
= ⊕
. Hỏi Z có duy nhất không?
28. Giả sử
1
, ,
m
W W
là những không gian vectơ con hữu hạn n chiều của K- không gian vectơ V.
Ch
ứng minh rằng các điều kiện sau tương đương:
a)
1
m
i
i
W W
+
= ⊕
b)
1
m
i
i
W W
=
=
∑
và
{ }
1
0 , 1, ,
m
i j
j
j i
W W i m
=
≠
∩ = =
∑
.
c)
1
m
i
i
W W
=
=
∑
và
1
dim dim
m
i
i
W W
=
=
∑
.
29.
a) Tìm số chiều của không gian vectơ Mat(m, n), Mat(n) trên trường
ℝ
.
b) G
ọi S(n) là tập hợp các ma trận đối xứng cấp n (tức các ma trận
ij
( ) Mat( )
A a n
= ∈
mà
ij
ji
a a
=
). Chứng minh rằng S(n) là không gian vectơ con của Mat(n). Tìm số chiều của nó.
c) C
ũng câu hỏi trên đối với tập các ma trận phản đối xứng A(n) (tức các ma trận
ij
( ) Mat( )
A a n
= ∈
mà
ij
ji
a a
= −
).
d) Ph
ải chăng Mat(n)= S(n)
⊕
A(n)?
30. Giả sử
1 2
,
W W
là hao không gian vectơ con của không gian vectơ hữu hạn chiều V. Chứng
minh r
ằng nếu:
1 2 1 2
dim( ) dim( ) 1
W W W W
+ − ∩ =
. Thì tổng
1 2
W W
+
trùng với một trong các
không gian con
đã cho còn
1 2
W W
∩
trùng với không gian con còn lại.
31. Không gian vectơ con W của không gian vectơ V gọi là có đối chiếu m (ký hiệu
codim
W m
=
) nếu dimV/W = m. Giả sử
1
W
và
1
Z
là những không gian vectơ con có đối chiều
h
ữu hạn của V sao cho
1 2 1 2
V W W Z Z
= ⊕ = ⊕
.
a) Chứng minh rằng
2 2
dim codim
W W
=
;
2 1
dim codim
Z Z
=
.
b) Ch
ứng minh rằng
1 1
W Z
∩
có đối chiều hữu hạn và
1 1 2 2
codim( ) dim dim
W Z W Z
∩ ≤ +
32. Giả sử W và X là hai không gian vectơ con của không gian vectơ hữu hạn chiều V. Chứng
minh rằng:
a) N
ếu dim W + dim Z > dim V thì
W Z
∩
chứa vectơ khác
0
.
b) N
ếu dim (W + Z) = dim
( ) 1
W Z
∩ +
thì một trong hai không gian vectơ con trên nằm
trong không gian vect
ơ con còn lại.
23
CHƯƠNG 2.
Ánh xạ tuyến tính và ma trận
Số tiết: 18 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 6 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được khái niệm về không gian véctơ và các khái niệm liên quan: Hệ
véctơ độc lập tuyến tính, hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại, hạng
của hệ véctơ, hệ véctơ cơ sở, số chiều của không gian véctơ, không gian véctơ thương, giao và
t
ổng của các không gian véctơ.
- Sinh viên hi
ểu được các tính chất, định lý của không gian véctơ.
- Sinh viên v
ận dụng giải các bài tập liên quan.
2.1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận
2.1.1. Định nghĩa:
Giả sử V, W là những K - không gian vectơ. Ánh xạ f:
V W
→
bảo tồn các
phép toán của K- không gian vectơ, tức là:
( ) ( ) ( )
f f f+ = +
α β α β
,
( ) ( )
f k kf=
α α
,
, ,
V k K
∀ ∈ ∈
α β
được gọi là ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu tuyến tính, hay vắn tắt, đồng cấu.
D
ễ thấy:
1)
:
f V W
→
là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ), , , ,
f p q pf qf V p q K
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈
α β α β α β
2) :
f V W
→
là ánh xạ tuyến tính thì:
1 1
) ( ) ( )
k k
i i i i
i i
a f x x f
= =
=
∑ ∑
α α
đặc biệt,
) (0) 0
b f
=
) ( ) ( )
c f f− = −
α α
2.1.2. Ví dụ:
1) Ánh xạ không 0:
, 0,
V W V
→ ∀ ∈
֏
α α
là một ánh xạ tuyến tính
2)
Ánh xạ
id : , ,
v
V V V
→ → ∀ ∈
α α α
hay tổng quát hơn với mọi k
∈
K ánh xạ
kId : , ,
v
V V k V
→ → ∀ ∈
α α α
là những ánh xạ tuyến tính .
3)
Gọi
[
]
V x
=
ℝ
là
ℝ
- không gian vectơ các đa thức một biến với hệ số thực. Ánh xạ đạo hàm:
R[x]
→
R[x]
1
1 2 1
2
n n
n o n
a x a x a na x a x a
−
+ + + → + + +
là một ánh xạ tuyến tính.
24
4) Coi
ℂ
là
ℝ
- không gian vectơ. Ánh xạ
,
z z
→ →
ℂ ℂ
là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy,
1 2 1 2
, , ,
z z C p p R
∈ ∈
thì
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
p z p z p z p z p z p z
+ = + = +
5)
Giả sử
1 2
,
W W
là các K- không gian vectơ, ánh xạ
1 2 1 2
: x , ( , ) , 1, 2
i i i
p W W W i
→ → =
α α α
là nh
ững ánh xạ tuyến tính. Thật vậy
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
( ( , ) ( , )) (( , ))
(( , )) (( , )), 1,2
i i i i
i i
p a b p a b a b a b
ap bp i
+ = + + = +
= + =
α α β β α β α β α β
α α β β
6) Cho tổng trực tiếp
1 2
W W
⊕
của hao không gian vectơ con
1 2
,
W W
của K- không gian vectơ V,
khi
đó ánh xạ
1 2
:
i i
p W W W
⊕ →
1 2
, 1,2
i
i
+ → =
α α α
là những ánh xạ tuyến tính.
2.1.3. Định nghĩa: Giả sử V, W là những K- không gian vectơ và f, g: V
→
W là những ánh xạ
tuy
ến tính. Khi đó tổng của hai ánh xạ f và g ký hiệu là f + g và tích của ánh xạ f với k
∈
K, ký
hiệu là kf, được xác định như sau:
: , ( ) ( ) ( ) ( )
: , ( )( ) ( )
f g V W f g f g
kf V W kf kf V
+ → + = +
→ = ∀ ∈
α α α
α α α
Nhận xét:
a) f + g và kf là những ánh xạ tuyến tính.
b)
Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến W với hai phép toán xác định như trên làm thành một
K - không gian vect
ơ và được ký hiệu là Hom(V, W) (trong đó vectơ không là ánh xạ 0).
2.1.4. Định lý: Giả sử V là một K- không gian vectơ n chiều. Khi đó ánh xạ tuyến tính từ V đến
K- không gian vectơ W hoàn toàn được xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh:
Gọi
1
( , , )
n
ε ε
là một cơ sở của V và
1
( , , )
n
β β
là một hệ n vectơ tùy ý của W. Ta sẽ chứng
minh r
ằng có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f:
V W
→
sao cho
( ) , 1,2, ,
i i
f i n
= =
ε β
.
a)
Sự tồn tại: Với mọi
1 1
n n
x x V
= + + ∈
α ε ε
ta đặt
1 1
( )
n n
f x x
= + +
α β β
. Dễ thấy
:
f V W
→
là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, giả sử
1 1
' ' '
n n
x x
= + +
α ε ε
thì:
1 1 1 1
1 1
( ') ( ' ) ( ( ') ) ( ')
' ( ) ( ') ,
n n n n
i i i i i i i i i i
i i i i
n n
i i i i
i i
f k l f k x l x f kx lx kx lx
k x l x kf lf k l K
= = = =
= =
+ = + = + = +
= + = + ∀ ∈
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
α α ε ε ε β
β β α α
Rõ ràng
( ) ;( 1, 2, , )
i i
f i n
= =
ε β
b) Sự duy nhất: Nếu có hai ánh xạ tuyến tính f, g:
V W
→
sao cho
25
( ) ( ) , 1,2, ,
i i i
f g i n
= = =
ε ε β
Khi
đó, với mọi
1
n
i i
i
x V
=
= ∈
∑
α ε
ta có
1 1
( ) ( ) ,
n n
i i i i
i i
f x f x
= =
= =
∑ ∑
α ε β
1 1
( ) ( ) ,
n n
i i i i
i i
g x g x
= =
= =
∑ ∑
α ε β
T
ừ đó suy ra
( ) ( )
f g=
α α
. Do đó f = g.
2.1.5. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Giả sử V, W là những K- không gian vectơ hữu hạn chiều,
1
( , , )
n
=
ε ε ε
là một cơ sở của V,
1
( , , )
m
=
µ µ µ
là một cơ sở của W. Khi đí theo định lý trên mỗi ánh xạ tuyến tính f:
V W
→
hoàn toàn
được xác định bởi các tọa độ
ij
( )( 1, , )
a j m
=
của các vectơ
( ) , 1, ,
i i
f i n
= =
ε β
trong c
ơ sở
µ
:
ij
1
( ) ; 1, ,
m
i j
j
f a i n
=
= =
∑
ε µ
V
ới mỗi
1
n
i i
i
x
=
=
∑
α ε
thuộc V, đặt
1
( )
m
i i
j
f y
=
=
∑
α µ
. Khi đó ta có:
ij ij
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n m m n m
i i i i i j j j j j
i i i j j j j
f f x x f x a a x y
= = = = = = =
= = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
α ε ε µ µ µ
T
ừ đó suy ra:
ij
1
; 1,
n
j i
i
y a x j m
=
= =
∑
1 11 1 12 2 1
2 21 1 12 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m mn n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
= + + +
= + + +
= + + +
Nh
ư vậy khi cho các cơ sở
ε
và
µ
của V và W tương ứng thì mỗi ánh xạ tuyến tính f:
V W
→
hoàn toàn được xác định bởi ma trận:
11 12 1
21 22 2
ij
1 2
( )
n
n
m mn
a a a
a a a
A a
a a a
= =
Ma tr
ận đó được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong (hay đối với) các cơ sở nói trên.
Nói cách khác cho các c
ơ sở
ε
của V và
µ
của W thì có một song ánh giữa tập Mat(m x n, K)
các ma tr
ận cỡ (m, n) trong K và tập Hom(V, W) các ánh xạ tuyến tính từ V đến W.
D
ễ thấy
ij ij
( ), ( )
A a B b
= = là ma trận các ánh xạ tuyến tính và g:
V W
→
tương ứng trong các cơ
sở
ε
và
µ
thì
ij ij
( )
A B a b
+ = + là ma trận của f + g;
ij
( )
kA ka
= là ma trận của kf trong các cơ sở
đó.
