một số bài tập hình học 10 hay và khó

Thy Trnh Quang Hũa-THPT Hip Hũa 3- Hip Hũa - Bc Giang
MT S BI TP HèNH HC 10 HAY V KHể

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:
4
AD BD AC BC MN



Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: ADACABAM3
Bài 3. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho:
0MC3MB
,
NC3AN
,
0PBPA

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a. CMR: véctơ MC2MB5MA3v không đổi.
b. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
MCMBMC2MB2MA3

Bài 5. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao
cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c.
22
OB
1
OA
1

nhỏ nhất
Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm
tuỳ ý trên cạnh BC. Tính:
a. MD.MCMB.MA b.
NB
.
NA
c. BA.NO
Bài 7. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E.
Chứng minh rằng:
2
ABBD.BEAC.AE

Bài 8. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chứng minh rằng:
. . . 0
MA BC MB CA MC AB



Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a. BDCI b. ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
Bài 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.




0MCMA.MBMA
b.
22

aMC.MBMB2 với BC=a. c. AB.ACAB.AM
Bài 11. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 2), B(2; 6), C(9; 8).
a) Tớnh
AB AC
.

. Chng minh tam giỏc ABC vuụng ti A.
b) Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
c) Tỡm to trc tõm H v trng tõm G ca tam giỏc ABC.
d) Tớnh chu vi, din tớch tam giỏc ABC.
e) Tỡm to im M trờn Oy B, M, A thng hng.
f) Tỡm to im N trờn Ox tam giỏc ANC cõn ti N.
g) Tỡm to im D ABDC l hỡnh ch nht.
h) Tỡm to im K trờn Ox AOKB l hỡnh thang ỏy AO.
i) Tỡm to im T tho
TA TB TC
2 3 0




k) Tỡm to im E i xng vi A qua B.
l) Tỡm to im I sao cho IA +IB nh nht
Bài 12. Hóy tỡm trong tam giỏc ABC mt im M sao cho tớch cỏc khong cỏch t M n ba cnh cú giỏ tr ln
nht.
Bài 13.Cho tam giỏc nhn ABC ni tip (O) v ba s
, ,

sao cho
0

. Tỡm im M thuc (O)
biu thc
| |
T MA MB MC



t GTLN, GTNN ?
Bài 14. Cho tam giỏc ABC khụng u ni tip ng trũn (O). Tỡm trờn ng trũn im M cú tng bỡnh
phng khong cỏch t ú n ba nh tam giỏc l nhũ nht, ln nht.
Bài 15. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Gi l gúc

gia hai trung tuyn BD v CK. Tỡm giỏ tr nh nht
ca cos


Bi 16: Cho hỡnh vuụng ABCD cnh l a. Trờn hai cnh AB v AD ln lt ly hai im di dng E v F sao
cho AE+EF+FA=2a.
a) Chng t rng ng thng EF luụn luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh.
b) Tỡm v trớ ca E,F sao cho din tớch tam giỏc CEF ln nht. Tỡm giỏ tr ln nht ú.
Bi 17. Cho tam giỏc ABC thay i cú AB=6 v CA=2CB. Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc ABC.
Thy Trnh Quang Hũa-THPT Hip Hũa 3- Hip Hũa - Bc Giang
Bi 18. Cho ng thng d v
ABC

. Vi mi im D thuc d dng im M sao cho
DM DA DB DC

.
Tỡm di nh nht ca
DM

.
Bi 19. Cho 3 im A, B, C v ng thng d. Tỡm im M thuc d biu thc sau t giỏ tr nh nht:
T =
. 2. .
MA MB MB MC



Bi 20. Cho
ABC

cú

0
60
A
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
3
T MA MB MC

.
Bi 21. Cho
ABC

trng tõm G ni tip ng trũn

;
O R
. G i M l mt im thuc ng trũn ng kớnh
OG. Gi s AM, BM, CM ct


O
theo th t ti cỏc im
', ', '
A B C
.CMR:
3
' ' '
MA MB MC
MA MB MC


Bi 22. Cho tam giỏc ABC ni tip trong ng trũn tõm O. Gi M, N, P ln lt l im i xng ca O qua
cỏc ng thng BC, CA, AB; H l trc tõm ca tam giỏc ABC v L l trng tõm tam giỏc MNP. Chng minh
rng
OA OB OC OH


v ba im O, H, L thng hng.
Bi23.Cho t giỏc li ABCD. Gi s tn ti mt im M nm bờn trong t giỏc sao cho

MAB MBC MCD MDA


. Chng minh ng thc sau:
2 2 2 2
cot
2 . .sin
AB BC CD DA
AC BD



,
trong ú

l s o gúc gia hai ng thng AC v BD.
Bi 24. Trong mt phng vi h trc ta vuụng gúc Oxy, cho tam giỏc ABC ngoi tip ng trũn tõm I .
Cỏc ng thng AI, BI, CI ln lt ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti cỏc im

7 5 13 5
1; 5 , ; , ;
2 2 2 2
M N P




(M, N, P khụng trựng vi cỏc nh ca tam giỏc ABC). Tỡm ta cỏc nh
A, B, C bit rng ng thng AB i qua im

1; 1
Q
v im A cú honh dng.
Bi 25. Cho tam giác ABC có đờng cao CH, H thuộc AB. Các điểm I, K lần lợt là trung điểm của AB, CH.
Đờng thẳng d di động song song với AB cắt AC, BC lần lợt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MNPQ với P, Q
thuộc AB. J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
Bi 26. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD, bit im
(7;2)
E
thuc on BD, ng
thng AB cú phng trỡnh
1 0
x y

v ng thng AD cú phng trỡnh
7 17 0
x y

. Tỡm ta
cỏc nh A, B, C, D.
Bi 27. Cho tam giỏc ABC. M l mt im bt k nm trong tam giỏc; ký hiu
, ,
a b c
S S S
ln lt l din tớch
cỏc tam giỏc MBC, MCA, MAB. Chng minh rng:
. . . 0
a b c

S MA S MB S MC


.
Bi 28. Tam giỏc ABC cú 3 cnh a; b; c tha món: c
4
2(a
2
+ b
2
)c
2
+ a
4
+ b
4
+ a
2
b
2
=0.Tớnh gúc C ca
ABC


Bi 29. Cho hỡnh vuụng ABCD; E, F l cỏc im xỏc nh bi
BCBE
3
1

,

CDCF
2
1

, ng thng AE
ct BF ti I. Chng minh rng gúc AIC bng 90
o

Bi 30:
a)Tam giỏc ABC cú di cỏc cnh l a, b, c v cú din tớch bng 1. Chng minh rng:
2 2 2
2012 2010 1005 4 2010
a b c
.
b) Cho tam giỏc ABC cú AB = c, AC = b v

0
60 .
BAC

Cỏc im M, N c xỏc nh bi
2
MC MB



v
2
NB NA

. Tỡm h thc liờn h gia b v c AM v CN vuụng gúc vi nhau.
c) Cho tam giỏc ABC. Trờn cỏc cnh BC, CA v AB ca tam giỏc ú, ln lt ly cỏc im
',
A

'
B
v
'.
C
Gi
,
a
S

,
b
S

c
S
v S tng ng l din tớch ca cỏc tam giỏc
' ',
AB C

' ',
BC A

' '

CA B
v ABC. Chng minh bt
ng thc
3
.
2
a b c
S S S S
Du ng thc xy ra khi v ch khi no?
Chỳc cỏc em thnh cụng