góp phần rèn luyện cho học sinh thpt khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học đại số và giải tích

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, cho nên một trong những yêu cầu
của dạy Toán là phải khơi dậy được khả năng suy nghĩ và khám phá đối với
người học. Trước khi học một kiến thức nào đó thì học sinh cũng đã có một
vốn kiến thức nhất định rồi, làm sao có thể vận dụng tốt những cái đã biết
nhằm giải quyết những cái mới - đó chính là một trong những nhiệm vụ của
việc học.
Môn Toán có độ liên kết lôgíc giữa các chủ đề kiến thức, muốn học Toán
có chất lượng thì người học phải biết liên hệ, phải biết tích luỹ những kiến
thức để rồi khi cần thì đem ra mà sử dụng.
Liên tưởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng, cần
phải rèn luyện cho học sinh. Nếu có năng lực liên tưởng tốt thì nhiều khi đứng
trước một bài toán rất khó, nhưng ta vẫn nghĩ tới được một kiến thức nào đó
liên quan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải. Ngược lại, nếu ta
liên tưởng kém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trong mối liên
hệ với các kiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục bộ và
rời rạc. Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệ khá
mật thiết với nhau.
Chưa có công trình nào nghiên cứu sâu việc rèn luyện cho học sinh khả
năng liên tưởng và huy động kiến thức, vì lý do đó chúng tôi chọn đề tài
“Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tưởng và huy động
kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích”.
2. Mục đích nghiên cứu
1
Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn về
liên tưởng và huy động kiến thức, từ đó tìm ra những giải pháp để rèn luyện
cho học sinh THPT những năng lực này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp những vấn sau đây:
- Liên tưởng và huy động kiến thức là gì?

- Vì sao lại cần phải bồi dưỡng cho học sinh khả năng liên tưởng và huy
động kiến thức?
- Vai trò của liên tưởng và huy động kiến thức là như thế nào?
- Tình hình thực tế của học sinh THPT trong việc liên tưởng và huy động
kiến thức là ra sao?
- Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh khả năng liên tưởng và huy
động kiến thức?
4. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số và Giải tích ở THPT nói
riêng, nếu chú trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên tưởng và huy
động kiến thức thì sẽ hình thành được ở học sinh một hệ thống những kiến
thức vững vàng, làm sáng tỏ được mối liên hệ mật thiết và độ liên kết lôgíc
giữa các chủ đề kiến thức, góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách
bền vững và sâu sắc hơn.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, luận văn
gồm 3 chương:
2
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên
tưởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Liên tưởng
1.1.1. Khái niệm liên tưởng

Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tưởng có nghĩa là: “Nhân sự vật, hiện
tượng nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khác có liên quan”.
1.1.2. Vai trò của liên tưởng dưới góc độ tâm lý học
Trong tâm lý học, trường phái tiếp cận liên tưởng vấn đề tư
duy(Đ.Ghatli, D.S.Milơ, H.Spenxơ, …) cho rằng: tư duy là quá trình thay đổi
tự do tập hợp các hình ảnh, là sự liên tưởng các biểu tượng.
Theo các nhà liên tưởng, có 4 loại liên tưởng:
Liên tưởng giống nhau, liên tưởng tương phản, liên tưởng gần nhau về
không gian và thời gian, liên tưởng nhân quả.
Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí
tuệ. Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tưởng. Sự khác biệt
về trình độ trí tuệ được quy về sự khác nhau, về số lượng các mối liên tưởng,
về tốc độ hoá các liên tưởng đó.
Tác giả Bùi Văn Huệ chia liên tưởng thành 4 loại: liên tưởng gần nhau về
không gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung,
liên tưởng trái ngược nhau, liên tưởng nhân quả.
3
Theo tác giả, liên tưởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại.
Nhà tâm lý học P.A.Sêvarev đã nghiên cứu tỉ mỉ những mối liên tưởng khái
quát độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học. Ông chỉ ra rằng: những mối
liên tưởng khái quát bao gồm 3 kiểu cơ bản, những liên tưởngđược biến đổi 1
nửa, những liên tưởng trừu tượng - biến thiên, những liên tưởng cụ thể - biến
thiên.
L.B.Itenxơn cho rằng: Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có hiệu quả,
biết thực hiên được những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp với
bài toán cần giải. Vì vậy, để việc dạy tư duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi
phải tìm hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối
tượng, mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán
nào".
K.K.Plantônôv xem tư duy như là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế

tiếp nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là: xuất hiện liên tưởng, sàng lọc
liên tưởng và hình thành giả thuyết.
Theo tác giả Vũ Dương Thuỵ: “Trong dạy học, cần chú ý rèn cho học
sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau,
nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với
việc hình thành các liên tưởng thuận”.
Như vậy có thể thấy rằng: Vai trò của liên tưởng trong quá trình tư duy là
rất quan trọng, liên tưởng cũng đóng vai trò quan trọng trong hoạt động tư
duy giải toán nói chung và giải toán Đại số và Giải tích nói riêng.
1.1.3. Liên tưởng trong Toán học
Về mức độ khó, dễ của bài toán, G.Pôlya cho rằng: “Không dễ dàng xét
đoán mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trị
giáo dục của nó”.
4
Theo G.Pôlya, thầy giáo nên nắm được cách phân loại mức độ khó, dễ
của các bài toán, vì đó là một điều có ích cho việc giảng dạy. Ông đã ghi nhận
công lao của F.Denk về sự phân loại này. trên cơ sở sự phân loại của F.Denk,
G.Pôlya có điều chỉnh chút ít và phân loại như sau:
Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải được bằng cách vận dụng trực tiếp
quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu. Hơn nữa, quy
tắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trước mắt HS (vừa mới học song), thầy giáo
thường cho các bài toán như thế vào cuối giờ học.
Loại thứ hai khó hơn, nó được giải tuy cũng vận dụng trực tiếp quy tắc
đã được học trong lớp hoặc tuân thủ máy móc ví dụ mẫu đã được biết, tuy
nhiên HS chưa rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc ví dụ mẫu nào, HS
cần phải có sự chọn lọc sơ bộ trong phạm vi nào đó.
Loại thứ ba còn khó hơn nữa. Để giải được chúng, HS cần phải kết hợp
một số quy tắc hoặc ví dụ đã học. Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổ hợp
nào đó tương tự với nó (nhưng không phải chính nó) đã được thoả luận ở lớp.
Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần của giáo

trình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thường là rất khó.
Có người đã ví, quá trình giải một bài toán giống như quá trình xây một
ngôi nhà. Đầu tiên, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đó phải kết cấu
những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đã được
hình dung trước.
Thực ra, thường trước khi xây nhà ta đã hình dung được cần đến những
vật liệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng bổ
sung cho đủ.
Trước khi giải bài toán, thường là chưa khẳng định được chắc chắn mình
sẽ dùng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, công thức, )
nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc bài toán khá dễ. Sau khi giải
5
xong bài toán, người giải tự hỏi mình: thế mà ngay từ đầu tại sao mình lại
không nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trước đó họ phải mò mẫm, suy
nghĩ rất lâu mới biết cách sử dụng định lý này).
Ví dụ 1: Xét bài toán, Chứng minh rằng: với
ABC∀∆
ta luôn có

2 2 2
9
4
sin sin sinA B C
+ + ≤
Nếu bài toán yêu cầu học sinh giải khi chưa học về các công thức lượng
giác (công thức hạ bậc) nhưng đã học về định lý hàm số sin thì việc đưa ra bài
toán này vẫn hợp lý. Giáo viên dẫn dắt để học sinh liên tưởng đến việc áp
dụng định lý hàm số sin cho vế trái của bất đẳng thức, có thể nêu câu hỏi:
sinA, sinB, sinC gợi cho em liên tưởng đến một cái gì đó rất quen thuộc ở
phần giải tam giác thường sử dụng?

Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: đó là định lý hàm số sin.
Giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện ra và đưa bất đẳng thức về dạng:

2 2 2 2
9 ( ) 0R a b c
− + + ≥
(1)
Giáo viên có thể đặt vấn đề: Chứng minh bất đẳng thức đã cho ta sẽ
không chứng minh trực tiếp mà có thể chứng minh bất đẳng thức (1), con
đường để chứng minh (1) đúng? sử dụng công thức nào liên quan đến độ dài
cạnh của tam giác?
Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: chứng minh (1) bằng phương
pháp hình học, sử dụng công thức tích vô hướng hai véc tơ và định lý hàm số
côsin.
Trong tam giác ABC thì
OH OA OB OC
= + +
uuur uuur uuur uuur
, với H là trực tâm, O là
tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Ta có
2
2
( )OH OA OB OC
= + +
uuur uuur uuur uuur

2 2 2
2( . . . )OA OB OC OAOB OB OC OC OA
= + + + + +

uuur uuur uuuruuur uuuruuur
6
Áp dụng tích vô hướng và định lý hàm số côsin ta có:

2 2 2 2 2
9 ( ) 0OH R a b c= − + + ≥
luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Như vậy trong bài toán này nếu học sinh liên tưởng được việc sử dụng
hàm số sin, tiếp theo đó liên tưởng đến công thức tích vô hướng và định lý hàm
số côsin bằng phương pháp hình học sẽ giải quyết được một cách dễ dàng.
Cũng đối với bài toán này, yêu cầu học sinh chứng minh khi đã học các
công thức lượng giác, thì việc giải quyết bài toán có thể đơn giản nếu học sinh
liên tưởng đến hạ bậc, rồi liên tưởng dùng tam thức bậc hai hoặc đánh giá.
Chẳng hạn (1) được biến đổi thành
1
2
(1 - cos 2A) =
1
2
(1 - cos 2B) + (1
- cos
2
C) ≤
9
4
nhờ sử dụng công thức hạ bậc và sin
2
C = 1 - cos
2

C. Thực hiện
các phép biến đổi ta được:
1
2
(1 - cos 2A) +
1
2
(1 - cos 2B) + (1 - cos
2
C) ≤
9
4
⇔ 2 -
1
2
(cos 2A + cos 2B) - cos
2
C ≤
9
4
⇔ 2 -
1
2
. 2 cos (A - B). cos (A + B) - cos
2
C -
9
4
≤ 0
⇔ cos

2
C + cos (A - B). cosC -
1
4
≤ 0 (*)
Đến đây ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh:
Vế trái của bất đẳng thức (*) gợi cho em liên tưởng đến cái gì? Một cái
gì đó liên quan khi giải bất phương trình thường dùng?
- Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng:
Vế trái của (*) là tam thức bậc hai đối với cosC.
7
Sau đó giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai này có
biệt thức ∆ chính là - sin
2
(A - B). Lúc này học sinh có thể kết luận vế trái của
(*) luôn không dương, và được điều cần chứng minh.
1.1.4. Vai trò của liên tưởng trong dạy học Toán
Dạy học toán bao gồm dạy học khái niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tập
toán… Năng lực liên tưởng ở mỗi người một khác, khi đứng trước một vấn đề
cụ thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm…). Có người liên tưởng được
nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽ giúp cho việc giải quyết
vấn đề khá đơn giản. Nhưng có người không liên tưởng được hay chỉ liên
tưởng được ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
1
2

1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z

=

−


=

−


=

−

Đây là một bài toán hệ phương trình dạng vòng, nếu ta giải bằng phương
pháp thế thì hệ tương đương vẫn là chính nó. Để giải bài toán này thật không
dễ dàng, nếu không có sự chỉ dẫn của thầy giáo giúp học sinh phát hiện ra vế

phải của các phương trình trong hệ có liên quan đến một công thức mà ta
gặp ở trong lượng giác. Vậy nên cần có sự thuyết trình, vấn đáp của giáo viên
bằng những câu hỏi, chẳng hạn:
Vế phải của các phương trình trong hệ trên gợi cho em liên tưởng đến
công thức lượng giác nào mà ta đã học ?
Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời được công thức:
8

2
2tan
tan2 =
1-tan
α
α
α
Việc liên tưởng đến công thức trên quả là không dễ gì? Bước tiếp theo để
giải bài toán này cũng rất quan trọng, cần chuyển bài toán đại số sang lượng
giác. Như vậy lựa chọn cách đặt cho ẩn X, Y, Z là bước quan trọng.
Từ công thức:
2
2tan
tan2 =
1-tan
α
α
α
và hệ đã cho.
Đặt X= tanα suy ra Y= tan2α, Z = tan4α,
Thay vào hệ ta sẽ được phương trình: X = tan8α
Đến đây học sinh có thể tìm được số nghiệm của hệ phương trình là 7

nghiệm.
1.2. Huy động kiến thức
1.2.1. Khái niệm huy động kiến thức
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên không
cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích luỹ được từ
trước. Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối
liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải toán.
Người giải toán đã tích luỹ được những tri thức ấy trong tri nhớ, giờ đây rút ra
và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán. G.Pôlya gọi việc nhớ lại có
chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động.
1.2.2. Vai trò của huy động kiến thức trong dạy học Toán
Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán
cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể không giải được, chứng minh được,
hoặc giải được, chứng minh được một cách rất máy móc và dài dòng, nhưng
đặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực huy động
kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo, hay.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau với ẩn n thuộc tập hợp số tự nhiên:
9
n-1
n 2
n
n+2 n+2
5
C + C > A
2
Ta nhận thấy rằng bài toán có đề cập đến chỉnh hợp và tổ hợp, giáo
viên cần lưu ý cho học sinh những tính chất, công thức đã biết của tổ hợp
và chỉnh hợp:
n!
k

C = ,
n
k!(n- k)!
(n ≥ k) (2)
k-1
k k
C +C =C
n n
n+1
(0 ≤ k ≤ n) (3)
n-k
k
C =C
n n
(0 ≤ k ≤ n) (4)
n!
k
A =
n
(n- k)!
(5)
k k
A = k!C
n n
(6)
Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, ta nên sử dụng công thức (3) để
giải bước đầu, bất phương trình tương đương:
5
n 2
C > A

n
n+3
2
Sử dụng tiếp (2) và (5) được:
(n+3)! 5 n!
> .
n!3! 2 2(n-2)!
⇔ n(n
2
- 9n + 26) + 6 > 0 luôn đúng với mọi n ≥ 2.
Như vậy nếu chọn lọc công thức phù hợp thì việc giải quyết bài toán khá
đơn giản và nhanh. Còn nếu, không huy động được các công thức đã học trên
((2) đến (6)) và áp dụng nó thì việc giải quyết bài toán sẽ dài dòng hơn, có khi
bế tắc.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng, tam giác ABC là cân nếu điều kiện sau đây
thoả mãn:

2sin sin
cot
sin 2
A B C
C
=
(7)
10
Yêu cầu bài toán đòi hỏi là tam giác ABC cân, ta phải huy động những
định nghĩa, định lý, tính chất liên quan đến tam giác cân.
Để chứng minh một tam giác là cân, ta có thể chứng minh là tam giác đó
có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau. Vấn đề ở đây là chứng minh hai cạnh
bằng nhau hay hai góc bằng nhau?

Ở đây, giả thiết bài toán cho ta một hệ thức giữa các góc thông qua các
hàm số lượng giác giữa chúng. Do vậy, để chứng minh tam giác ABC cân,
trong bài toán này ta sẽ chứng minh hai góc bằng nhau:
A = B
hoặc B = C
hoặc A = C
Do biểu thức đã cho trong giả thiết có tính đối xứng đối với sinA và sinB
(điều đó không xảy ra đối với sinA và sinC hoặc sinB và sinC). Từ đó, ta sẽ
chứng minh A = B hay A- B = 0.
Để chứng minh A - B = 0, ta đã biết các cách sau:
Chứng minh sin(A - B) = 0
(8)
Hoặc chứng minh cos(A - B) = 0 (9)
Ta chọn cách nào trong hai cách đó?
Từ biểu thức sinA.sinB trong giả thiết, ta thu được cos(A - B).
Vì sinA.sinB =
1
2
[cos(A - B) - cos(A + B)]. Toàn bộ giả thiết
không thể biến đổi để làm xuất hiện sin(A - B) được. Từ đó ta có được
cách giải bài toán.
Để làm xuất hiện liên tưởng, có khi ta phải biến đổi bài toán. Nói cách
khác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuất hiện liên
tưởng, nhưng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tưởng có lợi cho
việc giải nó.
11
Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu
0
2
a b

π
〈 〈 〈
thì:
2 2
tan tan
cos cos
b a b a
b a
a b
− −
〈 − 〈
(*)
Nếu biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức tương
đương với nó:
(*)
2 2
tan tan
1 1
cos cos
b a
b a
a b
−
⇔ 〈 〈
−
Thì có thể liên tưởng đến định lý Lagrange, nhờ đó có thể giải được bài
toán bằng cách: Xét hàm số f(x) = tanx trên [a,b], trên đoạn này hàm số liên
tục và có đạo hàm, do đó theo định lý Lagrange thì tồn tại một số c
∈
(a,b) mà

( )
( )
( )
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
2
tan tan
1
cos
b a
b a
c
−
⇔ =
−
. vì
0
2
a c b
π
〈 〈 〈 〈
nên
0 cos cos cosb c a〈 〈 〈

2 2 2

1 1 1
cos cos cosa c b
⇒ 〈 〈
Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
Như vậy, năng lực huy động và liên tưởng kiến thức là rất quan trọng
trong quá trình giải bài toán. Giáo viên cần đặc biệt chú ý phát triển năng lực
này cho học sinh, giúp các em có khả năng độc lập giải quyết các bài toán.
1.3. Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán
Quá trình tư duy không nảy sinh nếu để giải quyết nhiệm vụ nhận thức
(trả lời câu hỏi, giải bài tập), học sinh chỉ vận dụng một cách máy móc, tự
động những kiến thức có sẵn, nhưng quá trình tư duy cũng không nảy sinh
nếu như để giải quyết được nhiệm vụ, nhận thức phải cần đến những kiến
thức mà học sinh chưa thể có được.
12
Tư duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loại
hình nhiệm vụ nhận thức được đặt ra.
Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phương tiện cơ bản, vừa
là kết quả cuối cùng của quá trình tư duy, kiến thức được nói tới ở đây bao
hàm trong nó có cả mặt khối lượng lẫn các mặt khác như tính hệ thống, tính
chính xác, tính sâu sắc.
Kiến thức và điều kiện của bài toán động viên hành động trí tuệ(thao tác
tư duy). Phân tích điều kiện này trong khi phân tích điều kiện bài toán, trong
khi vạch ra những khía cạnh mới trong điều kiện bài toán, người ta đã tạo ra
được những tiền đề phản ánh những khía cạnh này, đã động viên được những
kiến thức mới. Những kiến thức mới về điều kiện của bài toán lại động viên
những hành động trí tuệ và cứ như thế quá trình tiếp diễn.
Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể chia làm 2 loại:
- Những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của
bài toán khi đọc kĩ đầu bài.
- Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhưng

không có chúng thì quá trình tư duy không nảy sinh được, đó là các kiến thức
về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà người giải toán đã thu thập được
từ trước. Những kiến thức này cần thiết lập mối quan hệ logíc giữa điều kiện
và kết luận của bài toán.
Quá trình tư duy trong giải toán có tiến triển được hay không là tuỳ thuộc
ở chỗ giữa 2 loại kiến thức trên có thiết lập được mối quan hệ qua lại hay
không? Những mối quan hệ qua lại này được thực hiện thông qua những hành
động trí tuệ với những kiến thức thu nhận trực tiếp những điều kiện của bài
toán. Căn cứ vào lý thuyết những hành động trí tuệ mà xem xét, những liên
hội kiến thức trực tiếp cũng được thực hiện bằng hành động trí tuệ.
13
Những hành động trí tuệ này được rút gọn, trở nên tự động hoá, nên
người giải toán dường như không ý thức được chúng.
Mỗi đại lượng toán học được phản ánh trong một khái niệm có rất nhiều
mặt, nhiều vẻ, nhều khía cạnh, tạo lập những liên hội kiến thức khác nhau.
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, không cần huy động mọi kiến
thức mà người giải đã thu thập được, không cần xét đến liên hội kiến thức có
thể có, không cần thiết lập mọi mối liên hệ qua lại có thể có giữa 2 loại kiến
thức, cần huy động kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hội kiến thức
nào, cần thiết lập những mối liên hệ qua lại nào giữa 2 loại kiến thức tất cả
phụ thuộc vào những hành động trí tuệ của người giải đã hướng tới với những
mặt nào, những khía cạnh nào của điều kiện của bài toán và phụ thuộc vào cơ
chế chung, của các hành động trí tuệ ấy.
Sự phát triển của các năng lực tư duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nội
dung (các kiến thức) lẫn hành động của tư duy (các hành động trí tuệ). Khái
niệm dạy toán ở trường phổ thông cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là
chỉ nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay, vì kiến thức
chưa nắm vững, chưa có đầy đủ kiến thức đã thu thập từ trước nên không giải
được toán. Có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít
chịu giải bài tập, có hành động trí tuệ, ít được rèn dũa nên cũng không giải

được các bài toán đòi hỏi phải “động não” chút ít.
Theo Pôlya thành phần căn bản của quá trình giải bất cứ bài toán nào là ý
muốn, khát vọng, quyết tâm giải bài toán đó. Bài toán mà anh có ý định giải,
mặc dầu đã hiểu nó, vẫn chưa phải là hoàn toàn là bài toán của anh. Bài toán
chỉ thực sự trở thành bài toán của anh, thực tế chiếm lĩnh anh, khi anh đã có
quyết tâm nghiên cứu bài toán, cố gắng giải bài toán. Trong khi giải toán anh
có thể trở thành “tù binh” của bài toán đó, đôi khi nó thu hút sự chú ý của
người giải đến mức trở nên có vẻ đãng trí.
14
Trong quá trình dạy học môn Toán, muốn nâng cao chất lượng nắm vững
kiến thức thì giáo viên cần coi trọng bồi dưỡng động cơ học tập đúng đắn
(động cơ là sử thể hiện của nhu cầu có ý thức của con người), bồi dưỡng hứng
thú toán học cho học sinh của mình.
Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình tư
duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành động trí
tụê bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự
xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định. Một tập hợp các hành động
trí tuệ để giải quyết được nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt động trí tuệ
trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy.
Trong học tập môn toán có các thao tác tư duy chính là phân tích và tổng
hợp. Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng
bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó những
dấu hiệu và những phần riêng lẽ nào đó. Tổng hợp là kết các phần riêng lẽ lại,
là khái quát các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là 2 mặt đối
lập của một quá trình thống nhất. Các thao tác phân tích và tổng hợp có mặt
trong mọi hành động trí tuệ.
Theo G. Pôlya, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong
khi giải toán. Ngay sau khi đã đọc kĩ một đầu bài toán, người giảng cố gắng
dự đoán phạm vi bài giảng. Phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể

còn phần nào không đúng, mặc dầu thật ra không phải lúc nào cũng quá sai
lầm. Trên cơ sở dự đoán ta có được cái toàn thể ban đầu.
Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán của G.Pôlya:

15
Tách biệt
Tách biệt
Tổ chức Động viên
Kết hợp
Nhóm lại
Bổ sungNhớ lại


Nhận biết


Dự đoán
Trong tư duy đã diễn ra 2 hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ
chức kiến thức.
Động viên kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên
quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với
nhau.
Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viên
nhận biết và nhớ lại hành động trí tuệ động viên kiến thức thường được bắt
đầu bằng thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán. Tiếp
tục bằng thao tác nhớ lại những kiến thức đã quen thuộc và có liên quan với
yếu tố vừa được nhận biết.
Hành động trí tuệ tổ chức gồm các thao tác bổ sung và nhóm lại.
Khi nghi cứu một đối tượng phức tạp có thể tách biệt một chi tiết, một bộ
phận cụ thể khỏi cái toàn thể. Sau đó lại kết hợp liên kết những chi tiết, những

bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, được phản ánh
đầy đủ hơn trước. Hành động tách biệt dẫn đến hành động kết hợp, hành động
kết hợp lại dẫn đến hành động tách biệt mới, tách biệt những chi tiết mới,
những bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho người giải hiểu bài toán
và giải được bài toán.
Hành động trí tuệ dự đoán được đặt ở trung tâm hình vuông, các cặp
hành động trí tuệ đối lập nhưng thống nhất: động viên tổ chức, cách biệt đối
lập được đặt ở những đỉnh đối nhau của hình vuông, các thao trí tuệ được đặt
trên các cạnh của hình vuông, và khi đọc từ trái sang phải chúng ta tóm tắt
quá trình trí tuệ như sau: từ những chi tiết được động viên đi đến một cái toàn
16
thể có tổ chức, một chi tiết vừa mới được phân biệt được tách biệt ra, được
tập trung nghiên cứu, có thể dẫn tới được thay đổi quan niệm của người về bài
toán. Cũng như vậy một chi tiết mà chúng ta nhớ lại được và tỏ ra thích ứng
khi kết hợp, sẽ làm cho hiểu biết của người giải về bài toán được phong phú
thêm bổ sung cho cái toàn thể.
Tập hợp các hành động trí tuệ, các thao tác trí tuệ cùng mối liên hệ giữa
chúng mà ở sơ đồ trên gợi ý cho ta ý niệm về cơ chế của hoạt động trí tuệ khi
giải toán.
Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xác
định phù hợp với những câu hỏi tương ứng.
1.4. Đôi nét thực trạng về khả năng liên tưởng và hoạt động kiến
thức của học sinh
Hiện nay học sinh nhìn vấn đề một cách rời rạc, ít có sự liên hệ các kiến
thức với nhau nên bế tắc trong nhiều bài toán mà lẽ ra có thể giải quyết tốt
nếu ở họ biết liên tưởng và huy động kiến thức.
Ví dụ 5:
Tính tích phân:
/
2

cos
2
1 sin
2
x x
I dx
x
π
π
=
∫
+
−
Việc giải bài toán này đối với mỗi đối tượng học sinh một khác vì sức
liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau.
Đối với học sinh dưới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khối
kiến thức ít và sức liên tưởng có hạn.
Đối với học sinh trung bình, có thể liên tưởng đến phương pháp đổi biến
số, nhưng việc giải đúng bài toán này theo phương pháp đổi biến số không phải
là đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải.
17
Ta có:
/
2
cos
2
1 sin
2
x x
I dx

x
π
π
=
∫
+
−
0 /2
cos cos
2 2
1 sin 1 sin
0
2
x x x x
dx dx
x x
π
π
= +
∫ ∫
+ +
−
Đặt I
1
=
0
cos
2
1 sin
2

x x
dx
x
π
∫
+
−
Áp dụng phương pháp đổi biến số bằng cách
Đặt x = - t ⇒ dx = - dt
Đổi cận được I
1
=
0
2
1 sin
2
t cost
dt
t
π
∫
+
=
/2 /2
cos cos
2
1 sin
1 sin
0 0
t t x x

dt dx
t
x
π π
=−
∫ ∫
+
Thay I
1
vào được: I = 0
Học sinh khá, giỏi thì sức liên tưởng và huy động kiến thức có thể lớn
hơn nên nhìn vấn đề bài toán ở đây có sự liên hệ cận đối nhau, nghĩ đến việc
xét hàm số dưới dấu tích phân:
Xét hàm số: f(x) =
2
cos
1 sin
x x
x+
Ta có: f(-x) =
2
cos
( )
1 sin
x x
f x
x
−
=−
+

Vậy hàm số f(x) là hàm số lẻ.
Kết luận tích phân I = 0
Ví dụ 6:
Chứng minh rằng: 1 + 2007
1
n
C
+ 2007
2 2
n
C
+ + 2007
n-1 1- n
n +
C
+ 2007
n

= 2008
n
, với n ∈ N
*
18
Đây là một bài toán tổ hợp không phải là khó đối với mọi học sinh. Khi
gặp bài toán này học sinh phải có sự liên tưởng đến việc sử dụng công thức
khai triển Newton và phải huy động các công thức đã học về tổ hợp. Nhưng
việc lựa chọn đúng công tức và sử dụng khai triển nhị thức Newton như thế
nào để chứng minh được bài toán là một vấn đề không phải học sinh nào cũng
thực hiện được. Nếu lựa chọn và liên tưởng được:
Xét khai triển Newton ∀x, ∀n ∈ N

*
:
(1 + x)
n
=
0 2
1
4 2
.1
1
n
n
x x x x
n
n n
n n n n
−
+ + + + +
−
C C C C C
(10)
Thay x = 2007 vào hai vế của (1) ta được:
2008
n
= 1 + 2007
2
1
1 2
1
. .

2007 2007 2007
n
n n
n n n
−
−
+ + + +
C C C
Trong giải toán Tổ hợp nhận thấy rằng nếu liên tưởng được sử dụng công
thức khái triển Newton, và lựa chọn đúng công thức thì việc giải quyết bài
toán không còn khó khăn nữa. Đây là những bài toán trong kỳ thi tốt nghiệp
phổ thông trung học và kỳ thi đại học thường gặp.
Mỗi người (học sinh) có sức liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau
nên khi giải bài toán gặp những khó khăn ở mức độ khác nhau.
Hiện nay tình trang học sinh nhìn nhận về bài toán tổ hợp còn ít sự liên
hệ giữa các kiến thức với nhau và liên tưởng các kiến thức vận dụng giải bài
toán.
Khi dạy công thức nhị thức Newton giáo viên cần khắc sâu kiến thức,
thông qua các bài tập củng cố. Để từ đó học sinh ghi lại trong trí nhớ để rồi
khi gặp các bài toán tương tự đưa ra mà vận dụng.
Có thể tham khảo một số bài toán sau:
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
0 1 2
2

6 6 6 7
n
n n
n n n n

+ + + + =
C C C C
19
b. 3
17

0 1 17
16 17
17
1 17
. .
17 17
4 3 4 7
+ + + =
C C C
2. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
4
n

0 1 1 2 0 1 2
2 2 2
( 1)
4 4 2 2 2
n n n n n
n n n n n n n n
−
−
− + + + − = + + + +
C C C C C C C C
3. Chứng minh rằng:

0 2 4

2
+ + + + + = + + + + + =
2p-2 2p 1 3 5 2p-3 2p-1
2p-1
2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p
C C C C C C C C C C
4. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển nhị thức Newton của (1 + x)
n
, n ∈ N
*
,
biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
5. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 (1 )x x
 
+
 
1.5. Liên hệ với Phép duy vật biện chứng
Để góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh,
trong quá trình giảng dạy Toán cần chú ý lồng ghép, cài đặt một cách hợp lý
nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức (thuộc về Phép biện chứng duy
vật). Nói như vậy không có nghĩa là chúng ta dạy Triết học trong môn Toán,

mà quan trọng ở chỗ tình huống nào, thời điểm nào trong quá trình dạy Toán
cho học sinh, người thầy sẽ chốt lại về một cái gì đó để làm cho học sinh sáng
tỏ hơn nữa về Phép biện chứng duy vật, và khi nắm được những kiến thức về
Phép biện chứng duy vật thì học sinh có thêm những cơ sở để giải quyết các
vấn đề Toán học.
Quan điểm duy vật biện chứng không chỉ khẳng định bản chất vật chất,
tình thống nhất vật chất thế giới mà còn khẳng định các sự vật, hiện tượng
trong thế giới đó luôn luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và phát
triển không ngừng theo những quy luật vốn có của nó, làm sáng tỏ những vấn
đề đó là nội dung cơ bản của phép biện chứng. Ăngghen khẳng định rằng
phép biện chứng là lý luận về mối liên hệ phổ biến là môn khoa học về những
20
quy luật phổ biến của sự vận động, của tự nhiên, của xã hội loài người và của tư
duy.
Những nguyên lý và những quy luật cơ bản của Phép biện chứng duy vật
là: Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến; Nguyên lý về sự phát triển; Quy luật
lượng đổi - chất đổi; Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập;
Quy luật phủ định của phủ định.
Thế giới như một chỉnh thể thống nhất, các sự vật, hiện tượng và các quá
trình cấu thành thế giới đó vừa tách biệt lẫn nhau vừa có mối liên hệ qua lại,
thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau. Từ nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệ
phổ biến này, ta rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng như
trong hoạt động thực tiễn. Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải xem xét
nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tính
khác nhau của chính sự vật đó. Phải xem xét trong mối liên hệ giữa sự vật đó
với các sự vật khác. “Muốn thực sự hiểu được sự vật cần phải nhìn bao quát
và nghiên cứu tất cả các mặt, các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của nó”
(V.I.Lênin).
Liên tưởng và huy động các kiến thức nó có gắn liền với việc nhìn các
đối tượng Toán học trong mối liên quan mật thiết đối với các đối tượng khác.

Đó chính là quy luật về tính toàn diện của tư duy biện chứng.
Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ điều vừa nêu trên.
Thật vậy, ta thường xuyên phải nhìn những đối tượng Toán học dưới nhiều
đối tượng khác nhau, phải nhìn trong mỗi liên hệ qua lại giữa các bộ phận,
yếu tố, và nhìn trong mối liên hệ với các đối tượng khác.
Ví dụ: Ta cần làm cho học sinh nhìn mỗi đối tượng Toán học dưới nhìn
góc độ và trong nhiều mối quan hệ khác nhau. Chẳng hạn:
Giải và biện luận phương trình: x
4
- 2ax
2
+ a
2
- x - a = 0
(*)
21
Với sự liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh nên sẽ
có các lời giải khác nhau.
Cách 1: Phương trình (*) là phương trình bậc 4 ẩn x và tham số a nên sẽ
giải và biện luận (*) theo a.
(*) ⇔ (x
2
- a)
2
- x - a = 0
⇔ (x
2
- a)
2
- x

2
+ x
2
- x - a = 0
⇔ (x
2
- a - x) (x
2
- a + x) + (x
2
- x - a) = 0
⇔ (x
2
- x - a) (x
2
+ x - a - 1) = 0 (* *)
Sau đó thực hiện các bước giải biện luật (* *) theo a khá đơn giản.
Cách 2: Nếu nhìn vế trái của (*) là phương trình bậc hai ẩn a:
(*) ⇔ a
2
- (2x
2
+ 1) a + x
4
- x = 0
- Ta có: ∆ = 4x
2
+ 4x + 1 = (2x + 1)
2
Việc giải và biện luận (*) đến đây thật đơn giản vì biệt thức ∆ ≥ 0, ∀x ∈ R.

Ví dụ 7: Giải phương trình:

4 2 4 2
1 1 9 3 1
cos cos
16 2 16 2 2
x cos x x cos x+ − + + − =
Đây là một phương trình vô tỷ lượng giác, thoạt nhìn có lẽ ai cũng ái
ngại, song không vì thế mà không dám giải phương trình đó. Đập vào mắt ta
là các biểu thức dưới dấu căn, chúng có gì đặc biệt không?
Ta để ý thấy:

4 2 2
1 1 1
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ − = −

4 2 2
9 3 3
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ − = −
Như vậy, tính chất vô tỷ trong bài toán đó chỉ còn là cái áo ngụy trang
mà thôi, bởi vì do
2
A A=
, phương trình đã cho có dạng:
22

2 2
1 3 1
4 4 2
cos x cos x− + − =
(*)
Ta lại nói tiếp về phương trình (*) là phương trình lượng giác có dấu giá
trị tuyệt đối, các biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy cả hai đều
có chứa cos
2
x. Do đó, ta có thể bổ sung ẩn phụ: u = cosx với
0 1u≤ ≤
. Khi
đó ta có phương trình đối với u là:

1 3 1
4 4 2
u u− + − =
(**)
Phương trình (**) là phương trình đại số chứa dấu giá trị tuyệt đối, có thể
giải được bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ta hãy nhìn cách khác đối với phương trình (**).
Ta cách ly từng dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy rằng có thể xem đó chỉ
là độ dài các đoạn thẳng.
1
4
u −
là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm M có
hoành độ u và A có hoành độ
1
4

,
3
4
u −
là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và
B, B có hoành độ
3
4
. Liên hợp các chi tiết này, phương trình (**) cho ta dưới
dạng mới:
MA + MB =
1
2
.
Bằng cách nhìn mới, bài toán được phát biểu lại là: Xác định vị trí của
điểm M trên trục số sao cho tổng khoảng cách đến A và B bằng
1
2
. Đến đây,
việc giải bài toán chỉ còn các bước có tính chất kỹ thuật mà thôi.
23
Có thể có nhiều cách giải nữa. Việc tìm ra mỗi cách giải phụ thuộc chính
sự liên tưởng, huy động kiến thức hoặc là việc nhìn bài toán ấy dưới những
góc độ khác nhau. Đó cũng chính là biểu hiện khả năng tư duy biện chứng.
Số liệu trong bài toán không thể là hoàn toàn ngẫu nhiên. Một cách tổng
quát thì ta đã gặp một số bài toán nếu sửa đi một con số thì không tài nào giải
được dù rằng trước đó có lời giải đẹp. Đó là những cặp phạm trù tất nhiên -
ngẫu nhiên.
Kết luận chương 1:
Trong chương này luận văn đã đưa ra các cơ sở khoa học lý luận và thực

tiễn về liên tưởng và huy động kiến thức, luận văn đã trình bày được vai trò, ý
nghĩa của “liên tưởng và huy động kiến thức” trong Toán học. Khẳng định vị
trí của nó trong hoạt động trí tuệ khi giải toán. Thực tiễn sư phạm cho thấy
việc rèn luyện cho học sinh khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong
dạy học Đại số và Giải tích là rất phù hợp với thực trạng hiện nay và hết sức
cần thiết.
24
Chương 2
GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH THPT KHẢ NĂNG
LIÊN TƯỞNG VÀ HUY ĐỘNG KIẾN THỨC TRONG DẠY HỌC
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
2.1. Các định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp sư phạm
Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm được xây dựng phải dựa trên nền
tảng tri thức chuẩn của sách giáo khoa Toán hiện hành.
Định hướng 2: Các biện pháp sư phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn
đúng mức, nhằm làm cho học sinh được tham gia vào quá trình hình thành tri
thức và kỹ năng.
Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng
thú học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh.
Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải dựa trên vốn
kiến thức của học sinh và việc liên tưởng, huy động các kiến thức một cách
hợp lý sẽ góp phần giải quyết các vấn đề Toán học.
Định hướng 5: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải đảm bảo tính
khả thi, và thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy được vai trò của liên
tưởng, huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích.
25