góp phần rèn luyện cho học sinh thpt khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học đại số và giải tích

Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, cho nên một trong những yêu cầu
của dạy Toán là phải khơi dậy đợc khả năng suy nghĩ và khám phá đối với ng-
ời học. Trớc khi học một kiến thức nào đó thì học sinh cũng đã có một vốn
kiến thức nhất định rồi, làm sao có thể vận dụng tốt những cái đã biết nhằm
giải quyết những cái mới - đó chính là một trong những nhiệm vụ của việc
học.
Môn Toán có độ liên kết lôgíc giữa các chủ đề kiến thức, muốn học Toán
có chất lợng thì ngời học phải biết liên hệ, phải biết tích luỹ những kiến thức
để rồi khi cần thì đem ra mà sử dụng.
Liên tởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng, cần
phải rèn luyện cho học sinh. Nếu có năng lực liên tởng tốt thì nhiều khi đứng
trớc một bài toán rất khó, nhng ta vẫn nghĩ tới đợc một kiến thức nào đó liên
quan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải. Ngợc lại, nếu ta liên tởng
kém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trong mối liên hệ với các
kiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục bộ và rời rạc.
Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệ khá mật thiết
với nhau.
Cha có công trình nào nghiên cứu sâu việc rèn luyện cho học sinh khả
năng liên tởng và huy động kiến thức, vì lý do đó chúng tôi chọn đề tài Góp
phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tởng và huy động kiến
thức trong dạy học Đại số và Giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn về
liên tởng và huy động kiến thức, từ đó tìm ra những giải pháp để rèn luyện cho
học sinh THPT những năng lực này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp những vấn sau đây:
- Liên tởng và huy động kiến thức là gì?
- Vì sao lại cần phải bồi dỡng cho học sinh khả năng liên tởng và huy

động kiến thức?
- Vai trò của liên tởng và huy động kiến thức là nh thế nào?
1
- Tình hình thực tế của học sinh THPT trong việc liên tởng và huy động
kiến thức là ra sao?
- Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy động
kiến thức?
4. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số và Giải tích ở THPT nói
riêng, nếu chú trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên tởng và huy
động kiến thức thì sẽ hình thành đợc ở học sinh một hệ thống những kiến thức
vững vàng, làm sáng tỏ đợc mối liên hệ mật thiết và độ liên kết lôgíc giữa các
chủ đề kiến thức, góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bền
vững và sâu sắc hơn.
5. Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu lý luận
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phơng pháp thực nghiệm s phạm
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, luận văn
gồm 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chơng 2: Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tởng
và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Liên tởng
1.1.1. Khái niệm liên tởng
Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tởng có nghĩa là: Nhân sự vật, hiện tợng

nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tợng khác có liên quan.
1.1.2. Vai trò của liên tởng dới góc độ tâm lý học
Trong tâm lý học, trờng phái tiếp cận liên tởng vấn đề t duy(Đ.Ghatli,
D.S.Milơ, H.Spenxơ, ) cho rằng: t duy là quá trình thay đổi tự do tập hợp các
hình ảnh, là sự liên tởng các biểu tợng.
Theo các nhà liên tởng, có 4 loại liên tởng:
2
Liên tởng giống nhau, liên tởng tơng phản, liên tởng gần nhau về không
gian và thời gian, liên tởng nhân quả.
Liên tởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí
tuệ. Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tởng. Sự khác biệt về
trình độ trí tuệ đợc quy về sự khác nhau, về số lợng các mối liên tởng, về tốc
độ hoá các liên tởng đó.
Tác giả Bùi Văn Huệ chia liên tởng thành 4 loại: liên tởng gần nhau về
không gian và thời gian, liên tởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung, liên
tởng trái ngợc nhau, liên tởng nhân quả.
Theo tác giả, liên tởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại.
Nhà tâm lý học P.A.Sêvarev đã nghiên cứu tỉ mỉ những mối liên tởng khái quát
độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học. Ông chỉ ra rằng: những mối liên t-
ởng khái quát bao gồm 3 kiểu cơ bản, những liên tởngđợc biến đổi 1 nửa,
những liên tởng trừu tợng - biến thiên, những liên tởng cụ thể - biến thiên.
L.B.Itenxơn cho rằng: T duy tốt tức là t duy đúng đắn và có hiệu quả, biết
thực hiên đợc những liên tởng khái quát, những liên tởng phù hợp với bài toán
cần giải. Vì vậy, để việc dạy t duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi phải tìm
hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối tợng,
mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán nào".
K.K.Plantônôv xem t duy nh là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếp
nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là: xuất hiện liên tởng, sàng lọc liên t-
ởng và hình thành giả thuyết.
Theo tác giả Vũ Dơng Thuỵ: Trong dạy học, cần chú ý rèn cho học sinh

kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngợc một cách song song với nhau, nhằm giúp
cho việc hình thành các liên tởng ngợc diễn ra đồng thời với việc hình thành
các liên tởng thuận.
Nh vậy có thể thấy rằng: Vai trò của liên tởng trong quá trình t duy là rất
quan trọng, liên tởng cũng đóng vai trò quan trọng trong hoạt động t duy giải
toán nói chung và giải toán Đại số và Giải tích nói riêng.
1.1.3. Liên tởng trong Toán học
Về mức độ khó, dễ của bài toán, G.Pôlya cho rằng: Không dễ dàng xét
đoán mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trị
giáo dục của nó.
3
Theo G.Pôlya, thầy giáo nên nắm đợc cách phân loại mức độ khó, dễ của
các bài toán, vì đó là một điều có ích cho việc giảng dạy. Ông đã ghi nhận
công lao của F.Denk về sự phân loại này. trên cơ sở sự phân loại của F.Denk,
G.Pôlya có điều chỉnh chút ít và phân loại nh sau:
Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải đợc bằng cách vận dụng trực tiếp
quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu. Hơn nữa, quy
tắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trớc mắt HS (vừa mới học song), thầy giáo thờng
cho các bài toán nh thế vào cuối giờ học.
Loại thứ hai khó hơn, nó đợc giải tuy cũng vận dụng trực tiếp quy tắc đã
đợc học trong lớp hoặc tuân thủ máy móc ví dụ mẫu đã đợc biết, tuy nhiên HS
cha rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc ví dụ mẫu nào, HS cần phải có sự
chọn lọc sơ bộ trong phạm vi nào đó.
Loại thứ ba còn khó hơn nữa. Để giải đợc chúng, HS cần phải kết hợp
một số quy tắc hoặc ví dụ đã học. Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổ hợp
nào đó tơng tự với nó (nhng không phải chính nó) đã đợc thoả luận ở lớp. Nếu
tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần của giáo trình
(có thể rất xa nhau), thì bài toán thờng là rất khó.
Có ngời đã ví, quá trình giải một bài toán giống nh quá trình xây một
ngôi nhà. Đầu tiên, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đó phải kết cấu

những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đã đợc
hình dung trớc.
Thực ra, thờng trớc khi xây nhà ta đã hình dung đợc cần đến những vật
liệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng bổ
sung cho đủ.
Trớc khi giải bài toán, thờng là cha khẳng định đợc chắc chắn mình sẽ
dùng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, công thức, )
nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc bài toán khá dễ. Sau khi giải
xong bài toán, ngời giải tự hỏi mình: thế mà ngay từ đầu tại sao mình lại
không nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trớc đó họ phải mò mẫm, suy nghĩ
rất lâu mới biết cách sử dụng định lý này).
Ví dụ 1: Xét bài toán, Chứng minh rằng: với
ABC
ta luôn có

2 2 2
9
4
sin sin sinA B C
+ +
4
Nếu bài toán yêu cầu học sinh giải khi cha học về các công thức lợng
giác (công thức hạ bậc) nhng đã học về định lý hàm số sin thì việc đa ra bài
toán này vẫn hợp lý. Giáo viên dẫn dắt để học sinh liên tởng đến việc áp dụng
định lý hàm số sin cho vế trái của bất đẳng thức, có thể nêu câu hỏi: sinA,
sinB, sinC gợi cho em liên tởng đến một cái gì đó rất quen thuộc ở phần giải
tam giác thờng sử dụng?
Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: đó là định lý hàm số sin.
Giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện ra và đa bất đẳng thức về dạng:

2 2 2 2
9 ( ) 0R a b c
+ +
(1)
Giáo viên có thể đặt vấn đề: Chứng minh bất đẳng thức đã cho ta sẽ
không chứng minh trực tiếp mà có thể chứng minh bất đẳng thức (1), con đ-
ờng để chứng minh (1) đúng? sử dụng công thức nào liên quan đến độ dài
cạnh của tam giác?
Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: chứng minh (1) bằng phơng
pháp hình học, sử dụng công thức tích vô hớng hai véc tơ và định lý hàm số
côsin.
Trong tam giác ABC thì
OH OA OB OC
= + +
uuur uuur uuur uuur
, với H là trực tâm, O là
tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Ta có
2
2
( )OH OA OB OC
= + +
uuur uuur uuur uuur

2 2 2
2( . . . )OA OB OC OAOB OB OC OC OA
= + + + + +
uuur uuur uuuruuur uuuruuur
áp dụng tích vô hớng và định lý hàm số côsin ta có:

2 2 2 2 2
9 ( ) 0OH R a b c= + +
luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Nh vậy trong bài toán này nếu học sinh liên tởng đợc việc sử dụng hàm số
sin, tiếp theo đó liên tởng đến công thức tích vô hớng và định lý hàm số côsin
bằng phơng pháp hình học sẽ giải quyết đợc một cách dễ dàng.
Cũng đối với bài toán này, yêu cầu học sinh chứng minh khi đã học các
công thức lợng giác, thì việc giải quyết bài toán có thể đơn giản nếu học sinh
liên tởng đến hạ bậc, rồi liên tởng dùng tam thức bậc hai hoặc đánh giá.
5
Chẳng hạn (1) đợc biến đổi thành
1
2
(1 - cos 2A) =
1
2
(1 - cos 2B) + (1 -
cos
2
C)
9
4
nhờ sử dụng công thức hạ bậc và sin
2
C = 1 - cos
2
C. Thực hiện các
phép biến đổi ta đợc:
1

2
(1 - cos 2A) +
1
2
(1 - cos 2B) + (1 - cos
2
C)
9
4
2 -
1
2
(cos 2A + cos 2B) - cos
2
C
9
4
2 -
1
2
. 2 cos (A - B). cos (A + B) - cos
2
C -
9
4
0
cos
2
C + cos (A - B). cosC -
1

4
0 (*)
Đến đây ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh:
Vế trái của bất đẳng thức (*) gợi cho em liên tởng đến cái gì? Một cái gì
đó liên quan khi giải bất phơng trình thờng dùng?
- Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng:
Vế trái của (*) là tam thức bậc hai đối với cosC.
Sau đó giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai này có
biệt thức chính là - sin
2
(A - B). Lúc này học sinh có thể kết luận vế trái của
(*) luôn không dơng, và đợc điều cần chứng minh.
1.1.4. Vai trò của liên tởng trong dạy học Toán
Dạy học toán bao gồm dạy học khái niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tập
toán Năng lực liên tởng ở mỗi ngời một khác, khi đứng trớc một vấn đề cụ
thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm). Có ngời liên tởng đợc nhiều
định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽ giúp cho việc giải quyết vấn đề
khá đơn giản. Nhng có ngời không liên tởng đợc hay chỉ liên tởng đợc ít định
lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay.
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
6
2
2
2
2
1
2
1
2
1

x
y
x
y
z
y
z
x
z

=




=




=



Đây là một bài toán hệ phơng trình dạng vòng, nếu ta giải bằng phơng
pháp thế thì hệ tơng đơng vẫn là chính nó. Để giải bài toán này thật không dễ
dàng, nếu không có sự chỉ dẫn của thầy giáo giúp học sinh phát hiện ra vế
phải của các phơng trình trong hệ có liên quan đến một công thức mà ta gặp
ở trong lợng giác. Vậy nên cần có sự thuyết trình, vấn đáp của giáo viên bằng
những câu hỏi, chẳng hạn:

Vế phải của các phơng trình trong hệ trên gợi cho em liên tởng đến công
thức lợng giác nào mà ta đã học ?
Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời đợc công thức:

2
2tan
tan2 =
1-tan



Việc liên tởng đến công thức trên quả là không dễ gì? Bớc tiếp theo để
giải bài toán này cũng rất quan trọng, cần chuyển bài toán đại số sang lợng
giác. Nh vậy lựa chọn cách đặt cho ẩn X, Y, Z là bớc quan trọng.
Từ công thức:
2
2tan
tan2 =
1-tan



và hệ đã cho.
Đặt X= tan suy ra Y= tan2, Z = tan4,
Thay vào hệ ta sẽ đợc phơng trình: X = tan8
Đến đây học sinh có thể tìm đợc số nghiệm của hệ phơng trình là 7
nghiệm.
1.2. Huy động kiến thức
1.2.1. Khái niệm huy động kiến thức
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đơng nhiên không cần

huy động đến mọi kiến thức mà ngời giải đã thu thập, tích luỹ đợc từ trớc. Cần
huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào,
7
điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của ngời giải toán. Ngời giải
toán đã tích luỹ đợc những tri thức ấy trong tri nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng
một cách thích hợp để giải bài toán. G.Pôlya gọi việc nhớ lại có chọn lọc các
tri thức nh vậy là sự huy động.
1.2.2. Vai trò của huy động kiến thức trong dạy học Toán
Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán cụ
thể nếu đặt vào thời điểm này có thể không giải đợc, chứng minh đợc, hoặc
giải đợc, chứng minh đợc một cách rất máy móc và dài dòng, nhng đặt trong
thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực huy động kiến thức tốt,
học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo, hay.
Ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau với ẩn n thuộc tập hợp số tự nhiên:
n-1
n 2
n
n+2 n+2
5
C + C > A
2
Ta nhận thấy rằng bài toán có đề cập đến chỉnh hợp và tổ hợp, giáo
viên cần lu ý cho học sinh những tính chất, công thức đã biết của tổ hợp và
chỉnh hợp:
n!
k
C = ,
n
k!(n-k)!
(n k) (2)

k-1
k k
C +C =C
n n
n+1
(0 k n) (3)
n-k
k
C =C
n n
(0 k n) (4)
n!
k
A =
n
(n-k)!
(5)
k k
A = k!C
n n
(6)
Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, ta nên sử dụng công thức (3) để
giải bớc đầu, bất phơng trình tơng đơng:
5
n 2
C > A
n
n+3
2
Sử dụng tiếp (2) và (5) đợc:

(n+3)! 5 n!
> .
n!3! 2 2(n-2)!
n(n
2
- 9n + 26) + 6 > 0 luôn đúng với mọi n 2.
8
Nh vậy nếu chọn lọc công thức phù hợp thì việc giải quyết bài toán khá
đơn giản và nhanh. Còn nếu, không huy động đợc các công thức đã học trên
((2) đến (6)) và áp dụng nó thì việc giải quyết bài toán sẽ dài dòng hơn, có khi
bế tắc.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng, tam giác ABC là cân nếu điều kiện sau đây
thoả mãn:

2sin sin
cot
sin 2
A B C
C
=
(7)
Yêu cầu bài toán đòi hỏi là tam giác ABC cân, ta phải huy động những
định nghĩa, định lý, tính chất liên quan đến tam giác cân.
Để chứng minh một tam giác là cân, ta có thể chứng minh là tam giác đó
có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau. Vấn đề ở đây là chứng minh hai cạnh
bằng nhau hay hai góc bằng nhau?
ở đây, giả thiết bài toán cho ta một hệ thức giữa các góc thông qua các
hàm số lợng giác giữa chúng. Do vậy, để chứng minh tam giác ABC cân, trong
bài toán này ta sẽ chứng minh hai góc bằng nhau:
A = B

hoặc B = C
hoặc A = C
Do biểu thức đã cho trong giả thiết có tính đối xứng đối với sinA và sinB
(điều đó không xảy ra đối với sinA và sinC hoặc sinB và sinC). Từ đó, ta sẽ
chứng minh A = B hay A- B = 0.
Để chứng minh A - B = 0, ta đã biết các cách sau:
Chứng minh sin(A - B) = 0 (8)
Hoặc chứng minh cos(A - B) = 0 (9)
Ta chọn cách nào trong hai cách đó?
Từ biểu thức sinA.sinB trong giả thiết, ta thu đợc cos(A - B).
Vì sinA.sinB =
1
2
[cos(A - B) - cos(A + B)]. Toàn bộ giả thiết
không thể biến đổi để làm xuất hiện sin(A - B) đợc. Từ đó ta có đợc
cách giải bài toán.
Để làm xuất hiện liên tởng, có khi ta phải biến đổi bài toán. Nói cách
khác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuất hiện liên
tởng, nhng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tởng có lợi cho việc
giải nó.
9
Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu
0
2
a b


thì:
2 2
tan tan

cos cos
b a b a
b a
a b


(*)
Nếu biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức tơng đ-
ơng với nó:
(*)
2 2
tan tan
1 1
cos cos
b a
b a
a b



Thì có thể liên tởng đến định lý Lagrange, nhờ đó có thể giải đợc bài toán
bằng cách: Xét hàm số f(x) = tanx trên [a,b], trên đoạn này hàm số liên tục và
có đạo hàm, do đó theo định lý Lagrange thì tồn tại một số c

(a,b) mà
( )
( )
( )
f b f a
f c

b a


=

2
tan tan
1
cos
b a
b a
c

=

. vì
0
2
a c b


nên
0 cos cos cosb c a

2 2 2
1 1 1
cos cos cosa c b

Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
Nh vậy, năng lực huy động và liên tởng kiến thức là rất quan trọng trong

quá trình giải bài toán. Giáo viên cần đặc biệt chú ý phát triển năng lực này
cho học sinh, giúp các em có khả năng độc lập giải quyết các bài toán.
1.3. Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán
Quá trình t duy không nảy sinh nếu để giải quyết nhiệm vụ nhận thức (trả
lời câu hỏi, giải bài tập), học sinh chỉ vận dụng một cách máy móc, tự động
những kiến thức có sẵn, nhng quá trình t duy cũng không nảy sinh nếu nh để
giải quyết đợc nhiệm vụ, nhận thức phải cần đến những kiến thức mà học sinh
cha thể có đợc.
T duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loại
hình nhiệm vụ nhận thức đợc đặt ra.
Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phơng tiện cơ bản, vừa là
kết quả cuối cùng của quá trình t duy, kiến thức đợc nói tới ở đây bao hàm
trong nó có cả mặt khối lợng lẫn các mặt khác nh tính hệ thống, tính chính
xác, tính sâu sắc.
10
Kiến thức và điều kiện của bài toán động viên hành động trí tuệ(thao tác
t duy). Phân tích điều kiện này trong khi phân tích điều kiện bài toán, trong
khi vạch ra những khía cạnh mới trong điều kiện bài toán, ngời ta đã tạo ra đ-
ợc những tiền đề phản ánh những khía cạnh này, đã động viên đợc những kiến
thức mới. Những kiến thức mới về điều kiện của bài toán lại động viên những
hành động trí tuệ và cứ nh thế quá trình tiếp diễn.
Những kiến thức tham gia vào quá trình t duy có thể chia làm 2 loại:
- Những kiến thức mà ngời giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của
bài toán khi đọc kĩ đầu bài.
- Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhng
không có chúng thì quá trình t duy không nảy sinh đợc, đó là các kiến thức về
định nghĩa, định lí, định luật toán học mà ngời giải toán đã thu thập đợc từ tr-
ớc. Những kiến thức này cần thiết lập mối quan hệ logíc giữa điều kiện và kết
luận của bài toán.
Quá trình t duy trong giải toán có tiến triển đợc hay không là tuỳ thuộc ở

chỗ giữa 2 loại kiến thức trên có thiết lập đợc mối quan hệ qua lại hay không?
Những mối quan hệ qua lại này đợc thực hiện thông qua những hành động trí
tuệ với những kiến thức thu nhận trực tiếp những điều kiện của bài toán. Căn
cứ vào lý thuyết những hành động trí tuệ mà xem xét, những liên hội kiến thức
trực tiếp cũng đợc thực hiện bằng hành động trí tuệ.
Những hành động trí tuệ này đợc rút gọn, trở nên tự động hoá, nên ngời
giải toán dờng nh không ý thức đợc chúng.
Mỗi đại lợng toán học đợc phản ánh trong một khái niệm có rất nhiều
mặt, nhiều vẻ, nhều khía cạnh, tạo lập những liên hội kiến thức khác nhau.
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, không cần huy động mọi kiến
thức mà ngời giải đã thu thập đợc, không cần xét đến liên hội kiến thức có thể
có, không cần thiết lập mọi mối liên hệ qua lại có thể có giữa 2 loại kiến thức,
cần huy động kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hội kiến thức nào,
cần thiết lập những mối liên hệ qua lại nào giữa 2 loại kiến thức tất cả phụ
thuộc vào những hành động trí tuệ của ngời giải đã hớng tới với những mặt
nào, những khía cạnh nào của điều kiện của bài toán và phụ thuộc vào cơ chế
chung, của các hành động trí tuệ ấy.
Sự phát triển của các năng lực t duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nội dung
(các kiến thức) lẫn hành động của t duy (các hành động trí tuệ). Khái niệm
11
dạy toán ở trờng phổ thông cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là chỉ
nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay, vì kiến thức cha
nắm vững, cha có đầy đủ kiến thức đã thu thập từ trớc nên không giải đợc
toán. Có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít chịu
giải bài tập, có hành động trí tuệ, ít đợc rèn dũa nên cũng không giải đợc các
bài toán đòi hỏi phải động não chút ít.
Theo Pôlya thành phần căn bản của quá trình giải bất cứ bài toán nào là ý
muốn, khát vọng, quyết tâm giải bài toán đó. Bài toán mà anh có ý định giải,
mặc dầu đã hiểu nó, vẫn cha phải là hoàn toàn là bài toán của anh. Bài toán
chỉ thực sự trở thành bài toán của anh, thực tế chiếm lĩnh anh, khi anh đã có

quyết tâm nghiên cứu bài toán, cố gắng giải bài toán. Trong khi giải toán anh
có thể trở thành tù binh của bài toán đó, đôi khi nó thu hút sự chú ý của ngời
giải đến mức trở nên có vẻ đãng trí.
Trong quá trình dạy học môn Toán, muốn nâng cao chất lợng nắm vững
kiến thức thì giáo viên cần coi trọng bồi dỡng động cơ học tập đúng đắn (động
cơ là sử thể hiện của nhu cầu có ý thức của con ngời), bồi dỡng hứng thú toán
học cho học sinh của mình.
Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình t duy,
là hành động tinh thần hớng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành động trí tụê
bao hàm trong nó một loạt các thao tác đợc thực hiện trong một trật tự xác
định và phù hợp với những quy tắc nhất định. Một tập hợp các hành động trí
tuệ để giải quyết đợc nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt động trí tuệ trong
việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy.
Trong học tập môn toán có các thao tác t duy chính là phân tích và tổng
hợp. Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng bộ
phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó những dấu
hiệu và những phần riêng lẽ nào đó. Tổng hợp là kết các phần riêng lẽ lại, là
khái quát các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là 2 mặt đối
lập của một quá trình thống nhất. Các thao tác phân tích và tổng hợp có mặt
trong mọi hành động trí tuệ.
Theo G. Pôlya, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong
khi giải toán. Ngay sau khi đã đọc kĩ một đầu bài toán, ngời giảng cố gắng dự
đoán phạm vi bài giảng. Phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể còn
12
phần nào không đúng, mặc dầu thật ra không phải lúc nào cũng quá sai lầm.
Trên cơ sở dự đoán ta có đợc cái toàn thể ban đầu.
Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán của G.Pôlya:

Trong t duy đã diễn ra 2 hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ chức

kiến thức.
Động viên kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan
đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với nhau.
Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viên
nhận biết và nhớ lại hành động trí tuệ động viên kiến thức thờng đợc bắt đầu
bằng thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán. Tiếp tục
bằng thao tác nhớ lại những kiến thức đã quen thuộc và có liên quan với yếu
tố vừa đợc nhận biết.
Hành động trí tuệ tổ chức gồm các thao tác bổ sung và nhóm lại.
Khi nghi cứu một đối tợng phức tạp có thể tách biệt một chi tiết, một bộ
phận cụ thể khỏi cái toàn thể. Sau đó lại kết hợp liên kết những chi tiết, những
bộ phận đã đợc xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, đợc phản ánh đầy
đủ hơn trớc. Hành động tách biệt dẫn đến hành động kết hợp, hành động kết
hợp lại dẫn đến hành động tách biệt mới, tách biệt những chi tiết mới, những
bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho ngời giải hiểu bài toán và giải
đợc bài toán.
Hành động trí tuệ dự đoán đợc đặt ở trung tâm hình vuông, các cặp hành
động trí tuệ đối lập nhng thống nhất: động viên tổ chức, cách biệt đối lập đợc
đặt ở những đỉnh đối nhau của hình vuông, các thao trí tuệ đợc đặt trên các
cạnh của hình vuông, và khi đọc từ trái sang phải chúng ta tóm tắt quá trình trí
tuệ nh sau: từ những chi tiết đợc động viên đi đến một cái toàn thể có tổ chức,
một chi tiết vừa mới đợc phân biệt đợc tách biệt ra, đợc tập trung nghiên cứu,
có thể dẫn tới đợc thay đổi quan niệm của ngời về bài toán. Cũng nh vậy một
13
Tách biệt
Tách biệt
Tổ chức Động viên
Kết hợp
Nhóm lại
Bổ sungNhớ lại

Nhận biết


Dự đoán
chi tiết mà chúng ta nhớ lại đợc và tỏ ra thích ứng khi kết hợp, sẽ làm cho hiểu
biết của ngời giải về bài toán đợc phong phú thêm bổ sung cho cái toàn thể.
Tập hợp các hành động trí tuệ, các thao tác trí tuệ cùng mối liên hệ giữa
chúng mà ở sơ đồ trên gợi ý cho ta ý niệm về cơ chế của hoạt động trí tuệ khi
giải toán.
Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xác
định phù hợp với những câu hỏi tơng ứng.
1.4. Đôi nét thực trạng về khả năng liên tởng và hoạt động kiến thức
của học sinh
Hiện nay học sinh nhìn vấn đề một cách rời rạc, ít có sự liên hệ các kiến
thức với nhau nên bế tắc trong nhiều bài toán mà lẽ ra có thể giải quyết tốt nếu
ở họ biết liên tởng và huy động kiến thức.
Ví dụ 5:
Tính tích phân:
/
2
cos
2
1 sin
2
x x
I dx
x

=

+

Việc giải bài toán này đối với mỗi đối tợng học sinh một khác vì sức liên
tởng và huy động kiến thức khác nhau.
Đối với học sinh dới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khối
kiến thức ít và sức liên tởng có hạn.
Đối với học sinh trung bình, có thể liên tởng đến phơng pháp đổi biến số,
nhng việc giải đúng bài toán này theo phơng pháp đổi biến số không phải là
đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải.
Ta có:
/
2
cos
2
1 sin
2
x x
I dx
x


=

+

0 /2
cos cos

2 2
1 sin 1 sin
0
2
x x x x
dx dx
x x


= +

+ +

Đặt I
1
=
0
cos
2
1 sin
2
x x
dx
x


+

áp dụng phơng pháp đổi biến số bằng cách
14

Đặt x = - t dx = - dt
Đổi cận đợc I
1
=
0
2
1 sin
2
t cost
dt
t


+
=
/2 /2
cos cos
2
1 sin
1 sin
0 0
t t x x
dt dx
t
x

=

+
Thay I

1
vào đợc: I = 0
Học sinh khá, giỏi thì sức liên tởng và huy động kiến thức có thể lớn hơn
nên nhìn vấn đề bài toán ở đây có sự liên hệ cận đối nhau, nghĩ đến việc xét
hàm số dới dấu tích phân:
Xét hàm số: f(x) =
2
cos
1 sin
x x
x+
Ta có: f(-x) =
2
cos
( )
1 sin
x x
f x
x

=
+
Vậy hàm số f(x) là hàm số lẻ.
Kết luận tích phân I = 0
Ví dụ 6:
Chứng minh rằng: 1 + 2007
1
n
C
+ 2007

2 2
n
C
+ + 2007
n-1 1-n
n +
C
+ 2007
n

= 2008
n
, với n N
*
Đây là một bài toán tổ hợp không phải là khó đối với mọi học sinh. Khi
gặp bài toán này học sinh phải có sự liên tởng đến việc sử dụng công thức khai
triển Newton và phải huy động các công thức đã học về tổ hợp. Nhng việc lựa
chọn đúng công tức và sử dụng khai triển nhị thức Newton nh thế nào để
chứng minh đợc bài toán là một vấn đề không phải học sinh nào cũng thực
hiện đợc. Nếu lựa chọn và liên tởng đợc:
Xét khai triển Newton x, n N
*
:
(1 + x)
n
=
0 2
1
4 2
.1

1
n
n
x x x x
n
n n
n n n n

+ + + + +

C C C C C
(10)
Thay x = 2007 vào hai vế của (1) ta đợc:
2008
n
= 1 + 2007
2
1
1 2
1
. .
2007 2007 2007
n
n n
n n n


+ + + +
C C C
15

Trong giải toán Tổ hợp nhận thấy rằng nếu liên tởng đợc sử dụng công
thức khái triển Newton, và lựa chọn đúng công thức thì việc giải quyết bài
toán không còn khó khăn nữa. Đây là những bài toán trong kỳ thi tốt nghiệp
phổ thông trung học và kỳ thi đại học thờng gặp.
Mỗi ngời (học sinh) có sức liên tởng và huy động kiến thức khác nhau
nên khi giải bài toán gặp những khó khăn ở mức độ khác nhau.
Hiện nay tình trang học sinh nhìn nhận về bài toán tổ hợp còn ít sự liên
hệ giữa các kiến thức với nhau và liên tởng các kiến thức vận dụng giải bài
toán.
Khi dạy công thức nhị thức Newton giáo viên cần khắc sâu kiến thức,
thông qua các bài tập củng cố. Để từ đó học sinh ghi lại trong trí nhớ để rồi
khi gặp các bài toán tơng tự đa ra mà vận dụng.
Có thể tham khảo một số bài toán sau:
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
0 1 2
2

6 6 6 7
n
n n
n n n n
+ + + + =
C C C C
b. 3
17

0 1 17
16 17
17

1 17
. .
17 17
4 3 4 7
+ + + =
C C C
2. Với n là số nguyên dơng, chứng minh rằng:
4
n

0 1 1 2 0 1 2
2 2 2
( 1)
4 4 2 2 2
n n n n n
n n n n n n n n


+ + + = + + + +
C C C C C C C C
3. Chứng minh rằng:
0 2 4

2
+ + + + + = + + + + + =
2p-2 2p 1 3 5 2p-3 2p-1
2p-1
2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p
C C C C C C C C C C
4. Tìm hệ số của x

5
trong khai triển nhị thức Newton của (1 + x)
n
, n N
*
,
biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
5. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 (1 )x x

+

1.5. Liên hệ với Phép duy vật biện chứng
Để góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh,
trong quá trình giảng dạy Toán cần chú ý lồng ghép, cài đặt một cách hợp lý
nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức (thuộc về Phép biện chứng duy
vật). Nói nh vậy không có nghĩa là chúng ta dạy Triết học trong môn Toán, mà
quan trọng ở chỗ tình huống nào, thời điểm nào trong quá trình dạy Toán cho
học sinh, ngời thầy sẽ chốt lại về một cái gì đó để làm cho học sinh sáng tỏ
16
hơn nữa về Phép biện chứng duy vật, và khi nắm đợc những kiến thức về Phép
biện chứng duy vật thì học sinh có thêm những cơ sở để giải quyết các vấn đề
Toán học.
Quan điểm duy vật biện chứng không chỉ khẳng định bản chất vật chất,
tình thống nhất vật chất thế giới mà còn khẳng định các sự vật, hiện tợng trong
thế giới đó luôn luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và phát triển

không ngừng theo những quy luật vốn có của nó, làm sáng tỏ những vấn đề đó
là nội dung cơ bản của phép biện chứng. Ăngghen khẳng định rằng phép biện
chứng là lý luận về mối liên hệ phổ biến là môn khoa học về những quy luật phổ
biến của sự vận động, của tự nhiên, của xã hội loài ngời và của t duy.
Những nguyên lý và những quy luật cơ bản của Phép biện chứng duy vật
là: Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến; Nguyên lý về sự phát triển; Quy luật l-
ợng đổi - chất đổi; Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập;
Quy luật phủ định của phủ định.
Thế giới nh một chỉnh thể thống nhất, các sự vật, hiện tợng và các quá
trình cấu thành thế giới đó vừa tách biệt lẫn nhau vừa có mối liên hệ qua lại,
thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau. Từ nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệ
phổ biến này, ta rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng nh trong
hoạt động thực tiễn. Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải xem xét nó
trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tính
khác nhau của chính sự vật đó. Phải xem xét trong mối liên hệ giữa sự vật đó
với các sự vật khác. Muốn thực sự hiểu đợc sự vật cần phải nhìn bao quát và
nghiên cứu tất cả các mặt, các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của nó
(V.I.Lênin).
Liên tởng và huy động các kiến thức nó có gắn liền với việc nhìn các đối
tợng Toán học trong mối liên quan mật thiết đối với các đối tợng khác. Đó
chính là quy luật về tính toàn diện của t duy biện chứng.
Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ điều vừa nêu trên.
Thật vậy, ta thờng xuyên phải nhìn những đối tợng Toán học dới nhiều đối t-
ợng khác nhau, phải nhìn trong mỗi liên hệ qua lại giữa các bộ phận, yếu tố,
và nhìn trong mối liên hệ với các đối tợng khác.
Ví dụ: Ta cần làm cho học sinh nhìn mỗi đối tợng Toán học dới nhìn góc
độ và trong nhiều mối quan hệ khác nhau. Chẳng hạn:
17
Giải và biện luận phơng trình: x
4

- 2ax
2
+ a
2
- x - a = 0
(*)
Với sự liên tởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh nên sẽ có
các lời giải khác nhau.
Cách 1: Phơng trình (*) là phơng trình bậc 4 ẩn x và tham số a nên sẽ
giải và biện luận (*) theo a.
(*) (x
2
- a)
2
- x - a = 0
(x
2
- a)
2
- x
2
+ x
2
- x - a = 0
(x
2
- a - x) (x
2
- a + x) + (x
2

- x - a) = 0
(x
2
- x - a) (x
2
+ x - a - 1) = 0 (* *)
Sau đó thực hiện các bớc giải biện luật (* *) theo a khá đơn giản.
Cách 2: Nếu nhìn vế trái của (*) là phơng trình bậc hai ẩn a:
(*) a
2
- (2x
2
+ 1) a + x
4
- x = 0
- Ta có: = 4x
2
+ 4x + 1 = (2x + 1)
2
Việc giải và biện luận (*) đến đây thật đơn giản vì biệt thức 0, x R.
Ví dụ 7: Giải phơng trình:

4 2 4 2
1 1 9 3 1
cos cos
16 2 16 2 2
x cos x x cos x+ + + =
Đây là một phơng trình vô tỷ lợng giác, thoạt nhìn có lẽ ai cũng ái ngại,
song không vì thế mà không dám giải phơng trình đó. Đập vào mắt ta là các
biểu thức dới dấu căn, chúng có gì đặc biệt không?

Ta để ý thấy:

4 2 2
1 1 1
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ =

4 2 2
9 3 3
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ =
Nh vậy, tính chất vô tỷ trong bài toán đó chỉ còn là cái áo ngụy trang mà
thôi, bởi vì do
2
A A=
, phơng trình đã cho có dạng:

2 2
1 3 1
4 4 2
cos x cos x + =
(*)
18
Ta lại nói tiếp về phơng trình (*) là phơng trình lợng giác có dấu giá trị
tuyệt đối, các biểu thức dới dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy cả hai đều có
chứa cos
2
x. Do đó, ta có thể bổ sung ẩn phụ: u = cosx với

0 1u
. Khi đó
ta có phơng trình đối với u là:

1 3 1
4 4 2
u u + =
(**)
Phơng trình (**) là phơng trình đại số chứa dấu giá trị tuyệt đối, có thể
giải đợc bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ta hãy nhìn cách khác đối với phơng trình (**).
Ta cách ly từng dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy rằng có thể xem đó chỉ
là độ dài các đoạn thẳng.
1
4
u
là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm M có
hoành độ u và A có hoành độ
1
4
,
3
4
u
là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và B,
B có hoành độ
3
4
. Liên hợp các chi tiết này, phơng trình (**) cho ta dới dạng
mới:

MA + MB =
1
2
.
Bằng cách nhìn mới, bài toán đợc phát biểu lại là: Xác định vị trí của
điểm M trên trục số sao cho tổng khoảng cách đến A và B bằng
1
2
. Đến đây,
việc giải bài toán chỉ còn các bớc có tính chất kỹ thuật mà thôi.
Có thể có nhiều cách giải nữa. Việc tìm ra mỗi cách giải phụ thuộc chính
sự liên tởng, huy động kiến thức hoặc là việc nhìn bài toán ấy dới những góc
độ khác nhau. Đó cũng chính là biểu hiện khả năng t duy biện chứng.
Số liệu trong bài toán không thể là hoàn toàn ngẫu nhiên. Một cách tổng
quát thì ta đã gặp một số bài toán nếu sửa đi một con số thì không tài nào giải
đợc dù rằng trớc đó có lời giải đẹp. Đó là những cặp phạm trù tất nhiên - ngẫu
nhiên.
19
Kết luận chơng 1:
Trong chơng này luận văn đã đa ra các cơ sở khoa học lý luận và thực
tiễn về liên tởng và huy động kiến thức, luận văn đã trình bày đợc vai trò, ý
nghĩa của liên tởng và huy động kiến thức trong Toán học. Khẳng định vị trí
của nó trong hoạt động trí tuệ khi giải toán. Thực tiễn s phạm cho thấy việc
rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong dạy
học Đại số và Giải tích là rất phù hợp với thực trạng hiện nay và hết sức cần
thiết.
Chơng 2
Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng
liên tởng và huy động kiến thức trong dạy học
Đại số và Giải tích

2.1. Các định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm
Định hớng 1: Các biện pháp s phạm đợc xây dựng phải dựa trên nền tảng
tri thức chuẩn của sách giáo khoa Toán hiện hành.
20
Định hớng 2: Các biện pháp s phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn đúng
mức, nhằm làm cho học sinh đợc tham gia vào quá trình hình thành tri thức và
kỹ năng.
Định hớng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng
thú học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh.
Định hớng 4: Các biện pháp s phạm đợc đề xuất phải dựa trên vốn kiến
thức của học sinh và việc liên tởng, huy động các kiến thức một cách hợp lý sẽ
góp phần giải quyết các vấn đề Toán học.
Định hớng 5: Các biện pháp s phạm đợc đề xuất phải đảm bảo tính khả
thi, và thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy đợc vai trò của liên tởng,
huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích.
2.2. Một số biện pháp s phạm nhằm góp phần rèn luyện khả năng
liên tởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích ở trờng
THPT.
2.2.1. Biện pháp 1: Trong quá trình truyền thụ kiến thức Toán học
cho học sinh, cần nhấn mạnh khả năng ứng dụng của nó bằng việc lựa
chọn một hệ thống bài tập phù hợp để học sinh thấy đợc mối liên quan
giữa các nội dung Toán học.
Trong chơng trình Giải tích 11 và Giải tích 12, phần đạo hàm và ứng
dụng đạo hàm giữ vai trò quan trọng, chủ đạo, có số tiết khá lớn và bằng ph-
ơng pháp đạo hàm có thể giải quyết đợc khá nhiều dạng Toán ở bậc trung học
phổ thông.
Vậy nên khi dạy học về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, giáo viên cần
nhấn mạnh đến khả năng ứng dụng của nó.
Chẳng hạn: ứng dụng của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng
minh bất đẳng thức (trong Đ1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Giải tích 12).

Phơng pháp chung:
Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:
Nếu f

(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] f(a)
f(x) f(b).
21
Nếu f

(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) nghịch biến trên [a; b] f(a)
f(x) f(b).
Chú ý trong nhiều trờng hợp cần sử dụng thêm các bất đẳng thức quen
thuộc nh bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng x > sin x trên khoảng (0;

2
).
Giáo viên hớng dẫn gợi ý cho học sinh giải bằng cách xét khoảng đơn
điệu của hàm số f(x) = x sinx trên khoảng (0;

2
).
- Xét hàm số f(x) = x - sinx (0 x <

2
), ta có f

(x) = 1 - cosx 0 (f(x) = 0
chỉ tại x = 0) nên theo định lý tính đơn điệu của hàm số ta có f(x) đồng biến
trên nửa khoảng [0;

2
).
Do đó, với 0 < x <

2
ta có f(x) = x - sinx > f(0) = 0
hay x > sinx trên khoảng (0;

2
).
Từ ví dụ trên giáo viên có thể lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp về
mức độ và điều kiện thời gian tại lớp hoặc về nhà để học sinh thấy đợc mối
liên quan giữa tính đơn điệu của hàm số và chứng minh bất đẳng thức trên
khoảng đã chỉ ra.
1. tan x > x (0 < x <

2
).
2. tan x > x +
3
x
3
(0 < x <

2
).
3. cosx > 1 -
2
x

2
với mọi x 0
22
4. sinx > x -
3
x
6
với mọi x > 0
5. sinx < x -
3
x
6
với mọi x < 0
6. sinx + tanx > 2x với mọi x (0;

2
).
ứng dụng của đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (Đ3. Giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Giải tích 12).
Dạng 1: Khảo sát trực tiếp, chẳng hạn:
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x
3
- 3x + 3 trên đoạn
3
3;
2

- Ta có: f

(x) = 3(x
2
- 1)
f

(x) = 0 x = 1.
Bảng biến thiên:
x -3 -1 1
3
2
y + 0 - 0 +
y 5
15
18
-15 1

Từ bảng biến thiên, ta đợc: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 tại x = -1,
giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -15 tại x = -3
Ngoài ra ta còn có thể theo quy tắc sau để tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ của hàm số:
- Tìm các điểm x
i,

(i=1;m)
, x
i
(a; b) tại đó hàm số f(x) có đạo hàm

bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
- Tính f(x
1
), f(x
2
), , f(x
m
), f(a), f(b).
- So sánh các giá trị tìm đợc số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn
nhất của f(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ
nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
23
Sau khi giới thiệu cho học sinh ví dụ và cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số theo khảo sát lập bảng biến thiên hoặc cách so sánh các
giá trị f(x) trên đoạn [a; b], giáo viên đa ra một hệ thống bài tập yêu cầu về
nhà làm để khắc sâu phơng pháp này:
Tìm giá lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. f(x) =
3
3
x
+ 2x
2
+ 3x - 4 trên đoạn [-4; 0].
2. f(x) = x +
1
x
trên khoảng (0; + ).
3. f(x) = -x
2

+ 2x + 4 trên đoạn [2; 4].
4. f(x) =
2
2 5 4
2
x
x
x
+ +
+
trên đoạn [0; 1].
Dạng 2: Khảo sát gián tiếp (đặt ẩn phụ)
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = sin
4
x + cos
4
x
Giáo viên gợi ý để giải bài toán cách sử dụng công cụ đạo hàm.
Ta nhận thấy rằng giải bài toán này ta nên đặt ẩn phụ.
Với cách đặt t = sin
2
x, t [0; 1]. Khi đó học sinh có thể thực hiện đờng
các bớc tiếp theo:
Xét hàm số f(t) = t
2
+ (1 - t)
2
trên đoạn [0; 1].
f

(t) = 2t - 2 (1 - t) = 2 (2t - 1) = 0 t =
1
2
Bảng biến thiên:
t 0
1
2
1
f

- 0 +
f
1 1
1
2
Giá trị lớn nhất của hàm số f(t) = 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) bằng
1
2
.
Vậy từ bài toán này đa ra các bài tập đề nghị sau:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. y = 2sin
2
x + 2sinx - 1
24
2. y = cos
2
2x + sinx cosx +4
3. y = sin

4
x + cos
2
x + 2
Khi sử dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ta
cần lu ý với học sinh rằng:
- Việc biến đổi không có một quy tắc chung nào để xác định biến mới
trong mỗi bài toán, do đó việc chọn biến mới cần linh hoạt.
- Tìm điều kiện của biến mới t = g(x) có thể lại dùng đạo hàm, có thể
dùng phơng pháp miền giá trị hoặc có thể đa về dạng bình phơng hay sử dụng
bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki Từ đó tìm miền xác định của hàm số mới
thiết lập theo biến đã chọn.
- Việc xác định của dấu đạo hàm f

(x) phải xác định dấu của g(x) thì mới
lập đợc bảng biến thiên.
Dù khảo sát trực tiếp hay gián tiếp để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tuỳ
học sinh cũng phải thực hiện đợc các kỹ năng: tính đạo hàm, tìm điểm cực trị,
xét chiều biến thiên của hàm số thông qua hệ thống bài tập.
ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giải
một bài toán trong thực tiễn: (SGK Giải tích 12 - Ban nâng cao và cơ bản Đ 3.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số).
Giáo viên gợi ý các bớc thực hiện bài toán này nh sau:
Bớc 1: Chuyển bài toán thực tế về bài toán học bằng cách: lựa chọn ký
hiệu, xác định đại lợng biến thiên, đại lợng cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất thông qua việc thiết lập hàm số.
Bớc 2: Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Bớc 3: Chuyển kết quả tìm đợc về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế.
Ví dụ 11: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Ngời ta cắt ở 4 góc 4
hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại nh hình vẽ bên để đợc một cái

hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối
hộp là lớn nhất.
25
a