góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán ở trường phổ thông

1
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo
phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên
2005, tr. 1).
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban
Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:
Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”.
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh,…; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh”.
Chương trình môn Toán thí điểm trường THPT (2002) chỉ rõ: "Môn
Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành
khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, …; phát
triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể …".
1.2. Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một
cách cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nước
ta đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trường có sự quản lý của
Nhà nước. Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống
giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản
về PPDH. Tuy nhiên, cũng phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nay
vẫn đang còn nhiều tồn tại phổ biến, đó là:

- Thầy thuyết trình tràn lan;
- Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện;
- Thầy áp đặt, trò thụ động;
- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo
của người học;
- Không kiểm soát được việc học.
Về thực trạng này, nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:
“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi
giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định
lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để
tính toán, chứng minh …” (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr. 4).
GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản …" (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 25).
1.3. Xuất phát từ đặc điểm của tư duy toán học, đó là sự thống nhất giữa
suy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được
thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhưng, nếu nhìn
Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phương pháp của
nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy nạp. Vì vậy, trong dạy học
Toán, phải chú ý tới cả hai phương diện, suy luận chứng minh và suy luận có
lý thì mới khai thác được đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục
tiêu giáo dục toàn diện - như G. Polia phát biểu: "Nếu việc dạy Toán phản ánh
mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy
đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý" (G. Polia 1995, tr. 6).
1.4. Thực tế giải Toán cho thấy: có nhiều bài toán sẽ tìm được lời giải
nếu đoán được kết quả của nó; ngược lại, sẽ bế tắc trong khâu định hướng nếu
2
không dự đoán được kết quả của bài toán đó. Ví dụ như dạng toán tìm quỹ
tích, chúng ta thường phải dự đoán được kết quả quỹ tích trong phần thuận,

sau đó kết hợp với phần đảo để chứng minh đó là quỹ tích cần tìm. Hay trong
một số bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN,
thường ta phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra làm cơ sở cho các phép biến đổi
dẫn đến kết quả của bài toán, …
1.5. Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong quá trình phát
triển tư duy học sinh. Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích đáng
xứng với vị trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do
giáo viên chưa ý thức được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng được
các biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự đoán, suy luận
có lý cho học sinh?
Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận
có lý là tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G. Polia. Tuy nhiên,
các ví dụ trong tác phẩm của ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các
ví dụ mô tả lại con đường dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn thiếu
các ví dụ phù hợp với học sinh phổ thông.
Ở Việt Nam, gần đây đã có một số công trình nghiên cứu ít nhiều liên
quan đến dự đoán, suy luận có lý; chẳng hạn như Luận án Tiến sĩ của Trần
Luận (1996): "Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polia xây dựng nội dung và
phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát
huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II". Nhưng, có thể nói,
cho đến nay vẫn chưa có một công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ và
sâu sắc việc rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý
trong dạy học Toán ở trường phổ thông.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:
"Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy
luận có lý trong dạy học Toán ở trường phổ thông"
3
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu việc phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý của học
sinh trong việc dạy học Toán ở trường phổ thông.

3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
3.1. Thế nào là dự đoán, suy luận có lý? Sự phân biệt giữa chúng với suy
luận diễn dịch là gì?
3.2. Vai trò của dự đoán và suy luận có lý trong dạy học Toán là như thế nào?
3.3. Những con đường thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán, suy
luận có lý là gì?
3.4. Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận có lý cho
học sinh trong dạy học Toán ở trường phổ thông là như thế nào?
3.5. Dạy dự đoán, suy luận có lý cho học sinh nên tuân theo những quan
điểm nào?
3.6. Phân tích vai trò của dự đoán, suy luận có lý bằng việc làm sáng tỏ ý
nghĩa của nó trong việc tìm kiếm lời giải của một số bài toán.
3.7. Thực nghiệm sư phạm.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận
có lý cho học sinh khá, giỏi trong dạy học Toán ở trường phổ thông, thì sẽ nâng
cao hiệu quả dạy học môn Toán, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ
đổi mới PPDH Toán trong giai đoạn hiện nay.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận;
5.2. Điều tra, quan sát;
5.3. Thực nghiệm sư phạm.
4
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Góp phần làm sáng rõ thêm vai trò của hoạt động dự đoán, suy luận
có lý bằng việc tổng hợp, phân tích các cơ sở lý luận của các nhà khoa học.
6.2. Đề xuất được những quan điểm đối với việc rèn luyện cho học sinh
khả năng dự đoán, suy luận có lý.
6.3. Hiện thực hóa được hoạt động dự đoán, suy luận có lý trong quá

trình tìm kiếm lời giải các bài toán.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Đóng góp của luận văn
Chương 1. Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Bàn về mục tiêu đào tạo
1.2. Quan niệm về quá trình sáng tạo vai trò của trực giác trong quá
trình nhận thức và sáng tạo Toán học
1.3. Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học
1.4. Quan niệm về dự đoán, suy luận có lý
1.5. Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm
Khoa học luận
1.6. Đôi điều về sự thay đổi Chương trình và sách giáo khoa môn Toán
theo hướng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý
1.7. Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý qua thực tiễn
giải Toán
5
1.8. Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tương đối phổ biến trong
môn Toán
1.9. Liên hệ vấn đề dạy dự đoán, suy luận có lý với Lý thuyết tình
huống
1.10. Kết luận Chương 1
Chương 2. Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học
sinh dự đoán, suy luận có lý
2.1. Bàn về định hướng đổi mới PPDH

2.2. Về một số phương pháp hoặc xu hướng dạy học đáp ứng yêu cầu
đổi mới PPDH
2.3. Hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy
luận có lý
2.4. Những vấn đề nào thích hợp với dự đoán, suy luận có lý? Có phải
bao giờ cũng dùng dự đoán, suy luận có lý? Những bất cập của nó?
2.5. Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự
đoán, suy luận có lý
2.6. Minh họa quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận có lý qua những ví
dụ cụ thể
2.7. Kết luận Chương 2
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
6
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Bàn về mục tiêu đào tạo
Về mục tiêu giáo dục, Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành
Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII (1993) đã nêu rõ: "Mục tiêu
giáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ,
sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công
bằng, dân chủ văn minh".
Chúng ta đang sống trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước, thời đại mà lượng thông tin phát triển mạnh như vũ bão. Từ những năm
70 của thế kỷ XX, đã xuất hiện những lời nhận xét: "Khối lượng tri thức khoa

học tăng lên nhanh chóng một cách lạ thường, theo các nhà bác học, cứ 8 năm
nó lại tăng lên gấp đôi" (V. A. Cruchetxki, tr. 112). Dòng thông tin khoa học
phát triển mạnh làm cho khoảng cách giữa tri thức khoa học nhân loại và bộ
phận tri thức được lĩnh hội trong nhà trường ngày một tăng thêm. Do đó, tham
vọng giáo dục sẽ truyền thụ cho học sinh tất cả tri thức đủ để đảm bảo cuộc
sống sau này của học sinh là không tưởng. V. A. Cruchetxki cũng từng nói:
"Không một trường học nào cung cấp cho con người đủ một phần tri thức dù
ít ỏi cần thiết" (V. A. Cruchetxki 1980, tr. 113). Lượng tri thức đó phải là kết
quả của quá trình học tập lâu dài, “học nữa, học mãi”, học suốt đời chứ không
phải chỉ khi còn ngồi trên ghế nhà trường. Vì vậy, giáo dục không chỉ dạy tri
thức mà còn phải truyền thụ cho học sinh phương pháp tự học tích cực, độc
lập, sáng tạo, khả năng thích ứng tốt trong cuộc sống.
Để đáp ứng được “đơn đặt hàng của xã hội”, nhà trường cần phải đổi
mới phương pháp dạy học: "Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo,
khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người
học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào
7
quá trình dạy học" (Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung
ương Đảng Cộng sản Việt Nam, Khóa VIII, 1997).
Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó như là động lực để phát huy tính
tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là
niềm vui, hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lý. "Nếu học sinh
được độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện
tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt". Do đó trong
phưong pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm
thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi
ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa,
thực hiện định hướng "hoạt động hóa người học", "học sinh cần được cuốn
hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó

tự lực khám phá những điều mình chưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp
thu tri thức đã được sắp sẵn. Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế,
trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của
mình. Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm
được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rập
khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo"
(Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3).
Như vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển
sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", PPDH mới đã chú trọng đến việc phát huy
tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học,
"chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học cũ
theo kiểu “thầy đọc, trò chép”, "học vẹt", "học tủ", "học thuộc lòng mà không
hiểu, không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông
minh", chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy
8
tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình
huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý
kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 4).
1.2. Quan niệm về quá trình sáng tạo và vai trò của trực giác trong
quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học
"Đối với một đất nước đi sau, lạc hậu như nước ta, dĩ nhiên đầu tiên là
phải khiêm tốn học hỏi, cố gắng sử dụng, chuyển giao công nghệ để sớm có
trong tay các công nghệ cao. Nhưng như vậy chưa đủ, vì công nghệ phát triển
như vũ bão. Muốn cạnh tranh thì đất nước mình không chỉ lo đi học mà phải
nghĩ đến sự sáng tạo ra những công nghệ mới. Như vậy đứng ở góc độ giáo
dục - đào tạo, phải có biện pháp cụ thể giáo dục tư duy sáng tạo cho học sinh”
(Nguyễn Cảnh Toàn 2002, tr. 10).
Sáng tạo là một hoạt động đang rất được quan tâm trong giai đoạn hiện
nay. Trong nghiên cứu khoa học, sáng tạo đóng vai trò quan trọng trong việc tìm
ra tri thức mới - như T. Ribo đã nhận xét rằng, phần lớn các khoa học đều được

xây dựng trên những quan sát, những giả thuyết và sự kiểm tra. Các giả thuyết là
kết quả của trí tưởng tượng sáng tạo, còn kiểm tra là thuộc về hoạt động suy lý
và tưởng tượng, cũng là quy về đấy (dẫn theo Đức Uy 1999, tr. 81).
Khi nói đến hoạt động sáng tạo, người ta thường xuất phát từ định
nghĩa được nhiều người công nhận là, một dạng hoạt động của con người mà
kết quả là sản phẩm mới có ý nghĩa, có giá trị xã hội, chẳng hạn: "Sáng tạo là
hoạt động của con người nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với
các mục đích, nhu cầu của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của
thực tiễn. Sáng tạo là hoạt động được đặc trưng bởi tính không lặp lại, độc
đáo và duy nhất" (dẫn theo Trần Luận 1996, tr. 175).
Theo Poăngcarê và Ađama, quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:
chuẩn bị, sự chín muồi (của ý tưởng), bừng sáng và kiểm chứng.
9
Giai đoạn 1. Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức. Trong giai
đoạn này, nhà khoa học hình thành vấn đề đang giải quyết và thử giải quyết
vần đề đặt ra theo các cách khác nhau. Vai trò của công việc có ý thức trong
trường hợp này là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn mà việc sử
dụng chúng có thể cho lời giải cần tìm. Ở giai đoạn này, các yếu tố suy luận
và trực giác tìm kiếm lời giải cùng tồn tại và bổ sung cho nhau. Tuy nhiên,
yếu tố suy luận đóng vai trò chủ đạo.
Giai đoạn 2. Giai đoạn ấp ủ. Giai đoạn này được bắt đầu khi công việc
giải quyết vấn đề một cách có ý thức ngừng lại, công việc tiếp diễn lúc này
chính là hoạt động của các lực lượng tiềm thức. Tuy nhiên, để “lôi cuốn” các
lực lượng tâm lý tiềm thức thì các cố gắng có ý thức ban đầu là điều kiện cần
thiết. G. Polia đã khẳng định: "Chỉ có những bài toán mà ta đã tập trung suy
nghĩ nhiều, thì khi trở lại mới được biến đổi sáng ra. Những cố gắng có ý thức
và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc …" (dẫn theo Trần
Luận 1996, tr. 25).
Giai đoạn 3. Giai đoạn bừng sáng. Giai đoạn 2 kéo dài cho đến sự
"bừng sáng" trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức.

Đây là giai đoạn quyết định của tiến trình kiếm tìm lời giải. Sự "bừng sáng"
của trực giác này thường xuất hiện đột nhiên, không thấy trước được. Tuy
nhiên, đôi khi cũng có ngoại lệ. Sự "bừng sáng" xuất hiện sau khi nhà Toán
học đã có một sự dự cảm sẽ nhận được kết quả. Có thể xem dự cảm là phương
án yếu của sự "bừng sáng" trực giác. Cả hai phương án yếu (dự cảm) và mạnh
(trực giác) cũng thường đánh lừa các nhà Toán học. Theo V. A. Kapunin thì
khả năng xuất hiện sự "đánh lừa" càng lớn khi vấn đề đang giải quyết càng cơ
bản hoặc còn ít được nghiên cứu.
Giai đoạn 4. Giai đoạn kiểm chứng. Ở giai đoạn này, nhà Toán học
triển khai lập luận chứng lôgic và kiểm tra lời giải nhận được từ trực giác.
10
Giai đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận được bằng trực giác là chưa chắc
chắn, có tính giả thuyết và như đã nói trên nó có thể "đánh lừa" các nhà Toán
học. Công việc của nhà Toán học trong giai đoạn này là hoàn toàn có ý thức
và rất tích cực.
Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo, thì hai giai đoạn
quan trọng nhất nhưng chưa được nghiên cứu đầy đủ và có nhiều quan điểm
khác nhau là giai đoạn ấp ủ và giai đoạn bừng sáng. Và dường như các giai
đoạn này của quá trình sáng tạo đều ẩn chứa một vẻ đẹp toán học và phẩm
chất thẩm mỹ của các nhà Toán học - như GS. TS. Nguyễn Cảnh Toàn đã
từng phát biểu trong cuốn Tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu
Toán học: "Ở những điểm "nút" có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có
khi người làm Toán cần tư duy hình tượng, cần một trí tưởng tượng thật bay
bổng, thật táo bạo như là với một nhà văn viết chuyện viễn tưởng hay thần
thoại. Để phát hiện ra vấn đề, nhiều khi người làm Toán cũng cần có óc thẩm
mỹ để thưởng thức cái đẹp trong Toán học, và từ chỗ thưởng thức cái đẹp đó
mà có ý muốn đi sâu vào cái thâm thúy bên trong" (Nguyễn Cảnh Toàn 1992,
tr. 5).
* Vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học
Trong lịch sử Triết học, khái niệm trực giác đã được đề cập từ lâu và

đã có rất nhiều cách hiểu khác nhau.
Theo Đại Bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận
thức được chân lý bằng xét đoán trực tiếp không có sự biện giải bằng chứng
minh (dẫn theo Trần Luận 1996, tr. 35).
Trực giác hiểu theo V. A. Cruchetxki: "Trong nhiều trường hợp, sự
bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực có thể được giải thích bởi sự ảnh
hưởng vô thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là năng lực khái
11
quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các phép toán Toán học và năng lực tư
duy bằng các cấu trúc rút gọn".
Trong sơ đồ tâm lý nhận thức quá trình sáng tạo khoa học, kỹ thuật của
Viện sĩ Xôviết B. Kêđrôv, trực giác đóng vai trò là phương tiện chủ yếu để
thực hiện bước biến chuyển từ cái đặc thù (O) lên cái phổ biến và tính phổ
biến (B) trong quá trình vận động đến chân lý của tư duy: E – O – B (E là ký
hiệu của cái đơn nhất và tính đơn nhất).
Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế
tồn tại nhiều dạng khác nhau. Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngột
chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp không
phải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr. 1369),
là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống toán học
(được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Toán học hình thức lẫn những tình
huống thực tiễn mang đặc trưng toán học). Cũng có khi, trực giác được xem là
kết quả của sự vận động không có ý thức của cách thức hành động khái quát và
cấu trúc rút gọn. Hiện tượng cuối cùng này về thực chất, theo B. Kêđrôv chỉ là
quá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức. X. L. Rubinstêin khẳng định: Trong
tiến trình dạy học, sự thay đổi các kết hợp được thực hiện liên tục theo hai hướng
ngược nhau: một mặt các mối liên hệ phức tạp lên (các mạch của kết hợp, các hệ
thống của chúng được hình thành các dạng thấp chuyển thành các dạng cao)",
mặt khác, do quá trình lĩnh hội được tự động hóa nên xảy ra sự giản lược các kết
hợp (các mối liên hệ trung gian mất đi, các dạng cao chuyển thành dạng thấp)

(dẫn theo Trần Luận 1996).
Theo quan điểm của Iu. M. Kôliagin và đồng tác giả, thì trực giác là
phương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi cách hiểu trực tiếp về sự
thật. Thường được xếp vào lĩnh vực trực giác là những hiện tượng như đột nhiên
tìm ra được một lời giải bài tập đã tìm nhiều nhưng chưa giải được, đột nhiên
12
tìm ra được phương pháp đúng đắn để tránh được sự nguy hiểm, giải ra một cách
nhanh chóng theo bản năng một vấn đề (Iu. M. Kôliagin 1980, tr. 127). Gauss kể
lại: "Việc giải bài toán mà tôi loay hoay trong vài năm không xong bỗng cuối
cùng vụt đến cách đây hai hôm nhưng không phải nhờ những cố gắng vất vả
của tôi mà nhờ sự phù hộ của Chúa … Cách giải quyết đã đến bất ngờ như
một tia chớp lóe sáng, tôi không thể nói được cái đã nối liền các kiến thức
trước kia của tôi với cái làm cho sự thành công của tôi có thể thực hiện được
là cái gì" (dẫn theo Đức Uy 1999, tr. 82).
Việc "bất ngờ" có được cách giải quyết vấn đề mà tư tưởng đã phải vật
lộn lâu dài và vất vả đã được nhiều nhà khoa học nói tới. Các nhà nghiên cứu
gọi đó là "trực giác", cái đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học.
"Nếu ta ngẫm nghĩ các câu trả lời của các nhà bác học về câu hỏi: phát minh
được thực hiện như thế nào, những kiến thức khoa học mới về mặt nguyên
tắc được hình thành như thế nào, ta thấy sợi chỉ đỏ xuyên qua tất cả các câu
trả lời trên là quan niệm về vai trò quyết định của tưởng tượng và trực giác,
rồi thành quả của họ sau này mới được sự xác nhận của cách chứng minh
bằng lôgic và trở thành đối tượng của sự phát triển thêm nữa" (Đức Uy 1999,
tr. 80).
Luiđơ Broilơ viết: "nhờ những bước nhảy vọt phi lý, ta có thể bẻ gãy
được cái vòng cứng nhắc, trong đó lối suy luận diễn dịch vẫn giam hãm chúng
ta, phép quy nạp dựa trên tưởng tượng và trực giác cho phép ta thực hiện
những chinh phục vĩ đại của tư duy; nó là cơ sở của tất cả những thành tựu
thực sự của khoa học …" (dẫn theo Đức Uy 1999).
Vai trò của trực giác trong sáng tạo khoa học còn ở chỗ nó có vị trí chủ

đạo trong những giai đoạn nhất định của sự sáng tạo khoa học, J. Becnan đã
nhấn mạnh như vậy. Khi nêu đặc điểm về sách lược nghiên cứu khoa học với
tính cách nhất quán trong việc lựa chọn các vấn đề để giải quyết, ông đã chỉ ra
13
rằng tìm ra vấn đề thường khó khăn hơn nhiều so với việc giải quyết nó bởi vì
việc giải quyết có thể được nhờ có kinh nghiệm trong cách biện luận lôgic,
còn phát hiện ra vấn đề thì chỉ có dựa vào trí tưởng tượng được thúc đẩy bởi
những khó khăn đã gặp phải (dẫn theo Đức Uy 1999, tr. 84).
Lơsatơlie thì cho rằng, trực giác, cái mà ông gọi là trí xét đoán lành
mạnh, còn Pascal gọi là "óc tế nhị" là một trong ba đặc tính mà các nhà khoa
học đạt năng suất cao trong nghiên cứu khoa học thường có (năng khiếu quan
sát; sự liên tưởng ý niệm; trí xét đoán lành mạnh). Trong đó, trực giác đóng
vai trò quyết định trong sự lựa chọn đối tượng nghiên cứu hay sự lựa chọn các
giả thuyết làm chỗ dựa cho phần lớn các công trình nghiên cứu khoa học.
Trong khoa học sư phạm, người ta đưa ra các đặc điểm của tư duy trực
giác thông qua sự so sánh nó với tư duy phân tích. Nhà tâm lý học Mỹ
J. Bruner xem tư duy phân tích và tư duy trực giác như là những thành tố đối
lập nhau của hoạt động sáng tạo. J. Bruner cho rằng tư duy phân tích tiêu biểu
ở chỗ từng giai đoạn của nó được biểu hiện khá rõ ràng và người suy nghĩ có
thể kể lại điều đó cho người khác. Kiểu tư duy này thường được thực hiện với
một chú ý tương đối đầy đủ về các thao tác hợp thành của nó. Đối lập với tư
duy phân tích, tư duy trực giác tiêu biểu ở chỗ không có những giai đoạn tách
bạch cụ thể. Nó có vẻ như là chỉ dựa trên cảm giác ngay toàn bộ vấn đề. Con
người đạt được những đáp án có thể đúng hoặc sai, trong khi không nhận thức
được nhờ quá trình nào mà anh ta nhận được đáp số. Thông thường tư duy
trực giác dựa trên sự quen biết những kiến thức cơ bản ở lĩnh vực đã cho với
cấu trúc của chúng. Vì điều đó cho phép con người thực hiện được dưới dạng
các bước nhảy, sự chuyển tiếp nhanh chóng, sự bỏ qua các mắt xích riêng
biệt. Những đặc tính này đòi hỏi sự kiểm tra các kết luận, bằng các phương
tiện phân tích, quy nạp hoặc suy diễn. Ví dụ như trong vấn đề: Tìm diện tích

xung quanh của hình nón, một học sinh có tư duy trực giác đã suy nghĩ như
14
sau: Hình chóp được đặc trưng bởi các yếu tố bán kính của đường tròn đáy R,
độ dài đường sinh l, và h - độ dài đường cao (thực ra chỉ cần biết hai trong ba
yếu tố là đủ). Nhìn vào hình vẽ, ta tưởng tượng rằng với mỗi vị trí của S trên
trục đường tròn đáy ta được một hình nón. Điều đó gợi cho ta xét vị trí đặc
biệt của S. Khi S → 0 (h → 0), đường sinh l → R và mặt bên của hình nón
trùng với hình tròn đáy nên diện tích xung quanh (S
xq
) = diện tích đáy = π.R
2
.
Bây giờ chúng ta tăng dần chiều cao hình nón từ 0 cho tới h. Lúc này ta
"thấy" rằng một bán kính đáy (đường sinh cũ) trở lại thành đường sinh, còn
bán kính khác vẫn giữ nguyên. (R
1
→ l; R
2
= R = const). Như nhận định ban
đầu S
xq
của hình nón sẽ phụ thuộc vào 2 yếu tố l, R (vì h có thể tính qua R, l).
Mà trong trường hợp giới hạn S
xq
= π.R
2
= π.R.R (*), sự thay đổi tình thế hình
học dẫn tới vai trò của hai bán kính trong (*) khác nhau: một là bán kính thực
của hình tròn đáy, còn một bán kính nữa là giới hạn của đường sinh. Vậy S =
π.R.R → π.R.l hay S

xq
= π.R.l.
Chắc rằng ai cũng nhận ra cách chứng minh trên đây là chưa chặt chẽ.
Tuy nhiên, trực giác hình học của học sinh ấy rất đáng được trân trọng, dù
rằng tư duy trực giác thực chất cũng chỉ đưa ra những kết luận mang tính chất
dự báo, dự đoán.
Hiện nay, việc phát triển tư duy trực giác đang thu hút được sự chú ý
của nhiều nhà sư phạm. Họ đã chỉ ra vai trò của trực giác trong giảng dạy
Toán học: "Ở mức độ cao, trực giác toán học cho định hướng nghiên cứu
trong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán được kết quả
nghiên cứu về đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng.
15
0
R
S
l
h
Trực giác toán học là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức lôgic
các yếu tố toán học" (dẫn theo Đỗ Mạnh Hùng 1993, tr. 25). Còn J. Bruner
đưa ra ý kiến rằng, trong dạy học trước hết cần phải hình thành cho học sinh
"sự hiểu biết cảm tính vật chất" và chỉ sau đó mới cho học sinh làm quen với
những phương pháp suy diễn thường dùng và hình thức hơn.
1.3. Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học
Sơ đồ ngắn gọn, rõ ràng và chung nhất của quá trình nhận thức đã
được V. I. Lênin nêu lên: "Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng rồi
từ tư duy trừu tượng trở về với thực tiễn. Đó là con đường biện chứng của
nhận thức chân lý, nhận thức thực tế khách quan" (Lênin toàn tập, tập 29, tr.
153).
Chúng ta biết rằng, tri thức khoa học chỉ được xây dựng khi chủ thể
(nhà khoa học) có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải cho một câu hỏi

đặt ra. Việc giải đáp được câu hỏi này đòi hỏi xây dựng được cái mới chứ
không phải là sự lặp lại đơn thuần các kiến thức và cách thức hoạt động đã
quen thuộc. Cụ thể hơn, Razumovxki đưa ra những giai đoạn của phương
pháp nhận thức. Đó là:
- Đặt vấn đề;
- Đề xuất giả thuyết;
-Suy ra hệ quả lôgic từ giả thuyết;
-Xác lập phương án kiểm tra giả thuyết; …
Về tiến trình nhận thức khoa học, có nhiều nhà bác học có uy tín như
A. Enstein, M. Plank, N. Bohr, P. I. Kapitxa đưa ra những lời phát biểu tương
tự nhau. Trên cơ sở những lời phát biểu đó, có thể nói rằng "tiến trình xây
dựng tri thức khoa học là tiến trình đề xuất và giải quyết vấn đề. Về bản chất
là tiến trình mô hình hóa, có mối liên hệ biện chứng giữa lý thuyết và thí
16
nghiệm, giữa suy diễn và quy nạp, giữa tư duy trực giác và tư duy lôgic"
(Phạm Hữu Tòng 2001, tr. 28).
Theo Phạm Hữu Tòng, việc tìm lời giải đáp cho một câu hỏi về một
tính chất hay một sự liên hệ phụ thuộc nào đó trong thực tế mà ta có thể
phỏng đoán về sự tồn tại của chúng có thể được thực hiện theo con đường
xuất phát từ việc thiết kế phương án thí nghiệm khả thi cho phép thu lượm
được những thông tin cần thiết, thực thi thí nghiệm để thu lượm các dữ liệu
cảm tính trực tiếp, rồi nhờ kết hợp các hành động suy diễn và quy nạp để xây
dựng nên kết luận xác nhận. Nhưng trong quá trình phát triển của khoa học,
trên cơ sở các kết quả nhận thức đã thu được, sẽ xuất hiện vấn đề đòi hỏi nhà
khoa học bằng trực giác xây dựng mô hình lý thuyết khái quát (xem như là
một hệ tiên đề) mà tùy đó có thể rút ra hệ quả lôgic cho phép giải thích các
kết quả nghiên cứu đã biết, và các hệ quả lôgic với tính cách là những mô
hình giả thuyết. Những mô hình giả thuyết này cho phép tiên đoán những biến
cố thực nghiệm, mà việc thực thi thí nghiệm và phân tích các dữ liệu thu được
sẽ một mặt cho phép kiểm tra tính hợp thức hóa của chúng, đồng thời cả của

mô hình lý thuyết khái quát. Đó là điều cần thiết cho sự xuất hiện tri thức
khoa học mới, và là cơ sở cho sự phát triển của các giả thuyết khoa học một
khi các thuyết cũ không còn phù hợp với thực nghiệm (Phạm Hữu Tòng 2001,
tr. 29).
Trong khoa học Toán học, chúng ta không có khái niệm "thí nghiệm"
như trong quy trình đã nêu, nhưng chúng ta có thể hiểu một cách tương tự
rằng ở đây là kiến thức đã biết, những trường hợp đã được xác nhận, mà từ
đây, nhà khoa học thấy có thể tiếp tục hoàn thiện được, ví như là để xóa bỏ
một sự hạn chế, có thể tổng quát được hay có thể đề xuất được một bài toán
tương tự … Cũng từ đây nhà khoa học đề xuất giả thuyết của mình. Sau đó để
tăng thêm niềm tin vào giả thuyết, nhà nghiên cứu tìm cách rút ra hệ quả lôgic
17
cho phép giải thích các kết quả đã biết. Bước cuối cùng của quy trình nhận
thức khoa học là xác lập phương án kiểm tra giả thuyết. Trong giai đoạn này,
nhà khoa học tìm cách chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết đã đề ra.
Quy trình nhận thức khoa học trên cũng phù hợp với quá trình tư duy, có
nảy sinh vấn đề, có diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai
đoạn kế tiếp nhau được minh họa bởi sơ đồ sau (do K. K. Plantônôv đưa ra):
18
(dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004)
"Trong dạy học, nếu xét sự xây dựng một tri thức mới trong khuôn khổ
sự hình thành và phát triển của một học thuyết khoa học dựa trên cơ sở một mô
hình lý thuyết khái quát khởi đầu (có tính chất tiền đề) đã có, thì một vấn đề
khoa học có thể diễn đạt thành một bài toán. Sự xây dựng tri thức khoa học mới
chính là sự giải quyết bài toán khoa học này (Phạm Hữu Tòng 2001, tr. 31).
Thông thường, khi giải một bài toán ở mức độ không tầm thường,
nghĩa là không thể áp dụng ngay một thuật giải sẵn có nào đó ta thường phải
sử dụng một định lý, tính chất hay biến đổi biểu thức, … theo cách thích hợp.
Một bài toán có thể giải được dễ dàng nếu phát hiện ra rằng sử dụng định lý
nào là đúng hay biến đổi theo hướng nào là thích hợp. Tuy nhiên, khi ra một

đề toán, người ta lại không chỉ dẫn sử dụng tính chất nào, biến đổi theo hướng
19
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định
Chính xác hóa Phủ định
Giải quyết vấn đề
Hoạt động tư duy mới
nào, điều này phải do người giải tự nghĩ ra. Muốn vậy, chúng ta phải bắt đầu
từ bước phân tích giả thiết và kết luận của bài toán, liên tưởng với tri thức đã
học để dự đoán đưa ra phương án giải quyết. Tuy nhiên, việc dự đoán ấy
không hẳn đã chính xác, nhiều lúc gặp thất bại vì không đi được đến kết quả.
Cho nên trong số những dự đoán ấy, lại phải sàng lọc thêm để xem nghiêng
về bên nào. Quyết định cuối cùng mà chúng ta áp dụng để giải là giả thuyết
của chúng ta về phương pháp giải đã được hình thành. Bước tiếp đến là kiểm
tra giả thuyết của mình. Nếu khẳng định là đúng thì chính xác hóa lời giải bài
toán, còn nếu bác bỏ thì dẫn đến hoạt động tư duy mới (bắt đầu lại quá trình).
Ví dụ như đối với bài toán: "Tìm GTNN của biểu thức: S = a +
2
1
a
với a ≥ 2",
ta có lời giải:
S = a +
2
1
a
=

3
2 2
a a 1 6a a a 1 2 9
3 . . 6.
8 8 8 8 8 8 4
a a
 
+ + + ≥ + =
 ÷
 
, dấu “=” xảy ra
khi a = 2. Vậy GTNN của S bằng
9
4
.
Then chốt của Lời giải này có thể nói là ở chỗ thêm bớt một cách thích hợp,
rồi trên cơ sở đó sử dụng BĐT Cauchy. Tuy nhiên, để có được Lời giải ấy, đòi hỏi
học sinh phải có khả năng liên tưởng và huy động kiến thức nhất định.
Phân tích Lời giải Bài toán ta thấy rằng, các số xuất hiện trong biểu
thức S đều là những số dương, hơn nữa Bài toán lại yêu cầu tìm GTNN nên
gợi cho ta suy nghĩ sẽ đánh giá S theo chiều "≥". Gặp tổng các số hạng, yêu
cầu đánh giá theo chiều "≥", phải chăng bài toán sử dụng BĐT Cauchy để
giải? Thế nhưng, khi xét tích của hai số này, đáng tiếc lại chưa phải là hằng
số. Vì lý do đó mà cần biến đổi S để xuất hiện những số dương có tích không
đổi. Để có thêm cơ sở phân tích, ta xét một số trường hợp cụ thể của a:
20
a 2 3 4 5
S
9
4

28
9
65
16
126
25
Nhìn vào bảng ta thấy: giá trị a càng lớn thì giá trị S càng tăng. Do đó
ta "dự đoán" rằng GTNN của S bằng
9
4
đạt tại a = 2.
Một yếu tố nữa không thể bỏ quên là BĐT Cauchy xảy ra dấu "=" khi
các hạng tử bằng nhau.
Với a = 2 thì
2
1 1 1
;
4 4
a
=
kém 2 tám lần, nên để có hai hạng tử bằng
nhau, ta chia a cho 8. Đây chính là cơ sở dẫn đến sự phân tích a thành
a a 6a
8 8 8
+ +
và sử dụng BĐT Cauchy cho ba số:
2
a a 1
, ,
8 8

a
.
1.4. Quan niệm về dự đoán, suy luận có lý
1.4.1. Dự đoán
Để hiểu được dự đoán, trước hết chúng ta cần phân biệt nó với khái
niệm phán đoán.
Theo Phạm Văn Hoàn và đồng tác giả trong Giáo dục học môn Toán
thì: Phán đoán là một hình thức tư duy, trong đó khẳng định điều là một dấu
hiệu thuộc hay không thuộc về một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc
đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu là trực
tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp 1 (trực tiếp), phán đoán diễn đạt kết quả
21
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng. Trong trường hợp 2, phán
đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận.
Còn về dự đoán, trên thực tế chưa có một định nghĩa chính thức nào
được công bố, nhưng theo Đào Văn Trung mô tả: Dự đoán là một phương
pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn
cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy
luật chưa biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận (Đào
Văn Trung 2001, tr. 242).
Không chỉ trong khoa học mà trong cuộc sống, dự đoán cũng được ứng
dụng rất rộng rãi: đó là các kết luận quy nạp của các nhà Vật lý, những kết
luận gián tiếp của Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, các
kết luận thống kê của các nhà Kinh tế (cổ phiếu, … dự đoán để đầu tư). Nói
chung, "để trở thành nhà Toán học giỏi hay người đánh bài cừ, hoặc một
chuyên gia xuất sắc trong mọi lĩnh vực, bạn cần biết dự đoán tài" (G. Polia
1995, tr. 150).
Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,
vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G. Polia thì trừ

những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải
học tập để có được năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi
phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, để làm được điều đó "các
bạn cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi
dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc)
về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Với kinh nghiệm đó trong tiềm thức,
các bạn sẽ có thể phán đoán một cách có cơ sở hơn, xem dự đoán nào đúng và
dự đoán nào sai" (G. Polia 1995, tr. 150,151).
1.4.2. Suy luận có lý
22
Suy luận là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, đó là quá trình tư
duy xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán
mới (Phạm Văn Hoàn, 1981, tr. 85).
Theo tác giả Hoàng Chúng trong Những vấn đề lôgic trong môn Toán ở
trường THCS thì suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã
có.
Có hai loại suy luận: Suy luận chứng minh (hay còn gọi là suy diễn,
suy luận diễn dịch) và suy luận có lý. "Chúng ta củng cố các kiến thức Toán
học của mình bằng các suy luận chứng minh, nhưng chúng ta hỗ trợ các giả
thuyết của mình bằng các suy luận có lý. Một chứng minh toán học là suy
luận chứng minh còn các kết luận của các nhà Vật lý, những bằng chứng gián
tiếp của các Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, kết luận
thống kê của các nhà Kinh tế đều thuộc suy luận có lý" (G. Polia 1995, tr. 5).
Vậy sự khác nhau giữa hai kiểu suy luận này là gì?
Suy luận chứng minh là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn)
xác định rằng, nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng.
Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn của Lôgic hình thức:
từ hai mệnh đề phức hợp A, B, nếu mệnh đề A ⇒ B là hằng đúng (bất kể các
mệnh đề thành phần P, Q của A, B lấy giá trị gì) thì ta nói đã có một phép suy
diễn với quy tắc suy diễn là

A
B
. Trong suy luận, các quy tắc thường được sử
dung là Modus ponens, Modus tollens kết luận từ mệnh đề phổ biến, lựa chọn
hội, bắc cầu của phép kéo theo … Muốn suy luận đúng nhất định phải tuân
theo các quy tắc suy luận đó.
Khác với suy luận chứng minh, suy luận có lý không tuân theo một
quy tắc tổng quát nào để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xác
định. Nếu các tiền đề là đúng thì không thể nói rằng kết luận là đúng hay sai
23
(Hoàng Chúng 1997, tr. 60). "Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy,
không chối cãi được và dứt khoát Suy luận có lý là suy luận bấp bênh, phải
tranh cãi và có điều kiện" (G. Polia 1995, tr . 5).
Ví dụ:
Tiền đề 1: Số 212 chia hết cho 4
Tiền đề 2: Số 812 chia hết cho 4
Kết luận 1: Mọi số tận cùng bằng 2 đều chia hết cho 4.
Kết luận 2: Mọi số tận cùng bằng 12 đều chia hết cho 4.
Trong Ví dụ trên, từ hai tiền đề như nhau, ta đã rút ra hai kết luận khác
nhau. Kết luận 1 có được từ nhận xét hai số: 212 và 812 có những số tận cùng
là 2. Để rút ra kết luận 2 chúng ta lại xem hai số 212 và 812 có tận cùng là 12,
các suy luận trên đều nghe có lý, nhưng rõ ràng các kết luận rút ra đều có tính
chất dự đoán, giả thuyết. Trong Ví dụ trên, các tiền đề đều đúng nhưng Kết
luận 1 sai, Kết luận 2 đúng (tất nhiên tính đúng, sai của Kết luận không phải
có được từ hai tiền đề đã xét).
Thực ra, hiện nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất nào về suy
luận có lý. Có thể tham khảo một vài định nghĩa. Chẳng hạn trong Luận án,
Tiến sĩ Đỗ Mạnh Hùng đã đưa ra khái niệm lý luận có lý qua sự so sánh nó
với suy luận hợp lý:
Suy luận có lý là suy luận bao hàm những khái niệm hoặc những khẳng

định không được xác định một cách thật chính xác và đơn trị, nhưng nếu áp
dụng nó với độ chính xác thích hợp (trong hoàn cảnh mà nó được áp dụng
vào) thì vẫn có khả năng dẫn đến kết quả "chấp nhận được".
Suy luận hợp lý là suy luận không chấp nhận được theo quan điểm của
Toán học lý thuyết, nhưng nhờ các suy luận hợp lý mà ta có thể tìm tới được
các kết luận đáng tin cậy. Suy luận hợp lý là công cụ hữu hiệu để tìm tòi và
dự đoán. Đồng thời, trong Toán học ứng dụng, sự có mặt của suy luận hợp lý
24
là tất yếu. "Việc kết hợp giữa suy luận hợp lý và suy luận diễn dịch cho phép
dẫn đến mục đích nghiên cứu đã định trước một cách trước nhất có thể được,
và mục đích đó không phải là xây dựng và phát triển cấu trúc lôgic mà là một
phép giải chấp nhận được đối với vấn đề nằm ngoài Toán học".
Nội dung của suy luận hợp lý theo quan điểm được trình bày ở trên là
"gần gũi" với nội dung của suy luận có lý. Sự gần gũi đó thể hiện ở những
khía cạnh sau:
- Suy luận có lý và suy luận hợp lý là những suy luận không chấp nhận
được theo quan điểm của Toán học lý thuyết;
- Suy luận có lý và suy luận hợp lý đều có khả năng dẫn đến kết quả
"đúng đắn" và đều là những công cụ đắc lực để tìm tòi, dự đoán.
Luận án của Đỗ Mạnh Hùng nghiên cứu về lĩnh vực Toán học ứng
dụng, do đó suy luận được nói đến trong đề tài là "suy luận hợp lý được phép
có mặt ở các chứng minh của Toán học ứng dụng", "có thể xem suy luận diễn
dịch là trường hợp đặc biệt, giới hạn của suy luận hợp lý". Đồng thời, trong
Toán học ứng dụng, những suy luận hợp lý có mức tin cậy đủ cao và suy luận
diễn dịch là có giá trị như nhau. Thậm chí những suy luận diễn dịch mà "tốn
kém" còn ít giá trị hơn những suy luận hợp lý có độ chính xác "thích hợp" và
"ít tốn kém hơn".
Nói như vậy thì suy luận hợp lý được phép có mặt ở các chứng minh
của Toán học ứng dụng, miễn là suy luận hợp lý đảm bảo kết hợp được với
các suy luận diễn dịch để đưa bài toán đến kết quả "thực tiễn chấp nhận

được". Suy luận có lý không có đặc điểm này mà nó đơn thuần chỉ là những
dự đoán. Đây là điểm khác nhau cơ bản giữa suy luận có lý và suy luận hợp
lý.
Suy luận có lý là loại suy luận không chấp nhận được theo quan điểm
của Toán học lý thuyết, điều này có thể giải thích bởi "Toán học là khoa học
25