Luận văn ĐHSP_Rèn luyện và phát triển năng lực

Lời cảm ơn !
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế đã tận tình
dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt
nghiệp này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo Trần
Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT
Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để khóa luận này
được hoàn thành.
1
Mục lục

Trang
Mở đầu......................................................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn...................................................................... 5
1. Một số khái niệm cơ bản .................................................................................... 5
1.1. Phương pháp suy luận........................................................................................ 5
1.2. Suy luận suy diễn ............................................................................................... 5
1.3. Suy luận quy nạp................................................................................................ 5
2. Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp
suy luận suy diễn trong dạy học toán.................................................................... 7
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau........................................................... 8
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau......................................................... 8
3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán............... 10
4. Mục đích của dạy học toán................................................................................ 13
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông......................... 14
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh.................... 14
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
ở trường phổ thông.................................................................................................... 17

chương 2: Một số biện pháp thực hiện................................................................. 19
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp.... 19
1.1. Phân tích và tổng hợp......................................................................................... 19
1.1.1.Mô tả...................................................................................................... 19
1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán........ 19
1.1.3. Ví dụ minh họa...................................................................................... 19
1.2. So sánh............................................................................................................... 23
1.2.1 Mô tả...................................................................................................... 23
1.2.2 Tác dụng................................................................................................ 23
1.2.3. Ví dụ minh họa..................................................................................... 23
1.3. Thử nghiệm và nhận xét..................................................................................... 24
1.3.1.Mô tả...................................................................................................... 24
1.3.2. Tác dụng............................................................................................... 24
2
1.3.3.Ví dụ minh họa...................................................................................... 24
2. Tập cho học sinh nêu dự đoán.......................................................................... 25
2.1. Mô tả................................................................................................................. 25
2.2. Tác dụng............................................................................................................ 25
2.2.1. Các trường hợp cụ thể........................................................................... 25
2.2.2. Tập dự đoán qua khái quát hóa và đặc biệt hóa.................................... 25
2.3.2. tập dự đoán qua tương tự...................................................................... 33
2.3.3. tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo.................................................. 36
3. Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán.................... 37
3.1. Giải thích........................................................................................................... 37
3.2. Tác dụng đối với học toán................................................................................. 38
3.3. Ví dụ minh họa.................................................................................................. 39
Kết luận................................................................................................................... 45
Phụ lục I: Phiếu xin ý kiến.................................................................................... 46
Phụ lục II: Phiếu tổng hợp kết quả điều tra........................................................ 48
Phụ lục III: Giáo án thực nghiệm......................................................................... 51

3
mở đầu
1. lí do chọn đề tài
Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển kinh tế
xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới phương pháp dạy và
học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng thực hành,
thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh học chay, học vẹt.”
Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng định:
“Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách
dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ khả năng quy nạp”.
(Gs. Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993).
Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS. Hoàng
Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương pháp suy diễn
đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng. Song phương pháp xây
dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo một
cách vững chắc hơn.”
Theo GS. Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22): “Tuy suy
diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của quy nạp
cũng không phải là không quan trọng. Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xây dựng
khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói rằng
những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọng trong sự
phát triển toán học”.
Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy
luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc lập
sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh. Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong
phần sau của khoá luận này.
Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi
mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của
khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho công tác
4

xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy
nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Cố gắng làm rõ phương pháp quy nạp thể hiện trong sách giáo khoa thí điểm
phân ban ở THPT với vai trò của nó trong giảng dạy toán học.
- Đưa ra một số biện pháp để thực hiện mục đích trên.
3. Nội dung
Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể:
- Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chương II: Một số biện pháp thực hiện.
- Chương III: Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế.
- Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế.
5
Chương I
cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Một số khái niệm cơ bản
Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số khái niệm
cơ bản có liên quan.
1.1. Phương pháp suy luận
Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có (tiên đề)
ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận). Suy luận là một quá trình nhận thức hiện
thực gián tiếp. Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy luận quy
nạp ( xem [13]).
1.2. Suy luận suy diễn.
Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật
phổ biến đến trường hợp cụ thể. Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng. Chẳng hạn một quy
tắc suy luận thường dùng là:

,A B A
B
⇒
( tam đoạn luận khẳng định).
1.3. Suy luận quy nạp.
Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp là
phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp
riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát. Sau
đây là các loại suy luận quy nạp.
a) Quy nạp toán học
Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy
diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n= 0
(hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng
trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học. (Phương pháp này được đưa
vào chương trình đại số và giải tích 11).
b) Quy nạp hoàn toàn
6
Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên
cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc
phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như sau:
1
S
là P
2
S
là P
...
n
S

là P
_________
∀S là P.
tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P. Phương
pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng.
Ví dụ:
- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí:
Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung.
- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003,
Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam
giác:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC.
c) Quy nạp không hoàn toàn.
Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp
đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của
lớp ấy.
Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kết
luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ
xem xét một số trường hợp riêng mà thôi.
7
Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trong

toán học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa
đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các
trường hợp riêng:
2
1 1 1= =
2
1 3 4 2
+ = =
2
1 3 5 9 3
+ + = =
2
1 3 5 7 16 4+ + + = =
2
1 3 5 7 9 25 5
+ + + + = =
...
Các kết quả này cho phép dự đoán
2
1 3 5 7 ... (2 1)n n
+ + + + + − =
, tức là tổng của n số
lẻ đầu tiên bằng
2
n
. Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng quy
nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đến
kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng
2
2 1

n
+
(số Fermat). Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được
các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả
các số Fermat đều là các số nguyên tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler
đã chỉ ra rằng
4
2
2 1
+
chia hết cho 641. Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp
quy nạp không hoàn toàn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh.
Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụng
một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng.
Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được. Còn phương
pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn
trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới.
Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí
hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”. Trong khoá luận này
chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn.
2. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn
trong dạy học toán
8
Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu).
Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận
suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối quan hệ của
chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí.
Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưng
viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí.
Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các

nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn
chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học,... đều thuộc về
các suy luận có lí.
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau
a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt
khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện.
b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứng
minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khả năng
cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta
hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.
c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và
được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết
của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và
không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có
sự nhất quán như logic chứng minh.
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau
Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái
lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với
dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ. Trong một suy luận có lí
điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí
hơn. Trong “toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên
hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được
xem là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán
9
học, trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày
trong các sách giáo khoa). Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến
thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần phải dự đoán về một
định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ
đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được
và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần. Kết quả công

tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh, nhưng người ta
tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở
mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải
dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có lí”.
Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy
luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với nhau,
thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Chúng là một cặp phương pháp luôn
được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau.
Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy
nạp không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã. Nói cách khác, quy nạp cung cấp
nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay
phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước quy nạp. Cứ như thế, mỗi bước quy nạp
sau, con người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng
nhiều về bản chất chung của thế giới.
Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn và
quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề ngoài
chúng có vẻ tương phản. Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy nạp, vì bất
cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật một cách quy
nạp. Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy
luật chung”. Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với
nhau trong quá trình nhận thức.
Ví dụ:
Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình
n n n
x y z
+ =
(1) không có nghiệm
nguyên khác không, với bất kì số nguyên
3n
≥

.
10
Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.
Với n = 2:
2 2 2
x y z
+ =
. Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác
vuông, với cạnh huyền a thì luôn có
2 2 2
b c a
+ =
. Đây chính là nội dung định lí
Pythagore.
Với n = 3:
3 3 3
x y z
+ =
là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh
năm 1770.
Với n = 4:
4 4 4
x y z
+ =
cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat
chứng minh.
Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350
năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết có được
bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả

thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn không được
chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả
thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học. Ví dụ “Một chân trời mới cho
giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học & Tuổi trẻ, số 7/2004).
3. Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán.
“Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình
bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính logic
nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá
trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có
“thực nghiệm” và quy nạp. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học
sinh hoc toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn
diện.” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25).
Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán
của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:
a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân
tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượng hoá,...không
11
những cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho
công tác và hoạt động của con người.
Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi từ tam
giác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức
2 2 2
0BC AC AB
− − =
uuur uuur uuur
nhờ định lí
Pythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì
2 2 2
0BC AC AB
− − ≠

uuur uuur uuur
và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự như
sau:
- Tam giác ABC vuông nên
2 2 2
a b c= +
. Vơí tam giác ABC không vuông thì
2
a
sẽ
bằng
2 2
b c+
thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là tìm xem lượng
đó bằng bao nhiêu?
- Ta sử dụng công cụ vectơ:
+
2 2 2
a b c= +
được viết lại thành
2 2 2
BC AC AB= +
uuur uuur uuur
.
+ Ta luôn có:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
.
Suy ra

2 2 2 2
2
( ) 2 . cos( , )BC AC AB BC AC AB AC AB AC AB= − ⇔ = + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
,
Dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ ta đưa đến kết quả:
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
(*)
- So sánh: khi
0
90A =
thì (*) trở thành
2 2 2
a b c= +
. Như vậy, định lí Pythagore là
một truờng hợp riêng của (*).
- Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
.
- Hơn thế nữa, bằng tương tự suy ra:
2 2 2
2 cosb a c ac B= + −
và
2 2 2
2 cosc a b ab C= + −
.
Từ đây học sinh có thể tự mình trình bày nội dung định lí và cách chứng minh nó
vào vở một cách hoàn chỉnh.

b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm, định lí,
con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm, định lí đó,... Học
sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạn
trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu là không được chặt nó
12
xuống,...việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứu hình
học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế. Đồng thời thấy được
toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học
khác, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí,
hoá học, sinh học, kĩ thuật, kinh tế,... Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu
thị bởi công thức
y ax
=
được sử dụng trong:
- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với
đường cao tương ứng h:
1
2
S ah
=
.
- Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và thời
gian t:
.s v t=
.
- Tính phân tử gam M của một chất khí biết số khối d của chất khí đó đối với
không khí:
29M d
=
.

c) Không những thế, bằng quy nạp, tự bản thân học sinh, với khả năng của mình,
có thể phát hiện ra các tri thức mới đối với bản thân, tập luyện “sáng tạo” toán học ở
mức độ người học sinh phổ thông. Vừa làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ
động, không còn áp đặt như trước, học sinh vận dụng đúng các kiến thức toán hơn, vừa
làm cho học sinh tự tin hơn trong học toán cũng như trong học tập. Từ đó mà khuyến
khích học sinh học toán, học tìm tòi và phát hiện - bước đầu tiên để trở thành một nhà
toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tương lai.
Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thí điểm,
ta không đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp
nhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xét trường hợp
( )
0af x <
khi nào?
Tam thức bậc hai
2
( )f x ax bx c= + +
có hai nghịêm phân biệt x
1
,

x
2
(
1 2
x x<
) thì
( )
0af x <
với mọi x
1 2

( , )x x
ta hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo:
R
α
∃ ∈
sao cho
( ) 0af
α
<
thì phương trình
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2 1 2
, ( )x x x x<
và
1 2
x x
α
< <
.
13
Nói tóm lại phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán. Bởi
thế mà giáo sư Hoàng Chúng đã nói: “Do ý nghĩa to lớn của suy luận quy nạp, trong dạy
học hình học cần khai thác mọi cơ hội để hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện, dự đoán
các tính chất, các quan hệ. Những bài tập về tìm tòi và dự đoán bằng quy nạp có nhiều
tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thú học tập cho học sinh”.
4. Mục đích của dạy học toán
Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH Nguyễn
Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là:

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực
tiễn bởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thống
vững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng
những hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất.
- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy
biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh,
khái quát,...,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập sáng tạo,...
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ. Môn toán góp
phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩm chất
của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, có mục
đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,...
Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thực
hiện các mục đích nêu trên. Cụ thể:
- Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá, rút ra
các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụng tốt
hơn.
- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt là
khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự...dẫn đến sáng tạo. Ngoài ra học sinh còn rèn
luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triển
năng lực phê phán.
14
- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khám
phá.
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việc
phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT.
Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướng
tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này cho học
sinh. Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lý từ sớm

( ngay từ lớp 7).
Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy nạp cho
học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn có nêu: “Toán học
là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic, nhưng cách dạy của
chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”.
Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và đang đẩy
mạnh đổi mới phương pháp dạy học. Sách giáo khoa cũng đang được chỉnh sửa cho phù
hợp với xu hướng này. Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện nay đã thay đổi cách trình
bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên rèn luyện phương pháp quy nạp
cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học. Cụ thể như sau:
a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để
học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong của một
tam giác bằng 180
0
”
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh.
- Sách giáo khoa mới:
+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác đó,
tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả.
+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với góc còn
lại. Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả.
15
+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh góc mới
tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó.
Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)
- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định nghĩa.
- Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ lệ
thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch: thời gian
hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc đó, bảng nhiệt

độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó.
Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ở mỗi
trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một đại lượng nữa
có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai
Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗi phần tử
x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tập hợp số B.
Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung như trong
sách giáo khoa.
Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu với đường
thẳng và mặt phẳng (Hình học 11):
- Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vị trí
tương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểm đối với một
mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm, đường thẳng và mặt
phẳng. Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt cầu, giờ cần nghiên cứu vị trí
tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng và mặt phẳng) với mặt cầu.
- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
trong không gian.
- Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ một
quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một chậu nước,
16
cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương đối giữa mặt phẳng
và mặt cầu.
- Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đối của một
mặt phẳng với một mặt cầu.
Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, học sinh
phải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lời các câu hỏi,
qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học.
b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic của
vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế.

Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ
các chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất và định lí này nhiều lúc rất
hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng minh nó lại
không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều. Chẳng hạn tính chất duy nhất của
vectơ đối (hình học 10). Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn.
sự cần thiết phải có chúng trong thực tế.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của phương
trình.
- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà đợi đến
khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào, điều đó vừa có
tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa có tác dụng giải thích lí
do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác định của phương trình.
Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số và giải
tích 11).
- Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay định lí:
f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 suy ra
( , ) : ( ) 0c a b f c∃ ∈ =
.
- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr. 190-191 sau khi nêu
định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩa hình học của
17
định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đường thẳng y = m lại là y =
0 (trục hoành).
Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :
- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thể hiện
một yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng là một gợi ý để
khuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằm thực hiện được yêu cầu
này.
- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11. Đây cũng

là một điều dễ hiểu, vì phải phù hợp với sự phát triển tâm sinh lí của học sinh.
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ
thông
a) Qua trao đổi, dự giờ chúng tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của hoạt
động dạy và học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu thầy giảng trò
ghi, thầy đọc trò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động. Phương pháp đó làm cho
học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo, thói quen học lệch, học tủ, học để
đi thi mà thôi.
Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìm tòi làm
cho toán học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắc hơn cho học sinh
song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạp vẫn chưa được sử dụng
hiệu quả và khai thác triệt để.
Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phương pháp dạy
và học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của học
sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật và công nghệ thông
tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn. Ví dụ
như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán học (Maple, Geometer’s Sketchpad,
Geospack,...), giáo viên có thể biểu diễn trực quan cho học sinh thấy được các hình ảnh
không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình ảnh động,... qua đó học sinh dễ dàng phát hiện, dự
đoán các kiến thức “mới” phù hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trình
giảng dạy. Đặc biệt là sách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ là một
18
chổ dựa tin cậy cho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quy nạp cho
học sinh.
b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
trong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thông Nguyễn Đình Chiểu -
Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - Quảng Trị và trung học phổ thông
Đào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thu thập được nhiều số liệu đáng lưu ý:
*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện năng lực
suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, không thể xem nhẹ.

Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc rèn luyện năng lực này
khi học theo sách giáo khoa thí điểm.
*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiến
hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:
- Về chủ quan:
+ Giáo viên phải dành nhiều thời gian và công sức cho việc chuẩn bị bài, soạn
giáo án.
+ Phải thay đổi thói quen giảng dạy hiện nay.
- Về khách quan:
+ Khối lượng kiến thức và số lượng bài tập cần cung cấp, giảng giải cho học sinh
khá lớn mà thơì gian dành để thực hiện còn ít, chưa hợp lý.
+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.
Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực chuyên
môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học. Đồng thời họ cũng mong cấp
trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu cầu đạt được và thời
gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh).
*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học
sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu
những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra.
*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp trong giờ
học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung, những tiên đề định lí
không chứng minh.
19
*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các thao
tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết.
Chương 2
Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các ví dụ
minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt,... cùng với hệ

20
thống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm,
các định lí, các kiến thức mới.
Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận cho học
sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp
1.1. Phân tích và tổng hợp
1.1.1. Mô tả
Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng thuộc tính
hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó.
Ngược lại, tổng hợp là dùng trí óc để hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết
hợp lại những hay khía cạnh khác nhau đã được rút ra trong cái toàn thể.
Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một
thể thống nhất.
1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán
- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẽ
nằm trong một khái niệm, một định lí,...
- Từ những thuộc tính riêng lẽ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác,
đầy đủ một khái niệm, một định lí,...
- Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thao tác
khác.
1.1.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “ hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
”. Giáo viên có thể
tiến hành như sau:
- Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh làm các bài tập sau:
1) Cho hàm số f(x) =
2
1

, 1
1
2 , 1
x
khi x
x
khi x

−
≠

−


=


Tính
( )
1
lim
x
f x
→
và f(1)?
21
2) Cho hàm số f(x) =
2
1 , 0
2 1 , 0

x khi x
x khi x

+ >

+ ≤

Tính
0
( )
lim
x
f x
+
→
,
0
( )
lim
x
f x
−
→
(nếu có),
0
( )
lim
x
f x
→

và f(0) ?
3) Cho hàm số f(x) =
2
1 , 1
1 , 1
x khi x
x khi x

+ ≤

− >

Tính
1
( )
lim
x
f x
+
→
,
1
( )
lim
x
f x
−
→
?
Học sinh tính toán và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên.

- Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh tổng
quát nêu định nghĩa:
( )
0
0
( )
lim
x x
f x f x
→
=
.
- Ta tiến hành phân tích định nghĩa:
0
( )
lim
x x
f x
→
tồn tại khi nào? (
0
( )
lim
x x
f x
→
tồn tại khi
và chỉ khi tồn tại
0
( )

lim
x x
f x
+
→
,
0
( )
lim
x x
f x
−
→
và
0 0
( ) ( )
lim lim
x x x x
f x f x
+ −
→ →
=
).
- Hàm số f(x) có
( )
0
f x
tức là hàm số này xác định tại
0
x

.
Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm
0
x

0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
→
⇔ =
được phân tích thành:
+ tồn tại
( )
0
f x
hay hàm số xác định tại
0
x
.
+
0
( )
lim
x x
f x a
+
→

=
.
+
0
( )
lim
x x
f x b
−
→
=
.
+ a = b =
( )
0
f x
.
Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm
0
x
thì phải thỏa mãn
cả 4 điều kiện trên. Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưng hàm số ở 3)
không phải là hàm số liên tục.
Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liên tục
tại điểm
0
x
. Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minh họa.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận,
phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt được sự

22
giống và khác nhau giữa các định lí gần gủi nhau. Chẳng hạn định lí về hai mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Phân tích giả thiết kết luận:
giả thiết:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
α γ
β γ
α β
⊥

⊥


= ∆

I
kết luận:
( )
γ
∆ ⊥
.
Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh:
- Hiểu rõ giả thiết:
( ) ( ) ( )
a
α γ α
⊥ ⇔ ∃ ⊂

và
( )
a
γ
⊥

( ) ( ) ( )
b
β γ β
⊥ ⇔ ∃ ⊂
và
( )
b
γ
⊥
.
- Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu
của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau:
*)
a ≡ ∆
hoặc
b ≡ ∆
suy ra định lí đã được chứng minh.
*)
a ≠ ∆
và
b ≠ ∆

⇒
a// b

và
( ) ( )
//a a
α γ
⊂ ⇒ ∆ ⇒ ∆ ⊥
với
( ) ( )
α β
= ∆I
.
Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh:
- Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào, phân tích
cái đã cho và cái phải tìm...
- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẻ nhau. Sau khi phân tích được một số ý
thì tổng hợp lai để xem ta có thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu tố nào nữa?
- Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, bài
toán đặc biệt đơn giản hơn và dể hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh ĐH 1987).
“Chứng minh
3 3 4 4
a b a b+ ≤ +
(2) cho biết
2a b+ ≥
(1)”.
- Biến đổi kết luận: Nhận thây trong hai vế của kết luận đều có chứa cả a lẫn b
nên đưa về một vế để đặt thành thừa số chung.
(2)
( ) ( )
4 3 4 3 3 3
0 1 1 0a a b b a a b b⇔ − + − ≥ ⇔ − + − ≥

(3).
23
- Làm cho giả thiết và kết luận gần nhau: Đưa 2 từ vế phải sang vế trái ở giả thiết
và tách ra để gần gũi với (3).
(1)
( ) ( )
1 1 0a b⇔ − + − ≥
(4).
- Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết: Tổng của hai số mà không âm thì chỉ có
3 khả năng xảy ra:
+
1 0 1
1 0 1
a a
b b
− ≥ ≥
 
⇔
 
− ≥ ≥
 
. Lúc này (3) đương nhiên đúng. Bất đẳng thức đã chứng
minh xong.
+
1 0
1 0
1 1
a
b
a b


− ≥

− ≤


− ≥ −

hay
1 0
1 0
1 1
a
b
a b

− ≤

− ≥


− ≤ −

. Hai khả năng này là tương tự, ta chỉ cần xét
một là đủ.

1 0
1 0
1 1
a

b
a b

− ≥

− ≤


− ≥ −

1
1
1 1
a
b
a b
≥


⇔ ≤


− ≥ −

. Từ điều kiện
1b ≤
ta phân tích được thành các
trường hợp:
b = 0 hay b = 1 và
1a ≥

thì (3) hiển nhiên đúng.
b < 0 suy ra
3
0b ≤
và b – 1< 0 nên
3
( 1)b b −
> 0. Do đó (3) đúng.
0 < b < 1 kết hợp với
1a
≥
và lưu ý rằng 1- b > 0. Lúc đó
(3)
3 3
( 1) (1 )a a b b⇔ − ≥ −
3
3
1
1
a b
b a
−
⇔ ≥
−
. Bất đẳng thức này đúng vì:
0 1
1
b
a
< <



≥

nên
3
1 1
b b
a a
 
< ⇒ <
 
 
a-1 > 1- b nên
1
1
1
a
b
−
>
−
.
Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là ta
đã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả.
1.2. So sánh
1.2.1. Mô tả
24
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng.
Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau

rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau.
1.2.2. Tác dụng
- Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát.
- Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng.
- Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này.
1.2.3 Ví dụ minh họa
• So sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất
là giống nhau, thậm chí có khi chỉ là một.
Ví dụ 1: .
2 2
cos sinx x+
và số 1:
2 2
sin cos
sin cos sin cos
dx x x
dx
x x x x
+
=
∫ ∫
( )
( )
3 3 3 3 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x x x+ = − ⇔ + = − +
2 2
sin 1 cos 0x x= ⇔ =
. góc
2
π

−
và
3
2
π
chỉ là một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
• So sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau. Có khi chúng
khác nhau ở khía cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác.
Ví dụ 2: + Hai hàm số
x
y
a
=
và
log
y x
a
=
là khác nhau, nhưng khi 0 < a < 1 thì
chúng cùng nghịch biến còn khi a > 1 thì chúng cùng đồng biến.
+ Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương
pháp giải:
1
1 1 1 1 1
2 2.3 3.4 4.5 5.6
S = + + + +
và
2
3 3 3 3 3
4 4.7 7.10 10.13 13.16

S = + + + +
.
• So sánh các khái niệm, các định lí, quy tắc để thấy cái hay, cái mới, các
trường hợp vận dụng.
Ví dụ 3: So sánh hai dấu hiệu chứng tỏ hàm số y= f(x) liên tục tại điểm
0
x
.
f(x) xác định tại
0
x
.
25