phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trong dạy học giải toán hình học giải tích

Lời cam đoan
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu đều được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả luận văn
TRƯƠNG CẨM NANG
ii
Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng
dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm dạy bảo của các Thầy Cô giáo trường Đại
học Cần Thơ; xin chân thành Ban giám hiệu và Thầy Cô trường THPT Nguyễn Việt
Dũng (Cần Thơ), THPT Vị Thanh (Hậu Giang), TT.GDTX TP. Trà Vinh và THPT
Nguyễn Đáng (Trà Vinh) đã giúp đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Đặc biệt tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Chu Trọng Thanh đã trực tiếp
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn thiện
bản luận văn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các anh, chị, bạn bè đã tạo điều kiện và khích
lệ tôi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả luận văn
TRƯƠNG CẨM NANG
iii
Mục lục
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục iv
Danh sách bảng x
Danh sách hình vẽ xi
MỞ ĐẦU 1
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Giả thuyết nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 5
1.1 Lý luận về dạy học giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Chức năng của bài tập toán trong dạy học . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Dạy học giải bài tập toán theo tư tưởng của Polya . . . . . . . . 6
1.2 Lý luận về năng lực chứng minh hình học . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học . . . . . . . . . . . . 7
iv
1.2.1.1 Năng lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1.2 Năng lực toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Khái niệm về năng lực giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Năng lực chứng minh toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Lược đồ của một phép chứng minh và quá trình tìm kiếm cách
chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4.1 Chứng minh trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4.2 Chứng minh gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Các quy tắc suy luận thường dùng trong chứng minh các kết
luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Kiến thức cơ bản về hình học giải tích và thực trạng giảng dạy trong
trường phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng . . . . . . . . . . 13
1.3.1.1 Vectơ và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . . . . 13
1.3.1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . 16
1.3.1.3 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . 18
1.3.1.4 Khoảng cách và góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1.5 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1.6 Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1.7 Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1.8 Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1.9 Ba đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Kiến thức hình học giải tích trong không gian . . . . . . . . . . 22
1.3.2.1 Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2.2 Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.3 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.4 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Các dạng toán và cách giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng 27
1.3.3.1 Tìm tọa độ của vectơ và điểm . . . . . . . . . . . . . . 27
v
1.3.3.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức 28
1.3.3.3 Viết phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3.4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng - góc giữa hai
đường thẳng - khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3.5 Tìm tâm và bán kính đường tròn . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3.6 Viết phương trình của đường tròn . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3.7 Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn; giữa
hai đường tròn trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3.8 Tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3.9 Xác định các yếu tố thuộc elip (hypebol), tìm các điểm
thuộc elip (hypebol) thỏa điều kiện nào đó . . . . . . . 33
1.3.3.10 Viết phương trình chính tắc của elip (hypebol) . . . . 33
1.3.3.11 Các bài toán liên quan đến tính chất của elip (hypebol) 34
1.3.3.12 Xác định các yếu tố của parabol, tìm các điểm thuộc
parabol thỏa điều kiện nào đó . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.3.13 Lập phương trình chính tắc của parabol và các bài toán
tổng hợp trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Các dạng toán và cách giải toán hình học giải tích trong không

gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.4.1 Tìm tọa độ của vectơ và điểm . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.4.2 Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng . . . . . . . 36
1.3.4.3 Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.4.4 Viết phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.4.5 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . 37
1.3.4.6 Viết phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.4.7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng - của đường thẳng
và mặt phẳng - của đường thẳng và mặt cầu . . . . . . 39
1.3.4.8 Khoảng cách và góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.4.9 Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ 40
vi
1.3.5 Thực trạng dạy học hình học giải tích trong trường phổ thông
(khảo sát tại một số trường trung học phổ thông ở miền Tây
Nam bộ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.5.1 Về phía học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.5.2 Về phía giáo viên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích cho học sinh 44
2.1 Những định hướng xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1 Mục tiêu của việc dạy học hình học giải tích trong trường phổ
thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1.1 Về kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1.2 Về kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1.3 Về tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.1.4 Về giáo dục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2 Phân tích các mục tiêu phát triển tư duy cho học sinh trong dạy
học hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2.1 Phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ toán học . . . . . 48
2.1.2.2 Phát triển năng lực suy đoán và trí tưởng tượng không

gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2.3 Rèn luyện các thao tác tư duy . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2.4 Bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3 Các định hướng phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua dạy học hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . . . 50
Định hướng 1. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua khai thác nội dung dạy học . . . . . . . . . 50
Định hướng 2. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua hình thành và củng cố các quy tắc suy luận
chứng minh, các suy luận có lý và dự đoán . . . . . . . 51
2.2 Các biện pháp sư phạm phát triển năng lực chứng minh hình học giải
tích cho học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
vii
2.2.1 Các biện pháp phát triển năng lực chứng minh thông qua khai
thác nội dung dạy học hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . 53
Biện pháp 1. Làm cho học sinh hiểu đúng hệ thống khái niệm ký
hiệu của các kiến thức hình học giải tích và rèn luyện
các kỹ năng cơ bản được quy định trong nội dung sách
giáo khoa làm cơ sở cho việc thực hiện các quá trình
suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Biện pháp 2. Làm rõ cấu trúc của các bước chứng minh trong
giải toán hình học giải tích nhằm hình thành cho học
sinh thói quen suy luận hợp lôgic trong quá trình trình
bày chứng minh toán học . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Biện pháp 3. Xây dựng hệ thống bài tập điển hình theo từng chủ
đề; đề xuất và khai thác các quy trình giải toán phù
hợp với năng lực học tập của học sinh . . . . . . . . . 56
Biện pháp 4. Hệ thống hóa kiến thức theo từng chủ đề và làm rõ
mối liên hệ lôgic giữa các kiến thức trong các hệ thống 60
2.2.2 Các biện pháp phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích

cho học sinh thông qua việc tổ chức quá trình dạy học . . . . . 63
Biện pháp 1. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông
qua khai thác các phương pháp dạy học tích cực . . . 63
Biện pháp 2. Sử dụng hệ thống câu hỏi gợi mở vấn đề cần suy
nghĩ nhằm phát triển khả năng liên tưởng và huy động
kiến thức của học sinh trong giải toán chứng minh . . 65
Biện pháp 3. Tăng cường các hoạt động suy luận có lý giúp học
sinh phát hiện và định hướng giải quyết vấn đề trong
quá trình dạy học giải toán . . . . . . . . . . . . . . . 67
Biện pháp 4. Khai thác các hoạt động nhóm giúp cho học sinh
phân tích lời giải các bài toán hình học giải tích để phát
hiện và sửa chữa các sai lầm trong các lập luận giải toán 68
3 Thực nghiệm sư phạm 70
3.1 Mục đích thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Nội dung thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
viii
3.4 Đánh giá, phân tích kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 Đánh giá các tiết dạy thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.2 Đánh giá bài kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.3 Đánh giá và phân tích kết quả kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.3.1 Đánh giá định tính về kết quả bài kiểm tra . . . . . . 73
3.4.3.2 Đánh giá định lượng về kết quả bài kiểm tra . . . . . . 74
KẾT LUẬN 79
Tài liệu tham khảo 80
Phụ lục 83
ix
Danh sách bảng
1.1 Các phương pháp dạy học thường sử dụng trong dạy học . . . . . . . . 42
1.2 Các nhiệm vụ dạy học trong dạy học hình học giải tích . . . . . . . . . 42

1.3 Các hoạt động giáo dục được tiến hành trong dạy học . . . . . . . . . . 43
2.1 So sánh kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng và không gian . . 61
2.2 So sánh kiến thức về đường tròn (mặt phẳng) và mặt cầu (không gian) 62
3.1 Bảng phân phối tiết dạy thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Đánh giá của học sinh về mức độ khó của nội dung dạy học . . . . . . 72
3.3 Đánh giá của học sinh về mức độ tiếp thu bài học . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Đánh giá của học sinh về mức độ khó của các ví dụ . . . . . . . . . . . 72
3.5 Bảng thống kê các điểm số của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Bảng phân phối tần suất các điểm số của hai nhóm . . . . . . . . . . . 74
3.7 Bảng phân phối tần suất lũy tích của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 Bảng phân loại theo học lực của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.9 Bảng tổng hợp các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
x
Danh sách hình vẽ
1.1 Các trường hợp đặc biệt của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Đường thẳng theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Mặt phẳng theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . 26
1.10 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1 Biểu đồ phân phối tần suất các điểm số của hai nhóm . . . . . . . . . . 74
3.2 Đồ thị phân phối tần suất của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Biểu đồ phân phối tần suất lũy tích của hai nhóm . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Đồ thị phân phối tần suất lũy tích của hai nhóm . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Biểu đồ phân loại theo học lực của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 76
xi
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
1. Trong cuộc sống của chúng ta, toán học giữ vai trò rất quan trọng. Kiến thức toán
học, phương pháp nghiên cứu toán học là một trong các công cụ được dùng trong học
tập các môn khoa học khác, là công cụ giúp con người tiến hành nhiều hoạt động trong
đời sống thực tiễn. Toán học còn là một mảng văn hóa, văn hóa toán học, không thể
thiếu trong văn hóa cộng đồng của loài người.
Thông qua các hoạt động toán học, con người được phát triển nhân cách một cách
toàn diện; góp phần phát triển kỹ năng phân tích, tổng hợp, khái quát, trừu tượng,. . . ;
rèn luyện đức tính siêng năng, cần cù, cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, sáng tạo và
óc thẩm mỹ,
2. Để đạt được hiệu quả giáo dục nói chung, hiệu quả dạy học nói riêng, vấn đề lựa
chọn phương pháp giáo dục và dạy học phải luôn được quan tâm. Định hướng đổi mới
giáo dục đã được chỉ rõ trong các văn bản chỉ đạo của Đảng và Nhà nước.
Luật giáo dục 2005, [17], đã chỉ rõ: Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự
học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương
pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Đối với môn toán, trong quá trình dạy học mỗi giáo viên cần nghiên cứu quá trình
nhận thức, quá trình học tập kiến thức toán của học sinh để vận dụng các phương
pháp dạy học thích hợp giúp các em đạt kết quả tốt nhất trong học tập. Giáo viên cần

thiết kế, tổ chức các hoạt động học tập, giúp các em có thể phát hiện vấn đề và cách
thức giải quyết vấn đề sao cho nhanh, gọn, hợp lý, đúng đắn và khoa học. Thông qua
đó học sinh thu được kiến thức, rèn luyện được kỹ năng, phát triển được tư duy, tích
1
lũy được kinh nghiệm và bồi dưỡng hứng thú, lòng ham muốn học toán và sử dụng
kiến thức toán vào thực tiễn cuộc sống.
3. Phát triển năng lực suy luận chứng minh cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng
của môn toán ở trường phổ thông. Nhiệm vụ này chỉ có thể được thực hiện một cách
có hiệu quả nếu trong dạy học giáo viên biết khai thác các thuộc tính của kiến thức
toán học tích hợp trong các tuyến kiến thức của môn toán một cách hợp lý và vận
dụng các phương pháp dạy học theo hướng tăng cường tính tích cực của học sinh.
Tri thức toán học nói chung, kiến thức môn toán nói riêng, có tính trừu tượng cao độ
và tính lôgic chặt chẽ. Những thuộc tính này vừa tạo nên những khó khăn đối với học
sinh về hoạt động nhận thức trong quá trình dạy học, đồng thời cũng là những tiềm
năng có thể khai thác để phát triển trí tuệ cho học sinh. Môn toán có nhiều tuyến kiến
thức với đặc điểm khác nhau.
Mỗi tuyến kiến thức có những lợi thế có thể khai thác vào việc phát triển những năng
lực khác nhau của học sinh. Việc phối hợp một cách hợp lý quá trình khai thác thế
mạnh của các tuyến kiến thức môn toán trong dạy học sẽ tạo nên khả năng giáo dục
toàn diện của môn toán.
4. Đối với phân môn hình học, ngay từ cấp tiểu học, học sinh đã được làm quen với
các hình tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,. . . với các thao tác phân tích
hình cơ bản.
Ở cấp trung học cơ sở, bước đầu học sinh làm quen với phương pháp xây dựng hình
học bằng tiên đề, làm quen với hoạt động chứng minh. Đây là những tiền đề quan
trọng để phát triển năng lực suy luận, năng lực chứng minh cho học sinh.
Đến cấp trung học phổ thông, học sinh đã tìm hiểu khá nhiều các kiến thức về hình
học ở những hình thức trình bày khác nhau: hình học tổng hợp (hình học sơ cấp truyền
thống) và hình học giải tích.
Hình học giải tích tuy mới đưa vào dạy học trong chương trình môn toán phổ thông

chưa lâu nhưng đã thể hiện tính ưu việt của nó. Việc đưa hình học giải tích vào môn
toán phổ thông của nước ta cũng thể hiện tính hòa nhập quốc tế về giáo dục. Tuy
nhiên vì tuyến kiến thức hình học giải tích được đưa vào cuối cấp học nên vấn đề phát
triển cho học sinh năng lực chứng minh, kỹ năng giải toán, là vấn đề không đơn giản.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: phát triển năng lực chứng
minh cho học sinh trong dạy học giải toán hình học giải tích.
2
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu giải pháp sư phạm nâng cao năng lực chứng minh của học sinh thông qua
dạy học hình học giải tích trong chương trình môn toán trung học phổ thông, qua đó
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học.
Nhiệm vụ nghiên cứu
– Phân tích nhiệm vụ bồi dưỡng tư duy của môn toán ở trường phổ thông.
– Phân tích nội dung hình học giải tích trong chương trình môn toán trung học phổ
thông, xác định các dạng toán thường gặp và một số kỹ năng cần thiết khi giải các bài
toán trên.
– Đề xuất một số biện pháp giúp bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học giải tích
cho học sinh.
– Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả của các
biện pháp đã được đưa ra.
Giả thuyết nghiên cứu
Có thể nâng cao năng lực chứng minh hình học giải tích cho học sinh nếu trong quá
trình dạy học giáo viên quan tâm đến việc xây dựng các biện pháp khai thác một cách
hợp lý hệ thống kiến thức lý thuyết và hệ thống bài tập, giúp học sinh rèn luyện các
kỹ năng xác định hình, kỹ năng lập luận, phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
Phương pháp nghiên cứu
– Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo
viên, sách bài tập môn toán và các tài liệu khoa học liên quan đến đề tài.
– Phương pháp quan sát điều tra: dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp, tìm
hiểu tình hình học tập của học sinh.

– Phương pháp thực nghiệm giáo dục.
– Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán học.
3
Cấu trúc luận văn
– Mở đầu
– Nội dung
* Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
* Chương 2. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trong dạy học giải toán hình
học giải tích
* Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
– Kết luận
– Tài liệu tham khảo
– Phụ lục
4
Chương 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Lý luận về dạy học giải toán
1.1.1 Chức năng của bài tập toán trong dạy học
Theo [13], mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau hướng đến
việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán. Các chức năng đó là:
Dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau ở các giai đoạn
khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào cuộc sống.
Phát triển tư duy
Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện cho
học sinh những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
Giáo dục
Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng
thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

Kiểm tra kiến thức
Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập
học tập môn toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của
học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác
và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo
5
khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá
và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
1.1.2 Dạy học giải bài tập toán theo tư tưởng của Polya
Theo [13, 20], để giúp học sinh tự tìm được hướng giải một bài toán, giáo viên cần
hướng dẫn các em giải theo quy trình 4 bước của Polya như sau:
Bước 1. Hiểu rõ bài toán
Khi giải một bài toán giáo viên cần phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng
thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát. Sau đó chúng
ta phân tích:
– Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn điều kiện hay không?
Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
– Vẽ hình; sử dụng các ký hiệu thích hợp (nếu cần).
– Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các thành phần
đó thành công thức toán học hay không?
Bước 2. Xây dựng chương trình giải
– Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi
khác?
– Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Một định lý nào đó có thể
dùng được không?
– Xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn
tương tự.
– Đây là một bài toán có liên quan mà bạn có lần giải rồi có thể sử dụng nó không?
Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì

mới sử dụng được nó không?
– Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?
– Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn
có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát
hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài
toán hay không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm
được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ
ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có
6
thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm
mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
– Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện và điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ
yếu trong bài toán chưa?
Bước 3. Thực hiện chương trình giải
– Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ được ở bước 2.
– Trình bày lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, những yếu tố
lệch lạc nhất thời, và đã được điều chỉnh những chỗ cần thiết.
– Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra từng bước bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước
đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không? Bạn có thể kiểm tra tính
đúng, sai của kết quả đó không?
Bước 4. Khảo sát lời giải đã tìm được
– Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài
toán không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp kết
quả không?
– Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó để giải bài toán khác không?
1.2 Lý luận về năng lực chứng minh hình học
1.2.1 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học
1.2.1.1 Năng lực
Năng lực là những điều kiện đủ hoặc vốn có để làm một việc gì: năng lực
tư duy của con người. Là khả năng đủ để thực hiện tốt một công việc: có

năng lực chuyên môn - năng lực tổ chức. [33]
Năng lực là tổ hợp những thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với những
yêu cầu đặc trưng của một hoạt động, nhằm đảm bảo cho hoạt động đó
đạt được kết quả cao. [32]
1.2.1.2 Năng lực toán học
Năng lực toán học là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh
đã nhận được. [19]
7
Năng lực toán học còn được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân đáp ứng yêu cầu
của hoạt động toán học, được biểu hiện ở một số mặt:
– Năng lực thực hiện các thao tác tư duy cơ bản;
– Năng lực rút gọn quá trình lập luận toán học và hệ thống các phép tính;
– Sự linh hoạt của quá trình tư duy;
– Khuynh hướng về sự rõ ràng, đơn giản và tiết kiệm của lời giải các bài tập toán;
– Năng lực chuyển dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy nghịch;
– Trí nhớ về các sơ đồ tư duy khái quát; quan hệ khái quát trong lĩnh vực số và đếm.
1.2.2 Khái niệm về năng lực giải toán
Hoạt động giải toán là hoạt động không thể thiếu được của người học toán, dạy toán,
nghiên cứu về toán.
quá trình giải toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc
một con đường vượt qua trở ngại, đó chính là quá trình đạt tới một mục
đích mà thoạt nhìn dường như không thể đạt được ngay. Giải toán là khả
năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người. Vì vậy giải toán
có thể xem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động
của con người, [19]
Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết
một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích
cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện. (dẫn
theo [29])
Đó là sự thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu của hoạt

động toán học có hiệu quả.
Một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán:
– Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một
lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ.
– Sự phát triển của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính
xác về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.
– Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các ký hiệu, ngôn ngữ
toán học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: ký hiệu, quan
hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại.
8
– Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động kiến thức vào việc giải bài tập theo các
hướng tiếp cận khác nhau, từ đó đưa ra được nhiều lời giải và lựa chọn được lời giải
tối ưu.
– Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài toán
có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác
trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, hệ thống hoá, đặc biệt hóa,
Trong quá trình giải bài tập toán cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách
giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó
của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh
biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó
rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác tìm được nhiều
cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất, [12]
1.2.3 Năng lực chứng minh toán học
Năng lực chứng minh toán học là năng lực dùng lý luận để khẳng định
sự đúng hoặc không đúng của một mệnh đề dựa vào những định lý, định
nghĩa, tiên đề, đã biết.
– Nắm vững lược đồ suy luận, quy tắc suy luận để làm bộc lộ đối tượng cần thiết nhằm
đạt được điều cần chứng minh. Các quy tắc suy luận: bắc cầu, kết luận, phản chứng,
hoán vị, quy nạp hoàn toàn, quy nạp toán học,
– Năng lực phân chia một hoạt động chứng minh thành các hoạt động thành phần.

Sau đó thực hiện các hoạt động chứng minh thành phần. Chuyển đổi ngôn ngữ và phát
biểu lại vấn đề cần chứng minh.
– Năng lực liên tưởng và huy động kiến thức.
– Năng lực ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ gắn chặt với nhau. Tư duy phải được thể
hiện qua ngôn ngữ đối với toán là các thuật ngữ, ký hiệu, của toán học. Nắm vững
các thuật ngữ toán học, các ký hiệu toán học, ký hiệu lôgic và sử dụng đúng mà không
được nhầm lẫn; hiểu rõ và đúng nội dung, phát biểu chính xác bằng lời và bằng ký
hiệu thích hợp.
9
1.2.4 Lược đồ của một phép chứng minh và quá trình tìm
kiếm cách chứng minh
Có hai phương pháp chứng minh các kết luận chủ yếu: chứng minh trực tiếp và chứng
minh gián tiếp.
1.2.4.1 Chứng minh trực tiếp
Một khẳng định A là thiết lập một dãy các bước suy luận theo các quy tắc nhất định
xuất phát từ các tiền đề đúng đã biết hay các giả thiết đã cho để nhận được kết luận
của khẳng định A.
Lược đồ của phép chứng minh khẳng định A bằng phương pháp chứng minh trực tiếp
được trình bày như sau: B
0
⇒ B
1
⇒ B
2
⇒ ··· ⇒ B
n
⇒ A (1)
trong đó B
0
là một hệ thống gồm các giả thiết đã cho và các kết quả đúng đã biết (đã

được thừa nhận trong các tiên đề hoặc đã được chứng minh trước đó).
Ta gọi B
1
, B
2
, . . . , B
n
là các kết luận trung gian, B
i
⇒ B
i+1
(với i = 0, . . . , n − 1) là
một bước suy luận và dãy các suy luận (1) là một phép chứng minh (cách chứng minh)
kết luận A. Việc tìm ra phép chứng minh (1) có thể thực hiện bằng phép suy ngược
(còn gọi là phép phân tích đi lên) như sau:
Điều cần chứng minh là A, muốn vậy ta chỉ cần chứng minh B
n
.
Để chứng minh B
n
, ta chỉ cần chứng minh B
n−1
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Để chứng minh B
1
, ta chỉ cần có B
0
.
Khi B

0
là điều đã có (giả thiết hoặc những điều đúng đã biết) thì phép chứng minh A
đã tìm được.
Trong quá trình này, ở mỗi bước ta cần phát hiện và lựa chọn một điều kiện đủ B
i−1
cho kết luận B
i
với i = 1, . . . , n.
1.2.4.2 Chứng minh gián tiếp
– Chứng minh khẳng định A đúng có thể thực hiện bằng cách chứng minh phủ định
của A sai.
– Điều này thực hiện bằng cách giả sử phủ định của A đúng (tức là không có khẳng
định A) và sử dụng các quy tắc suy luận dẫn đến một mâu thuẫn.
Chứng minh gián tiếp còn được gọi là chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
10
1.2.5 Các quy tắc suy luận thường dùng trong chứng minh
các kết luận toán học
Theo [31], các quy tắc suy luận dùng trong chứng minh toán học bao gồm các quy tắc
suy luận của đại số mệnh đề và quy tắc suy luận của đại số vị từ. Khái niệm quy tắc
suy luận được định nghĩa như sau:
Cho A
1
, A
2
, . . . , A
n
và B là những công thức của đại số mệnh đề (hay đại
số vị từ) chứa các biến. Ta nói có một quy tắc suy luận với tiền đề là
A
1

, A
2
, . . . , A
n
và kết luận B nếu ứng với mọi bộ giá trị của các biến sao
cho tất cả các công thức A
1
, A
2
, . . . , A
n
đều nhận giá trị 1 ta có B cũng
nhận giá trị 1. Khi đó ta sử dụng ký hiệu
A
1
, A
2
, . . . , A
n
B
· Các công thức
A
1
, A
2
, . . . , A
n
được gọi là các tiền đề (hay giả thiết), công thức B được gọi
là kết luận.
Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét:

– Khi xét một quy tắc suy luận ta không cần quan tâm đến các bộ giá trị của các biến
mà ít nhất một trong các công thức A
1
, A
2
, . . . , A
n
nhận giá trị sai.
– Khi kết luận B đã biết chắc chắn là đúng thì từ bất cứ các công thức A
1
, A
2
, . . . , A
n
nào ta cũng có quy tắc suy luận
A
1
, A
2
, . . . , A
n
B
· Trong trường hợp này các tiền đề
không đóng vai trò gì, do đó ta có suy luận không cần đến tiền đề.
– Khi có một trong các tiền đề A
1
, A
2
, . . . , A
n

đã biết chắc chắn là sai thì dù cho B là
công thức nào đi chăng nữa ta cũng có quy tắc suy luận
A
1
, A
2
, . . . , A
n
B
·
– Để rút ra được kết luận đáng tin cậy (tức là kết luận đúng), khi sử dụng các quy
tắc suy luận phải xuất phát từ những tiền đề đúng (tức là những công thức đã được
chứng minh là đúng hay những giả thiết cho trước là đã được thực hiện).
Sau đây là danh sách các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề và đại số vị từ thường
được sử dụng trong chứng minh toán học.
* Quy tắc kết luận:
A, A ⇒ B
B
·
* Quy tắc bắc cầu:
A ⇒ B, B ⇒ C
A ⇒ C
hoặc
A
1
⇒ A
2
, A
2
⇒ A

3
, . . . , A
n−1
⇒ A
n
A
1
⇒ A
n
·
* Quy tắc suy luận phản đảo:
A ⇒ B
B ⇒ A
·
* Quy tắc suy luận phản chứng:
B ∧ A ⇒ C ∧ C
A ⇒ B
·
11
* Quy tắc hoán vị giả thiết:
A ⇒ (B ⇒ C)
B ⇒ (A ⇒ C)
·
* Quy tắc tách giả thiết:
A ∧ B ⇒ C
A ⇒ (B ⇒ C)
·
* Quy tắc nhập giả thiết:
A ⇒ (B ⇒ C)
A ∧ B ⇒ C

·
* Quy tắc suy luận loại trừ:
A ∨ B, A
B
·
* Một số quy tắc khác:
A
B ⇒ A
;
A ⇒ B, C ⇒ D
A ∧ C ⇒ B ∧ D
;
A ⇒ B, C ⇒ D
A ∨ C ⇒ B ∨ D
;
A ⇒ B
(A ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B ∧ C)
;
A ⇒ C
(B ⇒ C) ⇒ (A ∨ B ⇒ C)
·
Các quy tắc suy luận của đại số vị từ thường dùng trong chứng minh:
* Quy tắc đặc biệt hóa:
∀xf(x)
f(y)
·
* Quy tắc lượng hóa tồn tại:
f(y)
∃xf(x)
·

* Sử dụng quy tắc đặc biệt hóa, quy tắc lượng hóa tồn tại và quy tắc suy luận bắc cầu
ta có quy tắc:
∀xf(x)
∃xf(x)
·
* Quy tắc quy nạp hoàn toàn dạng 1:
D = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
}, f(x
1
), f(x
2
), . . . , f(x
n
)
∀x ∈ Df(x)
·
* Quy tắc quy nạp hoàn toàn dạng 2:
D = {D
1
∪ D
2
∪ . . . ∪ D
n
}, ∀x ∈ D
1

f(x), ∀x ∈ D
2
f(x), . . . , ∀x ∈ D
n
f(x)
∀x ∈ Df(x)
·
* Quy tắc quy nạp toán học:
f(0), ∀k ∈ N {f(k) ⇒ f(k + 1)}
∀n ∈ Nf(n)
·
* Ta cũng có các quy tắc suy luận của đại số vị từ (trên tập hợp D nào đó) tương tự
như trong đại số mệnh đề sau đây:
f(x)
f(x) ∨g(x)
;
f(x) ∧g(x)
f(x)
;
∀x(f(x) ∧g(x))
∀xf(x) ∧∀xg(x)
;
∀xf(x) ∧∀xg(x)
∀x(f(x) ∧g(x))
·
Chú ý rằng khi vận dụng các quy tắc suy luận trên đây vào các nội dung toán học cụ
thể phải sử dụng hệ thống khái niệm, tiên đề, định lý, ngôn ngữ và ký hiệu thể hiện
các nội dung đó một cách phù hợp.
12
1.3 Kiến thức cơ bản về hình học giải tích và thực

trạng giảng dạy trong trường phổ thông
1.3.1 Kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng
1.3.1.1 Vectơ và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Định nghĩa
– Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã
chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Ký hiệu: nếu vectơ có điểm đầu là M và điểm cuối là N thì ta ký hiệu vectơ đó là
−−→
MN.
– Vectơ-không: vectơ
−−→
MM được gọi là vectơ-không vì có điểm đầu và điểm cuối trùng
nhau. Ta còn ký hiệu là
−→
0 .
Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
– Với mỗi vectơ
−→
AB (khác vectơ-không), đường thẳng AB được gọi là giá của vectơ
−→
AB. Còn đối với vectơ-không
−→
AA thì mọi đường thẳng đi qua A đều gọi là giá của nó.
– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Rõ
ràng vectơ-không cùng phương với mọi vectơ.
– Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng. Ta
quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
Hai vectơ bằng nhau
– Độ dài: mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối
của vectơ đó.

Ký hiệu: độ dài của a là |a|, của
−→
AB là AB.
– Hai vectơ bằng nhau: hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng
độ dài.
Nếu hai vectơ a và

b bằng nhau thì ta viết a =

b.
Các phép toán vectơ
– Phép cộng vectơ: cho hai vectơ a và

b. Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định các điểm
B và C sao cho
−→
AB = a và
−−→
BC =

b. Khi đó vectơ
−→
AC được gọi là tổng của hai vectơ
a và

b. Ký hiệu:
−→
AC = a +

b.

13
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
– Các tính chất của phép cộng vectơ
* Tính chất giao hoán: a +

b =

b + a.
* Tính chất kết hợp: (a +

b) + c = a + (

b + c).
* Tính chất của vectơ-không: a +

0 = a.
– Vectơ đối của một vectơ: nếu tổng của hai vectơ a và

b là vectơ-không, thì ta nói a
là vectơ đối của

b.
Thông thường, vectơ đối của vectơ a được ký hiệu là −a.
* Nhận xét: vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng với a và có cùng độ dài với
vectơ a. Đặc biệt, vectơ đối của vectơ

0 là

0.
– Phép trừ vectơ: hiệu của hai vectơ a và


b, ký hiệu là a −

b, là tổng của vectơ a và
vectơ đối của vectơ

b, tức là a −

b = a + (−

b).
Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
– Các quy tắc cần nhớ
* Quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có:
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC.
* Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì:
−→
AB +
−−→
AD =
−→
AC.
* Quy tắc về hiệu hai vectơ
Cho hai điểm A, B thì với mọi điểm O bất kỳ ta có:
−→

AB =
−−→
OB −
−→
OA.
Tích của một vectơ với một số
– Định nghĩa: tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, ký hiệu là ka, được xác
định như sau:
* Nếu k ≥ 0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a;
nếu k < 0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a.
* Độ dài vectơ ka bằng |k|.|a|.
Phép lấy tích của vectơ với một số cho trước được gọi là phép nhân vectơ với một số.
– Các tính chất của phép nhân với một số
Với hai vectơ bất kỳ a,

b và mọi số thực k, l ta có:
* k(la) = (kl)a.
* (k + l)a = ka + la.
* k(a +

b) = ka + k

b; k(a −

b) = ka − k

b.
14
* ka =


0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a =

0.
– Tính chất của trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
−−→
MA +
−−→
MB =

0.
Hay ta còn có
−→
OA +
−−→
OB = 2
−−→
OM với O bất kỳ.
– Tính chất của trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
−→
GA +
−−→
GB +
−→
GC =

0.
Hay ta còn có
−−→

MA +
−−→
MB +
−−→
MC = 3
−−→
MG, với điểm M bất kỳ.
– Điều kiện để hai vectơ cùng phương
* Điều kiện cần và đủ để vectơ

b cùng phương với vectơ a =

0 là có một số k sao cho:

b = ka.
* Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ
khi hai vectơ
−→
AB và
−→
AC cùng phương.
– Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ không cùng phương a và

b. Khi đó với vectơ x bất kỳ, ta luôn có cặp số
(m, n) duy nhất sao cho: x = ma + n

b.
Tọa độ vectơ và biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
– Tọa độ vectơ: đối với hệ trục tọa độ (O,


i,

j), nếu a = x

i + y

j thì cặp số (x; y) được
gọi là tọa độ của vectơ a. Ký hiệu là a = (x; y) hay a(x; y). Số thứ nhất x được gọi là
hoành độ, số thứ hai y được gọi là tung độ của vectơ a.
– Hai vectơ bằng nhau: a(a
1
; a
2
) =

b(b
1
; b
2
) ⇔ a
1
= b
1
và a
2
= b
2
.
– Các phép toán vectơ: với a(a

1
; a
2
) và

b(b
1
; b
2
), khi đó:
* a +

b = (a
1
+ b
1
; a
2
+ b
2
).
* a −

b = (a
1
− b
1
; a
2
− b

2
).
* ka = (ka
1
; ka
2
) với k ∈ R.
– Vectơ

b cùng phương với vectơ a =

0 khi và chỉ khi có một số k: b
1
= ka
1
và b
2
= ka
2
.
– Tọa độ của điểm
Tọa độ của vectơ
−−→
OM được gọi là tọa độ của điểm M.
Với hai điểm M(x
M
; y
M
) và N(x
N

; y
N
) thì
−−→
MN = (x
N
− x
M
; y
N
− y
M
)
và MN =

(x
N
− x
M
)
2
+ (y
N
− y
M
)
2
.
– Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k = −1 khi và chỉ khi
−−→

MA = k
−−→
MB
15