Tài Liệu Toán Chuyên Đề Viễn Thông Và Bài Tập

SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b









HÀ NI - 2006

=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG



HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG












LI NÓI U
Tip theo chng trình toán hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên
chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k
thut.

 đáp ng nhu cu hc tp ca sinh viên chuyên ngành đin t vin thông ca Hc vin,
chúng tôi đã biên son tp bài ging Toán k thut t nm 2000 theo đ cng chi tit môn hc
ca H
c vin. Qua quá trình ging dy chúng tôi thy rng cn hiu chnh và b sung thêm đ

cung cp cho sinh viên nhng công c toán hc tt hn. Trong ln tái bn ln th hai tp bài ging
đc nâng lên thành giáo trình, ni dung bám sát hn na nhng đc thù ca chuyên ngành vin
thông. Chng hn trong ni dung ca phép bin đi Fourier chúng tôi s dng min tn s
f
thay
cho min
ω
. Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent chúng tôi gii thiu phép bin đi
Z

đ biu din các tín hiu ri rc bng các hàm gii tích. Tuy nhiên do đc thù ca phng thc
đào to t xa nên chúng tôi biên son li cho phù hp vi loi hình đào to này.
Tp giáo trình bao gm 7 chng. Mi chng cha đng các ni dung thit yu và đc
coi là các công c toán hc đc lc, hiu qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào lnh vc vin
thông. Ni dung giáo trình đáp ng đ
y đ nhng yêu cu ca đ cng chi tit môn hc đã đc
Hc vin duyt. Trong tng chng chúng tôi c gng trình bày mt cách tng quan đ đi đn các
khái nim và các kt qu. Ch chng minh các đnh lý đòi hi nhng công c va phi không quá
sâu xa hoc chng minh các đnh lý mà trong quá trình chng minh giúp ngi đc hiu sâu hn
bn cht ca đnh lý và giúp ngi đc d
 dàng hn khi vn dng đnh lý. Các đnh lý khó chng
minh s đc ch dn đn các tài liu tham kho khác. Sau mi kt qu đu có ví d minh ho.
Cui cùng tng phn thng có nhng nhn xét bình lun v vic m rng kt qu hoc kh nng
ng dng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví d minh ho mang tính chuyên
sâu v vin thông vì s hn ch ca chúng tôi v lãnh vc này và c
ng vì vt ra khi mc đích
ca cun tài liu.
Th t ca tng Ví d, nh lý, nh ngha, đc đánh s theo tng loi và chng. Chng
hn Ví d 3.2, nh ngha 3.1 là ví d th hai và đnh ngha đu tiên ca chng 3… Nu cn
tham kho đn ví d, đnh lý, đnh ngha hay công thc nào đó thì chúng tôi ch rõ s th t c

a ví
d, đnh lý, đnh ngha tng ng. Các công thc đc đánh s th t theo tng chng.
H thng câu hi ôn tp và bài tp ca tng chng có hai loi. Loi trc nghim đúng sai
nhm kim tra trc tip mc đ hiu bài ca hc viên còn loi bài tp tng hp giúp hc viên vn
dng kin thc mt cách sâu sc hn.
Vì nhn thc ca chúng tôi v chuyên ngành in t Vin thông còn hn ch nên không tránh
khi nhiu thiu sót trong vic biên son tài liu này, cng nh cha đa ra ht các công c toán hc
cn thit cn trang b cho các cán b nghiên cu v chuyên ngành đin t vin thông. Chúng tôi rt
mong s đóng góp ca các nhà chuyên môn đ chúng tôi hoàn thin tt hn tp tài liu này.
Tác gi xin bày t li cám n t
i PGS.TS. Lê Trng Vinh, TS Tô Vn Ban, đã đc bn tho
và cho nhng ý kin phn bin quý giá và đc bit ti KS Nguyn Chí Thành ngi đã giúp tôi
biên tp hoàn chnh cun tài liu.
Chng 1: Hàm bin s phc

4
Cui cùng, tác gi xin bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu
Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã
khuyn khích, đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này.

Hà Ni 5/2006
Tác gi
Chng 1: Hàm bin s phc

5
CHNG I: HÀM BIN S PHC
PHN GII THIU
Gii tích phc là mt b phn ca toán hc hin đi có nhiu ng dng trong k thut.
Nhiu hin tng vt lý và t nhiên đòi hi phi s dng s phc mi mô t đc. Trong chng
này chúng ta tìm hiu nhng vn đ c bn ca gii tích phc: Lân cn, gii hn, hàm phc liên

tc, gii tích, tích phân phc, chui s ph
c, chui ly tha, chui Laurent…  nghiên cu các
vn đ này chúng ta thng liên h vi nhng kt qu ta đã đt đc đi vi hàm bin thc. Mi
hàm bin phc
() ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= +
tng ng vi hai hàm thc hai bin
(, )uxy, (, )vxy. Hàm phc ()
f
z liên tc khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy liên tc. ()
f
z kh vi
khi và ch khi
(, )uxy, (, )vxy có đo hàm riêng cp 1 tha mãn điu kin Cauchy-Riemann. Tích
phân phc tng ng vi hai tích phân đng loi 2 …Mi chui s phc tng ng vi hai
chui s thc có s hng tng quát là phn thc và phn o ca s hng tng quát ca chui s
phc đã cho. S hi t hay phân k đc xác đnh bi s hi t hay phân k
ca hai chui s thc
này.
T nhng tính cht đc thù ca hàm bin phc chúng ta có các công thc tích phân
Cauchy. ó là công thc liên h gia giá tr ca hàm phc ti mt đim vi tích phân dc theo
đng cong kín bao quanh đim này. Trên c s công thc tích phân Cauchy ta có th chng
minh đc các kt qu: Mi hàm phc gii tích thì có đo hàm mi cp, có th khai trin hàm
phc gii tích thành chui Taylor, hàm gi
i tích trong hình vành khn đc khai trin thành chui
Laurent.
Bng cách tính thng d ca hàm s ti đim bt thng cô lp ta có th áp dng đ tính các
tích phân phc và tích phân thc, tính các h s trong khai trin Laurent và phép bin đi Z
ngc.
Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent ta có th xây dng phép bin đi Z.Phép bin
đi Z cho phép biu din dãy tín hiu s ri rc bng hàm gii tích.

 hc tt ch
ng này hc viên cn xem li các kt qu ca gii tích thc.
NI DUNG
1.1. S PHC
1.1.1. Dng tng quát ca s phc
S phc có dng tng quát
zxiy=+ , trong đó ,
x
y là các s thc; 1
2
−=i .
x
là phn thc ca z , ký hiu Re z .
y
là phn o ca z , ký hiu Im z .
Khi
0y = thì zx
=
là s thc; khi 0x
=
thì ziy
=
gi là s thun o.
S phc
x
iy− , ký hiu z , đc gi là s phc liên hp vi s phc zxiy=+ .
Chng 1: Hàm bin s phc

6
Hai s phc

11 1
zxiy
=
+ và
222
zxiy
=
+ bng nhau khi và ch khi phn thc và phn o
ca chúng bng nhau.
12
11 12 2 2 12
12
,;
x
x
zxiyz xiy zz
y
y
=
⎧
=+ =+ = ⇔
⎨
=
⎩
(1.1)
Tp hp tt c các s phc ký hiu .
1.1.2. Các phép toán
Cho hai s phc
11 1
zxiy=+ và

222
zxiy
=
+ , ta đnh ngha:
a) Phép cng: S phc
()
(
)
12 12
zxx iyy=++ + đc gi là tng ca hai s phc
1
z và
2
z
, ký hiu
12
zz z=+.
b) Phép tr: Ta gi s phc
zxiy−=−− là s phc đi ca zxiy
=
+ .
S phc
()
(
)
1212 12
()zz z x x iy y=+− = − + − đc gi là hiu ca hai s phc
1
z và
2

z ,
ký hiu
12
zz z=−.
c) Phép nhân: Tích ca hai s phc
1
z và
2
z là s phc đc ký hiu và đnh ngha bi
biu thc:

()
(
)
(
)
(
)
12 1 1 2 2 12 12 12 12
zzz xiy x iy xx yy ixy yx==+ += − + + . (1.2)
d) Phép chia: Nghch đo ca s phc
0zxiy
=
+≠ là s phc ký hiu
1
z
hay
1
z
−

, tha
mãn điu kin
1
1zz
−
= . Vy nu
1
''zxiy
−
=
+ thì

22 22
''1
','
''0
xx yy
x
y
xy
yx xy
x
yxy
−=
⎧
−
⇒= =
⎨
+=
++

⎩
. (1.3)
S phc
1
12 12 12 12
12
22 22
22 22
x
xyy yxxy
zzz i
x
yxy
−
+−
== +
++
đc gi là thng ca hai s phc
1
z và
2
z , ký hiu
1
2
z
z
z
=
(
2

0z ≠ ).
Ví d 1.1: Cho
zxiy=+ , tính
2
,zzz.
Gii:
()
()
()
2
222
2zxiy xyixy=+ = − +
,
22
zz x y
=
+
.
Ví d 1.2: Tìm các s thc
,
x
y là nghim ca phng trình

(
)
(
)
(
)
(

)
51 23311
x
yixii i++−+ +=−.
Gii: Khai trin và đng nht phn thc, phn o hai v ta đc

2523
7
3,
456 11
5
xy
xy
xy
++=
⎧
⇒=− =
⎨
+−=−
⎩
.
Chng 1: Hàm bin s phc

7
Ví d 1.3: Gii h phng trình
1
21
ziw
zw i
+=

⎧
⎨
+
=+
⎩
.
Gii: Nhân
i vào phng trình th nht và cng vào phng trình th hai ta đc
()
(
)
(
)
12 2
12 43
212
255
ii
ii
iz i z
i
+−
++
+=+⇒= = =
+
,
()
13 3
1
55

ii
wiz i
−+ +
⎛⎞
⇒= −= =−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ví d 1.4: Gii phng trình
2
250zz++=.
Gii:
() ()()( )( )
222
2
25 1 4 1 2 12 12zz z z i z iz i++=+ +=+ − =+− ++ .
Vy phng trình có hai nghim
12
12, 12ziz i
=
−+ =−− .
1.1.3. Biu din hình hc ca s phc, mt phng phc
Xét mt phng vi h ta đ trc chun
Oxy
, có véc t đn v trên hai trc tng ng là
i

và
j


. Mi đim M trong mt phng này hoàn
toàn đc xác đnh bi ta đ
(; )
x
y
ca nó tha
mãn
OM x i y j=+

.
S phc
zxiy=+ cng hoàn toàn đc
xác đnh bi phn thc
x
và phn o y ca nó.
Vì vy ngi ta đng nht mi đim có ta đ
(; )
x
y vi s phc zxiy
=
+ , lúc đó mt phng
này đc gi là mt phng phc.
1.1.4. Dng lng giác ca s phc
Trong mt phng vi h ta đ trc chun
Oxy
, nu ta chn Ox


làm trc cc thì đim
(; )

M
xy có ta đ cc
()
;r
ϕ
xác đnh bi
(
)
,,rOM OxOM
ϕ
==
 

tha mãn
cos
sin
xr
yr
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩

Ta ký hiu và gi

22
zrOM x y== = +

(1.4)

Argz 2 ,k  k
ϕ
=
+∈

 (1.5)
là mô đun và argument ca s phc
zxiy
=
+ .
x
x
M
y

y

O
i


j


r

ϕ

x

x

M

y
y

O

i



j



Chng 1: Hàm bin s phc

8
Góc ϕ ca s phc 0zxiy=+ ≠ đc xác đnh theo công thc sau
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=ϕ
=ϕ

22
cos
tg
yxx/
y/x
(1.6)
Giá tr ca
Argz nm gia π− và
π
đc gi là argument chính, ký hiu arg z . Vy
arg z
π
π
−
<≤.
T công thc (1.4) ta có
(
)
cos sinzxiyr i
ϕ
ϕ
=+ = + (1.7)
gi là dng lng giác ca s phc.
S dng khai trin Maclaurin có th chng minh đc công thc Euler

cos sin
i
ei
ϕ
ϕ

ϕ
=+ (1.8)
Do đó
cos , sin
22
ii ii
ee ee
i
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
−
−
+−
==
. (1.9)
T (1.7)-(1.8) ta có th vit s phc di dng m
i
zze
ϕ
= (1.10)
Các tính cht ca s phc
̇
11
1212 1212
2
2
;;
zz
zz zz zz zz

z
z
⎛⎞
+=+ = =
⎜⎟
⎝⎠
. (1.11)
̇
Re ; Im
22
zz zz
zz
i
+−
==
.
zzz
∈
⇔=
. (1.12)
̇
12 12
12
12 12
arg arg Arg Arg 2
zz zz
zz
zz zzk
π
⎧⎧

==
⎪⎪
=⇔ ⇔
⎨⎨
==+
⎪⎪
⎩⎩
(1.13)
̇
2
zz z= ,
2
1
z
z
zz
z
z
==
,
112
2
2
2
zzz
z
z
=
. (1.14)
̇

1
1
12 1 2 1 2 1 2
22
,,
z
z
zz z z z z z z
zz
==+≤+
. (1.15)
̇
()
1
12 1 2 1 2
2
Arg Arg Arg , Arg Arg Arg
z
zz z z z z
z
⎛⎞
=+ =−
⎜⎟
⎝⎠
(1.16)
̇
iy
x
z
+

=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
⇒
zy
zx
và
yxz +≤ (1.17)
Chng 1: Hàm bin s phc

9
Ví d 1.5: a) Tp các s phc z tha mãn
23z
−
= tng ng vi tp các đim có khong
cách đn
(2;0)I bng 3, tp hp này là đng tròn tâm
I
bán kính 3.
b) Tp các s phc
z
tha mãn
24zz
−
=+ tng ng vi tp các đim cách đu

(2;0)A và (4;0)B − đó là đng trung trc ca đon
A
B có phng trình 1x =− .
1.1.5. Phép nâng ly tha, công thc Moivre
Ly tha bc
n ca s phc z là s phc
n
n
zzzz=



lÇn

T công thc (1.15)-(1.16) ta có công thc Moivre:
()
cos sin , Arg 2
n
n
zz nin z k
ϕ
ϕϕπ
=+ =+. (1.18)
c bit, khi
1z
=
ta có
()
(
)

cos sin cos sin
n
inin
ϕϕ ϕ ϕ
+=+
(1.18)'
Ví d 1.6: Tính
()
10
13i−+ .
Gii:
()
10
10
10
2 2 20 20
13 2cos sin 2cos sin
33 3 3
ii i
π
πππ
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
−+ = + = +
⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦

10 10 9 9
22 13
2cos sin 2 2 32
33 22
iii
ππ
⎛⎞
⎛⎞
=+=−+=−+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
1.1.6. Phép khai cn
S phc
ω
đc gi là cn bc
n
ca z , ký hiu
n
z=ω , nu z
n
=ω .
Nu vit di dng lng giác:
)sin(cos,)sin(cos θ
+
θ
ρ

=
ω
ϕ
+
ϕ
=
iirz thì

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
π+ϕ
=θ
=ρ
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈π+ϕ=θ
=ρ
⇔ω=
n
k
r
kkn
r

z
n
n
n
2
,2

. (1.19)
Vì Argument ca mt s phc xác đnh sai khác mt bi s nguyên ca
π2 nên vi mi s
phc
0≠z có đúng n cn bc n . Các cn bc n này có cùng mô đun là
n
r , Argument nhn
các giá tr
n
k
n
π
+
ϕ
=θ
2
ng vi 1, ,1,0
−
=
nk , vì vy nm trên đnh ca n-giác đu ni tip
trong đng tròn tâm O bán kính
n
r .

Ví d 1.7: Gii phng trình
01
4
=+z
Gii: Nghim ca phng trình là cn bc 4
ca
π
+
π=− sincos1 i
tng ng là:
x

y
0
z
1
z
2
z
3
z
O
1
i
4
π

Chng 1: Hàm bin s phc

10

2
1
4
sin
4
cos
0
i
iz
+
=
π
+
π
=
,
2
1
01
i
izz
+
−
==
,

2
1
02
i

zz
−
−
=−=
,
2
1
03
i
izz
−
=−= .
1.1.7. Các khái nim c bn ca gii tích phc
1.1.7.1. Mt cu phc
Trong 1.1.3 ta đã có mt biu din hình hc ca tp các s phc
 bng cách đng nht
mi s phc
iy
x
z += vi đim
M
có ta đ );( yx trong mt phng vi h ta đ Oxy . Mt
khác nu ta dng mt cu
)(
S
có cc nam tip xúc vi mt phng
Oxy
ti O, khi đó mi đim
z

thuc mt phng
Oxy
s tng ng duy nht vi đim
ω
là giao đim ca tia
Pz
và mt cu
)(
S
, P là đim cc bc ca )(
S
.
Vy mi đim trên mt phng
Oxy đc xác đnh bi mt đim trên mt cu
)(
S
ngoi tr
đim cc bc P.
Ta gán cho đim cc bc này s phc vô cùng
∞
. Tp hp s phc  thêm s phc vô
cùng đc gi là tp s phc m rng
 . Nh vy toàn b mt cu )(
S
là mt biu din hình
hc ca tp s phc m rng.
Quy c:
∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzz
z
,,)0(,)0(

0
.
1.1.7.2. Lân cn, min
a. Lân cn
Khái nim
−ε lân cn ca 
∈
0
z đc đnh ngha hoàn toàn tng t vi −ε lân cn
trong
2
 , đó là hình tròn có tâm ti đim này và bán kính bng
ε
.

(
)
{
}
ε<−∈=
ε 00
zzzzB  (1.23)
−N
lân cn
∈∞
:
(
)
{
}

{
}
∞∪>∈=∞ NzzB
N
 (1.23)’
b. im trong, tp m
Gi s
E
là mt tp các đim ca mt phng phc hoc mt cu phc. im
0
z đc gi
là đim trong ca
E
nu tn ti mt lân cn ca
0
z nm hoàn toàn trong
E
.
Tp ch gm các đim trong đc gi là tp m.

•
•
ω

z
x

O y

P

)(
S

Chng 1: Hàm bin s phc

11
c. im biên
im
1
z , có th thuc hoc không thuc
E
, đc gi là đim biên ca
E
nu mi lân cn
ca
1
z
đu có cha các đim thuc
E
và các đim không thuc
E
.
Tp hp các đim biên ca
E
đc gi là biên
E
, ký hiu
E
∂

.
Hình tròn m
{
}
rzzz <−∈
0
 và phn bù ca hình tròn m
{
}
rzzz >−∈
0
 là các
tp m có biên ln lt là
{
}
rzzz =−∈
0
 và
{
}
{
}
∞∪=−∈ rzzz
0
 .
Hình tròn đóng
{
}
rzzz ≤−∈
0

 không phi là tp m vì các đim biên
rzz =−
0

không phi là đim trong.
d. Tp liên thông, min
Tp con
D ca mt phng phc hay mt cu phc đc gi là tp liên thông nu vi bt k
2 đim nào ca
D cng có th ni chúng bng mt đng cong liên tc nm hoàn toàn trong D .
Mt tp m và liên thông đc gi là min.
Min
D
cùng biên
D
∂ ca nó đc gi là min đóng, ký hiu DDD ∂∪= . Min ch có
mt biên đc gi là min đn liên, trng hp ngc li gi là min đa liên.
Ta qui c hng dng trên biên ca min là hng mà khi ta đi trên biên theo hng đó
thì min
D
 bên tay trái.
Min
D
đc gi là b chn nu tn ti 0>R sao cho
DzRz ∈∀≤ ,
.
1.2. HÀM BIN PHC
1.2.1. nh ngha hàm bin phc
nh ngha 1.1: Mt hàm bin phc xác đnh trên tp con
D

ca  hoc  là mt quy
lut cho tng ng mi s phc
Dz ∈
vi mt hoc nhiu s phc w , ký hiu
()
Dzzfw
∈
= , .
Nu vi mi
z ch cho tng ng duy nht mt giá tr
w
thì
(
)
zf đc gi là hàm đn tr.
Trng hp ngc li
f
đc gi là hàm đa tr.
Hàm s
(
)
3
2
+== zzfw là mt hàm đn tr, còn hàm s
(
)
zzfw == là mt hàm đa
tr.
Tp
D trong đnh ngha trên đc gi là tp xác đnh. Ta ch xét tp xác đnh D là mt

min, vì vy
D đc gi là min xác đnh.
Thông thng ngi ta cho hàm phc bng công thc xác đnh nh
()
zf
, khi đó min xác
đnh
D là tp các s phc
z
mà
()
zf có ngha.
Hàm s
()
1
2
+
==
z
z
zfw
có min xác đnh là
{
}
Dzz i
=
≠± .
Ta có th biu din mt hàm phc bi hai hàm thc ca hai bin
),( yx nh sau:
Chng 1: Hàm bin s phc

12
iy
x
z += và
(
)
ivuzfw
+
=
=
thì
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=
=
yxvv
yxuu
,
,
(1.24)
Gi
()
yxu , là phn thc,
()
yxv , là phn o ca hàm )(zf .

Hàm s xyiyxiyxzw 2)3(3)(3
2222
++−=++=+= có
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
xyv
yxu
2
3
22
.
Trng hp min xác đnh
⊂D thì ta có hàm phc bin s thc, ta ký hiu
(
)
tfw = có
bin s là
t thay cho z .
Trng hp min xác đnh D là tp s t nhiên  thì ta có dãy s phc
()
∈
= nnfz
n
, ,
ta thng ký hiu dãy s là

()
∈n
n
z

hay
(
)
∞
=1n
n
z .
1.2.2. Gii hn
nh ngha 1.2: Dãy s
()
∞
=1n
n
z hi t v
000
yxz
+
=
, ký hiu
0
lim zz
n
n
=
∞→

, nu
ε<−⇒≥>∃>ε∀
0
:0,0 zzNnN
n
(1.25)
Dãy s
()
∞
=
1n
n
z có gii hn là
∞
, ký hiu
∞
=
∞→
n
n
zlim , nu
ε>⇒≥>∃>ε∀
n
zNnN :0,0 (1.26)
T (1.17) suy ra rng

⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=
=
⇔+==
∞→
∞→
∞→
0
0
000
lim
lim
lim
yy
xx
iyxzz
n
n
n
n
n
n
(1.27)
nh ngha 1.3: Ta nói hàm phc
(
)
zfw
=
xác đnh trong mt lân cn ca
0

z có gii hn
là
L khi
z
tin đn
0
z , ký hiu
(
)
Lzf
zz
=
→
0
lim , nu vi mi lân cn
()
LB
ε
tn ti lân cn
()
0
zB
δ
sao cho vi mi
()
00
, zzzBz
≠
∈
δ

thì
(
)
(
)
LBzf
ε
∈
.
Trng hp
∈Lz ,
0
đnh ngha trên đc vit di dng c th sau:
(
) ()
ε<−⇒δ<−<∀>δ∃>ε∀⇔=
→
LzfzzzLzf
zz
0
0,:0,0lim
0
(1.28)
T (1.17), (1.24), tng t (1.27) ta có:
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=
=
⇔=
→
→
→
0
),(),(
0
),(),(
),(lim
),(lim
lim
00
00
0
vyxv
uyxu
Lzf
yxyx
yxyx
zz
(1.29)
trong đó
00000
, ivuLiyxz +=+= .
Chng 1: Hàm bin s phc

13
1.2.3. Liên tc

nh ngha 1.4: Hàm phc
(
)
zfw
=
xác đnh trong min cha đim
0
z đc gi là liên
tc ti
0
z nu
() ( )
0
0
lim zfzf
zz
=
→
. Hàm phc
(
)
zfw
=
liên tc ti mi đim ca min
D
đc
gi là liên tc trong
D
.
T (1.29) suy ra rng mt hàm phc liên tc khi và ch khi hai hàm thc hai bin (phn

thc, phn o) xác đnh bi (1.24) là liên tc. Do đó ta có th áp dng các tính cht liên tc ca
hàm thc hai bin cho hàm phc.
1.2.4. Hàm kh vi, điu kin Cauchy-Riemann
nh ngha 1.5: Gi s
iy
x
z
+
= là mt đim thuc min xác đnh D ca hàm phc đn
tr
()
zfw = . Nu tn ti gii hn

(
)
(
)
z
zfzzf
z
Δ
−
Δ
+
→Δ 0
lim (1.33)
thì ta nói hàm
(
)
zfw = kh vi (hay có đo hàm) ti

z
, còn gii hn đó đc gi là đo hàm ti
z
, ký hiu
()
zf ' hoc
()
zw' .
Ví d 1.8: Cho
2
zw = , tính
()
zw' .
Gii:
()
zz
z
w
zzzzzzw
Δ+=
Δ
Δ
⇒Δ+Δ=−Δ+=Δ 22
22
2
,
Do đó
() ()
zzz
z

w
zw
zz
22limlim'
00
=Δ+=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
.
nh lý 1.1: Nu hàm phc
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzfw ,,
+
=
=
kh vi ti iy
x
z += thì phn thc
()
yxu , và phn o
()
yxv , có các đo hàm riêng ti ),( yx và tha mãn điu kin Cauchy-
Riemann

() ()
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
yx
x
v
yx
y
u
yx
y
v
yx

x
u
,,
,,
(1.34)
Ngc li, nu phn thc
()
yxu ,
, phn o
(
)
yxv ,
kh vi ti ),( yx và tha mãn điu kin
Cauchy-Riemann thì
()
zfw = kh vi ti iy
x
z
+
=
và

() () () () ()
yx
y
u
iyx
y
v
yx

x
v
iyx
x
u
zf ,,,,'
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
= . (1.35)
Ví d 1.8: Hàm
xyiyxzw 2
222
+−==  Ví d 1.7 có
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂

∂
−=−=
∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
x
v
y
y
u
y
v
x
x
u
2
2
, do đó hàm kh vi
ti mi đim và
()
zyixzw 222' =+
=
.
Chng 1: Hàm bin s phc

14

Ví d 1.9: Hàm
iyxzw −==
có
1,1 −=
∂
∂
=
∂
∂
y
v
x
u
không tha mãn điu kin Cauchy-Riemann,
do đó hàm không kh vi ti bt k đim nào.
1.2.5. Hàm gii tích
nh ngha 1.6: Hàm đn tr
(
)
zfw
=
kh vi trong mt lân cn ca z đc gi là gii
tích ti
z
. Nu
()
zf kh vi ti mi đim ca D thì ta nói
(
)
zf gii tích trong D.

()
zf gii tích
trong
D
nu nó gii tích trong mt min cha
D
.
Khái nim kh vi và đo hàm ca hàm phc đc đnh ngha tng t nh trng hp hàm
thc. Vì vy các tính cht và quy tc tính đo hàm đã bit đi vi hàm thc vn còn đúng đi vi
hàm phc.

()
() ()' '() '()
f
zgz fzgz±=±.

()
() ()' '()() () '()
f
zgz f zgz f zg z=+. (1.38)

()
'
2
() '()() () '()
,()0
()
()
fz f zgz fzgz
gz

gz
gz
⎛⎞
−
=
≠
⎜⎟
⎝⎠
.

()()
)(').(')(
'
zuufzuf = .
1.2.6. Các hàm phc s cp c bn
1.2.6.1. Hàm ly tha
n
zw = ,
n
nguyên dng
≥
2.
Hàm s xác đnh và gii tích vi mi
z , đo hàm
1−
=
n
nzw .
Nu
()

ϕ+
ϕ
= sincos irz thì
(
)
ϕ+ϕ= ninrw
n
sincos .
Vy nh ca đng tròn
Rz = là đng tròn
n
Rw = . nh cúa tia
π
+ϕ= 2Arg kz là
tia
π
+ϕ= 2'Arg knw . nh cúa hình qut
n

z
2
arg0 <<
là mt phng
w
b đi trc thc dng.

n
π
2

x

y

O
Z

u
v

w
Chng 1: Hàm bin s phc

15
1.2.6.2. Hàm cn
n
zw =
Hàm cn bc
n
:
n

zw = là hàm ngc ca hàm ly tha bc
n
.
Mi s phc khác 0 đu có đúng n cn bc n, vì vy hàm cn là mt hàm đa tr.
1.2.6.3. Hàm m
z
ew =
M rng công thc Euler (1.12) ta có đnh ngha ca hàm m
(
)
yiyeeew
xiyxz
sincos +===
+
(1.39)
♦
π+== 2Arg, kywew
x
.
♦ Hàm m gii tích ti mi đim và
(
)
'
zz
ee
=

♦
2121
zzzz

eee
+
= ,
21
2
1
zz
z
z
e
e
e
−
= ,
(
)
n
znz
ee
=
,
zikz
ee =
π+ 2
. (1.40)
♦
1,,1
2
0
−===

π
π
i
i
eiee .
♦ Qua phép bin hình
z
ew = , nh ca đng thng a
x
=
là đng tròn
a
ew =
, nh
ca đng thng
by = là tia
π
+
=
2Arg kbw .
nh ca bng
π<< 20 y là mt phng w b đi na trc thc dng.

1.2.6.4. Hàm lôgarit
Hàm ngc ca hàm m đc gi là hàm lôgarit.
w
ezzw =⇔= Ln

(
)
viveeezivuzw
uivuw
sincosLn +===⇔+==
+

Vy
⎩
⎨
⎧
π+=
=
⇔=
2argIm
lnRe
Ln
kzw
zw
zw
(1.41)
x

y
O
a
x
=

by =
O
a
e
u
v

b
Z

W

Chng 1: Hàm bin s phc

16
iu này chng t hàm lôgarit phc là hàm đa tr. ng vi mi
z
có vô s giá tr ca
w
,
nhng giá tr này có phn thc bng nhau còn phn o hn kém nhau bi s nguyên ca
π
2 . Vi
mi

0
kk = c đnh ta đc mt nhánh đn ta tr ca hàm zw Ln
=
.

(
)
π++= 2argln
0
kzizw
Nhánh đn tr ng vi
0=k đc gi là nhánh đn tr chính và đc ký hiu zln .

zizz arglnln +=

trong đó
ln  v trái là hàm bin phc, còn  v phi là hàm bin thc.
Mt s tính cht ca hàm lôgarit.
̇
() ()
(
)
(
)
π=−⇒π+=π+−+−=− iikki 1ln122)1arg(1ln1Ln
̇
() () () () ()
znzzz
z
z

zzzz
n
LnLn,LnLnLn,LnLnLn
21
2
1
2121
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
.
Các nhánh đn tr ca hàm lôgarit gii tích trên na mt phng phc Z b đi na trc thc
âm
)0( <x .
1.2.6.5. Các hàm lng giác phc
M rng công thc (1.12) cho các đi s phc ta đc các hàm lng giác phc

∈∀
−
=
+
=
−−

z
i
ee
z
ee
z
iziziziz
;
2
sin,
2
cos (1.42)

()
π≠=
π
+≠= kz
z
z
zkz
z
z
z
;
sin
cos
cotg;
2
12,
cos

sin
tg .
Các hàm lng giác phc còn gi đc nhiu tính cht ca hàm lng giác thc.
̇ Hàm
zz sin,cos
tun hoàn chu k
π
2 , hàm zz cotg,tg tun hoàn chu k π.
̇ Các hàm lng giác phc gii tích trong min xác đnh

() () () ()
z
z
z
zzzzz
2
'
2
'''
sin
1
cotg,
cos
1
tg,sincos,cossin
−
==−==
.
̇
∈∀=+ zzz ;1sincos

22

̇ Các công thc cng góc, h bc, tng thành tích, tích thành tng vn còn đúng.
Tuy nhiên có nhng tính cht ca hàm lng giác thc không còn đúng đi vi hàm lng
giác phc. Chng hn hàm lng giác thc b chn nhng hàm lng giác phc không b chn (ta
có th chng minh điu này bng cách áp dng đnh lý Louville):

∈∀≤≤ xxx ,1sin,1cos
nhng
1
2
sin,1
2
cos >
−
=>
+
=
−−
i
ee
ni
ee
ni
nnnn
.


Chng 1: Hàm bin s phc

17
1.2.6.6. Các hàm lng giác hyperbolic phc

z
z
z
z
z
z
ee
z
ee
z
zzzz
sh
ch
coth,
ch
sh
th,
2
sh,
2
ch ==
−
=
+
=
−−
(1.43)

̇ Các hàm lng giác hyperbolic phc gii tích trong min xác đnh

() () () ()
z
z
z
zzzzz
2
'
2
'''
sh
1
coth,
ch
1
th,shch,chsh
−
==== .
̇
zizziizezzezz
zz
chcos,shsin,shch,shch ===−=+
−
.
̇
zzzzzzzz
2222
shch2ch,shch22sh,1shch +===− .
1.3. PHÉP BIN HÌNH BO GIÁC

Nhiu vn đ trong khoa hc và thc tin (ví d bài toàn n mìn, bài toán thit k cánh máy
bay…) đa đn bài toán: Tìm phép bin hình bo giác bin min D thành min
Δ nào đó mà ta đã
bit hoc d dàng kho sát hn. Trong mc này ta đa ra vài nguyên lý và phng pháp tìm phép
bin hình trong nhng trng hp đn gin.
1.3.1. nh ngha phép bin hình bo giác
nh ngha 1.7: Phép bin hình
(
)
zfw
=
đc gi là bo giác ti z nu tho mãn hai
điu kin sau:
i. Bo toàn góc gia hai đng cong bt k qua đim
z ( k c đ ln và hng).
ii. Có h s co dãn không đi ti
z , ngha là mi đng cong đi qua đim này đu có h
s co dãn nh nhau qua phép bin hình.
Phép bin hình
()
zfw = đc gi là bo giác trong min D nu nó bo giác ti mi đim
ca min này.
nh lý sau đây cho điu kin đ ca phép bin hình bo giác.
nh lý 1.2: Nu hàm
()
zfw = kh vi ti z và
(
)
0'
≠

zf thì phép bin hình thc hin bi
hàm
()
zfw = bo giác ti đim
z
, đng thi
(
)
zf 'arg là góc quay và
()
zf ' là h s co giãn ti
đim
z ca phép bin hình đó.
T đnh lý này ta suy ra rng nu
(
)
zfw
=
gii tích trong D và
(
)
Dzzf ∈∀≠ ,0'
thì nó là
mt phép bin hình bo giác trong D.
1.3.2. Phép bin hình tuyn tính 0,
≠
+
=
abazw
Phép bin hình này bo giác trong toàn min

 vì
(
)
zazw
∀
≠
=
,0'
.
Nu
ϕ
=
i
eaa thì
bzeaw
i
+=
ϕ
. iu này chng t phép bin hình tuyn tính là hp ca
ba phép bin hình sau:
̇ Phép v t tâm O t s
ak =
,
̇ Phép quay tâm O, góc quay
ϕ
,
Chng 1: Hàm bin s phc

18
̇ Phép tnh tin theo véc t b .

Vy phép bin hình tuyn tính là mt phép bin hình đng dng (hp ca mt phép v t,
phép quay, phép tnh tin). Nó bin mt hình bt k thành mt hình đng dng vi nó. c bit
bin mt đng tròn thành mt đng tròn, bin mt đng thng thành mt đng thng, mt đa
giác thành mt đa giác đng dng.
Ví d 1.10: Tìm phép bin hình bo giác bin tam giác vuông cân có các đnh
()
iA 27
+
−
,
()
iB 23 +− ,
()
iC 45 +− thành tam giác vuông cân có các đnh
(
)
iA 2
1
,
()
0
1
B ,
()
iC +1
1
.
Gii: Hai tam giác vuông cân bt k đu đng dng vi nhau nên tn ti mt phép đng
dng
0,

≠
+= abazw bin ABCΔ thành
111
CBA
Δ
. Phép bin hình này bin
A
thành
1
A ,
bin
B
thành
1
B , do đó
ba,
tha mãn h phng trình

()
()
iz
i
w
ib
i
a
bia
biai
2
3

1
2
2
3
1
2
230
272
−−−=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−=
−=
⇒
⎩
⎨
⎧
++−=
++−=
.
Thay
54zi=− + ta có
3
(5 4) 1 1
22

i
wiii
=− − + − − = + .









1.3.3. Phép nghch đo
z
w
1
=

Phép bin hình
z
w
1
= có th m rng lên mt phng phc m rng
 bng cách cho nh
ca
0=z là ∞ và nh ca ∞=z là 0
=
w .
o hàm
()

∞≠∀≠
−
= ,0,0
1
'
2
z
z
zw nên phép bin hình bo giác ti mi đim
∞
≠ ,0z .
Hai đim A, B nm trên mt tia xut phát t tâm I ca đng tròn
(
)
C bán kính R đc gi
là liên hp hay đi xng qua
()
C nu
2
RIA.IB = .
v

u
1
C
1
B
1
A
i2

i
1
x

y
A

B

C

7−
3−
i2
i4
Z

W

Chng 1: Hàm bin s phc

19
Vì
zz
z
ArgArg
1
Arg =−= nên
z
và

z
w
1
=
cùng nm trên mt tia xut phát t O.
Ngoài ra
1
1
. =
z
z
, do đó z và
z
w
1
=
đi xng nhau qua đng tròn đn v.
Vy phép bin hình nghch đo
z
w
1
= là hp ca phép đi xng qua đng tròn đn v và
phép đi xng qua trc thc. Phép bin hình này bin:
̇ Mt đng tròn đi qua O thành mt đng thng.
̇ Mt đng tròn không đi qua O thành mt đng tròn.
̇ Mt đng thng đi qua O thành mt đng thng qua O.
̇ Mt đng thng không đi qua O thành mt đng tròn đi qua O.
Nu ta xem đng thng là mt đng tròn (có bán kính vô h
n) thì phép bin hình
z

w
1
=
bin mt đng tròn thành mt đng tròn.
nh ca đng tròn
R=z là đng tròn
R
1
=w , nh ca hình tròn
R<z là phn ngoài
ca hình tròn
R
1
>w . nh ca M trên tia OB là N trên tia OB', B' là đi xng ca B qua trc
thc và
1OM.ON = .











3.4. Phép bin hình phân tuyn tính
0,0; ≠−≠
+

+
= bcadc
dcz
baz
w

Ta có th m rng hàm phân tuyn tính
dcz
baz
w
+
+
=
lên mt phng phc m rng
 bng
cách cho nh ca
c
d
z
−= là ∞ và nh ca
∞
=
z là
c
a
w
= .
B
M
•

B'
•
x

y

O
u
v
O
W

Z

N
Chng 1: Hàm bin s phc

20
o hàm
()
()
∞−≠∀≠
+
−
= ,,0'
2
c
d
z
dcz

bcad
zw
nên phép bin hình bo giác ti mi đim
∞−≠ ,
c
d
z
.

()
()
()
dczc
adbc
c
a
dczc
adbcdcza
dczc
bcacz
dcz
baz
w
+
⋅
−
+=
+
−
+

+
=
+
+
=
+
+
=
1
.
Do đó phép bin hình phân tuyn tính là hp ca 3 phép bin hình:
♦ Phép bin hình tuyn tính:
dczz
+

,
♦ Phép nghch đo:
dcz
dcz
+
+
1
 ,
♦ Phép bin hình tuyn tính:
c
a
dczc
adbc
dcz
+

+
⋅
−
+
11

.
Vì các phép bin hình tuyn tính và nghch đo bin mt đng tròn thành mt đng tròn
và bo toàn tính đi xng ca 2 đim đi xng qua đng tròn, nên phép bin hình phân tuyn
tính cng có tính cht đó.
Phép bin hình
0, ≠
+
+
= c
dcz
baz
w
có th vit li
1
11
dz
bza
c
d
z
c
b
z
c

a
w
+
+
=
+
+
=
hoc
2
2
dz
bz
kw
+
+
=
(1.44)
vì vy ch ph thuc 3 tham s. Do đó mt hàm phân tuyn tính hoàn toàn đc xác đnh
khi bit nh
321
,, www ca 3 đim khác nhau bt k
321
,, zzz .  xác đnh 3 tham s
111
,, dba ta gii h phng trình sau đây.

13
131
3

12
121
2
11
111
1
,,
dz
bza
w
dz
bza
w
dz
bza
w
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(1.45)
Hoc hàm phi tìm có th xác đnh bi phng trình

32
12

3
1
32
12
3
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
−
−
⋅
−
−
=
−
−
⋅
−
−
(1.46)
c bit nu
(
)
0

0
=zw và
()
∞
=
1
zw , theo (1.44) ta có

1
0
zz
zz
kw
−
−
= (1.47)
Chng 1: Hàm bin s phc

21
1.3.5. Các nguyên lý tng quát ca phép bin hình bo giác
a. S tn ti ca phép bin hình
nh lý 1.3 (nh lý Riemann): Nu D và
Δ
là hai min đn liên (không phi là mt phng
phc m rng hay mt phng phc m rng b đi mt đim) thì tn ti phép bin hình
(
)
zfw
=

gii tích, bo giác đn tr hai chiu bin D thành
Δ
.
Hn na nu cho trc
Δ
∈
∈
00
D, wz và 
∈
θ
0
thì ch có duy nht
()
zfw = tho mãn
()
00
zfw = ,
(
)
00
'Arg θ=zf .
nh lý Riemann ch cho ta bit s tn ti ca phép bin hình ch không cho ta cách tìm c
th phép bin hình này. Trong thc hành, đ tìm phép bin hình bin min D thành min
Δ
ngi
ta tìm phép bin hình bin D, Δ v hình tròn đn v
1<z hay na mt phng trên. (Các phép
bin hình này có th tìm trong các s tay toán hc).
♦ Nu

()
zf=
ζ
bin hình đn tr hai chiu bin D lên hình tròn 1<ζ ,
♦ Nu
()
wg=
ζ
bin hình đn tr hai chiu bin
Δ
lên hình tròn 1<ζ ,
thì
(
)
zfgw 
1−
= bin D thành
Δ
.
b. S tng ng biên
nh lý 1.4: Cho hai min đn liên D và
Δ
có biên là
Δ
∂
∂
,D
. Gi s
Δ∂∂ ,D
là đng

trn tng khúc,
Δ
b chn. Nu
(
)
zfw
=
gii tích trong D và liên tc trong D , bin hình 1-1
D∂ lên Δ∂ sao cho khi z chy trên D
∂
theo chiu dng, tng ng w chy trên Δ∂ cng theo
chiu dng, thì hàm
()
zfw = bin hình bo giác đn tr hai chiu t D lên Δ .
c. S bo toàn min
nh lý 1.5: Nu hàm
()
zfw = gii tích, khác hng s trên min D thì nh
()
Df=Δ cng
là mt min.
Mt vài chú ý khi tìm phép bin hình bo giác trong các trng hp thng gp sau:
1. i vi hai min đng dng ta dùng phép bin hình tuyn tính
0, ≠+= abazw .
2. Bin mt cung tròn thành mt cung tròn hay đng thng ta dùng hàm phân tuyn tính
0,0; ≠−≠
+
+
= bcadc
dcz

baz
w
.
3. Bin mt góc thành na mt phng, ta xét
n
zw = .
4. Bin mt bng song song vi trc thc lên na mt phng ta dùng
z
ew = .
Ví d 1.11: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin na mt phng trên 0Im >z
thành hình tròn
1<w sao cho
()
0
0
=
zw , vi 0Im
0
>z .
Chng 1: Hàm bin s phc

22
Gii: Vì
0
z

đi xng vi
0
z qua
Ox
,
∞
đi xng vi
0
qua 1=w , do đó theo nguyên
lý tng ng biên ta ch cn tìm hàm phân tuyn tính bin trc thc
0Im =z lên
1=w và bo
toàn chiu.
Hai min đã cho không đng dng nên
0
≠
c
. Mt khác
(
)
0
0
=
zw và tính cht bo toàn
tính đi xng nên
(
)
∞=
0
zw , do đó theo (1.47) ta có th xét hàm phân tuyn tính dng

0
0
zz
zz
kw
−
−
=
. Khi ∈
=
xz thì
(
)
1=xw 11
0
0
0
0
=⇒=
−
−
=
−
−
⇒ k
zx
zx
k
zx
zx

k
.
ϕ
=⇒
i
ek
. Vy
0
0
zz
zz
ew
i
−
−
=
ϕ
.
Ví d 1.12: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin hình tròn 1<z thành hình tròn
1<w sao cho
()
0
0
=
zw , vi 10

0
<< z .
Gii: Vì
0
z đi xng vi
0
1
z
qua
1=z , do đó nh ca
0
z là 0 thì nh ca
0
1
z
là
∞
vì
∞,0 đi xng nhau qua
1=w . Tng t ví d 1.11 và công thc (1.47) ta có th xét hàm phân
tuyn tính dng
1
1
0
0
0
0
0
−
−

=
−
−
=
zz
zz
kz
z
z
zz
kw
.
Vì nh ca
1=z là 1=w và
z
zz
1
1 =⇒=
.
ϕ
=⇒=
−
−
=
−
−
=
−
−
==⇒

i
ekzkz
zz
zzz
kz
z
z
zz
kz
zz
zz
kzw
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
.
Vy
1
0
0

−
−
=
ϕ
zz
zz
ew
i
.
Ví d 1.13: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin hình qut
3
arg0
π
<< z
thành
hình tròn
1<w sao cho
(
)
0
6/
=
πi
ew và
(

)
iw
=
0 .
Gii: Phép bin hình
3
z=ξ bin hình qut
3
arg0
π
<< z
thành na mt phng trên
0Im >ξ và
(
)
(
)
00,
2/6/
=ξ==ξ
ππ
iee
ii
. Theo Ví d 1.11, phép bin hình
i
i
ew
i
+ξ
−

ξ
=
ϕ
bin
0Im >ξ thành
1<w tha mãn
()
0
=
iw ,
(
)
∞
=
−
iw .
Chng 1: Hàm bin s phc

23
Nu ta thêm điu kin
()
iw =0 thì ie
i
i
ei
ii
−=⇒
+
−
=

ϕϕ
0
0
.
Vy phép bin hình cn tìm là
iz
iz
iw
+
−
−=
3
3
.
Ví d 1.14: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−
<
2
1
2

1
:D
i
z
z
thành bng
1Re1 <<− w
.
Gii: Phép bin hình phân tuyn tính
iz
baz
−
+
=ξ bin ii
−
,0, ln lt thành ii
−
∞ ,, , do
đó
ξ bin min D thành bng 1Im1
<
ξ
<− .
Phép quay
ξ
= iw bin bng 1Im1
<
ξ
<
− thành bng 1Re1

<
<
−
w .
Vy phép bin hình cn tìm là
iz
iz
iz
iz
iw
−
+
=
−
+
−
=
313
.










1.4. TÍCH PHÂN PHC, CÔNG THC TÍCH PHÂN CAUCHY

Trong mc này ta nghiên cu các tính cht và các biu din ca hàm phc gii tích, vì vy
ta ch xét các hàm đn tr.
1.4.1. nh ngha và các tính cht ca tích phân phc
Khái nim tích phân phc dc theo mt đng cong đc đnh ngha tng t tích phân
đng loi 2.
Gi s
() ( )
(
)
yxivyxuzfw ,, +== xác đnh đn tr trong min D. L là đng cong (có th
đóng kín) nm trong D có đim mút đu là A mút cui là B.
Chia L thành n đon bi các đim
BzzzzA
n
≡
≡
, ,,,
210
nm trên L theo th t tng
dn ca các ch s.
•
i
1
i

i
−

31iz
zi

ξ
−+
=
−

wi
ξ
=

Chng 1: Hàm bin s phc

24








Chn trên mi cung con
kk
zz ,
1−
ca đng cong L mt đim bt k
kkk
iη+ξ=
ζ
.
t

,
kk k
zxiy=+
11 1
, , ; 1,2, , .
kkk kkk k kk
zzz xxx yyy k n
−− −
Δ= − Δ= − Δ= − =

()
∑
=
Δζ=
n
k
kkn
zfS
1
(1.48)
đc gi là tng tích phân ca hàm
(
)
zf trên L ng vi phân hoch và cách chn các đim đi
din trên. Tng này nói chung ph thuc vào hàm
(
)
zf , đng L, cách chia L bi các đim
k
z và

cách chn các đim
k
ζ
.
Nu khi
0max
1
→Δ
≤≤
k
nk
z tng
n
S tin ti gii hn 
∈
I không ph thuc cách chia đng
L và chn các đim
k
ζ
thì I đc gi là tích phân ca hàm
(
)
zf dc theo đng cong L t A đn
B, ký hiu
()

AB
f
zdz
∫

. Vy

()

()
1
max 0
1
lim
k
kn
n
kk
z
k
AB
I
fzdz f z
ζ
≤≤
Δ→
=
== Δ
∑
∫
(1.49)
Tng tích phân (1.48) có th phân tích thành tng ca 2 tng tích phân đng loi 2.
() ( ) ( )( )
11
,,

nn
kk kk kk k k
kk
f
zu iv xiy
ζξηξη
==
Δ= + Δ+Δ⎡⎤
⎣⎦
∑∑

() () () ()
11
,, ,,
nn
kk k kk k kk k kk k
kk
uxvyivxuy
ξη ξη ξη ξη
==
⎡⎤⎡⎤
=Δ−Δ+ Δ+Δ
⎣⎦⎣⎦
∑∑
(1.50)
Tng t (1.27), áp dng (1.17) ta có

1
1
1

max 0
max 0
max 0
k
kn
k
kn
k
kn
x
z
y
≤≤
≤≤
≤≤
⎧
Δ
→
⎪
Δ→ ⇔
⎨
Δ
→
⎪
⎩

Vì vy tích phân phc (1.49) tn ti khi và ch khi hai tích phân đng loi 2 có tng tích
phân (1.50) tn ti và có đng thc
x
y

0
zA
≡

n
zB
≡

1
−
k
z
k
z
•
•
•
k
ζ

O
Chng 1: Hàm bin s phc

25

(
)
 
AB AB AB

f
z dz udx vdy i vdx udy=−+ +
∫∫ ∫
(1.51)
Nu hàm
() ( )
(
)
yxivyxuzfw ,, +== liên tc trên D và cung

AB trn tng khúc thì tn
ti hai tích phân đng loi 2  v phi ca (1.51) do đó tn ti tích phân phc tng ng.
ng thc (1.51) suy ra rng tích phân phc có các tính cht nh các tính cht ca tích phân
đng loi 2.
̇
() ()
()

(
)

(
)

AB AB AB
f
zgzdz fzdz gzdz+= +
∫∫∫
.
̇

()

()

AB AB
kf z dz k f z dz=
∫∫
; constk
−
.
̇
()

()

AB BA
f
zdz f zdz=−
∫∫
.
̇
() ()
∫∫
≤
LL
dszfdzzf
,
v phi ca bt đng thc là tích phân đng loi 1 trên cung L có vi phân cung là
22
ds dz dx dy== +

. c bit, nu
(
)
L, ∈∀≤ zMzf và l là đ dài ca đng cong L thì
()
L
f
zdz Ml≤
∫
. (1.52)
Khi A trùng vi B thì L là đng cong kín (ta ch xét các đng cong kín không t ct, gi
là đng Jordan). Tích phân trên đng cong kín L đc quy c ly theo chiu dng, ký hiu là
()
L
f
zdz
∫
.
Ví d 1.15: Tính tích phân

2
AB
I
zdz=
∫
; iBiA 42,1
+
=
+
=

1. Dc theo parabol 21,
2
≤≤= xxy .
2. Dc theo đng thng ni A và B.
Gii:






x

y

A
B
O
1
2
i
i4