khái niệm hàm loga trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH





PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG








KHÁI NIỆM
HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG










LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH




PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG





KHÁI NIỆM
HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG





Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN






Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS.
Alain Birebent đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền thụ cho chúng tôi những kiến
thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ
hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
T
ôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp
tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Trưởng phòng Thanh tra đào tạo, các đồng nghiệp trong phòng Thanh tra
đào tạo đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành

tốt khóa học của mình.
- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm
TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám
hiệu cùng thầy cô trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Hiền,
trường THPT Nguyễn Văn Côn đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực
nghiệm.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị và những
người thân yêu trong gia đình tôi luôn động viên, nâng đỡ tôi về mọi mặt.


Phạm Trần Hoàng Hùng
TABLE DES MATIÈRES

Page de titre
Remerciements
Table des matières 1
Liste des abréviations 3
Liste des tableaux 4
INTRODUCTION 5
Chapitre 1. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION
LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR SAVANT 12
1.1. Historique 12
1.2. Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction
logarithmique dans quelque manuels universitaires 14
1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] 15
1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [b] 20
Chapitre 2. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION
LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À
ENSEIGNER 25

2.1. Manuel scolaire publié en 1991 25
2.2. Manuel scolaire (selon le programme de modification fusionnée) publié
en 2000 37
2.3. Manuel scolaire publié en 2008 41
Chapitre 3. EXPÉRIMENTATIONS 48
Expérimentation A 49
3.1. Finalité de l’expérimentation 49
3.2. Contenu de l’expérimentation 49
3.3. Analyse des résultats 50
3.4. Conclusion 53


Expérimentation B 53
3.5. Finalité de l’expérimentation 53
3.6. Organisation de l’expérimentation 53
3.7. Analyse a priori des questions expérimentales 54
3.7.1 Construction des questions expérimentales 54
3.7.2 Système des questions expérimentales 54
3.7.3 Stratégie et Influence des variables observables 56
3.8. Analyse de la scénario 62
3.9. Analyse a posteriori 62
3.9.1 Fiche 1 63
3.9.2 Fiche 2 64
3.10. Conclusion 65
CONCLUSION 66
BIBLIOGRAPHIES
ANNEXES

LISTE DES ABRÉVIATIONS
THPT

Lycée
THCS
Collège
SGK
Manuel scolaire
SGV
Livre du professeur
SBT
Livre d’Exercices
CLHN
Modification fusionnée
TCTH
Organisation mathématiques
[a] Mathématiques avancées, No. 2, Calcul différentiel – Des fonctions
usuelles,
Guy Lefort
[b] Les Logarithmes Et Leurs Applications Par André Delachet Presses
Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960
[V
1
] Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần,
1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[P
1
] Livre du professeur Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Phan
Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation

[E
1
] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Phan Trương
Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[V
2
] Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison
d’Édition du Minitère de l’Éducation
[P
2
] Guide pédagogique Mathématiques 11
e
, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo,
Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[E
2
] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc
Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[V
3
] Analytique 12
e
, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison
d’Édition du Minitère de l’Éducation

[P
3
] Livre du professeur Analytique12
e
, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur),
2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[E
3
] Livre d’Exercices Analytique12
e
, Vũ Tuấn (Directeur de l’Éditeur), 2008,
Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation



LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction
logarithmique dans le manuel [V
1
] et le livre d’Exercices [E
1
]
36
Tableau 2.2 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction
logarithmique dans le manuel [V
2
] et le livre d’Exercices [E
2
]
40

Tableau 2.3 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction
logarithmique dans le manuel [V
3
] et le livre d’Exercices [E
3
]
47
Tableau 3.1
Statistique des problèmes dans l’Exercice 1 du professeur
50
Tableau 3.2 Statistique des évaluations des solutions de l’Exercice 2 du
professeur
51
Tableau 3.3 Statisque des solutions attendues de l’Exercice 3 du
professeur
52
Tableau 3.4
Statisque des évaluations du professeur de l’Exercice 4
52
Tableau 3.5
Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 1 (Fiche 1)
63
Tableau 3.6
Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 2 (Fiche 1)
64
Tableau 3.7
Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 3 (Fiche 1)
64
Tableau 3.8
Statisque des évaluations des élèves (Fiche 2)

65
5
INTRODUCTION
1. Premiers constats et questions de départ
Fonction demeure un objet qui joue toujours un rôle important dans le
programme des Mathématiques aux lycées. Parmi des types de fonction, nous nous
intéressons particulièrement au logarithme pour les raisons ci-dessous :
- Le concept du logarithme qui se ramène à la fonction logarithme n’est
pas seulement mentionné dans les Mathématiques mais encore dans différents
domaines comme : physique, chimie, …etc. Ce fait enmène à poser plusieures
questions comme suit :
+ Quelles sont des ressemblances et des différences entre la définition du
logarithme dans les mathématiques et celle dans autres sciences ?
+
+
+
+
+
Au lycée, les définitions du logarithme et de la fonction logarithme se
présentent – elles dans les autres disciplines?
Existe-il une liaison entre les définitions du logarithme, de la fonction
logarithme avec ces disciplines?
 Le sujet du logarithme se présente toujours dans le contenu du baccalauréat.
Cependant, par rapport aux manuels des mathématiques actuels aux lycées, son rôle
a reconnu des changements après les renouvellements des programmes et des
manuels :
Algèbre et Analyse 11 publié en 1991 (avant la partie de la dérivée et
l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Logarithme de base a -> Fonction
logarithme -> Logarithme de base 10, e.
Algèbre et Analyse 11 ( avec ajustements) publié en 2000 (avant la partie

de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Fonction réciproque
-> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10,e.
Analyse 12 publié en 2008 ( après la partie de la dérivée, avant la partie de
l’intégrale) : Fonction puissance -> Logarithme de base a -> Lgarithme de
base 10,e  Fonction exponentielle -> Fonction logarithme

6
Comment paraissent –elles donc les notions du logarithme et de la fonction
logarithme au programme mathématique aux lycées. Quel est le rôle de ces objets?
Et comment s’évoluent – ils?
De manière systématique, nous trouvons la nécessité de poser ces questions
comme suit :
 Au niveau du savoir savant, comment sont-ils mentionnés, le concept du
logarithme et celui de la fonction logarithme? Quels sont leurs caractéristiques?
 Au niveau du savoir à enseigner au lycée, pourquoi présente –il le contenu de
ces notions en suivant cet ordre mais pas un autre?
 Révèle-t-il des ressemblances et des différences entre l’oragnisation des
savoirs reliées au logarithme et à la fonction logarithme chez l’université et celle du
lycée? Les raisons expliquent ces différences?
 Comment explique -t-elle, institution cet ordre du choix?
 Quelles sont les conséquences proviennent du choix des types de tâche et des
techniques chez les objets de l’institution (élèves et enseignant) ?
 Demeure -t- il des différences ou des liaisons entre le concept du logarithme et
de la fonction logarithme dans les mathématiques et celui chez les autres
disciplines?
2. Objectifs de recherche et cadre théorique
Ce mémoire vise à trouver les réponses pour les questions ci –dessus.
Pour déterminer les éléments clés de ces questions, nous posons notre étude
dans le cadre théorique du didactique des mathématiques, dont les détails sont :
 Théorie anthropologique : le rapport institutionnel et le rapport individuel en

face d’un savoir, d’une organisation mathématique;
 Théorie des situations : contrat didactique.
 Théorie anthropologique
En ce cas, nous faisons seulement des brièves descriptions de deux notions
qui ont besoin d’une référence de la théorie anthropologique pour déterminer les
réponses des questions posées.

7
Rapport institutionnel, rapport individuel en face d’un savoir
Rapport institutionnel :
Le raport R(I,O) de l’institution I avec le savoir O est un ensemble des
interactions entre l’institution I et le savoir O. Il révèle où, par quel moyen O
apparaît, comment O existe et son rôle pour I ?
Rapport individuel:
La relation R(X,O) de l’individu X avec le savoir O est un ensemble des
interactions entre l’individu X et le savoir O. Il révèle ce que X pense et comprend
de O, comment il manipule O?
L’apprentissage de l’individu X envers le savoir O est le processus d’établir
ou d’ajuster la relation (X,O). Évidemment, pour un savoir O, le rapport de
l’institution I dans laquelle l’individu X est une part laisse toujours une marque
dans le raport (X, O). Pour étudier R(X,O), il nous faut le mettre dans R(I,O). .
Organisations mathématiques
Activités mathématiques se présentent une partie des activités sociales; la
réalité mathémathique est une type de la réalité sociale; il faut donc construire un
modèle qui favorit la description et les études de cette réalité. En basant sur ce
point de vue, Yves Chevallaerd (1998) a présenté la notion praxéologie.
D’après Chevallard, chaque praxéologie est un ensemble de 4 éléments
[T,,,], dans lequel T est une type de tâche,  est la technique qui permet à
résoudre T;  est la technologie expliquant la technique , et  est la théorie qui
explique la technologie .

Une praxéologie dont les éléments contiennent des natures mathématiques
s’appelle une organisation mathématique.
Bosch M. et Y. Chevallard (1999) ont clarifié: “Pour une place
institutionnelle définie, le rapport institutionnel envers un sujet est déterminé et
transformé par un ensemble des tâches occupées et réalisé par l’individu obtenant
cette place, sous l’aide des techniques indiquées. Le fait de réalisation de
différentes tâches que l’individu doit faire tout au long de sa vie dans différentes
institutions, où l’individu est considéré comme le sujet (alternatiement ou
simultanément), produit le rapport entre lui même et le sujet mentionné. »

8
Donc, la recherche des organisations mathématiques qui relient étroitement
au savoir O nous aide à clarifier le raport entre R(I,O) de l’institution I envers le
savoir O; de ce point, la relation maintenue entre l’individu X et le savoir O
devient alors éclaircie.
Identifier des organisations mathématiques relatives au savoir O nous aide
ainsi à définir des règles du contrat didactique : par exemple chaque individu a le
droit de faire telles choses, ne doit pas faire telles choses et comment utilise-il le
savoir O.
 Théorie des situations
Dans cette partie, nous n’aborde que la notion qui a besoin de la référence :
le contrat didactique.
Contrat didactique
Le contrat didactique concerne quelques savoirs qui sont modélisation des
droits et des devoirs de l’enseignant et même des élèves envers ces objets. Il est
compris comme un ensemble des règles (souvent implicites) qui divisent et
limitent les responsabilités de chaque membre (l’élève et l’enseignant) envers un
savoir mathématique enseigné.
La définition du contrat didactique permet d’expliquer les comportements de
l’enseignement et de l’élève, de trouver le sens des activités qu’ils mènent ; de ce

point, nous pouvons expliquer exactement les événements observés dans la classe.
D’après Annie BESSOT et Claude COMITI (2000), pour reconnaître des
effets du contrat didactique, nous pouvons suivre les étapes suivantes:
 Créer un bouleversement dans le système éducatif pour mettre les membres
principaux (l’enseignant et l’élève) dans une étrange situation appelée situation
cassant le contrat :
+ En changeant les conditions d’utilisation des savoirs,
+
+
+
En profitant la maîtrise prématurée de l’élève pour des tels savoirs
En se mettant hors du domaine des savoirs examinés ou utilisant les
situations que les savoirs examinés sont incapables de résoudre.
En posant l’enseignant face aux comportements qui n’accordent pas à leur
souhait chez les élèves.

9
 Analyser les composantes du système éducatif en vigeur :
+
+
+
En étudiant les réponses de l’élève au cours,
En analysant des évaluations mathématiques des élèves dans l’utilisation
des savoirs,
En analysant des exercices resolus ou favoris dans le manuel.
En particulier, nous pouvons reconnaître certains éléments représentatifs
pour le savoir du contrat didactique en étudiant les critères de validation de
l’utilisation des savoirs qui est fixée pas seulement par des textes ou par la
définition du savoir, mais encore par des situations d’application, par des
conventions tirées de l’enseignement. Les critères décidant la validation du savoir

en ce cas ne dépendent plus au\ savoir lui-même mais aux contraintes du système
didactique.
Le fait d’enseigner un nouveau savoir produit toujours des situations cassant
le contrat pour les anciens savoirs et demande de négocier de nouveaux contrats :
l’apprentissage est le processus d’habituation des élèves vers ces bouleversements
à travers de la négociation avec l’enseignant. D’après Brousseau, cette négociation
conduit à une type de jeu dont les règles sont provisoirement stables ; ce jeu
permet aux membres principaux, surtout aux élèves de donner leur décision dans
la marge de garantie qui est nécessaire pour assurer leur indépendance tout au long
de l’acquisition.
L’étude des règles du contrat didactique demeure indispensable parce que
pour bien préparer le furur, l’enseignant doit examiner le passé dont la forme
réelle est le contrat en vigeur. Le contrat sur lequel l’enseignant agit s’évolue
discontinuellement, est formé d’une serie des événements venant l’un après
l’autre, représetatifs pour les ruptures du contrat. Casser le contrat révèle le
principe essentiel pour l’évolution attendue.
3. Reformulation des questions et des buts du recherche
Au sein du cadre théorique mentionné, nous reformulons nos questions :
Q1. Quels sont les caractéristiques de l’épismologie du logarithme et de la
fonction logarithme dans la formation et l’évolution ?

10
Q2. À l’université, quels sont des caractéristiques du rapport entre
l’institution avec la notion du logarithme et de la fonction logarithme ?
Quel est son rôle ? sa nature ?
Q3. Comment se forme t-il et s’évolue-t-il le rapport entre l’institution et la
notion du logarithme et de la fonction logarithme chez les lycées aux
Vietnam? Quels sont des caractéristiques des oraganisations
mathématiques qui renvoient à ces notions ? Comment s’évoluent –
elles à l’étape de renouvellement du programme et du manuel ? Quelles

sont des conditions et des contraintes de l’institution sur ces notions et
les notions relatives ? Quels sont des règles de contrat construits par
l’enseignement-l’apprentissage du sujet logarithmique ?
Q4. Quelles sont des ressemblances et des différences tirées du rapport
entre l’institution et la notion du logarithme, de la fonction
logarithme aux universités par rapport aux lycées résidés au Vietnam?
Q5. Comment influence -t-il le rapport institutionnel de l’enseignement du
logarithme, de la fonction logarirthme chez le lycée sur le rapport
l’enseignant - l’élève ?
4. Méthode de recherche
En fin d’atteindre des buts de recherche, nous avons déterminé la méthode
qui est systématisée comme suit :









ÉTUDIER LES SAVOIRS :
Mathémati
q
ues
ÉTUDIER LES SAVOIRS À ENSEIGNER:
Institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées
vietnamiens
EXPÉRIEMENTER:
Relation individuelle entre l’ensei

g
nan
t
et l’élève
Nous pouvons paraphr
aser le plan de la méthode de recherche comme suit :

11
 Premièrement, nous allons étudier des savoirs savants en analysant certains
manuels de mathématiques des universités. Cette étude vise à comprendre les
présentations des définitions du logarithme et de la fonction logarithme au niveau du
savoir savant.
 Le résultat de l’étude des savoirs sera le base de réfrérence pour l’analyse de
l’institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées. Concrètement, nous
allons analyser la notion du logarithme, de la fonction logarithme dans les manuels,
les livres de professeurs, les documents supplémentaires relatifs aux lycées.
 Les résultats obtenus conduiront aux nouvelles questions et aux hypothèses
dont l’adéquation sera justifíée à travers de l’expérimentation. La recherche par
l’expérimentation des enseignants et des élèves chase à comprendre des effets de
l’institution sur la relation individuelle entre l’enseignant et l’élève.
5. Structure du mémoire
Ce mémoire contient 3 parties : l’introduction, 3 chapitres et la conclusion.
 L’introduction présente certains constats et questions de départ qui nous
enmènent au sujet du mémoire, aux buts de recherche, aux méthodes de recherche et
enfin à la structure du mémoire.
 Chapitre 1 présente l’analyse des notions du logarithme et de la fonction
logarithme au niveau du savoir savant. Concrètement, nous abordons certains
éléments historiques relatifs à ces sujets, l’analyse des présentations de ces notions
dans certains manuels chez les universités.
 Chapitre 2 présente l’analyse du rapport entre l’institution de l’enseignement

des mathématiques aux lycées et la notion du logarithme et de la fonction
logarithme.
 Chapitre 3 présente les éxpérimentations dont la première est ménée aux
enseignants des mathématiques de la classe 12 du lycée vietnamien pour
comprendre les effets de l’institution sur le rapport de l’enseignant-l’élève ; la
deuxième est ménée sur les élèves de la classe 12 pour trouver leur rapport
individuel vers la notion du logarithme et de la fonction logarithme.
 La conclusion présente brièvement les résutats obtenus des chapitres 1,2,3 et
des nouvelles pistes de recherche tirés du mémoire.

12


Chapitre 1
1

LA DÉFINITION DU LOGARITHME ET DE LA
FONCTION LOGARITHME AU NIVEAU DU SAVOIR
SAVANT

Objectif du chapitre
Ce chapitre vise à clarifier les caractéristiques de la définition du logarithme
et de la fonction logarithme et les définitions qui revoient à ces sujets au niveau du
savoir savant. Plus concrètement, en analysant un certain nombre des manuels
universitaires, nous avons envie de trouver l’itinéraire et la méthode d’introduire
ces définitions, leur rôle et leur fonction et ainsi la liaison de ces sujets (si elle
existe) entre les mathématiques et les autres domaines.
Par manque des documents à consulter, nous n’avons pas pu creuser
l’épistémologie comme notre souhait. Cependant, quelques détails historiques sont
abordés au but de supporter l’analyse des manuels de mathématiques chez les

universités.

1.1 Quelques traits historiques
Cette partie est construite sous l’aide de la consultation des sources
d’information suivantes :
 Les Logarithmes et Leurs Applications Par André Delachet Presses
Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960.
 COURS SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES Bac Pro
(

:8080/HomoCalculus/vn/visite/theme1/r_neper.as

1
Note des traducteurs : Pour le chapitre 1 qui s’allonge de la page 12 jusqu’à la page 24, nous
n’avons traduit que les 3 pages : 12, 23, 24

23
Conclusion du chapitre 1
Dans le chapitre 1, nous avons étudié certains traits historiques qui renvoient
à la fonction logarithme et nous avons clarifié des manières de présentation de ces
sujets dans les manuels mathématiques à l’échelle universitaire.
Un nombre des résultats principaux trouvés dans le chapitre 1 :

 En matière de la définition de la fonction logarithme:
+ La fonction logarithmique est toujours définie comme une application f
venant de
*
R

à R, elle est la solution de l’équation : f(xt) = f(x) + f(t) dans

laquelle, x et t quelconque appartiennent à
*
R

. Cette équation révèle la
nature de l’application f : transformer la multiplication en l’addition.
+
+
+
+
La définition de la fonction logarithme paraît dans le but d’introduire un
outil qui permet à remplacer la multiplication par l’addition ; la division
par la soustraction ; l’extraction de la racine carrée par la division en 2 ;
l’extraction de la racine cubique par la division en 3
 L’itinéraire d’introduction des sujets dans le manuel [a] différencie à celle
dans [b]:
Dans le manuel [a] : Fonction logarithme (généralité)  Fonction
logarithme népérien  Fonction logarithme de base a  Fonction
exponentielle de base e, a  Fonction puissance  Tableau
logarithmique de base 10.
Dans le manuel [b]: Fonction logarithme népérien  Fonction
exponentielle de base e  Extension de l’exposant et de la puissance 
Fonction exponentielle de base a  Fonction logarithme de base a 
Tableau logarithmique de base 10.
 L’itinéraire d’apparition de la notion du logarithme et de la fonction
logarithme dans l’histoire distingue celle dans le manuel universitaire:
Dans l’histoire: la notion du logarithme se présente avant celle de la
fonction logarithme.

24

+
+
Dans le manuel universitaire : la notion de la fonction logarithme est
introduite avant celle du logarithme.
 En matière des caractères de la fonction logarithme de base a:
L’ensemble de définition est
*
R

, l’ensemble des valeurs est R.
+
+
Elle coupe toujours l’axe des abscisses au point (1 ; 0) et passe par le point
(a ; 1)
Elle est fonction continue sur
*
R

et sa dérivée est
log
1
a
dx
dx xLoga


Elle est fonction monotone sur
*
R


: +
 La base a > 1: fonction croissante.
 La base a positif < 1: fonction décroissante.
+
+
+
+
+
Son graphique appartient totalement à droite de l’axe des ordonnées et
adopte cet axe comme l’asymptote verticale
 En matière de la nature de la fonction logarithme:
Remplacer la multiplication par l’addition.
 Au sujet de la notion de la fonction logarithme et les notions relatives, nous
avons trouvé 3 types de tâches comme suit:
T
1
: “Calculer la valeur d’une grandeur”.
T
2
: “Trouver la valeur d’une expression calculée par le logarithme
décimal”.
T
3
: “Étudier la fonction logarithme népérien”.

25
Chapitre 2
NOTION ET FONCTION LOGARITHMIQUE
AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER

Les objectifs du chapitre
Ce chapitre vise à expliciter :
 Les caractéristiques de la relation entre l’Institution et le logarithme, sa
fonction ainsi que sa position dans l’enseignement des Mathématiques au lycée
vietnamien.
 Les contraintes de l’Institution sur la notion logarithme, sa fonction et
notamment les règles du contrat didactique vis-à-vis de ces notions dans
l’enseignement des mathématiques.
 Certaines caractéristiques du changement didactique au niveau du logarithme
et de la fonction logarithmique.
Afin d’atteindre les objectifs susmentionnés, nous avons choisi d’analyser les
programmes et les manuels vietnamiens utilisés dans les différentes périodes :
période 1991, période de remaniement à l’an 2000 et la période en cours (2008).
Les résultats atteints dans le chapitre 1 serviront de référence pour les
analyses de ce chapitre qui suit.
La fonction logarithmique dans le manuel mathématique utilisé au lycée
vietnamien
Au moment de notre analyse, le lycée vietnamien se trouve au sein de la
transition entre le programme remanié de l’an 2000 (le logarithme est enseigné en
première) et le programme d’enseignement par filière (le logarithme est enseigné
en terminale).
Dans cette partie, en nous basant sur les analyses du chapitre 1, nous
analyserons les manuels des 2 programmes susmentionnés ainsi que le manuel de
la période 1991. Notre objectif c’est d’éclaircir comment sont présentées dans
chaque manuel la notion de logarithme, la fonction logarithmique et ses
praxéologies.

26
0.1. Manuels de la période 1991

Dans cette période existent à la fois 3 manuels. Le premier est rédigé par
Phan Duc Chinh. Le deuxième par Tran Van Hao et le troisième par Ngo Thuc
Lanh.
Dans ces 3 manuels, la fonction logarithmique est définie quasiment
similaire. Or nous avons choisi d’analyser le logarithme dans le deuxième, vu qu’il
est partiellement plus complet.
Voici notre liste de documentation :
 Algèbre et Analyse 11, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao
Duc [V
1
].
 Guide pédagogique de “Algèbre et Analyse 11”, Tran Van Hao, Phan Truong
Dan, 1991, Edition Giao Duc [P
1
].
 Livre d’exercices de “Algèbre et Analyse 11”, Tran Van Hao, Phan Truong
Dan, 1991, Edition Giao Duc [E
1
].
Dans le manuel [V
1
], nous constatons l’ordre d’apparition des notions étant
comme ci-dessous :


27
L’ordre d’apparition des notions dans le manuel [V
1
] est ressemblant à celui du manuel
[b] présenté dans le chapitre 1. Cependant, le développement de la notion puissance n’est

pas précédé par la présentation de la fonction logarithmique de Neper et la fonction
exponentielle de e, autrement dit la fonction exponentielle de a est définie directement à
partir du développement de la notion puissance, sans l’intermédiaire de la logarithmique
de Neper et la fonction exponentielle de e. Ainsi est écrit dans le guide pédagogique :
“Par le développement de façon successive de la notion exponentielle à base d’un
nombre entier, d’un rationnel et d’un irrationnel, le manuel a présenté l’exposant réel x
d’un nombre réel et positif a. D’où il définit : la fonction exponentielle est identifiée par
la formule
x
ya ”.
Nous commençons par une équation exponentielle simple : on a : a > 0 et a ≠
1, résoudre l’équation avec b étant un nombre réel, à la page 201– [V
1
]. Par
la résolution graphique, le manuel [V
1
] démontre que cette équation admet
toujours une solution avec b étant un nombre positif, et conclut que cette solution
est unique car l’équation
x
a b
x
ya

est monotone. Cette solution est appelée
logarithme à base a du nombre b.
A la page 205, le manuel [V
1
] définit le logarithme à base de a du nombre b
comme ci-dessous :

“On a : a > 0, a ≠ 1. Le logarithme à base a du nombre b, b > 0, est le
nombre c ; or le nombre a puissance c est b”.
Ainsi, de façon implicite, le logarithme à base a du nombre b représente
également la solution de l’équation exponentielle
x
ab

. C’est une propriété du
logarithme : il permet de représenter la solution de toute équation exponentielle
(a > 0, a ≠ 1, b > 0)
, sous forme
x
a b log
a
x
b

.
A partir de cette définition, le manuel [V
1
] a fait une remarque : log 1 0
a

,
, avec a > 0, a ≠
1. C’est la deuxième propriété de la fonction
logarithmique : elle coupe l'axe des abscisses au (1 ; 0) et passe par (a ; 1).
log 0
a
a 

Par la suite, le manuel [V
1
] définit la fonction logarithmique à base a selon le
point de vue de la fonction réciproque : la fonction logarithmique à base a est le

28
réciproque de la fonction exponentielle
x
ya

. Selon la définition du logarithme et
la formule de la fonction exponentielle
x
ya

, on a : log
a
x
y

. Donc :
“Avec a > 0, a ≠ 1, la fonction logarithmique à base a est identifiée avec tout
valeur de la variable x, étant positive et donnée par l’expression ”.
log
a
yx
Ceci m
ontre la première propriété de la fonction logarithmique mentionnée
dans la définition du logarithme à base a : l’ensemble des définitions est
*

R

,
l’ensemble des valeurs est R.
D’ailleurs, la fonction
log
a
yx

est la réciproque de la fonction
x
ya

,
d’où, en se basant sur la propriété de la fonction exponentielle, on déduit la
propriété de la fonction logarithmique. Le manuel [V
1
] a proposé ainsi la troisième
propriété de la fonction logarithmique : la fonction logarithmique est continue sur
.
*
R

De pl
us, à partir de la représentation graphique de la fonction exponentielle,
le manuel [V
1
] déduit la propriété de celle de la fonction logarithmique :
La quatrième propriété : la fonction est croissante quand la base est
supérieure à 1, la fonction décroissante quand la base étant positive est inférieure à

1.
La cinquième propriété : la graphique de la fonction logarithmique est en
entier à droite de l’axe des ordonnées et admet l’axe des ordonnées comme
asymptote verticale.
A la rubrique 3 du chapitre VI, page 124, le manuel [V
1
] présente le
logarithme décimal et sa table. Dans l’application de logarithme décimal pour les
opérations réelles ou quand on doit résoudre des expressions contenant les
nombres positifs et les opérations : multiplication, division, puissance, extraction,
on utilise éventuellement les propriétés de logarithme pour convertir ces
expressions en logarithmes.
Nous constatons que le nombre e  2,71828 et le logarithme de Neper sont
totalement absents dans le manuel [V
1
]. Il serait probable que le manuel [V
1
] met
plus d’accent sur le calcul (travail de l’élève) à travers la consultation de la table
de logarithme que l’étude théorique (la calculette n’est pas considérée comme

29
outil). C’est la raison pour laquelle le rôle du logarithme de Neper n’est pas
important.
 Les praxéologies liés à la fonction logarithmique
Nous constatons avant tout la nécessité de rappeler les types de tâches qui
ont des rapports avec le logarithme et la fonction logarithmique en tant que savoir
savant. Ce sont les trois types de tâches suivantes :
T
1

: “Calculer la valeur d’une grandeur ”.
T
2
: “Calculer la valeur d’une expression logarithmique ”.
T
3
: “Etudier la fonction logarithmique de Neper ”.
Au niveau du savoir enseigné, le type de tâche T
1
n’apparaît pas de façon
explicite dans le manuel [V
1
], les traces de T
1
ne se révèlent qu’à travers T’
1
, T”
1

và T’”
1
.
Type de tâche T’
1
: “Calculer la valeur d’une expression contenant un
logarithme”.
Exemple 1: (exemple 1 à la page 209 - Manuel [V
1
])
Calculer l’expression

22
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2
A 
Solution
:
2222
log (2.12).log 96 log 12.log (2.96)A 
22 2 2
(1 log 12).log 96 log 12.(1 log 96)  
22
log 96 log 12
2
96
log
12

2
log 8
3
2
log 2
= 3
Exemple 2
: (exemple 2 à la page 209 – Manuel [V
1
])
Réduire l’expression
log (log )

log
bb
b
a
a
Ba , với a,b > 0, a,b  1.

30
Solution :
En posant c = , on a
log
b
a
log
log log
log
b
ba
c
ac
b
Ba a c a
Technique ’
1
:
Transformer l’expression contenant un logarithme en log
a
b ou
log
b

N
a
+
+
Transformer a, b dans log
a
b et
log
b
N
a en :
r
ac

và
s
bc

, avec r, s étant
les rationnels.
Technologie – Théorie ’
1
- ’
1
: Définition du logarithme
Nous trouvons que le problème de type T’
1
peut être résolu d’une autre
façon en utilisant la calculette ou la représentation graphique, pourtant n’existe
aucun exercice ou exemple qui présente cette résolution. La résolution attendue de

l’Institution est :
“quand on calcule une expression ou résout une équation
contenant les logarithmes de bases différentes, il nous faut les transformer en une
seule base”
(page 112 – Guide pédagogique [P
1
]). Selon nos statistiques, dans ce
chapitre il n’existe que 3 exemples (parmi 50 exemples et exercices) de type T’
1
,
et tous les trois (soit 100 %) sont résolus avec la technique
’
1
.
Type de tâche Exemple Exercice Total
Utilisation
de
”
1

Taux d’utilisation
de ”
1

T”
1
3 0 3 3 100 %

Les caractéristiques du type T’
1

dans le manuel [V
1
]:
 Les logarithmes sont sous forme log
a
b ou
log
b
N
a
, ou bien susceptibles d’être
transformés en une de ces deux formes.
 a, b dans log
a
b et
log
b
N
a sont susceptibles d’être transformés en forme :
r
ac
et
s
bc
, avec r, s étant les rationnels.
 Le résultat du calcul de l’expression contenant un logarithme est une valeur
exacte, et non pas une valeur approchée.
A partir de ces caractéristiques, les problèmes de type T’
1
proposés sont tous

susceptibles d’être transformés en forme
lo ou (on peut transformer a, b g
a
b
log
b
N
a

31
dans et en forme : log
a
b
log
b
N
a
r
ac

et
s
bc

, avec r, s étant les rationnels), ce
qui donne à une utilisation efficace de la technique
’
1.

Autrement dit, nous supposons l’existence de manière implicite d’une règle

contractuelle de l’Institution :
R
1
: L’expression contenant le logarithme à calculer possède absolument les
deux caractéristiques suivantes :
Elle est sous forme
log
a
b ou
log
b
N
a
, ou susceptible d’être transformée en
une de ces deux formes.
+
+
a, b dans log
a
b et
log
b
N
a sont susceptibles d’être transformés en forme
r
ac
và
s
bc
, avec r, s étant les rationnels.

Selon ce contrat, l’Institution attend à ce que les enseignants proposent aux
élèves des problèmes liés à l’expression contenant le logarithme et satisfaisants
aux deux caractéristiques susmentionnées.
Type de tâche T”
1
: “Réduire l’expression contenant le logarithme”
Sachant que c = . Calculer lo en fonction de c.
15
log 3 g
25
15
Solution :
25
15
lo
g
15 15
11 1 1
log 15
25 2log g og 3) 2(1 )c
 
15
15 l5 2(lo




b
Technique ”
1

:
+ Transformer l’expression contenant le logarithme en forme irréductible.
Technologie – Théorie ’
1
- ’
1
: Définition du logarithme
Le fait que le manuel [V
1
] intègre le type de tâche T”
1
sert à éclaircir la
signification de la notion logarithme. Il permet de trouver la solution de toute
équation exponentielle (a > 0, a ≠ 1, b >
0), c’est
x
a log
a
x
b

. Selon nos
statistiques, dans ce chapitre il existe 1 exemple et 8 exercices (parmi 50 exemples
et exercices) de type T”
1,
et tous ces neufs sont résolus avec la technique ”
1
.
Type de tâche Exemple Exercice Total
Utilisation

de
”
1

Taux d’utilisation
de ”
1

T”
1
1 8 9 9 100%

32
En analysant les problèmes de type T”
1
du manuel, se révèle une contrainte
implicite de l’Institution vis-à-vis de ce type de tâche : l’Institution veut que la
réponse de l’élève ne soit pas un nombre réel approché et que le résultat (si le
problème contient un logarithme) soit absolument irréductible. Autrement dit,
l’Institution n’accepte pas l’utilisation de la calculette pour calculer la valeur
approchée ou de la représentation graphique pour lire le résultat du problème.
Donc, nous supposons l’existence de manière implicite des règles
contractuelles de l’Institution :
R
2
: Le résultat de l’expression contenant un logarithme est une valeur exacte,
et non pas approchée.
R
3
: Ne pas utiliser la calculette pour calculer la valeur de l’expression

contenant le logarithme.
R
4
: Ne pas utiliser la représentation graphique pour calculer l’expression
contenant le logarithme.
En plus, dans la partie théorique du logarithme, le manuel [V
1
] aborde
l’utilisation de la représentation graphique dans la résolution d’un logarithme à
base a du nombre b. Cependant cette technique est destinée uniquement à illustrer
l’existence de la solution (unique) de l’équation exponentielle simple , avec
a > 0, a ≠ 1
, b étant un réel positif. Cette technique ne s’applique pas pour résoudre
les exemples et exercices de ce type de tâche. Cela montre implicitement que
l’enseignant est chargé de donner les hypothèses, d’assurer la validité du problème
donné ainsi que l’exactitude des solutions de l’élève. De leur part, l’élève donne sa
solution en analysant les données du problème. Il n’est pas obligé de bien
examiner sa réponse.
x
a b
Type de tâche T’”
1
: “Logarithmisation”
Exemple : (exemple 1 à la page 215 – Manuel [V
1
])
α = 3,14 . 10
3

Solution :

On a :
lgα = lg(3,14.10
3
)
= lg 3,14 + 3