khái niệm khoảng trong dạy học toán ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O
TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M TP. HỒ CHÍ MINH



Dư ơ ng Thị Lan Phư ơ ng









LUẬ N VĂN THẠ C SĨ GIÁO DỤ C HỌ C







Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
BỘ GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O
TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M TP. HỒ CHÍ MINH



Dư ơ ng Thị Lan Phư ơ ng

Chuyên ngành: Lý luậ n và phư ơ ng pháp dạ y họ c môn Toán
Mã số : 60 14 10



LUẬ N VĂN THẠ C SĨ GIÁO DỤ C HỌ C

NGƯ Ờ I HƯ Ớ NG DẪ N KHOA HỌ C:

TS. LÊ THÁI BẢ O THIÊN TRUNG



Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜ I CẢ M Ơ N

Lờ i đầ u tiên, tôi xin bày tỏ lòng biế t ơ n sâu sắ c đế n TS. Lê Thái Bả o Thiên
Trung, ngư ờ i đã tậ n tình hư ớ ng dẫ n và giúp đỡ tôi hoàn thành luậ n văn này.
Tôi xin trân trọ ng cả m ơ n PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiế n,
TS. Lê Thái Bả o Thiên Trung, TS. Trầ n Lư ơ ng Công Khanh đã hế t lòng giả ng dạ y,
truyề n thụ nhữ ng kiế n thứ c cơ bả n và rấ t thú vị về didactic toán, cung cấ p cho
chúng tôi nhữ ng công cụ cầ n thiế t và hiệ u quả để thự c hiệ n việ c nghiên cứ u. Tôi
cũng xin chân thành cả m ơ n PGS.TS. Annie Bessot, PGS.TS. Claude Comiti, TS.
Alain Birebent đã nhiệ t tình giả i đáp nhữ ng thắ c mắ c và truyề n đạ t cho chúng tôi
nhữ ng kiế n thứ c Didactic quý báu.
Tôi cũ ng xin gở i lờ i cả m ơ n chân thành tớ i:
- Ban lãnh đạ o và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trư ờ ng ĐHSP TP.HCM

đã tạ o điề u kiệ n thuậ n lợ i cho chúng tôi đư ợ c họ c tậ p, nghiên cứ u trong suố t khóa
họ c.
- Tậ p thể lớ p Didactic Toán K18 đã cùng tôi chia sẻ nhữ ng niề m vui, nhữ ng thử
thách trong họ c tậ p và nghiên cứ u. Đặ c biệ t là các bạ n Tạ Thị Hoàng Hiệ p, Hoàng
Nguyên Lý, Phan Thị Hư ơ ng Loan, Lê Thị Huỳ nh Liên.
- Lớ p trư ở ng Đinh Quố c Khánh đã giúp đỡ tôi rấ t nhiề u trong việ c tìm tài liệ u
tham khả o.
- Ban giám hiệ u các trư ờ ng THPT Nguyễ n Thái Họ c (Khánh Hòa) và THPT
Trư ờ ng Chinh (TP Hồ Chí Minh) và bạ n Phan Thị Hư ơ ng Loan đã tạ o điề u kiệ n
thuậ n lợ i, giúp đỡ tôi tiế n hành nhữ ng thự c nghiệ m củ a luậ n văn.
Sau cùng, tôi xin cả m ơ n nhữ ng ngư ờ i thân yêu trong gia đình đã luôn độ ng
viên và nâng đỡ tôi về mọ i mặ t.
Dư ơ ng Thị Lan Phư ơ ng

MỤ C LỤ C
Trang
Trang phụ bìa
Lờ i cả m ơ n
Mụ c lụ c
Danh mụ c các chữ viế t tắ t
Danh mụ c các bả ng
MỞ ĐẦ U 1
Chư ơ ng 1: ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M
KHOẢ NG
1.1. Khái niệ m khoả ng 5
1.2. Nhữ ng tính chấ t đặ c trư ng cơ bả n củ a khái niệ m khoả ng 8
1.2.1. Tính sắ p thứ tự liên tụ c (đủ ) 8
1.2.2. Lự c lư ợ ng củ a khoả ng 10
1.2.3. Tính chấ t mở , đóng củ a khái niệ m khoả ng
trong tôpô trên tậ p số thự c R 13

1.3. Kế t luậ n 17
Chư ơ ng 2: KHÁI NIỆ M KHOẢ NG Ở CẤ P ĐỘ TRI THỨ C CẦ N
GIẢ NG DẠ Y
2.1. Khái niệ m khoả ng trong mộ t bộ sách giáo khoa Úc 20
2.1.1. Thờ i điể m chư a có đị nh nghĩ a chính thứ c 21
2.1.2. Thờ i điể m có đị nh nghĩ a chính thứ c 28
2.1.3. Kế t luậ n 31
2.2. Khái niệ m khoả ng trong chư ơ ng trình và sách giáo khoa
hiệ n hành củ a Việ t Nam 34
2.2.1. Giai đoạ n trư ớ c khi khái niệ m khoả ng đư ợ c đị nh nghĩ a chính thứ c 35
2.2.2. Giai đoạ n khái niệ m khoả ng là đố i tư ợ ng nghiên cứ u 36
2.2.2.1. Khái niệ m khoả ng trong bộ sách đạ i số 10 cơ bả n 37
2.2.2.2. Khái niệ m khoả ng trong bộ sách đạ i số 10 nâng cao 49
2.2.3. Khái niệ m khoả ng xét trên phư ơ ng diệ n công cụ 63
2.3. Kế t luậ n chư ơ ng 2 70
Chư ơ ng 3: THỰ C NGHIỆ M
3.1. Mụ c đích thự c nghiệ m 77
3.2. Hình thứ c và tổ chứ c thự c nghiệ m 77
3.3. Phân tích thự c nghiệ m 78
3.3.1. Giớ i thiệ u câu hỏ i thự c nghiệ m 78
3.3.2. Phân tích A priori 79
3.3.3. Phân tích A posteriori 93
3.4. Kế t luậ n thự c nghiệ m 102
KẾ T LUẬ N 103
TÀI LIỆ U THAM KHẢ O
PHỤ LỤ C
DANH MỤ C CÁC CHỮ VIẾ T TẮ T

BĐT : Bấ t đẳ ng thứ c
BPT : Bấ t phư ơ ng trình.

HBPT : Hệ bấ t phư ơ ng trình.
CB : Cơ bả n.
NC : Nâng cao.
SBT : Sách bài tậ p
SBTđs10 : Sách bài tậ p đạ i số 10
SBTđs10NC : Sách bài tậ p đạ i số 10 nâng cao
SGK : Sách giáo khoa.
SGKđs10 : Sách giáo khoa đạ i số 10
SGKđs10NC : Sách giáo khoa đạ i số 10 nâng cao
SGV : Sách giáo viên
SGVđs10 : Sách giáo viên đạ i số 10
SGVđs10NC : Sách giáo viên đạ i số 10 nâng cao
THPT : Trung họ c phổ thông.
Tr : Trang


DANH MỤ C CÁC BẢ NG

Bả ng 2.1 - Thố ng kê các kiể u nhiệ m vụ liên quan tớ i khoả ng
trong bộ sách Úc 32
Bả ng 2.2 - Thố ng kê các kiể u nhiệ m vụ liên quan tớ i khoả ng
trong bộ cơ bả n 48
Bả ng 2.3 - Thố ng kê các kiể u nhiệ m vụ liên quan tớ i khoả ng
trong bộ nâng cao 61
Bả ng 2.4 - Thố ng kê các kiể u nhiệ m vụ gắ n vớ i bấ t phư ơ ng trình 69
Bả ng 2.5 - Thố ng kê các kiể u nhiệ m vụ liên quan tớ i khoả ng
trong sách Việ t Nam và sách Úc 71
Bả ng 3.1 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 1 93

Bả ng 3.2 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 2a 95

Bả ng 3.3 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 2b 95
Bả ng 3.4 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 3 98
Bả ng 3.5 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 4a 99
Bả ng 3.6 - Thố ng kê số lư ợ ng các chiế n lư ợ c cho câu hỏ i 4b 99


MỞ ĐẦ U



-

1

-

MỞ ĐẦ U

1. Nhữ ng ghi nhậ n ban đầ u và câu hỏ i xuấ t phát
Trong dạ y họ c bấ t phư ơ ng trình, đôi lầ n chúng tôi bắ t gặ p hiệ n tư ợ ng mộ t vài họ c
sinh trả lờ i tậ p nghiệ m chỉ liệ t kê các số nguyên, hay có khi họ thử lạ i nghiệ m bằ ng
cách chỉ lấ y các số nguyên thuộ c tậ p nghiệ m thay vào bấ t phư ơ ng trình.
Và trong dạ y họ c về các phép toán tậ p hợ p trên khoả ng, chúng tôi cũ ng bắ t gặ p
mộ t vài họ c sinh lấ y giao và hợ p hay hiệ u củ a các khoả ng chỉ gồ m các số nguyên.
Nhữ ng hiệ n tư ợ ng đó khiế n chúng tôi thắ c mắ c: Sai lầ m kiể u này là do đâu?
Chúng xuấ t hiệ n ngẫ u nhiên hay bị mộ t tác độ ng nào đó chi phố i?
Rõ ràng, tậ p nghiệ m củ a bấ t phư ơ ng trình thư ờ ng là các khoả ng. Và khái niệ m
khoả ng đư ợ c đư a vào dạ y trong chư ơ ng “mệ nh đề - tậ p hợ p” là chư ơ ng mở đầ u củ a đạ i
số 10. Thự c tế nhữ ng năm qua cho thấ y giáo viên chỉ coi trọ ng việ c tìm hợ p, giao, hiệ u
củ a khoả ng (tứ c thự c hiệ n các phép toán tậ p hợ p trên khoả ng). Tạ i sao lạ i như vậ y?

Khái niệ m khoả ng đư ợ c đặ t vào dạ y trong mộ t chư ơ ng rấ t quan trọ ng. Thậ t vậ y,
có lờ i nhậ n đị nh như sau: “Các chư ơ ng tiế p theo củ a sách giáo khoa sẽ đư ợ c trình bày
thố ng nhấ t theo ngôn ngữ mệ nh đề và tậ p hợ p. Như vậ y, nộ i dung củ a chư ơ ng I là rấ t
cơ bả n và cầ n thiế t để họ c sinh họ c tậ p tiế p các chư ơ ng sau củ a Đạ i số 10 nói riêng,
để họ c tậ p và ứ ng dụ ng Toán nói chung” [3, tr.32]. Và đúng như lờ i nhậ n đị nh này, ta
thấ y khái niệ m khoả ng có mặ t trong nhiề u đị nh nghĩ a; đị nh lý; bài toán quan trọ ng ở
trung họ c phổ thông. Từ nhữ ng bài toán về tậ p hợ p đế n bài toán tìm tậ p xác đị nh củ a
hàm số . Rồ i mở rộ ng hơ n trong các khái niệ m củ a giả i tích như giớ i hạ n hàm số trên
mộ t khoả ng; hàm số liên tụ c trên mộ t khoả ng; đạ o hàm củ a hàm số trên mộ t khoả ng và
tích phân củ a hàm số Hay nhữ ng bài toán tìm giá trị lớ n nhấ t nhỏ nhấ t củ a hàm số
trên mộ t khoả ng; bài toán chứ ng minh phư ơ ng trình có nghiệ m trên khoả ng… Như vậ y
việ c nắ m vữ ng khái niệ m khoả ng là rấ t cầ n thiế t.
MỞ ĐẦ U



-

2

-

Từ nhữ ng ghi nhậ n trên thôi thúc chúng tôi thự c hiệ n đề tài nghiên cứ u này vớ i
các câu hỏ i xuấ t phát như sau:
- Khái niệ m khoả ng đư ợ c sách giáo khoa trình bày ra sao? Việ c dạ y khái niệ m
khoả ng đã đư ợ c các noosphères tính đế n như thế nào?
- Khoả ng đư ợ c họ c sinh hiể u ra sao? Nhữ ng quan niệ m về khoả ng củ a họ c sinh
chính xác chư a? Chúng có ả nh hư ở ng đế n sự xây dự ng các kiế n thứ c toán sau này
ở họ c sinh không?
2. Mụ c đích nghiên cứ u và phạ m vi lý thuyế t tham chiế u

Mụ c đích tổ ng quát củ a luậ n văn là tìm câu trả lờ i cho nhữ ng câu hỏ i đặ t ra ở trên.
Để làm đư ợ c điề u đó, chúng tôi sẽ vậ n dụ ng các yế u tố công cụ củ a lý thuyế t
didactique Toán. Cụ thể , đó là mộ t số khái niệ m công cụ củ a lý thuyế t nhân chủ ng họ c
(chuyể n đổ i didactique, mố i quan hệ thể chế , mố i quan hệ cá nhân đố i vớ i mộ t tri thứ c)
và củ a lý thuyế t tình huố ng (khái niệ m hợ p đồ ng didactique).
Trong phạ m vi lý thuyế t nêu trên, các câu hỏ i nghiên cứ u củ a chúng tôi có thể
đư ợ c trình bày lạ i như sau:
 Q1: Ở cấ p độ tri thứ c bác họ c, khái niệ m khoả ng đư ợ c đề cậ p như thế nào? Nó có
nhữ ng đặ c trư ng gì?
 Q2: Mố i quan hệ thể chế vớ i khái niệ m khoả ng đã đư ợ c xây dự ng và tiế n triể n ra
sao trong thể chế dạ y họ c ở trư ờ ng phổ thông? Trong thể chế đó, khái niệ m
khoả ng có nhữ ng chênh lệ ch nào so vớ i khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c bác
họ c? Có nhữ ng điề u kiệ n và ràng buộ c nào củ a thể chế trên khái niệ m này?
 Q3: Ở họ c sinh THPT, quan hệ cá nhân nào vớ i đố i tư ợ ng khoả ng đư ợ c hình
thành? Họ có thể sử dụ ng khoả ng để giả i quyế t nhữ ng kiể u nhiệ m vụ nào? Nhữ ng
quy tắ c hợ p đồ ng didactic nào chi phố i quan niệ m củ a họ về khái niệ m khoả ng?



MỞ ĐẦ U



-

3

-

3. Phư ơ ng pháp và tổ chứ c nghiên cứ u

Phư ơ ng pháp nghiên cứ u mà chúng tôi áp dụ ng trong luậ n văn này là thự c hiệ n
đồ ng thờ i hai nghiên cứ u: Nghiên cứ u khoa họ c luậ n và nghiên cứ u thể chế . Nghiên
cứ u khoa họ c luậ n sẽ là cơ sở tham chiế u cho nghiên cứ u mố i quan hệ thể chế . Từ kế t
quả củ a hai nghiên cứ u này cho phép đề xuấ t các giả thuyế t nghiên cứ u. Sau đó, hợ p
thứ c hóa các giả thuyế t nghiên cứ u này bằ ng thự c nghiệ m.
Dự a vào phư ơ ng pháp nghiên cứ u nêu trên, chúng tôi tổ chứ c nghiên cứ u như
sau:
• Do thiế u tài liệ u tham khả o đặ c biệ t là các tư liệ u lị ch sử toán, chúng tôi không
thể tiế n hành mộ t nghiên cứ u khoa họ c luậ n đầ y đủ đư ợ c. Nên chúng tôi chỉ nghiên
cứ u tri thứ c khoa họ c thông qua phân tích mộ t số giáo trình toán ở bậ c đạ i họ c và mộ t
số tác phẩ m có đề cậ p tớ i khái niệ m khoả ng. Nghiên cứ u này nhằ m tìm hiể u cách trình
bày khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c bác họ c và rút ra nhữ ng đặ c trư ng củ a nó.
• Dự a vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứ u mố i quan hệ thể chế vớ i khái
niệ m khoả ng trong mộ t bộ SGK củ a Úc.
• Kế t quả phân tích tri thứ c khoa họ c và phân tích SGK củ a Úc đó sẽ là cơ sở
tham chiế u và đố i chiế u cho việ c phân tích mố i quan hệ thể chế vớ i khái niệ m khoả ng
ở Việ t Nam.
• Nhữ ng kế t quả đạ t đư ợ c ở trên cho phép đề ra nhữ ng câu hỏ i mớ i và các giả
thuyế t nghiên cứ u mà tính thích đáng củ a chúng sẽ đư ợ c kiể m chứ ng bằ ng thự c
nghiệ m.
• Xây dự ng tình huố ng thự c nghiệ m cho phép hợ p thứ c hóa giả thuyế t nghiên cứ u
và trả lờ i mộ t số câu hỏ i mớ i đặ t ra. Đồ ng thờ i thự c nghiệ m cũ ng cho phép nghiên cứ u
quan hệ cá nhân củ a họ c sinh vớ i đố i tư ợ ng khoả ng.



MỞ ĐẦ U

-

4

-

Phư ơ ng pháp nghiên cứ u trên đư ợ c sơ đồ hoá như sau:











4.Cấ u trúc luậ n văn
Luậ n văn gồ m 5 phầ n:
Phầ n mở đầ u: Trong phầ n này, chúng tôi trình bày nhữ ng ghi nhậ n ban đầ u, lợ i
ích củ a đề tài nghiên cứ u, mụ c đích củ a đề tài, phạ m vi lý thuyế t tham chiế u, phư ơ ng
pháp và tổ chứ c nghiên cứ u, cấ u trúc củ a luậ n văn.
Chư ơ ng 1: Trình bày việ c phân tích khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c bác họ c
trong mộ t số giáo trình bậ c đạ i họ c để làm rõ các đặ c trư ng cơ bả n củ a khái niệ m
khoả ng.
Chư ơ ng 2: Mở đầ u là sự phân tích mộ t bộ SGK toán củ a Úc. Tiế p đó, chúng tôi
phân tích mố i quan hệ thể chế dạ y họ c toán ở trư ờ ng phổ thông Việ t Nam vớ i khái
niệ m khoả ng.
Chư ơ ng 3: Trình bày thự c nghiệ m nhằ m kiể m chứ ng tính thoả đáng củ a các giả

thuyế t mà chúng tôi đã đặ t ra ở cuố i chư ơ ng 2.
Phầ n kế t luậ n: Tóm lư ợ c lạ i nhữ ng kế t quả đạ t đư ợ c ở chư ơ ng 1, 2, 3 và đề xuấ t
mộ t số hư ớ ng nghiên cứ u có thể mở ra từ luậ n văn này.

NGHIÊN C
Ứ U KHOA HỌ C
LUẬ N
NGHIÊN C
Ứ U TRI THỨ C CẦ N
GIẢ NG DẠ Y
Trong mộ t SGK củ a Úc
NGHIÊN C
Ứ U TRI THỨ C CẦ N
GIẢ NG DẠ Y
Th
ể chế dạ y họ c toán ở Việ t Nam

THỰ C NGHIỆ M
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

5

-

Chư ơ ng 1
ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A

KHÁI NIỆ M KHOẢ NG


Mụ c tiêu củ a chư ơ ng
Mụ c đích củ a chư ơ ng này là tìm câu trả lờ i cho câu hỏ i Q1 đã đư ợ c nêu ở phầ n
mở đầ u. Đó là: “Q1: Ở cấ p độ tri thứ c khoa họ c, khái niệ m khoả ng đư ợ c đề cậ p như
thế nào? Nó có nhữ ng đặ c trư ng gì?”
Vì thế , chúng tôi đã tìm hiể u và phân tích khái niệ m khoả ng ở cấ p độ tri thứ c
khoa họ c và từ đó chỉ ra nhữ ng đặ c trư ng cơ bả n củ a nó.
Chư ơ ng này đư ợ c trình bày dự a vào việ c tham khả o các nguồ n tài liệ u: [14]; [15];
[16]; [17]; [18]; [19]; [20]; [21]; [22]; [30]; [31].
1.1. Khái niệ m khoả ng
Đị nh nghĩ a tổ ng quát về khái niệ m khoả ng củ a mộ t tậ p bấ t kỳ đư ợ c nêu trong “Từ
điể n toán họ c thông dụ ng” củ a nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh như sau:
“Mộ t bộ phậ n I củ a mộ t tậ p hợ p sắ p thứ tự E đư ợ c gọ i là mộ t khoả ng nế u vớ i mọ i
cặ p phầ n tử (x;y) củ a I, mọ i phầ n tử củ a E nằ m giữ a x và y đề u thuộ c I.
[…]Giả sử a và b là hai phầ n tử củ a mộ t tậ p hợ p sắ p thứ tự E sao cho
a b
<
, ngư ờ i ta
phân biệ t bố n loạ i khoả ng có đầ u mút
a
và
b
: khoả ng mở
{
}
( ; ) /
a b x E a x b
= ∈ < <

,
khoả ng đóng
{
}
[ ; ] /
a b x E a x b
= ∈ ≤ ≤
, các khoả ng đóng mộ t phía và mở mộ t phía
{
}
( ; ] /
a b x E a x b
= ∈ < ≤
và
{
}
[ ; ) /
a b x E a x b
= ∈ ≤ <
.
Ngoài ra, các bộ phậ n
{
}
( ; ) /
a x E x a
← = ∈ <
;
{
}
( ; ] /

a x E x a
← = ∈ ≤
;
{
}
( ; ) /
a x E a x
→ = ∈ <
;
{
}
[ ; ) /
a x E a x
→ = ∈ ≤
cũ ng là nhữ ng khoả ng.” [14, tr.353]
Theo đị nh nghĩ a tổ ng quát này, tùy vào tậ p sắ p thứ tự E, chẳ ng hạ n N, Z, Q hay
R, mà có nhữ ng khoả ng tư ơ ng ứ ng củ a tậ p đó.
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

6

-

Nghiên cứ u củ a chúng tôi chỉ giớ i hạ n trong khuôn khổ khái niệ m khoả ng củ a tậ p
số thự c R. Chú ý rằ ng, từ đây về sau, nế u nói đế n khoả ng mà không có chú thích gì
thêm thì chúng ta quy ư ớ c đó là khoả ng củ a R.

Và cũ ng cuố n từ điể n trên đề cậ p đế n khái niệ m khoả ng củ a R như sau:
“Mọ i khoả ng củ a R đề u thuộ c mộ t trong các kiể u trên đây. Vì R là mộ t bộ phậ n
củ a đư ờ ng thẳ ng thự c hoàn chỉ nh
;
{ }
R R
= ∪ − ∞ +∞
, nên thay cho
( ; )
a
←
;
( ; ]
a
←
;
( ; )
a
→
;
[ ; )
a
→
ngư ờ i ta viế t theo thứ tự
( ; )
a
−∞
;
( ; ]
a

−∞
;
( ; )
a
+∞
;
[ ; )
a
+∞
. Ngoài
ra, ta cũ ng xem […]
( ; )
R
= −∞ +∞
[…]” [14, tr.353-354]
Các đị nh nghĩ a về khoả ng củ a R đư ợ c tìm thấ y trong các giáo trình toán bậ c đạ i
họ c thư ờ ng ở nhữ ng chư ơ ng như : chư ơ ng tậ p hợ p; chư ơ ng kiế n thứ c chuẩ n bị ; chư ơ ng
nhậ p môn; chư ơ ng số thự c. Từ đó, có thể thấ y vị trí củ a khái niệ m khoả ng là nằ m trong
phầ n tri thứ c cơ sở củ a toán họ c. Và đố i tư ợ ng khoả ng đư ợ c sử dụ ng trong nhiề u phầ n
tri thứ c toán củ a giả i tích, đạ i số , số họ c,…
Cụ thể hơ n, đị nh nghĩ a khái niệ m khoả ng củ a R đư ợ c trình bày trong mộ t giáo
trình củ a trư ờ ng đạ i họ c Khoa họ c Tự nhiên TP.Hồ Chí Mình như sau:
“Tậ p con
I R
⊂
đư ợ c gọ i là mộ t khoả ng nế u vớ i mọ i
, ,
x y I x y
∈ ≤
, ta có

t I
∈
,
vớ i mọ i
x t y
≤ ≤
.
Khoả ng trong R có mộ t trong các dạ ng sau,

{
}
[ ; ] /
a b x R a x b
= ∈ ≤ ≤
(mà ta còn gọ i là khoả ng đóng hay đoạ n)
{
}
( ; ) /
a b x R a x b
= ∈ < <
(mà ta còn gọ i là khoả ng mở )
{
}
[ ; ) /
a b x R a x b
= ∈ ≤ <
,
{
}
( ; ] /

a b x R a x b
= ∈ < ≤
,

[ ; ) { / }
a x R a x
+∞ = ∈ ≤
,
( ; ) { / }
a x R a x
+∞ = ∈ <
,
( ; ]={ / }
b x R x b
−∞ ∈ ≤
,
{
}
( ; ) /
b x R x b
−∞ = ∈ <
.” (theo [16, tr.14] )
Theo trên, ngư ờ i ta đư a ra đị nh nghĩ a tổ ng quát về khái niệ m khoả ng củ a R là mộ t
tậ p con I củ a R vớ i đặ c trư ng các phầ n tử củ a I thỏ a: “mọ i
, ,
x y I x y
∈ ≤
, ta có
t I
∈

,
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

7

-

vớ i mọ i
x t y
≤ ≤
”, tứ c là vớ i bấ t kỳ cặ p phầ n tử (x;y) củ a I, mọ i phầ n tử củ a R nằ m
giữ a x và y đề u thuộ c I. Từ đị nh nghĩ a tổ ng quát này, ngư ờ i ta đư a ra đị nh nghĩ a củ a
từ ng loạ i khoả ng trên R. Và trong nhữ ng đị nh nghĩ a ấ y, đặ c trư ng cho các khoả ng là
mộ t cặ p a; b trong đó a và b hoặ c là số hoặ c là “+∞” hay “-∞”. Chúng là hai đầ u mút
củ a khoả ng. Việ c phân loạ i các khoả ng phụ thuộ c vào hai đầ u mút này.
Trong nhữ ng đị nh nghĩ a về khoả ng củ a R, chúng tôi thấ y các khoả ng có thể đư ợ c
thể hiệ n bằ ng hai hệ thố ng biể u đạ t. Mộ t là dùng ký hiệ u dấ u ngoặ c “(“ hay “[“. Chẳ ng
hạ n
( ; )
a b
hay
]
[
;
a b
,

[ ; )
a b
hay
[
[
;
a b
…Chúng tôi gọ i đó là hệ thố ng biể u đạ t bằ ng dấ u
ngoặ c. Hai là dùng ký hiệ u tậ p hợ p mà phầ n tử củ a nó đư ợ c biể u thị bằ ng mộ t bấ t đẳ ng
thứ c. Chẳ ng hạ n
{
}
/
x R a x b
∈ ≤ <
. Chúng tôi gọ i ngắ n gọ n là hệ thố ng biể u đạ t bằ ng
bấ t đẳ ng thứ c.
Tên gọ i các loạ i khoả ng củ a R rấ t phong phú. Ngoài nhữ ng tên đã nêu trong các
đị nh nghĩ a ở trên. Chúng tôi còn tìm thấ y mộ t số tên gọ i khác nữ a. Chẳ ng hạ n, vớ i
( ; ]
a b
,
[ ; )
a b
gọ i là “nử a đoạ n” hay “nử a mở ” (theo [17] ) hay “khoả ng nử a mở ” (theo
[18, tr.25], [19, tr.75], [20, tr.40] ); vớ i
[ ; )
a
+∞
,

( ; ]
a
−∞
gọ i là “các nử a đư ờ ng thẳ ng
đóng”, còn
( ; )
a
+∞
;
( ; )
a
−∞
gọ i là “các nử a đư ờ ng thẳ ng mở ” (theo [17]). Nế u hai đầ u
mút củ a khoả ng là số thự c thì gọ i là “khoả ng hữ u hạ n” (theo [18, tr.25]) hay “khoả ng
bị chặ n” (theo [19, tr.75] ). Nế u mộ t hay cả hai đầ u mút là nhữ ng số suy rộ ng
;
−∞ +∞

thì gọ i là “khoả ng vô hạ n” (theo [18, tr.25]) hay “khoả ng không bị chặ n” (theo [19,
tr.75] ). Có lẽ tên gọ i cũ ng gắ n vớ i mộ t đặ c điể m nào đó củ a khoả ng đư ợ c gọ i.
Ngoài ra, mộ t số sách còn nêu cụ thể về các yế u tố củ a khái niệ m khoả ng. Chẳ ng
hạ n, “Các số nằ m giữ a
α
và
β
, tứ c thỏ a
x
α β
< <
, gọ i là các điể m trong củ a khoả ng

,
α β
< >
, còn
,
α β
gọ i là các đầ u mút. […]. Khoả ng cách giữ a các đầ u mút củ a mộ t
khoả ng, nế u chúng hữ u hạ n, gọ i là độ dài củ a khoả ng ấ y.” ( [17, tr.31] ).


CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

8

-

1.2. Nhữ ng tính chấ t đặ c trư ng cơ bả n củ a khái niệ m khoả ng
Trong khuôn khổ củ a luậ n văn, chúng tôi chỉ tiế n hành đi tìm hiể u nhữ ng tính
chấ t đặ c trư ng củ a khái niệ m khoả ng trên tậ p số thự c R.
1.2.1. Tính sắ p thứ tự liên tụ c (đủ )
Theo đị nh nghĩ a ở trên thì khoả ng là mộ t tậ p con củ a R. Chúng ta sẽ xét xem
khoả ng có đư ợ c thừ a hư ở ng nhữ ng tính chấ t nào củ a tậ p số thự c R hay không?
Phầ n trình bày này đư ợ c tham khả o từ các sách: [15]; [17].
Theo [17], tậ p số thự c R thỏ a mãn các tiên đề sau đây:
§ “R là mộ t trư ờ ng, nghĩa là tồ n tạ i hai ánh xạ mà ta gọ i là phép cộ ng, phép
nhân […]”

§ “R là mộ t trư ờ ng đư ợ c sắ p thứ tự toàn phầ n, nghĩa là trên R có mộ t quan hệ
thứ tự
≤
sao cho:
(1)
x x
≤

(2)
x y
≤
,
x y x y
≤ ⇒ =

(3)
x y
≤
,
y z x z
≤ ⇒ ≤

(4) vớ i mọ i
,
x y R
∈
đề u có
x y
≤
hoặ c

y x
≤
[…]”
§ “R là mộ t trư ờ ng đư ợ c sắ p liên tụ c (đủ ), nghĩ a là nế u A và B là các tậ p con
không rỗ ng củ a R sao cho

,
a b a A b B
≤ ∀ ∈ ∀ ∈
thì tồ n tạ i
c R
∈
để
,
a c a A
≤ ∀ ∈
và
,
c b b B
≤ ∀ ∈
.” [17, tr.22-23]
Hay nói cách khác, “nghĩ a là nó thỏ a mãn tiên đề Dedekind: Vớ i mỗ i lát cắ t
(A,B) đề u có: hoặ c mộ t phầ n tử lớ n nhấ t trong A, hoặ c mộ t phầ n tử nhỏ nhấ t
trong B, và không thể vừ a có mộ t phầ n tử lớ n nhấ t trong A vừ a có mộ t phầ n tử
nhỏ nhấ t trong B.” (theo [15, tr.9-10] )
Gọ i K là mộ t khoả ng tùy ý củ a R như ng không trùng vớ i R.
Hiể n nhiên, chúng ta thấ y K không phả i là mộ t trư ờ ng con củ a R. Vì nó không ổ n
đị nh đố i vớ i hai phép toán trong R là phép cộ ng và phép nhân.
CHƯ Ơ NG 1

Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

9

-

Ta có khoả ng K thừ a hư ở ng quan hệ thứ tự
≤
củ a R, thậ t vậ y:
, , , ,
x y z K x y z R
∀ ∈ ⇒ ∈
nên:
i)
,
x K x x
∀ ∈ ≤

ii)
, ,(
x y K x y
∀ ∈ ≤
và
)
x y x y
≤ ⇒ =

iii)

, , ,(
x y z K x y
∀ ∈ ≤
và
)
y z x z
≤ ⇒ ≤

iv)
, ,
x y K x y hay y x
∀ ∈ ≤ ≤

Vậ y khoả ng K là mộ t tậ p đư ợ c sắ p thứ tự toàn phầ n.
Ta sẽ chứ ng minh K cũ ng có tính liên tụ c (đủ ) như R. Thậ t vậ y:
Gọ i A và B là các tậ p con không rỗ ng bấ t kỳ củ a K sao cho:
a b
≤
,
a A
∀ ∈
,
b B
∀ ∈
.
Ta có A, B cũ ng là các tậ p con không rỗ ng củ a R sao cho:
a b
≤
,
a A

∀ ∈
,
b B
∀ ∈

do đó tồ n tạ i
c R
∈
để
a c b
≤ ≤
,
a A
∀ ∈
,
b B
∀ ∈
.
Mặ t khác, K là mộ t khoả ng trên R tứ c nó là mộ t tậ p gồ m các số thự c nằ m giữ a hai
đầ u mút
;
α β
trong đó
α
và
β
hoặ c là số hoặ c là “+∞” hay “-∞”.
Mà
A K
⊂

và
B K
⊂
nên
, ,
a b a A b B
α β
≤ ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈
. Do đó vớ i mọ i số c mà
a c b
≤ ≤
,
a A
∀ ∈
,
b B
∀ ∈
thì
c
α β
≤ ≤
. Suy ra
c K
∈
.
Vậ y khoả ng K cũ ng là tậ p đư ợ c sắ p liên tụ c (đủ ).
Và hơ n nữ a, ta còn thấ y khoả ng là tậ p con duy nhấ t củ a R có đư ợ c tính sắ p liên
tụ c (đủ ) như R. Nhờ tính chấ t này mà khoả ng khác biệ t so vớ i các tậ p con khác củ a R.
Ngoài ra, từ các tiên đề củ a R, ta có nguyên lý supremum: “Mỗ i tậ p con không
rỗ ng

M R
⊂
mà có mộ t cậ n trên thì phả i có supremum. Mỗ i tậ p con không rỗ ng
M R
⊂
mà có mộ t cậ n dư ớ i thì phả i có infimum.” (theo [15, tr.11] )
Trong đó khái niệ m supremum và infimum đư ợ c giả i thích như sau: “Cho mộ t tậ p
M R
⊂
. Mộ t phầ n tử
x R
∈
, gọ i là mộ t cậ n trên củ a M nế u
y x
≤
vớ i mọ i
y M
∈
, mộ t
cậ n dư ớ i củ a M nế u
x y
≤
vớ i mọ i
y M
∈
. […] cậ n trên nhỏ nhấ t, nế u có, cũ ng gọ i là
supremum củ a M; cậ n dư ớ i lớ n nhấ t, nế u có, là infimum củ a M.” [15, tr.11].
CHƯ Ơ NG 1

Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

10

-

Vớ i các khoả ng bị chặ n thì có cậ n trên đúng (tứ c supremum ) và cậ n dư ớ i đúng
(tứ c infimum) chính là các đầ u mút củ a khoả ng. Còn các khoả ng chỉ bị chặ n trên (hay
chặ n dư ớ i) thì chỉ có cậ n trên đúng (hay cậ n dư ớ i đúng) là đầ u mút bị chặ n củ a khoả ng.
1.2.2. Lự c lư ợ ng củ a khoả ng
Vấ n đề quan trọ ng tiế p theo mà chúng tôi muố n tìm hiể u là số phầ n tử củ a các
khoả ng như thế nào? Đó chính là mặ t số lư ợ ng củ a tậ p hợ p. Và ngư ờ i ta dùng khái
niệ m “lự c lư ợ ng” để chỉ nó.
Chúng tôi tìm thấ y khái niệ m lự c lư ợ ng củ a tậ p hợ p đư ợ c trình bày rấ t rõ ràng và
chi tiế t trong cuố n “Hàm thự c và giả i tích hàm” củ a tác giả Hoàng Tụ y. Thế nên nộ i
dung trình bày trong phầ n này đư ợ c chúng tôi tham khả o và trích lư ợ c từ cuố n [15].
Theo tài liệ u [15] này, khái niệ m lự c lư ợ ng củ a mộ t tậ p có thể đư ợ c hiể u như sau:
“Ta nói hai tậ p A và B là tư ơ ng đư ơ ng (về số lư ợ ng) nế u giữ a hai tậ p ấ y có thể
thiế t lậ p mộ t phép tư ơ ng ứ ng 1-1 (tứ c là có ánh xạ 1-1 tậ p này lên tậ p kia)” [15, tr.16]
“Khi hai tậ p tư ơ ng đư ơ ng nhau, ta bả o chúng cùng mộ t lự c lư ợ ng hay cùng mộ t
bả n số . Nói cách khác lự c lư ợ ng (hay bả n số ) củ a mộ t tậ p biể u thị mộ t tính chấ t chung
cho nó và tấ t cả các tậ p tư ơ ng đư ơ ng vớ i nó.” [15, tr.17]
Trư ớ c khi đư a ra kế t luậ n về lự c lư ợ ng củ a các khoả ng trên R, chúng tôi sẽ trình
bày qua mộ t lư ợ t lự c lư ợ ng củ a mộ t số tậ p hợ p quen thuộ c để có cái nhìn tổ ng thể hơ n
và từ đó so sánh đư ợ c lự c lư ợ ng củ a khoả ng trên R vớ i lự c lư ợ ng củ a các tậ p khác, đặ c
biệ t là lự c lư ợ ng củ a các khoả ng trên nhữ ng tậ p N, Z hay Q.
Xét về mặ t số lư ợ ng thì có tậ p hữ u hạ n và tậ p vô hạ n.
Vớ i tậ p hữ u hạ n thì “Hai tậ p hữ u hạ n cùng số lư ợ ng thì tư ơ ng đư ơ ng nhau”. Và
“Đố i vớ i tậ p hữ u hạ n, thì lự c lư ợ ng (bả n số ) chính là số phầ n tử củ a nó.” [15, tr.16].

Do đó, ta suy ra đư ợ c lự c lư ợ ng củ a các khoả ng bị chặ n củ a N hay Z, chẳ ng hạ n,
/1 6,
x x x N
< < ∈
{ }
gồ m 4 phầ n tử nên có lự c lư ợ ng là 4, hay
/ 3 10,
{ }
x x x Z
− ≤ ≤ ∈
gồ m
14 phầ n tử nên có lự c lư ợ ng là 14.
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

11

-

Vớ i tậ p vô hạ n thì “Trong tấ t cả các tậ p vô hạ n thì tậ p “bé nhấ t” (có lự c lư ợ ng
kém nhấ t) là tậ p các số tự nhiên N. Lự c lư ợ ng củ a tậ p này gọ i là lự c lư ợ ng đế m đư ợ c,
và mọ i tậ p tư ơ ng đư ơ ng vớ i nó gọ i là tậ p đế m đư ợ c.” [15, tr.19]
Như vậ y, nhữ ng tậ p nào tư ơ ng đư ơ ng vớ i N thì chúng có lự c lư ợ ng đế m đư ợ c.
Chẳ ng hạ n, tậ p các số nguyên Z, tậ p các số hữ u tỉ Q là đế m đư ợ c. Hay mộ t bộ phậ n củ a
N như tậ p
B={2, 4, 6, …, 2n, …} là đế m đư ợ c.
Sách [15] có nêu và chứ ng minh tính chấ t “Đị nh lý 5: Mộ t bộ phậ n củ a mộ t tậ p

đế m đư ợ c thì phả i là hữ u hạ n hay đế m đư ợ c” [15, tr.20]
Từ đị nh lý này, có thể suy ra các khoả ng không bị chặ n củ a N hay Z là đế m đư ợ c,
chẳ ng hạ n như
/ 10,
x x x N
≥ ∈
{ }
;
/ 5,
x x x Z
< ∈
{ }
. Và các khoả ng củ a Q cũ ng đế m đư ợ c,
chẳ ng hạ n
/ 0 1,
{ }
x x x Q
≤ ≤ ∈
.
Các tậ p vừ a xét đề u là các tậ p vô hạ n đế m đư ợ c. Có nhữ ng tậ p vô hạ n không đế m
đư ợ c. Mà đạ i diệ n nổ i bậ t cho lớ p tậ p hợ p đó là tậ p các số thự c R.
Ta có các khoả ng củ a R cũ ng là nhữ ng tậ p không đế m đư ợ c và tư ơ ng đư ơ ng vớ i
R. Trong cuố n [15] nói rấ t rõ như sau:
- “Tậ p các điể m trong khoả ng (0;1) tư ơ ng đư ơ ng vớ i tậ p các điể m trong mộ t
khoả ng (a;b) bấ t kỳ : sự tư ơ ng ứ ng có thể thự c hiệ n bằ ng phép vị tự .”
- “Tậ p các điể m trong khoả ng (0;1) tư ơ ng đư ơ ng vớ i tậ p các điể m trên toàn đư ờ ng
thẳ ng, vì có thể cho mỗ i điể m x trên đư ờ ng thẳ ng ứ ng vớ i
1 1
arctan
2

y x
π
= +
trong
khoả ng (0;1)”
- “Hai tậ p cùng tư ơ ng đư ơ ng vớ i mộ t tậ p thứ ba thì dĩ nhiên là tư ơ ng đư ơ ng
nhau.[…] ta suy ra rằ ng tậ p các điể m trong mộ t khoả ng bấ t kỳ là tư ơ ng đư ơ ng vớ i tậ p
các điể m trên toàn đư ờ ng thẳ ng.” [15, tr.16-17]
- “Tậ p các điể m thuộ c khoả ng (a;b) tư ơ ng đư ơ ng vớ i tậ p các điể m thuộ c đoạ n
[a;b]”
[15, tr.21]
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

12

-

Lự c lư ợ ng củ a R “lớ n hơ n lự c lư ợ ng đế m đư ợ c. Ngư ờ i ta gọ i nó là lự c lư ợ ng
continuum hay lự c lư ợ ng c.” [15, tr.23]. Vậ y các tậ p vô hạ n tư ơ ng đư ơ ng vớ i R cũ ng
có lự c lư ợ ng continuum. Do đó, các khoả ng củ a R có lự c lư ợ ng continuum.
Việ c chứ ng minh tậ p các số thự c R là không đế m đư ợ c, sách [15] trình bày như
sau:
“Vì tậ p các điể m thuộ c đoạ n [0;1] tư ơ ng đư ơ ng vớ i tậ p các điể m trên toàn đư ờ ng
thẳ ng, ta chỉ cầ n chứ ng minh rằ ng tậ p các điể m thuộ c đoạ n [0;1] là không đế m
đư ợ c.
Giả sử trái lạ i rằ ng tậ p đó đế m đư ợ c, nghĩa là có thể đánh số thành dãy: x

1
, x
2
,
x
3
,… Ta hãy chia đoạ n [0;1] thành ba đoạ n bằ ng nhau. Trong ba đoạ n đó phả i có
mộ t đoạ n không chứ a x
1
: cho đoạ n ấ y là
1
∆
. Ta lạ i chia
1
∆
ra ba đoạ n bằ ng nhau.
Trong ba đoạ n đó phả i có mộ t đoạ n không chứ a x
2
: cho đoạ n ấ y là
2
∆
. Ta lạ i chia
2
∆
ra ba đoạ n bằ ng nhau…Tiế p tụ c mãi, ta sẽ có mộ t dãy đoạ n
1 2 3

∆ ⊃ ∆ ⊃ ∆ ⊃
,
vớ i độ dài

1
3
n
n
∆ =
vớ i
n n
x
∉∆
. Vì
0 ( )
n
n
∆ → → ∞
nên do đó là mộ t dãy đoạ n
thắ t lạ i và theo nguyên lý Cantor, phả i có mộ t điể m
ξ
chung cho tấ t cả các đoạ n
ấ y. Cố nhiên
[
]
0;1
ξ
∈
, vậ y
ξ
phả i trùng vớ i mộ t
0
n
x

nào đó. Như ng
n
ξ
∈∆
vớ i mọ i
n, cho nên
0 0
n n
x
∈∆
. Điề u này trái vớ i cách xây dự ng các đoạ n
n
∆
. Do đó giả
thiế t rằ ng tậ p các điể m thuộ c đoạ n [0;1]đế m đư ợ c là vô lý”.

[15, tr.22-23]
Tậ p các số thự c R bằ ng hợ p củ a tậ p các số hữ u tỉ và tậ p các số vô tỉ . Mà tậ p các
số hữ u tỉ là đế m đư ợ c. Nên từ đị nh lý “Đị nh lý 7: Khi thêm mộ t tậ p hữ u hạ n hay đế m
đư ợ c vào mộ t tậ p vô hạ n M, ta không làm thay đổ i lự c lư ợ ng củ a tậ p” [15, tr.21], suy
ra tậ p các số vô tỉ cũ ng có lự c lư ợ ng c.
Theo đị nh lý củ a Cantor “Đị nh lý 10 (Cantor): Cho bấ t cứ tậ p A nào thì tậ p tấ t cả
các bộ phậ n củ a A cũ ng có lự c lư ợ ng lớ n hơ n lự c lư ợ ng củ a A.” [15, tr.23]. Do đó, tồ n
tạ i nhữ ng tậ p có lự c lư ợ ng lớ n hơ n lự c lư ợ ng củ a R. Và “không có lự c lư ợ ng (bả n số )
nào là lớ n nhấ t cả ”. [15, tr.24]
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

13

-

Bàn thêm về vấ n đề lự c lư ợ ng củ a nhữ ng tậ p không đế m đư ợ c, sách [15] có
nhữ ng ghi nhậ n sau: “Mộ t câu hỏ i nả y ra: lự c lư ợ ng c phả i chăng là bé nhấ t trong tấ t
cả các lự c lư ợ ng củ a nhữ ng tậ p không đế m đư ợ c? Nói khác đi, có chăng mộ t lự c lư ợ ng
trung gian giữ a lự c lư ợ ng đế m đư ợ c và lự c lư ợ ng c? Trong suố t mấ y chụ c năm ở nử a
đầ u thế kỷ XX các nhà toán họ c không trả lờ i đư ợ c câu hỏ i đó, mà chỉ đư a ra giả
thuyế t không có lự c lư ợ ng nào như thế cả (“giả thuyế t continuum”). Năm 1959 Gödel
chứ ng minh đư ợ c giả thuyế t continuum không mâu thuẫ n vớ i các tiên đề thư ờ ng đư ợ c
thừ a nhậ n trong lý thuyế t tậ p hợ p, trừ khi các tiên đề này vố n đã chứ a mâu thuẫ n rồ i.
Năm 1963, Cohen khép lạ i vấ n đề bằ ng cách chứ ng minh rằ ng giả thuyế t continuum
không thể chứ ng minh cũ ng không thể bác bỏ đư ợ c, mà chỉ có thể nhậ n nó hay nhậ n
phủ đị nh củ a nó làm mộ t tiên đề .” [15, tr.24].
1.2.3. Tính chấ t mở , đóng củ a khái niệ m khoả ng trong tôpô trên tậ p số thự c R
Phầ n trình bày này đư ợ c tham khả o từ các sách: [19]; [21], [22], [31].
Tậ p hợ p số thự c R là mộ t không gian mêtric, vớ i mêtric
( , ) ( , )
d x y x y x y R
= − ∈
.
Tậ p mở củ a R đư ợ c đị nh nghĩ a như sau: “Mộ t tậ p con A củ a R là mở khi và chỉ
khi
,
x A
ε
∀ ∈ ∃
sao cho

( , )
x x A
ε ε
− + ⊂
.” [22, tr.48]
Trong đị nh nghĩ a này, khái niệ m tậ p mở củ a R đư ợ c xây dự ng từ khoả ng mở . Và
khoả ng mở này còn đư ợ c gọ i là lân cậ n củ a số thự c x: “Giả thử
δ
là số thự c dư ơ ng tùy
ý. Ta gọ i
δ
-lân cậ n củ a số thự c x là tậ p con
{
}
( ) / ( , )N x y R d x y
δ
δ
= ∈ <
củ a R. Hiể n
nhiên rằ ng,
( )
N x
δ
là khoả ng mở vớ i các đầ u mút
x
δ
−
và
x
δ

+
; dư ớ i dạ ng ký hiệ u:
(
)
( ) ;N x x x
δ
δ δ
= − +
”. [19, tr.76]
Xây dự ng tôpô củ a R từ khái niệ m tậ p mở theo mêtric d ta có: “Họ
τ
các tậ p hợ p
mở củ a R là mộ t tôpô trên R.
τ
đư ợ c gọ i là tôpô tự nhiên trên R.” [22, tr.48]
Hay
τ
còn đư ợ c gọ i là “tôpô thông thư ờ ng trên R” [21, tr.57]
Từ khái niệ m tậ p mở ta có khái niệ m tậ p đóng đư ợ c đị nh nghĩ a như sau: “Tậ p F
X
⊂
đư ợ c gọ i là tậ p hợ p đóng trong X nế u phầ n bù củ a nó X\F là mộ t tậ p mở trong
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

14

-

X.” [22, tr.45]. Cụ thể hơ n, khái niệ m tậ p đóng trên R là : “Mộ t tậ p hợ p con E củ a
đư ờ ng thẳ ng thự c R là đóng khi và chỉ khi phầ n bù R\E củ a nó là mở .” [19, tr.84]
Sau đây, chúng tôi sẽ xem xét tính chấ t mở , đóng củ a các khoả ng trên các tậ p R,
N, Z, hay Q. Theo cuố n [19], chúng tôi có các ghi nhậ n sau:
- “Mệ nh đề 2.3: Mọ i khoả ng mở đề u là mộ t tậ p con mở củ a R.” [19, tr.76]
Vậ y các khoả ng mở
( ; )
a b
;
( ; )
a
−∞
( ; )
a
+∞
vớ i
,
a b R
∈
là nhữ ng tậ p mở . Do đó, ta
suy ra khoả ng nử a mở
( ;
]
a
−∞
là tậ p đóng vì phầ n bù củ a nó
( ; )
a

−∞
là tậ p mở .
- “Mệ nh đề 2.4: Tôpô
τ
củ a đư ờ ng thẳ ng thự c R có bố n tính chấ t sau đây:
[…]
+ Hợ p củ a mộ t họ tùy ý nhữ ng tậ p hợ p mở là mở .
+ Giao củ a hai (và do đó củ a mộ t số hữ u hạ n tùy ý) tậ p hợ p mở là mở .” [19, tr.77]
Do đó, hợ p củ a các khoả ng mở là tậ p mở . Giao củ a hữ u hạ n các khoả ng mở là tậ p
mở .
- “Hệ quả 2.15: Mọ i khoả ng đóng và bị chặ n là mộ t tậ p con đóng củ a đư ờ ng thẳ ng
thự c.” [19, tr.85].
- “Mệ nh đề 2.13: Họ các tậ p con đóng củ a đư ờ ng thẳ ng thự c R có các tính chấ t sau
đây:
[…]
+ Giao củ a mộ t họ tùy ý nhữ ng tậ p hợ p đóng là đóng.
+ Hợ p củ a hai (và do đó củ a mộ t số hữ u hạ n tùy ý) tậ p hợ p đóng là đóng.”
[19, tr.85].
Vậ y khoả ng đóng (hay đoạ n)
;
[ ]
a b
là tậ p đóng. Và giao củ a các khoả ng đóng là
tậ p đóng. Hợ p củ a hữ u hạ n các khoả ng đóng là tậ p đóng.
- “Mọ i khoả ng nử a mở và bị chặ n là không mở và cũng không đóng .” [19, tr.87]
Tứ c là, các khoả ng nử a mở
( ;
]
a b
;

;
)
[
a b
là không mở và cũ ng không đóng.
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

15

-

- “Mệ nh đề 2.17: Đư ờ ng thẳ ng thự c R không còn có tậ p con nào vừ a mở , vừ a đóng,
ngoài tậ p rỗ ng và R.” [19, tr. 86]
Như vậ y, trên R chỉ có R và tậ p hợ p rỗ ng là đồ ng thờ i mở và đóng.
- “Hệ quả 2.14: Mọ i tậ p hợ p chỉ gồ m mộ t điể m (và do đó mọ i tậ p hợ p gồ m mộ t số
hữ u hạ n điể m) củ a đư ờ ng thẳ ng thự c là đóng.” [19, tr.85]
Do đó, ta suy ra các khoả ng bị chặ n trên N và Z là nhữ ng tậ p đóng. Và ta cũ ng dễ
dàng chứ ng minh đư ợ c tậ p N và tậ p Z là nhữ ng tậ p con đóng củ a đư ờ ng thẳ ng thự c R.
Còn tậ p Q tấ t cả các số hữ u tỷ là không mở và cũ ng không đóng trên đư ờ ng thẳ ng thự c
R. Các khoả ng củ a Q cũ ng không mở và không đóng.
Như vậ y, chúng tôi đã xét qua mộ t lư ợ t tính mở , đóng củ a các tậ p con trên R. Rõ
ràng, ta nhậ n thấ y mộ t tậ p con củ a R là tậ p mở nế u nó hoặ c là khoả ng mở hoặ c là hợ p
củ a các khoả ng mở . Và điề u này đư ợ c khẳ ng đị nh trong [19] như sau:
- “Đị nh lý 2.5: Mọ i tậ p hợ p mở trên đư ờ ng thẳ ng thự c R đề u là hợ p củ a mộ t họ đế m
đư ợ c
1

nhữ ng khoả ng mở và rờ i nhau.” [19, tr.79]
- “Mệ nh đề 2.8: Mọ i tậ p hợ p mở trên đư ờ ng thẳ ng thự c là hợ p củ a mộ t họ nhữ ng
khoả ng mở vớ i các đầ u mút hữ u tỷ .” [19, tr.82]
Chính điề u đó đã giúp cho các khoả ng có mộ t vai trò quan trọ ng trong tôpô củ a
R: “Tôpô thông thư ờ ng trên R có cơ sở là họ tấ t cả các khoả ng (a,b) vớ i a,b là số hữ u
tỉ , a<b. Họ tấ t cả các khoả ng
( , )
a
−∞
và
( , )
b
∞
,
,
a b R
∈
là mộ t tiề n cơ sở tôpô thông
thư ờ ng.” [21, tr.58]
Vớ i khái niệ m cơ sở và tiề n cơ sở củ a tôpô đư ợ c giả i thích như sau: “Cho
τ
là
mộ t tôpô trên X. Mộ t họ con
β
củ a
τ
gọ i là mộ t cơ sở củ a
τ
nế u mọ i tậ p thuộ c
τ

đề u bằ ng hợ p củ a mộ t họ các tậ p thuộ c
β
.
[…] Mộ t họ con
σ
củ a
τ
gọ i là mộ t tiề n cơ sở củ a
τ
nế u họ tấ t cả các giao hữ u hạ n
các tậ p thuộ c
σ
là mộ t cơ sở củ a
τ
” [21, tr.57]


1
Trong [19], Tậ p đế m đư ợ c củ a Sze-Tsen Hu bao gồ m tậ p hữ u hạ n và tậ p đế m đư ợ c theo nghĩ a thông thư ờ ng.
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

16

-

Các tổ chứ c toán họ c gắ n liề n vớ i khái niệ m khoả ng trong phầ n tôpô trên R đư ợ c
tìm thấ y ở cuố n [19] và mộ t số giáo trình khác như sau:
v Tổ chứ c toán họ c OM
mo
gắ n vớ i kiể u nhiệ m vụ T
mo
“Chứ ng minh mộ t tậ p
là mở trên R”:
Ví dụ : ([31, bài 1a/tr.64) Trong không gian mêtric R chứ ng minh rằ ng:
a. Bấ t kỳ khoả ng mở nào có dạ ng
( ; ), ( ; ), ( ; )
a b a hay b
∞ −∞
đề u là mộ t tậ p mở .
Kỹ thuậ t giả i củ a kiể u nhiệ m vụ T
mo
này đư ợ c chúng tôi tham khả o từ cuố n [19]
như sau:
¡ Nế u tậ p hợ p là mộ t khoả ng mở (a;b) (trong đó a và b hoặ c là số hoặ c là +∞ hay -∞)
- Kỹ thuậ t
1
mo
τ
:
+ Vớ i x là số thự c tùy ý thuộ c tậ p hợ p đó. Xác đị nh số dư ơ ng
δ

như sau:

(

)
min ;
x a b x
δ
= − −
nế u (a;b) bị chặ n.
Hay
( ; )
( ; )
1 ( ; )
x a khi a b
b x khi a b
khi a b
δ
− ≠ ∞ = ∞


= − = ∞ ≠ ∞


= ∞ = ∞


+ Chứ ng minh
(
)
( ) ;N x x x
δ
δ δ
= − +

chứ a trong tậ p hợ p đó.
+ Kế t luậ n.
- Công nghệ
1
mo
θ
: đị nh nghĩ a tậ p mở củ a R, đị nh nghĩ a tậ p con.
¡ Nế u tậ p hợ p không phả i là mộ t khoả ng mở
- Kỹ thuậ t
2
mo
τ
:
+ Chứ ng minh tậ p hợ p đó là hợ p củ a nhữ ng khoả ng mở .
+ Kế t luậ n.
- Công nghệ
2
mo
θ
: hai đị nh lý “Mọ i khoả ng mở đề u là mộ t tậ p con mở củ a R” và
“Hợ p củ a mộ t họ tùy ý nhữ ng tậ p hợ p mở là mở ”, đị nh nghĩ a hợ p củ a hai tậ p hợ p.
- Lý thuyế t
Θ
mo
: đị nh nghĩ a và tính chấ t tậ p mở trong tôpô củ a R, lý thuyế t tậ p hợ p.
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

17

-

v Tổ chứ c toán họ c OM
Dong
gắ n vớ i kiể u nhiệ m vụ T
Dong
“Chứ ng minh mộ t
tậ p là đóng trên R”:
Ví dụ : ([19], bài 2a/tr.89) Chứ ng minh rằ ng tậ p hợ p Z tấ t cả các số nguyên là mộ t tậ p
con đóng củ a đư ờ ng thẳ ng thự c R.
Kỹ thuậ t giả i củ a kiể u nhiệ m vụ T
Dong
này đư ợ c chúng tôi tham khả o từ cuố n [19]
như sau:
- Kỹ thuậ t
Dong
τ
:
+ Xác đị nh phầ n bù củ a tậ p hợ p đó trong R.
+ Chứ ng minh phầ n bù này là tậ p mở trên R.
+ Kế t luậ n.
- Công nghệ
Dong
θ
: đị nh nghĩ a phầ n bù củ a tậ p hợ p, tậ p đóng củ a R và T
mo
.

- Lý thuyế t
Θ
Dong
: đị nh nghĩ a tậ p đóng, đị nh nghĩ a và tính chấ t tậ p mở trong tôpô củ a R,
lý thuyế t tậ p hợ p.

1.3. Kế t luậ n chư ơ ng 1
Nghiên cứ u trên đã cho phép làm rõ mộ t số đặ c trư ng củ a khái niệ m khoả ng.
Chúng tôi điể m lạ i dư ớ i đây nhữ ng kế t quả chính củ a phân tích trong chư ơ ng 1:
Từ khái niệ m khoả ng củ a mộ t tậ p sắ p thứ tự bấ t kỳ đư a đế n đị nh nghĩ a tổ ng quát
khái niệ m khoả ng củ a tậ p số thự c R là: “Tậ p con
I R
⊂
đư ợ c gọ i là mộ t khoả ng nế u
vớ i mọ i
, ,
x y I x y
∈ ≤
, ta có
t I
∈
, vớ i mọ i
x t y
≤ ≤
” [16, tr.14]
Luậ n văn giớ i hạ n chỉ nghiên cứ u khái niệ m khoả ng củ a R.
Khái niệ m khoả ng củ a tậ p số thự c R có thể đư ợ c thể hiệ n bằ ng các hệ thố ng biể u
đạ t là: hệ thố ng biể u đạ t bằ ng dấ u ngoặ c và hệ thố ng biể u đạ t bằ ng bấ t đẳ ng thứ c.
Và đặ c trư ng cho khoả ng là mộ t cặ p a; b trong đó a và b hoặ c là số hoặ c là “+∞”
hay “-∞”. Chúng là hai đầ u mút củ a khoả ng. Việ c phân loạ i các khoả ng phụ thuộ c vào

hai đầ u mút này.
CHƯ Ơ NG 1


Chư ơ ng 1- ĐẶ C TRƯ NG KHOA HỌ C LUẬ N CỦ A KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
-

18

-

Ở cấ p độ tri thứ c khoa họ c, khái niệ m khoả ng củ a R có nhữ ng đặ c trư ng cơ bả n
sau:
- Khoả ng là mộ t tậ p đư ợ c sắ p thứ tự toàn phầ n và là tậ p đư ợ c sắ p liên tụ c (đủ ).
Hơ n nữ a, khoả ng là tậ p con duy nhấ t củ a R có đư ợ c tính sắ p liên tụ c (đủ ) như R.
- Khoả ng là tậ p vô hạ n và có cùng lự c lư ợ ng vớ i tậ p số thự c, tứ c là có lự c lư ợ ng
continuum. Lự c lư ợ ng củ a khoả ng trên R lớ n hơ n lự c lư ợ ng đế m đư ợ c củ a các khoả ng
vô hạ n trên tậ p N, Z hay Q.
- Trong tôpô thông thư ờ ng củ a tậ p số thự c R, đị nh nghĩ a khái niệ m tậ p mở đư ợ c
xây dự ng từ khoả ng mở . Mộ t khoả ng củ a R có thể là tậ p mở hay tậ p đóng; hay tậ p
không mở và không đóng. Như ng “mọ i tậ p hợ p mở trên đư ờ ng thẳ ng thự c là hợ p củ a
mộ t họ nhữ ng khoả ng mở vớ i các đầ u mút hữ u tỷ ” [19, tr.79]. Vì thế , khoả ng đóng mộ t
vai trò quan trọ ng trong tôpô thông thư ờ ng củ a R: họ tấ t cả các khoả ng (a,b) (vớ i a,b là
số hữ u tỉ , a < b) là mộ t cơ sở , và họ tấ t cả các khoả ng
( , )
a
−∞
và
( , )
b

∞
,
,
a b R
∈
, là mộ t
tiề n cơ sở .
Nhữ ng đặ c trư ng cơ bả n này củ a khoả ng chúng tôi gọ i là “đặ c trư ng tậ p hợ p số ”.
Liên quan tớ i khái niệ m khoả ng và tôpô củ a R, chúng tôi tìm thấ y hai tổ chứ c
toán họ c sau:
§ OM
mo
gắ n vớ i kiể u nhiệ m vụ T
mo
“Chứ ng minh mộ t tậ p là mở trên R”
§ OM
Dong
gắ n vớ i kiể u nhiệ m vụ T
Dong
“Chứ ng minh mộ t tậ p là đóng trên R”
Từ ý nghĩ a trên củ a khái niệ m khoả ng trong xây dự ng tôpô củ a R, chúng tôi nhậ n
thấ y cách tố t nhấ t để tiế p cậ n tôpô là thông qua nghiên cứ u khái niệ m khoả ng. Điề u
này đặ t ra mộ t câu hỏ i nghiên cứ u mớ i cho chúng tôi:
“Có vế t tôpô nào để lạ i trong chư ơ ng trình toán phổ thông qua khái niệ m khoả ng
hay không?”
Việ c trả lờ i câu hỏ i này sẽ đư ợ c chúng tôi giả i quyế t trong chư ơ ng 2.
Nhữ ng kế t quả đã đạ t đư ợ c ở chư ơ ng 1 sẽ là cơ sở cho việ c phân tích sách giáo
khoa mà chúng tôi thự c hiệ n trong chư ơ ng 2 tiế p theo củ a luậ n văn.
CHƯ Ơ NG 2

Chư ơ ng 2-KHÁI NIỆ M KHOẢ NG Ở CẤ P ĐỘ TRI THỨ C CẦ N GIẢ NG DẠ Y
-

19

-

Chư ơ ng 2
KHÁI NIỆ M KHOẢ NG
Ở CẤ P ĐỘ TRI THỨ C CẦ N GIẢ NG DẠ Y

Mụ c tiêu củ a chư ơ ng
Chư ơ ng này nhằ m mụ c đích làm rõ mố i quan hệ thể chế vớ i đố i tư ợ ng khoả ng,
mà trong phạ m vi luậ n văn này là nghiên cứ u khái niệ m khoả ng củ a tậ p số thự c R. Cụ
thể hơ n, chúng tôi nhắ m tớ i việ c trả lờ i các câu hỏ i sau:
• Khái niệ m khoả ng đã đư ợ c đư a vào chư ơ ng trình và sách giáo khoa toán phổ
thông như thế nào? Nhữ ng tổ chứ c toán họ c nào đư ợ c xây dự ng xung quanh
khái niệ m khoả ng?
• Nhữ ng điề u kiệ n và ràng buộ c nào củ a thể chế trên khái niệ m này?
• Nhữ ng đặ c trư ng khoa họ c luậ n nào củ a khái niệ m khoả ng đư ợ c đề cậ p trong
thể chế dạ y họ c toán ở trư ờ ng phổ thông? Nhữ ng đặ c trư ng nào không xuấ t
hiệ n?
• Khái niệ m khoả ng có vị trí và vai trò như thế nào trong thể chế dạ y họ c toán ở
trư ờ ng trung họ c phổ thông Việ t Nam?
• Có nhữ ng quy tắ c hợ p đồ ng didactic nào đư ợ c hình thành trong quá trình dạ y
họ c khái niệ m khoả ng không?
Bên cạ nh đó, qua phân tích quan hệ thể chế vớ i đố i tư ợ ng khoả ng, chúng tôi
muố n tìm câu trả lờ i cho mộ t câu hỏ i nghiên cứ u mớ i đư ợ c đặ t ra ở cuố i chư ơ ng 1 là:
• Có vế t tôpô nào để lạ i trong chư ơ ng trình toán phổ thông qua khái niệ m khoả ng

hay không?
Để đạ t đư ợ c mụ c tiêu này,
chúng tôi tiế n hành phân tích chư ơ ng trình và các sách
giáo khoa (SGK) toán phổ thông hiệ n hành củ a Việ t Nam. Cụ thể hơ n, đó là: hai bộ
SGK đạ i số 10 ban cơ bả n và ban nâng cao. Đồ ng thờ i, nhằ m làm rõ hơ n mộ t số nộ i
dung đư ợ c phân tích, chúng tôi tham khả o thêm các SGK lớ p 8, lớ p 7 và lớ p 6.