các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán ở pt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________


Đặng Minh Hải


CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG
TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG



Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10


LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG






Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành biết ơn TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình
hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần
Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho
chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,
TS. Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho đề tài.
Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi trong quá
trình thực hiện luận văn.
Tác giả
Đặng Minh Hải
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS : Học sinh
GV : Giáo viên
GK
NC10
: Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành
GK
NC11
: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành
GK
NC12
: Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành
GK
CB10

: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành
GK
CB11
: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành
GK
CB12
: Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành
GV
NC10
: Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành
GV
NC11
: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành
GV
NC12
: Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành
GV
CB10
: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành
GV
CB11
: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành
GV
CB12
: Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số

được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12). Liên quan đến
kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau: hàm bậc nhất y=ax+b,
hàm bậc hai y=ax
2
+bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax
3
+bx
2
+cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương
y=ax
4
+bx
2
+c, hàm phân thức
ax b
y
cx d



(c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức
2
ax bx c
y
a' x b'
 


(a≠0,
a’≠0)

1
. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm số này đồng thời liên tục và khả vi trên các
khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng
2
, các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục,
hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên
hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có
chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học?
Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục-
khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”. Các
minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví dụ đã giúp chúng tôi hiểu
rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu
này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi.
Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ
cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ?
Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ
giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm
vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm : Chuyển đổi
didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức.
Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục
và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học,
biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái
niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái

1
Chỉ đề cập trong SGK nâng cao.
2
Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng

khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,…)” [19, tr.56]
niệm này giúp giải thích các ứng xử của học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính
liên tục và sự khả vi của hàm số.

Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi
nghiên cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên
tục và sự khả vi của hàm số?
Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa
tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc
trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ
nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được
tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu,
tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?
Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh?
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới hạn vấn
đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số.
Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3
đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau:
-Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên
tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu. Nghiên cứu này
trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên
tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông.
-Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả
vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2. Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi tiến
hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được từ
nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học. Kết thúc phần này, chúng tôi đề xuất các giả thuyết
nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế và đặt ra
câu hỏi nghiên cứu mới.

-Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá
nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt ra liên quan
đến đồ thị.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung.
Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục
đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.
Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích
một số giáo trình đại học.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ
giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề
xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới.
Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính
thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối
chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học
sinh
Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu
mới mở ra từ luận văn.


Chương 1
MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH
LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :
Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và
sự khả vi của hàm số?
Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :
 [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số-Nhà

Xuất Bản Giáo Dục.
 [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất bản Giáo dục.
[21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là cuốn sách
được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ
giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa
Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở một số nội dung, để làm rõ vấn đề chúng
tôi cũng tham khảo thêm :

[6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học chuyên
nghiệp.

 [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).

[24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College
Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of
America.

 [25]-Discontinuous and monotone Functions
(www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html)
Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính đơn
điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn.
Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số
nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định nghĩa không ? Sau
đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí, tính chất liên quan đến ba đối
tượng này.
1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi
1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu
[21] đưa vào định nghĩa như sau:
“ NếuJ


I

R
3
, hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Tăng nghiêm ngặt trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Giảm trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Giảm nghiêm ngặt trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46]
Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]:

“ Cho
( )
X R

và
X
f R


4

1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi :
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) , ( , , ( ) ( ))
x x X x x X x x f x f x
     

2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi :
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) , ( , , ( ) ( ))
x x X x x X x x f x f x
     

3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi :
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) , ( , , ( ) ( ))
x x X x x X x x f x f x

     

4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi :
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) , ( , , ( ) ( ))
x x X x x X x x f x f x
     

5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.
6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm
ngặt. ”
5
[22, tr.103]
Nhận xét :
Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì
khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt”. [21]
dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm
ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc

3
Trong [21] kí hiệu A

B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, A

B nghĩa là mọi phần tử của A
đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B.
4
P(R) là tập các tập con của R, R
X

là tập các hàm số từ X vào R.
5
f là hàm số từ X vào R.
f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm
ngặt.”. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói
hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt.
1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục
 Liên tục tại một điểm
“ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại
( , )
o
x a b

nếu
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x


” [21, tr.89]
“Cho f: I →K,
a I

. Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi:
0, 0, ,( ( ) ( ) )
x I x a f x f a
   
          

.”
6
[22, tr.120]
Nhận xét:
[21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông qua khái
niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ
,
 
), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ
,
 
(định nghĩa của
Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho
:
f I K

,
a I

. Để f liên tục tại
a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương
của hai định nghĩa trên.
Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra định nghĩa
về điểm gián đoạn và phân loại chúng:
“Hàm số f(x) không liên tục tại điểm
o
x
được gọi là gián đoạn tại điểm ấy.
Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b],
[ , ]

o
x a b

là một điểm gián đoạn của f . Ta nói
o
x
là
điểm gián đoạn bỏ qua được nếu
( 0) ( 0)
o o
f x f x
  
7
;
o
x
là điểm gián đoạn loại một nếu
( 0) , ( 0)
o o
f x R f x R
   
nhưng
( 0) ( 0)
o o
f x f x
  
, hiệu
( 0) ( 0)
o o
f x f x

  
được
gọi là bước nhảy của f tại
o
x
;
o
x
được gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai
loại trên.” [21, tr.90]
“Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a.
[…]
Gián đoạn loại 1
Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f có giới
hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f xác định bên
phải a).

6
I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là

hoặc R. Trong
luận văn này, ta hiểu K là R.
7

( 0) lim ( )
o
o
x x
f x f x



 
,
( 0) lim ( )
o
o
x x
f x f x


 

Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f có điểm
gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121]
Nhận xét:
Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm gián đoạn
bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn loại 1 của [22].
 Liên tục trên khoảng
“Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi
( , )
x a b

.” [21,
tr.91]
“Cho
:
f I K

. Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.” [22,
tr.121]

1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi
“ Cho
a I

,
I
f K

. Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h

 
tồn tại và hữu
hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22, tr.139]
“Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm
( , )
c a b


nếu tồn tại giới hạn
( ) ( )
lim ,
x c
f x f c
A x c

x c


 


Số A; giới hạn của tỉ số
( ) ( )
,
f x f c
x c
x c



, khi
x c

được gọi là đạo hàm của hàm số f(x)
lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119]
Nhận xét:
Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này qua
nhận xét sau:
“Nếu đặt
x c x
  
thì biểu thức định nghĩa trở thành
0
( ) ( )
lim : '( )

x
f c x f c
f c
x
 
  


” [21, tr.119]
Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa hình
học của đạo hàm.
“Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại điểm đó;
và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của f(x) có một tiếp
tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120]
“[…] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không song song
với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong C
f
biểu diễn f.
Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”.
Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không
có tiếp tuyến tại điểm đó.
1.1.4 Kết luận
Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định
nghĩa một cách độc lập nhau. Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các
định nghĩa của chúng.
1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi
1.2.1 Đơn điệu-Liên tục
Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21]
“ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn ánh là
hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103]

Nhận xét :
Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21], chúng tôi
thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì. Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau :
“ cho hàm số f liên tục trên khoảng I. Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và chỉ khi nó đơn ánh
trên khoảng đó ”. Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu ngặt và sự đơn ánh của
một hàm liên tục trên một khoảng I nào đó. Dễ dàng nhận thấy, một hàm đơn điệu ngặt trên I thì
đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc đã đơn điệu trên khoảng đó. Điều này
được nêu rõ trong [22] :
“ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không đúng như
ở ví dụ sau :
, 1 à 1
1 , 1
1 , 1

  


 


 


R R
x x v x
x x
x

[22, tr.103]
Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục trên I.

Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa mãn thêm điều
kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I.
Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy nhiên, ta
biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I, xét ví dụ sau:
O

x

2

1

1

2

4

y

Ví dụ :
:[0,2]
, [0,1)
2 , [1,2]








f R
x x
x
x x

Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng
bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục
trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một
đường đi lên từ trái sang phải nhưng
không liên nét trên [0 ;2].

Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián đoạn và
loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:
 Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián đoạn
loại 1.
 Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ” (tham
khảo [25])
Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm gián
đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó là đếm được.
Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì để liên tục trên I ?
Xét định lí sau:
“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I
thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”(*) [6, tr.94]
Nhận xét:
Như vậy, một hàm đơn điệu trên một khoảng I sẽ liên tục trên I nếu ảnh của I qua nó là một
khoảng nào đó của R. Theo một hệ quả trong [6]: “ nếu hàm f xác định và liên tục trên khoảng X
bất kì (đóng hay không, hữu hạn hay vô hạn) thì các giá trị mà hàm nhận cũng sẽ lấp đầy một
khoảng nào đó”([6, tr.104]), ta thấy rằng một hàm liên tục trên khoảng I thì ảnh của khoảng I qua
nó là một khoảng, tuy nhiên điều ngược lại không đúng, xét ví dụ sau:

“
1
( ) sin ( 0), (0) 0
f x x f
x
  
” [6, tr.105]. Hàm đã cho biến [-2,2] thành [-1,1] nhưng rõ ràng
không liên tục trên [-2,2] vì nó bị gián đoạn tại x=0.
Định lý (*) chỉ ra rằng, điều ngược lại sẽ đúng nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu trên
khoảng I”. Đến đây ta trả lời được câu hỏi “một hàm đơn điệu trên I thỏa mãn thêm điều kiện gì thì
liên tục trên I ?”. Phần tiếp theo dưới đây chúng tôi giới thiệu một ứng dụng quan trọng của định lí
này.
Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng. Từ sự liên tục của
hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên
tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục.
Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = a
x
(a>1), hàm
lôgarit y=log
a
x (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = x
µ
(µ>0 hay µ<0), các hàm lượng giác, các hàm lượng
giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*). Chẳng hạn:
“2
o
. Hàm mũ y = a
x
(a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng X=(-∞;+∞).
Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì lôgarit x = log

a
y
tồn tại đối với bất kì y>0. Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x bất kì.” [6, tr.95]
Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm [6, tr.95-96].
Kết luận
Ta có một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:
 Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I. Hàm đơn
điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó trên I
nhiều nhất là đếm được.
 Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I.
 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của R thì liên tục trên I.
1.2.2 Liên tục-Khả vi
Sau định nghĩa hàm khả vi tại một điểm, [22] đưa ra mệnh đề sau:
“Cho
a I

,
I
f K

. Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a” [22, tr.141]
Nhận xét:
Mệnh đề trên cho thấy, một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó. Chiều ngược lại thì
sao?
Ngay sau mệnh đề trên, [22] đưa ra nhận xét:
“Khẳng định đảo của mệnh đề trên là sai. Một ánh xạ có thể liên tục tại a nhưng không khả
vi tại a như trong các ví dụ sau:
i)
. :
R R

x x



Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0.
ii)
.:
R R
x x




Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0, vì
0
0 1
0,
h
h
h
h
h



   

iii)
:
1
sin , 0
0 , 0









f R R
x x
x
x
x

Liên tục tại 0 (vì
0
( ) 0
x
f x x

 
) và
không khả vi tại 0 vì
( ) (0) 1

sin
f h f
h h



không có giới hạn khi h→0.

[22, tr.142]
Vấn đề trên cũng được nêu rõ trong [21], nhưng không có ví dụ và minh họa rõ ràng bằng đồ thị
như [22].
Liên quan đến việc xem xét tính khả vi của một hàm liên tục trên một khoảng, đã từng có một
giai đoạn trong lịch sử (những năm nửa sau thế kỉ 19), người ta nghĩ rằng một hàm số liên tục thì
khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm: “đến khoảng những năm 1870, nhiều bài viết về giải tích
đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm, ngay cả Cauchy
8

cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]). Năm 1872, Weierstrass đã làm sửng sốt cộng đồng toán học khi
đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập số thực nhưng không khả vi tại điểm nào cả:
 
0
( ) cos
n n
n
f x b a x






trong đó a là số nguyên lẻ, b là số thực trong khoảng (0,1) và
3
1
2
ab

 
(Bolzano đã đưa ra một ví
dụ như thế vào năm 1834 nhưng không được chú ý) (tham khảo [24, tr.293]).
Như vậy, đã có một giai đoạn trong lịch sử người ta tin rằng, một hàm liên tục chỉ có thể có hữu
hạn các điểm tại đó hàm không khả vi, ví dụ của Weierstrass đã chỉ ra có những hàm liên tục trên R
nhưng không đâu khả vi. Từ đó, ta thấy rằng khi một hàm liên tục thì chưa thể kết luận gì về sự khả
vi của nó, một hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó, một hàm liên tục trên một

8

Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857): một nhà toán học nổi tiếng người Pháp

khoảng có thể có hữu hạn hay vô hạn các điểm tại đó hàm không khả vi hay có thể không đâu khả vi
trên khoảng đó. Phân tích trên cũng chỉ ra rằng, trong lịch sử phát triển của toán học, đã tồn tại một
“chướng ngại” liên quan đến cực “liên tục → khả vi”, đó là: một hàm số liên tục trên một khoảng
thì khả vi trên khoảng đó trừ ra tại một số hữu hạn các điểm.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một định lí về “giới hạn của đạo hàm” trong đó nêu ra một số điều
kiện để một hàm liên tục tại một điểm khả vi tại điểm đó:
“Hệ quả (“định lý giới hạn của đạo hàm”)
Cho
o
x R


, I là một khoảng của R sao cho
o
o
x I

, f : I→R là một ánh xạ.
Nếu f liên tục tại x
o
, f khả vi tại I-{x
o
}, f’ có giới hạn hữu hạn là l tại x
o
thì f khả vi tại x
o
và f’(x
o
)=l, và do đó f’ liên tục tại x
o
.” [22, tr.161]
Định lí trên chỉ ra rằng hàm số f : I→R liên tục tại x
o
nếu khả vi tại mọi điểm của I khác x
o
và f’ có
giới hạn hữu hạn l tại x
o
thì nó khả vi tại x
o
và f’(x
o

)=l .
Kết luận
Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:
 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.
 Tồn tại một chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả
vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm.
1.2.3 Đơn điệu-Khả vi
Chúng tôi bắt đầu bằng định lí sau:
“Định lý 5.7
Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn [a,b] và khả vi trong
khoảng mở (a,b), khi đó:
(1) Điều kiện ắt có và đủ để f(x) tăng (giảm) trên [a,b] là f’(x)

0 (f’(x)

0) với mọi
( , )
x a b


(2) Nếu f’(x)

0 (f’(x)

0) với mọi
( , )
x a b

và nếu f’(x)>0 (f’(x)<0) tại ít nhất một điểm x thì

f(a)>f(b) ( f(a)<f(b)).” [21, tr.161]
“Định lý 1: Cho f : I → R liên tục trên I, khả vi trên
o
I
. Để f tăng trên I điều kiện cần và đủ
là :
, '( ) 0
o
x I f x
  
.
[…] Khi khảo sát –f thay cho f, ta thu được định lý tương tự như định lý trên bằng cách thay
tăng bởi giảm và

0 bởi

0.” [22, tr.164-165]
Nhận xét:
O
x

2 1
1

4

y

Phát biểu trên trong [21] và [22] cho thấy khi hàm số f(x) liên tục trên I ( khoảng, nửa
khoảng, đoạn), khả vi trên

o
I
9
thì hàm đơn điệu tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0)
với mọi x thuộc
o
I
.
Về đơn điệu nghiêm ngặt, [22] đưa ra định lí sau:
“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên
o
I
. Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần
và đủ là:
, '( ) 0
  
o
x I f x
và {

o
x I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng
nào.” [22, tr.165]
Như vậy, ngoài các điều kiện giống với định lý 1, để f tăng nghiêm ngặt, ta còn cần thêm điều kiện
tập các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 “không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng
nào.”
Từ đó mặc dù [22] không đề cập nhưng ta có thể suy ra hệ quả sau:
“ Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên
o

I
. Nếu
, '( ) 0
  
o
x I f x
và {

o
x I
, f’(x)=0} nhiều nhất đếm
được thì f tăng nghiêm ngặt”.
Một giả thuyết quan trọng của các phát biểu trên là f khả vi trên phần trong của khoảng đang xét, ta
đặt ra câu hỏi: “tồn tại hay không những hàm không khả vi trên
o
I
nhưng vẫn đơn điệu trên I ?”.
Vấn đề này không được đưa ra trong [21] và [22] nhưng có thể trả lời ngay rằng: tồn tại những hàm
không khả vi trên
o
I
nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó. Ta sẽ thấy rõ qua ví dụ sau:
Ví dụ:
: (0,2)
, (0,1)
3 2 , [1,2)





 


f R
x x
x
x x

Hàm số f(x) không khả vi trên (0,2) vì nó
không có đạo hàm tại x=1, nhưng đơn điệu
tăng trên (0,2).


Như vậy, một hàm đơn điệu trên khoảng I có thể không khả vi trên I. Tuy nhiên, khi một hàm đơn
điệu trên khoảng I thì tập các điểm không khả vi của hàm đó trên I lại có một tính chất khá đặc biệt :
“ Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I, nghĩa là tập các điểm thuộc I mà tại đó
hàm không khả vi có độ đo lesbgue bằng không.” [23, tr.40]

9

o
I
là phần trong của khoảng I, ví dụ phần trong của [a,b] là (a,b).

Kết luận:
 Hàm liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn), khả vi trên
o
I
thì tăng (giảm) trên I khi
và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc

o
I
.
 Hàm liên tục trên I, khả vi trên
o
I
thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0
(f’(x)≤0) trên
o
I
và {

o
x I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác
rỗng.
 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I.
1.3 Kết luận chương 1
Từ những phân tích trên, có thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có nhiều mối
liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau:





Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng các câu
hỏi và câu trả lời đối với từng cực:
Cực Đơn điệu-Liên tục
Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I.
Như vậy một hàm số đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I. Điểm gián đoạn và tập các điểm
gián đọan nếu có của một hàm số đơn điệu trên I có gì đặc biệt?
 Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 (tồn tại giới hạn trái và phải) và
tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được.
Hàm đơn điệu trên khoảng I cần thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?
 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng nào đó của R thì liên tục trên I.
Một hàm số liên tục trên I cần thêm điều kiện gì thì đơn điệu trên I ?
 Hàm liên tục và đơn ánh trên khoảng I thì đơn điệu ngặt trên I.
Cực Đơn điệu-Khả vi
Hàm số khả vi trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì đơn điệu trên I khi nào?
 Hàm liên tục trên I, khả vi trên
o
I
(phần trong của I) thì tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi
Liên tục
Khả vi
Đơn điệu
f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc
o
I
.
 Hàm f liên tục trên I, khả vi trên
o
I
thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0
(f’(x)≤0) trên
o
I
và {


o
x I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác
rỗng.
Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên
o
I
thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi
f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên
o
I
và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều nhất đếm được.
Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?
 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I. Tập các điểm không khả vi của hàm
số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?
 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm số
không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).
Cực Liên tục-Khả vi
Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:
 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.
Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?
 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm.
Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành nghiên cứu
mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 :
Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa
tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc
trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ

nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được
tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu,
tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?
Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi
sau:
Đơn điệu-Liên tục
Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục được thể hiện như thế nào trong SGK
theo chương trình hiện hành? Đặc biệt, những hàm số đơn điệu trên một khoảng nhưng không liên
tục trên khoảng đó có xuất hiện không? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có
những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này?
Đơn điệu-Khả vi
Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) khả vi trên
o
I
đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên I có được được đề cập không? Nếu có thì như thế nào?
Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này? Xuất hiện hay không hàm số đơn điệu
trên I nhưng không khả vi trên I? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không?
Liên tục-Khả vi
Tính chất “hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó” có được đề cập không? Đặc biệt, có
hay không sự xuất hiện của hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó? Việc
minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan?
Chương 2:
MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH
LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính đơn điệu,
tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ tập trung tìm câu
trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1. Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế
dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam.

Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng chưa tổng
quát (định nghĩa trên R). HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất và
hàm số bậc hai. Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được đưa vào, cho đến lúc này, khái
niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn. Đến cuối lớp 11, khái niệm liên tục được chính thức đưa vào
giảng dạy trong chương Giới hạn. Trong chương kế tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất
hiện, ngay trong chương này mối quan hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đến đầu năm lớp 12,
trong chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới
được đề cập. Như vậy, để trả lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3
cấp lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Hiện tại có hai bộ sách toán đang
được sử dụng, bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản. Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này. Để
thuận lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GK
NC10
, GK
NC11
, GK
NC12
, GV
NC10
, GV
NC11
,
GV
NC12
nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ nâng cao: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK
giải tích 12 và các sách GV tương ứng; GK
CB10
, GK
CB11
, GK
CB12

, GV
CB10
, GV
CB11
, GV
CB12
nhằm chỉ
các sách giáo khoa bộ cơ bản: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK giải tích 12 và các
sách GV tương ứng. Phân tích của chúng tôi sẽ tập trung trên từng cực của sơ đồ sau:





Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản chúng
tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao. Cũng cần nói rõ thêm, định nghĩa hàm số
đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt ở bậc đại học. Tuy
nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các tính chất đã nêu ở chương 1 vào
Liên tục
Khả vi
Đơn điệu
phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và
đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số đơn điệu nghiêm ngặt.
1.4 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục
Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số liên tục
hoạt động ngầm ẩn thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét”. Do đó, để làm rõ mối liên hệ
này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu (hàm số
đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm hàm số liên tục đang ở giai đoạn
ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy tường minh. Đối với thời điểm thứ
nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương 1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái

niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó,
ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được
đề cập trước khi khái niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ
tập trung phân tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp
11. Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề cập,
mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập.
1.4.1 SGK nâng cao
1.4.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm liên tục hoạt
động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét”
*Phần bài học (vị trí GV)
Khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào ở đầu lớp 10, bài 1- Đại cương về hàm số,
chương II - Hàm số bậc nhất và bậc hai với các bài sau:
Bài 1:Đại cương về hàm số
Bài 2:Hàm số bậc nhất
Bài 3:Hàm số bậc hai
Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9:
“Một cách tổng quát:
Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y=f(x)
được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y=f(x)
được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).
Nói cách khác, với x
1
, x
2
bất kì thuộc R:
Nếu x
1
< x

2
mà f(x
1
)<f(x
2
) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên R.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
)>f(x
2
) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.”
[3, tr.44]
Có thể thấy rõ, ở cấp lớp này, khái niệm hàm số đơn điệu được định nghĩa trên chưa thực sự
tổng quát (hàm số đơn điệu trên R). Đến lớp 10, GK
NC10
đưa ra định nghĩa tổng quát hơn trong bài
1:
“Cho hàm số f xác định trên K
Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) nếu
1 2 1 2 1 2
x , x K , x x f ( x ) f ( x )
    
;
Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu
1 2 1 2 1 2
x , x K , x x f ( x ) f ( x )

    
.”
[GK
NC10
, tr.38]
ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa khoảng hay
đoạn) nào đó của R”. [GK
NC10
,tr.38]. So với định nghĩa ở bậc đại học, định nghĩa trên tương đương
với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt và có một sự thay đổi: khái niệm đơn điệu của hàm số
được định nghĩa trên khoảng chứ không phải trên một tập con khác rỗng bất kì của R. Sự thay đổi
này là hợp lí, vì trong chương trình toán phổ thông, hàm số thường được nghiên cứu trên các
khoảng (nửa khoảng hay đoạn) hoặc hợp của chúng. Hơn nữa, ở đại học, dù hàm số đơn điệu được
định nghĩa trên tập con khác rỗng bất kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu
của hàm số trên khoảng (nửa khoảng, đoạn).
Tiếp theo định nghĩa, GK
NC10
đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K:
“Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số
đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa (xem ví dụ 3),
hoặc dựa vào nhận xét sau :
Điều kiện “
1 2 1 2
x x f ( x ) f ( x )
  
” có nghĩa là
1 2
x - x
và
1 2

f ( x ) f ( x )

cùng dấu. Do đó
Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:

x ,x K
 
1 2
và
x x

1 2
,




f x f x
x x



2 1
2 1
0

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi:


x ,x K

 
1 2
và
x x

1 2
,




f x f x
x x



2 1
2 1
0

Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu tỉ số




f x f x
x x


2 1

2 1

trên K” [GK
NC10
, tr.39]
“Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;
Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.
(Khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là kể từ trái
sang phải )”[GK
NC10
, tr 38]
Qua hai trích dẫn trên, GK
NC10
cung cấp kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số trong trường hợp
hàm số được cho bằng công thức và đồ thị. Đối với hàm số cho bằng công thức, có hai kĩ thuật đại
số là dùng định nghĩa và xét dấu tỉ số




f x f x
x x


2 1
2 1
. Đối với hàm số cho bằng đồ thị thì dùng kĩ
thuật đọc đồ thị: từ trái sang phải nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến, nếu đồ thị đi xuống thì
hàm số nghịch biến. Phù hợp với điều này, GV
NC10

viết:
“ -Khi cho hàm số bằng biểu thức, học sinh cần:
[…]
+Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên một
khoảng(đoạn hoặc nửa khoảng) cho trước bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên.
[…]
-Khi cho hàm số bằng đồ thị học, sinh cần:
[…]
+Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị
của nó.”[GK
NC10
, tr.69]
Sau định nghĩa và giới thiệu các kĩ thuật để khảo sát sự biến thiên của hàm số, SGK giới thiệu
bảng biến thiên thông qua một ví dụ cụ thể:
“Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách lập bảng
biến thiên của nó. Hàm số trong ví dụ 4 có bảng biến thiên như sau:

x -∞ 0 +∞

2
( ) ( 0)
f x ax a
 




Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính
nghịch biến của hàm số.
Cụ thể hơn, hàng thứ hai trong bảng được hiểu như sau: f(0)=0 và khi x tăng trên khoảng

(0;+∞) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) theo chiều tăng, còn khi x tăng trên
0
+∞

+∞

khoảng (-∞;0) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) nhưng theo chiều
giảm.”[GK
NC10
, tr.40]
Như vậy, GK
NC10
đưa ra bảng biến thiên dựa trên ví dụ đã được nghiên cứu tính biến thiên trước
đó, trong trường hợp này, hàm số y=ax
2
được nghiên cứu có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu
của nó. Như đã phân tích ở chương 1, có những hàm số đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K
nghĩa là có đồ thị không liền nét trên K. Chúng tôi tự hỏi: trong trường hợp, một hàm đơn điệu trên
K nhưng đồ thị không liền nét trên K thì bảng biến thiên sẽ được lập như thế nào? Mũi tên được vẽ
ra sao? GK
NC10
và ngay cả GV
NC10
không lưu ý gì đến vấn đề này.
Kế tiếp các vấn đề nêu trên, trong bài 2 và bài 3, GK
NC10
giới thiệu tính biến thiên của các hàm
số: hàm số bậc nhất y = ax+b, hàm bậc nhất trên từng khoảng, hàm số
y ax b
 

và hàm số bậc 2.
Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được học ở lớp 9, nên GK
NC10
chỉ nhắc lại,
tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là
kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số bằng đồ thị được nhấn
mạnh. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, các hàm số được nghiên cứu luôn có đồ thị liền nét trên khoảng
đơn điệu của chúng. Dường như có một sự đảm bảo rằng: hàm số đơn điệu trên K thì đồng thời
cũng liên tục trên khoảng đó. Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khảo sát sự biến thiên
của hàm số sẽ cho phép chúng tôi củng cố hoặc bác bỏ nhận định trên.
*Phần bài tập (vị trí GV)
Liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong giai đoạn này chủ yếu là kiểu nhiệm vụ T: “khảo
sát sự biến thiên của hàm số”, gồm các kiểu nhiệm vụ con với kĩ thuật và công nghệ tương ứng như
sau:
T
tt
: Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bằng một công thức không phải là hàm bậc 1 và hàm bậc
2 và không chứa giá trị tuyệt đối trên những khoảng cho trước.
Ví dụ: Bài tập 12
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:
a)
y
x


1
2
trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2;+∞); [GK
NC10
, tr.46]

Kĩ thuật τ
1
tt
: Lấy bất kì
x ,x K

1 2
thoả mãn
1 2
x x

, sau đó so sánh




1 2
f x , f x
.
 Nếu




1 2
f x f x

thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.
 Nếu





1 2
f x f x

thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.
Kĩ thuật τ
2
tt
: Lấy bất kì
x ,x K

1 2
sao cho
x x

1 2
, sau đó, xét dấu của tỉ số




f x f x
x x


2 1
2 1
.

 Nếu




f x f x
x x



2 1
2 1
0
thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.
 Nếu




f x f x
x x



2 1
2 1
0
thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.
Công nghệ θ
tt

: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
T
b2
: Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm bậc 2 không chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ:
Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số
2
4 3
y x x
   

[GK
NC10
, tr.57]
Kĩ thuật τ
b2
: Xét dấu của hệ số a:
 Nếu
0
a

thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng
2
b
;
a
 
 
 
 

, đồng biến
(tăng) trên khoảng
2
b
;
a
 
 
 
 
.
 Nếu
0
a

thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng
2
b
;
a
 
 
 
 
, nghịch biến
(giảm) trên khoảng
2
b
;
a

 
 
 
 
.

Công nghệ θ
b2
: Đồ thị của hàm số bậc hai.
“Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây […]”
[GK
NC10
, tr.57]
T
đt
: Khảo sát sự biến thiên của hàm số được cho bằng đồ thị
Ví dụ: Bài tập 3
Hình 2.9 là đồ thị một hàm số có tập xác định là R, dựa vào đồ
thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. [GK
NC10
, tr. 45]
Kĩ thuật τ
đt
:
Xét từ trái qua phải, nếu đồ thị của hàm số “đi lên” trên K thì hàm
số đồng biến (tăng) trên K; nếu đồ thị hàm số “đi xuống” trên K thì hàm số nghịch biến
(giảm) trên K.
Công nghệ θ
đt
: Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

 Nhận xét
Bảng 2.1: Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của hàm số”
1
y
-1
-2
-3
3
0
Hình 2.9
x