dạy học mở đầu về chứng minh trong hình học ở trường thcs một tiểu đồ án didactic về đạo tạo giáo viên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________

Trần Thị Ngọc Diệp

DẠY HỌC MỞ ĐẦU VỀ CHỨNG MINH TRONG
HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC CƠ SỞ - MỘT TIỂU ĐỒ ÁN
DIDACTIC VỀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến,
người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng dẫn tơi hồn
thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, TS.Trần Lương Cơng
Khanh và TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các q thầy cơ đã tham gia giảng dạy
cho lớp cao học chuyên ngành didactic tốn khóa 17; PGS. Claude Comiti, PGS.
Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp định hướng cho đề

tài.
Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán
trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho
tơi hồn thành luận văn này.
Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, đặc biệt là chồng tơi đã luôn
bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua.

Trần Thị Ngọc Diệp


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS

: Học sinh

GV

: Giáo viên

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

HHGN : Hình học ghi nhận
HHSD

: Hình học suy diễn

THCS

: Trung học cơ sở

CĐSP

: Cao đẳng sư phạm


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1.

Thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học............................. 9

Bảng 1.2.

Thống kê các cách đưa vào tính chất, quy tắc ..................................... 18

Bảng 1.3.

Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 ............................. 21

Bảng 1.4.

Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 ............................. 25

Bảng 1.5.

Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T3 ............................. 29

Bảng 1.6.

Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 ............................. 32

Bảng 1.7.

Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 ............................. 38

Bảng 1.8.

Thống kê các cách tiếp cận khái niệm ở bậc THCS ............................. 45

Bảng 1.9.

Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 ............................. 53

Bảng 1.10. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 ............................. 57
Bảng 1.11. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 ............................. 60
Bảng 1.12. Thống kê số lượng bài tập chứng minh ................................................ 64
Bảng 1.13. Thống kê số lượng bài tập sử dụng kĩ thuật quan sát-thực nghiệm
và kĩ thuật suy luận .............................................................................. 64
Bảng 1.14. Đặc trưng của HHGN và HHSD........................................................... 72
Bảng 2.1.

Biến tình huống..................................................................................... 79

Bảng 2.2.

Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 1a.......................... 87

Bảng 2.3.

Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 1b.......................... 89

Bảng 2.4.

Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 2............................ 95


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Hình học là một phân mơn quan trọng trong chương trình Tốn phổ thơng.
HS bắt đầu làm quen với Hình học ngay từ lớp 1 và được học xuyên suốt đến hết
lớp 12.
Đã có nhiều nghiên cứu về dạy học Hình học ở phổ thơng, nhất là những
nghiên cứu theo trường phái Didactic toán của Pháp. Ở Việt Nam, chúng tôi đặc
biệt quan tâm tới hai nghiên cứu trong phạm vi luận văn thạc sĩ Didactic tốn, đó là
nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương (2002) và của Trần Thị Tuyết Dung (2002)
với các lí do sau đây:
 Dù đã giảng dạy toán ở bậc THCS và THPT, nhưng đây là lần đầu tiên tơi
nghe nói đến các khái niệm «HHGN» và «HHSD», được đề cập trong hai luận văn
này.
Vậy, HHGN là gì? HHSD là gì? Chỉ có một mô tả khá ngắn gọn và sơ sài từ
hai luận văn này, đó là: HHGN là Hình học có được từ quan sát và thực nghiệm;
HHSD là Hình học có được từ suy luận và chứng minh.
Điều này không làm thỏa mãn trí tị mị và nhu cầu hiểu biết hơn của chúng
tôi!
 Nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương cho thấy trong chương trình và SGK

bậc THCS những năm 1990 khơng có sự nối khớp nào giữa hai loại Hình học nêu
trên. Chương trình đào tạo GV ở các trường CĐSP cũng khơng tính đến mối quan
hệ và sự nối khớp giữa chúng.
Còn nghiên cứu của Trần Thị Tuyết Dung lại chỉ ra rằng: chương trình và
SGK mới (2001) đã tính đến hoạt động chuyển tiếp giữa hai Hình học thông qua sự
nối khớp thực nghiệm và suy luận. Nhưng sự nối khợp này có vị trí rất mờ nhạt.
Điều này dẫn tới hậu quả là GV phải dùng đến yếu tố quyền lực cá nhân để thuyết
phục HS chấp nhận «miễn cưỡng» việc dùng suy luận để khẳng định một mệnh đề
(điều mà trước đây các em có quyền làm từ quan sát thực nghiệm, ghi nhận).


Như vậy, dạy học mở đầu về chứng minh ở trường THCS khơng thể khơng
tính đến HHGN đã tồn tại ở bậc tiểu học và có thể đang tồn tại ở cả bậc THCS,
cũng như mối quan hệ, sự ngắt quãng giữa chúng.
Nhưng, làm thế nào để GV ý thức được mối quan hệ nhân – quả giữa hai cấp
độ Hình học này? Câu hỏi này vẫn chưa được các tác giả của hai luận văn trên giải
đáp.
Thoạt tiên, những ghi nhận trên gợi cho chúng tôi nhu cầu nghiên cứu thiết
kế một tiểu đồ án didactic đào tạo GV ở các trường CĐSP về dạy học mở đầu
chứng minh ở trường THCS, chính xác hơn là ở thời điểm từ bỏ HHGN để bước
sang HHSD. Để thực hiện tham vọng này, cần thiết phải tiến hành các nghiên cứu
sau:
1. Làm rõ đặc trưng của HHGN và HHSD: Thế nào là HHGN? Thế nào là
HHSD? Có những khác biệt cơ bản nào giữa hai Hình học này? Nói cách khác, đâu
là những đặc trưng chuyên biệt của mỗi loại Hình học? Mối quan hệ giữa chúng
như thế nào?
2. Nghiên cứu kĩ hơn quan hệ nhân – quả giữa hai Hình học, đặc biệt là trên
đối tượng HS.
3. Nghiên cứu quan niệm của giảng viên và sinh viên các trường CĐSP về
chứng minh và dạy học mở đầu về chứng minh, đặc biệt là về HHGN và HHSD.

4. Thiết kế và triển khai một tiểu đố án didactic đào tạo GV về dạy học mở
đầu chứng minh.
Tuy nhiên, sau một thời gian làm việc, do hạn chế về thời gian và áp lực
công việc ở Trường – nơi mà chúng tôi đang công tác, chúng tôi nhận ra rằng nội
dung nghiên cứu quá lớn, vượt ra ngoài điều kiện thực tế và khả năng hiện tại của
chúng tôi. Điều này dẫn chúng tôi tới việc giới hạn mục tiêu và nội dung nghiên cứu
luận văn của mình trong phạm vi các mục 1, 2 nêu trên.


2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic
tốn. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học, Lý
thuyết tình huống và Hợp đồng didactic.
Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm mấu chốt như tổ chức toán học,
mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức để phân
tích mối quan hệ thể chế với hai loại Hình học, từ đó tìm ra đặc trưng cơ bản của
từng loại.
Lý thuyết tình huống với các khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ
án didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình
huống. Ngồi ra, khái niệm Hợp đồng didactic được sử dụng để giải thích các ứng
xử của HS trong tình huống thực nghiệm.
Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tơi
trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau:
Q1.

HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học
Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với
các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì?
Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng
minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này?

Q2.

Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thơng đã thực hiện bước
chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở
trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao?

Q3.

Mối quan hệ thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân HS như thế
nào?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục
2. Từ đó, chúng tơi xác định phương pháp và nội dung nghiên cứu như sau:


-

Thiết lập lược đồ cho việc phân tích quan hệ thể chế.

-

Phân tích chương trình, SGK, SGV bậc Tiểu học và THCS để tìm ra đặc

trưng của HHGN và HHSD và mối quan hệ giữa chúng.
-

Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về dạy học chứng minh ở trường

CĐSP để làm rõ quan hệ của thể chế đào tạo GV với một số đối tượng của HHGN
và HHSD.
-

Triển khai một thực nghiệm kiểm chứng ảnh hưởng của mối quan hệ thể

chế lên mối quan hệ cá nhân HS trong phạm vi của dạy học suy luận và chứng
minh.

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương và phần kết luận.
Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát,
phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, giới thiệu cấu
trúc của luận văn.
Trong chương I, chúng tơi trình bày đặc trưng HHGN và HHSD, mối quan
hệ giữa chúng trong thể chế dạy học Hình học ở bậc Tiểu học và THCS và trong thể
chế đào tạo GV ở trường CĐSP, đồng thời phân tích đặc trưng của suy luận và
chứng minh trong mỗi loại Hình học.
Trong chương II, chúng tơi xây dựng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm
chứng tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu và tìm ra câu trả lời cho những câu
hỏi mới rút ra từ kết quả nghiên cứu trong chương I
Trong phần kết luận, chúng tơi tóm tắt những kết quả đạt được, chỉ ra những
lợi ích của đề tài, đồng thời mở rộng hướng nghiên cứu cho luận văn.


Chương 1: HÌNH HỌC GHI NHẬN VÀ HÌNH HỌC SUY DIỄN
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC
Ở BẬC TIỂU HỌC VÀ THCS
1.1. Mục tiêu của chương
Mục tiêu của chương này là tổng hợp và phân tích các tài liệu nhằm làm rõ

các đặc trưng chủ yếu của HHGN và HHSD. Đồng thời tìm ra đặc trưng của suy
luận và chứng minh trong hai loại Hình học này.
Để đạt được mục tiêu này, chúng tơi chọn phân tích chương trình, SGK,
SGV Toán bậc tiểu học và THCS hiện hành và tổng hợp tài liệu [19], [36], [33],
[32], [20] nhằm tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:
Q1.

HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học
Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với
các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì?
Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng
minh có đặc trưng chun biệt gì trong mỗi loại Hình học này?

Q2.

Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước
chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở
trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao?

1.2. Lược đồ phân tích
* Để làm rõ các đặc trưng của HHGN và HHSD, chúng tơi tiến hành phân tích
chương trình, SGK, SGV Tốn bậc tiểu học và THCS nhằm tìm ra:
-

Cách đưa vào các khái niệm.

-

Cách đưa vào các tính chất, qui tắc, định lí (ở THCS) thuộc phạm vi Hình
học.

-

Đặc trưng của các tổ chức tốn học (nhất là kĩ thuật giải).

* Để làm rõ đặc trưng của suy luận và chứng minh trong hai loại Hình học này,
chúng tơi tiến hành phân tích:


-

Cách hợp thức một khẳng định (làm sao đưa ra một khẳng định). Điều này
liên quan tới việc đưa vào một tính chất.

-

Suy luận xuất hiện khi nào và có những đặc trưng gì?

-

Chứng minh xuất hiện khi nào và có những đặc trưng gì?
Nghiên cứu việc khẳng định một mệnh đề, chúng tôi dựa vào phân loại các

kiểm chứng của Nicolas Balacheff như sau:
-

Kiểm chứng kiểu «Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ»: khẳng định chân lí

của một phán đốn bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và khơng đặt ra
vấn đề hợp thức hóa.

-

Kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đốn»: là qui trình hợp thức hóa một

phán đoán bằng cách đoán nhận một trường hợp được cho là ít riêng biệt nhất.
Cách làm này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm, nhưng khác với chủ nghĩa kinh
nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái quát hóa đã thực sự được đặt ra.
-

Kiểm chứng kiểu «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc»: trình

bày rõ ràng những lý lẽ về tính hợp thức của một phán đoán, bằng cách thực hiện
những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem là khơng
có tính đặc biệt và riêng rẽ, mà đại diện cho cả một lớp cá thể.
- Kiểm chứng kiểu «Tính tốn trên các thơng báo»: khơng dựa vào kinh
nghiệm, mà đó là những cách xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định
nghĩa, tính chất tường minh.
Trong các loại kiểm chứng trên, ở kiểu thứ tư suy luận và chứng minh mới
xuất hiện.

1.3. Đặc trưng của HHGN và HHSD trong thể chế dạy học Hình học ở
bậc tiểu học và THCS
1.3.1. Đặc trưng của HHGN
Tài liệu [32], [20] đã chỉ ra rằng HHGN xuất hiện ở bậc tiểu học. Do đó, để
tìm đặc trưng của Hình học này, chúng tơi tiến hành phân tích chương trình, SGK,
SGV Toán bậc tiểu học.


1.3.1.1. Khái niệm
Theo [33, tr.6], «Hình học bậc tiểu học hình thành cho HS những biểu tượng

về một số hình đơn giản và các đại lượng thơng dụng».
Qua phân tích chương trình, SGK, SGV ở bậc tiểu học, chúng tơi nhận thấy
để tiếp cận một khái niệm ở bậc tiểu học có 3 cách sau đây:
Cách tiếp cận thứ nhất: tổng thể thơng qua hình vẽ. Cách tiếp cận này
được sử dụng chủ yếu ở lớp 1, 2, «dựa trên trực giác HS nhận biết hình một cách
tổng thể» [33, tr.10]. HS được làm quen các khái niệm thông qua các hình vẽ, mơ
hình, hình ảnh thực tế mà khơng theo tính chất về các yếu tố cạnh và góc, đồng thời
gán cho khái niệm một cái tên.
Chẳng hạn: Để giới thiệu hình tam
giác, [21, tr.9] đưa ra một loạt hình tam
giác với độ lớn, màu sắc, hình dạng (tam
giác thường, vng, đều), vị trí (nghiêng,
thẳng) khác nhau, cùng với những hình
ảnh thực tế có dạng hình tam giác (biển
báo giao thơng, thước êke, lá cờ). Từ đó,
HS hình thành biểu tượng hình tam giác.
Ngồi ra, SGK cịn đưa ra một số hình
ghép từ những hình tam giác (ngơi nhà,
con thuyền, chong chóng, cây thơng, con
cá) giúp HS củng cố biểu tượng hình tam
giác, đồng thời «bước đầu nhận ra hình
tam giác từ các vật thật» [22, tr.24].
Cách tiếp cận thứ hai: hình vẽ kèm theo đặc điểm về các yếu tố cạnh và
góc. Cách tiếp cận này được sử dụng hầu hết là ở lớp 3, «HS nhận biết các yếu tố
của một hình (góc, cạnh, đỉnh) và đặc điểm của hình thơng qua các yếu tố này» [26,
tr.5]. Như vậy, khái niệm đã có một bước tiến triển cao hơn: không giới thiệu một
cách tổng thể mà theo các yếu tố cạnh và góc.


Chẳng hạn: HS làm quen hình chữ nhật từ lớp 2 ([23, tr.23]) theo cách tiếp

cận thứ nhất (giống như hình tam giác) nhằm hình thành biểu tượng về hình chữ
nhật. Đến lớp 3, [25, tr.84] lại đưa ra hình chữ nhật nhưng theo cách tiếp cận thứ
hai. Lúc này, mục tiêu khơng cịn là «nhận dạng hình chữ nhật (qua hình dạng tổng
thể, chưa đi vào đặc điểm các yếu tố của hình)» [24, tr.59], mà là «bước đầu có
khái niệm về hình chữ nhật (theo yếu tố cạnh và góc), từ đó biết cách nhận dạng
hình chữ nhật (theo yếu tố cạnh và góc)» [26], tr.152].
Tại thời điểm gặp gỡ
này, các yếu tố cạnh và góc
của hình chữ nhật được giới
thiệu thơng qua một hình chữ
nhật cụ thể ABCD vẽ trên giấy

[23, tr.23]

kẻ ô vuông. Từ việc quan sát
hình trên giấy kẻ ơ vng,
cùng với việc «lấy êke kiểm
tra xem 4 góc có vng
khơng» và «lấy thước đo chiều
dài 4 cạnh», HS phát hiện ra
đặc điểm của hình chữ nhật.

[25, tr.152]

Cách tiếp cận thứ ba: hỗn hợp hai cách trên, nghĩa là vừa giới thiệu tổng
thể thông qua hình vẽ, vừa nêu đặc điểm về các yếu tố cạnh và góc. Cách tiếp cận
này xuất hiện ở lớp 4 và 5, tại thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên của khái niệm.
Chẳng hạn: [27, tr.102]
đã giới thiệu hình bình hành
bằng cách:

Đầu tiên, «HS quan sát
hình vẽ để hình thành biểu
tượng về hình bình hành, GV
giới thiệu tên gọi hình bình


hành». Sau đó mới «nhận biết một số đặc điểm của hình bình hành» từ việc quan sát
hình vẽ trên giấy kẻ ơ vng và «đo độ dài các cạnh đối diện» [28, tr.182]. Như
vậy, khái niệm hình bình hành đã được tiếp cận theo cách hỗn hợp.
Đối với các khái niệm «hình khối» (hình khơng gian), [31, tr.82] đã viết:
«Thơng qua việc quan sát «hình ảnh» các vật thật trong thực tế để hình thành khái
niệm «ban đầu» của hình khối». Chẳng hạn:
Từ hình ảnh bao diêm, viên gạch, khái quát thành

Từ hình ảnh con súc sắc, khái

hình hộp chữ nhật.

qt thành hình lập phương.

Sau khi đã có biểu tượng các hình này, HS được hình thành khái niệm thông
qua việc nhận biết đặc điểm các yếu tố về đỉnh, cạnh, mặt (mặt đáy, mặt bên) của
các hình đó (chẳng hạn: hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 2 mặt đáy và 4 mặt
bên; hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt bằng nhau). Ngồi ra, HS cịn được
giới thiệu về «hình khai triển» của các hình đó, chẳng hạn:
Hình khai triển của hình hộp chữ nhật:

Hình khai triển của hình lập phương

Bảng 1.1. Bảng thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học

STT

Cách tiếp cận

Khái niệm
thứ nhất

thứ hai

1

Hình vng

Lớp 1

Lớp 3

2

Hình tròn

Lớp 1

Lớp 3, lớp 5

Thứ ba


3

Đường trịn

Lớp 5

4

Hình tam giác

Lớp 1

5

Hình tứ giác

Lớp 2

6

Hình chữ nhật

Lớp 2

7

Hình bình hành

Lớp 4

8

Hình thoi

Lớp 4

9

Hình thang

Lớp 5

10

Hình hộp chữ nhật

Lớp 5

11

Hình lập phương

Lớp 5

12

Hình trụ

Lớp 5

13

Hình cầu

Lớp 5
Lớp 3

Lớp 5

 Sự tiến triển của các cách tiếp cận
Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy các cách tiếp cận khái niệm tiến
triển theo cấp lớp. Cách tiếp cận thứ nhất được sử dụng ở lớp 1 và 2, vì đây là các
khái niệm đơn giản, quen thuộc, dễ nhận dạng trong cuộc sống hàng ngày. Lên lớp
3, các khái niệm được tiếp cận theo cách thứ hai nhằm bổ sung thêm các yếu tố về
cạnh và góc của khái niệm. Ở lớp 4 và 5, các khái niệm mới được đưa vào, HS
chưa từng có biểu tượng về nó nên tiếp cận theo cách thứ ba.
Các khái niệm hình vng, hình tam giác, hình chữ nhật xuất hiện 2 lần,
hình trịn xuất hiện 3 lần ở bậc tiểu học. Tại thời điểm gặp gỡ đầu tiên (lớp 1, lớp
2), các khái niệm này được tiếp cận bằng cách thứ nhất (tổng thể thơng qua hình
vẽ). Đến thời điểm gặp gỡ thứ hai (lớp 3, lớp 5), cách tiếp cận các khái niệm này đã
được tiến triển lên một bước là giới thiệu hình vẽ kèm theo các yếu tố về cạnh và
góc. Theo chúng tơi, đây là cách trình bày hợp lý, phù hợp với HS vì các khái niệm
hình vng, hình tam giác, hình chữ nhật, hình trịn là các hình khá quen thuộc
trong cuộc sống hàng ngày và rất dễ nhận dạng (nhìn hình là có thể nhận dạng được
ngay). Do đó, ở các lớp 1 và 2, thể chế mong muốn HS tiếp cận các khái niệm này


một cách tổng thể thơng qua hình vẽ. Lên các lớp trên (lớp 3, lớp 5), HS được tạo
điều kiện gặp lại các khái niệm này nhằm tìm hiểu thêm về các yếu tố cạnh và góc.
Các khái niệm cịn lại HS chỉ được gặp gỡ một lần (lớp 4 hoặc lớp 5), hầu
hết được tiếp cận theo cách thứ ba. Vì là lần gặp gỡ đầu tiên nên các khái niệm này
cần được tiếp cận một cách tổng thể thơng qua hình vẽ, đồng thời phải có mơ tả các

yếu tố về cạnh và góc mới có thể nhận dạng một cách chính xác được. Chẳng hạn:
Nếu khơng mơ tả các yếu tố về cạnh và góc, HS khó có thể phân biệt hình bình
hành và hình thoi.
Về cách tiếp cận khái niệm ở tiểu học, [33, tr.9] viết: «Ở bậc tiểu học, SGK
khơng nêu định nghĩa chính xác các khái niệm hình học như ở bậc THCS mà
thường chỉ dừng lại ở mức độ mô tả một số đặc điểm quan trọng. Chẳng hạn: Khái
niệm hình chữ nhật khơng được định nghĩa như ở lớp 8: «Hình chữ nhật là hình
bình hành có các góc bằng nhau», mà chỉ mơ tả: «Hình chữ nhật có hai cạnh dài
bằng nhau, hai cạnh ngắn bằng nhau và có bốn góc vng». Đây khơng được coi
là định nghĩa chính xác của hình chữ nhật vì đặc điểm (tứ giác) «có 4 góc vng»
đã hiển nhiên «hai cạnh dài bằng nhau, hai cạnh ngắn bằng nhau», do đó đặc điểm
này nêu ra là thừa. Ngồi ra, cách mơ tả này khơng bao quát hết tập hợp tất cả
cách hình chữ nhật, vì đối với hình chữ nhật đặc biệt là hình vng thì ta khơng
phân biệt được cạnh dài, cạnh ngắn».
Về «mối quan hệ» giữa các hình hình học (Chẳng hạn: Hình vng có là
hình chữ nhật đặc biệt khơng? Hình lập phương có phải là hình hộp chữ nhật đặc
biệt khơng?...) [31, tr.95] viết: «Đây là vấn đề cịn gây nhiều «tranh cãi» trong dạy
học Tốn ở Tiểu học, vì nó gặp phải mâu thuẫn giữa yêu cầu chính xác, khoa học
khi cần hiểu đúng về các khái niệm về hình hình học với u cầu có tính sư phạm về
mức độ nhận thức của HS tiểu học đối với việc lĩnh hội các kiến thức đó. Hướng
«giải quyết» là HS chỉ cần nhận dạng các hình hình học ở những dấu hiệu, đặc
điểm bản chất nhất và tường minh để phân biệt hình này với hình khác theo đúng
tên gọi của nó».


Nhận xét
Đặc trưng chủ yếu của cách tiếp cận khái niệm trong HHGN là khái niệm
không được định nghĩa mà chỉ được gán thẳng cái tên kèm theo hình vẽ, đặc điểm.
Các đặc điểm này có thể thừa và khơng bao qt hết các trường hợp đặc biệt của
hình. Ngồi ra, tất cả các khái niệm đều được đưa ra thơng qua hình vẽ. Thuật ngữ

«định nghĩa» chưa được sử dụng. Điều đó cho thấy HHGN khơng được xây dựng
chặt chẽ, hệ thống.
 Với các đại lượng thông dụng, HS cũng hình thành các biểu tượng chủ yếu
dựa trên mơ hình trực quan, thơng qua việc so sánh hoặc qua các ví dụ cụ thể.
 Độ dài đoạn thẳng [21, tr.96]
Thơng qua hai hình vẽ bên
trái (hai cây thước, hai đoạn
thẳng), «HS có biểu tượng về «dài
hơn – ngắn hơn», từ đó có biểu
tượng về độ dài đoạn thẳng thơng
qua các đặc tính «dài – ngắn»
của chúng» [22, tr.120].
«Từ các biểu tượng về «dài hơn – ngắn hơn», HS nhận ra rằng: mỗi đoạn
thẳng có một độ dài nhất định» [22, tr.121].
Như vậy, khái niệm độ dài đoạn thẳng không được định nghĩa, mà ẩn đằng
sau biểu tượng «dài hơn – ngắn hơn».
 Chu vi một hình [23, tr.130]
Chu vi của một hình được giới
thiệu thơng qua hai ví dụ cụ thể: Tính
tổng độ dài các cạnh một hình tam
giác và một hình tứ giác, rồi gán cho
kết quả vừa tìm được cái tên «chu vi».
Từ đó khái qt lên «Tổng độ
dài các cạnh của hình tam giác (hình


tứ giác) là chu vi của hình đó» [23, tr.30]. Đây được xem như là định nghĩa khái
niệm chu vi của hình tam giác (hình tứ giác), nhưng cũng như khái niệm các hình
ở trên, thuật ngữ «định nghĩa» khơng xuất hiện.
 Diện tích một hình [25, tr.150]

«HS có biểu tượng về
diện tích qua hoạt động so
sánh diện tích các hình» [26,
tr.234] (hình A nằm hồn tồn
trong hình B  diện tích hình
A nhỏ hơn diện tích hình B,
hoặc so sánh số ơ vng của
mỗi hình  so sánh diện tích).
Như vậy, khái niệm diện tích một hình khơng được định nghĩa, mà ẩn đằng
sau hoạt động so sánh diện tích các hình.
 Thể tích một hình [29, tr.114]
Cách tiếp cận hồn tồn
tương tự khái niệm diện tích
một hình. Khái niệm thể tích
một hình khơng được định
nghĩa, mà ẩn đằng sau hoạt
động so sánh thể tích các hình.


Nhận xét
Trong HHGN, tất cả khái niệm đại lượng đều được tiếp cận bằng trực giác,
¾ khái niệm khơng được định nghĩa mà ẩn đằng sau các hoạt động so sánh, chỉ có
duy nhất khái niệm được «chu vi» định nghĩa nhờ khái quát lên từ hai ví dụ minh
hoạ (nhưng cũng khơng dùng thuật ngữ «định nghĩa»). Như vậy, HHGN chỉ giúp
HS làm quen và có biểu tượng về các đại lượng này.
1.3.1.2. Tính chất, qui tắc
 Các tính chất hình học đều được đưa ra dựa trên quan sát và đo đạc một
hình cụ thể, sau đó khái quát lên mà không chứng minh. Theo phân loại của Nicolas
Balacheff, đây là kiểu kiểm chứng «Thí nghiệm quyết đốn».
Chẳng hạn: Tính chất «hình chữ nhật có 4 góc vng, có 2

cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» ([25, tr.84])
được rút ra nhờ quan sát và đo đạc.
Biểu tượng hình chữ nhật đã được hình thành ở lớp 2, lên lớp 3 tính chất
hình chữ nhật được phát hiện khi quan sát và đo đạc hình chữ nhật ABCD được vẽ
trên giấy kẻ ơ vng: «Lấy êke kiểm tra 4 góc đỉnh A, B, C, D đều là góc vng»,
«Lấy thước đo chiều dài 4 cạnh để thấy: 2 cạnh dài có độ dài bằng nhau: AB = CD,
2 cạnh ngắn có độ dài bằng nhau: AD = BC», «Từ đó kết luận: hình chữ nhật có 4
góc vng, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» [26, tr.152].
Tính chất «hình thang có
một cặp cạnh đối diện song
song» ([29, tr.91]) được nhận ra
nhờ quan sát.
Sau khi cho HS hình thành biểu tượng hình thang qua hình vẽ cái thang,
«u cầu HS quan sát mơ hình lắp ghép và hình vẽ hình thang ABCD trong SGK để
tự phát hiện đặc điểm của hình thang: Hình thang ABCD có hai cạnh AB và DC
song song với nhau». Từ đó khái qt lên thành tính chất hình thang «HS tự nêu
nhận xét: Hình thang có 2 cạnh đối diện song song với nhau» [30, tr.169].


 Các quy tắc tính chu vi một hình được thiết lập bằng cách giới thiệu một
hình với số đo cụ thể, sau đó nêu thành quy tắc tổng quát mà khơng chứng minh.
-

Chẳng hạn: Quy tắc tính

chu vi hình chữ nhật được thiết
lập thơng qua nhiệm vụ: Tính
chu vi hình chữ nhật ABCD có
chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm.
Đầu tiên, chu vi hình chữ nhật được tính dựa vào định nghĩa chu vi tứ giác:

4  3  4  3  14  cm  , sau đó làm gọn phép tính:  4  3 x2  14  cm  . «Từ đó, GV

nêu quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng
(cùng đơn vị đo) rồi nhân với 2» [26, tr.156].
-

Quy tắc tính chu vi

hình trịn được thiết lập thơng
qua nhiệm vụ: Tính chu vi
hình trịn có bán kính 2cm.
Hình trịn khơng có cạnh nên
khơng thể tính chu vi như
những hình khác. Do đó, trước
tiên [29, tr.97] phải giải thích
chu vi hình trịn thơng qua một
thực nghiệm cho hình trịn có
bán kính 2cm lăn một vịng
trên thước. «Độ dài của một đường tròn gọi là chu vi của hình trịn đó». Từ đó, tìm
được chu vi của hình trịn bán kính 2cm (đường kính 4cm) trong khoảng 12,5cm
đến 12,6cm. Ngồi ra, «Trong tốn học, người ta có thể tính chu vi hình trịn có
đường kính 4cm bằng cách nhân đường kính 4cm với số 3,14:
4  3,14 = 12,56 (cm)»
Từ đó, SGK nêu quy tắc chung: «Muốn tính chu vi của hình trịn, ta lấy đường kính
nhân với số 3,14.


C = d  3,14

(C là chu vi hình trịn, d là đường kính hình trịn).

Hoặc: Muốn tính chu vi của hình trịn, ta lấy 2 lần bán kính nhân với số 3,14.
C = r  2  3,14

(C là chu vi hình trịn, r là bán kính hình trịn)».

 Các quy tắc tính diện tích một hình được thiết lập bằng năm cách:
Cách thứ nhất: giới thiệu một hình với số đo cụ thể, sau đó nêu thành quy
tắc tổng quát mà không chứng minh. Cách này chỉ được sử dụng ở lớp 3, dùng để
tính diện tích hình chữ nhật và hình vng thơng qua số ơ vng.
Chẳng hạn: Quy tắc
tính diện tích hình chữ nhật
được thiết lập thơng qua
nhiệm vụ: Tính diện tích hình
chữ nhật có chiều dài 4cm và
chiều rộng 3cm.
Cách thứ hai: cắt ghép để đưa hình cần tính về hình đã biết cách tính (hình
chữ nhật). Hình sau khi ghép được cơng nhận là hình chữ nhật nhờ trực giác. Cách
này được sử dụng ở lớp 4 và 5.
Chẳng hạn: Quy tắc
tính diện tích hình bình hành
được thiết lập thơng qua việc
cắt ghép hình bình hành thành
hình chữ nhật.

Cách thứ ba: nêu thẳng quy tắc. Cách này được sử dụng duy nhất một lần ở
lớp 5 ([29, tr.99]) khi tính diện tích hình trịn: «Muốn tính diện tích của hình trịn, ta
lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.
S = r  r  3,14

(S là diện tích hình trịn, r là bán kính hình trịn».


Cách thứ tư được sử
dụng duy nhất 1 lần ở lớp 5
([25, tr.109]) khi tính diện tích
xung quanh, diện tích tồn
phần của hình hộp chữ nhật.
Đây là cách tiếp cận hỗn hợp
của cách 1 và cách 2.

Cách thứ năm: suy luận. Để sử dụng cách này thì hình cần tính phải là
trường hợp đặc biệt của hình đã biết quy tắc tính, chẳng hạn: hình vng (hình lập
phương) là hình chữ nhật (hình hộp chữ nhật đặc biệt). Tuy nhiên, khi thiết lập quy
tắc tính diện tích hình vng, [26, tr.24] lưu ý «Chưa sử dụng coi hình vng là
hình chữ nhật đặc biệt để đưa quy tắc tính diện tích hình vng». Cách này chỉ xuất
hiện duy nhất 1 lần ở lớp 5, «nhận biết hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc
biệt để rút ra được quy tắc tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của
hình lập phương từ quy tắc tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của
hình hộp chữ nhật» [30, tr.189]:
«Các mặt của hình lập phương là các hình vng bằng nhau nên: Diện tích
xung quanh của hình lập phương bằng diện tích một mặt nhân với 4. Diện tích tồn
phần của hình lập phương bằng diện tích một mặt nhân với 6» [29, tr.111].
 Quy tắc tính thể tích một hình
Ở bậc tiểu học, SGK chỉ giới thiệu quy tắc tính thể tích hình hộp chữ nhật,
hình lập phương và được thiết lập tương tự các quy tắc tính diện tích. Cụ thể:
Quy tắc tính thể tích hình hộp chữ nhật được thiết lập theo cách thứ nhất,
thơng qua nhiệm vụ tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài 20cm, chiều rộng
16cm và chiều cao 10cm ([29, tr.120]).

Quy tắc tính thể tích hình lập phương được thiết lập theo cách thứ năm: «HS
tự tìm ra được cách tính và cơng thức tính thể tích của hình lập phương như là một
trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật» [30, tr.198].
Bảng 1.2. Bảng thống kê các cách đưa vào tính chất, quy tắc
Quan

Quan sát

Tính tốn

Cắt ghép

Suy

Cơng

sát

và đo đạc

hình cụ thể

và quan sát

luận

nhận

Tính chất

4 / 10

6 / 10

Quy tắc

1/ 14

6 / 14

4 / 14

2 /14

1 / 14

Tổng

5 / 24

6 / 24

6 / 24

4 / 24

2 / 24

1 / 24

cộng

20,83%

25%

25%

16,67%

8,33%`

4,17%

Nhận xét
Trong HHGN, tính chất và các quy tắc được đưa vào hầu hết là dựa trên
quan sát, đo đạc, tính tốn một hình cụ thể, cắt ghép một hình tổng qt về hình
quen thuộc, rồi sau đó khái qt lên thành tính chất, quy tắc chung của hình. Theo
phân loại của Nicolas Balacheff, các tính chất và quy tắc này được kiểm chứng theo
kiểu «Thí nghiệm quyết đốn» và «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong
óc». Thể chế mong muốn HS tiếp cận theo cách này là vì «muốn giữ tính ổn định,
kế thừa những nội dung đã học, giúp HS dễ dàng tiếp thu» [31, tr.86].
Cũng như khi đưa vào một khái niệm, thuật ngữ «định nghĩa» khơng xuất
hiện, thì khi đưa vào một tính chất, quy tắc, cũng khơng có một đề mục nào. Điều
này cho thấy HHGN không được xây dựng chặt chẽ, hệ thống.
1.3.1.3. Tổ chức tốn học
Phân tích chương trình, SGK, SGV tiểu học, chúng tơi nhận thấy có một số
tổ chức tốn học chính như sau:
Tổ chức tốn học OM1:

Kiểu nhiệm vụ T1: «Nhận dạng hình»


T1 xuất hiện tương đối ít (12 lần) nhưng xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Để
giải quyết T1, có những kỹ thuật sau:
1.1 Quan sát hình một cách tổng thể.
1.2 Tìm ra tính chất của các cạnh, góc của hình.
1.3 Gấp giấy.
Kỹ thuật 1.1 được sử dụng chủ yếu ở lớp 1, 2. HS nhận dạng hình một cách
tổng thể, gọi được tên, nhưng chưa cần biết tính chất của hình.
Cơng nghệ θ 1.1: biểu tượng tổng thể của hình mà HS đã được học.
Ví dụ: [23, tr.85], bài tập 1.

SGV hướng dẫn mục tiêu bài này là «củng
cố về nhận dạng và nêu tên gọi các hình»
[24, tr.145], «Khi chữa bài, GV cho yêu cầu
HS trả lời, chẳng hạn: a) Hình tam giác; b)
Hình tứ giác; c) Hình tứ giác; d) Hình
vng; e) Hình chữ nhật; f) Hình vng
(đây là hình vng đặt lệch đi)» [24, tr.146].
Do đó, chúng tơi dự đốn bài tập này chỉ
u cầu HS gọi đúng tên hình mà khơng cần
giải thích gì thêm.

Kỹ thuật 1.2 được sử dụng ở lớp 3, 4, 5 (7 lần). Ở các lớp này, HS phải sử
dụng tính chất của hình để nhận dạng hình.
Cơng nghệ θ 1.2: khái niệm hình kèm theo tính chất của nó.
Ví dụ: [25, tr.84], bài tập 1.

«HS tự nhận biết trước hết bằng trực

giác, sau đó dùng êke để kiểm tra lại
4 góc. Trong các hình đã cho có:
MNPQ, RSTU là hình chữ nhật;
ABCD, EGHI khơng là hình chữ nhật»
[26, tr.152].


[27, tr.102], bài tập 1.

[28] khơng trình bày cách HS nhận
dạng hình bình hành. Tuy nhiên, dựa
vào khái niệm hình bình hành kèm
theo các tính chất của nó, chúng tơi dự
đoán HS sẽ nhận dạng trước hết bằng
trực giác, sau đó dùng thước thẳng có
vạch chia để kiểm tra các cặp cạnh đối
diện bằng nhau.

Lưu ý: Qua hai ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy đối với kỹ thuật 1.2, việc
nhận dạng hình trước hết bằng quan sát, nhưng sau đó HS phải dùng thước và êke
để kiểm tra lại. Điều này thể hiện việc nhận dạng hình bằng quan sát khơng cịn
được thể chế cơng nhận, muốn khẳng định phải kiểm chứng bằng dụng cụ đo. Riêng
lớp 3, các hình được vẽ trên giấy kẻ ơ vng và HS có thể quan sát để kiểm tra các
tính chất của hình. Tuy nhiên, khi giải quyết các nhiệm vụ này, thể chế vẫn yêu cầu
HS phải dùng dụng cụ để kiểm tra lại. Sở dĩ như vậy, theo chúng tôi, là để rèn luyện
cho HS thói quen nhận dạng hình bằng dụng cụ (các bài tập ở lớp 4, 5 các hình đều
vẽ trên giấy trắng khơng kẻ ơ vng), đồng thời luyện tập kỹ năng sử dụng dụng cụ
đo (lớp 3 vừa học về êke).
Kỹ thuật 1.3 được sử dụng duy nhất 1 lần ở lớp 5, ngoài việc nắm các tính
chất của hình, HS cịn phải có khả năng tưởng tượng không gian.

Công nghệ θ 1.2: khái niệm hình kèm theo các tính chất của nó.
Ví dụ: [29, tr.112], bài tập 2.

Dựa vào hướng dẫn của [30, tr.190]:
«Củng cố biểu tượng về hình lập phương
và diện tích xung quanh, diện tích tồn
phần của hình lập phương (chỉ có hình
3, hình 4 là gấp được thành hình lập
phương)», chúng tơi dự đốn HS sẽ dựa
vào biểu tượng hình khai triển của hình
lập phương ([29, tr.108]) để trả lời là


gấp được, các hình cịn lại có thể HS sẽ
gấp thử trong óc hoặc cắt giấy và gấp
thật xem có được hay không.
Bảng 1.3. Bảng thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1
1.1
Lớp 1

1.3

1

Lớp 2

1.2

1

Lớp 3

2

Lớp 4

2

Lớp 5

1

1

3 / 11

7 / 11

1 / 11

27,27%

Tổng cộng

3
63,64%

9,09%

Nhận xét

Mức độ yêu cầu của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ T1 tăng dần theo cấp lớp.
Ở lớp 1 và 2, HS chỉ nhận dạng hình một cách tổng thể bằng quan sát. Từ lớp 3, HS
nhận dạng hình bằng tính chất của hình nhờ quan sát và sử dụng dụng cụ đo. Các
nhiệm vụ thuộc T1 ln có hình vẽ đi kèm, chủ yếu xuất hiện ở lớp 3, 4, 5
(72,73%). Tổng hợp tất cả các kỹ thuật đều dựa trên quan sát, đo đạc, gấp giấy. Từ
đó dẫn chúng tôi đến kết luận đối với kiểu nhiệm vụ T1, thể chế chỉ yêu cầu HS giải
quyết dựa trên quan sát và các hoạt động thực nghiệm mà chưa cần suy luận chứng
minh.
Tổ chức toán học OM2:
Kiểu nhiệm vụ T2: «Tính giá trị đại lượng», bao gồm các kiểu nhiệm vụ
khác nhau sau đây:
T2.1: Tính độ dài đoạn thẳng.
T2.2: Tính chu vi của một hình.