slide bài giảng xstk c.3 các quy luật phân phối xác suất thông dụng

C.3
CÁC QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG

1


QUY LUÂT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
CỦA ĐLNN LIÊN TỤC
1.PHÂN PHỐI CHUẨN
2.PHÂN PHỐI STUDENT
3.P/P CHI BÌNH PHƯƠNG
2


1.PHÂN PHỐI CHUẨN
1.1 X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ

f ( x) =

1
e
2π

− x2
2

;−∞ < x < +∞

thì X được gọi là có phân phối chuẩn chuẩn tắc
Ký hiệu: X~N(0,1)

0

x
3


HÀM LAPLACE
x

Φ( x ) =

1
e
∫
2π 0

−z2
2

dz

F( x ) = 0,5 + Φ( x )
Φ( − x ) = − Φ( x )
x > 4 : Φ( x) = 0,5

Φ (x)

0

x

z
4


CHÚ Ý:
X~N(0,1)
HÀM LAPLACE

P(α < X < β ) = Φ(β ) − Φ(α )
P( X < α ) = 0,5 + Φ(α )
P(α < X) = 0,5 − Φ(α )
P(| X |< α ) = 2.Φ(α )
P(| X |> α ) = 1 − P(| X |≤ α ) = 1 − 2.Φ(α )
5


CHÚ Ý:

X−µ
X ~ N (µ , σ ) ⇒ Z =
~ N(0,1)
σ
2
2

1

f ( x) =
e
σ 2π

−

( x−µ )
2σ 2

HÀM LA PLACE

β−µ
α−µ
P( α < X < β ) = Φ(
) − Φ(
)
σ
σ
α−µ
P( X > α ) = 0,5 − Φ(
)
σ
α−µ
P( X < α ) = 0,5 + Φ(
)
σ
α−µ
−α−µ
P(| X |< α ) = Φ(
) − Φ(

)
σ
σ
P(| X |> α ) = 1 − Φ(| X |≤ α )
6


X ~ N (0,1)
P( X < x) =

1
2π

∫

x

e

−∞

−1 2
z
2

dz = NORM . S . DIST ( x ) = p

p
x
7

EXCEL 2010
X~N(0,1)
P ( X < x ) = NORM . S . DIST ( x )
P ( X > x ) = 1 − NORM . S . DIST ( x )
P (a < X < b ) = NORM . S . DIST (b ) − NORM . S . DIST (a )
P (| X |< x ) = 2 * NORM . S . DIST ( x ) − 1
P (| X |> x ) = 1 − P (| X |< x )
P ( X < x ) = p ⇒ x = NORM . S . INV ( p )

8


EXCEL 2010

X ~ N(µ , σ )
2

P ( X < x ) = NORM . DIST ( x , µ , σ ,1)
P ( X > x ) = 1 − NORM . DIST ( x , µ , σ ,1)
P (a < X < b ) = NORM . DIST (b, µ , σ ,1) − NORM . DIST (a , µ , σ ,1)
P ( X < x ) = p ⇒ x = NORM . INV ( p, µ , σ )

9


VD:
X~N(0,1)
i) TRA BẢNG HÀM LAPLACE

P( X < 1,65) = Φ(1,65) + 0,5 = 0,4505 + 0,5 = 0,9505
P( −1 < X < 2) = Φ( 2) − Φ( −1) = Φ( 2) + Φ(1) = 0,4772 + 0,3413 = 0,8185
P(1,96 < X ) = 0,5 − Φ(1,96) = 0,5 − 0,4750 = 0,0250
P(| X |< 2,58) = 2.Φ( 2,58) = 2(0,4951) = 0,9902

ii) SỬ DỤNG EXCEL
P ( X < 1,65) = NORM . S . DIST (1.65) = 0,950529
P ( −1 < X < 2) = NORM . S . DIST ( 2) − NORM . S . DIST ( −1) = 0,818595
P (1,96 < X ) = 1 − P ( X ≤ 1,96) = 1 − NORM . S . DIST (1.96) = 0,024998
P (| X |< 2,58) = 2 * NORM . S . DIST ( 2.58) − 1 = 0,99012
10


VD:
X: chỉ số thông minh (IQ) của học sinh lứa
tuổi 12-15 có phân phối chuẩn X~N(90,25)
a) Tính tỷ lệ học sinh có chỉ số IQ trên 100.
b) Tính tỷ lệ học sinh có chỉ số IQ trong
khoảng (95,105).
c) Một lớp có 50 học sinh, anh chị tin chắc có
bao nhiêu học sinh có chỉ số IQ trong
khoảng (95,105)

11


HD:
X~N(90,25)

100 − 90

a) P ( X  100) = 0,5 − Φ(
) = 0,5 − Φ( 2)
5
= 0,5 − 0,4772 = 0,0228
( = 1 − P ( X ≤ 100) = 1 − NORM . DIST (100,90,5,1) = 0,02275)

b)

105 − 90
95 − 90
) − Φ(
)
5
5
= Φ( 3) − Φ(1) = 0,4987 − 0,3413 = 0,1574
P (95  X  105) = Φ(

( = NORM . DIST (105,90,5,1) − NORM . DIST (95,90,5,1) = 157305)

c) Y: số học sinh có chỉ số IQ
trong khoảng (95-105)
Y~B(50; 0.157305)
MOD(Y)=8
12


VD:
X( năm) là tuổi thọ của một sản phẩm điện tử A có
phân phối chuẩn X~N(6,4), sản phẩm được bảo hành
2 năm.

a) Tính tỷ lệ sản phẩm cần được bảo hành.
b) Năm 2010 số sản phẩm A bán được là
100 ngàn sản phẩm, theo anh chị tin
chắc có bao nhiêu sản phẩm cần bảo
hành.
c) Nếu tỷ lệ sản phẩm cần bảo hành là 1%
thì thời gian bảo hành là bao lâu ?
13


HD:
a)

2−6
0−6
P ( 0 < X < 2) = Φ(
) − Φ(
) = Φ ( −2) − Φ ( −3) = − Φ ( 2 ) + Φ ( 3) =
2
2
= − 0,4772 + 0,4987 = 0,0215
( = NORM . DIST ( 2,6,2,1) − NORM . DIST (0,6,2,1) = 0,0214)

b) Y: số sản phẩm cần bảo hành trong 100
ngàn sản phẩm
Y~B(100000, 0.0214)
MOD(Y)= 2140
c)

n−6

0−6
P(0 < x < n ) = 0.01 ⇔ Φ(
) − Φ(
) = 0.01
2
2
6−n
⇒ Φ(
) = Φ( 3) − 0.01 = 0.4987 − 0.01 = 0.4887
2
6−n
⇒
= 2.28 ⇒ n = 1.44
2

14


VD:
X(phút) là thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên A là
một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có phân phối chuẩn. Biết
rằng 76,42% số ngày A đi từ nhà đến trường mất trên 22
phút và 10% số ngày mất trên 28 phút.
a) Tính thời gian trung bình A đi từ nhà đến
trường.
b) Giả sử A xuất phát từ nhà trước giờ vào
học 26 phút. Tính xác suất A bị trể giờ vào
học.
c) A cần phải xuất phát từ nhà trước giờ vào
học bao nhiêu phút để xác suất bị trể vào

học của A bé hơn 3%.

15


HD:

a)
22 − µ

0.5 − Φ( σ ) = 0.7642
P( X > 22) = 0.7642


⇔

 P( X > 28) = 0.10
0.5 − Φ( 28 − µ ) = 0.10

σ

 µ − 22
 µ − 22
Φ( σ ) = 0.2642
 σ = 0.72
µ = 24,16


⇔
⇔

⇔
σ = 3
Φ( 28 − µ ) = 0.40
 28 − µ = 1.28

 σ
σ


b)
26 − 24,16
P( X > 26) = 0.5 − Φ(
) = 0.5 − 0.0910 = 0.409
3
c)
n − 24,16
P( X > n ) < 0.03 ⇔ 0.5 − Φ(
) < 0.03 ⇔ n > 29,83
3
16


VD:
X(kwh) là lượng điện một hộ dân sử dụng trong một tháng có
phân phối chuẩn

X ~ N(60kwh, (40kwh ) 2 )

Giá tiền điện là 1 ngàn đồng /kwh nếu sử dụng trong định mức
70kwh.

Nếu sử dụng vượt định mức thì phải trả 3 ngàn đồng cho 1 kwh
vượt định mức.
a) Tính xác suất một hộ phải trả số tiền từ
160-220 ngàn đồng/tháng.
b) Tính xác suất một hộ phải trả số tiền trên
70 ngàn đồng/tháng.
c) Nếu thành phố có 500 ngàn hộ, anh chị tin
chắc nhất có bao nhiêu hộ sử dụng vượt
định mức
17


HD:
a)
 X *1
Y =
70 + ( X − 70) * 3
 X *1
Y =
 3 X − 140

khi : X ≤ 70
khi : X > 70
khi : X ≤ 70
k hi : X > 70

P (160 ≤ Y ≤ 220) = P (160 ≤ 3 X − 140 ≤ 220)
120 − µ
100 − µ
= P (100 ≤ X ≤ 120) = Φ(

) − Φ(
)
σ
σ
120 − 60
100 − 60
= Φ(
) − Φ(
) = Φ(1,5) − Φ(1) = 0,092
40
40
( = NORM . DIST (120,60,40,1) − NORM . DIST (100,60,40,1) =
= 0,0918)
18


b)

c)

P (Y > 70) = P ( 3 X − 140 > 70) = P ( X > 70)
70 − µ
= 0 ,5 − Φ (
) = 0,5 − Φ(0,25) = 0,4013
σ
( = 0,5 − NORM . DIST (70,60,40,1) = 0,4013)

Z: số hộ sử dụng vượt định mức trong 500 ngàn
hộ
Z~B(500.000; 0,4013)

Số hộ tin chắc nhất sử dụng vượt định mức
=MOD(Z)=200.650 hộ
19


1.2.TÍNH XẤP Xỉ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
BỞI PHÂN PHỐI CHUẨN
X~B(n,p)
.Nếu n lớn ( n≥30 )
.p không gần 0 hoặc không gần 1
Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối
chuẩn
X~N(np,npq)
k 2 − np
k1 − np
P ( k1 ≤ X ≤ k 2 ) = Φ (
) − Φ(
)
npq
npq
= NORM . DIST ( k 2 , np, npq ,1) − NORM . DIST ( k1 , np, npq ,1)
20


VD:
Theo một khảo sát về mức độ hài lòng của người dân
với các dịch vụ công, tỷ lệ người dân than phiền về
dịch vụ cấp chủ quyền nhà là 40%.
Tính xác suất trong 100 hộ được hỏi có:
a) Từ 40 đến 50 hộ than phiền.

b) Ít nhất 50 hộ than phiền.
c) Nhiều nhất 60 hộ than phiền.
GIẢI:
X: số hộ than phiền, X~B(100;0,40)
a) NX: n=100 lớn, p=0,40
Tính xấp xỉ bởi phân phối chuẩn
X~N(np=40,npq=24)
21


a)
50 − np
40 − np
P(40 ≤ X ≤ 50) = Φ(
) − Φ(
) = 0.5236
npq
npq

b)
100 − np
50 − np
P( X ≥ 50) = Φ(
) − Φ(
) = 0,0262
npq
npq

c)
60 − np

0 − np
P( X ≤ 60) = Φ(
) − Φ(
)=1
npq
npq
22


VD:
Tại một trường mẫu giáo có 54% trẻ em là trai.
Chọn ngẫu nhiên 200 trẻ em của trường, tính xác suất
số bé gái nhiều hơn số bé trai.

23


HD:
X: số trẻ em trai trong 200 em
X~B(200;0.54)
Tính xấp xỉ:
X ~ N ( np = 108, npq = 49.68)
P ( X ≤ 99) = P (0 ≤ X ≤ 99)
99 − 108
0 − 108
= Φ(
) − Φ(
) = 0.1003
7.0484
7.0484

( = NORM . DIST (100,108,7.0484,1) − NORM . DIST (0,108,7.0484,1))

24


VD:
Ký túc xá Trường Đại học KT có 500 sinh viên, nhà
ăn của trường phục vụ cơm trưa cho sinh viên theo
hai ca:
ca 1 : từ 11.00 giờ – 11.30 giờ.
ca 2 : từ 11.40 giờ - 12.10 giờ.
Sinh viên có thể chọn bất kỳ ca nào để dùng cơm.
Theo Anh Chị nhà ăn cần có ít nhất bao nhiêu chỗ
ngồi để xác suất luôn luôn đáp ứng đủ chỗ ngồi cho
sinh viên đến dùng cơm trưa không bé hơn 95%.

25