slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán các định lý giới hạn ứng dụng

Chương 5
CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
ỨNG DỤNG


§1. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV




Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có
E(X), Var(X) hữu hạn. Khi đó ε > 0 ta có

Var(X)
P ( X − E(X) < ε ) ≥ 1 −
2
ε
Bất đẳng thức tương đương

Var(X)
P ( X − E(X) ≥ ε ) ≤
2
ε


§2. LUẬT SỐ LỚN
1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV
2. HỆ QUẢ
3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI

1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV


Dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, …
2
thỏa mãn E(X i ) =μ i , Var(X i ) =σ i ,
cov(Xi, Xj) = 0
i≠j (*)



Khi đó:
Nếu

1
lim 2
n →∞ n

n

∑σ
i =1

2
i

=0

thì
n

1
X1 + X 2 + ... + Xn
Xn =
hội tụ đến
∑ μi
n i=1
n
theo xác suất.


2. HỆ QUẢ


Giả sử dãy các đại lượng ngẫu
nhiên X1, X2, … độc lập, có cùng

phân phối, có kỳ vọng E(X i ) =μ ,
2

Var(Xi ) =σ
n
phương sai
hữu hạn.
1
P
Xn = ∑ Xi  µ
→
n i=1
Khi đó

(

lim khác
Nói cách P Xn
n →∞

)

−µ < ε =1


Ý NGHĨA
Mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối có thể nhận giá trị khác nhiều so
với kỳ vọng củan chúng (μ) nhưng trung bình
1
số học Xn =
X i với n khá lớn lại nhận giá
n i=1 (khi
trị gần
ε > 0 khá nhỏ) với
xác suất khá lớn (gần 1)
 Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý
thuyết mẫu (phần thống kê)

μ

∑

3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI

n A là tần suất xuất hiện
Giả sử
n

biến cố A trong n phép thử độc
lập và p là xác suất xuất hiện
biến cố A trong mỗi phép thử.
Khi đó với mọi ε > 0 ta có:

 nA

lim P 
− p < ε ÷= 1
n →∞
 n



Ý NGHĨA
Khi số phép thử tăng lên vơ
hạn ta có tần suất của một
biến cố ổn định xung quanh
giá trị xác suất của biến cố
đó.


§3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM



Giả sử dãy các đại lượng
ngẫu nhiên X1, X2, … độc lập
có cùng phân phối với kỳ
vọng E(Xi ) =μ , phương sai

Var(Xi ) =σ



0)
Đặt

Zn =

2

(hữu hạnnμ
khác
X1 + X 2 + ... + Xn -

σ n


§3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Khi đó với mọi

x∈R

ta có:

lim P(Z n < x) = P(Z < x)
n →∞

Trong đó đại lượng ngẫu nhiên Z có
phân phối chuẩn chuẩn hóa Ζ : Ν(0,1)

P(Z < x) =

1
2π

x

∫

t2
−
2

e dt

−∞

Nói cách khác Zn hội tụ theo phân phối
đến Z.


NHẬN XÉT (1/2)





Định lý này cho thấy dù các Xi có thể
là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hay
liên tục, độc lập có cùng phân phối
nào đó, nhưng tổng chuẩn hóa Zn
của chúng, khi n đủ lớn, có phân
phối xấp xỉ phân phối N(0, 1)
Điều này cũng giải thích vì sao phân
phối chuẩn phổ biến và quan trọng
trong thực tế.


NHẬN XÉT (2/2)

Từ định lý Giới hạn trung tâm ta
cũng suy ra được một kết quả
quan trọng trong thống kê :
trường hợp Xi khơng có phân phối
chuẩn (nhưng thỏa mãn các giả
thiết),
n
1
Xi có phân
khi n đủ lớn thì X =

∑
n

i=1


MỘT ÁP DỤNG KHÁC
Cho

X : B(n, p) với n khá lớn ,

p không quá gần 0 và không quá
gần 1
(np ≥ 10 và n(1 – p) ≥ 10)
Ta có thể xấp xỉ

(

X : N np,

(

np(1 - p)

)

2

)


VÍ DỤ
Một nhà hàng khách sạn phải phục vụ

buổi ăn trưa cho một đồn có 900
khách. Nhà hàng phục vụ làm hai
đợt liên tiếp. Giả sử mỗi khách
hàng được chọn ngẫu nhiên theo
đợt 1 hoặc đợt 2. Hỏi nhà hàng
phải có ít nhất bao nhiêu chỗ ngồi
để xác suất khơng có đủ chỗ ngồi
cho khách đến ăn bé hơn 2%?


GIẢI




Gọi X là số người chọn ăn đợt 1, khi đó
số người chọn ăn đợt 2 là 900 – X
ỉ 1ử
Ta cú th xem X : B ỗ900; ữ , v xp x
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
2ứ
2
X : N ( 450; 15 )

( n = 900 khá lớn
1

p=
không quá gần 0 và không quá gần 1;
2

np(1 - p) = 15


VÍ DỤ




Gọi k là số chỗ ngồi dành cho buổi
ăn trưa phục vụ cho đồn khách.
Ta cần tìm k nhỏ nhất sao cho:

P ( (X ≤ k) ∩ (900 − X ≤ k) ) > 98%
⇔

P(900 − k ≤ X ≤ k)

k
(Chú ý:
mãn)

< 900 - k

> 98%

không thỏa

VÍ DỤ
 k − 450 
 450 − k 
⇔ φ
÷− φ  15 ÷ > 98%
 15 


 k − 450 
⇔
2φ 
> 0, 98
÷
 15 
 k − 450 
⇔
φ
> 0, 49
÷
 15 
Tra bảng tích phân Laplace, ta chọn k
sao cho:
k − 450
> 2, 33
( φ(2,33) ≈ 0,4901)
15
Từ đó

k ³ 485