slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán các quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 3
CÁC QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
§1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
VÍ DỤ MỞ ĐẦU
TUNG MỘT XÚC XẮC 4 LẦN
TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ MẶT 6
XUẤT HIỆN 3 LẦN
DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI
Dãy n phép thử được gọi là dãy
phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
• n phép thử độc lập
• Mỗi phép thử có 2 kết cục A,
• Xác suất để biến cố A xảy ra
trong mỗi phép thử là như nhau
và bằng p
A
DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI
Bài toán Gọi X là số lần biến cố A
xảy ra trong n phép thử. Tính xác
suất P(X = k) (k = 0, 1, 2, …, n)
Gọi A
i
là biến cố “biến cố A xảy ra
trong phép thử thứ i”

Để dễ hình dung vấn đề, ta xét
trường hợp n = 3


Đặt q = 1 – p
DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI
1
A
A
1
q
A
1
p
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
1
A
VÍ DỤ
(Áp dụng công thức cộng cho các biến cố
xung khắc từng đôi)
(Áp dụng công thức nhân cho các biến cố
độc lập)
( )

( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(X 2) P A A A A A A A A A
P A A A P A A A P A A A
= = ∪ ∪
= + +
( ) ( )
( )
1 2 3 1 2 3
1 2 3
P(A )P(A )P A P(A )P A P(A )
P A P(A )P(A )
= +
+
PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
P(X=2) = 3p
2
(1 – p)
Tổng quát

k k n k
n
P(X k) C p (1 p)
−
= = −
ĐỊNH NGHĨA
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có
phân phối nhị thức với tham số n, p
(0 < p < 1 , n là số nguyên dương) ,

ký hiệu là , nếu tập các giá
trị có thể có của X là {0, 1, 2, …, n}
với xác suất tương ứng
k = 0, 1, …, n

k k n k
n
P(X k) C p (1 p)
−
= = −
X B(n,p):
PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Định lý
Nếu thì
(a) E(X) = np
(b) Var(X) = npq (q = 1 – p)
(c)
X B(n,p):
(n 1)p 1 Mod(X) (n 1)p+ - £ £ +
PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 1 Một bài trắc nghiệm của một
game show trên truyền hình có 6 câu
hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời
trong đó chỉ có một phương án trả
lời đúng. Một người làm bài trắc
nghiệm này bằng cách chọn ngẫu
nhiên 1 trong 5 phương án trả lời
cho mọi câu hỏi. Tính xác suất để
người này trả lời đúng ít nhất 3 câu.
PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 2 Một cửa hàng có 5 lô sản
phẩm. Mỗi lô có 10 sản phẩm
trong đó có 9 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu. Một khách hàng
chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 3 sản
phẩm. Nếu lô hàng nào có 3 sản
phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt
thì mua lô hàng đó. Tính xác suất
để có đúng 4 lô hàng được mua.
PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 3 Một bài trắc nghiệm có 10 câu
hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả
lời trong đó chỉ có một phương án trả
lời đúng. Một sinh viên làm bài trắc
nghiệm này bằng cách chọn ngẫu
nhiên một trong 4 phương án trả lời
cho mọi câu hỏi. Biết rằng mỗi câu
trả lời đúng được 2 điểm, mỗi câu trả
lời sai bị trừ 1 điểm. Tính xác suất để
sinh viên này được 14 điểm.
PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 4 Một phân xưởng có 50 máy hoạt
động độc lập với nhau. Xác suất để mỗi
máy bị hỏng trong một ca sản xuất là
0,09
a) Tính xác suất để trong một ca sản
xuất có trên 90% máy không bị hỏng.
b) Tìm số máy bị hỏng trung bình và số
máy bị hỏng tin chắc nhất trong một
ca sản xuất.

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Ví dụ mở đầu Một lô hàng có 10
sản phẩm trong đó có 6 sản
phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng
này ra 3 sản phẩm. Tính xác
suất để trong 3 sản phẩm
được lấy ra có 2 sản phẩm tốt
Định nghĩa
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là
có phân phối siêu bội với tham số N, M, n
(N, M, n
∈
N và 0 < M < N , 0 < n < N) ,
ký hiệu là , nếu tập hợp các
giá trị có thể có của X là các số tự nhiên k
thỏa mãn
với xác suất tương ứng
X H(N,M,n):
max{0;n (N M)} k min{n,M}- - £ £
k n k
M N M
n
N
C .C
P(X k)
C
-
-
= =

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Định lý
Nếu thì

E(X) = np
( ; q = 1 – p)


X H(N, M,n):
M
p
N
=
N n
Var(X) npq
N 1
-
=
-
§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Ví dụ Một lô hàng có 10 sản
phẩm, trong đó có 8 sản
phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy
ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô
hàng này. Gọi X là số sản
phẩm tốt trong 2 sản phẩm
được lấy ra.
§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Quy luật phân phối xác suất

của X được biểu thị bởi
bảng
X 0 1 2
P
28
45
16
45
1
45
VÍ DỤ
Var(X) = 0,28444
8
E(X) 2. 1,6
10
= =
§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Ví dụ Một lô hàng có 100 sản
phẩm, trong đó có 90 sản phẩm
tốt. Lấy ngẫu nhiên 15 sản
phẩm từ lô hàng này. Tìm số sản
phẩm tốt trung bình và phương
sai của số sản phẩm tốt trong
15 sản phẩm được lấy ra.
§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
►Sử dụng hàm trong Excel

Để tính P(X = x), ta dùng
=HYPGEOMDIST(x,n,M,N)
Ví dụ:

=HYPGEOMDIST(1, 2, 8, 10) cho
0.355556 ; P(X = 1) 0,356
X H(N,M,n):
X H(10,8, 2):
»
§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Ta có thể xấp xỉ phân phối
H(N,M,n) bởi phân phối
B(n,p) với khi
khá nhỏ. Xấp xỉ khá tốt khi
M
p
N
=
n
N
n
0,05
N
<
§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Ví dụ

Ta tính P(X=3)
cho 0.419053
cho 0.4096
X H(100,80, 4):
= HYPGEOMDIST(3, 4, 80, 100)
= BINOMDIST(3, 4, 0.8, 0)
§3. PHÂN PHỐI POISSON

Định lý (Giới hạn Poisson)
Nếu sao cho
và vẫn là hằng số thì với
mọi số nguyên không âm k ta
có:
n ® ¥
p 0®
λ = np
k
k k n k
n
n
e
lim C p (1 p)
k !
−λ
−
→∞
λ
− =
ĐỊNH NGHĨA
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là
có phân phối Poisson với tham số
( > 0), ký hiệu là
nếu tập các giá trị có thể có của X là
{0, 1, 2, …} (tập các số tự nhiên N)
với xác suất tương ứng

k = 0, 1, 2, …
λ

λ
X P:
λ( )
k
P(X k) e
k !
−λ
λ
= =