slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất

Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
QUY LUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT


§1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
(BIẾN NGẪU NHIÊN)

1. ĐỊNH NGHĨA
2. PHÂN LOẠI
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN


1. KHÁI NiỆM

τ

● Cho phép thử
có khơng
gian mẫu là S. Một ánh xạ
từ S vào R được gọi là một
đại lượng ngẫu nhiên (hay
còn gọi là biến ngẫu nhiên).
● Ta thường biểu thị đại lượng
ngẫu nhiên bởi các ký hiệu
X, Y,…


ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
S

s•

X(s) = r
-∞

r

Mỗi biến cố sơ cấp có tương
ứng với một số thực duy nhất

R
+∞


2.

PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG
NGẪU NHIÊN

Ta xem đại lượng ngẫu nhiên X là
một ánh xạ từ không gian mẫu S
vào tập số thực R.
• Nếu X(S) là một tập hợp hữu
hạn hoặc vơ hạn đếm được ta nói
X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
• Nếu X(S) chứa một khoảng số
(khoảng (a; b) với a < b) ta nói X
là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

VÍ DỤ

Q uan sát tại một siêu thị

khi siêu thị này mở cửa,
gọi X là số người vào mua
hàng tại siêu thị này trong
một ngày thì X là đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc.


VÍ DỤ
•Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn
do một cơng ty sản xuất, gọi Y
là tuổi thọ của bóng đèn đó thì Y
là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
•Chọn ngẫu nhiên một con gà
trong một đàn gà, gọi Z là trọng
lượng của con gà đó thì Z cũng
được xem là đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.


§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT
1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT


1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Đại lượng ngẫu nhiên
rời rạc X có thể nhận
các giá trị x1, x2, …, xn.
Xác suất để X nhận giá
trị xi là pi, ta ký hiệu
P(X = xi) = pi
(i = 1, 2, …, n)


BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Ta lập thành bảng dạng

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

∀i

trong đó pi > 0
n

và

∑p
i=1

i

=1


BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Bảng này được gọi là
bảng phân phối xác suất
của đại lượng ngẫu
nhiên X, nó cho biết quy
luật phân phối xác suất
của X.


VÍ DỤ
Một lơ hàng có 10 sản phẩm,

trong đó có 8 sản phẩm tốt và
2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên
2 sản phẩm từ lơ hàng này.
Tìm quy luật phân phối xác
suất của số sản phẩm tốt
trong 2 sản phẩm được lấy ra.


GIẢI
Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản
phẩm được lấy ra. X là đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2

C2
1
2
P(X = 0) = 2 =
C10 45
1
8

1
2

C ×C
16
P(X = 1) =
=
2
C10

45

2
8
2
10

C
28
P(X = 2) =
=
C
45


VÍ DỤ

Quy luật phân phối xác
suất của X được biểu thị
bởi bảng
X
0
1
2
P

1
45

16

45

28
45


2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

Để mô tả quy luật phân
phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc
ta dùng bảng phân phối
xác suất, trong trường
hợp đại lượng ngẫu nhiên
liên tục ta dùng hàm mật
độ xác suất.


2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
Hàm mật độ xác suất f(x) của
đại lượng ngẫu nhiên liên tục X
nào đó, thỏa mãn các điều kiện
sau:
f(x) ≥ 0
∀x ∈ R
• +∞
•

∫

−∞

f (x)dx = 1

b

P(a < X < b) = ∫ f(x)dx
•
a


2. LƯU Ý

X là đại lượng ngẫu nhiên
liên tục, ta có:

P(X = x 0 ) = 0

∀x 0 ∈ R


2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
Ví dụ Nhóm nghiên cứu thị trường
của một công ty điện thoại
khảo sát 120 thuê bao ở một
địa phương mà cơng ty này mới
phủ sóng trong thời gian gần
đây. Thời gian sử dụng mobile
phone của các thuê bao này
trong một tháng được khảo sát

cho ở bảng sau:


2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
Thời gian sử dụng
(phút)

300 – ít hơn 320
320 – ít hơn 340
340 – ít hơn 360
360 – ít hơn 380
380 – ít hơn 400
400 – ít hơn 420
420 – ít hơn 440
440 – ít hơn 460

Số thuê bao
(tần số)

3
9
15
24
30
18
15
6


2. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

§3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN

KỲ VỌNG TOÁN
PHƯƠNG SAI
ĐỘ LỆCH CHUẨN
MODE
MEDIAN
SKEWNESS
KURTOSIS


§3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Trong thực tế, đối với đại lượng ngẫu

nhiên ta không chỉ cần biết quy
luật phân phối xác suất của nó
(dưới dạng bảng phân phối xác
suất, hàm mật độ xác suất hay hàm
phân phối xác suất) mà còn cần
quan tâm đến những thông tin cô
đọng phản ánh tổng hợp những đặc
trưng quan trọng của đại lượng
ngẫu nhiên.

1. KỲ VỌNG TOÁN
Định nghĩa
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có
bảng phân phối xác suất

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn


1. KỲ VỌNG TOÁN
Kỳ vọng của X, ký hiệu là E(X),
được xác định như sau:

n

E(X) = ∑ x i p i
i=1


1. KỲ VỌNG TOÁN
Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm
+∞

∫

mật độ xác suất là f(x)(và xf (x)dx hội
−∞
tụ tuyệt đối)
Kỳ vọng toán của X, ký hiệu là E(X),
xác định :

E(X) =

+∞

∫ xf (x)dx

−∞