bài toán tự tương quan

Bài 8: Tự tương quan

117
BÀI 8. TỰ TƯƠNG QUAN


Mục tiêu

Sau khi kết thúc bài, học viên sẽ hiểu
được những vấn đề sau đây:
• Hiện tượng Tự Tương Quan (TTQ) xảy
ra khi nào?
• Nguyên nhân và hậu quả của TTQ.
• Làm thế nào để phát hiện TTQ.
• Các biện pháp khắc phục TTQ.

Nội dung

Hướng dẫn học
• TTQ là gì?
• Nguyên nhân và hậu quả của TTQ.
• Phát hiện hiện tượng TTQ trong mô hình.
• Khắc phục TTQ.




Thời lượng

• 8 tiết


• Cần nắm được bản chất của hiện
tượng đó là khi một giả thiết của
phương pháp OLS không thỏa mãn.
• Tập trung vào hậu quả chính của hiện
tượng này đó là làm cho các ước
lương OLS sẽ là các ước lượng không
hiệu quả.
• Hiểu rõ ý tưởng của các phương pháp
phát hiện ra hiện tượng.
• Hiểu rõ ý tưởng của các phương pháp
khắc phục hiện tượng.



Bài 8: Tự tương quan

118
TÌNH HUỐNG DẪN NHẬP
Tình huống
Khi nghiên cứu một vấn đề nào đó bằng phương pháp kinh tế lượng,
ta đều sử dụng một mô hình hồi quy và để ước lượng mô hình hồi quy,
ta thường dùng phương pháp OLS (bài học số 3). Tuy nhiên, để thực
hiện được phương pháp OLS thì về mặt kỹ thuật, một giả thiết trong
mô hình cần thỏa mãn. Đó là giả thiết về sự không có sự tương quan
giữa các nhiễu ngẫu nhiên (không có tự tương quan). Về bản chất thì
giả thiết này muốn ngụ ý rằng quan sát của biến phụ thuộc ở thời điểm
này sẽ không có quan hệ với quan sát của biến phụ thuộc ở thời điểm khác.

Ta lấy ví dụ cụ thể, Việt Nam khi nghiên cứu về GDP phụ thuộc vào vốn đầu tư theo các năm.
Vì GDP của Việt Nam nói riêng và các quốc gia trên thế giới nói chung thay đổi thường có
tính chu kì nên các quan sát ở thời điểm khác nhau thường có quan hệ nào đó với nhau.

Câu hỏi

Vấn đề là hậu quả của việc giả thiết trong mô hình kinh tế lượng không thỏa mãn là gì?



Bài 8: Tự tương quan

119
Mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển đã dựa vào một giả thiết hết sức quan trọng là giữa các sai số
ngẫu nhiên
i
u không có sự tương quan, tức là
(
)
ij
Euu 0
=
,
ij
∀
≠
. Tuy nhiên trong thực tế, đối
với số liệu dạng chuẩn thời gian, giả thiết này thường hay bị vi phạm. Do vậy các câu hỏi đặt ra
là trong trường hợp này ta còn có thể áp dụng phương pháp OLS hay không, sự vi phạm giả thiết
này sẽ dẫn tới hậu quả gì và biện pháp khắc phục hiện tượng đó bằng biện pháp nào. Bài này sẽ

giải quyết các vấn đề nêu trên.
8.1. Bản chất của hiện tượng tự tương quan.
Mô hình hồi quy được gọi là có hiện tượng tự tương
quan nếu các sai số ngẫu nhiên
i
u không độc lập với
nhau, tức là
()
ij
Cov u , u 0, i j≠∀≠. Bản chất của vấn
đề là do đâu. Trong các bài đầu đã chỉ ra nguyên nhân
sự có mặt trong mô hình của yếu tố ngẫu nhiên
i
u,
được gọi là sai số ngẫu nhiên, đó là:
•
Có những biến nào bị loại khỏi mô hình;
•
Bản chất phi tuyến của mô hình bị bỏ qua;
•
Có các yếu tố ngẫu nhiên và các tác động không dự đoán được.
Các nhân tố trên đây có thể dẫn đến hiện tượng các sai số tương quan với nhau.
Giả sử trong mô hình có hiện tượng tự tương quan, tức là
(
)
ts
Cov u , u 0, t s
≠
∀≠
Khi đó sai số ở giai đoạn t là tương quan với sai số ở giai đoạn s. Ta có biểu diễn hiện

tượng tự tương quan qua sự phụ thuộc giữa các sai số theo phương trình như sau:
BÀI TOÁN
Giả thiết 1: Trong mô hình

t12t t
YXu=β +β + (8.1)
Sai số
t
u phụ thuộc vào sai số
t1
u
−
ở giai đoạn t –1 theo phương trình

tt1t
uu
−
=ρ +ε (8.2)
với
11− <ρ< .
Giả thiết 2: Các sai số
t
ε trong (8.2) là độc lập với nhau và
()
(
)
22
tt
E0;Eε= ε=σ<∞
8.2. Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan

Xét mô hình hồi quy có hiện tượng tự tương quan
t122t33t kktt
Y X X X u
=
β+β +β + +β + (8.3)
tt1t
uu ,1 1
−
=
ρ +ε − <ρ<


Bài 8: Tự tương quan

120
Ta sẽ áp dụng phương pháp OLS để ước lượng phương
trình hồi quy (8.3). Do các giả thiết của OLS bị phá vỡ
nên ta cần phải biến đổi (8.3) để đưa về dạng thích hợp.
Cochrane và Orcutt đã đưa ra phương pháp biến đổi như
sau. Từ (8.3) ta có
() () () ()
12 3 k t1
t1 2t1 3t1 kt1
Y X X X u
−
−−−−
=β +β +β + +β + (8.4)
Ta lấy (8.3) trừ đi (8.4) nhân với
ρ
, ta có :

()
()
()
(
)
t122t
t1 2t1
YY 1 X X
−−
−ρ =β −ρ +β −ρ
()
()
()
(
)
33t kkt
3t 1 kt 1
X X X X
−−
+β −ρ + +β −ρ
tt1
uu
−
+
−ρ . (8.4)
Đặt:
()
*
tt
t1

YY Y
−
=−ρ ;
()
*
it it
it 1
X X X ,i 2,3, , k
−
=−ρ = ;
()
*
11
1β=β −ρ.
Từ đó dẫn đến
** * * *
t122t33t kktt
Y X X X=β +β +β + +β +ε . (8.5)
Mô hình này trở thành mô hình hồi quy tuyến tính thông thường với các giả thiết cần
thiết được đảm bảo.Vậy áp dụng OLS cho (8.5) ta ước lượng được các hệ số hồi quy.
8.3. Phát hiện hiện tượng tự tương quan.
Trong mục này chúng ta xem xét một số phương
pháp xác định hiện tượng tự tương quan của mô hình
hồi quy.
•
Kiểm định Durlin – Watson
Kiểm định Durlin – Watson là một trong những
phép kiểm định được dùng đầu tiên và khá hiệu quả
để phát hiện hiện tượng tự tương quan trong mô
hình hồi quy. Xét mô hình hồi quy

t122t33t kktt
Y X X X u=β +β +β + +β + (8.6)
Rõ ràng nếu giữa các sai số có hiện tượng tự tương quan bậc 1 thì mối quan hệ
giữa chúng có thể biểu diễn dưới dạng phương trình hồi quy
tt1t
uu
−
=ρ +ε , 11
−
<ρ< .
Khi ấy việc kiểm định tính tự tương quan bậc 1 của sai số trong mô hình (8.6) có
thể tiến hành thông qua thống kê Durbin – Watson


Bài 8: Tự tương quan

121
()
n
2
tt1
t2
n
2
t
t1
ˆˆ
uu
d
ˆ

u
−
=
=
−
=
∑
∑
(8.7)
Ta có thể biến đổi (8.7) để thu được công thức sau:
tt1
2
t
ˆˆ
uu
ˆ
d 2(1 ) 2(1 )
u
−
=− ≈−ρ
∑
∑
,
với
ˆ
ρ
là ước lượng của
ρ
. Do
ˆ

||1
ρ
≤ nên 0d4
≤
≤ . Khi d2≈ thì 0ρ= , do đó
nếu giá trị thống kê
d2≈ thì có thể kết luận trong mô hình không có tự tương
quan bậc một giữa các sai số. Ta có thể thiết lập giả thuyết
0
H: 0ρ= với đối
thuyết
1
H: 0ρ> hoặc
1
H: 0
ρ
< . Dựa trên lý luận đó, có thể tiến hành các bước
kiểm định như sau:
o Bước 1 : Ước lượng mô hình OLS và tính phần dư
t
ˆ
u.
o Bước 2: Tính giá trị thống kê Durbin – Watson (8.7) và tra bảng giá trị tới hạn
của thống kê Durbin – Watson để có các giá trị tới hạn trên
U
d và giá trị tới
hạn dưới
L
d của thống kê đó.
o Bước 3a: Xét bài toán kiểm định (tương quan chuỗi dương)

0
1
H: 0
H: 0
ρ=
⎧
⎨
ρ>
⎩

Khi đó,
Nếu
L
dd
≤
thì bác bỏ giả thuyết
0
H;
Nếu
U
dd≥ chấp nhận giả thuyết
0
H;
Nếu
LU
ddd<< thì chưa kết luận được gì.
o Bước 3b: Xét bài toán kiểm định (tương quan
chuỗi âm)
0
1

H: 0
H: 0
ρ=
⎧
⎨
ρ<
⎩

Nếu
U
d4d
<
− thì chấp nhận
0
H;
Nếu
UL
4d d 4d
−
≤≤− thì chưa có kết luận ;
Nếu
L
4d d 4
−
<< thì bác bỏ
0
H;
Kết hợp hai trường hợp trên, ta có quy tắc kiểm định Durbin – Waston như
trong sơ đồ sau:

Bài 8: Tự tương quan

122






•
Phương pháp kiểm định Breusch-Godfrey
Phương pháp kiểm định Durbin – Watson trên đây chỉ cho phép phát hiện tự tương
quan bậc một, tức là chỉ cho biết quan sát tại mỗi thời điểm có phụ thuộc vào quan
sát ở thời điểm liền kề hay không. Phương pháp đó không phát hiện được tự tương
quan bậc cao hơn 1, tức là không cho biết liệu có mối quan hệ giữa các quan sát ở
cách xa nhau hơn 1 hay không. Khi cỡ mẫu lớn, tức là khi số liệ
u được quan sát ở
khoảng thời gian dài, ta có thể sử dụng phương pháp Breusch-Godfrey để phát
hiện quan hệ tự tương quan bậc cao. Xét mô hình
t122t kktt
Y X X u=β +β + +β + . (8.8)
Giả sử mối quan hệ giữa các thành phần nhiễu
t
u có thể được biểu diễn thành
phương trình tự hồi quy
t1t12t2 ptpt
u u u u
−− −

=ρ +ρ + +ρ +ε , (8.9)
trong đó
t
ε
là thành phần nhiễu ngẫu nhiên thuần túy có kỳ vọng bằng 0 và
phương sai không đổi. Ta có bài toán kiểm định giả thuyết
01 2 p
1i
H : 0
H : 0,i 1,2, ,p
ρ=ρ= =ρ=
⎧
⎨
∃ρ ≠ =
⎩

Khi giả thuyết
0
H được chấp nhận thì ta có thể khẳng định trong mô hình hồi quy
(8.8) không có hiện tượng tự tương quan bậc nhỏ hơn hoặc bằng p, tức là có sự
độc lập giữa các quan sát không cách xa nhau quá p bước trong chuỗi thời gian.
Mô hình (8.9) được hiểu như mô hình hồi quy bội với p biến độc lập, do đó ta có
thể dùng phương pháp
2
χ
để kiểm định giả thuyết
0
H (do vậy phương pháp này
còn được gọi là phương pháp kiểm định
2

χ
). Các bước kiểm định được tiến hành
như sau:
Bước 1: Ước lượng mô hình hồi quy gốc (8.8) để tính các phần dư
t
ˆ
u.
Bước 2: Với các phần thu được, lập bộ số liệu mới gồm n - p quan sát để tiến hành
ước lượng mô hình (8.9) và thu được hệ số xác định
2
R của mô hình này. Khi đó
thống kê
()
22
npRχ= −
có phân phối khi-bình phương với p bậc tự do.
Bước 3: Với mức ý nghĩa
α
đã định, tìm giá trị tới hạn
2
(p)
α
χ để so sánh với giá
trị của thống kê tính được ở bước trên, rồi đưa ra quyết định bác bỏ giả thuyết
0
H
nếu
22
(p)
α

χ>χ , ngược lại thì ta chấp nhận
0
H và kết luận có tính độc lập giữa các
quan sát trong mô hình (8.8).
1
H: 0ρ>
1
H: 0
ρ
<

Chấp nhận
0
ρ
=
Chưa kết luận
Chưa kết luận
Bác bỏ
0ρ=
Bác bỏ
0ρ=
0
2
4
d
L
d
U
4 – d
U

4 – d
L


Bài 8: Tự tương quan

123
Ví dụ 1: Nghiên cứu về tình hình phát triển sản xuất trong khu vực công nghiệp của
Việt Nam theo dõi trong các năm từ năm 1976 đến năm 1995, ta có bảng số liệu với
các con số hàng năm về tổng sản lượng Y, tổng lực lượng lao động
2
X và tổng số vốn
đầu
3
X của toàn ngành như sau:
Năm X
2
X
3
Y
1976 2.000000 2.000000 46266.00
1977 5.657601 2.000000 58865.00
1978 2.000000 3.998823 37392.00
1979 5.657601 3.998823 107915.0
1980 2.000000 6.001443 133026.0
1981 10.38124 2.000000 127848.0
1982 5.657601 6.001443 154107.0
1983 10.38124 3.998823 226500.0
1984 10.38124 6.001443 146649.0
1985 2.000000 2.000000 31448.00

1986 2.000000 3.998823 70778.00
1987 5.657601 2.000000 70658.00
1988 5.657601 3.998823 118409.0
1989 2.000000 6.001443 90536.00
1990 10.38124 2.000000 73843.00
1991 5.657601 6.001443 159804.0
1992 10.38124 3.998823 225100.0
1993 10.38124 6.001443 167678.0
1994 5.657601 3.998823 88699.00
1995 2.000000 2.000000 53852.00
Ta cần biết trong mô hình hồi quy của Y theo hai biến độc lập
23
X,X có sự tương
quan của các sai số hay không. Sử dụng phần mềm Eviews để tiến hành phép kiểm
định Durbin – Waston, ta có kết quả sau:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 11/11/09 Time: 18:12
Sample: 1 20
Included observations: 20
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -21717.59 22180.83 -0.979116 0.3413
X2 10751.92 2165.515 4.965061 0.0001
X3 17662.45 4533.201 3.896242 0.0012
R-squared 0.715471 Mean dependent var 109468.7
Adjusted R-squared 0.681997 S.D. dependent var 57734.42
S.E. of regression 32557.46 Akaike info criterion 23.75688
Sum squared resid 1.80E+10 Schwarz criterion 23.90624
Log likelihood -234.5688 F-statistic 21.37391
Durbin-Watson stat 2.289076 Prob(F-statistic) 0.000023