hướng dẫn học sinh tìm uscll và bscnn từ những bài toán thực tiễn nhằm giúp học sinh dễ dàng liên hệ vận dụng khi giải bài tập về tìm uscll và bscnn

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM USCLL VÀ BSCNN TỪ NHỮNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN NHẰM GIÚP HỌC SINH DỄ DÀNG LIÊN HỆ, VẬN DỤNG
KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ TÌM USCLL VÀ BSCNN
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1- Lí do chọn đề tài
Trong chương trình số học 6, học sinh mới chỉ biết đến các khái niệm ước
chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) , còn các ứng dụng của
chúng học sinh mới chỉ biết một phần nhỏ trong việc giải các bài tập về rút gọn
phân số hay quy đồng mãu nhiều phân số…Trong khi đó UCLN và BCNN có vai
trò rất quan trọng trong việc giải các bài tập về tìm hai số nguyên dươngkhi biết
một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về UCLN và BCNN ,các bài tập về tìm số,
các bài tập giải…
Do đó để học sinh hiểu sâu hơn về các ứng dụng của UCLN và BCNN trong
việc giải toán đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh tôi đưa ra một số ứng
dụng của UCLN và BCNN trong giải toán. Đó là tìm hai số nguyên dương khi biết
một số yếu tố trong đó có UCLN và BCNN.
Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh còn bỡ
ngỡ khi gặp một số bài toán có liên quan đến việc tìm số chẳng hạn:
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết: tích và UCLN (BCNN)
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết:ka+lb=m và UCLN(BCNN)
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết:UCLN và BCNN.
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết:m.UCLN+n.BCNN=k và p.a+q.b=m.
1
Cho nên để giúp các em làm quen , với dạng toán trên cũng như tạo hướng
đi trong việc giải các bài tập toán liên quan đến UCLN và BCNN tôi xin đưa ra
một số ví dụ và phương pháp giải.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm đã
nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán UCLN và BCNN nói
riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu

nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình
quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các
bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học
sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những
vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về UCLN và BCNN và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng
cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh.
- Học sinh lớp trường THCS XXX
V. Phương pháp nghiên cứu:
2
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn
thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được
(nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết
luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể UCLN và BCNN phân tích tỉ mỉ những
sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến
thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.

3
PHẦN II-NỘI DUNG
1-Phương pháp chung:
1.1-dựa vào định nghĩa UCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu
tố đã cho để tìm hai số.
1.2-Trong một số trường hợp có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN
,BCNN và tích của hai số nguyên dương a,b ,đó là:
a.b=(a,b).[a,b], trong đó (a,b) là UCLN và [a,b] là BCNN của a và b
Ta chứng minh hệ thức này như sau :
Theo định nghĩa UCLN , gọi d=(a,b)
⇒
a=a
1
.d; b=b
1
d với a
1
,b
1
 Z
+
; (a
1
,b
1
)=1
(*)
Từ (*) suy ra ab=a
1
b

1
d
2
;[a,b]=a
1
b
1
d
⇒
(a,b).[a,b]=d(a
1
b
1
d)=a
1
b
1
d
2
=ab
⇒
ab= (a,b)[a,b] (**).
2-Một số ví dụ minh hoạ :
Bài toán 1:
Tìm hai số nguyên dương a,b biết :
[a,b]=900 và (a,b)=10
Lời giải:
Do vai trò của a,b là như nhau , không mất tính tổng quát ,giả sử a≤b.
Từ (*) , do (a,b)=10 nên a=10a
1

;b=10b
1
,a
1
≤ b
1
(do a≤b ).
4
Với a
1
,b
1
 Z
+
; (a
1,
,b
1
)=1 .
Theo định nghĩa BCNN:
[a,b]=a
1
b
1
d=a
1
b
1
10=900
⇒

a
1
b
1
= 90








==
==
==
==
⇒
10,9
18,5
45,2
90,1
11
11
11
11
ba
ba
ba
ba









==
==
==
==
⇒
100,90
180,50
450,20
900,10
ba
ba
ba
ba
Bài toán 2:
Tìm số nguyên dương a,b biết ab=24300 và (a,b)=45
Lời giải:
Lập luân như bài 1,giả sử a≤b;
Do (a,b)=45
⇒
a=45 a
1
,b=45b

1
với a
1
,b
1
Z
+
,(a
1
,b
1
)=1;a
1
≤b
1
Vì vậy ab=45a
1
.45b
1
=2025a
1
b
1
⇒
ab=24300
⇒
a
1
b
1

=12;



==
==
⇒
43
12;1
11
11
ba
ba




==
==
⇒
180;135
540;45
ba
ba
Bài toán 3 :Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab =4320
Và BCNN(a,b)=360.
Lời giải:
Từ (**)
⇒
(a,b)=12,bài toán được đưa về dạng bài toán 2:

5
Kết quả:






==
==
==
==
72;60
120;36
180;24
360;12
ba
ba
ba
ba
Bài toán 4:
Tìm hai số nguyên dương a,b biết :
b
a
=2.6 và (a,b)=5;
Lời giải:
Theo (*), (a,b)=5
⇒
a=5a
1

;b=5b
1
;với a
1
,b
1
 Z
+
,(a
1
,b
1
)=1;
Vì vậy :
b
a
=
1
1
b
a
=2.6
⇒
1
1
b
a
=
5
13




=
=
⇔
5
13
1
1
b
a




=
=
⇔
25
65
b
a
chú ý:Phân số tương ứng với 2.6 phải chọn là phân số tối giản do (a
1
,b
1
)=1;
Bài toán 5:
Tìm a,b biết :

b
a
=
5
4
và [a,b]=140
Lời giải :
Đặt (a,b)=d. vì
b
a
=
5
4
, mặt khác (4,5)=1 nên a=4d ;b=5d
Lưu ý :[a,b] = 4.5.d = 20d = 140
⇒
d=7
⇒
a=28;b=35
Bài toán 6:
6
Tìm hai số nguyên dương a, b biết :a+b=84 và (a,b) = 6
Lời giải:
Giả sử a[b .Do (a,b) = 6 nên a=6a
1
;b=6b
1
; với a
1
,b

1
 Z
+
,(a
1
,b
1
)=1;a
1
[b
1
.
Vì vậy : a+b = 84
⇔
6(a
1
+b
1
) = 84
⇔
a
1
+b
1
=14






==
==
==
⇔
9;5
11;3
13;1
11
11
11
ba
ba
ba






==
==
==
⇔
54;30
66;18
78;6
ba
ba
ba
Bài toán 7:

Tìm a, b biết a+ b = 42 và [a,b] =72
Lời giải :
Gọi d=(a,b)
⇒
a=a
1
d; b=b
1
d với a
1
,b
1
Z
+
,(a
1
,b
1
)=1.
Không mất tính tổng quát giả sử a[b
⇒
a
1
[b
1
.
Do đó a+b =d (a
1
+b
1

) = 42 (1)
[a,b]=a
1
b
1
d=72 (2)
⇒
d là UC(42,72)
⇒
d  {1,2,3,6}.
Lầ lượt thay các giá trị của d vào (1) và(2) để tính a
1
, b
1
ta thấy chỉ có trường hợp :
d = 6



=
=+
⇒
12
7
11
11
ba
ba





=
=
⇒
4
3
1
1
b
a
(thoả mãn điều kiện của a
1
,b
1
)
7
vậy d = 6 và



=
=
24
18
b
a
Bài toán 8:
Tìm a, b biết a-b =7,[a,b]=140
Lời giải:

Gọi d=(a,b)
⇒
a=a
1
d; b=b
1
d với a
1
,b
1
Z
+
,(a
1
,b
1
)=1.
Do đó a-b=d(a
1
-b
1
)=7 (1’)
[a,b]=a
1
b
1
d=140 (2’)
⇒
d  {1,7}
thay lầnn lượt các gí trị của d vào (1’) và (2’) để tính a

1
, b
1
ta được kết quả duy nhất
:
d=7



=
=−
⇒
20
1
11
11
ba
ba




=
=
⇒
4
5
1
1
b

a
vậy d= 7 và



=
=
28
35
b
a
bài toán 9:
Tìm hai số nguyên dương biết :
a+2b=48 và ƯCLN(a,b)+3BCNN(a,b)=114
lời giải:
gọi d=(a,b)
⇒
a=a
1
d; b=b
1
d với a
1
,b
1
Z
+
,(a
1
,b

1
)=1.
8
⇒
[a,b]=a
1
b
1
d
từ a+2b=48
⇒
d(a
1
+2b
1
)=48
⇒
48d (3)
Từ (a,b)+3[a,b]=114
⇒
d+3da
1
b
1
=114
⇒
d(1+3a
1
b
1

)=114
⇒
114d (4)
Từ (3) và (4) Suy ra d là ước chung của 48 và 114 hay d  (1,2,3,6).
Mặt khác do d(1+3a
1
b
1
)=114
⇔
d(1+3a
1
b
1
)=3.38
⇒
d3 (theo tính chất chia hết
của một tổng)
⇒
d=3 hoặc d=6.
Thay d=3 và d=6 lần lượt vào d(1+3a
1
b
1
)=114 và d(a
1
+2b
1
)=48
Ta tìm được a,b

Đáp số
a 36 12
b 6 18
PHẦN III –KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
9
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên
đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản
thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình
bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho

đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói
chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên
đã áp dụng trong chuyên đề này.
2. KIẾN NGHỊ
10
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong
tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách
tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có
thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả
học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con

11