Thuật toán chấp nhận trì hoãn và thiết kế thị trường

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————
NGUYỄN TIẾN HUY
THUẬT TOÁN CHẤP NHẬN TRÌ HOÃN
VÀ THIẾT KẾ THỊ TRƯỜNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————
NGUYỄN TIẾN HUY
THUẬT TOÁN CHẤP NHẬN TRÌ HOÃN
VÀ THIẾT KẾ THỊ TRƯỜNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI
Thái Nguyên, năm 2014
1
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Lời mở đầu 4
Chương 1. Thuật toán chấp nhận trì hoãn 7
1.1 Tuyển sinh đại học và hôn nhân bền vững . . . . . . . . . 7
1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Các tiêu chí về phân bổ . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Hôn nhân bền vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Thuật toán chấp nhận trì hoãn . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Định lý về sự tồn tại phân bổ ổn định với vấn đề hôn

nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Phân bổ ổn định với vấn đề tuyển sinh . . . . . . . 14
1.2.3 Phân bổ ổn định tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Thiết kế thị trường 16
2.1 Sự minh bạch: Những Thị trường bác sĩ . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Thị trường cho những bác sĩ mới ở Mỹ . . . . . . . 17
2.1.2 Thị trường y tế địa phương tại Vương quốc Anh . . 18
2
2.1.3 Bằng chứng thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Thiết kế thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Thiết kế lại thị trường bác sĩ . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Tuyển sinh đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Trao đổi thận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
3
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành được luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo thuộc Khoa
Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, bạn bè, đồng
nghiệp, người thân đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn.
4
Lời mở đầu
Khi nghiên cứu về sự tắc nghẽn của việc phân bổ lao động của một số
thị trường tại Mỹ, Alvin Roth đã nhận thấy sự tương đồng của những thị
trường này với mô hình toán học đã được Lloyd Shapley nghiên cứu từ cách
đây 50 năm. Sau đó, ông đã nghiên cứu và thiết kế lại những thị trường này

dựa trên thuật toán chấp nhận trì hoãn được đưa ra bởi D. Gale và Lloyd
Shapley năm 1962. Những đóng góp to lớn của Roth đã được ghi nhận, tháng
10 năm 2012 Alvin Roth và Lloyd Shapley vinh dự nhận Giải Nobel Kinh tế
về Lý thuyết phân bổ ổn định và thiết kế thị trường.
Câu chuyện bắt đầu vào năm 1962, David Gale (người đã qua đời năm
2008) và Shapley, hiện 89 tuổi, đã cho công bố bài báo mang tên "Tuyển sinh
đại học và Sự ổn định của hôn nhân" (College Admissions and the Stability
of Marriage). Hai ông cho rằng sự tương đồng giữa tuyển sinh đại học, trong
đó sinh viên và trường đại học đang tạo thành cặp đôi với sự cố gắng làm cả
hai bên hài lòng, và thị trường hôn nhân, trong đó một số cố định nam giới
và nữ giới đang cố gắng tìm kiếm hôn nhân.
Trong các vở kịch lãng mạn, từng người đàn ông và đàn bà đều kết hôn
với tình yêu đích thực của mình. Trong cuộc sống thực tế, một số người miễn
cưỡng chấp nhận "nhân vật hạng hai" một việc làm có thể dẫn đến rất nhiều
rắc rối. Nếu John và Mary yêu nhau nhưng đã kết hôn với những người khác,
rất có thể họ sẽ bỏ người bạn đời hiện tại và cưới nhau. Nhưng nếu John yêu
Mary, trong khi Mary yêu chồng cô hơn John, cả hai sẽ không có thay đổi
nào trong cuộc hôn nhân của họ.
Gale và Shapley nghĩ ra một thuật toán để ghép một số lượng bằng nhau
nam giới và nữ giới. Từng nam giới và nữ giới sẽ xếp hạng đối tác yêu thích
của họ. Từng nam giới cầu hôn người phụ nữ được anh ta xếp hạng cao nhất.
Mỗi người nữ giới từ chối toàn bộ những lời cầu hôn chị ta nhận được ngoại
5
trừ người được xếp hạng cao nhất. Nhưng người phụ nữ này không chấp
nhận lời cầu hôn, nếu người đàn ông chị ta yêu thích thậm chí lại cầu hôn
vào lần tới. Thuật toán này được lặp lại cho đến khi toàn bộ số phụ nữ có
được lời cầu hôn vừa ý.
Trên thực tế thì lý thuyết ổn định và thuật toán chấp nhận trì hoãn không
có cơ hội để biến đổi thị trường hôn nhân. Nhưng Roth đã đưa ứng dụng
thực tiễn của thuật toán vào những lĩnh vực khác. Trong những năm 1940,

cuộc cạnh tranh giành bác sĩ đôi khi đã chứng kiến việc các bệnh viện thậm
chí "chào mời" sinh viên nhiều năm trước khi họ tốt nghiệp, trước khi biết
rõ bằng cấp và khả năng chuyên môn của họ. Chương trình quốc gia về lựa
chọn bác sĩ phù hợp (The National Resident Matching Programme) được
đưa ra nhằm lựa chọn bác sĩ phù hợp cho các bệnh viện theo phương thức
tối đa hóa sự hài lòng của cả 2 bên. Chương trình này Roth đã viết trong
một tài liệu năm 1984, là ví dụ đời thực về thuật toán "chấp nhận trì hoãn"
(deferred-acceptance) của 2 ông Gale và Shapley.
Những hệ thống khác hoạt động ít hiệu quả hơn. Cả hệ thống trường công
New York và Boston được sử dụng để chỉ định sinh viên theo sự lựa chọn yêu
thích của họ, nhưng sinh viên thường phải quyết định trước khi biết toàn bộ
quyền lựa chọn của họ. Hàng nghìn người học xong phổ thông mà không bày
tỏ sự yêu thích nào. Ông Roth giúp thiết kế thuật toán cho cả 2 trường trên
và giúp giảm đáng kể những lựa chọn sai lầm.
Roth cũng áp dụng kiến thức của mình vào hoạt động hiến nội tạng. Một
người sẽ không hiến thận trong nhiều tình huống và hoàn cảnh, nhưng lại có
thể hiến thận nếu vợ anh ta cần. Nếu nhóm máu của họ không phù hợp, họ
có thể được ghép đôi với những cặp đôi khác tương tự. Chương trình Trao
đổi Thận của New England, được sáng lập một phần nhờ ông Roth, tích hợp
nhiều chuỗi những người hiến tặng và người tiếp nhận và tăng nguồn cung
cấp thận bằng cách làm cho người hiến tặng tự tin hơn rằng người yêu dấu
của họ cũng sẽ tìm được một quả thận phù hợp.
Ngày nay internet có thể giúp hệ thống đối xứng phù hợp trở nên khả thi.
Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể cải tiến những hệ thống hiện có.
Utku
¨
Unver tại Đại học Boston, người đã cùng ông Roth phát triển chương
trình trao đổi thận, chỉ rõ việc sắp xếp sinh viên luật vào vị trí thư ký cho
thẩm phán liên bang. Các thẩm phán có quyền kiểm soát toàn bộ đối với
6

những người họ thuê làm, và những sinh viên mà họ chọn, do vậy, hệ thống
lựa chọn phù hợp mang lại ít lợi ích hơn.
Khi các khoa kinh tế học thuê mới tiến sĩ đến làm việc, hệ thống lựa chọn
phù hợp sẽ giúp các giao dịch trở nên thuận lợi hơn vì rất khó để gian lận
trong hệ thống này. Ông Utku
¨
Unver cùng cộng sự đang phát triển phương
thức giới thiệu những đứa trẻ phù hợp đến các giai đình muốn nhận con nuôi
ở Pennsylvania, tuy vậy, quyết định cuối cùng lại tùy thuộc vào nhân viên
xã hội và các gia đình.
Trong bài viết năm 1962, Gale và Shaply lưu ý rằng thuật toán của họ
không quá phức tạp, minh họa một quan điểm về nguyên tắc của họ: "bất
kỳ tranh luận nào được tiến hành với độ chính xác đầy đủ đều mang tính
toán học". Sự công nhận công trình của ông Shapley và ông Roth cũng là sự
khẳng định rằng đối với những tin tức xấu mà kinh tế học nhận được từ cuộc
khủng hoảng, nguyên tắc trên vẫn đủ hiệu quả để giúp giải quyết những vấn
đề đời thực.
Trong luận văn này, tôi xin trình bày về thuật toán chấp nhận trì hoãn
cũng như những đóng góp của Giáo sư Roth trong việc ứng dụng thuật toán
trên vào việc thiết kế thị trường.
Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày về thuật toán Gale-Shapley (thuật toán chấp nhận
trì hoãn) và những lý thuyết về phân bổ ổn định.
Chương 2 luận văn xin được đưa ra ứng dụng của thuật toán chấp nhận
trì hoãn vào thiết kế thị trường cũng như những đóng góp của Giáo sư Roth.
Do thời gian nghiên cứu có hạn, luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014

Người thực hiện
Nguyễn Tiến Huy
7
Chương 1
Thuật toán chấp nhận trì hoãn
1.1 Tuyển sinh đại học và hôn nhân bền vững
1.1.1 Giới thiệu
Bài toán mà chúng ta quan tâm liên quan tới tình huống điển hình sau:
Một trường đại học đang xem xét một tập n thí sinh (đơn xin nhập học)
trong đó chỉ có nhận q chỉ tiêu. Qua việc đánh giá khả năng trình độ của họ,
phòng tuyển sinh phải quyết định những thí sinh nào được nhận. Phương
thức tuyển sinh chỉ q− thí sinh đủ năng lực trình độ sẽ không được thỏa
đáng, không thể giả định rằng tất cả những người được nhập học sẽ chấp
nhận. Theo đó, để trường đại học nhận đủ q− chấp thuận, trường đó thường
phải đưa ra chấp nhận nhiều hơn q− thí sinh. Bài toán xét xem có bao nhiêu
người và những người nào trong số họ đồng ý cần thiết hơn là sự phỏng đoán.
Có thể không biết được liệu một thí sinh ở trên cũng nộp đơn ở những trường
khác hay không; nếu biết được điều này thì cũng có thể không thể biết được
thí sinh đó xếp hạng những trường đại học thí sinh đó đã nộp đơn như thế
nào; thậm chí nếu điều này được biết thì cũng sẽ không biết được có những
trường khác chấp nhận nhập học cho anh ta. Kết quả của những điều không
chắc chắn này là những trường đó chỉ có thể trông đợi ở những lớp nhập học
với số sinh viên hợp lý gần đạt đến chỉ tiêu mong muốn, và chất lượng tốt
nhất có thể đạt được.
Một vấn đề khó khăn đó là việc đưa ra "danh sách đợi", theo đó một thí
8
sinh không được nhận nhưng có thể được nhận sau đó nếu trường đó vẫn
chưa tuyển đủ. Việc này nảy sinh thêm vấn đề mới, giả sử một thí sinh được
nhận vào một trường và có tên trong danh sách đợi của một trường khác mà
anh ta thích hơn. Anh ta có nên lựa chọn an toàn bằng việc chấp nhận vào

học trường đã nhận mình hay chờ đợi một cơ hội rằng trường anh ta thích
hơn sẽ nhận anh ta?
Chúng ta nên cố gắng để những vấn đề khó khăn được nêu ra ở trên đây
có thể tránh được. Chúng ta sẽ mô tả một phương thức gán một thí sinh với
một trường đại học mà có thể thỏa mãn cả đôi bên trong đó chúng ta loại bỏ
hết sự không chắc chắc trong các trường hợp và giả sử rằng có đủ thí sinh
vào mỗi trường theo đủ chỉ tiêu.
1.1.2 Các tiêu chí về phân bổ
Một tập n thí sinh được phân giữa m trường đại học, với q
i
là chỉ tiêu của
trường thứ i. Mỗi thí sinh xếp hạng trường theo thứ tự ưu tiên của người đó,
chỉ bỏ sót những trường mà người đó không bao giờ chấp nhận vào học dưới
mọi trường hợp. Để thuận tiện hơn, chúng ta giả sử giữa thí sinh và trường
không có quan hệ nào, theo đó một thí sinh vô tư giữa hai hay nhiều trường
mà người đó không cần thiết sắp xếp theo trật tự nào đó. Mỗi trường đại
học tương tự cũng xếp hạng thí sinh đã nộp đơn theo tiêu chí của mình, loại
những thí sinh mà không đáp ứng yêu cầu dưới mọi trường hợp, thậm chí
kể cả không tuyển đủ chỉ tiêu. Từ những dữ kiện trên, bao gồm cả chỉ tiêu
tuyển sinh của các trường và hai tập hợp sắp xếp đó, chúng ta muốn xác
định một sự phân bổ của thí sinh vào các trường dựa vào sự thỏa thuận dựa
trên tiêu chí công bằng nhất.
Phát biểu như cách ở trên nghe có vẻ không sâu sắc, lời giải có thể sẽ rõ
ràng. Việc này đơn thuần tạo nên sự phân bổ theo những tiêu chí đã được
đưa ra. Nhưng chỉ một vài sự việc đối ngược nảy sinh cũng làm cho việc phân
bổ trở lên khó khăn. Một ví dụ trong trường hợp đơn giản giữa 2 trường A
và B, và hai thí sinh α và β trong đó α thích trường A hơn và β thích trường
B hơn, nhưng trường A thích thí sinh β hơn và trường B thích thí sinh α
hơn. Và ở đây không có sự phân bố nào có thể thỏa mãn tất cả tiêu chí trên.
Phải quyết định làm thế nào đó trong trường hợp như thế này. Theo triết

9
lý thì trường đại học tồn tại là để cho sinh viên học, vì vậy hợp lý hơn nếu
phân thí sinh α vào trường A và thí sinh β vào trường B.
Vấn đề chốt lại ở đây đó là phải quyết định như thế nào trong trường hợp
ở bên trên.
Định nghĩa 1.1. Một sự phân bổ giữa các thí sinh và các trường đại học
được gọi là không ổn đinh (không bền vững) nếu có hai thí sinh α và β lần
lượt được phân vào trường A và trường B, mặc dù β thích trường A hơn
trường B và trường A cũng muốn có được sinh viên α hơn β.
Giả sử tình huống mô tả ở trên không xảy ra. Thí sinh β không được phân
vào trường A, trường mà thí sinh đó muốn được vào học. Khi đó trường A
có thể thay đổi lại bằng việc không nhận thí sinh α và giành chỉ tiêu đó cho
sinh viên β. Sự phân bổ lúc này được gọi là không ổn định với nghĩa là nó
có thể bị phá bỏ bởi việc một trường có thể nhận thí sinh mình thích hơn.
Yêu cầu đầu tiên của chúng ta trong sự phân bổ trên có vể như không ổn.
Điều này ngay lập tức nảy sinh câu hỏi: Liệu có khả năng tìm được một sự
phân bổ? Một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này được đưa ra ở phần
tiếp theo.
Giả sử lúc này phân bổ ổn định tồn tại, chúng ta vẫn phải quyết định
xem trong những khả năng phân bổ ổn định đó, đâu là tốt nhất.
Định nghĩa 1.2. Một sự phân bổ ổn định được gọi là tối ưu nếu mỗi thí
sinh ít nhất đều được vào trường mình ưng ý hơn so với bất kỳ sự phân bổ ổn
định nào khác.
Thậm chí cho rằng sự tồn tại của sự phân bổ ổn định khác xa so với sự
phân bố ổn tối ưu. Tuy nhiên, một điều rõ ràng sự phân bổ ổn định tối ưu
nếu có tồn tại thì sẽ duy nhất. Thực sự nếu có hai sự phân bổ, trong đó ít
nhất một thí sinh sẽ được chấp nhận vào trường tốt hơn trong trường hợp
còn lại; vì vậy một trong sự phân bổ đó sẽ không là tối ưu. Vì vậy nguyên
tắc về ổn định và tối ưu sẽ xảy ra, khi câu hỏi tồn tại đã được giải quyết,
dẫn dắt chúng ta tới một sự phân bổ tốt nhất.

10
1.1.3 Hôn nhân bền vững
Một vấn đề có nhiều nét tương đồng với vấn đề tuyển sinh đại học đó là
vấn đề hôn nhân bền vững. Trong một cộng đồng nhất định bao gồm n người
đàn ông và m người phụ nữ. Mỗi người xếp hạng những người trong giới đối
lập với họ theo một thứ tự ưu tiên nhất định để chọn người phù hợp để kết
hôn. Chúng ta tìm kiếm cách phù hợp để có thể tạo nên hôn nhân cho tất cả
các thành viên trong cộng đồng người đó. Theo như định nghĩa trước, chúng
ta gọi một tập những hôn nhân không bền vững nếu có một người đàn ông
và một người phụ nữ không kết hôn với nhau mặc dù họ rất thích nhau.
Câu hỏi: Với bất kỳ tiêu chí ưu tiên đưa ra, liệu có thể tìm được một tập
hôn nhân bền vững hay không?
Trước khi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này, chúng ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ 1.1. Dưới đây là "ma trận xếp hạng" của 3 người đàn ông α, β và γ
với 3 người phụ nữ A, B và C.
A B C
α 1,3 2,2 3,1
β 3,1 1,3 2,2
γ 2,2 3,1 1,3
Số đầu tiên trong mỗi cặp trong ma trận trên cho ta biết sự xếp hạng
người phụ nữ của người đàn ông, và số thứ hai cho ta biết sự xếp hạng đàn
ông của người phụ nữ. Theo đó ta có α xếp hạng A trước tiên, thứ hai là B
và cuối cùng là C, trong khi người đàn ông A lại chọn phụ nữ β là sự lựa
chọn số một, γ là thứ hai và cuối cùng mới chọn α
Có 6 khả năng kết hôn, trong đó có 3 là bền vững. Một kết hôn trong số
đó được thực hiện bằng việc mỗi người đàn ông sẽ cưới người phụ nữ mà anh
ta thích nhất, tức là α kết hôn với A, β kết hôn với B và γ kết hôn với C.
Chú ý rằng mỗi người phụ nữ cưới được người đàn ông đều là những người
đàn ông thứ ba trong số 3 người đàn ông mà họ được chọn. Sự sắp xếp như
trên tuy thế mà bền vững. Ngoài ra còn một cách kết hôn đó là mỗi người

phụ nữ cưới người đàn ông mà họ thích nhất, α cưới C, β cưới A và γ cưới
B. Cách kết hôn bền vững thứ ba đó là cho họ cưới người mà họ chọn thứ
11
hai trong số 3 người, ta có α cưới B, β cưới C và γ cưới A. Chúng ta hoàn
toàn có thể chỉ ra rằng các cách kết hôn còn lại khác là không bền vững.
Ví dụ 1.2. Ma trận xếp hạng được cho như sau:
A B C D
α 1,3 2,3 3,2 4,3
β 1,4 4,1 3,3 2,2
γ 2,2 1,4 3,4 4,1
δ 4,1 2,2 3,1 1,4
Chỉ có duy nhất một hôn nhân bền vững được chỉ ra bởi những ô được
đóng khung trong ma trận trên. Chú ý rằng trong tình huống trên không
người nào có thể cưới được người mình thích nhất nếu đạt được sự bền vững.
Ví dụ 1.3.
Một vấn đề tương tự với vấn đề hôn nhân, đó là vấn đề "bạn cùng phòng".
Một số chàng trai muốn được chia thành các cặp để ở cùng phòng với nhau.
Một tập các cặp như trên được gọi là ổn định nếu không có hai anh chàng
nào không cùng phòng và lại thích ở với người bạn khác hơn là ở với người
cùng phòng với mình hiện tại. Một ví dụ đơn giản chỉ ra rằng có tình huống
mà không tìm được cặp ổn định. Cụ thể là, xét bốn anh chàng α, β, γ và δ.
α thích ở với β nhất, β chọn γ là người muốn ở chung phòng nhất, γ chọn
người mình muốn ở cùng phòng nhất là α, và cả ba người α, β, γ đều xếp δ
vào vị trí cuối cùng trong số những người mình muốn chung phòng. Do đó
bất kể sự lựa chon của δ là như thế nào đi nữa thì cũng không thể có được
cặp chung phòng ổn định vì bất cứ ai được xếp ở cùng phòng với δ đều muốn
dọn đi và một trong hai chàng còn lại sẵn sàng để cho người đó vào ở chung
phòng với mình.
1.2 Thuật toán chấp nhận trì hoãn
1.2.1 Định lý về sự tồn tại phân bổ ổn định với vấn đề hôn nhân

Trong các ví dụ ở phần trên, lời giải với bài toán phân bổ ổn định còn
chưa rõ ràng, và chúng ta luôn quan tâm đến câu hỏi phân bổ ổn định có
12
luôn luôn tồn tại hay không. Để trả lời câu hỏi này, trong bài báo năm 1962
(xem [5]), D. Gale và L. Shapley đã chỉ ra rằng:
Định lý 1.1. Luôn luôn tồn tại một hôn nhân bền vững.
Chứng minh. D. Gale và L. Shapley đã chứng minh định lý trên bằng việc
đưa ra thuật toán, mang tên Thuật toán Gale-Shapley hay còn gọi là "Thuật
toán chấp nhận trì hoãn".
Thuật toán chấp nhận trì hoãn được mô tả như sau:
Bước 1: cho mỗi chàng trai đưa ra lời cầu hôn tới người con gái mà anh
ta thích nhất. Mỗi người con gái nhận được nhiều hơn một lời cầu hôn sẽ từ
chối tất cả và chỉ giữ lại lời cầu hôn của người con trai mà cô ta thích. Tuy
nhiên cô ta chưa đồng ý ngay, nhưng giữ lại lời cầu hôn của người con trai
đó và chờ đợi lời cầu hôn từ người mà cô ta mong muốn hơn.
Bước 2: Những người con trai bị từ chối ở lần cầu hôn đầu tiên, tiếp tục
cầu hôn với người con gái mà anh ta thích thứ hai. Mỗi cô gái nhận được lời
cầu hôn sẽ chọn lời cầu hôn từ nhóm bao gồm những lời cầu hôn mới và lời
cầu hôn của người con trai mà cô ta đã giữ lại trước đó. Cô ta tiếp tục từ
chối và chỉ giữ lại lời cầu hôn từ người mà cô ta còn phân vân.
Bước k: Những người con trai bị từ chối ở lần cầu hôn thứ trước đó tiếp
tục cầu hôn với cô gái trong lựa chọn tiếp theo của mình, các cô gái từ chối
tất cả các lời cầu hôn và chỉ giữ lại lời cầu hôn từ người con trai mà cô ta
thích nhất trong số những lời cầu hôn đó.
Cuối cùng, mọi cô gái đều nhận được lời cầu hôn cho đến khi bất kỳ cô
gái nào không được cầu hôn sẽ bị từ chối và nhận lời cầu hôn mới, nhưng
vì không có anh chàng nào có thể cầu hôn tới cùng một cô gái hơn một lần,
nên mọi cô gái chắc chắn sẽ nhận được lời cầu hôn. Ngay sau khi các cô gái
nhận được những lời "tán tỉnh" như trên, mỗi cô gái bây giờ cần thiết phải
chấp nhận những chàng trai trong danh sách đợi của cô gái đó.

D. Gale và L. Shapley đã chỉ ra rằng thuật toán trên tối đa sẽ phải thực
hiện n
2
− 2n + 2 bước lặp.
Chúng ta khẳng định rằng cách thiết lập hôn nhân này là bền vững. Thật
vậy, giả sử John và Mary đều chưa kết hôn với nhau nhưng John thích Mary
hơn vợ của anh ấy. Theo đó, John đã phải cầu hôn Mary ở một bước nào đó
và bị Mary từ chối bởi vì Mary nhận được lời cầu hôn từ một người mà cô
13
ấy thích hơn. Rõ ràng là Mary phải thích chồng của cô ấy hơn John và do
đó sẽ không có hôn nhân bền vững.
Chú ý:
+) Điều kiện về số con trai và con gái bằng nhau là không cần thiết. Nếu
có b chàng trai và g cô gái với b < g, quá trình sẽ dừng lại ngay khi b cô gái
được cầu hôn. Nếu b > g thì quá trình trên sẽ kết thúc mọi chàng trai đều
nằm trong danh sách đợi của các cô gái hoặc bị tất cả các cô gái từ chối.
Trong những trường hợp này thì hôn nhân đều bền ổn định bền vững.
+) Rõ ràng, còn có một cách ngược lại đó là việc các cô gái đi cầu hôn
con trai, và cũng dẫn đến hôn nhân bền vững. Hai lời giải của bài toán hôn
nhân bền vững này không giống nhau. Trong trường hợp khi người con trai
cầu hôn thì kết quả nhận được là tối ưu đối với người con trai, và ngược lại
với lời cầu hôn của các cô gái thì kết quả nhận được là tối ưu với các cô gái.
Lời giải trong hai trường hợp trên là giống nhau chỉ khi có một hôn nhân
bền vững duy nhất.
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.4.
A B C D
α 1,3 2,2 3,1 4,3
β 1,4 2,3 3,2 4,4
γ 3,1 1,4 2,3 4,2

δ 2,2 3,1 1,4 4,1
Sử dụng thuật toán chấp nhận trì hoãn với lời cầu hôn của người đàn ông ta
thu được:
A B C D
Bước 1 α, β γ δ
Bước 2 α β, γ δ
Bước 3 α β γ, δ
Bước 4 α, δ β γ
Bước 5 δ α, β γ
14
Bước 6 δ α γ, β
Bước 7 δ, γ α β
Bước 8 γ α, δ β
Bước 9 γ δ α, β
Bước 10 γ δ α β
Qua 10 bước, ta nhận được hôn nhân bền vững: α kết hôn với C, β kết hôn
với D, γ kết hôn với A và δ kết hôn với B.
Sử dụng thuật toán chấp nhận trì hoãn với lời đề nghị của người phụ nữ
ta được:
α β γ δ
Bước 1 C A B, D
Bước 2 C A, D B
Bước 3 C, D A B
Bước 4 C D A B
Qua 4 bước ta nhận được hôn nhân bền vững: A kết hôn với γ, B kết hôn
với δ, C kết hôn với α và D kết hôn với β.
1.2.2 Phân bổ ổn định với vấn đề tuyển sinh
Mở rộng của cách làm "chấp nhận trì hoãn" với vấn đề tuyển sinh đại
học. Để thuận tiện, ta giả sử nếu một trường đại học không có ý muốn nhận
một sinh viên nào đó với bất kỳ điều kiện nào, như đã trình bày ở mục 2,

theo đó thí sinh đó không nộp đơn vào trường đó. Với ý hiểu như vậy, cách
làm được trình bày như sau: Đầu tiên, các sinh viên nộp đơn vào trường mà
người đó ưu tiên đầu tiên. Một trường thì có số chỉ tiêu tuyển sinh là q nên
sẽ đặt vào danh sách đợi q thí sinh mà trường đó đã xếp hạng cao nhất, hoặc
tất cả các thí sinh nếu như số thí sinh ít hơn q chỉ tiêu, và từ chối những thí
sinh còn lại. Những thí sinh bị từ chối, tiếp tục nộp đơn vào trường mà người
đó lựa chọn tiếp theo, và một lần nữa trường đó sẽ chọn q thí sinh đứng đầu
trong số các thì sinh mới nộp đơn và những thí sinh đã được đưa vào danh
15
sách đợi trước đó, và đặt vào danh sách đợi mới, và từ chối những thí sinh
còn lại. Quá trình trên dừng khi khi mọi thí sinh được nằm trong danh đợi
của các trường hoặc bị từ chối bởi mọi trường anh ta đã nộp đơn vào. Tại
thời điểm này, mỗi trường tuyển mọi thí sinh trong danh sách đợi của trường
đó và khi đó đạt được phân bổ ổn định. Việc chứng minh sự phân bổ trên
là ổn định hoàn toàn tương tự việc chứng minh đã được trình bày trong vấn
đề hôn nhân bền vững.
1.2.3 Phân bổ ổn định tối ưu
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng cách làm "chấp nhận trì hoãn" vừa mô
tả ở trên không những là cách phân bổ ổn định mà còn là một cách phân bổ
tối ưu.
Định lý 1.2. Mọi thí sinh ít nhất đều thỏa mãn dưới sự phân bổ được cho
bởi cách làm chấp nhận trì hoãn dưới bất kỳ sự phân bổ ổn định khác.
Chứng minh. Ta gọi một trường "có thể được" cho riêng một thí sinh nếu có
một sự phân chia ổn định đưa anh ta vào học trường này. Giả sử rằng đến
một điểm cho trước trong phương cách trên mà không có thí sinh nào bỏ đi
khỏi trường mà có thể cho anh ta vào học. Tại điểm này, giả sử trường A đã
nhận được những thí sinh đủ chỉ tiêu từ những thí sinh được đánh giá cao
hơn β
1
, β

2
, , β
q
và từ chối thí sinh α. Chúng ta cần chỉ ra rằng trường A là
không thể được cho thí sinh α. Chúng ta biết rằng mỗi thí sinh β
i
thích vào
trường A hơn những thí sinh còn lại khác, ngoại trừ những trường đã không
chấp nhận họ vào học, và vì vậy theo giả thiết bên trên thì trường đó là có
thể cho thí sinh β
i
. Ta xét một giả thuyết phân bổ mà với phân bổ này thì
sẽ đưa α vào học trường A và mọi thí sinh khác sẽ vào học trường mà có
thể được cho họ. Ít nhất một trong số các thí sinh β
i
sẽ phải vào học trường
mình không mong muốn hơn trường A. Nhưng sự sắp xếp này là không ổn
định, vì β
i
và A có thể phá hỏng vì lợi ích của cả hai. Theo đó sự phân bổ
theo giả thuyết trên là không ổn định và trường A là có thể được cho thí
sinh α. Ta kết luận rằng cách làm trong thuật toán của chúng ta chỉ loại ra
những thí sinh từ những trường mà họ không thể có khả năng được nhận
dưới bất kỳ sự phân bổ nào. Vì vậy cách phân bổ này là tối ưu.
16
Chương 2
Thiết kế thị trường
2.1 Sự minh bạch: Những Thị trường bác sĩ
Làm việc về sự phân bổ ổn định và những thuật toán về ổn định đã được
nhận ra là một lý thuyết vô cùng quan trọng trong thập niên 60 và 70 của

thế kỷ 20, nhưng nó chưa được biết đến nhiều cho đến đầu những năm 80
khi những đóng góp thực tế liên quan tới được khám phá. Đóng góp quan
trọng là Roth (xem [4]), những dẫn chứng về sự phát triển của thị trường
bác sĩ mới tại Mỹ và những tranh luận thuyết phục rằng một thuật toán về
sự ổn định cải thiện được chức năng của thị trường. Việc làm này đã mở ra
cánh cửa cho sự tham gia của Roth vào những thiết kế thị trường thực tế,
bắt đầu vào những năm 1990. Roth đã tiến hành nghiên cứu thực nghiệm
về những thị trường y tế khác nhau, đưa ra dẫn chứng và phân tích một vài
khu vưc ở Anh thông qua những thuật toán khác nhau (xem [2]).
Tập chung vào các cơ chế phù hợp, chẳng hạn như thị trường bác sĩ mới
tại Mỹ, đã xác định được "quy tắc của trò chơi" được biết đến bởi chính họ
và những nhà kinh tế nghiên cứu về thị trường. Những kiến thức về những
nguyên tắc này làm cho nó có thể thử tiên đoán lý thuyết trò chơi, trong
lĩnh vực thử nghiệm trong phòng thí nghiệm. Hơn nữa, những nguyên tắc
này có thể thiết kế lại nhằm cải thiện thị trường. Theo đó những lý thuyết
này đã được nghiên cứu sâu rộng và ngày nay đã được hiểu rõ ràng. Những
thị trường khác với nguyên tắc định nghĩa rõ ràng cũng là những đối tượng
để nghiên cứu, ví dụ thị trường bán đấu giá.
17
Trong mục này tôi xin giới thiệu hai thị trường mà Roth đã nghiên cứu
và đưa ra những dẫn chứng cụ thể: thị trường cho những bác sỹ mới ở Mỹ
và thị trường y tế địa phương ở Anh.
2.1.1 Thị trường cho những bác sĩ mới ở Mỹ
Roth đã nghiên cứu sự phát triển của thị trường ở Mỹ cho những bác sỹ
mới (xem [4]). Những sinh viên tốt nghiệp từ những trường Y tại mỹ thường
được làm việc như những người cư trú tại các bệnh viện, nơi mà họ được
coi như là một lực lượng lao động quan trọng nhất. Những năm đầu của thế
kỷ 20, thị trường cho những bác sĩ mới được phân cấp rộng rãi. Trong suốt
thập niên 40, việc cạnh tranh để giành được những sinh viên ngành y giữa
các bệnh viện tăng lên nhanh chóng, thậm trí họ còn chọn sinh viên trước

vài năm sinh viên ra trường. Việc này dẫn đến nhiều hậu quả tiêu cực. Việc
thỏa thuận giữa sinh viên và bệnh viện trước khi sinh viên chứng tỏ khả năng
của bản thân mình, và thậm chí trước khi họ biết mình sẽ làm việc tốt và
chuyên về ngành y khoa nào. Thị trường sẽ hứng chịu sự bế tắc: khi một lời
đề nghị bị từ chối, thường sẽ quá muộn để sinh viên có thể đi tìm kiếm một
bệnh viên khác cũng như bệnh viện đó sẽ khó khăn trong việc tìm kiếm sinh
viên khác để thay thế. Một thị trường sai lầm, bế tắc xảy ra, không đủ thời
gian để đưa ra những lời đề nghị mà có thể bảo đảm được lợi ích của cả đôi
bên. Để có thể giải quyết việc này, các bệnh viện buộc phải ép sinh viên đưa
ra những quyết định của mình mà không cần biết đến họ có thể sẽ có cơ hội
làm việc ở những bệnh viện tốt hơn và hợp với chuyên môn của mình hơn.
Theo nghiên cứu của Roth, vấn đề này cũng xảy ra như bệnh dịch với
nhiều thị trường khác, bao gồm cả cấp nhập cảnh hợp pháp, trường học kinh
doanh và thị trường lao động ý tế ở Mỹ, Canada và Anh, những thị trường
cho tâm lý học lâm sàng, nha khoa ở Mỹ, thị trường cho những sinh viên tốt
nghiệp đại học ở Nhật. Khi mà những hàng hóa không đồng nhất và không
tách rời được giao dịch, như là trong những thị trường lao động tay nghề cao
ở trên, những lời đề nghị phải được đưa ra với từng cá nhân cụ thể hơn là
với thị trường. Vấn đề của việc phối hợp thời gian của những lời đề nghị có
thể gây ra một thị trường phân cấp hoàn toàn trở lên tắc nghẽn và tách ra
từng, và kết quả là không ổn định. Trong một nghiên cứu năm 1994 (xem
18
[3]) Roth và Xing đã mô tả những thị trường hình thành từ những thất bại
đó và giải thích những tìm kiếm mới của họ trong một mô hình lý thuyết.
Trong phản ứng tới những sự thất bại của thị trường Mỹ cho những bác
sỹ mới, một trung tâm tập trung đã được giới thiệu vào đầu những năm
1950. Cơ quan này ngày nay được gọi là Chương trình Quốc gia về lựa chọn
bác sĩ phù hợp (NRMP). Roth đã chỉ ra rằng NRMP kết hợp các bác sĩ và
các bệnh viện bằng cách sử dụng một thuật toán về bản chất là tương đương
với thuật toán chấp nhận trì hoãn của Gale-Shapley. Roth đã lập luận rằng

sự thành công của NRMP là do thực tế thuật toán ổn định. Nếu thuật toán
đưa ra kết quả không ổn định, các bác sĩ và những bệnh viện đó sẽ có thể
có động cơ để bỏ qua thuật toán bằng cách hình thành sự ghép đôi ưu tiên
(một bác sĩ có thể dễ dàng liên lạc với bệnh viên mà cô ta thích để hỏi xem
liệu họ có quan tâm tới việc thuê cô ấy hay không).
Khi một thị trường được thiết kế thành công, nhiều phần tử được thuyết
phục để tham gia, do đó cần tạo một thị trường "dày" với nhiều cơ hội giao
dịch hơn. Cách mà trong đó sự thiếu ổn định có thể tạo ra sự không thỏa
mãn và làm giảm tỷ lệ tham gia như đã minh họa trong ví dụ. Một thuật
toán không ổn định có thể gán sinh viên 1 vào khoa nhi. Nhưng nếu khoa
da liễu tìm ra rằng người sinh viên nằm trong tốp đầu mà họ chọn lại được
nhận vào khoa mà sinh viên đó không thích bằng khoa da liễu thì, họ có thể
đưa ra những lý do chính đáng về sự không bằng lòng đó. Một thuật toán
ổn định không cho phép những tình huống này xảy ra (xem [2]).
2.1.2 Thị trường y tế địa phương tại Vương quốc Anh
Roth đã nhận ra rằng Thị trường Y tế địa phương tại Anh cũng bị vấn
đề tương tự vào những năm 1960 như đã xảy ra tại Mỹ những năm 1940.
Mỗi khu vực giới thiệu thuật toán ghép đôi của riêng mình. Một vài nơi ổn
định, một vài nơi khác thì không. Đặc biệt, tại Edinburg và Cardiff đã thực
hiện thuật toán giống với thuật toán chấp nhận trì hoãn, và đã thành công
trong nhiều thập kỷ. Mặt khác, Birmingham, Newcastle và Sheffied đã nhanh
chóng bỏ thuật toán không mang lại ổn định cho họ.
19
Bảng 2.1: Những thị trường ổn định và không ổn định (được thống kê bởi Roth)
Thị trường Ổn định Vẫn đang sử dụng
Thị trường Y tế tại Mỹ
NRMP Có Có (thiết kế lại vào năm 98)
Y tế đặc biệt Có Có (Khoảng 30 thị trường)
Thị trường Y tế tại Anh
Edinburg (1969) Có Có

Carrdiff Có Có
Birmingham Không Không
Edinburg (1967) Không Không
Newcastle Không Không
Sheffield Không Không
Cambridge Không Có
Bệnh viện London Không Có
Những thị trường chăm sóc sức khỏe khác
Nha khoa Có Có
Chỉnh hình (trước năm 94) Không Không
Chỉnh hình (từ năm 94 trở đi) Có Có
Dược sĩ Có Có
Những thị trường khác
Luật sư tại Canada Có Có
20
2.1.3 Bằng chứng thử nghiệm
Những bằng chứng thực nghiệm dường như đã hỗ trợ những giả thuyết
rằng những thuật toán ghép đôi ổn định có thể ngăn chặn sự thất bại của
thị trường (xem [2]). Tuy nhiên, rất nhiều điều kiện ảnh hưởng tới sự thành
công và thất bại của thị trường. Mục tiêu của người thiết kế thị trường đó là
cô lập vai trò cơ chế tự tổ chức của nó, và so sánh hiệu suất của những cơ chế
khác nhau trong những điều kiện giống nhau. Nhưng việc này rất khó thực
hiện trong thực tế. Ví dụ, thị trường y tế địa phương tại Anh có thể khác
nhau trong nhiều cách khác nhau mà nền kinh tế không thể kiểm soát nổi.
Theo đó, người thiết kế thị trường phải kiểm soát được những thí nghiệm
trong phòng thí nghiệm để có thể đánh giá và so sánh được các cơ chế.
Vào năm 2000, Kagel và Roth đã so sánh thuật toán ổn định (thuật toán
chấp nhận trì hoãn) đã được dùng tại Edinburg và Cardiff với thuật toán
"ghép đôi ưu tiên" không ổn định tại Newcastle
1

. Trong những thí nghiệm
của họ, cơ chế ghép đôi tập trung đã được tạo sẵn cho những đối tượng,
nhưng họ có thể chọn ghép cặp theo một cách phân cấp, mà không cần sử
dụng cơ chế. Khi cơ chế sử dụng ghép cặp ưu tiên, thị trường thí nghiệm bị
tách ra, nhiều cặp đôi đã được tạo nên bên ngoài cơ chế. Cơ chế chấp nhận
trì hoãn không gặp phải vấn đề trên. Việc này đưa ra được bằng chứng thực
nghiệm ủng hộ giả thuyết của Roth rằng thuật toán ghép đôi ổn định và thực
tế sự ổn định của nó có đóng góp quan trọng tới chức năng của thị trường
(xem [4]).
Hai khu vực, Cambridge và Bệnh viên London, đưa ra điều không bình
thường cho giả thuyết của Roth. Ở những khu vực này, thuật toán ghép đôi
giải quyết bài toán lập trình tuyến tính mà không đưa ra được những kết
1
Thuật toán "ghép đôi ưu tiên" được dùng tại Birmingham và Sheffield sử dụng một cách tương tự
như thuật toán tại Newcastle. Trong thuật toán này, sự xếp hạng của những người nộp đơn với những
nhà tuyển dụng và sự xếp hạng của nhà tuyển dụng với những người nộp đơn là đều xác định sự ưu tiên
của người nộp đơn với các nhà tuyển dụng. Vì vậy, cặp ưu tiên cao nhất là những cặp mà cả hai bên đều
xếp hạng mỗi bên cao nhất. Bỏ qua về việc không ổn định, mỗi cách làm thì đều khác xa nhau về sự
tương thích, quyết định ai là người được xếp hạng trước là bài toán chiến lược khó khăn. Vấn đề tương
tự cũng đã được đưa ra thảo luận dưới đây có liên quan tới cơ chế tổ chức tại Boston (trong đó bản thân
nó là một kiểu của thuật toán ghép đôi ưu tiên).
21
quả ổn định. Những thị trường đó đã không xuất hiện để làm sáng tỏ, và cơ
chế không ổn định vẫn được duy trì sử dụng (như kết quả bảng 2.1). Trong
thí nghiệm, cơ chế lập trình tuyến tính dường như hoạt động cũng không tốt
hơn so với ghép đôi ưu tiên, trong đó thừa nhận những ảnh hưởng từ những
điều kiện nhất định đối với Cambride và Bệnh viện London hơn là đề cập
đến những thuộc tính bản chất của những thuật toán ghép đôi, có thể đã
ngăn việc tháo gỡ thị trường ở đây. Roth đã lập luận rừng những thị trường
này thực tế rất nhỏ để áp lực xã hội có thể ngăn được sự tháo gỡ thị trường.

Trong thị trường lao động y tế ở Mỹ (khoa tiêu hóa), một thuật toán
ổn định đã bị từ bỏ sau một cú sốc với việc cung cầu về vị trí tuyển dụng.
Những thí nghiệm của Mc Kinney, Niederle và Roth năm 2005 đã chỉ ra rằng
thị trường trên thất bại chủ yếu vì thị trường chỉ mang lại lợi ích cho nhà
tuyển dụng và không làm thỏa mãn lợi ích của người lao động. Điều này chỉ
ra rằng thuật toán thất bại dưới những điều kiện rất đặc biệt.
2.2 Thiết kế thị trường
Lý thuyết về sự ổn định mà ta đã xét trong các mục trước cho phép chúng
ta hiểu được những chức năng hoạt động của thị trường, điều kiện cần thiết
để hoạt động có thành công, và điều gì sẽ xảy ra nếu những điều kiện này
thất bại. Bây giờ chúng ta sẽ xét xem làm thế nào để vận dụng và cải thiện
thị trường.
2.2.1 Thiết kế lại thị trường bác sĩ
Như đã đưa ra ở các mục trước, những việc làm của Roth đã làm sáng tỏ
những cách làm cũ, không tập trung dẫn tới thất bại và tại sao thuật toán
mới (thuật toán chấp nhận trì hoãn) lại hoạt động tốt hơn. Tuy nhiên, theo
mô tả của Roth và Peranson (xem [2]), việc thay đổi cấu trúc của thị trường
lao động y tế nảy sinh sự rắc rối mới dẫn đến NRMP phải chỉnh sửa thuật
toán của họ. Trong những năm 1960, một số lượng lớn các cặp hôn nhân tốt
nghiệp trường Y, và họ thường bỏ qua thuật toán bằng việc liên lạc trực tiếp
tới các bệnh viện để xin việc. Một cặp có thể sẽ trở thành hai người đối đầu
22
nhau khi xin việc tại cùng một nơi. Roth đã chứng minh rằng trong một thị
trường mà một có một vài cặp vợ chồng cùng xin vào thì sẽ có thể không tồn
tại ghép đôi ổn định.
Việc cần thiết sửa đổi: thuật toán Roth-Peranson Trong những
năm 1990, tính đúng đắn của tuật toán mà NRMP đã được đặt dấu hỏi. Cụ
thể, các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng thuật toán với lời đề nghị của nhà tuyển
dụng mang lại lợi ích cho bệnh viện hơn là các sinh viên mới ra trường.
Những phòng chuyên trách tại các trường Y phải chịu trách nhiệm tư vấn

cho sinh viên về thì trường việc làm đã báo cáo lại rằng nhiều có rất nhiều
sinh viên tin rằng NRMP đã không thực hiện tốt chức năng quan tâm tới
lợi ích của sinh viên, và những sinh viên đó đã có xu hướng muốn việc tuyển
dụng phải được thực hiện theo cách khác.
Lý thuyết cơ bản của ghép cặp 2 phía là chỉ ra rằng thuật toán với lời
mời của nhà tuyển dụng là không phù hợp với người nộp đơn xin việc, v.v,
về mặt lý thuyết mà nói thì là có thể cho họ được lợi từ cách làm chiến lược.
Tuy nhiên, với lời đề nghị của người xin việc thì sẽ phù hợp với chính họ.
Sự phức tạp của thị trường lao động y tế, liên quan cả đến người xin việc và
những vị trí họ mong muốn, làm cho ta thấy rằng lý thuyết cơ bản không thể
áp dụng được. Tuy nhiên, tính toán thực nghiệm cho thấy rằng lý thuyết vẫn
có thể đưa ra những lời khuyên hữu ích thậm chí với cả những môi trường
hỗn hợp. Nói chung, đây có thể coi là lý do lớn để chuyển sang thuật toán
với lời đề nghị của người nộp đơn xin việc.
Vào năm 1995, NRMP đã thuê Alvin Roth trực tiếp thiết kế một thuật
toán mới. Mục đích của việc này là "hình thành một thuật toán mà sẽ mang
lại ghép cặp bền vững mang lại lợi ích cho người xin việc, trong khi vẫn đảm
bảo được sự kiềm chế nhất định của thị trường y tế (xem [4]).
Từ khi NRMP áp dụng thuật toán mới vào năm 1997, trên 200,000 bác
sĩ một năm đã được ghép cặp bởi thuật toán này (xem [2]). Thiết kế tương
tự đã được bước đầu áp dụng vào những thì trường nghề khác. Bằng chứng
thực nghiệm cho thấy rằng kết quả là ổn định mặc dù có mặt của những cặp
vợ chồng.
23
2.2.2 Tuyển sinh đại học
Nhiều sinh viên có ý định đơn giản là sau khi tốt nghiệp phổ thông sẽ vào
học tại các trường địa phương nơi họ sống, mặc dù họ có cơ hội vào nhiều
trường tốt hơn. Thường sinh viên sẽ đưa ra một danh sách các trường mà họ
muốn vào theo sự ưu tiên nhất định. Một vài trường có thể sẽ thích những
sinh viên với ý thức tốt, một số trường khác thì coi trọng kết quả học tập

của sinh viên hơn.
Trong mô hình về lý thuyết của Balinski và Sonmez đưa ra vào năm 1999
và Abdulkadiroglu và Sonmez vào năm 2003 (xem [4]), một sinh viên nộp
đơn vào trường có thể nhận được những sự ưu tiên cao từ các trường (ví dụ,
nếu như cô ấy sống gần trường đó, có anh chị em đang làm việc tại trường,
hay có kết quả học tập cao ở trường phổ thông). Trong trường hợp này, các
trường sẽ phải dùng đến các tiêu chí ưu tiên với sinh viên, có nghĩa là nhứng
sinh viên được đánh giá cao hơn sẽ được ưu tiên hơn. Ta năm bắt được ý
tưởng nếu sinh viên 1 được đánh giá cao hơn sinh viên 2 tại trường S, và
sinh viên 2 được vào trường S thì sinh viên 1 phải được vào một trường mà
sinh viên đó thích ít nhất bằng trường S (có lẽ chính là trường S).
Một điểm khác biệt quan trọng giữa mô hình này và mô hình ghép cặp
2 phía là xếp hạng ưu tiên của sinh viên có thể dựa trên các tiêu chí khách
quan có thể kiểm chứng. Trong mỗi ví dụ trên, vấn đề về động viên tương
thích là không cần thiết nảy sinh trong các trường. Hơn nữa, những thứ tự
ưu tiên không chịu tác động phúc lợi giống như thứ tự ưu tiên thường có.
Việc này đề xuất sử dụng thuật toán chấp nhận trì hoãn với lời đề nghị của
người nộp đơn, không những phù hợp với người nộp đơn vào trường mà còn
là tối ưu nhất
2
. Trường trung học công ở thành phố New York đã sử dụng
thuật toán năm 2003, và hệ thống trường công tại Boston bắt đầu sử dụng
một phiên bản khác của thuật toán chấp nhận trì hoãn vào năm 2005
3
.
Trước năm 2003, những học sinh nộp đơn vào trường trung học công tại
2
Bằng chứng thực nghiệm về cơ chế lựa chọn trường được nghiên cứu và đưa ra bởi Chen và Sonmez
(2006), Feartherstone và Niederle (2001) và Pais và Pintér (2008) (xem [4]).
3

Vấn đề người thiết kế thị trường đối mặt trong 2 thị trường trên có phần hơi khác. Tại New York,
hệ thống chọn trường có hiệu quả với thị trường hai phía trong khi trường học chủ động hơn cho người
xin vào học. Còn ở Boston, các trường học thì bị động và sự ưu tiên được xét chủ yếu.