Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Thanh Tùng
TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH
XẠ KHƠNG GIÃN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Thanh Tùng
TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH
XẠ KHƠNG GIÃN
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 2
1.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert . . . 2
1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . 2
1.1.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ tìm nghiệm
bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho
một họ ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh tìm
nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động
chung cho một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn 13
2.1 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh giải bài
tốn đặt ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kết luận 27
Tài liệu tham khảo 28
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ii
Lời cảm ơn
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS. Nguyễn Bường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và
nhiệt tình của thầy trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học và các Thầy, các cơ trong
Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục
vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình,
tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy và các cơ.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại trường.
Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tơi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Phạm Thanh Tùng

Số hóa bởi trung tâm học liệu />iii
Bảng ký hiệu
R Tập hợp số thực
N Tập hợp số tự nhiên
H Khơng gian Hilbret H
E Khơng gian Banach E
x, y Tích vơ hướng của x và y
x
X
Chuẩn của x trong khơng gian X
φ Tập rỗng
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
inf
x∈X
F (x) Cận dưới lớn nhất của tập {F (x) : x ∈ X}
sup
x∈X
F (x) Cận trên nhỏ nhất của tập {F (x) : x ∈ X}
I Ánh xạ đơn vị
J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của khơng gian Banach E
A
∗
Tốn tử liên hợp của tốn tử tuyến tính A
D(A) Miền xác định của tốn tử A
x
k
→ x Dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x

x
k
 x Dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
F ix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
Mở đầu
Bài tốn tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân và tìm điểm bất
động cho lớp ánh xạ khơng giãn đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Cho
đến nay các bài tốn này vẫn là một trong những vấn đề được sự quan
tâm của nhiều nhà tốn học ở trong nước cũng như trên thế giới.
Trong phạm vi đề tài luận văn chúng tơi sử dụng một số phương pháp
hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cũng như phương pháp tìm điểm
bất động để kết hợp giữa thuật tốn hiệu chỉnh ngun lý bài tốn phụ
cho bất đẳng thức biến phân nhằm giải quyết bài tốn: Tìm nghiệm của
bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho họ vơ hạn các ánh
xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Chương 1
Một số khái niệm và kiến thức
chuẩn bị
1.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian
Hilbert
Trong phần này chúng tơi nêu bài tốn, trình bày điều kiện tồn tại
nghiệm và phương pháp ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm bất đẳng
thức biến phân.
1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển
Trong luận văn chúng ta ln giả thiết H là khơng gian Hilbert thực
với tích vơ hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng là ., . và .. Cho

C là một tập con lồi đóng trong H. Ánh xạ F từ C vào H là một ánh
xạ liên tục. Bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được
phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho:
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.1)
Tập những điểm x
∗
thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của bài tốn
và ký hiệu là V I(F, C).
Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với
nhiều bài tốn khác nhau trong đó có bài tốn điểm bất động.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
• Bài tốn điểm bất động
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert H và
T : C → C là một ánh xạ liên tục. Bài tốn điểm bất động của ánh xạ
đơn trị được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho:
x
∗
= T (x
∗
). (1.2)

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài tốn điểm bất động
với bất đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong khơng gian Hilbert
H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Nếu ánh xạ F xác định bởi
F (x) := x−T (x) ∀x ∈ C thì bài tốn điểm bất động (1.2) tương đương
với bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1).
Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) phụ
thuộc vào hàm F và miền ràng buộc C. Định lý sau cho ta biết điều
kiện tồn tại nghiệm của bài tốn (1.1) trong khơng gian Hilbert.
Định lý 1.1. Cho C là một tập lồi, compact của khơng gian Hilbert H
và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó bài tốn (1.1) tồn
tại ít nhất một nghiệm x
∗
∈ C.
Trong Định lý 1.1 cần tập C phải là một tập compact. Khi tập C
khơng phải là tập compact thì bài tốn (1.1) vẫn tồn tại nghiệm khi
điều kiện bức sau được thỏa mãn. Cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 1.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C. Giả sử tồn tại
một tập compact U khác rỗng thuộc C sao cho: với mọi u ∈ C \ U, tồn
tại v ∈ U thỏa mãn F (u), u − v > 0. Khi đó, bất đẳng thức biến phân
cổ điển (1.1) có ít nhất một nghiệm.
Thơng thường nghiệm của bất đẳng thức khơng phải là duy nhất.
Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Ta giả sử rằng x
1
và x
2
là hai nghiệm khác nhau của bài tốn (1.1). Khi

đó ta có:
x
1
∈ C : F (x
1
), x − x
1
 ≥ 0, ∀x ∈ C và
x
2
∈ C : F (x
2
), x − x
2
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x
2
và trong bất đẳng thức
thứ 2 ta chọn x = x
1
, sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức
ta được:
F (x
1
) − F(x
2
), x
1
− x
2

 ≤ 0.
Do đó điều kiện đủ để bài tốn (1.1) có nghiệm duy nhất là:
F (x
1
) − F (x
2
), x
1
− x
2
 > 0, ∀x
1
, x
2
∈ C, x
1
= x
2
. (1.3)
Từ điều kiện (1.3) suy ra bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có
nghiệm duy nhất. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.
1.1.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ tìm nghiệm bất
đẳng thức biến phân
Trong phần trên chúng ta trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng
thức biến phân cổ điển trong khơng gian Hilbert. Trong phần này ta sẽ
trình bày phương pháp ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm bất đẳng
thức biến phân. Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau:
Cho H là một khơng gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác
rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ từ C vào H.
• Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có:

F (x) − F(y), x − y ≥ 0 ;
• Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có:
F (y), x − y ≥ 0 suy ra F (x), x − y ≥ 0 ;
• Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F(x + ty)  F (x) khi
t → 0
+
với ∀x, y ∈ C ;
• Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại ,một
hằng số L > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có F (x) − F (y) ≤ Lx − y .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
• Cho X là một tập con lồi đóng trong H. Một ánh xạ T của X vào
H được gọi là khơng giãn trên X, nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn
điều kiện sau: T (x) − T (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ C.
• Ánh xạ F được gọi là a-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng
số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F (y), x − y ≥ ax − y
2
.
• Ánh xạ F được gọi là a-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một
hằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có:
F (x) − F(y), x − y ≥ aF (x) − F (y)
2
.
Dễ dàng thấy rằng ánh xạ F là a-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F
là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là phương pháp
ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ
điển trong khơng gian Hilbert.
Phương pháp ngun lý bài tốn phụ được G.Cohen [5] giới thiệu lần
đầu vào năm 1980 khi nghiên cứu bài tốn tối ưu. Năm 1988, Cohen [5]
vận dụng ngun lý bài tốn phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân cổ điển. Để trình bày kết quả đó trước hết chúng ta trình bày

phương pháp ngun lý bài tốn phụ tổng qt.
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert H và
J là một phiến hàm lồi trên H.
Giả thiết 
Ta nói rằng phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết  nếu với mọi dãy
{u
k
}
k∈N
⊂ C sao cho u
k
 → +∞ thì J(u
k
) → +∞.
Hiển nhiên phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết  nếu C là một tập bị
chặn. Ta ký hiệu J

(u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm J tại u. Ta
xét bài tốn tối ưu sau:
Tìm u
∗
∈ C sao cho:
J(u
∗
) = min
u∈C
J(u), (1.4)
ở đây J là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux. Bổ đề sau đây
cho ta biết sự tồn tại nghiệm của bài tốn cực trị (1.4).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6

Bổ đề 1.1. [5] Nếu phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết  thì bài tốn
(1.4) tồn tại ít nhất một nghiệm u
∗
. Hơn nữa nghiệm u
∗
là duy nhất nếu
J

đơn điệu mạnh.
Ta cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux. Với mỗi
v ∈ C và ε > 0 xác định một phiếm hàm sau:
G : u −→ ϕ(u) + εJ

(v) − ϕ

(v), u. (1.5)
Khi đó, G

(v) = εJ

(v). Do đó nếu v ∈ C là nghiệm bài tốn (1.4) thì
v là nghiệm của bài tốn:
min
u∈C
{ϕ(u) + εJ

(v) − ϕ

(v), u}. (1.6)
Từ đó dẫn đến thuật tốn sau: Cho {ε

n
}
n∈N
là một dãy số thực dương.
Thuật tốn 1.
(i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý ε
0
và u
0
∈ C;
(ii) Tại bước k = n, biết ε
n
và u
n
, giải bài tốn phụ sau:
min
u∈C
{ϕ(u) + ε
n
J

(u
n
) − ϕ

(u
n
), u}. (1.7)
Gọi u
n+1

là nghiệm bài tốn (1.7).
(iii) Dừng, nếu u
n+1
− u
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Ngược lại,
ta quay trở lại bước trước.
Sự tồn tại nghiệm của bài tốn (1.4) và (1.7) được trình bày trong
định lý sau:
Định lý 1.3. [5] Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết ;
(ii) J là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux J

là một ánh xạ
L-liên tục Lipschitz trên C;
(iii) ϕ là một hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ

là ánh xạ b-đơn điệu
mạnh và B-liên tục Lipschitz trên C.
Khi đó, bài tốn (1.4) tồn tại nghiệm u
∗
và bài tốn (1.7) có duy
nhất nghiệm u
n+1
, với mọi n ∈ N.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Giả sử, nếu ε
n
thỏa mãn điều kiện:
α < ε

n
<
2b
L + β
, α, β > 0 (1.8)
. Thì dãy {J(u
n
)} giảm nghiêm ngặt ( trừ khi u
n
= u
∗
, ∀n ∈ N)và
hội tụ tới J(u
∗
). Hơn thế nữa, mọi điểm tụ yếu của dãy {u
n
} là nghiệm
của bài tốn (1.4).
(iv) Nếu giả thiết thêm rằng J

là một ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên
C, thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh tới u
∗
và u
∗
là nghiệm duy nhất của bài
tốn (1.4) và ta có:
u

n+1
− u
∗
 ≤
1
a

B
ε
n
+ L

u
n+1
− u
n
 (1.9).
Để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1). Cohen [6]
đã tiến hành như sau. Lấy tùy ý u
0
∈ C và ε
0
> 0, xét bài tốn phụ:
min
u∈C
{ϕ(u) + ε
0
F (u
0
) − ϕ


(u
0
), u}. (1.10)
Gọi u
1
là nghiệm của bài tốn (1.10). Thay u
0
và ε
0
bởi u
1
và ε
1
để tìm
u
2
. Tiếp tục q trình đó dẫn đến thuật tốn sau:
Thuật tốn 2.
(i) Tại bước n = 0, bắt đầu với u
0
và ε
0
;
(ii) Tại bước thứ n, giải bài tốn phụ:
min
u∈C
{ϕ(u) + ε
n
F (u

n
) − ϕ

(u
n
), u}. (1.11)
Ký hiệu u
n+1
là nghiệm bài tốn (1.11).
(iii) Dừng, nếu u
n+1
− u
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó, nếu khơng,
ta quay trở về bước trước.
Chú ý 1.1 Tại mỗi bước lặp của thuật tốn trên, u
n
là nghiệm duy
nhất của bất đẳng thức biến phân:
F
n
(u
n
), u − u
n
 ≥ 0 ∀u ∈ C,
ở đây, F
n
là xấp xỉ của F, với
F

n
(u) = ε
n
F (u
n
) + ϕ

(u) − ϕ

(u
n
) ∀u ∈ C.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
Ta có định lý sau:
Định lý 1.4. [6] Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi
đóng khác rỗng của H. Giả sử ánh xạ F : C → H thỏa mãn các điều
kiện sau:
(i) F là ánh xạ liên tục trên C;
(ii) F là ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C.
Khi đó, bài tốn (1.1) có nghiệm duy nhất u
∗
. Nếu giả thiết thêm rằng:
(iii) ϕ : C → R là phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux;
(iv) ϕ

là ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số b trên C.
Thế thì bài tốn phụ (1.11) có duy nhất một nghiệm u
n+1
. Hơn nữa, nếu:
(v) F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C và 0 < ε

n
< 2abL
2
thì
dãy nghiệm {u
n
} của bài tốn phụ (1.11) hội tụ mạnh tới nghiệm u
∗
của
bài tốn (1.1).
1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động
chung cho một họ ánh xạ khơng giãn
Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động
của lớp ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert, chúng ta sẽ giới
thiệu ánh xạ khơng giãn và sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ này
trong khơng gian Hilbert.
• Cho X, Y là hai khơng gian Banach. Ánh xạ T : X → Y được
gọi là d-compact, nếu {x
n
} là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy
{T (x
n
) − x
n
} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {x
n
k
} của dãy {x
n
}

cũng hội tụ mạnh.
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ khơng giãn đòi hỏi một số điều
kiện. Định lý sau đây cho ta biết về sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
Định lý 1.5. Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập đóng và
giới nội của H, T : C → C là một ánh xạ khơng giãn. Khi đó, T có ít
nhất một điểm bất động trong C.
Định lý sau đây cho ta biết tính chất tập điểm bất động của ánh xạ
khơng giãn trong khơng gian Hilbert.
Định lý 1.6. Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng
và giới nội của H. Giả sử rằng T : C → C là một ánh xạ khơng giãn và
d-compact. Khi đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi khác
rỗng.
1.2.1 Phương pháp lặp Halpern
Phương pháp lặp Halpern được B.Halpern [7] đề xuất vào năm 1967.
với phương pháp này dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
được xác định bởi:
x
0
∈ C, x
n+1
= α
n
u + (1 − α
n

)T x
n
, n = 0, 1, 2 (1.12)
Trong đó, u là một phần tử tùy ý thuộc C, {α
n
}
∞
n=0
là một dãy số thực
trong đoạn [0, 1] và T : C → C là một ánh xạ khơng giãn trên tập lồi
đóng bị chặn C của khơng gian Hilbert H. B.Halpern cho kết quả sau.
Định lý 1.7. [7] Cho C là một tập con lồi đóng bị chặn của khơng gian
Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ khơng giãn trên C. Khi đó với
u ∈ C và dãy số thực {α
n
}
∞
n=0
⊂ [0, 1] sao cho α
n
= n
−θ
, θ ∈ (0, 1) ,
thì dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi (1.12) hội tụ mạnh đến điểm bất động
của T.

Năm 1977, Lions [8] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp
(1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trong khơng
gian Hilbert H, khi đó dãy số {α
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện: (L
1
) :
lim
n→∞
α
n
= 0 ; (L
2
) :
∞

n=0
α
n
= ∞ và (L
3
) : lim
n→∞
|α
n
− α
n+1

|
α
2
n
= 0.
Năm 1992, Wittmann [12] cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của
dãy lặp (1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trong
khơng gian Hilbert. Khi dãy số {α
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện : (L
1
),
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
(L
3
), và (L
4
):
∞

n=o
|α
n+1
− α
n
| < ∞. Sau này, Bauschke [3] là người đầu
tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern để tìm điểm bất động chung

cho một họ hữu hạn các ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert
bằng cách sử dụng điều kiện (L
5
) :

∞
n=0
|α
n+N
− α
n
| < ∞.
Định lý 1.8. [3] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
Hilbert H và {T
i
}
N
i=1
: C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ khơng
giãn, sao cho F =
N
∩
i=1
F ix(T
i
) = φ và thỏa mãn
F = F ix(T
N
T
N−1

T
1
)
= F ix(T
1
T
N
T
2
)
=
= F ix(T
N−1
T
N−2
T
1
T
N
)
Giả sử rằng {α
n
}
∞
n=0
là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L
1
),(L
2
)

và (L
5
). Khi đó với u và x
0
tùy ý thuộc C thì dãy {α
n
}
∞
n=0
xác định bởi:
x
n+1
= α
n+1
u+(1−α
n+1
)T
[n+1]
x
n
, n ≥ 0 (1.13)
trong đó T
[n]
= T
n
(modN), hội tụ mạnh tới P
F
u.
Từ kết quả của Bauschke [3], sau này lại có một kết quả khác bằng
việc thay đổi điều kiện (L

5
) bằng điều kiện (L
6
) : lim
n→∞
α
n
α
n+N
= 1 hoặc
lim
n→∞
α
n
− α
n+N
α
n+N
= 0 để có kết quả sau:
Định lý 1.9. [3] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
Hilbert H và {T
i
}
N
i=1
: C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ khơng
giãn, sao cho F =
N
∩
i=1

F ix(T
i
) = φ và thỏa mãn
F = F ix(T
N
T
N−1
T
1
)
= F ix(T
1
T
N
T
2
)
=
= F ix(T
N−1
T
N−2
T
1
T
N
).
Giả sử rằng {α
n
}

∞
n=0
là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L
1
),(L
2
)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
và (L
6
), Khi đó với u và x
0
tùy ý thuộc C thì dãy {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi
x
n+1
= α
n+1
u+(1−α
n+1
)T
[n+1]
x
n
, n ≥ 0 (1.14)
trong đó T

[n]
= T
n
(modN), hội tụ mạnh tới P
F
u.
1.2.2 Phương pháp lặp Mann
Phương pháp lặp Mann được W.R. Mann [9] đề xuất vào năm 1953.
Với phương pháp này dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
được xác định bởi:
x
0
∈ C, x
n+1
= (1−α
n
)x
n
+α
n
T x
n
, n = 0, 1, 2 (1.15)
ở đây {α
n
}

∞
n=0
⊂ (0, 1).
Để ý rằng, khi α
n
= γ với mọi n thì dãy lặp Mann trở về dãy lặp
Krasnoselskij.
Mann đã chứng minh rằng, nếu dãy số {α
n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1) thỏa mãn
điều kiện
∞

n=0
α
n
(1 − α
n
) = ∞ thì dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
hội tụ yếu đến một
điểm bất động của ánh xạ T , với T là ánh xạ khơng giãn từ một tập lồi
đóng khác rỗng C của khơng gian Hilbert H vào chính nó.
Năm 1967, Browder và Petryshyn [4] là những người đầu tiên vận

dụng phương pháp lặp Mann để đưa ra kết quả hội tụ mạnh cho dãy
lặp {x
n
}
∞
n=0
tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong khơng
gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.10. [4] Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi
đóng bị chặn của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt. Khi
đó với mỗi γ ∈ (1 − λ, 1), dãy {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi:
x
0
∈ C, x
n+1
= γx
n
+ (1 − γ)T x
n
= [γI + (1 − γ)T ]
n
(x
0
), n = 0, 1, 2, (1.16)
hội tụ yếu đến điểm bất động của T. Hơn nữa nếu T là d − compact thì

dãy (1.16) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T .
Năm 1974, Rhoades [11] đưa ra kết quả sau:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
Định lý 1.11. [11] Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi,
compact của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt. Giả sử
rằng {α
n
}
∞
n=0
là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện:
(i) α
0
= 1; (ii) 0 < α
n
< 1, n ≥ 1;
(iii)
∞

n=1
α
n
= ∞; (iv) lim
n→∞
α
n
= α < 1 − λ.
Khi đó dãy {x
n
}

∞
n=0
xác định bởi (1.15) hội tụ mạnh đến điểm bất
động của T
Năm 2006, Marino và Xu [10] đưa ra kết quả hội tụ yếu của dãy
(1.15) tới điểm bất động của ánh xạ λ− giả co chặt trong khơng gian
Hilbert khi dãy số {α
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện:
(i) λ < α
n
< 1;
(ii)
∞

n=0
(α
n
− λ)(1 − α
n
) = ∞.
Tóm lại,chương 1 chúng tơi đã trình bày một số kết quả cơ bản đã
được biết đến khi nghiên cứu bài tốn bất đẳng thức biến phân trong
khơng gian Hilbert.Cùng với đó là việc sử dụng phương pháp lặp Halpern
và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động chung cho một họ vơ
hạn ánh xạ khơng giãn. Trong chương 2 chúng tơi sẽ giới thiệu phương
pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cùng

một số kết quả cơ bản đạt được trong phạm vi đề tài.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Chương 2
Phương pháp ngun lý bài tốn
phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm của
bất đẳng thức biến phân là điểm
bất động chung cho một họ vơ hạn
các ánh xạ khơng giãn
2.1 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu
chỉnh bất đẳng thức biến phân
• Bài tốn
Cho H là một khơng gian Hilbert thực, tích vơ hướng và chuẩn được
ký hiệu tương ứng bởi ., . và .. Cho C là một tập con lồi đóng trong
H. Ký hiệu hình chiếu của một điểm x ∈ H lên tập C bởi P
C
(x). Một
ánh xạ A của C vào H được gọi là đơn điệu, nếu
A(u) − A(v), u − v ≥ 0,
với mỗi u, v ∈ C. Bài tốn bất đẳng thức biến phân là tìm u ∈ C sao
cho
A(u), u − v ≤ 0, ∀v ∈ C. (2.1)
Tập các nghiệm của (2.1) được ký hiệu bởi V I(C, A).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Cho {T
i
}
∞
i=1
là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trên C. Bài
tốn được nghiên cứu là tìm phần tử

u
∗
∈ S := V I(C, A) ∩ F, (2.2)
được giả thiết là khác rỗng, ở đây A là một ánh xạ đơn điệu L-Lipschitz
liên tục, có nghĩa là tồn tại một hằng số dương L sao cho
Au − Av ≤ Lu − v ∀u, v ∈ C,
và F :=
∞

i=1
F ix(T
i
).
Lưu ý rằng bài tốn (2.1) khơng có tính đơn điệu mạnh hoặc đều của
A, đó là bài tốn đặt khơng chỉnh và được hiệu chỉnh bằng bài tốn
hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân: Tìm u
α
∈ C sao cho
A(u
α
) + αu
α
, u
α
− v ≤ 0 ∀v ∈ C, (2.3)
ở đây α > 0 là một tham số hiệu chỉnh. Xuất phát từ thuật tốn
hiệu chỉnh (2.3), tồn tại nhiều phương pháp khác nhau để giải (2.1)
nếu ta thống nhất về một quy tắc được gọi là ngun lý bài tốn phụ.
Ngun lý này được xây dựng dựa trên việc sử dụng một hàm bổ trợ
ϕ : H → (−∞, ∞), có tính khả vi và lồi mạnh, và một dãy số dương

{ε
n
}
n≥1
. Với mỗi x ∈ C, ta đưa vào bài tốn phụ
min
z∈C
ϕ(z) + ε
k
A(x) − ϕ

(x), z.
Cho z(x) là nghiệm của bài tốn phụ này. Khi đó nó được đặc trưng
bởi bất đẳng thức biến phân
ϕ

(z(x)) + ε
k
A(x) − ϕ

(x), z(x) − v ≤ 0 ∀v ∈ C. (2.4)
Nếu z(x) được thay bằng x, thì dễ dàng kiểm tra được z(x) là nghiệm
bài tốn (2.1).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
• Thuật tốn cơ bản
(i) Tại k = 1 xuất phát tại điểm z
1
và số ε
1
.

(ii) Tại bước k = n, biết z
n
, tìm z
n+1
= z(z
n
) bằng giải bài tốn phụ
(2.4) với x thay bằng z
n
min
z∈C
ϕ(z) + ε
n
A(z
n
) − ϕ

(z
n
), z. (2.5)
(iii) Dừng nếu z
n+1
− z
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Nếu khơng, thì
quay về bước trước.
Với một số điều kiện về kỹ thuật và cách chọn ε
n
trong (2.5), thuật
tốn cơ bản ở trên hội tụ khi A là đơn điệu mạnh hoặc có tính chất

Dunn. Thuật tốn cũng hội tụ khi ánh xạ A là một gradient và đơn
điệu. Trong trường hợp này, (2.1) tương ứng với bài tốn tìm cực tiểu
hàm lồi. Thuật tốn được nghiên cứu giúp giải nhiều bài tốn liên quan,
xem ví dụ. Lưu ý rằng thuật tốn này khơng hội tụ khi ánh xạ A là đơn
điệu mạnh, nhưng khơng là một gradient. Để loại bỏ điều xấu này, trong
[10], Baasansuren và Khan đã sử dụng thuật tốn cơ bản cho (2.3), ở
đây A + αI là a-đơn điệu mạnh. Họ đã kết hợp thuật tốn hiệu chỉnh
với thuật tốn cơ bản trên. Tư tưởng này phát triển để tìm điểm bất
động chung của một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt.
Mặt khác để tìm điểm bất động chung của một họ vơ hạn ánh xạ
khơng giãn T
i
trên một tập con lồi đóng C, Takahashi đưa ra một ánh
xạ W, sinh bởi T
n
, T
n−1
, · · ·, T
1
và γ
n
, γ
n−1
, · · ·, γ
1
, là những số thực,
như sau:
U
n,n+1
= I,

U
n,n
= γ
n
T
n
U
n,n+1
+ (1 − γ
n
)I,
U
n,n−1
= γ
n−1
T
n−1
U
n,n
+ (1 − γ
n−1
)I,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U
n,2
= γ
2
T
2
U

n,3
+ (1 − γ
2
)I,
W
n
= U
n,1
= γ
1
T
1
U
n,2
+ (1 − γ
1
)I.
(2.6)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Dựa trên những kết quả nêu ở trên, ta sử dụng thuật tốn bài tốn phụ
hiệu chỉnh, để giải (2.2). Ta xét bài tốn phụ kết hợp với một phương
pháp hiệu chỉnh, để giải (2.2) dưới dạng sau.
Ta bắt đầu với một điểm cho trước z
1
∈ C và tham số ε
1
và α
1
, sau
đó giải bài tốn

min
z∈C
ϕ(z) + ε
1
(A
1
(z
1
) + α
1
z
1
) − ϕ

(z
1
), z, A
1
= A + α
µ
1
A
1
,
ở đây A
1
= I − W
1
, µ ∈ (0, 1), đó là số thực, và I ký hiệu là tốn tử
đồng nhất trong H. Phiếm hàm ϕ được chọn sao cho bài tốn trên tồn

tại nghiệm cực tiểu. Chúng ta ký hiệu nghiệm đó bằng z
2
tiếp tục thay
tương ứng ε
1
, α
1
và z
1
bởi ε
2
, α
2
và z
2
.
• Thuật tốn A.
(i) Tại k = 1 bắt đầu với z
1
, ε
1
và α
1
.
(ii) Tại bước k = n ta giải bài tốn: Tìm z ∈ C sao cho
min
z∈C
ϕ(z) + ε
n
(A

n
(z
n
) + α
n
z
n
) − ϕ

(z
n
), z,
A
n
= A + α
µ
n
A
n
, A
n
= I − W
n
.
(2.7)
Gọi z
n+1
là nghiệm bài tốn.
(iii) Dừng nếu z
n+1

− z
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Nếu khơng,
quay về bước trước.
Đối với dãy {ε
n
}
∞
n=1
và {α
n
}
∞
n=1
, chúng ta đặt điều kiện sau.
• Giả thiết A.
Cho {α
n
} và {ε
n
} là hai dãy số thực , thỏa mãn các điều kiện:
(i) 0 < ε
n
≤ 1; 0 < α
n+1
≤ α
n
≤ 1 : α
n
→ 0 khi n → ∞ và

Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
(ii)
∞

n=1
ε
n
α
n
= ∞,
∞

n=1
ε
2
n
< ∞,
∞

n=1
(α
n
− α
n+1
)
2
α
3
n
ε

n
< ∞.
Sự hội tụ của thuật tốn (2.7) được chứng minh ở phần tiếp theo.
2.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu
chỉnh giải bài tốn đặt ra
Đầu tiên, chúng ta xây dựng một nghiệm hiệu chỉnh u
n
, bằng cách
giải bài tốn bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: Tìm u
n
∈ C sao
cho
A(u
n
) + α
µ
n
A
n
(u
n
) + α
n
u
n
, u
n
− v ≤ 0 ∀v ∈ C. (2.8)
Chúng ta liệt kê một số vấn đề cơ bản được sử dụng trong chứng
minh.

cho F là một song hàm từ C × C vào R. Bài tốn cân bằng cho F
là tìm u
∗
∈ C sao cho
F (u
∗
, v) ≥ 0 ∀v ∈ C.
Giả thiết rằng song hàm F có các tính chất cơ bản sau.
Điều kiện 2.1 Song hàm F cho bởi:
(A1) F (u, u) = 0 ∀u ∈ C.
(A2) F (u, v) + F(v, u) ≤ 0 ∀(u, v) ∈ C × C.
(A3) Với mỗi u ∈ K, F(u, .) : C → R là liên tục dưới và lồi.
(A4) lim
t→+0
F ((1 − t)u + tz, v) ≤ F (u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C.
Mệnh đề 2.1.
(i) Nếu F (., v) là h-liên tục với mọi v ∈ C và F là đơn điệu, có nghĩa
là thỏa mãn (A2) trong Điều kiện 2.1, thì U
∗
= V
∗
, ở đây
U
∗
là tập nghiệm của F (u
∗
, v) ≥ 0 ∀v ∈ C,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
V
∗

là tập nghiệm của F (u, v
∗
) ≤ 0 ∀u ∈ C,
và nó là tập lồi đóng.
(ii) Nếu F (., v) là h-liên tục với mỗi v ∈ C và F là đơn điệu mạnh,
có nghĩa là tồn tại một hằng số dương τ sao cho
F (u, v) + F (v, u) ≤ −τu − v
2
,
thì U
∗
là một điểm duy nhất.
Bổ đề 2.1. Cho {a
n
}, {b
n
} và {c
n
} là dãy các số dương, thỏa mãn các
điều kiện :
(i) a
n+1
≤ (1 − b
n
)a
n
+ c
n
, b
n

< 1,
(ii)
∞

n=0
b
n
= +∞, lim
n→+∞
(c
n
/b
n
) = 0.
Thì, lim
n→+∞
a
n
= 0.
Bổ đề 2.2. Cho T là một ánh xạ khơng giãn trên một tập con lồi đóng
C của khơng gian Hilbert thực H. Nếu T là điểm bất động, thì I − T là
nửa đóng; điều đó xảy ra khi dãy {x
n
} là một dãy trong C hội tụ yếu
đến một điểm x ∈ C và dãy {(I − T)(x
n
)} hội tụ mạnh đến 0, thì suy
ra (I − T )(x) = 0.
Bổ đề 2.3. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert thực
H, cho {T

i
}
∞
i=1
là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trong C sao
cho F :=
∞

i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {γ
i
} là một dãy trong (0, γ] với mỗi
γ ∈ (0, 1). khi đó, với mỗi x ∈ C và i ≥ 1, lim
n→∞
U
n,i
x tồn tại.
Vì vậy, chúng ta có thể xác định các ánh xạ sau
U
∞,i
x := lim
n→∞
U
n,i
x, và W x := lim
n→∞
W
n

x.
Dễ dàng kiểm tra được, W
n
, U
n,i
, U
∞,i
và W là các ánh xạ khơng giãn
trên C. Hơn nữa, nếu {x
n
} là một dãy giới nội trong C, thì
lim
n→∞
W (x
n
) − W
n
(x
n
) = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
Bổ đề 2.4. cho C, H, {T
i
}
∞
i=1
và {γ
i
} như trong Bổ đề 2.3 thì, ta có
F ix(W ) = F.

Bây giờ ta có thể chứng minh những kết quả sau
Định lý 2.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert H, cho A là một ánh xạ đơn điệu h-liên tục từ C vào H, và
cho {T
i
}
∞
i=1
là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trên C sao cho
S := V I(C, A) ∩ F = ∅, ở đây V I(C, A) ký hiệu là tập nghiệm của
(1.1) và F =
∞

i=1
F ix(T
i
). Khi đó, chúng ta có:
(i) Với mỗi α
n
> 0, bài tốn (2.8) có duy nhất nghiệm u
n
.
(ii) lim
n→∞
u
n
= u
∗
, u
∗

∈ S, u
∗
 ≤ y ∀y ∈ S.
(iii) u
n
− u
m
 ≤
|α
n
−α
m
|
α
n
u
∗
, α
n
, α
m
> 0.
Chứng minh. (i) Đặt
F
n
(u, v) = A(u) + α
µ
n
A
n

(u), v − u.
Khi đó, bài tốn (2.8) có dạng sau: tìm u
n
∈ C sao cho
˜
F
n
(u
n
, v) ≥ 0 ∀v ∈ C, (2.9)
ở đây
˜
F
n
(u, v) = F
n
(u, v) + α
n
u, v − u.
Khơng khó khăn có thể kiểm tra
˜
F
n
(u, v) là một song hàm,
˜
F
n
(u, v)
thỏa điều kiện 2.8, và đơn điệu mạnh với hằng số α
n

> 0. Vì vậy, (2.9)
(suy ra (2.8)) có nghiệm duy nhất u
n
với mỗi α
n
> 0.
(ii) Bây giờ, ta sẽ chứng minh
u
n
 ≤ y ∀y ∈ S. (2.10)
Vì y ∈ S, từ Bổ đề 2.3 ta có A
n
(y) = y − W
n
(y) = 0. Quan sát này,
tính đơn điệu của A + A
n
và với u
n
là nghiệm của (2.9) suy ra
u
n
, y − u
n
 ≥ 0 ∀y ∈ S,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
và vì vậy, ta nhận được (2.10). Điều đó có nghĩa {u
n
} là giới nội. Lấy
{u

k
} là dãy con của {u
n
} sao cho u
k
hội tụ yếu tới u
∗
∈ H, khi k → +∞.
C là đóng theo chuẩn và lồi, C là đóng yếu. Do đó, u
∗
∈ C. Ta chứng
minh u
∗
∈ S. Với mục đích đó, trước hết, ta chứng minh u
∗
∈ V I(C, A).
Thật vậy, theo (2.8) và A, A
k
là đơn điệu, chúng ta có
A(v), u
k
− v ≤ A(u
k
), u
k
− v
≤ α
µ
n
A

k
(u
k
), v − u
k
 + α
k
u
k
, v − u
k

≤ α
µ
n
A
k
(v), v − u
k
 + α
k
v, v − u
k

≤ α
µ
k
(A
k
(v) + α

1−µ
k
v)(v + y) ∀v ∈ C, y ∈ S.
(2.11)
vì lim
k→∞
A
k
(v) = lim
k→∞
v − W
k
(v) = v − W(v), từ (2.11) chúng ta
nhận được
A(v), u
∗
− v ≤ 0 ∀v ∈ C,
điều này tương đương với (2.2). Có nghĩa rằng u
∗
∈ V I(C, A). u
∗
∈ F,
ta lấy một phần tử bất kỳ y ∈ S. khi đó, bằng lập luận tương tự như
(2.11), tính đơn điệu của A và với A
k
là (1/2)-đơn điệu mạnh, chúng ta
có
u
k
− W

k
(u
k
)
2
≤ 2α
1−µ
k
y, y − u
k
 ∀y ∈ S.
Do đó, u
k
− W
k
(u
k
) → 0 khi k → ∞, và suy ra, u
k
− W (u
k
) → 0
khi k → ∞. Theo Bổ đề (2.2), u
∗
là điểm bất động của W , suy ra bởi
Bổ đề (2.5), u
∗
∈ F. Từ (2.10), tính hội tụ yếu của dãy {x
k
} tới u

∗
và
tính duy nhất của thành phần có chuẩn nhỏ nhất trong S, tập con lồi
đóng trong C, chúng ta nhận được sự hội tụ mạnh của dãy {u
n
} hội tụ
tới u
∗
.
(iii) Từ (2.8), (2.10) và tính đơn điệu của A và A
n
, suy ra
α
n
u
n
, u
m
− u
n
 + α
m
u
m
, u
n
− u
m
 ≥ 0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />