Mô hình lấy quyết định nhóm trong trường hợp đa tiêu chuẩn mờ phụ thuộc

Số hóa bởi trung tâm học liệu


1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG




VŨ THỊ QUYÊN




MÔ HÌNH LẤY QUYẾT ĐỊNH NHÓM
TRONG TRƢỜNG HỢP ĐA TIÊU CHUẨN
MỜ PHỤ THUỘC

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Tân Ân

Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu


i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đạt được trong luận văn là sản phẩm cá nhân,
không sao chép lại của người khác. Trong toàn bộ nội dung luận văn, những điều
được trình bày là của cá nhân hoặc là tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu. Tất cả các tài
liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và được trích dẫn hợp pháp.
Tôi xin chịu trách nhiệm và mọi hình thức kỷ luật theo quy định cho lời cam
đoan của mình.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2013
Học viên



Vũ Thị Quyên


Số hóa bởi trung tâm học liệu


ii

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin chân thành cảm ơn thày giáo PGS.TS Nguyễn Tân Ân đã
nhiệt tình, tận tâm hướng dẫn và chỉ bảo cho em thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Công
nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo ở Viện
Công nghệ thông tin đã dạy bảo, cung cấp những kiến thức quý báu cho em trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người luôn cổ vũ,
quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chắc không tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Em rất mong nhận được những sự góp ý quý báu của thầy cô và
các bạn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2013
Học viên


Vũ Thị Quyên



Số hóa bởi trung tâm học liệu


iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii
BẢNG KÍ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH v
DANH MỤC HÌNH VẼ vi
DANH MỤC BẢNG BIỂU vii
PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1
3. Hướng nghiên cứu của đề tài 1
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài 2
6. Bố cục luận văn 2
PHẦN NỘI DUNG 3
Chƣơng 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 3
1.1. Tập mờ 3
1.2. Các phép toán trên tập mờ 5
1.3. Số mờ 9
1.3.1. Các mô tả số mờ dựa trên một ít các tham số 11
1.3.1.1. Số mờ L-R (có một số tài liệu ký hiệu là [Z
-
,Z
+
]) 11
1.3.1.2. Số mờ tam giác (Triangular fuzzy number-TFNs) 13
1.3.2. Các biểu diễn mở rộng của số mờ tam giác 15
1.3.2.1. Số mờ tứ giác 15
1.3.2.2. Biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác 16

Số hóa bởi trung tâm học liệu

iv
1.3.3. Cách biểu diễm khác của số mờ tam giác 17
1.4. Ma trận mờ 18
1.5. Giải mờ 19
1.5.1. Phương pháp cực đại 20
1.5.2. Phương pháp trọng tâm (Center of gravity method –COG) 20
1.5.3. Phương pháp lấy trung bình tâm 21
1.6. Tổng kết chương 1 22
Chƣơng 2. MÔ HÌNH LẤY QUYẾT ĐỊNH NHÓM TRONG TRƢỜNG
HỢP ĐA TIÊU CHUẨN 23
2.1. Mô hình lấy quyết định nhóm trong trường hợp đa tiêu chuẩn 23
2.1.1. Bước 1: Tính toán các trọng số mờ hình tam giác từ so sánh từng
đôi mờ ma trận 24
2.1.2. Bước 2: Tính toán tích hợpcácý kiến mờhình tam giác 27
2.1.3. Bước 3: Sắp thứ tự các phương án 27
2.2. Giải quyết mâu thuẫn 28
2.3. Tổng kết chương 2 32
Chƣơng 3. XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG THỬ NGHIỆM
ĐÁNH GIÁ TIỀM NĂNG RỪNG UÔNG BÍ, QUẢNG NINH 33
3.1. Vấn đề đánh giá tiềm năng rừng 33
3.2. Xây dựng chương trình 35
3.3. Kiểm thử chương trình 36
3.4. Kết luận từ việc chạy chương trình 40
3.5. Tổng kết chương 3 40
KẾT LUẬN 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO 42



Số hóa bởi trung tâm học liệu

v
BẢNG KÍ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH

Từ viết tắt
Từ Tiếng Anh
Tiếng Việt
TFNs
Triangular fuzzy number
Số mờ tam giác
COG
Center of gravity method
Phương pháp trọng tâm



Số hóa bởi trung tâm học liệu


vi
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Các phép toán số học trên số mờ L-R 11
Bảng 1.2: Các phép toán số học trên số mờ tam giác 13
Bảng 1.3: So sánh kết quả của các phép toán số học của hai kiểu số mờ
L-R và số mờ tam giác trên các số mờ L-R 14
Bảng 1.4: Các phép toán số học trên số mờ tứ giác 15
Bảng 1.5: Các phép toán số học trên biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác 17
Bảng 2.1: Ma trận so sánh từng đôi mờ các tiêu chí 24

Bảng 2.2: Trọng số của các tiêu chí 25
Bảng 2.3: Ma trận so sánh từng đôi mờ của các nhà thầu theo tiêu chí 1 26
Bảng 2.4: Ma trận so sánh từng đôi mờ của các nhà thầu theo tiêu chí 2 26
Bảng 2.5: Ma trận so sánh từng đôi mờ của các nhà thầu theo tiêu chí 3 26
Bảng 2.6: Trọng số của các nhà thầu theo từng tiêu chí 26
Bảng 3.1: Mức chủ yếu để đưa ra quyết định so sánh giữa các tiêu chí 36


Số hóa bởi trung tâm học liệu


vii
DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình1.1: Đồ thị hàm phụ thuộc tập mờ A 4
Hình 1.2: Tập mờ lồi 5
Hình 1.3: Tập mờ µ
A
và phần bù của tập mờ 6
Hình 1.4: So sánh các hoạt động MIN, min, MAX, max của hai tập mờ A, B 8
Hình 1.5: Phép giao nhau của hai tập mờ 8
Hình 1.6: Phép hợp và phép bù của hai tập mờ 9
Hình 1.7: Đồ thị biểu diễn số mờ L-R 11
Hình 1.8: Phép cộng và phép trừ 12
Hình 1.9: Phép nhân và phép chia 13
Hình 1.10: Đồ thị biểu diễn số mờ tam giác 13
Hình 1.11: Đồ thị biểu diễn số mờ tứ giác 15
Hình 1.12: Đồ thị biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác 16
Hình 1.13: Đồ thị biểu diễn số mờ tam giác 18
Hình 1.14: Giải mờ bằng phương pháp cực đại 20

Hình 1.15: Giải mờ theo phương pháp trọng tâm 21
Hình 1.16: Hàm thuộc hợp thành dạng đối xứng 21
Hình 1.17: Giải mờ trung bình tâm 22
Hình 3.1: Giao diện chương trình thử nghiệm 36
Hình 3.2: Kết quả trọng số của các tiêu chí 37
Hình 3.3: Kết quả trọng số của các khu rừng theo tiêu chí giá trị gỗ 37
Hình 3.4: Kết quả trọng số của các khu rừng theo tiêu chí giá trị phòng hộ
đầu nguồn 38
Hình 3.5: Kết quả trọng số của các khu rừng theo tiêu chí giá trị hấp thu Cacbon 38
Hình 3.6: Kết quả trọng số của các khu rừng theo tiêu chí giá trị đa dạng sinh học 39
Hình 3.7: Kết quả bảng giá trị các khu rừng 39


Số hóa bởi trung tâm học liệu


viii


Số hóa bởi trung tâm học liệu


1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đánh giá là một thao tác rất hay gặp trong cuộc sống. Đánh giá là để lựa
chọn, để ra quyết định. Đánh giá đúng sẽ ra quyết định đúng. Đánh giá sai hậu quả
sẽ khôn lường. Đánh giá là một việc khó. Đã có nhiều phương pháp đánh giá. Nói
chung khi đánh giá, người ta thường gán cho đối tượng được đánh giá một số thực
như giá tiền, điểm bài làm của học sinh…. Nhiều trường hợp việc cho như thế là

khó nên người ta phải gán cho đối tượng được đánh giá một giá trị mờ như khá,
tốt,… Khi có nhiều chuyên gia cùng tham gia đánh giá người ta phải tích hợp các ý
kiến của các chuyên gia thành ý kiến chung của cả nhóm. Thao tác tích hợp này rất
phức tạp. Làm sao vừa lấy được ý kiến chung vừa có được sự nhất trí cao của cả
nhóm? Các kết quả nghiên cứu đã có thường không đủ tổng quát để có thể áp dụng
cho mọi trường hợp và cần tiếp tục được hoàn thiện và ứng dụng. Trong khuôn khổ
của luận văn thạc sĩ em chọn đề tài: Mô hình lấy quyết định nhóm trong trƣờng
hợp đa tiêu chuẩn mờ phụ thuộc nhằm nghiên cứu xây dựng mô hình lấy ý kiến
đánh giá mờ của nhóm chuyên gia trong trường hợp đánh giá theo nhiều tiêu chuẩn
phụ thuộc. Đề tài cũng thử nghiệm áp dụng cho việc đánh giá tiềm năng đất rừng
Uông Bí, Quảng Ninh.
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết tập mờ và đánh giá mờ
Phương pháp lấy và tích hợp ý kiến của nhóm chuyên gia trong trường hợp
đa tiêu chuẩn phụ thuộc.
3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu mô hình lấy quyết định mờ của nhóm chuyên gia trong trường
hợp đa tiêu chuẩn phụ thuộc. Thử nghiệm trong việc lấy ý kiến đánh giá của nhóm
chuyên giá về định giá lượng cac bon và khả năng chống xói mòn đất, giá trị bảo vệ
đa dạng sinh học, giá trị cảnh quan của rừng tại Uông Bí, Quảng Ninh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu


2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
-
:
-
-

-
-
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài
- Áp dụng các kết quả nghiên cứu được để định giá được
), gi
.
6. Bố cục luận văn
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chƣơng 1: Những kiến thức cơ sở
Chƣơng 2: Mô hình lấy quyết định nhóm trong trƣờng hợp đa tiêu chuẩn
Chƣơng 3: Xây dựng chƣơng trình ứng dụng, thử nghiệm đánh giá tiềm
năng rừng Uông Bí, Quảng Ninh
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Số hóa bởi trung tâm học liệu


3
PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Tập mờ
Trong toán học truyền thống khái niệm tập hợp được phát biểu như sau:
Cho tập hợp X và A ⊆ X khi đó ta có thể xây dựng một hàm, được gọi là
hàm đặc trưng, xác định các phần tử của tập X như sau:
Xét µ : X → {0,1 } với x ∈ X thì:
µ (x) = 1 nếu x ∈ A;
µ (x) = 0 nếu x ∉ A;

Hàm đặc trưng µ(x) rõ ràng là hàm xác định các phần tử của tập A. Nhờ hàm
µ(x) ta có thể nói tập A là tập gồm những phần tử x mà µ (x)=1. Bây giờ tập A có
thể biểu diễn một cách khác qua các phần tử của tập X:
A={(x, µ(x)=1)| x ∈ X}
Mở rộng khái niệm tập hợp của toán học học cổ điển nêu trên, Lofti Zadeh
xét hàm µ trên toàn đoạn [0,1].
Định nghĩa 1: Tập mờ [3]
Cho X là một tập hợp. A được gọi là một tập mờ trong X nếu:
A = {(x, µ
A
(x))| x∈X} trong đó µ
A
(x) là hàm xác định trên đoạn [0,1],
µ
A
: X → [0,1]. Hàm µ
A
được gọi là hàm thuộc của A còn µ
A
(x) là một giá
trị trong đoạn [0,1] được gọi là mức độ thuộc của x trong A.
Biểu diễn tập mờ
Khi X là tập các điểm rời rạc x1, x2, …xn thì tập mờ A có thể biểu diễn bằng
cách liệt kê A = {(x1, µ
A
(x1)), (x2, µ
A
(x2)), (xn , µ
A
(xn))}

Hoặc được ký hiệu là:
A = µ
A
(x1)/ x1 + µ
A
(x2)/ x2 + … + µ
A
(xn)/ xn
Trường hợp X liên tục thì A được kí hiệu là:
A = ∫
x
∈
X
µ
A
(x) /x

Số hóa bởi trung tâm học liệu


4
Ví dụ:
Cho X là tập các điểm tổng kết trung bình các môn học của sinh viên. Qua
thống kê người ta thấy rằng :
0% số người coi một sinh viên là giỏi khi điểm tổng kết đạt dưới 7.0
5% số người coi một sinh viên là giỏi khi điểm tổng kết đạt từ 7.0 đến 7.5
10% số người coi một sinh viên là giỏi khi điểm tổng kết đạt đến 8.0;
20% số người coi một sinh viên là giỏi khi điểm tổng kết đạt đến 8.5;
80% số người coi một sinh viên là giỏi chỉ khi điểm tổng kết đạt từ 9 đến 9,5
100% số người coi một sinh viên là giỏi khi điểm tổng kết đạt đến điểm 10

Bây giờ cần biểu diễn tập các điểm trên X, được ký hiệu là tập A, để mô tả
một "sinh viên giỏi". Với kết quả thống kê như trên, không thể dùng khái niệm tập
hợp theoquan niệm truyền thống để biểu diễn tập A. Trong trường hợp này, khái
niệm tập mờ là rất hữu dụng và A chính là một tập mờ. Nếu xét X chỉ gồm các đại
lượng hữu hạn, X = {7, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 9.5, 10.0}, thì tập mờ A được biểu diễn
như sau:
A={ (7, 0.05),(7.5,0.05),(8.0,0.1), (8.5, 0.2), (9.0,0.8) (9.5,0.8),(10,1.0 ) }
Hoặc:
A= 0.05/7 + 0.05/7.5 + 0,0.1/8 + 0.2/8.5 + 0,0.8/9 + 0.8/9.5 + 1.0/10
Nếu xét X là một khoảng liên tục X = [7.0, 10] thì ta có thể biểu diễn đồ thị
hàm thuộc của A như sau:

Hình1.1: Đồ thị hàm phụ thuộc tập mờ A
Tập mờ cắt mức

(

-cut)
Tập mờ cắt mức  là tập rõ trong đó hàm thành viên 
A
(x)>= .

Số hóa bởi trung tâm học liệu


5
Tập mờ lồi
Cho tập mờ A xác định trong không gian X có hàm thành viên 
A
(x). Khi

đó tập mờ A được gọi là tập mờ lồi nếu hàm liên thuộc của tập mờ có dạng lồi hay
nói cách khác tập mờ sẽ là tập mờ lồi nếu với mọi điểm x
1
, x
2
, x
3
thuộc không gian
X sao cho x
1
<x
2
<x
3
, ta luôn có:

A
(x
2
) min[
A
(x
1
), 
A
(x
3
)]

Hình 1.2: Tập mờ lồi

1.2. Các phép toán trên tập mờ [3]
Giao của hai tập mờ
Cho X là tập hợp, A, B là hai tập mờ trong X và có các hàm thuộc lần luợt là
µ
A
, µ
B
. Giao của hai tập mờ A và B, ký hiệu A∩B, là một tập mờ có hàm thuộc
µ
A∩B
xác định như sau:
µ
A∩B
(x) = min(µ
A
(x), µ
B
(x)) ∀x∈X
™ Hợp của hai tập mờ.
Cho X là tập hợp, A, B là hai tập mờ trong X và có các hàm thuộc lần luợt là
µ
A
, µ
B
. Hợp của hai tập mờ A và B trong X, ký hiệu A∪B, là một tập mờ có hàm
thuộc µ
A
∪
B
xác định như sau:

µ
A
∪
B
(x) ) = max(µ
A
(x), µ
B
(x)) ∀x∈X
™ Tích đại số của hai tập mờ.
Cho X là tập hợp, A, B là hai tập mờ trong X và có các hàm thuộc lần lượt là
1
x
1
x
2
x
3
E
A



Số hóa bởi trung tâm học liệu


6
µ
A
(x), µ

B
(x). Tích đại số của hai tập mờ A và B trong X, ký hiệu A.B là một tập mờ
có hàm thuộc được xác định như sau:
µ
A.B
(x) = µ
A
(x).µ
B
(x) ∀x∈X
™ Tổng đại số của hai tập mờ.
Cho X là tập hợp, A, B là hai tập mờ trong X và có các hàm thuộc lần lượt là
µA, µB. Tổng đại số của hai tập mờ A và B trong X, ký hiệu A+B là một tập mờ có
hàm thuộc được xác định như sau:
µ
A+B
(x) = µ
A
(x) + µ
B
(x) - µ
A
(x).µ
B
(x) ∀x∈X.
™ Phần bù của một tập mờ.
Cho A là tập mờ trong X có hàm thuộc µ
A
. Phần bù Ā của A trong X là một
tập mờ có hàm thuộc xác định như sau:

= 1 - µ
A
(x) ∀x∈X.

™ Tập mờ µ
A
Phần bù
Hình 1.3: Tập mờ µ
A
và phần bù của tập mờ
Tổng rời của hai tập mờ.
Cho X là tập hợp, A và B là hai tập mờ trong X. Tổng rời của hai tập mờ A
và B trong X, ký hiệu A⊕B định nghĩa như sau:
A⊕B = (Ā ∩B) ∪ (A∩ )
Phép trừ hai tập mờ.
Cho X là tập hợp, A, B là hai tập mờ trong X và có các hàm thuộc lần lượt
là µ
A
, µ
B
. Phép trừ của hai tập mờ A và B trong X ký hiệu A\B được định nghĩa
như sau:
A\B = A∩ .

Số hóa bởi trung tâm học liệu


7
 Cho X là tập hợp, A và B là hai tập mờ trong X, có các hàm thuộc lần
lượt là µ

A
, µ
B
. A gọi là nằm trong B, ký hiệu A⊂B nếu hàm thuộc thỏa mãn:
µ
A
(x) ≤ µ
B
(x) ∀x∈X.
Cho X là tập hợp, A và B là hai tập mờ trong X, có các hàm thuộc lần lượt là
µ
A
, µ
B
. A gọi là bằng B, ký hiệu A=B nếu và chỉ nếu:
µ
A
(x) = µ
B
(x) ∀x∈X
Tập hợp mức α của tập mờ.
Cho α ∈[0,1], X là tập hợp, A là một tập mờ trong X có hàm thuộc µ
A
. Tập
hợp A
α
thoả mãn A
α
={x∈X | µ
A

(x) ≥ α} gọi là tập hợp mức α của tập mờ A.
™ Khoảng cách Euclid trên tập mờ
X là tập hợp có hữu hạn n phần tử, A và B là hai tập mờ trên X. Khoảng cách
Euclid (trong không gian n chiều) trên tập mờ được tính như sau:

Khoảng cách e
2
(A,B) được gọi là một chuẩn Euclid.
Một số đồ thị minh họa về các phép toán trên tập mờ

Số hóa bởi trung tâm học liệu


8

Hình 1.4: So sánh các hoạt động MIN, min, MAX, max của hai tập mờ A, B
(trích từ tài liệu của Klir&Yuan)


Hình 1.5: Phép giao nhau của hai tập mờ (đƣợc trích từ tài liệu của
Klir&Yuan)

Số hóa bởi trung tâm học liệu


9

Hình 1.6: Phép hợp và phép bù của hai tập mờ (trích từ tài liệu của Klir&Yuan)
1.3. Số mờ
Có nhiều định nghĩa khác nhau về số mờ, tuy nhiên một cách trực quan

chúng ta có thể hiểu số mờ như là một biểu thức xấp xỉ một số thực nào đó. Ví dụ,
“xấp xỉ 4” là giá trị của một biểu thức cho bởi một tập mờ A với một hàm thành
viên 
A
(x) tương ứng mà nó đạt giá trị cực đại tại x=4. Dưới cái nhìn mở rộng một
cách trực quan cho các số thực nên chúng ta có thể thừa nhận định nghĩa số mờ với
một cực đại phân biệt của hàm thành viên.
A là một số mờ thì A phải có 3 thuộc tính sau
1. A phải là một tập mờ
2. A(α) phải là đóng  α(0,1]
3. A, A(0
+
) phải được phân biệt rõ ràng.
Số Mờ có thể đƣợc định nghĩa một cách tổng quát nhƣ sau:

Số hóa bởi trung tâm học liệu


10
Định nghĩa 2: Một số mờ là một tập mờ chuẩn lồi của đường thẳng thực R
sao cho:
i) Có một và chỉ một mR sao cho 
A
(m) =1, gọi là giá trị trung bình của A.
ii) 
A
(x) là liên tục từng mảnh.
Vì tập mờ A là lồi nên hàm thành viên 
A
(x) là một hàm tăng đơn điệu với

x<m và giảm đơn điệu với x>m.
Định nghĩa chính xác tính lồi của tập mờ trên đƣờng thẳng thực là:
Định nghĩa 3: Một tập mờ (thực) là lồi khi và chỉ khi:
x1, x2 R,  [0,1]

A
(x1 +(1-)x2)  min (
A
(x1), 
A
(x2))
Vì vậy, không tồn tại cực đại địa phương của hàm thành viên mà chỉ có duy
nhất một cực đại phân biệt (distinct maximum) tại giá trị trung bình x=m và số mờ
m
F
có thể được xem như là giá trị “mờ” của số thực m.
Chú ý rằng m
F
không mô tả chỉ một số mờ duy nhất vì hàm thành viên có thể
có nhiều hình dáng khác nhau. Hơn nữa, ngoàicác số mờ thực, còn có nhiều kiểu
khác của số mờ cũng có thể được định nghĩa (ví dụ như các số mờ nguyên) phụ
thuộc vào tập nền trên đó tập mờ A tương ứng được xác định.
Đối với các ứng dụng thực tế, thật là thuận lợi nếu chúng ta sử dụng các hàm
thành viên được mô tả bởi chỉ một ít các tham số. Dubois và Prade giới thiệu các số
mờ với các hàm thành viên có cùng kiểu giống nhau ở cả hai bên điểm cực đại là số
mờ L-R. Thông thường các -hàm có kiểu dáng tam giác được sử dụng là vì chúng
ta có thể tính toán một cách dễ dàng các giá trị của hàm thành viên, Kaufman và
Guta lần đầu tiên sử dụng các số mờ tam giác (triangular fuzzy number-TFNs) được
mô tả bởi ba tham số: góc trái dưới 1, góc phải dưới r của tam giác và giá trị trung
bình. Nhiều phép toán số học có thể được thực hiện dễ dàng trên các số mờ tam giác

bằng các phép toán trên các tham số này. Bên cạnh đó, Irion đã mở rộng biểu diễn
các số mờ tam giác bằng cách thêm vào hai tham số.

Số hóa bởi trung tâm học liệu


11
1.3.1. Các mô tả số mờ dựa trên một ít các tham số
1.3.1.1. Số mờ L-R (có một số tài liệu ký hiệu là [Z
-
,Z
+
])
a) Định nghĩa: Số mờ L-R là một bộ gồm 2 số (l,r) có hàm thành viên 
A
(x)
tương ứng là:





và có đồ thị biểu diễn như sau:

Hình 1.7: Đồ thị biểu diễn số mờ L-R
b) Các phép toán số học trên số mờ L-R
Cho a=(la, ra) và b=(lb, rb) là các số mờ tam giác cân, gọi c=(lc, rc) là số mờ
kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b. Ta có bảng kết quả
như sau:
Bảng 1.1: Các phép toán số học trên số mờ L-R
Phép toán số học
lc
rc
-a
-ra
-la
1/a
1/ra
1/la
a+b
la+lb
ra+rb



















rx
rl
rx
rl
rl
xllx
lr
rxlx
x
A
2
)(
)(
2
2
)(
)(
2
,0
)(

m
m=(l+r)/2

1
0
r
l

Số hóa bởi trung tâm học liệu


12
a-b=a+(-b)
la-rb
ra-lb
a.b
min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
a
b

min(la
lb
,ra
rb
,ra
lb
,la
rb
)
max(la
lb
,ra

rb
,ra
lb
,la
rb
)
Một số đồ thị minh hoạ các phép toán trên số mờ













Hình 1.8: Phép cộng và phép trừ (trích từ tài liệu của Klir&Yuan)

Số hóa bởi trung tâm học liệu


13




Hình 1.9: Phép nhân và phép chia (trích từ tài liệu của Klir&Yuan)
1.3.1.2. Số mờ tam giác (Triangular fuzzy number-TFNs)
a) Định nghĩa: Số mờ tam giác là một bộ gồm 3 số (l,r,m) có hàm thành viên

A
(x) tương ứng là:



và có đồ thị biểu diễn như sau:






Hình 1.10: Đồ thị biểu diễn số mờ tam giác (trƣờng hợp 1)
b) Các phép toán số học trên số mờ tam giác
Cho a=(la, ra, ma) và b=(lb, rb, mb) là các số mờ tam giác, gọi c=(lc, rc, mc)
là số mờ kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b. Ta có bảng
kết quả như sau:
Bảng 1.2: Các phép toán số học trên số mờ tam giác

Phép toán
số học
lc
rc
mc
-a
-ra
-la
-ma
1/a
1/ra
1/la
1/ma
1
0
r
l
m


















rxm
rm
rx
mxl
lm
lx
rxlx
x
A
,0
)(


Số hóa bởi trung tâm học liệu


14
a+b
la+lb
ra+rb
ma+mb
a-b=a+(-b)
la-rb
ra-lb
ma-mb

a.b
min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
ma.mb
a
b

min(la
lb
,ra
rb
,ra
lb
,la
rb
)
max(la
lb
,ra
rb
,ra
lb
,la
rb
)
ma
mb

So sánh kết quả của các phép toán số học của hai kiểu số mờ L-R và số mờ
tam giác trên các số mờ L-R: nhận xét rằng các số biểu diễn góc trái dưới và góc

phải dưới là bằng nhau, nên ta chỉ còn so sánh hai giá trị trung bình (điểm cực đại)
tương ứng của hai kết quả tính toán.
Bảng 1.3: So sánh kết quả của các phép toán số học của hai kiểu số mờ L-R
và số mờ tam giác trên các số mờ L-R
Phép
toán
số học
Kết quả phép toán số học
theo số mờ L-R
a=(la,ra)
và b=(lb,rb)
Kết quả phép toán số học
theo số mờ tam giác
a=(la,ra,ma)
có cực đại ma=(la+ra)/2
b=(lb,rb,mb)
có cực đại mb=(lb+rb)/2
Kết quả
so sánh
giá trị
trung bình
-a
(-ra,-la)
(-ra,-la,-ma)
bằng nhau
1/a
(1/ra,1/la)
(1/ra,1/la,1/ma)
khác nhau
a+b

(la+lb,ra+rb)
(la+lb,ra+rb,ma+mb)
bằng nhau
a-b
(la-rb,ra-lb)
(la-rb,ra-lb,ma-mb)
bằng nhau
a.b
l=min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
l=min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
khác nhau

r=max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)
r=max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb)



m=ma.mb

a
b

(l,r)
(l,r,m)
khác nhau

l=min(la
lb
,ra
rb

,ra
lb
,la
rb
)
l=min(la
lb
,ra
rb
,ra
lb
,la
rb
)


r=max(la
lb
,ra
rb
,ra
lb
,la
rb
)
r=max(la
lb
,ra
rb
,ra

lb
,la
rb
)



m=ma
mb


Tuy nhiên sự so sánh trên đây không hề có một ý nghĩa đầy đủ về sự mở rộng của
số mờ, bởi vì sự mở rộng của các phép toán số học trên số mờ phải tuân theo nguyên tắc
mở rộng của Zadeh. Nghĩa là sự mở rộng của các phép toán số học trên số mờ tam giác
được gọi là tốt hơn các phép toán số học đối với các số mờ L-R nếu kết quả của phép
toán số học trên số mờ tam giác có độ xấp xỉ với kết quả của các phép toán tương ứng
được định nghĩa bởi Zadeh là tốt hơn với độ xấp xỉ của kết quả của các phép toán số học
trên số mờ L-R, với kết quả của phép toán được định nghĩa bởi Zadeh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu


15
Vì vậy, ở đây chỉ có thể nói rằng số mờ tam giác là một mô tả khác của số
mờ, sự mô tả số mờ tam giác có tính tổng quát hơn sự mô tả số mờ L-R. Còn việc
chứng minh sự mở rộng các phép toán số học trên số mờ tam giác là tốt hơn so với
các phép toán số học trên số mờ L-R theo nguyên tắc mở rộng của Zadeh. Lý do là
có thể trong một số trường hợp này tốt hơn và trong một số trường hợp khác là
không tốt hơn. Để tìm các số cụ thể minh họa cho hai trường hợp trái ngược nhau
này thì phải thực nghiệm tìm các kết quả cụ thể trên máy tính.

1.3.2. Các biểu diễn mở rộng của số mờ tam giác
1.3.2.1. Số mờ tứ giác
a) Định nghĩa: Số mờ tứ giác là một bộ gồm 4 số (l,r,m,h) có hàm thành viên

A
(x) tương ứng là:





và có đồ thị biểu diễn như sau:





Hình 1.11: Đồ thị biểu diễn số mờ tứ giác
b) Các phép toán số học trên số mờ tứ giác:
Cho a=(la, ra, ma, ha) và b=(lb, rb, mb, hb) là các số mờ tứ giác, gọi c=(lc,
rc, mc, hc) là số mờ kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b.
Bảng 1.4: Các phép toán số học trên số mờ tứ giác
Phép toán
số học
lc
rc
mc
hc



















rrmhxllmhh
rxrrmh
rm
rx
llmhxl
lm
lx
rxlx
x
A
)()(
)(
)(
,0

)(

1
0
r
l
m
h

Số hóa bởi trung tâm học liệu


16
-a
-ra
-la
-ma
ha
1/a
1/ra
1/la
1/ma
ha
a+b
la+lb
ra+rb
ma+mb
min(ha,hb)
a-b=a+(-b)
la-rb

ra-lb
ma-mb
min(ha,hb)
ab
min(la.lb,ra.rb,ra.lb, la.rb)
max(la.lb,ra.rb,ra.lb,
la.rb)
ma.mb
min(ha,hb)
a
b

min(la
lb
, ra
rb
, ra
lb
, la
rb
)
max(la
lb
,ra
rb
,ra
lb
,la
rb
)

ma
mb

min(ha,hb)
Gọi F1 là tập các số mờ L-R, F2 là tập các số mờ tam giác, F3 là tập các số
mờ tứ giác. Thì ta có: F1  F2  F3.
1.3.2.2. Biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác
a) Định nghĩa:
Biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác là một bộ gồm 5 số (l,r,m,h,k) có hàm
thành viên 
A
(x) tương ứng là:






và có đồ thị biểu diễn như sau:






Hình 1.12: Đồ thị biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác
b) Các phép toán số học trên biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác:
Cho a=(la, ra, ma, ha, ka) và b=(lb, rb, mb, hb, kb) là các biểu diễn mở rộng
của số mờ tứ giác, gọi c=(lc, rc, mc, hc, kc) là số mờ kết quả của một phép toán số
học tác động lên a, hoặc a và b.

























k
krrmh
x
k
klrmh
h

rx
k
krrmh
rm
rxk
k
kllmh
xl
lm
lxk
rxlx
x
A
)()(
)()(
)()(
,0
)(

k
0
r
l
m
h