MỘT số bài tập về đa tạp KHẢ VI và lời GIẢI CHI TIẾT

MT S BI TP V A TP KH VI V LI GII CHI TIT

Bi 3.1
Chng minh rng ỏnh x :
(
)
(
)
(
)

V M V M V M
ì
xỏc ủnh bi:

(
)
[
]
, ,
X Y X Y

cú cỏc tớnh cht sau:
a)
[
]
[
]
, ,
X Y Y X
=

.
b)
[
]
[
]
[
]
, , , , , 0
X Y Z Y Z X Z X Y
+ + =

vi mi
(
)
, ,
X Y Z V M

.
Bi 3.2
Cho
RaVVV
lsk
);( );(,, );(,,

2121
.
Chứng minh rằng:
1.

+

=

+
2121
)(
.
2.
2121
)(








+

=
+

.
3.
)
(
)
(
)
(







=

=

a
a
a
.
4.

=


=


)
(
)
(
.
5.

=
ks
)1(
.
Bi 3.3
Cho
N
M
,
là các đa tạp khả vi,
*

f
là ánh xạ kéo lùi
).(, N
k


Chứng
minh rằng:
1.

***
)( fff =
.
2.
***
)( gffg


=
.
3.
ddffd ( .
**


=
là phép toán lấy vi phân ngoài).
Bi 3.4
Chứng minh các tính chất của vi phân ngoài

a.
(
)
1 2 1 2
d w w dw dw
+ = +

b.
(
)
2
0,
k
d w w=
M

Bi 3.5
a) Chng minh rng mt cu ủn v
(
)
{
}
1 2 2 2
1 2 1 1 2 1
, , , ; 1
n n
n n
S x x x x x x
+
+ +

= ∈ + + + =
ℝ

là ña tạp khả vi n chiều trong
1
n
+
ℝ
.
b) Trong
2
R
xét
{
}
2 2 2
( , ) , 1
M x y x y
= ∈ + =
ℝ
. Chứng minh rằng M là ña tạp khả vi
1 chiều trong
2
R
.
Bài 3.6
Chứng minh rằng
Nếu M và N là hai ña tạp khả vi thì M
×
N là ña tạp khả vi (gọi là ña tạp tích).

Bài 3.7
Trong
2
ℝ
cho
(
)
{
}
2 2 2
, : 0; ( )
M x y y x x y
= ∈ ≥ −
ℝ

coi M là không gian tô pô con của
2
ℝ
. Chứng minh rằng: M không thể là ña tạp khả
vi.
Bài 3.8
Mặt nón:
2 2 2 2 2
1 2 1
0(1 )
q q n
x x x x x q n
+
+ + + − − − = ≤ ≤
có là ña tạp con của

n
ℝ

không? Tại sao?
Bài 3.9 Xét các ñường cong sau ñây trong
2
ℝ
có là ña tạp khả vi hay không?
a,
2 3
y x x
= +

b,
2 3
y x x
= −

Bài 3.10 Chứng minh rằng trong
3
ℝ
. Hyperbolic hai tầng xác ñịnh bởi phương trình
ẩn
2 2 2
1
x y z
+ − = −
(H) là một ña tạp không compact không liên thông cung.
Bài 3.11
Chứng minh rằng xuyến

1
1 1 1
2

n
n
S S S
π
= × × ×
là ña tạp khả vi n chiều.


LỜI GIẢI
Bài 3.1
Giải
a)
∀
f
∈
F
r
(
M
),
∀
(
)
, ,
X Y Z V M
∈

ta có:

[
]
(
)
(
)
(
)
,
X Y f X fY Y Xf
= −

và
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,

Y X f Y Xf X Yf X Yf Y Xf
= − = − −
.
Vậy
[
]
[
]
, ,
X Y Y X
= −
.
b) Ta có:

[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,

.

X Y Z f X Y Zf Z X Y f
X YZf Y XZf Z X Yf Y Xf
X YZf Y XZf ZX Yf ZY Xf
 
= −
 
= − − −
= − − +


[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,

.
Y Z X f Y Z Xf X Y Z f
Y ZXf Z YXf X Y Zf Z Yf
Y ZXf Z YXf XY Zf XZ Yf
 

= −
 
= − − −
= − − +


[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,

.
Z X Y f Z X Yf Y Z X f
Z XYf X ZYf Y Z Xf X Zf
Z XYf X ZYf YZ Xf YX Zf
 
= −
 
= − − −
= − − +

Từ ñó ta có:
[
]
[
]
[
]
, , , , , 0
X Y Z Y Z X Z X Y     
+ + =
     
.
Bài 3.2

Giải

1. Ta cã:
(
)
(
)
( )
( )
1 2 1 1
1 2 1 1
, , , , ,
( )!
( , , , , , )
! !

k k k s
k k k s
v v v v
k s
Alt v v v v
k s
ω ω η
ω ω η
+ +
+ +
+ ∧ =
 
 
+
= + ⊗
( )( )
(
)
)(
)1(
)()1(21
, ,,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk
k
k
vvvv

sksk
sk
+
+
⊗+
+
⋅
+
=
∑
σσσσ
ηωωσ

( )
(
)
(
)
)(
)1(
)()1(21
, ,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk
k
k
vvvv

sksk
sk
+
+
+
+
⋅
+
=
∑
σσσσ
ηωωσ

(
)
(
)
[
]
(
)
)(
)1(
)()1(2)()1(1
, ,, ,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk

k
kk
vvvvvv
sksk
sk
+
+
+
+
⋅
+
=
∑
σσσσσσ
ηωωσ
(
)
(
)
)(
)1(
)()1(1
, ,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk
k
k

vvvv
sksk
sk
+
+
∑
+
⋅
+
=
σσσσ
ηωσ


(
)
(
)
)(
)1(
)()1(2
, ,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk
k
k
vvvv

sksk
sk
+
+
∑
+
⋅
+
+
σσσσ
ηωσ


( )
(
)
)()1(
)(
)1(1
,,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
skk
k
vvvv
sksk
sk
++

⊗
+
⋅
+
=
∑
σσσσ
ηωσ


( )
(
)
)()1(
)(
)1(2
,,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
skk
k
vvvv
sksk
sk
++
⊗
+
⋅

+
+
∑
σσσσ
ηωσ


( )
(
)
)()1(
)(
)1(1
,,, ,
!
!
)!(
skk
k
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗
+
=
σσσσ
ηω

( )
(
)
)()1(
)(
)1(2
,,, ,
!
!
)!(
skk
k
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗
+
+
σσσσ
ηω


(
)
(
)
(

)
(
)
., ,,, ,, ,,, ,
112111 skkkskkk
vvvvvvvv
++++
∧
+
∧
=
η
ω
η
ω


(
)
(
)
., ,,, ,
1121 skkk
vvvv
++
∧
+
∧
=
η

ω
η
ω

⇒
η
ω
η
ω
η
ω
ω
∧
+
∧
=
∧
+
2121
)(
.
NhËn xÐt: §Ó cho gän h¬n ta cã thÓ lµm theo c¸ch 2 nh− sau vµ nh÷ng ý cßn l¹i ta
lµm theo c¸ch 2.

( )
[ ]
( ) ( )( )
), ,,, ,(
!
!

)!(
, ,,, ,
11211121 skkkskkk
vvvvAlt
s
k
sk
vvvv
++++
⊗+
+
=∧+
ηωωηωω
( )
), ,,, ,(
!
!
)!(
1121 skkk
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗+⊗
+
=
ηωηω

( )( )

skkk
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗
+
= , ,,, ,
!
!
)!(
111
ηω

( )( )

skkk
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗
+
+ , ,,, ,
!
!
)!(

112
ηω

(
)

), ,,, ,(
1121 skkk
vvvv
++
∧
+
∧
=
η
ω
η
ω

⇒
η
ω
η
ω
η
ω
ω
∧
+
∧

=
∧
+
2121
)(
.
2. T−¬ng tù ta cã:
[ ]
( )
(
)
( )( )( )
skkkskkk
vvvvAlt
s
k
sk
vvvv
++++
+⊗
+
=+∧ , ,,, ,
!
!
!
, ,,, ,)(
11211121
ηηωηηω
(
)

( )( )
skkk
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗+⊗
+
= , ,,, ,
!!
!
1121
ηωηω

(
)
( )( )
skkk
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗
+
= , ,,, ,
!!
!
111

ηω

(
)
( )( )
skkk
vvvvAlt
s
k
sk
++
⊗
+
+ , ,,, ,
!!
!
112
ηω

(
)
(
)
skkk
vvvv
++
∧
=
, ,,, ,
111

η
ω

(
)
(
)
skkk
vvvv
++
∧
+
, ,,, ,
112
η
ω

(
)
(
)
skkk
vvvv
++
∧
+
∧
=
, ,,, ,
1121

η
ω
η
ω
.
⇒
2121
)(
η
ω
η
ω
η
η
ω
∧
+
∧
=
+
∧
.
3. Víi
R
a
∈
ta cã:
( )
[ ]
( )

(
)
( )
[ ]
( )
skkkskkk
vvvvaAlt
s
k
sk
vvvva
++++
⊗
+
=∧ , ,,, ,
!
!
!
, ,,, ,
1111
ηωηω

(
)
( )
[ ]
( )
skkk
vvvvaAlt
s

k
sk
++
⊗
+
= , ,,, ,
!
!
!
11
ηω

(
)
( )( )
skkk
vvvvAlt
s
k
sk
a
++
⊗
+
= , ,,, ,
!
!
!
11
ηω

(
)
(
)
skkk
vvvva
++
∧
=
, ,,, ,
11
η
ω
(*).
MÆt kh¸c ta cã:
( )
[ ]
( )
(
)
( )
[ ]
( )
skkkskkk
vvvvaAlt
s
k
sk
vvvva

++++
⊗
+
=∧ , ,,, ,
!
!
!
, ,,, ,
1111
ηωηω

(
)
( )
[ ]
( )
skkk
vvvvaAlt
s
k
sk
++
⊗
+
=
, ,,, ,
!
!
!
11

ηω

(
)
[
]
(
)
skkk
vvvva
++
∧
=
, ,,, ,
11
η
ω
(**).
Tõ (*) vµ (**),
⇒
)
(
)
(
)
(
η
ω
η
ω

η
ω
∧
=
∧
=
∧
a
a
a
.
4. Theo trªn ta cã:
(
)
[
]
(
)
( )
( )
( )
[ ]
( )
lskskskkk
lskskskkk
vvvvvvAlt
lsk
lsk
vvvvvv
++++++

++++++
⊗∧
+
++
=
∧
∧
, ,,, ,,, ,
!!
!
, ,,, ,,, ,
111
111
θηω
θ
η
ω

(
)
( )
( )( ) ( )
[ ]
lskskskkk
vvvvvvAlt
lsk
lsk
++++++
∧
+

+
+
=
, ,., ,,, ,
!!
!
111
θηω

(
)
( )
(
)
( )( ) ( )






⊗
+
+
++
=
++++++ lskskskkk
vvvvvvAlt
sk
sk

Alt
lsk
lsk
, ,., ,,, ,
!!
!
!!
!
111
θηω

(
)
( )
(
)
( )
[ ]
( )( )
lskskskkk
vvvvvvAltAlt
sk
sk
lsk
lsk
++++++
⊗⊗
+
+
+

+
= , ,,, ,,, ,
!!
!
!!
!
111
θηω

(
)
( )( )( )
lskskskkk
vvvvvvAlt
l
s
k
lsk
++++++
⊗⊗
+
+
= , ,,, ,,, ,
!
!
!
!
111
θηω

(
)
(
)
(
)
lskskskkk
vvvvvv
++++++
∧
∧
=
, ,,, ,,, ,
111
θ
η
ω
(a).
T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc:
(
)
[
]
(
)
lskskskkk
vvvvvv
++++++
∧
∧

, ,,, ,,, ,
111
θ
η
ω
(
)
(
)
lskskskkk
vvvvvv
++++++
∧
∧
=
, ,,, ,,, ,
111
θ
η
ω
(b).
Tõ (a) vµ (b),
⇒

θ
η
ω
θ
η
ω

θ
η
ω
∧
∧
=
∧
∧
=
∧
∧
)
(
)
(
.
5. Ta cã:
( )( )
(
)
( )( )
skkkskkk
vvvvAlt
s
k
sk
vvvv
++++
⊗
+

=∧
, ,,, ,
!
!
!
, ,,, ,
1111
ηωηω

( )
(
)
)(
)1(
)()1(
, ,,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk
k
k
vvvv
sksk
sk
+
+
⊗
+

⋅
+
=
∑
σσσσ
ηωσ

(
)
(
)
)(
)1(
)()1(
, ,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
sk
k
k
vvvv
sksk
sk
+
+
∑
+
⋅

+
=
σσσσ
ηωσ

( )
(
)
(
)
)()1()(
)1(
, ,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
1
ksk
k
ks
vvvv
sksk
sk
σσσσ
ωησ
+
+
∑
+

⋅
+
−=

( ) ( )
(
)
)(
)1(
)()1(
, ,,, ,sgn
)!(
1
!!
)!(
1
sk
k
k
ks
vvvv
sksk
sk
+
+
⊗
+
⋅
+
−=

∑
σσσσ
ωησ

( ) ( )
(
)
)(
)1(
)()1(
, ,,, ,
!
!
)!(
1
sk
k
k
ks
vvvvAlt
s
k
sk
+
+
⊗
+
−=
σσσσ
ωη

(
)
(
)
(
)
., ,,, ,1
)(
)1(
)()1( sk
k
k
ks
vvvv
+
+
∧−=
σσσσ
ωη


⇒
ωηηω
∧−=∧
ks
)1(
.
Bài 3.3
Giải

1) Ta cã:
(
)
(
)
(
)
(
)
skkkskkk
ufufufufuuuuf
++++
∧=∧
*1**1*11
*
, ,,, ,, ,,, ,
ηωηω

(
)
(
)
skkkskkk
ufufufufufufufuf
++++
∧
=
*1**1**1**1*
, ,,, ,, ,,, ,
η

ω

(
)
(
)
skkkskkk
uuuufuuuuf
++++
∧= , ,,, ,, ,,, ,
11
*
11
*
ηω

(
)
(
)
., ,,, ,
11
**
skkk
uuuuff
++
=

***
)( fff =
.
2)
(
)
(
)
skkk
uuuugf
++
, ,,, ,
11
*


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
skkk
ugfugfugfugf

++
=
*
1
*
*
1
*
, ,,, ,






(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
skkk
ufgufgufgufg
++
=
**1****1**

, ,,, ,


(
)
skkk
ufufufufg
++
=
*1**1*
*
, ,,, ,


(
)
(
)
skkk
uuuugf
++
= , ,,, ,
11
**


(
)
(
)

skkk
uuuugf
++
= , ,,, ,
11
**


.


***
)( gffg


=
.
3)
Với
(
)
k
M


ta có:
1
1
1
, ,

1

k
k
k
i
i
i i
i i n
a dx dx

< <
=

.
Nếu

là dạng bậc không thì ta có:
(
)
(
)
d f f d


=

Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp nh sau:
Giả sử
(

)
(
)
d f f d


=
với

là dạng bậc
k
. Ta chứng minh rằng với
dạng:
i
dx


có bậc là
1
k
+
thì đẳng thức trên vẫn đúng. Tức là phải chứng minh:
(
)
(
)
(
)
(
)

(**)
i i
d f dx f d dx


=

Thật vậy, ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
i
k
ii
dxddxdfdxdf +=

1
**


(

)
( )
(
)
(
)
1 0
vì
k
i i
f d dx d dx


= =
(Theo tính chất phép toán vi phân
ngoài)

(
)
(
)
i
f d f dx


=
(áp dụng chứng minh phần (
1
.))

(
)
(
)
i
d f f dx


=
(áp dụng giả thiết quy nạp)

(
)
(
)
i
d f dx


=
(áp dụng chứng minh phần (
1
.))

(
)
(
)
(
)

(
)
(*)
i i
f d dx d f dx


= =
đợc chứng minh.
Vậy:
d f f d

=

.
Bi 3.4
Gii

a,
1 2
,
w w


(
)
k

M
ta có:

1 1
1
1
1

k k
k
i i i i
i i n
w dx dx

< <
=



1 1
1
2
1

k k
k
i i i i
i i n
w dx dx

< <
=

Ta có:
( )
1 1 1 1
1 1
1 2
1 1

k k k k
k k
i i i i i i i i
i i n i i n
d w w d dx dx dx dx

< < < <

+ = +






( )
1 1 1
1

1

k k k

k
i i i i i i
i i n
d dx dx

< <

= +






(
)
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1

1

1 1
1 2


k k k
k
k k k k

k k
i i i i i i
i i n
i i i i i i i i
i i n i i n
d dx dx
d dx dx d dx dx
dw dw


< <
< <
< < < <
= +
= +
= +



d, Vì
1 1
1

1

k k
k
i i i i
i i n
dw d dx dx

< <
=

Nên:

( )
1 1
1
1 1 1 1
1 1

1
2
,
1 1

0
k k
k
k k k k
k k
i i i i
i i n
i i j j i i j j
i i n j j n
d dw d d dx dx
d dx dx dx dx

< <
< < < <

=



= =



(Vì trong tổng đó có các cặp triệt tiêu, và
k l l k
i i i i
dx dx dx dx
=
)
Bi 3.5

Gii

a) Cỏch 1: Xột hm
1
2
1
1
n
i
i
f x

+
=

=

Ta cú
1 1 1 1
2 , , 2
n n
D f x D f x
+ +
= =


hng
1
f i
J x

khụng
ủ
ng th

i b

ng khụng

h

ng

1 1
1 0
f n
J x x
+
= = =
.
Vì
ñ
i
ể
m (0, ,0)
n
S
∉

⇒
∀

ñ
i
ể
m
(
)
1 2 1
, , ,
n
n
P x x x S

+
= ∈
ta
ñề
u có h
ạ
ng
(
)
1
f
J p
=

(
)
1
0
n
f S
−
⇒ =
là
ñ
a t
ạ
p con n chi
ề
u c
ủ

a
1
n
+
ℝ
, vì
ñ
a t
ạ
p con c
ủ
a
ñ
a t
ạ
p kh
ả
vi là
ñ
a
t
ạ
p kh
ả
vi nên ta có
ñ
i
ề
u ph
ả

i ch
ứ
ng minh.
Cách 2: Ta xây d
ự
ng h
ệ
b
ả
n
ñồ

(
)
{
}
1 2 1
, , , 0
n
i n i
U x x x S x
+
+
= ∈ >

(
)
1, 1
i n
= +

(
)
{
}
1 2 1
, , , 0
n
i n i
U x x x S x
−
+
= ∈ <

(
)
1, 1
i n
= +

(
)
:
n
i i i i
U U
ϕ ϕ
± ± ± ±
→ ⊂
ℝ

( )
ɵ
(
)
1 2 1 1 2 1 1 1
, , , , , , , , , ,
i
n i i n
x x x x x x x x x
+ − + +
֏

(
)
1, 1
i n
= +

Xét ánh x
ạ
:
(
)
(
)
(
)
1
:

j i i i j j i j
U U U U
ϕ ϕ ϕ ϕ
−
+ + + + + + + +
⋅ ∩ → ∩

( )
( )
1
2
1 2 1 1 1
1,
, , , , , , 1 , , ,
n
n i i k i n
k k i
x x x x x x x x
ϕ
−
+
− +
= ≠
∑
 
−
 
 

ɵ

2
1
1 1 1
1,
, , , 1 , , , , ,
j
n
j
i k i n
k k i
x x x x x x
ϕ
+
−
− +
= ≠
∑
 
→ −
 
 
(gi
ả
s
ử
j >i)
(
)
1
j i

ϕ ϕ
−
+ +
⋅
là ánh x
ạ
kh
ả
vi.
L
ậ
p lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i ta có
{
}
,
i i
U
ϕ

± ±

(
)
1, 1
i n
= +
là Atlas kh
ả
vi
c
ủ
a
n
S
. Do
ñ
ó
n
S
là
ñ
a t
ạ
p kh
ả
vi n chi
ề
u trong
1

n
+
ℝ
.
b) Cách 1: Ta c
ũ
ng ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
ph
ầ
n a), ch
ứ
ng minh M là
ñ
a t
ạ
p con c
ủ
a
2
ℝ
.
Cách 2:
Xét ph
ủ
c

ủ
a M g
ồ
m 4 t
ậ
p m
ở

{
}
{
}
1 1
( , ) , 0 , ( , ) , 0
U x y M x U x y M x
+ −
= ∈ > = ∈ <

{
}
{
}
2 2
( , ) , 0 , ( , ) , 0
U x y M y U x y M y
+ −
= ∈ > = ∈ <

L
ậ

p các ánh x
ạ

1 1 1 1
: ( 1,1), : ( 1,1)
(x,y) y (x,y) y
U U
ϕ ϕ
+ + − −
→ − → −
֏ ֏
2 2 2 2
: ( 1,1), : ( 1,1)
(x,y) (x,y)
U U
x x
ϕ ϕ
+ + − −
→ − → −
֏ ֏

Ta có
i
ϕ
±
là các
ñồ
ng phôi.
Suy ra
(

)
1,2
,
i i
i
U
ϕ
± ±
=
là họ bản ñồ của M.
Ta có
(
)
1
2 1
2
: (0,1) (0,1)
y (x,y) 1
y
ϕ ϕ
−
+ +
→
−

֏ ֏

2
( ) 1
f y y

= −
khả vi trên (0,1) (lập luận tương tự các trường hợp còn lại)
Suy ra
(
)
1,2
,
i i
i
U
ϕ
± ±
=
là họ bản ñồ khả vi của M. Do ñó M là ña tạp khả vi 1 chiều.
Bài 3.6
Giải

Vì M và N là các ña tạp khả vi
⇒
có các Atlas khả vi
(
)
{
}
,
i i
i I
A U
ϕ
∈

=

(
)
{
}
,
j j
j J
B V
ψ
∈
=
của M và N tương ứng
Xét hệ bản ñồ sau:
(
)
{
}
ij
,
,
i j
i I j J
A B u v f
∈ ∈
× = ×

(
)

ij
, :
n m
i j i j
f U V
ϕ ψ
+
= × →
ℝ


(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
i j
p q p q
ϕ ψ
֏

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
1
ij ij
: , , , ,
kl i j k l kl i j k l
f f f U V U V f U V U V
−
∩ → ∩

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
ij
1 1 1 1
, , ,
kl
f
f
i j k i k j
p q p q p q
ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ
−

− − − −
֏ ֏  
;
(
)
1 1 1
ij
,
i j
f
ϕ ψ
− − −
=

Vì A, B là các Atlas kh
ả
vi
1 1
,
k i l j
ϕ ϕ ψ ψ
− −
⇒ ⋅ ⋅
là kh
ả
vi
, , ,
i j k l
∀
.

1
ij
kl
f f
−
⇒

kh
ả
vi
, , ,
i j k l
∀
.
A B
⇒ ×
là Atlas kh
ả
vi trên M
×
N
⇒
M
×
N là
ð
a t
ạ
p kh
ả

vi.
Bài 3.7
Giải

+)
2 3
3
2
0
( ) 0
x
x x y
x y
=


− = ⇔

= ±

⇒
M g
ồm 3 nhỏt
Oy
+
, hai ñường cong
3
2
x y
= ±

với y
≥
0
⇒
O(0.0)
∈
M
⇒
không tồn tại lân cận của O trong M sao cho lân cận ñó ñồng phôi
với một khoảng mở trong
ℝ
. Do ñó M không là ña tạp tôpô nên nó không là ña tạp
khả vi.
Bài 3.8

Giải

Mặt nón:
2 2 2 2 2
1 2 1
0(1 )
q q n
x x x x x q n
+
+ + + − − − = ≤ ≤

Xét hàm
2 2 2 2 2
1 2 1

q q n
f x x x x x
+
= + + + − − −

1 1
(2 2x -2x 2x )
f q q n
J x
+
=

Ta có h
ạ
ng
1
f
J
≠

1 2
0
q n
x x x x
⇔ = = = = = =
.
Vì (0,0,…,0) thu
ộ
c m
ặ

t nón suy ra
1
(0)
N f
−
=
không là
ñ
a t
ạ
p con c
ủ
a
n
ℝ
.
Bài 3.9
Giải

a)
2 3
y x x
= +
(C)
Xét hàm
2 3
( , )
f x y y x x
= − −

2
( , ) ( 3 1 2y) (0 0)
f
J x y x= − − ≠

,
x y
∀
. nên hang
1
f
J
=

( , ) ( )
x y C
∀ ∈

Suy ra
1
(0)
C f
−
=
là
ñ
a t
ạ
p kh
ả

vi con m
ộ
t chi
ề
u c
ủ
a
2
ℝ
.
b)
2 3
y x x
= −
(C
1
)
Xét hàm
2 3
( , )
f x y y x x
= − +

2
( , ) ( 3 1 2y)
f
J x y x= − +
H
ạ
ng

1
1
3
0
f
x
J
y

= ±

= ⇔


=


Ta thấy
1
1
,0 ( )
3
C
 
± ∉
 
 
Do
ñó
1

1
(0)
C f
−
= là
ñ
a t
ạ
p con m
ộ
t chi
ề
u c
ủ
a
2
.
ℝ

Bài 3.10
Xét
2 2 2
1
f x y z
= + − +
,
(2 2y -2z)
f
J x
=

do
ñ
ó h
ạ
ng
1 0
f
J x y z
≠ ⇔ = = =
, mà
(0,0,0) ( )
H
∉
suy ra
1
(0)
H f
−
= là
ñ
a t
ạ
p
kh
ả
vi hai chi
ề
u trong
3

ℝ
.
+) Ch
ứ
ng minh (H) không compact ta ch
ứ
ng minh r
ằ
ng (H) không b
ị
ch
ặ
n.
Th
ậ
t v
ậ
y t
ừ
ph
ươ
ng trình c
ủ
a (H) suy ra
2 2 2
1 1
z x y z
= + + ⇒ ≥

suy ra (H) không b

ị
ch
ặ
n nên (H) không compact.
+) L
ấ
y
1 1 1
( , , ) ( )
A x y z H
∈
trong
ñ
ó
1
1
z
>

2 2 2
( , , ) ( )
B x y z H
∈
trong
ñ
ó
2
1
z
< −

Gi
ả
s
ử
(H) liên thông cung suy ra t
ồ
n t
ạ
i ánh x
ạ
liên t
ụ
c
:[0,1]
f H
→
tho
ả
mãn f(0)=A, f(1) =B
Xét ánh x
ạ

:
(x,y,z) z
g H R
→
֏
là ánh x
ạ

liên t
ụ
c.
và h
ơ
n n
ữ
a
1
(0) ( ) 1
g f g A z
= = >

,
2
(1) ( ) 1
g f g B z
= = < −


Theo
ñị
nh lý Bônxano-Cosi
0 0
(0,1): ( ) 0
t g f t
∃ ∈ =


Suy ra

0 0 0 0 0 0 0
( , , ) ( ) : ( ) ( , , )
x y z H f t x y z
∃ ∈ =
và
0 0
( ) 0 0
g f t z
=
⇒
=


ð
i
ề
u này mâu thu
ẫ
n v
ớ
i
1
z
≥
v
ậ
y (H) không liên thông cung.
Bài 3.11
Giải

Trong
2
n
ℝ
chọn hệ toạ ñộ sao cho
1
1
S
có phương trình
2 2 2
1 1 1
x y r
+ =


1
2
S
có phương trình
2 2 2
2 2 2
x y r
+ =

…

1
n
S
có phương trình

2 2 2
n n n
x y r
+ =

Xét hàm
2 2 2
i i i i
f x y r
= + −
(
0
i
r
≠
)
Ta có
(2 2y )
i
f i i
J x
=
nên H
ạ
ng
1 0
i
f i i
J x y
≠ ⇔ = =

mà
1
(0,0)
i
S
∉

Suy ra
1 1
(0)
i i
S f
−
=
là
ñ
a t
ạ
p con kh
ả
vi m
ộ
t chi
ề
u, m
ặ
t khác tích hai
ñ
a t
ạ

p kh
ả
vi là
ñ
a t
ạ
p kh
ả
vi nên
1
1 1 1
2

n
n
S S S
π
= × × ×
là
ñ
a t
ạ
p kh
ả
vi n chi
ề
u.