Rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thứa, hàm số mũ và hàm số logarit ở lớp 12 trường THPT

Số hóa bởi trung tâm học liệu

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM





ĐINH THỊ THÁI HÀ





RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC
VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM





ĐINH THỊ THÁI HÀ





RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC
VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp giảng dạy môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN





THÁI NGUYÊN - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013
Tác giả luận văn



Đinh Thị Thái Hà

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ii
LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người
thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học,
Phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều
kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 12
trường THPT Mường Bi - Tân Lạc - Hòa Bình đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận
lợi cho em trong suốt quá trình học tập.
Dù đã rất cố gắng, song Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm
khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.

Tác giả


Đinh Thị Thái Hà

Số hóa bởi trung tâm học liệu

iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ v
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Giả thuyết khoa học 2
4. Phương pháp nghiên cứu 3
5. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy
học Toán 4
1.1.1. Biểu thức Toán học và biểu thức đại số 4
1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất 6
1.1.2.1. Phép biến đổi đồng nhất 6
1.1.2.2. Phép biến đổi đồng nhất thường gặp 7
1.2. Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán 7
1.2.1. Kỹ năng 8
1.2.2. Kỹ năng giải toán 8
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT 8
1.2.4. Con đường hình thành, rèn luyện kỹ năng cho HS THPT 9
1.2.5. Một số kỹ năng thường sử dụng khi rèn luyện cho HS trong
dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 10
1.3. Tình hình dạy học chương 2 Giải tích 12 ở trường THPT hiện nay 11
1.3.1. Nội dung dạy học chương 2 Giải tích lớp 12 11
Số hóa bởi trung tâm học liệu

iv
1.3.2. Những khó khăn thuận lợi của GV và HS khi dạy và học
chương 2 11
1.3.3. Mạch kiến thức sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong

chương trình môn Toán THPT 12
1.3.3.1. Mạch kiến thức trong đại số giải tích 12
1.3.3.2. Mạch kiến thức trong hình học 12
1.3.3.3. Sự có mặt của biểu thức và phép biến đổi đồng nhất
trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 13
1.3.4. Tình hình rèn luyện kỹ năng làm việc với biểu thức và biến đổi
đồng nhất ở THPT 13
1.4. Kết luận chương 1 14
Chƣơng 2. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG ĐỂ RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG
NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG 2 GIẢI TÍCH LỚP 12
Ở TRƢỜNG THPT 15
2.1. Định hướng 15
2.2. Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi
đồng nhất trong dạy học chương 2 Giải tích (cơ bản) lớp 12 THPT 15
2.2.1. Kỹ năng nhận dạng và thể hiện 15
2.2.1.1. Nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy
thừa và phép biến đổi đồng nhất trong các bài toán liên
quan khi dạy học nội dung chương 2 16
2.2.1.2. Nhận dạng và thể hiện biểu thức mũ và phép biến đổi
đồng nhất trong dạy học chương 2 29
2.2.1.3. Nhận dạng và thể hiện biểu thức lôgarit và phép biến
đổi đồng nhất trong dạy học nội dung chương 2 34
2.2.2. Kỹ năng rút gọn và biến đổi biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit 41
2.2.2.1. Một số kỹ năng biến đổi biểu thức đại số sơ cấp
thường gặp 41
2.2.2.2. Kỹ năng biến đổi, rút gọn biểu thức lũy thừa, mũ
và lôgarit 41
Số hóa bởi trung tâm học liệu

v
2.2.3. Kỹ năng vận dụng tính chất, phép toán và phép biến đổi của biểu
thức lũy thừa, mũ và lôgarit để giải phương trình mũ và Lôgarit 58
2.2.3.1. Đưa về phương trình mũ và lôgarit về dạng cơ bản 59
2.2.3.2. Đưa về phương trình mũ và lôgarit về cùng cơ số 65
2.2.3.3. Sử dụng tính chất của biểu thức, phép toán và phép
biến đổi đồng nhất trong phương pháp giải phương
trình mũ và lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ 71
2.2.3.4. Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ,
hàm số lôgarit để giải phương trình mũ và lôgarit 77
2.2.3.5. Sử dụng phép lấy lũy thừa, phép lấy lôgarit 81
2.2.4. Kỹ năng sử dụng phép biến đổi đồng nhất và các tính chất biểu
thị bằng bất đẳng thức của biểu thức mũ và lôgarit để giải BPT
mũ và lôgarit 85
2.2.4.1. Phương pháp đưa về cùng một cơ số 85
2.2.4.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 92
2.3.Kết luận chương 2 98
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 99
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 99
3.1.1. Mục đích 99
3.1.2. Nhiệm vụ 99
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 99
3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm 100
3.3. Giáo án thực nghiệm 100
3.4. Kết quả thực nghiệm và đánh giá 101
3.4.1. Kết quả định tính 101
3.4.2. Kết quả định lượng 102
3.5. Kết luận chương 3 105
KẾT LUẬN 106
TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

PHỤ LỤC 1
Số hóa bởi trung tâm học liệu

iv
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

GV : Giáo viên
HS : Học sinh
HĐTP : HĐTP
NXB : Nhà xuất bản
THPT : Trung học phổ thông
Tr : Trang
TXĐ : TXĐ

Số hóa bởi trung tâm học liệu

v
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Bảng phân bố tần số và tần suất về điểm số của bài kiểm tra
15 phút 102
Bảng 3.2: Bảng phân bố tần số và tần suất về điểm số của bài kiểm tra
45 phút 103




DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ so sánh chất lượng học tập của lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng qua bài kiểm tra 15 phút 104
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ so sánh chất lượng học tập của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng qua bài kiểm tra 45 phút 104

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học học có vị trí quan trọng trong trường THPT, nó là
công cụ để học các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên kỹ
thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn hàng ngày.
Việc dạy và học môn Toán ở trường phổ thông không chỉ nhằm truyền
thụ tri thức mà điều quan trọng là phải rèn luyện những kỹ năng Toán học cần
thiết cho HS. Trong đó có kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng
nhất mà HS thường xuyên cần đến trong quá trình học Toán.
Trong nội dung chương trình lớp 12 THPT, nội dung về lũy thừa, mũ và
lôgarit có vai trò quan trọng và chiếm một một lượng không nhỏ kiến thức và
thời gian học của chương trình, nó thường xuyên có mặt trong đề thi tốt nghiệp
và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Để học nội dung này, đặc biệt là để biến
đổi rút gọn, giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit, HS cần phải làm
việc với những biểu thức và các phép biến đổi đồng nhất.
Qua thực tiễn dạy học ở trường THPT ở vùng khó khăn Hòa Bình, chúng
tôi thấy HS còn rất lúng túng khó khăn khi giải các bài toán về việc sử dụng biểu
thức và phép biến đổi đồng nhất trong nội dung chương 2 Giải tích lớp 12 (Ban
có bản), chưa vận dụng được kiến thức về biểu thức và kỹ năng sử dụng phép
biến đổi đồng nhất trong học tập nội dung chương 2 nên đã dẫn đến giải sai các
bài toán như: thực hiện các phép toán lũy thừa, phép toán Lôgarit; rút gọn và
biến đổi biểu thức; giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit v.v… Vì

vậy, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu vấn đề “Rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu
thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ
và hàm số lôgarit ở lớp 12 trường THPT” để làm đề tài nghiên cứu.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

2
2. Mục đích và nhiệm vụ nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Xác định những kỹ năng cơ bản khi sử dụng biểu thức và biến đổi đồng
nhất trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 (ban cơ bản) và tổ chức các
hoạt động rèn kỹ năng này cho HS lớp 12 (ban cơ bản) ở trường THPT.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu những vấn đề lý luận về rèn luyện kỹ năng trong dạy
học Toán.
+ Hệ thống hóa một vấn đề về biểu thức và biến đổi đồng nhất trong môn
Toán; từ đó xác định một số thành phần của kỹ năng sử dụng biểu thức và phép
biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số lôgarit.
+ Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi
đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
ở trường THPT Mường Bi - Tân Lạc - Hòa Bình.
+ Xác định và tổ chức các hoạt động rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu
thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương 2 Giải tích 12 cho HS THPT.
+ Thiết kế một số bài giảng minh họa.
+ Thử nghiệm sư phạm.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được những kỹ năng thành phần khi sử dụng biểu thức và
biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số lôgarit và tổ chức những hoạt động tương ứng cho HS như đề xuất trong
luận văn thì có thể rèn luyện kỹ năng này cho HS.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

3
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu các tài liệu về PPDH Toán, đọc một số tạp chí, báo cáo khoa
học, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ về những vấn đề có liên quan đến đề tài.
+ Nghiên cứu nội dung, chương trình SGK môn Toán, mà trọng tâm là
mạch về biểu thức và các phép biến đổi đồng nhất thể hiện trong dạy học
chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
4.2. Phương pháp điều tra quan sát
Điều tra việc giảng dạy của GV và việc học tập của HS trong quá trình
dạy và học chương 2 Giải tích lớp 12 (Ban cơ bản) .
Trong đó đặc biệt quan tâm đến góc độ rèn luyện sử dụng biểu thức và
biến đổi đồng nhất thông qua phỏng vấn, trao đổi dự giờ đồng nghiệp và
phiếu hỏi.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực hành giảng dạy một số tiết thuộc phạm vi của đề tài để
kiểm nghiệm tính hiệu quả và tính khả thi của giải pháp đã đề xuất.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng trong việc tổng hợp, xử lý và đánh giá các số liệu thu được
trong điều tra và thực nghiệm sư phạm.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung
chính của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu
thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ
và hàm số Lôgarit ở lớp 12 THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi trung tâm học liệu

4
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy
học Toán
1.1.1. Biểu thức Toán học và biểu thức đại số
1.1.1.1. Biểu thức Toán học
Một biểu thức Toán học (hay biểu thức) là một cách kí hiệu chỉ rõ các
phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán đó trên các số và các chữ thay số
thuộc một trường số K, trong đó K là trường số thực R, trường số phức C hoặc
trường số hữu tỉ Q. [32, tr.11].
1.1.1.2. Biểu thức chữ và biểu thức số
* Biểu thức chữ: là một hay nhiều số hoặc chữ, nối với nhau bằng dấu
của các phép toán (+, x,:, , log, sin, v.v…) và những dấu ngoặc với những
dạng khác nhau, xác định dãy các phép toán đó [22, tr.260].
* Biểu thức số: là một biểu thức chỉ gồm những chữ số, nối với nhau bởi
dấu của các phép toán. (Lưu ý các phép toán số học ở đây đều thực hiện được
trong một giai đoạn nhất định).
1.1.1.3. Biểu thức đại số
* Biểu thức đại số: là một biểu thức Toán học trong đó các số và các chữ
được nối với nhau bởi phép toán cộng trừ, nhân, chia và phép lũy thừa với số
mũ hữu tỉ. [32, tr.11].
Ví dụ 1. Biểu thức đại số:
a) 0 b) 1 c)
1
2
d)

3 10
1
( ) 3
27

e) 4- b f)
a
ab
g)
b
ab
h)
2
ax bx c

k)
5
x
l)
3
1
2
ab
a
m)
1
1
x
x

Số hóa bởi trung tâm học liệu

5
* Biểu thức hữu tỉ: là biểu thức chữ gồm một số hữu hạn số và chữ nối
với nhau bằng các dấu cộng trừ nhân chia. Các biểu thức hữu tỉ gồm biểu thức
nguyên và biểu thức phân. [22, tr.263].
a) Biểu thức nguyên: là một biểu thức đại số, gồm một số đa thức nối với
nhau bởi những dấu cộng, trừ và nhân. [22, tr.264].
b) Biểu thức phân: là biểu thức đại số chứa biến ở mẫu. Ngoài các
phép toán cộng, trừ và nhân như biểu thức nguyên còn có cả phép chia của
một đa thức.
* Biểu thức đại số vô tỉ: là biểu thức đại số có chứa một chữ hoặc một
biến dưới dấu căn (Nói cách khác, nếu trong biểu thức có lũy thừa phân của
một chữ) [22, tr.262].
Ví dụ 2: a)
1 x
b)
1
2 x

* Giá trị của một biểu thức đại số: Khi ta thay các biến số bằng những số
đã cho vào biểu thức ta được biểu thức số. Sau đó thực hiện các phép toán
trong biểu thức số, ta được kết quả và đó là giá trị của biểu thức đại số.
* Giá trị thích hợp của một biểu thức đại số là giá trị của biến số làm cho
biểu thức đại số có nghĩa. Tập hợp các giá trị thích hợp trên gọi là TXĐ của
một biểu thức.
Trong chương trình đại số và giải tích THPT chúng ta còn thường xuyên
gặp và phải làm việc gần như là thường xuyên với các biểu thức nguyên, biểu
thức phân, biểu thức đại số vô tỉ. Và chúng ta phải làm việc với các biểu thức
siêu việt ở chương mà chúng ta nghiên cứu.

1.1.1.4. Biểu thức siêu việt
Một biểu thức Toán học có các phép Toán siêu việt thực hiện trên các
đối số được gọi là biểu thức siêu việt. [19, tr. 89]
Trong đó, các phép toán: phép nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ,
phép lấy lôgarit, phép lấy các hàm số lượng giác v.v… được gọi là các
phép toán siêu việt.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

6
Ví dụ 3. Các biểu thức sau là biểu thức lôgarit:
a)
log
a
x
b)
log
x
a
a
c )
1
log
a
x
d)
2
log 1
a
x

(Với điều kiện của cơ số và điều kiện xác định của các biểu thức dưới
dấu lôgarit)
Ví dụ 4. Các biểu thức sau là biểu thức mũ:
a)
2
x
b)
1
5
x
x
c)
3
x
d)
1
(1 2)
x
e)
4
x

(Với điều kiện xác định của cơ số a).
1.1.1.5. Biểu thức đồng nhất bằng nhau
Là hai biểu thức chữ có cùng giá trị với mọi giá trị thích hợp của các
biến và với mọi giá trị thích hợp của các chữ. Một đẳng thức mà hai vế là hai
biểu thức đồng nhất bằng nhau gọi là một đồng nhất thức (hay một hằng đẳng
thức) [22, tr.262].
Nói cách khác, một dẳng thức giữa hai biểu thức đại số mà đẳng thức
này luôn luôn đúng nếu thay những chữ trong đó bằng những giá trị tùy ý, thì

đẳng thức đó gọi là đồng nhất thức.
1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất
1.1.2.1. Phép biến đổi đồng nhất
Là sự thay thế của một biểu thức chữ bằng một biểu thức đồng nhất
bằng nó, tức là bằng nó với mọi giá trị số của tất cả các chữ có mặt trong
biểu thức [22, tr.291].
Phép biến đổi này có thể thực hiện bằng nhiều cách khác nhau, tùy thuộc
vào mục đích biến đổi nên cần chú ý vào mục đích đó, chẳng hạn làm cho biểu
thức gọn hơn tiện cho việc thay các chữ bởi các giá trị bằng số của nó. Hoặc
tiện cho những phép biến đổi về sau: đưa biểu thức về dạng tiện cho việc giải
phương trình, cho việc lôgarit hóa, lấy vi phân, tích phân v.v…
Số hóa bởi trung tâm học liệu

7
Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức: A =
11
22aa
với
1
2
3a
.
Với bài toán này ta có thể thay trực tiếp
1
2
3a
vào biểu thức A để tính,
nhưng trong quá trình tính vẫn cần phải quy đồng mẫu số với các biểu thức liên
quan đến căn số. Bởi vậy chúng ta thường rút gọn biểu thức A rồi mới thay
1

2
3a
vào.
Sau quá trình quy đồng mẫu số, rút gọn thông qua các phép toán đại số,
rút gọn được
4
4
A
a
. Thay
1
2
3a
vào, được
1
2
44
43
43
A
.
Mục đích của phép biến đổi đồng nhất là có thể làm cho biểu thức có
dạng thuận lợi hơn cho sự tính toán bằng số hoặc cho những phép biến đổi về
sau, cho phép lấy lôgarit, phép mũ hóa, phép lấy vi phân, phép lấy tích phân,
giải phương trình v.v…
1.1.2.2. Phép biến đổi đồng nhất thường gặp
Phép biến đổi đồng nhất gồm các phép rút gọn các hạng tử đồng dạng,
phép mở ngoặc, phép phân tích thành nhân tử, phép quy đồng mẫu thức của
phân thức đại số, phép phân tích chúng thành những phân thức sơ cấp, phép
quy một tổng thành tích trong lượng giác v.v…

Việc nắm chắc lý thuyết về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất
tương ứng sẽ giúp HS hạn chế được các sai lầm. Để làm được như vậy
người GV cần tăng cường rèn luyện kỹ năng vận dụng biểu thức và phép
biến đổi đồng nhất trong quá trình dạy học một số nội dung dạy học trong
trường phổ thông, trong đó có nội dung về hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit
của lớp 12 THPT.
1.2. Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán
Mục này được viết dựa theo những tài liệu tham khảo sau: [8], [15], [24].
Số hóa bởi trung tâm học liệu

8
1.2.1. Kỹ năng
Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó,
khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì.
Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với
kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn.
1.2.2. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh).
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính
cách cho HS . Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là một
trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp HS hiểu
sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho HS các
thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ,
phát triển năng lực giải toán cho HS.
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT
* Giúp HS hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:
- Các tập hợp số

- Các phép biến đổi đồng nhất
- Phương trình và bất phương trình
- Hàm số và đồ thị.
- Những yếu tố của phép tính vi phân.
- Véctơ và tọa độ.
- Những yếu tố tổ hợp và xác suất.
- Định nghĩa và chứng minh Toán học.
* Giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

9
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
* Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,
gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình,
vẽ đồ thị.
* Giúp HS rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩn
thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.2.4. Con đường hình thành, rèn luyện kỹ năng cho HS THPT
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập,
trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể. Có thể dạy cho
HS kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho HS vốn tri thức
cần thiết thì yêu cầu HS vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo
mức độ tăng dần.
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.

Con đường thứ ba: Dạy HS các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc
vận dụng tri thức.
Để rèn luyện kỹ năng toán cho HS, GV cần tăng cường hoạt động giải
toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua
hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho HS cần quan tâm chú trọng
những vấn đề sau:
+ Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu
tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho HS biết cách
phân tích đặc điểm bài toán:
Số hóa bởi trung tâm học liệu

10
+ Hướng cho HS hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập
các đối tượng cùng loại.
+ Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho HS, khắc phục ảnh hưởng tiêu
cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. HS
không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước
làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn.
Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
1.2.5. Một số kỹ năng thường sử dụng khi rèn luyện cho HS trong dạy học
nội dung chương 2 Giải tích 12
Một số kỹ năng thường làm việc với biểu thức và phép biến đổi dồng
nhất thường sử dụng trong quá trình dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12:
- Nhận dạng và thể hiện:

+ Nhận dạng và thể hiện các khái niệm ẩn tàng: Khái niệm biểu thức mũ,
biểu thức lũy thừa và biểu thức lôgarit.
+ Nhận dạng và thể hiện các định lí về các phép toán, quy tắc tính được
sử dụng trong các bài toán liên quan đến các dạng biểu thức trên.
+ Nhận dạng và thể hiện quy tắc, phương pháp (biến đổi rút gọn biểu
thức, giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit v.v…)
- Kỹ năng rút gọn và biến đổi biểu thức: Dùng các tính chất, định lí, phép
toán để biến đổi rút gọn các biểu thức trên TXĐ của các biểu thức đó.
- Kỹ năng giải bài tập Toán: tìm hiểu bài Toán; tìm tòi đường lối giải Toán;
trình bày lời giải; kiểm tra đánh giá quá trình giải, mở rộng, khái quát hóa v.v…
Số hóa bởi trung tâm học liệu

11
- Kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm: phân tích tìm lỗi sai, sửa sai.
- Kỹ năng vận dụng tính chất, phép toán, phép biến đổi để giải phương
trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1.3. Tình hình dạy học chƣơng 2 Giải tích 12 ở trƣờng THPT hiện nay
1.3.1. Nội dung dạy học chương 2 Giải tích lớp 12
Quy định của Bộ Giáo Dục về nội dung và số tiết (theo PPCT - do
trường sở tại xây dựng).
Tổng số tiết: 19 Lý thuyết: 11 Bài tập: 6


1.3.2. Những khó khăn thuận lợi của GV và HS khi dạy và học chương 2
* Thuận lợi:
- Nội dung về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất không chỉ được trình
bày trong một nội dung cụ thể, môi trường thường xuyên mà còn xuyên suốt
lồng ghép trong nội dung môn Toán.
- HS ham học và có ý thức tìm hiểu tri thức và rèn luyện giải bài tập
Toán. GV nhiệt tình giảng dạy, tổ chức giảng dạy theo mạch kiến thức chung

trong Toán học.
Nội dung
Số tiết PPCT
Lý thuyết
Bài tập
Lũy thừa
2
1
Hàm số lũy thừa
1
1
Lôgarit
2
1
Hàm số mũ, hàm số lôgarit
2
1
Phương trình mũ, Phương trình lôgarit
2
1
Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
2
1
Ôn tập chương
1
Kiểm tra 45 phút
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu

12

* Khó khăn:
Nội dung phân phối chương trình ít, tiết dành cho luyện tập ít. HS chưa
tự chủ động liên kết với các kiến thức cũ và móc xích với kiến thức mới lũy
thừa, mũ và lôgarit trong việc làm bài tập nên đã hiểu sai vấn đề trong nội dung
dạy học chương 2 Giải Tích 12, dẫn đến làm bài tập một cách máy móc và biến
đổi đồng nhất sai, dẫn đến sử dụng phép Toán sai và giải Toán sai. Trong đó
HS thường thực hiện phép tính về lũy thừa, mũ và lôgarit sai; biến đổi không
đồng nhất; sai bản chất khái niệm; sai trong vận dụng; sai trong việc sử dụng
trong các bài Toán v.v…
1.3.3. Mạch kiến thức sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong chương
trình môn Toán THPT
1.3.3.1. Mạch kiến thức trong đại số giải tích
Chương trình lớp 10: rút gọn và biến đổi biểu thức trong phần nhị thức
bậc nhất, tam thức bậc hai để xét dấu và giải bất phương trình, giải phương
trình bậc nhất, phương trình bậc hai và các phương trình quy về phương trình
bậc nhất, bậc hai.
Chương trình lớp 11: rút gọn và biến đổi biểu thức trong giải phương
trình lượng giác, trong khai triển nhị thức New tơn, giải phương trình trong
chỉnh hợp, tổ hợp. Cuối lớp 11 có sử dụng rút gọn biểu thức và phép biến đổi
đồng nhất trong phần tính đạo hàm và bài toán tiếp tuyến của hàm số.
Chương trình lớp 12: Rút gọn biểu thức và biến đổi đồng nhất trong bài
toán khảo sát hàm số, trong hàm số mũ, lôgarit với đặc trưng là trong rút gọn và
biến đổi trong phương trình mũ và phương trình lôgarit cùng với bất phương
trình tương ứng. Rút gọn và biến đổi biểu thức trong nguyên hàm tích phân và
phương trình phức đơn giản.
1.3.3.2. Mạch kiến thức trong hình học
Ở hình hình học giải tích lớp 10, lớp 12 như phần phương trình đường
tròn, Elip, hypebol và tọa độ cầu - Ở hình không gian 11, 12 trong các bài toán
về tính thể tích, các bài toán tính toán có chứa biểu thức.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

13
1.3.3.3. Sự có mặt của biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học nội
dung chương 2 Giải tích 12
Các biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit có mặt hầu hết trong các đơn vị
kiến thức như: Lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, hàm số lũy thừa,
phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit của nội dung chương 2.
Biểu thức và phép biến đổi đồng nhất có mặt trong các bài toán rút gọn,
đơn giản biểu thức, trong các bài toán tìm TXĐ của hàm số lũy thừa, hàm số
mũ và hàm số lôgarit, trong các phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1.3.4. Tình hình rèn luyện kỹ năng làm việc với biểu thức và biến đổi đồng
nhất ở THPT
Ở cấp học THPT, nội dung kiến thức về biểu thức và biến đổi đồng nhất
cho dưới dạng ẩn tàng. HS thường xuyên làm việc với các biểu thức nguyên,
biểu thức phân (biểu thức đại số), biểu thức vô tỉ nhưng do cách gọi gọn của
một số GV nên HS thường gọi chung là biểu thức. HS thường xuyên làm việc
với biểu thức cùng các phép biến đổi đồng nhất như: Các phép rút gọn các hạng
tử đồng dạng, phép mở ngoặc, phép phân tích thành nhân tử, phép quy đồng
mẫu thức của các phân thức đại số, phép phân tích chúng thành những phân
thức sơ cấp, phép quy một tổng các hàm lượng giác về dạng thuận lợi cho phép
lấy lôgarit (tức là biến đổi nó thành một tích) với mục đích có thể là làm cho
biểu thức có dạng thuận lợi hơn cho sự tính toán bằng số hoặc cho những phép
biến đổi về sau, cho phép lấy lôgarit, phép mũ hóa, phép lấy vi phân, phép lấy
tích phân, giải phương trình v.v…
Do phần lớn các phép biến đổi đồng nhất được học từ cấp THCS nên
việc thừa nhận kỹ năng sử dụng biểu thức và rèn kỹ năng biến đổi đồng nhất
thường chỉ được GV chỉ ra lỗi sai trong quá trình HS mắc lỗi khi lên bảng giải
bài tập hoặc chấm bài kiểm tra hoặc khi HS biến đổi rút gọn ở một vài vấn đề
giải toán trong tiết dạy của GV.
Do kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất là các kỹ năng

cơ sở của Toán THPT nên cả GV và HS đều cho rằng chỉ cần kinh nghiệm giải
toán là đủ, HS chủ quan nên dẫn đến sai lầm khi giải toán sau này.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

14
1.4. Kết luận chƣơng 1
Chương 1 nêu lên một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất
trong Toán học nói chung và biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit cùng các phép
biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đó nói riêng.
Nêu một số thực tiễn về dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 và tình
hình rèn luyện kỹ năng năng làm việc với biểu thức và biến đổi đồng nhất ở
trường THPT.
Bên cạnh đó là các vấn đề lí thuyết về kỹ năng trong dạy học Toán và
những kỹ năng thường sử dụng trong dạy học chương 2 Giải tích 12.






Số hóa bởi trung tâm học liệu

15
Chƣơng 2
TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG ĐỂ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG
DẠY HỌC CHƢƠNG 2 GIẢI TÍCH LỚP 12 Ở TRƢỜNG THPT
2.1. Định hƣớng
* Định hướng 1. Để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến
đổi đồng nhất đầu tiên cần chỉ ra các kỹ năng cần có và có thể thực hiện.

* Định hướng 2. Đối với từng kỹ năng, chúng tôi phân tích làm rõ hoạt
động gắn liền với từng kỹ năng đó.
* Định hướng 3. Minh họa thông qua các tình huống cho từng kỹ năng
trong đó có hoạt động tổ chức cho học sinh cho học sinh phát hiện và sửa chữa
những sai lầm.
2.2. Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến
đổi đồng nhất trong dạy học chƣơng 2 Giải tích (cơ bản) lớp 12 THPT
2.2.1. Kỹ năng nhận dạng và thể hiện
Theo Nguyễn Bá Kim [15], có thể thấy nhận dạng và thể hiện là hai dạng
hoạt động theo chiều trái ngược nhau, nhưng lại gắn bó và liên hệ chặt chẽ với
nhau. Trong học Toán, HS thường xuyên phải tiến hành các hoạt động này đối
với khái niệm, định lý, quy tắc, phương pháp và dạng toán.
Khi giảng dạy một nội dung toán học, việc tổ chức hoạt động nhận dạng
và thể hiện giúp HS khắc sâu hơn về kiến thức đã học, làm nền tảng cho sự móc
nối với các kiến thức liên quan và giúp HS hoàn hiện hơn về tư duy Toán học.
Trong nội dung kiến thức chương 2 Giải tích lớp 12 gồm các kiến thức
về lũy thừa, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương trình, bất
phương trình mũ và lôgarit có khá nhiều bài toán đa dạng và cũng dễ gây nhầm
lẫn cho HS trong quá trình học, đặc biệt là các em gặp không ít khó khăn ngay
từ hoạt động nhận dạng và thể hiện các kiến thức có liên quan.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
HS đã được tiếp xúc với biểu thức siêu việt là biểu thức lượng giác, việc
làm việc với phép toán siêu việt, hàm số siêu việt và phương trình siêu việt có
khá nhiều khó khăn khi tiếp cận với nội dung của nó. Để giúp HS khỏi bỡ ngỡ
và có những kỹ năng toán học cơ bản trong nội dung của chương 2 Giải tích 12,
bước đầu chúng ta cần đưa hoạt động nhận dạng và thể hiện vào trong giảng
dạy. Sau đây là một số vấn đề trình bày về hoạt động nhận dạng và thể hiện các
kiến thức về biểu thức lũy thừa, biểu thức mũ và biểu thức lôgarit cùng các

phép biến đổi đồng nhất thực hiện với trên các biểu thức đó.
Để tổ chức cho HS tập luyện nhận dạng các khái niệm, tính chất và các
phép biến đổi nói trên, chúng ta có thể tiến hành:
- Chọn lọc và đưa ra cho HS thấy những đối tượng cần quan tâm là các
loại biểu thức trên, phép biến đổi, phép biến đổi đồng nhất, phương pháp giải
một số dạng toán về lũy thừa, mũ và lôgarit.
- Yêu cầu HS quan sát, phân tích và nhận ra xem chúng thuộc vào khái
niệm, tính chất, phương pháp giải toán nào trong các kiến thức về lũy thừa, mũ
và lôgarit bằng cách đối chiếu với định nghĩa, tính chất, định lí của chúng.
- HS nhận dạng được đối tượng khi mà các em biết kiểm tra từng yếu tố
(điều kiện nêu ra trong định nghĩa khái niệm, trong giả thiết của định lý, nội
hàm của quy tắc v.v ). Ở đây GV cần giúp cho HS tiến hành nhận dạng theo
một quy trình.
2.2.1.1. Nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy thừa và phép biến
đổi đồng nhất trong các bài toán liên quan khi dạy học nội dung chương 2
Trong chương trình lớp 12, lũy thừa đã được mở rộng với số mũ nguyên,
số mũ hữu tỉ, số mũ vô tỉ. Lúc này các bài toán được mở rộng hơn với các tính
chất của lũy thừa với số mũ thực và có những bài toán phức tạp hơn về biến đổi
biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Bởi vậy việc nắm chắc định nghĩa, khái
niệm và phân biệt được các tính chất của các dạng lũy thừa sẽ giúp HS chủ