Hình học không gian tính thể tích

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95







DẠNG 1. CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA= SB = SC = AB = a; SA, SB, SC cùng
tạo với đáy góc φ. Tính giá trị của cosφ để thể tích khối chop S.ABC max.
Đ/s:
3
max
5
cos ;
8 8
a
Vϕ = =

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Góc giữa các
mặt bên và mặt đáy là α. Xác định α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất.
Đ/s:
3
min
3 3 3
cos ;
3 4
b

Vϕ = =
Ví dụ 3:
Cho hình chóp t
ứ
giác S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi c
ạ
nh a. SA = SB = SC = a. Tính SD theo
a
để
th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD max
Đ/s:
6
2
a
SD =
Ví dụ 4:
Cho kh
ố
i chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC),
∆
ABC vuông cân
đỉ

nh C và SC = a. Tính góc
φ
gi
ữ
a 2 m
ặ
t
ph
ẳ
ng (SCB) và (ABC)
để
th
ể
tích kh
ố
i chóp l
ớ
n nh
ấ
t.
Lời giải:
Ta có

3
3
π
φ 0; (sin φ sin φ)
2 6
SABC
a

SCA V
 
= ∈
⇒
= −
 
 
.
Cách 1:
Xét hàm số
3
sin sin
y x x
= −
trên khoảng
π
0;
2
 
 
 
.
Lập bảng biến thiên ta dễ dàng suy ra
3 3
max max
3
( )
6 9
SABC
a a

V y
= =
khi
1
π
sin
φ ;φ 0; .
2
3
 
= ∈
 
 

Cách 2:
Ta có
3 3
3 2
(sin
φ sin φ) sinφ.cos φ
6 6
SABC
a a
V
= − =

Dùng Cosi như thầy đã làm nhé!
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (với 0

≤
m
≤
a). Trên
nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính
thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng
2 2 2
.
x y a
+ =

Đ/s:
2 2 3
1 1
( ) ( )( )
6 36
V ya a x V a a x a x
= + ⇒ = − + .
3
max
3
8
a
V = khi
2
a
x
=
.
Tài li

ệ
u bài gi
ả
ng:

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm EC, SC; M
là điểm di động trên đối của tia BA sao cho góc

α
ECM
=
(với α < 90
0
) và H là hình chiếu vuông góc của S
trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a, α và tìm để thể tích đó lớn nhất.
Đ/s:
3 0
5
α sin2α;α 45
24
V = =

Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M

là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn
nhất. Tính giá trị lớn nhát đó.
Bài 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. Góc giữa các
mặt bên và mặt đáy là α.
a)
Tính thể tích khối chóp theo a và α
b)
Xác định α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất.